高中数学必修4三角函数教案

三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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数学必修4——三⾓函数的图像与性质数学必修4——三⾓函数的图像与性质⼀. 教学内容：三⾓函数的图像与性质⼆. 教学⽬标：了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会⽤“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。

三. 知识要点：1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2. 三⾓函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是的递增区间是，3. 函数最⼤值是，最⼩值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中⼼。

4. 由y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象⼀般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进⾏图象变换。

利⽤图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.⽆论哪种变形，请切记每⼀个变换总是对字母x⽽⾔，即图象变换要看“变量”起多⼤变化，⽽不是“⾓变化”多少。

途径⼀：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将y＝sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）的图象。

途径⼆：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y＝sin（ωx＋）的图象。

5. 对称轴与对称中⼼：的对称轴为，对称中⼼为；的对称轴为，对称中⼼为；对于和来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点相联系。

6. 五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。

【典型例题】例1. 把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最⼩值是（）A. B. C. D.解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利⽤偶函数的性质求解。

1.1． 1 任意角教学目标1、知识与技能目标:理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.2、过程与能力目标:会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．3、情感与态度目标1.提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点:任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点:终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类：④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度?2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 3．探究：终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k·360 ° ，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：⑴ k ∈Z.⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角 ⑵B 1 y⑴O x45° B 2O x B 3y30° 60o负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边终边 顶点 A O B例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法．1.1.2弧度制（一）教学目标1、 知识与技能目标：理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．2、 过程与能力目标：能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题3、 情感与态度目标：通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点：弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？ （2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. rl正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度：︒=3602π； ︒=180π；rad 01745.01180≈︒=π；︒=n rad n 180π． 5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度7．弧长公式rl a =弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把rad 53π化成度． 例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-． 解: (1),672319πππ+= 而67π是第三象限的角,193p\是第三象限角.(2) 315316,666p p pp -=-+\-Q 是第二象限角. .,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R, ∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=⋅=．证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180Rn l π=，O R l∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π． 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式4-1.2.1任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

高中数学必修4第一章《三角函数》第五节《1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象》教学设计第一课时湖南师大附中海口中学刘兵一、教学分析（一）教学内容分析本节课所讲的内容是高中数学必修4第一章《三角函数》第五节的内容，是中学数学的重要内容之一。

它是在前面学习了正弦函数和余弦函数的图象和性质的基础上对正弦函数图象的深化和拓展，通过函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx图象间的关系，揭示参数A、ω、φ对函数图象变化的作用（本课时只讨论ω和φ），充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。

在此基础之上，更进一步推广到一般函数y=f(x)的情况，使学生能借助三角函数桥梁，达到能解决所有函数变换的问题，从而提升学生对数学知识的应用能力。

通过学习y=Asin(ωx+φ)的图象变换有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对其他函数图象变换的理解和认识，加深数形结合在数学学习中的应用的认识，同时也为相关学科的学习打下扎实的基础。

（二）教学对象分析高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。

学生学习了正、余弦函数的图象和性质，已经具有用数学知识解决实际问题的能力。

学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。

通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。

（三）教学环境分析由于本节课涉及到的函数图象较多，对老师的的作图提出了很高的要求。

而且该节课还涉及到函数图象的多种变换，比较注重变换的过程，采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。

多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术，使传统的教学方式得到补充。

在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，让学生亲手操作演示，感受函数图象“变”的过程。

φ、ω对函数y=sin(ωx+φ)的图象变化的影响能够得到直观的反映，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。

三角函数的定义[考点透视]一、考纲指要1．理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.二、命题落点1．考查象限角的概念.如例1.2．考查三角函数化简，求值等知识.如例2.3．考查三角函数在各个象限的符号.如例3.[典例精析]例1：α为第三象限角，那么2α所在的象限是〔〕 A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈, ∴3224k k k Z παπππ+<<+∈, 可知2α在第二象限或第四象限．答案：D ．例2： tan600°的值是〔 〕A ．33-B ．33C ．3-D ．3解析:360tan 240tan 600tan 000===．答案：D ．例3：假设sinθcosθ＞0，那么θ在〔 〕A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限解析：∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同号.当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B ．答案：B ．[常见误区]1．在角的表示中注意角度值和弧度值不能在同一角的表示中使用.2．三角函数值的符号是学生解题中的易错点、易漏点.[基础演练]1．R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，那么a ＝〔 〕A ．0B ．1C ．－1D ． ±12．设M 和m 分别表示函数y=31cosx －1的最大值和最小值，那么M+m 等于〔〕 A ．32B ．－32C ．－34D ．－23．假设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且A<B<C 〔C≠2π〕，那么以下结论中正确的是〔 〕A ．sinA<sinCB ．cotA<cotCC ．tanA<tanCD ．cosA<cosC4．在〔0，2π〕内，使sinx ＞cosx 成立的x 取值X 围为〔 〕A ．〔4π，2π〕∪〔π，45π〕B ．〔4π，π〕C ．〔4π，45π〕D ．〔4π，π〕∪〔45π，23π〕5．点P 〔tanα，cosα〕在第三象限，那么角α的终边在第 象限.6．在△ABC 中，假设最大角的正弦值是22，那么△ABC 必是 三角形.7．比较sin 52π，cos 56π，tan 57π的大小.8．sinθ＋cosθ＝51，θ∈〔0，π〕，求cotθ的值.9．:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα; sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值.。

任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； 〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符号；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解 例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1． 作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评 例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． 〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。

三角函数的诱导公式教材：在北师大版普通高中课程标准实验教科书必修4中，单位圆与正弦、余弦函数的内容约4课时，下面笔者从教学背景分析、教学设计分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面谈谈“三角函数的诱导公式”这节课的教学设计.一、教学背景分析（一）教材的地位和作用本节教学内容是4组三角函数诱导公式的推导过程及其简单应用.承上，有任意角三角函数正弦、余弦和正切的比值定义、三角函数线、同角三角函数关系等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性）等内容.同时，学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称等知识相当熟悉，这些构成了学生的知识基础.诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊、复杂化简单、未知化已知的数学思想.（二）目标定位诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大.我们认为，诱导公式的教学价值主要体现在以下几个方面：第一，感受探索发现，通过几何对称这个研究工具，去探索发现任意角三角函数间的数量关系式，即三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示.第二，学会初步应用，能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数问题并求解.第三，领悟思想方法，在诱导公式的学习过程中领悟化归、数形结合等思想方法.第四，积累数学经验，为学生认识任意角的三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备.二、教学设计分析在进行本课教学设计时，有以下两条典型教学路线可供选择：（1）两个角的终边有哪些特殊的对称关系？（2）怎样把非第一象限的角转化为第一象限的角？笔者最终选择了第一条路线，主要基于以下两点考虑.（一）尊重教材的编写方式从对教材的分析来看，北师大版教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，从而统整各组诱导公式.教材的编写处理体现了教材专家的集体智慧和版本教材的一贯特色，教师应该努力体会和把握，不宜轻率抛开教材另搞一套.（二）切合学生的认知水平利用学生熟悉的圆及其对称性研究三角函数的相关性质，符合学生的认知心理.同时，单位圆及其对称性的表象对学生推导诱导公式、理解公式之间的内在联系、形象记忆三角函数诱导公式都将起到事半功倍的效果.三、教学环境分析根据教学内容和学生实际情况，确定选择使用多媒体教室.四、教学目标分析（一）知识与技能1.能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式.2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题.（二）过程与方法1.经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力.2.通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.（三）情感、态度、价值观1.通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度.2.在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神.五、教学重点与难点教学重点:探求π－α的诱导公式.π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出.教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”.六、教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件.七、教学过程角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值怎么求呢？先看一个具体的问题.（一）问题提出如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题.【问题1】求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数看重的就是终边位置关系.即有sin(α+k·360°) = sinα，cos(α+k·360°) = cosα， (k∈Z)tan(α+k·360°) = tanα.这组公式用弧度制可以表示成sin(α+2kπ) = sinα，cos(α+2kπ) = cosα， (k∈Z) (公式一)tan(α+2kπ) = tanα.【设计意图】前面的学习中，已经将角的概念从锐角扩充到了任意角，学习了任意角三角函数的定义，接下来自然地会提出任意角的三角函数值怎么去求.于是，先安排求特殊值再过渡到一般情形比较符合学生的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在求三角函数值时抓坐标、抓角终边之间的关系.同时，首先考虑α+2kπ（k∈Z）与α的三角函数值之间的关系，有助于学生理解三角函数被看成刻画现实世界中周期性变化的数学模型的确切含义.（二）尝试推导如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系.由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等.反过来呢？如果两个角的三角函数值相等，它们的终边一定相同吗?比如说：【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角π-α与角α的终边关于y轴对称,有sin(π-α) = sinα，cos(π-α) = -cosα，（公式二）tan(π-α) = -tanα.【设计意图】对问题2的提问方式的设计主要是考虑到我们在研究问题的时候常常会研究它的逆命题、否命题、等价命题等.事实上问题2可以看成是“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相同”的逆命题，即“若两个角的正弦值相同，则两个角的终边相同”.但这里是以问题的形式提出的，实际上教会了学生一种自己研究问题的方法.〖思考〗请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的?因为与角α终边关于y 轴对称是角π-α，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.于是，我们就得到了角π-α与角α的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系.【设计意图】阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用.将上述研究过程进行梳理，得出“角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系”的研究路线图.（三）自主探究 如何利用对称推导出π+ α，- α与α的三角函数值之间的关系.刚才我们利用单位圆，得到了终边关于y 轴对称的角π-α与角α的三角函数值之间的关系，下面我们还可以研究什么呢？【问题3】两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？角-α与角α的终边关于x 轴对称，有：sin (-α) = -sin α，cos (-α) = cos α，（公式三）tan (-α) = -tan α.角π +α与角α终边关于原点O 对称，有：sin (π +α) = -sin α，cos (π +α) = -cos α，（公式四）tan (π +α) = tan α.上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式.【设计意图】从两个角的终边关于y 轴对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式三和四，并将问题2研究方法一般化.（四）简单应用例：求下列各三角函数值： (1) ； (2) 2cos 3π；（3） . 7sin()6-π31cos 6-π【设计意图】初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理地使用这几组公式.此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性.（五）回顾反思【问题4】回顾一下，我们是怎样获得诱导公式的?研究的过程中，你有哪些体会?知识上，学会了四组诱导公式；思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的化归思想；诱导公式所揭示的是终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系.主要体现了化归和数形结合的数学思想.具体可以表示如下：【设计意图】开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获.这些问题的提出，侧重于诱导公式推导方法的回顾和反思，侧重于个体情感体验的分享和表达，从而区别于侧重公式规律的总结和记忆.（六）分层作业1.阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；2.必做题：课本20页A组1， 6，21页B组 1；3.选做题：（1）你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导到另外一组公式吗？（2）角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系，你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？【设计意图】分层作业有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力.阅读课本旨在引导学生教科书是学习的根本，阅读课本有利于培养学生良好的回归课本的学习习惯.而出现选做题目，目的是提供多元化和挑战性选择，促使学有余力的学生课后思考和自主探究几组公式之间的内在联系.（七）板书设计。

1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？ 问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？ 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型 师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型 多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0， 在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。

4-1.1.1任意角（1）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。

三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。

二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。

旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。

本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。

其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。

示范教案整体设计教学分析本节主要包括利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导了公式sinα＋sinβ＝2sin α＋β2cosα－β2以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．和差化积、积化和差不要求记忆，都在试卷上告诉我们，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度是一降再降．三维目标1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生学好数学的欲望和信心．重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2.(类比导入)我们知道log a m＋log a n＝log a(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？推进新课新知探究提出问题(1)你能从两角和与差的正、余弦公式中发现些什么？(2)积化和差与和差化积公式的特点是什么？活动：考察公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.从公式结构上看，把cosαcosβ，sinαsinβ，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成未知数解方程组，则容易得到如下结论：cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．从上面这四个公式，又可以得出sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ； sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ； cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ； cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ. 设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y 2，β＝x －y2.这样，上面得出的四个式子可以写成sinx ＋siny ＝2sinx ＋y 2cos x －y2； sinx －siny ＝2cos x ＋y 2sin x －y2；cosx ＋cosy ＝2cos x ＋y 2cos x －y2；cosx －cosy ＝－2sin x ＋y 2sin x －y2.利用这四个公式和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式．教师还可引导学生用向量运算证明和差化积公式． 如图1所示．作单位圆，并任作两个向量图1OP →＝(cosα，sinα)，OQ →＝(cosβ，sinβ)．取的中点M ，则M(cos α＋β2，sin α＋β2)．连接PQ ，OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点且ON ⊥PQ. ∠xOM 和∠MOQ 分别为α＋β2，α－β2.探索三个向量OP →，ON →，OQ →之间的关系，并用两种形式表达点N 的坐标，以此导出和差化积公式cosα＋cosβ＝2cos α＋β2cos α－β2；sinα＋sinβ＝2sin α＋β2cos α－β2.讨论结果：略应用示例例 1已知sinx －cosx ＝12，求sin 3x －cos 3x 的值．活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a －b)3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3＝a 3－b 3－3ab(a －b)，∴a 3－b 3＝(a －b)3＋3ab(a －b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx 与sinx±cosx 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)3＋3sinxcosx(sinx －cosx)＝1116.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中．解：由sinx －cosx ＝12，得(sinx －cosx)2＝14，即1－2sinxcosx ＝14，∴sinxcosx ＝38.∴sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)(sin 2x ＋sinxcosx ＋cos 2x)＝12(1＋38)＝1116.例 2已知cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，求证：cos 4B cos 2A ＋sin 4Bsin 2A＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A 、B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A 、B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a 2＋b 2＝1的形式，可利用三角代换．证法一：∵cos 4A cos 2B ＋sin 4Asin 2B ＝1，∴cos 4A·sin 2B ＋sin 4A·cos 2B ＝sin 2B·cos 2B.∴cos 4A(1－cos 2B)＋sin 4A·cos 2B ＝(1－cos 2B)cos 2B ，即cos 4A －cos 2B(cos 4A －sin 4A)＝cos 2B －cos 4B.∴cos 4A －2cos 2Acos 2B ＋cos 4B ＝0. ∴(cos 2A －cos 2B)2＝0.∴cos 2A ＝cos 2B.∴sin 2A ＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4Bsin 2A＝cos 2B ＋sin 2B ＝1.证法二：令cos 2A cosB ＝cosα，sin 2AsinB ＝sinα，则cos 2A ＝cosBcosα，sin 2A ＝sinBsinα.两式相加得1＝c osBcosα＋sinBsinα，即cos(B －α)＝1.∴B －α＝2kπ(k ∈Z )，即B ＝2kπ＋α(k ∈Z )．∴cosα＝cosB ，sinα＝sinB. ∴cos 2A ＝cosBcosα＝cos 2B ，sin 2A ＝sinBsinα＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 4B cos 2B ＋sin 4Bsin 2B ＝cos 2B ＋sin 2B ＝1.例3 证明1＋sinx cosx ＝tan(π4＋x 2)．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x ，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角x2，三角函数的种类为正切．证法一：从右边入手，切化弦，得tan(π4＋x2)＝sin (π4＋x 2)cos (π4＋x 2)＝sin π4cos x 2＋cos π4sin x 2cos π4cos x 2－sin π4sin x 2＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sinx2，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos x 2＋sin x2，得(cos x 2＋sin x2)2(cos x 2＋sin x 2)(cos x 2－sin x 2)＝1＋sinxcosx .证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得1＋sinxcosx ＝(cos x 2＋sin x 2)2(cos x 2＋sin x 2)(cos x 2－sin x 2)＝cos x 2＋sinx 2cos x 2－sinx2. 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos x2，得1＋tan x 21－tan x 2＝tan π4＋tanx 21－tan π4tanx 2＝tan(π4＋x 2).课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．作业课本本节习题3—3A 组1～4，B 组1～4.设计感想 1．本节主要学习了怎样推导积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．备课资料 一、一道给值求角类问题错解点击． 解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．例题：若sinα＝55，sinβ＝1010，α、β均为锐角，求α＋β的值． 错解：∵α为锐角， ∴cosα＝1－sin 2α＝255.又β为锐角， ∴cosβ＝1－sin 2β＝31010. ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝22. ∵α，β均为锐角， ∴0°<α＋β<180°. ∴α＋β＝45°或135°.点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sinα＝55<12，sinβ＝1010<12，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝22(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝22，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．二、如何进行三角恒等变式的证明． 三角恒等式证明的基本方法：(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简． (2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦． (4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)． (5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．(6)可采用比较法，即“左边右边＝1”或“左边－右边＝0”．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系； (3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．二、备用习题1．已知tanx ＝－3，则sin2x ＝________，cos2x ＝________.2．已知tanα＝2，则cos2α等于( ) A ．－13 B ．±13C ．－35D ．±353．下列各式化成和差的形式分别是： (1)sin(π3＋2x)cos(π3－2x)；(2)cos α＋β2sin α－β2.4．设α、β≠k π＋π2(k ∈Z )，且cos2α＋sin 2β＝0.求证：tan 2α＝2tan 2β＋1.5．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，试求cos A －C2的值．6．不查表求值： tan6°tan42°tan66°tan78°. 参考答案： 1．－35 －45 2.C3．(1)34＋12sin4x ；(2)12(sin α－sin β). 4．证明：∵cos2α＋sin 2β＝0, ∴1－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2βsin 2β＋cos 2β＝0， 即1－tan 2α1＋tan 2α＋tan 2β1＋tan 2β＝0. 化简得tan 2α＝2tan 2β＋1.5．由题设条件，知B ＝60°，A ＋C ＝120°，设A －C2＝α，则A ＝60°＋α，C ＝60°－α.代入1cosA ＋1cosC ＝－2cosB，可得1cos (60°＋α)＋1cos (60°－α)＝－22，即2cosα－3sinα＋2cosα＋3sinα＝－2，可化为4cos 2α＋2cosα－3＝0， 解得cosα＝22或－324(舍去)． ∴cos A －C 2＝22.6．原式＝tan54°tan6°tan66°tan42°tan78°tan54°＝tan(60°－6°)tan6°tan(60°＋6°)tan42°tan78°tan54°＝tan18°tan42°tan78°tan54°＝tan(60°－18°)tan18°tan(60°＋18°)tan54°＝tan54°tan54°＝1.。

教学要求：掌握π＋α、－α、π－α三组诱导公式，并能熟练运用进行化简与求值. 教学重点：应用诱导公式.教学难点：理解诱导公式推导.教学过程：一、复习准备：1. 写出2k π＋α的诱导公式.2. 提问：求任意角的三角函数值如何求？二、讲授新课：1. 教学诱导公式：① 讨论：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到0～2π后，又将如何将0～2π间的角转化到0～2π呢？ 方法：设0°≤α≤90°， （写成β的分段函数）则90°～180°间角，可写成180°－α；180°～270°间的角，可写成180°＋α；270°～360°间的角，可写成360°－α.② 推导π＋α的诱导公式：复习单位圆：以原点为圆心，单位长为半径的圆.思考：角α的终边与单位圆交于点P (x , y )，则sin α＝？cos α=？讨论：α与π＋α终边有何关系？设交单位圆于P (x , y )、P ’，则P ’坐标怎样？计算sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)，并与sin α、cos α、tan α比较.提出诱导公式二.③ 仿上面的步骤推导－α、π－α的诱导公式.讨论：如何由π＋α、－α的诱导公式得到π－α的诱导公式？ 变角：π－α＝π＋(－α) 列表比较四组诱导公式，观察符号情况？ 口诀：函数名不变，符号看象限. （“符号”是把任意角α看成锐角时，2()k k Z πα±∈所在象限的三角函数值的符号.）2. 教学例题：① 出示例1：求值：sin225°、 cos 43π、sin(－3π)、cos （－76π）、tan （－200°） 分析角的特点→学生口答. 小结：运用诱导公式的格式；注意符号.② 出示例2：化简sin(180)cos(720)cos(180)sin(180)αααα︒+︒+--︒-︒- 师生共练→小结：公式运用③ 练习：已知cos(π＋x )＝0.5，求cos(2π－x )的值；思考：求cos(π－x )的值.④ 讨论：四组诱导公式的作用? （分别化哪个范围的角到哪个范围？）3. 小结：四组诱导公式的推导、记忆、运用.三、巩固练习：1. 求证：tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)παπαπααππα-----+＝tan α2. 化简：sin 250cos790︒+︒（－1） 4. 作业：教材P31 2、3、4题.教学要求：掌握2πα、2π＋α两组诱导公式，能熟练运用六组诱导公式进行求值、化简、证明. 教学重点：熟练运用诱导公式.教学难点：诱导公式的推导.教学过程：一、复习准备：1. 默写关于2k π+α、π＋α、－α、π－α的四组诱导公式2. 推导2π－α的诱导公式.二、讲授新课：1. 教学诱导公式推导：① 讨论：2π－α的终边与α的终边有何关系？ （关于直线y =x 对称） ② 讨论：2π－α的诱导公式怎样？ ③ 讨论：如何由前面的诱导公式得到2π＋α的诱导公式？ 比较：两组诱导公式的记忆 ④ 讨论：如何利用诱导公式，将任意角转化为锐角的三角函数？（转化思想）⑤ 比较：六组诱导公式的记忆. （六组诱导公式都可统一为“()2k k Z πα±∈”的形式，记忆的口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 符号看象限是把α看成锐角时原三角函数值的符号）2. 教学例题：① 出示例1：求下列各角的三个三角函数的值.56π、 43π、 74π、 1050°、 －514π （示范－514π的求值；其余学生试练，四人板演；订正；小结：诱导公式的运用） ② 出示例2：求证cos()sin(5)sin(4)sin(7)cot()παπαπαπααπ---+--＝1 （学生分析公式运用→试练→订正→小结：公式运用. ）③ 练习： 列表写出0～2π间所有特殊角的三个三角函数的值.3. 小结：诱导公式的记忆是重中之重；利用诱导公式，将任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数的值，这是学习诱导公式的主要目的；注意公式之间的相互联系和变形使用公式.三、巩固练习：1. 化简：tan(150)cos(210)cos(420)cot(600)sin(1050)-︒-︒-︒-︒-︒ ） 2. 已知tan(π＋α)＝4, 则sin(π＋α)cos(π－α)＝ .3. 化简：sin()sin()sin()cos()k k k k πααπαπαπ++-+- （k ∈Z ）4. 求函数y =+. 5. 作业：教材P31 5、6、7题.。

第三十六教时教材：已知三角函数值求角（反正弦，反余弦函数）目的：要求学生初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。

过程：一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。

由y =1︒在R 2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y = x 与y 是一一对应的，且区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ比较简单 ∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数， 记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，（奇函数）。

在[]π,0上，x y cos =的反函数称作反余弦函数，记作()11arccos ≤≤-=x x y二、已知三角函数求角首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。

已知三角函数值求角是多值的。

例一、1、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,222sin ππx x 且，求x 解：Θ在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个∴4π=x （即422arcsin π==x ） 2、已知[]π2,0,22sin ∈=x x 且 解：022sin >=x Θ，x ∴是第一或第二象限角。

4344,224sin 4sin πππππππ=-==∴==⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 或Θ 即（4322arcsin 422arcsin πππ=-===x x 或）。

3、已知R x x ∈-=且,22sin 解：∴<-=,022sin x Θx 是第三或第四象限角。

()()z k k k x ∈++=++=∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+41242,224sin 4sin ππππππππ ()()z k k k x ∈-+=-+=∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-422422,224sin 4sin ππππππππ （即()z k k x k x ∈+=-=4242ππππ或 或 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=22arcsin 1k k x π）这里用到()x y x x arcsin ,arcsin arcsin =-=-Θ是奇函数。

正弦、余弦函数的周期性教案一、教材分析：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．二、教学目标：学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备：三角板、多媒体课件六、教学流程：求下列函数的周期： (1)3sin4x y =，x R ∈；(2)sin()10y x π=+，x R ∈；(3)cos(2)3y x π=+,x R ∈(4)1sin()24y x π=-，x R ∈ 课外思考：1. 求函数()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>）的周期．2.求下列函数的周期：（1）|sin |x y =，x R ∈；（2）|2cos |x y =，x R ∈ 附：板书设计附：1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．教案设计说明 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律．学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．于是，结合以上的学情分析，我从“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．二、教学流程入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．四、教学诊断分析1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sin x图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．通过本节课学习，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.。

北师大版高中高二数学必修4《两角和与差的三角函数》教案及教学反思一、教学目标1.理解两角和与差的三角函数概念2.掌握两角和与差的三角函数的计算公式3.能灵活运用两角和与差的三角函数求解题目二、教学重点1.两角和与差的三角函数概念2.计算公式3.绕过死点三、教学难点1.两角和与差的三角函数的绕过死点方法2.运用两角和与差的三角函数求解问题四、教学过程1. 教学内容的呈现本节课学习的主要内容为两角和与差的三角函数。

在这之前，我们先回顾一下基础的三角函数知识，然后引出两角和与差的概念。

同时，我们需要提出两角和与差公式的作用，以及绕过死点的方法。

2. 新知识的学习首先，我们来回顾一下基础的三角函数知识，包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。

接下来，我们引入两个新的概念：两角和与两角差。

这两个概念是指两个角的函数相加或相减后得到的函数，比如：$$\\sin(a+b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$$$$\\cos(a+b) = \\cos a \\cos b - \\sin a \\sin b$$$$\\sin(a-b) = \\sin a \\cos b - \\cos a \\sin b$$$$\\cos(a-b) = \\cos a \\cos b + \\sin a \\sin b$$我们需要记住这些公式，因为在进一步的计算中会很常用。

接着，我们来讲一下如何避开死点。

在计算两角和与差的三角函数时，会遇到一些死点，导致计算不能进行下去。

所谓死点，就是使得分母为零的点，这个点被称为死点。

出现死点时，我们需要进行绕过，常用的方法有三种。

1.利用倒数公式：$\\tan(\\pi/2-a)=\\cot(a)$，$\\cot(\\pi/2-a)=\\tan(a)$来进行绕过。

2.利用奇偶性：sin(−x)=−sin(x)，cos(−x)=cos(x)，tan(−x)=−tan(x)，来进行绕过。

高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案【教学内容】三角函数模型的简单应用【教学目标】1. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 掌握解决几何问题时应用三角函数模型的方法；3. 培养学生从实际问题中抽象出三角函数模型的能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

【教学重点】1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 解决几何问题时应用三角函数模型的方法。

【教学难点】学生解决实际问题时抽象出三角函数模型的能力。

【教学方法】1. 讲授法：通过讲解三角函数模型的定义和性质，让学生理解三角函数模型的概念和基本思想；2. 举例法：通过讲解几个综合实例，让学生理解应用三角函数模型解决问题的基本方法；3. 练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识。

【教学过程】一、引入让学生观察、思考以下两个图象，引出三角函数模型的概念及相关性质。

例1 例2二、讲解1. 什么是三角函数模型三角函数模型是指用正弦函数、余弦函数、正切函数等描述几何问题及物理问题的模型。

正弦函数、余弦函数、正切函数是一种列函数，用于描述三角形的内角与长度之间的关系。

2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象（1）正弦函数的图象正弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的奇函数。

（2）余弦函数的图象余弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的偶函数。

（3）正切函数的图象正切函数的图象是一个无量纲的周期函数，周期为π，无定义域上的最大值和最小值，其图象相对于 y 轴是奇函数。

三、练习例1 解：构造如下图形，已知 $BC=6$ cm，$m\angleB=30^\circ$，求 $AC$ 和 $AB$ 的长度。

（1）分析题意，选用何种三角函数模型。

设 $\angle ABC=\theta$，则有 $\angle BAC=150^\circ -\theta$，观察正弦函数的定义式，选用正弦函数。