考虑负荷不确定性的区间潮流计算方法

考虑负荷不确定性的区间潮流计算方法
考虑负荷不确定性的区间潮流计算方法裴爱华1, 刘明波1, 张弛2(1.华南理工大学电力学院, 广州510640
2.广东省广电集团公司调度中心, 广州510600)
摘要: 潮流计算是进行电力系统分析的重要工具，而实际工程实践中因为负荷等量的不确定因素的存在，使得不确定潮流问题有其重要的实用性。

将区间数学引入求解不确定负荷下的潮流问题，采用区间分析的方法进行潮流计算方程组的求解。

以区间量为基础的潮流计算模型出发，采用KrawczykMoore区间迭代法求解，推出了求解方法。

并以Ward & Hale 6节点试验系统为算例，进行不确定负荷潮流计算。

关键词: 潮流计算不确定性负荷区间分析 Interval Algorithm for Power Flow Calculation with Unce rtain LoadPEI Aihua1, LIU Mingbo1, ZHANG Chi2 ( of Electric Engineering,South China University of Technology,
Guangzhou 510641, China
Dispatching and Communication Center,Guang Dian Group Ltd.,
Guangzhou 510600,China)
Abstract: Power flow calculation is a fundamental tool for all kinds of studies in power systems. However, in practical system, some
original data may be uncertain such a s the load. Hence, calculating power flow with uncertain loads i s important and practical. This paper presents a method to solve the power flow problem with uncertain loads using interval arithmetic. Based on interval mathematics, an expression of the power flow model with interval variables, is propose d and the power flow calculation with Krawczyk Moore interval iterative method. Finally, interval power flow result on Ward & Hale 6 bus system is shown.
Key words: power flowuncertain loadinterval analysis
1前言
处理负荷的不确定性一直是潮流计算中的一个难点。

考虑负荷不确定性的潮流计算目前主要有三类方法：1）随机潮流法,对于随机的信息，利用概率的方式来处理〔1，2〕；2）模糊数学法, 利用模糊数建立配电网潮流计算的模型，利用模糊隶属函数处理一部分不确定信息〔3〕；3）区间分析方法, 因为负荷预测的结果在一定范围内准确，则其各个量都为区间，得到的结果也必然在一定区间内，因而采用区间数学来求解非常适用。

区间分析方法最早由Moore于1966年提出〔3〕，迄今已有30多年的历史，已成为计算数学的一个重要分支。

区间分析方法已在电力系统潮流计算中得到了应用〔4，5〕。

本文将区间分析方法应用于求解不确定负荷情况下的潮流问题，直接用区间迭代方法求解潮流非线性方程组，得到节点电压幅值
和相角的上下限。

区间分析方法与随机潮流法相比，计算量小，与模糊数学法相比，不存在模糊隶属函数的人为给定问题，因而结果不受到任何人为影响。

2区间数学与区间算法
区间分析方法作为一种可能性方法，用区间数来描述参数的不确定性，并已建立一套完整的区间运算方法和规则〔3，6〕。

区间与区间数
对于给定的实数对。

则闭有界数集合X
考虑负荷不确定性的区间潮流计算方法:
就称为有界闭区间。

其中，x称为区间X的下端点，x称为区间X的上端点。

若区间X的上、下端点相等，即=，定义X=〔，〕为点区间。

R上所有闭界区间的集合，记为I(R)。

论文考虑负荷不确定性的区间潮流计算方法
若＜y，则定义X＜Y；若X的中点为0，即=－，则称为对称区间。

区间数的基本运算规则
非线性方程组的区间算法
引进映射f∶D Rn→Rn，则方程组可以简单地表示为
点迭代法的简单的迭代程序为
对于算子Φ的选择，Moore首先给出的区间Newton算子为
其中：V(X)表示包含区间矩阵F＇(X)的逆的区间矩阵，F＇为f＇具有包含单调性的区间扩展，f＇为J(X)，是f(x)的雅可比矩阵。

因为这种方式每一步都要求V(X)，即需要对区间矩阵求逆，因而这种方法并不是一种实用化的方法。

Krawczyk为解决区间Newton 法需要对区间求逆的缺陷，提出了改进的算子
即为Krawczyk算子。

其中：y为函数f(x)的零点，一般取初始迭代区间的中点；Y为任意n*n阶非奇异矩阵；F＇(X)为f(x)的雅可比矩阵的具有包含单调性的区间扩展。

Krawczy k算子中Y的选择可以有多种方法，若取
考虑负荷不确定性的区间潮流计算方法:
这种形式得到的K算子称为Krawczyk算子的Moore形式。

3区间潮流模型及算法
考虑负荷不确定性的区间潮流模型
设系统有n个节点，其中，节点1，2，…，m为PQ节点，节点(m+1)，…，(n-1)为PV节点，节点n为平衡节点。

则潮流方程可写为
区间潮流算法
由计算模型式（12）和（13）得到的方程组为(n+m-1)阶方程组，为了方便表述，将其表示为
h(x)=0
(14)
首先求Krawczyk-Moore算子，给定初始区间为
其中：V为电压幅值，为m维向量；θ为电压相角，为(n-1)维向量；下标max、min 分别表示上、下限。

取中点m(X)做为近似零点x*，h(x)在此点的值为h(x*)。

方程组（14）中，h(x)的雅可比矩阵的具有包含单调性的区间扩展为
非奇异矩阵，否则必然会引起T当中的元素异常。

为了防止为奇异，可以在设置初始区间时尽量使上、下限不要关于0对称，这样就能避免该区间矩阵的元素的中点为0。

这样，就得到Krawczyk-Moore算子为
即可得到方程组(15)~(17)的所有的解。

求解过程中实际问题的处理
初始区间的给定
电压幅值V由节点原有的上、下限值直接得到。

除平衡节点外的其它节点电压相角θ在角度〔－90，90〕内。

在实际计算中，可根据确定负荷的潮流计算的信息，将角度缩小到确定潮流解的附近区
间，这样就能使迭代所需的次数减少，降低计算量。

终止条件的设定
在按照式（18）进行区间迭代的过程中，满足下列条件之一需要终止迭代：
1）迭代得到的区间量X的宽度足够窄，这时可认为迭代的点已经很接近方程组的零点，可以输出到结果集合中。

2）得到的区间量X代入到原潮流方程中，若其最大区间潮流偏差的区间宽度已经很小，则认为得到的区间已经足够达到方程的零点，输出结果。

3）迭代仍然可以继续进行，但是继续迭代不会使区间再缩小，或者缩小得很慢，则认为零点在得到的区间内，此时应该再进行讨论考察是否需要对分区间。

对分区间的思想
当迭代进行到一定程度，X还是宽度较大，但每次迭代不能有效缩小其宽度时，可以进行区间的对分。

即选定其中的一维量，将其一分为二，这样原来的区间向量就分为两个，再分别进行迭代求解。

区间对分的方法是区间数学求解过程中缩小区间宽度的有效方法。

多个结果的分析处理的问题
经过了区间对分，就会使得到的解向量的个数变多。

在使用式（18）迭代的过程中，就将会出现空集，则认为该区间内没有零点，该区间自动去除。

最终输出的结果需要按照以下依据进行分析处理，满足要求才能作为潮流计算的合理解。

分析处理以两个量作为依据：
1）区间量X代入到原潮流方程中，得到其最大区间潮流偏差的区间宽度。

2）区间量X的中点代入到原潮流方程中，得到其近似最大潮流偏差。

如果这两个量都很小，则该结果X可以输出为最后潮流计算的结果。

4结果分析与讨论
基于区间方法的潮流计算程序由C++语言实现，在Visual C++环境下编译。

本文以Ward & Hale 6节点试验系统为例进行计算，采用负荷有微小不确定性时的区间潮流与确定负荷状况下的潮流结果进行比较，验证该算法的正确性。

Ward & Hale 6节点试验系统的接线图如图1所示，包括2台发电机、2台变压器、2台并联电容器、4个负荷点、7条支路。

本文确定潮流计算的程序参考文献〔7-9〕的思路设计。

考虑负荷不确定性的区间潮流计算方法:
考虑负荷不确定性的区间潮流计算结果与确定潮流计算结果的比较
图1给出了所计算系统的确定负荷状态，当负荷不确定时，我们不能确切地知道每个负荷点的负荷大小，但是我们知道负荷在一定的范围内变化，本文所模拟的变化幅度为±%。

该系统在确定负荷情况下和在不确定负荷情况下潮流计算结果为表1和表2所示。

表1给出了在确定负荷情况下的电压幅值和相角的计算结果以及在不确定负荷情况下区间法计算出的电压幅值和相角的区间值。

表2给出了分析出的网络有功标么值。

平衡机的有功，在确定负荷情况下PG1= 932。

在不确定负荷情况下
区间潮流算法迭代求解的时间，与终止条件当中的终止区间宽度有很大的关系，如果终止区间过窄，则在进行区间迭代的过程中，需要多次重复对区间进行对分，导致计算量大大增加。

甚至可能到一定的步骤以后，式（18）的迭代总不能将区间缩小，中途不能分离出所有不可行的区间，导致最终出现无限的循环。

在本文的计算中终止宽度设置为初始区间宽度的1/3。

考虑负荷不确定性的区间潮流计算结果的验证与区间法进行潮流计算的意义
准确地验证区间潮流结果的做法可以采用确定潮流的仿真计算来实现，仿真的方法有很多种，其本质都是把各节点的负荷功率的各个量的变化区间进行细分，然后把各种情况进行排列组合，分别计算出各种情况的确定潮流，从所有的情况中总结出网络潮流量的变化上限和下限。

因为网络结构的复杂，各种因素的相互影响，这种仿真计算与仅仅针对所有负荷的上下界各作一次确定性潮流计算所得的结果是存在本质性差异的。

显然，考虑负荷不确定性的区间潮流计算，由负荷的可能波动的区间出发，计算得到网络潮流的区间结果，与确定潮流计算存在着根本性的不同。

为了验证本文所提出的考虑负荷不确定性区间潮流计算的正确性，可以采用文献〔5〕提出的仿真计算方法。

该算法的思路为：若计算的系统有n个负荷点，则首先分别产生2n个随机数，然后利
用这些随机数对负荷点的有功和无功量波动区间分别进行随机取值，这样就取出任意的一组负荷可能情况，进行确定潮流计算；然后再产生一组2n个随机数对负荷进行随机取值，再进行确定潮流计算……，计算尽量多次，最后从所有的情况中总结出网络潮流量的变化上限和下限。

这种仿真方法涵盖的负荷可能情况广泛，仿真符合实际情况，并且实现简便。

表3给出了在不确定负荷情况下，采用仿真计算分析网络潮流的网络电压幅值和相角最终结果以及区间潮流算法计算出的电压幅值和相角的区间值。

可以看到，仿真计算与区间潮流计算结果基本一致，很好地验证了区间潮流计算的正确性。

5结论
本文从以区间量为基础的潮流计算模型出发，采用KrawczykMoore区间迭代法求解，得到节点的电压幅值、相角上下限，以及网络功率分布,比确定性的潮流算法更符合工程实际情况，因而具有广泛的实用前景。

区间数学中所处理的变量是区间，即有界闭域，因而在处理一些问题时，若其变量在一固定闭区域内，则区间数学很适用。

区间Newton法的优点是：具有全局收敛性，既能给出近似的解，又能给出解的误差估计。

因而对于在一些含有区间量的问题上的建模和求解是非常适用的。

本文的计算结果有效验证了本算法的正确性。

但是区间运算有其复杂性，一般区间迭代程序的计算量远大于点迭代，花费机器时间增加，因此有必要在算法方面继续探讨。

参考文献
〔1〕Dopazo J F,Klitin O A,Sasson A load flow method〔J〕. IEEE
Trans,1975,94（5）:299-309
〔2〕Wang Z,Alvarado F arithmetic in power flow analysis 〔J 〕.IEEE Trans on Power Systems,1992,7(3):1341-1349
考虑负荷不确定性的区间潮流计算方法:
〔3〕Moore R Analysis〔M〕.Englewood Cliffs,New Jersey：Pren tice Hall，1966
〔4〕王守相,王成山,刘若沁.基于模糊区间算法的配电网潮流计算〔J〕.电力系统自动化.2000,24（20）:19-22
〔5〕Biswarup distribution system power flow using interval arithmetic〔J〕.International Journal of Electrical Power & Energy Systems,2002, 24:827-836
〔6〕王德人,张连生,邓乃杨.非线性方程的区间算法〔M〕.上海：上海科学技术出版社，1984
〔7〕刘军,陈学军.MA TLAB在电力系统分析中的应用〔J〕.电力系统及其自动化学报,2000,4(12):23-25
〔8〕李彩华,郭志忠,樊爱军.电力系统动态优化调度与电力市场〔J〕.电力系统及其自动化学报,2002,6(14):39-44
〔9〕陆进军,黄家裕.基于面向对象方法的电力系统潮流计算程序〔J〕.电力系统及其自动化学报,2000,12(12):53-57电力系统及其自动化学报。