高二数学学案：导数的应用

中学数学教案导数在函数中的应用一、教学目标1. 理解导数的定义及其几何意义。

2. 学会求解基本函数的导数。

3. 掌握导数在函数中的应用，如单调性、极值、最值等。

4. 能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容1. 导数的定义及几何意义2. 基本函数的导数3. 导数的应用a. 单调性b. 极值c. 最值d. 实际问题三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义、基本函数的导数及导数的应用。

2. 难点：导数的计算及运用。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义及基本函数的导数。

2. 利用实例演示导数在函数中的应用，如单调性、极值、最值等。

3. 引导学生运用导数解决实际问题。

4. 课堂练习与讨论，巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性、极值等问题。

2. 讲解导数的定义及几何意义，通过实例演示导数的计算过程。

3. 讲解基本函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数等。

4. 引导学生运用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题。

5. 结合实际问题，讲解导数在实际中的应用，如物体的运动、经济的增长等。

6. 课堂练习：让学生独立完成一些有关导数的练习题，巩固所学知识。

7. 总结：回顾本节课所学内容，强调导数在函数中的应用及实际意义。

六、教学活动1. 设计课堂活动：通过小组讨论，让学生探究导数在实际问题中的应用，如找出函数在某一点处的切线斜率，模拟函数的增减过程等。

2. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用导数解决具体问题，如优化生产过程、确定最佳路线等。

七、自主学习1. 让学生自主学习教材中关于导数的应用部分，了解导数在函数中的作用。

2. 布置课后作业：让学生结合所学知识，完成有关导数在函数中应用的练习题。

八、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结导数在函数中的应用。

2. 强调导数在实际问题中的重要性。

九、课后反思1. 教师在课后对课堂教学进行反思，分析教学过程中的优点与不足。

变化率与导数、导数的计算1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义：f ′(x 0)是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二、基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1．用定义法求下列函数的导数．(1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →ΔyΔx.2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；[自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.3．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12- ＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.4．若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e. 5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x6．（1）曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2.又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C7．若上题 (1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程．解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1.∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．8．(1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．(2)(直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B9．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.10．曲线y ＝x －x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0作业111．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．12．已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .13．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．14．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：815．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.17．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________.解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：018．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， 故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.19．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.导数的应用(一)1．函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f (x )在(a ，b )上为增函数⇒f ′(x )≥0 f (x )在(a ，b )上为减函数⇒f ′(x )≤0⇔ 2．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．1.f ′(x )>0与f (x )为增函数的关系：f ′(x )>0能推出f (x )为增函数，但反之不一定．如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0，所以f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分 不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f ′(x 0)＝0是可导函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y ＝x 3在x ＝0处有y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．20．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x，令y ′≤0，则可得0<x ≤1. 21．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－a 在x ∈[1，＋∞)上f ′(x )≥0， 则f ′(1)≥0⇒a ≤3. 答案：322．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间． [自主解答] (1)由f (x )＝ln x ＋ke x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．23．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，∴f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)e x＞0，∵e x＞0，∴－x2＋2＞0，解得－2＜x＜ 2.∴函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≤0对x∈R都成立．∵e x＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故不存在a使函数f(x)在R上单调递减．24．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4 D．5解析：选D∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.25．设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：选D求导得f′(x)＝e x＋x e x＝e x(x＋1)，令f′(x)＝e x(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．26．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．[自主解答] (1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2. 求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f ′(x )＝0根的两侧导数的符号来判断f ′(x )在这个根处取极值的情况．27．设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ， 从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26， 即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a6对称．从而由题设条件知－a 6＝－12，即a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0， 得b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， 所以f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0， 即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－2,1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－6.28．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173， f (2)＝－103.可知最小值为－173.答案：－17329．已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． [自主解答] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k－1；当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.30．上题条件不变，求f (x )在区间[0,1]上的最大值．解：当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增． 所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (1)＝(1－k )e.当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最大值为f (0)和f (1)较大者．若f (0)＝f (1)，所以－k ＝(1－k )e ，即k ＝e e －1. 当1<k <e e －1时函数f (x )的最大值为f (1)＝(1－k )e ，当ee －1≤k <2时，函数f (x )的最大值为f (0)＝－k ，当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减． 所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (0)＝－k .综上所述，当k <ee －1时，f (x )的最大值为f (1)＝(1－k )e.当k ≥ee －1时，f (x )的最大值为f (0)＝－k .求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；31．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 解：(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 1＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.课后作业232．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解析：选A 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)． 33．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：选C 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )． 34．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为函数f (x )的极小值点． 35．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1解析：选A 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.36．若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：选A f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )． 37．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.38．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3. 答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)39．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 答案：－440．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________． 解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：441．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． 解：(1)∵f ′(x )＝2ax ＋bx . 又f (x )在x ＝1处有极值12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝12，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0. 解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x.由f ′(x )<0，得0<x <1； 由f ′(x )>0，得x >1.所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)， 单调增区间是(1，＋∞)．42．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值． 解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1， 故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13⎝⎛因x 2＝－13不在定 义域内，舍去．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3. 43．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3≥0在[1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)． ∴a 的取值范围为(－∞，3]． (2)∵f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，x ∈[1,5]， f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1<x <3时，f ′(x )<0，当3<x <5时，f ′(x )>0， 即当x ＝3时，f (x )取极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.44．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (1)＋f ′(1)＝0；选项D 中，f (1)>0，f ′(1)>0，不满足f ′(1)＋f (1)＝0.45．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎝⎛⎭⎫12，2D ．(－2,1)解析：选A 由F (x )＝xf (x )，得F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝xf ′(x )－f (－x )<0，所以F (x )在(－∞，0)上单调递减，又可证F (x )为偶函数，从而F (x )在[0，＋∞)上单调递增，故原不等式可化为－3<2x －1<3，解得－1<x <2.46．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 47．已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax (a ∈R)．(1)当a ＝0时，求f (x )的极值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)∵当a ＝0时，f (x )＝2ln x ＋1x ，f ′(x )＝2x －1x 2＝2x －1x2(x >0)，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数． ∴f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2－2ln 2，无极大值． (2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2(x >0)．①当a ≥0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数； ②当－2<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上是增函数； ③当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；④当a <－2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞和⎝⎛⎭⎫0，－1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上是增函数．导数的应用(二)48． 已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.(1)当a ＝－1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2ln x ＋x 2－1， f ′(x )＝2x ln x ＋3x .则曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝3，又f (1)＝0，所以切线方程为3x －y －3＝0. (2)f ′(x )＝2x ln x ＋(1－2a )x ＝x (2ln x ＋1－2a )，其中x ≥1.当a ≤12时，因为x ≥1，所以f ′(x )≥0，所以函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (1)＝0.当a >12时，令f ′(x )＝0，得x ＝e a －12.若x ∈[1，e a －12)，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在[1，e a －12)上单调递减．所以当x ∈[1，e a －12)时，f (x )≤f (1)＝0，不符合题意．综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．49．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )， 若x ＝0，则f ′(x )＝0；若x <0，则1－e x >0，所以f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，所以f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减． 故[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2，∴m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 故m 的取值范围为(－∞，2－e 2)． 50．（理科）已知函数f (x )＝e－kx·⎝⎛⎭⎫x 2＋x －1k (k <0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数k ，使得函数f (x )的极大值等于3e －2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f (x )的定义域为R. f ′(x )＝－k e －kx⎝⎛⎭⎫x 2＋x －1k ＋e －kx (2x ＋1)＝e－kx[－kx 2＋(2－k )x ＋2]，即f ′(x )＝－e－kx(kx －2)(x ＋1)(k <0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2k . 当k ＝－2时，f ′(x )＝2e 2x (x ＋1)2≥0， 故f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)． 当－2<k <0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，2k 和(－1，＋∞)，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k ，－1. 当k <－2时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)和⎝⎛⎭⎫2k ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，2k . (2)当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2.理由如下：当k ＝－2时，f (x )无极大值．当－2<k <0时，f (x )的极大值为f ⎝⎛⎭⎫2k ＝e －2⎝⎛⎭⎫4k 2＋1k ， 令e －2⎝⎛⎭⎫4k 2＋1k ＝3e －2，即4k 2＋1k ＝3， 解得k ＝－1或k ＝43(舍去)．当k <－2时，f (x )的极大值为f (－1)＝－e kk . 因为e k <e－2,0<－1k <12，所以－e k k <12e －2.因为12e －2<3e －2，所以f (x )的极大值不可能等于3e －2.综上所述，当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2.51．（理科）已知函数f (x )＝x －12ax 2－ln(1＋x )，其中a ∈R.(1)若x ＝2是f (x )的极值点，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x (1－a －ax )x ＋1，x ∈(－1，＋∞)．依题意，得f ′(2)＝0，解得a ＝13.经检验，a ＝13时，符合题意．故a ＝13.(2)①当a ＝0时，f ′(x )＝x x ＋1，由f ′(x )>0和f ′(x )<0，易得f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝1a －1.当0<a <1时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎭0，1a －1，单调递减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭1a －1，＋∞. 当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)． 当a >1时，－1<x 2<0，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭1a －1，0，单调递减区间是⎝⎭－1，1a －1和(0，＋∞)． ③当a <0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)． 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)；当0<a <1时，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a －1，单调递减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞； 当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)；当a >1时，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，0，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a －1和(0，＋∞)． (3)由(2)知a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由f (0)＝0，知a ≤0时不合题意．当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f ⎝⎛⎭⎫1a －1，由f ⎝⎛⎭⎫1a －1>f (0)＝0，知0<a <1时不合题意． 当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，可得f (x )在[0，＋∞)上的最大值是f (0)＝0，符合题意．所以f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0时，a 的取值范围是[1，＋∞)．52． 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[自主解答] (1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x <e 时，f ′(x ) >0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明：由(1)知[f (x )]min ＝1.又g ′(x )＝1－ln xx 2， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12.∴[f (x )]min －[g (x )]max >12.∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.(3)在本例条件下，是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3.因为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，当0<1a <e 时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上单调递增， 所以[f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； 当1a ≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减， [f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时a 不存在．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3.利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h (x )>0. 53．已知f (x )＝x ln x .(1)求g (x )＝f (x )＋kx (k ∈R)的单调区间； (2)证明：当x ≥1时，2x －e ≤f (x )恒成立． 解：(1)g (x )＝ln x ＋kx ， ∴令g ′(x )＝x －kx 2＝0得x ＝k . ∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0.∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0<x <k ， ∴增区间为(k ，＋∞)，减区间为(0，k )．(2)证明：设h (x )＝x ln x －2x ＋e(x ≥1)， 令h ′(x )＝ln x －1＝0得x ＝e ， h (x )，h ′(x )的变化情况如下：故h (x )≥0.即f (x )≥2x －e.课后作业354．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )解析：选A ∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0.则函数f (x )x 在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b.即af (b )≤bf (a )． 55．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( ) A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件D ．4百万件解析：选C 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．56．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)57．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)58．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．解：(1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x .∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x . ∵x ＞1，∴F ′(x )＜0.∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方． 59．已知函数(理)f (x )＝e x－m－x ，(文)f (x )＝1em e x －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 解：(1)依题意，可知f (x )在R 上连续，且f ′(x )＝e x －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m . 故当x ∈(－∞，m )时，e x －m<1，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，e x－m>1，f ′(x )>0，f (x )单调递增；故当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]． (2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0. ∵f (0)＝e－m>0，f (0)·f (m )<0，∴f (x )在(0，m )上有一个零点． 又f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m －2>0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0.∴f (m )·f (2m )<0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点． 故f (x )在[0,2m ]上有两个零点．60．已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ，x ∈[－2，t ](t >－2)．(1)当t <1时，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)设f (－2)＝m ，f (t )＝n ，求证：m <n .解：(1)f ′(x )＝(2x －3)e x ＋e x (x 2－3x ＋3)＝e x x (x －1)， ①当－2<t ≤0，x ∈[－2，t ]时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； ②当0<t <1，x ∈[－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(0，t ]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上，当－2<t ≤0时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2，t ]；当0<t <1时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2,0)，单调递减区间为(0，t ]． (2)证明：依题意得m ＝f (－2)＝13e －2，n ＝f (t )＝(t 2－3t ＋3)e t ，设h (t )＝n －m ＝(t 2－3t ＋3)e t －13e －2，t >－2，h ′(t )＝(2t －3)e t ＋e t (t 2－3t ＋3)＝e t t (t －1)(t >－2)． 故h (t )，h ′(t )随t 的变化情况如下表：由上表可知h (t )的极小值为h (1)＝e －13e 2＝e e2>0，又h (－2)＝0，故当－2<t <0时，h (t )>h (－2)＝0，即h (t )>0，因此，n －m >0，即m <n .61．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14.(1)求f (x )的单调区间；(2)令g (x )＝－x 2＋2x ＋k ，若对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ，∵f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝4，f ′(2)＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧ 8－6a ＋b ＝4，12－3a ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 由f ′(x )>0，得x <－1或x >1； 由f ′(x )<0，得－1<x <1.故函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)；单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)． (2)由(1)知，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增． 又f (0)＝2，f (2)＝4，有f (0)<f (2)，∴函数f (x )在区间[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝4. 又g (x )＝－x 2＋2x ＋k ＝－(x －1)2＋k ＋1，∴函数g (x )在[0,2]上的最大值为g (x )max ＝g (1)＝k ＋1. ∵对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)<f (x 2)成立， ∴有f (x )max <g (x )max ，则4<k ＋1，即k >3. 故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．62．设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R.(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围． 解：(1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝1x －1.由f ′(x )＝1x －1>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px . 由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0， 即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意； ②当－12<p <0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫1，－12p ，则ln x >0，1＋2px >0， 从而g ′(x )＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫1，－12p 上单调递增，从而存在x 0∈⎝⎛⎭⎫1，－12p 使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意；③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意． 综上所述，实数p 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12.集合与常用逻辑用语 函数、导数及其应用一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x ，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4。

导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。

本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。

二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。

2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。

3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。

三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。

2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。

3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。

4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。

5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。

四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。

2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。

3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。

4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。

五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。

2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。

3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。

六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。

高中数学导数应用问题教案
主题：导数的应用问题
教学目标：
1.了解导数的定义及其应用；
2.掌握常见的导数应用问题求解方法；
3.能够运用导数解决实际问题。

教学重点：
1.导数的定义及性质；
2.导数在实际问题中的应用。

教学难点：
1.如何将实际问题转化为导数问题求解；
2.如何运用导数解决各类应用问题。

教学准备：
1.教师准备相关教学资料和案例；
2.学生准备笔记和计算工具。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师用一个实际问题引入导数的应用，引导学生思考导数在解决实际问题中的作用。

二、概念讲解（10分钟）
1.复习导数的定义及性质；
2.介绍导数在实际问题中的应用，如最速下降问题、最大最小问题等。

三、案例分析（15分钟）
教师以实际问题为例，分析导数应用问题的解题思路和方法，并带领学生一起解决一些简单的案例。

四、练习与讨论（15分钟）
1.学生进行导数应用问题的练习，教师提供帮助和指导；
2.学生分组讨论解题过程，分享解题方法和经验。

五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调导数在实际问题中的应用重要性。

六、作业布置（5分钟）
布置相关的导数应用问题作业，希望学生能够独立完成并加强对应用问题的理解和掌握。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的应用有了更深入的了解，同时也能够更加灵活地应用导数解决各类实际问题。

希望学生能够在课下多加练习，进一步提高解题能力和运用能力。

高中数学导数的应用教案
教学目标：学生能够理解导数的概念，掌握导数在实际问题中的应用，并能够运用导数解决相关问题。

教学重点和难点：掌握导数在实际问题中的应用。

教学准备：教师准备课件、实例题目，学生准备笔记本、笔。

教学过程：
一、导入（10分钟）
通过一个生活实例引入导数的概念，让学生初步了解导数在实际中的意义。

二、概念讲解（15分钟）
1. 温故导数的定义和性质；
2. 导数的应用领域；
3. 导数在实际问题中的意义和作用。

三、实例分析（20分钟）
教师通过实例问题，引导学生运用导数进行问题求解，如最值问题、速度问题等。

四、练习（15分钟）
让学生在课堂上进行练习题目，加深对导数应用的理解。

五、总结（10分钟）
通过讨论和总结，让学生掌握导数在实际问题中的应用方法，并复习导数的相关概念。

六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识。

教学反思：
通过实例讲解和练习，能够有效帮助学生掌握导数在实际问题中的应用方法。

同时，通过讨论和总结，可以使学生更深入地理解导数的概念和性质。

高中数学导数及其应用教案教学目标：1. 理解导数的定义和性质，能够计算常见函数的导数。

2. 掌握导数在函数求极限、判定函数的增减性和凹凸性等方面的应用。

3. 能够解决实际问题中的优化和相关性问题。

教学内容：1. 导数的定义和性质2. 基本函数的导数3. 高阶导数4. 函数的导数应用：求极限、判定增减性和凹凸性5. 优化问题和相关性问题的求解教学流程：1. 导数的定义和基本性质的介绍（15分钟）- 导数的定义- 导数的性质：线性性、乘积法则、商法则、链式法则2. 基本函数的导数计算（20分钟）- 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数计算- 三角函数的导数计算3. 高阶导数和导数的应用（25分钟）- 高阶导数的定义和计算- 导数在函数的极限、增减性和凹凸性判定中的应用4. 优化问题和相关性问题的解决（20分钟）- 优化问题的定义和解决方法- 相关性问题的建模和解决方法教学方法：1. 讲解导数的定义和性质，引导学生理解概念并掌握基本计算方法。

2. 练习基本函数的导数计算，帮助学生巩固知识。

3. 引导学生理解高阶导数和导数在函数中的应用，培养学生应用知识解决问题的能力。

4. 练习优化问题和相关性问题，让学生通过实际问题感受导数在解决问题中的作用。

教学评估：1. 布置作业，巩固学生对导数的理解和应用能力。

2. 定期组织小测验，检验学生对导数相关知识的掌握程度。

3. 课堂中提问和讨论，评估学生对导数的理解程度。

教学资源：1. PowerPoint课件：导数的定义和基本性质、基本函数的导数计算、高阶导数和导数的应用、优化问题和相关性问题的解决。

2. 习题册：导数相关习题，巩固学生对导数的掌握。

教学反思与总结：教师在教学导数及其应用过程中，要注意引导学生理解概念、掌握计算方法，并注重培养学生的问题解决能力。

通过多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。

及时总结分析教学过程中出现的问题和不足，不断完善教学内容和方法，提升教学质量。

人教版高中数学导数的应用教案2023教案：人教版高中数学导数的应用一、教学目标通过本节课的学习，使学生能够：1. 了解导数的概念及其在数学问题中的应用；2. 学习常见函数的导数求解方法；3. 掌握导数在函数图像的刻画中的应用；4. 运用导数解决实际问题。

二、教学重难点1. 重点：导数的概念及其应用；2. 难点：运用导数解决实际问题。

三、教学过程1. 导入（5分钟）通过引入一个简单的实际问题，激发学生对导数的兴趣和应用价值。

2. 提出问题（10分钟）通过一系列问题的提出与讨论，引出导数的概念，激发学生的思考。

3. 导数的定义与求解（20分钟）讲解导数的定义及其求解方法，并通过一些例题进行说明和练习。

4. 导数与函数图像（15分钟）介绍导数与函数图像的关系，如导数的正负值与函数的增减性、导数为零点与函数的极值等，并通过相关例题加深理解。

5. 导数的应用（30分钟）a. 最值问题：讲解如何通过导数求解函数的最值问题，并结合实际问题引导学生运用所学方法。

b. 曲线的切线与法线：引入曲线的切线与法线的概念，介绍切线斜率等于导数的方法，并通过例题进行演示和练习。

c. 变率问题：引导学生思考变率的概念与导数的联系，并通过具体问题引导学生应用导数解决变率问题。

6. 小结与拓展（5分钟）对本节课的内容进行小结，并提供一些延伸问题供学生进一步思考和拓展。

四、教学手段1. 板书：概念定义、例题解析、解题思路等重点内容；2. 图片展示：通过图示形象化地表达导数与函数图像的关系，激发学生的视觉感受；3. 实例演练：通过一些实际问题的演示和讨论，引导学生运用所学知识解决问题。

五、教学评价1. 课堂练习：针对每个环节，设置相应的练习题，检验学生对所学知识的掌握情况；2. 课堂互动：通过提问、讨论等方式，了解学生对导数概念的理解和应用能力。

六、教学反思本节课通过问题引入、理论讲解、例题练习等多种教学手段，使学生在掌握导数的概念的同时，能够将其应用于实际问题的解决中。

导数的应用教案教案标题：导数的应用教案目标：1. 理解导数的概念及其在数学中的应用；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够运用导数解决实际问题。

教案步骤：1. 引入导数的概念（10分钟）a. 通过简单的图形和实例引导学生思考函数的变化率；b. 解释导数的定义：导数表示函数在某一点的变化率，即函数曲线在该点的切线斜率。

2. 计算导数的方法（15分钟）a. 回顾求导法则，包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商法则；b. 通过例题演示如何应用这些法则计算导数；c. 强调使用导数的基本运算规则简化计算过程。

3. 导数在函数图像上的应用（15分钟）a. 解释导数与函数图像的关系：导数为正表示函数递增，导数为负表示函数递减，导数为零表示函数存在极值点；b. 引导学生通过观察函数图像，确定函数在不同区间上的增减性和极值点。

4. 导数在最优化问题中的应用（20分钟）a. 介绍最优化问题的概念：通过求解导数为零的方程确定函数的最大值或最小值；b. 通过实际问题（如最大面积、最小成本等）引导学生运用导数解决最优化问题；c. 提醒学生在解决问题时考虑边界条件和实际意义。

5. 实践应用练习（20分钟）a. 提供一些练习题，包括计算导数、分析函数图像和解决最优化问题；b. 鼓励学生独立解答，并提供必要的指导和帮助；c. 针对学生容易出错的地方进行重点讲解和澄清。

6. 总结与反思（10分钟）a. 总结导数的应用领域和方法；b. 鼓励学生分享他们在实践应用中的体验和困惑；c. 解答学生提出的问题，并给予必要的指导和建议。

教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度；2. 练习题表现：评估学生在实践应用练习中的解题能力；3. 反馈问答：通过回答学生的问题，评估他们对导数应用的理解程度。

教案扩展：1. 深入研究导数的几何意义和物理应用；2. 引导学生进行导数的相关研究项目，如导数在经济学、工程学等领域的应用；3. 探索更高阶导数的概念和应用。

3.3.3 导数的实际应用学习目标利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．学习重点利用导数知识解决实际中的最优化问题．学习难点将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．课前复习1．极大值与极小值的定义．2．求可导函数)(x f y =极值的步骤．3. 求可导函数)(x f y =在a [,]b 上的最值的步骤． 合作探究在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。

导数是解决这类问题的基本方法之一。

现在，我们研究几个典型的实际问题。

例1 有一块边长为a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？例2 矩形横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比.要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？dhx课堂总结本节课你都学习了哪些内容？你有什么收获？利用导数解决优化问题的基本思路是什么？练习检测1．用长度为l 的铁丝围成长方形，求围成的最大面积.2．做一个容积为216mL 的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？3．等腰三角形的周长为2p ，问这个等腰三角形围绕底边旋转一周所成的几何体的体积最大时，各边长分别是多少？4．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p ＝24200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50000＋200x (元)．问该厂生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？5．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为多少时，材料最省？6．一正方形内接于另一固定的正方形（顶点分别在四边上），问内接正方形的一边与固定正方形的一边夹角取什么值时，内接正方形的面积最小？课后作业教材P102习题3-3 A 6, 7．。

(1)能根据导数定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(3)掌握常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算公式．学习过程：一 知识梳理：1．几种常见函数的导数: (1) C ′＝ (C 为常数)； (2)(x n )′＝ (n ∈Q *)；(3)(sinx)′＝ (4)(cosx)′＝ ；(5)(e x )′＝ ； (6)(a x )′＝ (a>0且a ≠1)；(7)(lnx)′＝ ； (8)(log a x)′＝ (a>0且a≠1)．2．导数运算法则:(1)[f(x)±g(x)]′＝ ； (2)[f(x)·g(x)]′＝ ；(3)[f(x)g(x)]′＝ ． 注：（特别是商的求导法则，求导过程中符号易判断不清，导致错误．）3．运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导数的基本步骤：(1)分析函数y ＝f (x )的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果．二．问题探究：1.求下列函数的导数：(1)522123+--=x x x y x x y ln 2)2(2-= (3) x x y 23log += （4）xx y sin cos = (5) x x x y sin cos -= （6）x x y sin 4cos 3-=2．已知f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于 。

3．(教材习题改编)已知f(x)＝13－8x ＋x 2，且2)(0'=x f .则0x ＝________.4.已知函数x x y ln =，求这个函数的图像在点x=1处的切线方程。

5．已知点P 和点Q 是曲线322--=x x y 上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q的横坐标是4；求：①割线PQ 的斜率，②点P 处的切线方程。

高二数学导数的应用（一）学案（一）学习目标：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间、②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值、重点难点：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间和函数的极大值、极小值。

基础梳理：1、函数的单调性与导数在区间内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果，那么函数为该区间上的增函数、如果，那么函数为该区间上的减函数、用导数研究函数的单调性其一般步骤为：（1）确定函数y=f（x）的定义域；（2) 求导数；(3)在函数f（x）的定义域内解不等式>0和<0；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间、2、函数的极值（1）定义：如果在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有____，则称函数f（x）在点x=x0处取得极大值，记作____，如果在x0附近都有____，则称函数f（x）在点x=x0处取得极小值，记作__ __，和统称为极值、（2）求函数极值的方法解方程,当时，① 如果在附近左侧，右侧，那么是极大值、② 如果在附近左侧，右侧，那么是极小值、求函数极值的步骤：(1)求导数、(2)求方程=0的所有实数根、(3)观察在每个根x0附近，从左到右，如果的符号由正变负，则f（x0）是极大值；如果由负变正，则f（x0）是极小值；如果的符号在x0的两侧附近相同，则函数f（x）在点x=x0处不存在极值、3、设函数在某个区间内有导数，用填空：（1）在上递增(递减)(2)在上递增(递减)（3）都不恒等于0 在上递增(递减)热身练习1、（xx江苏卷）函数的单调减区间为、2、函数的极小值是。

3、函数，已知在时取到极值，则、4、函数的单调递减区间是。

（选修1-1习题2(2)改编）5、已知有极大值和极小值，则的取值范围为。

6、已知可导函数的导函数的图象如右图所示，给出下列四个结论：①是的极小值点；②在上单调递减；③在上单调递增；④在上单调递减，其中正确的结论是、（写出所有正确结论的编号）典例导航例1设函数，已知是奇函数。

人教版高二《导数的应用》数学教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了人教版高二«导数的运用»数学教案，希望能给大家带来协助!第三章导数运用3.1 函数的单调性与极值3.1.1 导数与函数的单调性学习目的：1、了解导数正、负与函数单调性之间的关系;2、能应用导函数确定函数的单调区间重点、难点：应用导函数求单调性自主学习(1) 对恣意，有，那么在区间内(2) 对恣意，有，那么在区间内协作探求资源网例1、确定函数在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数?例2、确定函数在哪些区间上是增函数。

例3、确定函数的单调区间。

例4、证明：当时，有。

练习反应1、确定以下函数的单调区间(1) (2)2、讨论函数的单调性：(1)(2)(3)3、用导数证明：(1) 在区间上是增函数;3.1.2 函数的极值学习目的：1、掌握函数极值点的定义与求解步骤;2、体会导数方法在研讨函数性质中的普通性与有效性。

重点、难点：应用导数求极大、极小值自主学习1、极大值2、极小值3、极值与导数之间的关系：(1)极大值与导数的关系：左侧右侧增加(2)极小值与导数的关系：左侧增加极小值添加例1、求函数的极值。

例2、求函数的极值。

练习反应1、求以下函数的极值：2、设函数有极小值、极大值，一定小于吗?试作图说明。

3、作出契合以下条件的函数图像(1) 时，时， ;3.2 导数在实践效果中的运用3.2.1 实践效果中导数的意义学习目的：1、掌握解运用题的思绪与方法，能剖析出变量间的关系，树立起函数模型，确定自变量的定义域。

2、能用导数的知识对实践效果求解。

重点、难点：1、树立起函数模型，确定自变量的定义域。

2、用导数的知识对实践效果求解自主学习解运用题的思绪与方法：1、审题：了解题意，剖析效果的主要关系2、建模：3、求解：求得数学效果的解4、反应：例1、在边长为60厘米的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大?最大容积是多少?例2、某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，使得所用资料最省?例3、在平面直角坐标系内，过点(1，4)引不时线，使它与两坐标轴上的截距都为正，且两截距之和最小，求这条直线的方程。

“导数的应用”学案蒋德亮（山东省临沭县第二中学）一、学习目标1．会用导数求函数的单调区间或者判断函数的单调性． 2．会用导数求函数给定区间上的极值和最值．二、诊断补偿2.思考：利用导数可以解决哪些问题？三、问题解决应用一：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性思考：尝试应用：典例析与练:'()()'()()f x f x y f x y f x ==设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）.5223π(23)(2)ln(1)(3)(4)sin(2)3x y x y x y ey x --=+=+==+11．求下列函数的导数:（）；；；．()(,)f x a b 1.函数在区间内,'()0f x >⇒'()0f x <⇒()(,)f x a b 2、函数在区间内,()(,)f x a b ⇒在内单调递增()(,)f x a b ⇒在内单调递减提示：先求导函数，再求不等式'()0f x >或'()0f x <的解集．跟踪练习：应用二：用导数求函数给定区间上的极值和最值思考1：思考2：求函数f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤：典例析与练：3.()31(0),().f x x ax a f x =--≠例1已知函数求函数的单调区间cos sin .π3π3π5πA. (,) B. (π,2π) C. (,) D. (2π,3π)2222y x x x =-函数在下面哪个区间内是增函数( )()1,,,,,,,2()3()456y f x a b d e fghi y f x y f x ===如图，（）函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？（）在这些点的导数值是多少？（）在这些点附近，的导数的符号有什么规律？（）极小值是不是就是最小值？（）极大值是不是就是最大值？（）极小值一定比极大值小吗？提示：先求'()0f x =的解0x ，再判断0x 两侧的导函数的正负，确定极值，再求端点值，最后比较极值和端点值． 跟踪练习：()()()[]3239122,220,f x x x x a f x f x =-+++-2、已知函数，（）求的单调递减区间；（）若在区间上的最大值为求它在该区间上的最小值．四、能力提高3222()()1:310,3(),,()f x x ax bx c y f x x l x y x y f x a b c f x =++==-+===例．已知函数+,曲线在点处的切线为若时,有极值.（1）求的值；（2）求在[-3,1]上的最大值和最小值.()()y f x y f x '==1.如果函数的图象如图所以，那么导函数的图象可能是（ ）.1.()0,()y f x y f x ==函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ）.A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.必要不充分条件2.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）.A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④322.(),1,4()3.2s t t bt ct d t s t d d =+++⎡⎤∈<⎢⎥⎣⎦4已知某质点的运动方程为下图是其运动轨迹的一部分，若时，恒成立，求的取值范围五、知识网络构建六、分层作业（一）基础作业3()3(0)62()f x x ax b a f x =-+>3.函数的极大值为，极小值为，则的减区间是（ ）.A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D.(-2,-1)32()91(0)()12612()f x x ax x a y f x x y a f x =+--<=+=1．设函数，若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求：（）的值；（）函数的单调区间.（二）能力作业0023()2ln ,1()1,,21[,2]()0.4()(0,)7.389,20.08)bf x ax x x f x x x x f x c c b a f x a e e =-+==-≤=+∞≈≈2.设函数（1）若在处取得极值求a,b 的值；在存在，使得不等式成立，求的最小值（2）当时，若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据① ②。

《导数的应用》教学设计一、教学目标：1.通过导数的应用，能够应用导数求函数的极值；2.能够应用导数求函数的最大值和最小值；3.了解导数在经济学、物理学和生物学中的应用。

二、教学重点和难点：1.函数极值的应用；2.函数最大值和最小值的应用；3.导数在实际问题中的应用。

三、教学资源：1.教材：高中数学教材；2.教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器等。

四、教学步骤：1.导入（10分钟）通过提问带入情境，引导学生思考导数的概念和作用，例如：如果已知汽车的速度恒定为60公里/小时，是否能够推断出汽车行驶了多少时间？如果已知汽车的位置随时间的变化规律，能否推断出汽车的速度？针对这些问题，引导学生理解导数的概念并介绍导数的定义。

2.讲解（30分钟）根据教材内容，系统讲解导数的基本概念和性质，包括导数的定义、导数的几何意义、导数的计算方法等。

重点讲解导数在函数极值和函数最大值最小值中的应用，引导学生理解导函数的意义和应用方法。

3.实例讲解（30分钟）通过多个实际问题的讲解，引导学生掌握导数在实际问题中的应用。

例如：（1）已知物体从起点出发的运动方程为$s(t)=4t^3-6t^2+2t+1$，求物体运动的速度函数和加速度函数，并分析物体的运动状态。

（2）房子的月租金是租期的函数，已知房租每年递增2%，如果租期为5年，求房租的最低值和最高值。

通过实例讲解，让学生对导数的应用有更深刻的理解，并能灵活运用导数解决问题。

4.练习（30分钟）分发练习题，让学生独自完成。

练习题包括各类导数应用题，如求函数的极值、最大值和最小值等。

在练习中，教师可设置多道思维拓展题，培养学生的创新思维。

5.汇总（10分钟）将练习题的解答进行汇总，对学生的解答进行点评，纠正错误和解释相关知识点。

总结导数的应用，强调导数的重要性，并展示导数在其他学科中的应用，激发学生对导数的兴趣。

五、教学反思：通过本节课的教学，学生对导数的应用问题有了初步了解，能够应用导数解决实际问题。

导数的应用教案导数的应用教案一、教学目标：1.了解导数的概念及其意义；2.掌握导数的计算方法；3.能够应用导数解决实际问题。

二、教学内容：1.导数的概念及其意义；2.导数的计算方法；3.导数的应用实例。

三、教学过程：1.导入导数概念：教师通过提问方式引导学生回顾前面学习的知识，了解函数的极限与导数之间的关系，并引入导数的概念。

教师可以通过举例说明导数的概念，如汽车行驶距离与时间的关系等。

2.导数的计算方法：教师介绍导数的计算方法，包括极限定义、导数公式和导数性质等，并通过具体的例子进行讲解，如多项式函数的导数计算等。

3.导数的应用实例：教师通过实际问题让学生应用导数解决实际问题，如求函数的最值、判定函数的增减性、判定函数的凸凹性等。

教师可以先进行概念讲解，然后给出具体的应用实例，让学生进行分析和解答。

4.教学巩固与拓展：教师进行导数的应用拓展，让学生了解导数在其他领域的应用，如物理学中的速度与加速度、经济学中的边际产量与边际成本等，并进行讲解和讨论。

四、教学方法：1.导入法：通过导入问题或例子引发学生思考，激发学生学习兴趣。

2.讲解法：通过讲解导数的概念和计算方法，使学生掌握相关知识。

3.示范法：通过示范具体例题，帮助学生理解和掌握导数的应用方法。

4.讨论法：通过学生的互动讨论，加深对导数应用的理解和掌握。

五、教学资源：1.课件：包括导数的概念、计算方法及应用实例的课件。

2.习题集：提供导数的应用习题，帮助学生巩固和拓展知识。

六、教学评价：1.课堂练习：提供一定数量的导数应用题，检查学生的掌握情况。

2.作业：布置一定数量的导数应用题，供学生进行复习和巩固。

3.学生评价：通过学生对教学过程的反馈和教师的观察，对教学效果进行评价。

七、教学反思：通过开展导数的应用教学，学生能够进一步理解导数的概念、计算方法及其在实际问题中的应用，从而提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

同时，教师应根据学生的实际情况和兴趣，合理安排教学内容和方法，提高教学效果。

导数的应用教案教案1: 导数的应用——相关变化率教学目标:1. 理解导数的意义，能够解释导数代表相关变化率的含义。

2. 能够在实际问题中应用导数求解相关变化率。

3. 能够在实际问题中应用导数解决最优化问题。

教学准备:1. 教师准备相关变化率和最优化问题的实际应用例题，如某物体运动的速度和加速度问题，总收益和销售量的关系问题等。

2. 准备计算导数和求解最优化问题的手段和方法。

教学过程:引入：1. 导入相关变化率的概念，引导学生思考在我们日常生活中有哪些变量之间存在相关变化的情况，并了解相关变化率的重要性。

2. 引入导数的概念，解释导数代表相关变化率的含义，即导数表示因变量相对于自变量的变化速率。

探究：1. 通过实例和图形直观理解导数的概念，包括斜率、切线、变化率等。

2. 让学生进行实际问题的探究，如给定一个函数表达式，利用导数求解相关变化率的具体问题。

3. 引导学生通过具体实例，进一步理解导数的应用，如速度和加速度的关系问题。

拓展：1. 引导学生应用导数解决最优化问题，比如通过导数求解某函数的最大值、最小值等问题。

2. 引导学生思考一些实际问题，如制作某个产品的成本、利润与销售量的关系，利用导数求解最优销售量等实际问题。

实践：1. 组织学生分组完成一些实际问题的探究和求解，让学生练习运用导数求解实际问题。

2. 学生通过小组展示和分享，互相学习和交流，提高对导数应用的理解和掌握程度。

总结：1. 归纳和总结导数的应用领域，通过概念总结和案例分析，强化学生对导数应用的理解。

2. 提醒学生导数应用的实际意义和重要性，鼓励学生在日常生活中运用导数的方法和思想解决问题。

课后作业:1. 完成课后练习题，巩固导数应用的知识和技能。

2. 搜集相关应用实例，了解和探究更多的导数应用领域。

3. 思考导数应用的局限性和拓展方向，形成个人的思考和见解。

高二数学导数的应用问题教案利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［a,b］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用.●难点磁场(★★★★★)已知f(x)=x2+c,且f［f(x)］=f(x2+1)(1)设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；(2)设φ(x)=g(x)－λf(x),试问：是否存在实数λ,使φ(x)在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数.●案例探究［例1］已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入.是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解.属★★★★★级题目.知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化.这是解答本题的闪光点.错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f′(±1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍.技巧与方法：考查函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x=±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值.解：(1)f′(x)=3ax2+2bx+c∵x=±1是函数f(x)的极值点，∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-1332acab又f(1)=－1,∴a+b+c=－1, ③由①②③解得a=23,0,21==cb,(2)f(x)=21x3－23x,∴f′(x)=23x2－23=23(x－1)(x+1)当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0当－1＜x＜1时，f′(x)＜0∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数.∴当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1.［例2］在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？命题意图：学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.知识依托：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解.错解分析：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式.技巧与方法：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则∵BD=40,AC=50－x,∴BC=222240+=+xCDBD①②又设总的水管费用为y 元，依题意有： y =30(5a －x )+5a 2240+x (0＜x ＜50) y ′=－3a +22405+x ax ,令y ′=0,解得x =30在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x =30(km)处取得最小值，此时AC =50－x =20(km) ∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. 解法二：设∠BCD =Q ,则BC =θsin 40,CD =40cot θ,(0＜θ＜2π),∴AC =50－40cot θ 设总的水管费用为f (θ),依题意，有f (θ)=3a (50－40·cot θ)+5a ·θsin 40=150a +40a ·θθsin cos 35-∴f ′(θ)=40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a 令f ′(θ)=0,得cos θ=53根据问题的实际意义，当cos θ=53时，函数取得最小值，此时sin θ=54,∴cot θ=43,∴AC =50－40cot θ=20(km),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. ●锦囊妙计1.f (x )在某个区间内可导，若f ′(x )＞0,则f (x )是增函数；若f ′(x )＜0,则f (x )是减函数.2.求函数的极值点应先求导，然后令y ′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y =x 3,当x =0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y ′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.3.可导函数的最值可通过(a ,b )内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y =|x |,在x =0处不可导，但它是最小值点.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f (x )可导，且f ′(0)=0,又xx f x )(lim 0'→=－1,则f (0)( ) A.可能不是f (x )的极值 B.一定是f (x )的极值 C.一定是f (x )的极小值D.等于02.(★★★★)设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n(n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( ) A.0B.1C.nn )221(+-D.1)2(4++n n n 二、填空题3.(★★★★)函数f (x )=log a (3x 2+5x －2)(a ＞0且a ≠1)的单调区间_________.4.(★★★★)在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题5.(★★★★★)设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 6.(★★★★)设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x =1,x =2是函数f (x )的极大值还是极小值，并说明理由.7.(★★★★)已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e ,其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a. 8.(★★★★)设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β(α＜β),函数f (x )=142+-x ax . (1)求f (α)·f (β)的值；(2)证明f (x )是［α，β］上的增函数；(3)当a 为何值时，f (x )在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？［科普美文］新教材中的思维观点数学科学具有高度的综合性、很强的实践性，不断的发展性，中学数学新教材打破原教材的框架体系，新增添了工具性、实践性很强的知识内容，正是发展的产物.新教材具有更高的综合性和灵活多样性，更具有朝气与活力，因此，把握新教材的脉搏，培养深刻严谨灵活的数学思维，提高数学素质成为燃眉之需.新教材提升与增添的内容包括简易逻辑、平面向量、空间向量、线性规划、概率与统计、导数、研究型课题与实习作业等，这使得新教材中的知识内容立体交叉，联系更加密切，联通的渠道更多，并且富含更高的实用性.因此在高考复习中，要通过总结、编织科学的知识网络，求得对知识的融会贯通，揭示知识间的内在联系.做到以下几点：一、深刻领会数学思想方法，把立足点放在提高数学素质上.数学的思想方法是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题与解决问题的能力，才能形成数学的素质.知识是能力的载体，领悟并逐步学会运用蕴含在知识发生发展和深化过程中，贯穿在发现问题与解决问题过程中的数学思想方法，是从根本上提高素质，提高数学科能力的必由之路，只有通过对数学思想方法的不断积累，不断总结经验，才能从知识型向能力型转化，不断提高学习能力和学习水平.二、培养用化归（转化）思想处理数学问题的意识.数学问题可看作是一系列的知识形成的一个关系链.处理数学问题的实质，就是实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，实现未知向已知的转化。

第八讲导数的应用一．课时目标1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系；2.能够利用导数研究函数的单调性；.会求函数的单调区间.3.理解极值的有关概念．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．4.会用导数求函数的极大值和极小值.5.能够区分极值与最值两个不同的概念．6.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).二．重点难点1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点)2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系．(难点).3.利用导数求函数的极大值、极小值．(重点)4.导数等于0的点与极值点的关系．(易混点)5.有关函数的最值问题．(重点),6.最值与函数的极值．(易混点)三．知识梳理1．函数的单调性：在(a，b)内可导函数f (x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.则有：f ′(x)≥0⇔f (x)为 f ′(x)≤0⇔f (x)为2．函数的极值：(1)判断f (x0)是极值的方法，一般地，当函数f (x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f (x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f (x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求f ′(x)；②求方程的根；③检查f ′(x)在方程的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得. 3．函数的最值：(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．(3)设函数f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x)在(a，b)内的；②将f (x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4．生活中的优化问题：解决优化问题的基本思路是：优化问题―用函数表示数学问题 用导数解决数学问题四正本清源1．f ′(x)>0在(a，b)上成立是f (x)在(a，b)上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ′(x)>0(或f ′(x)<0)仅是f (x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(a，b)内可导的函数f (x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f ′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f (x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f ′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f ′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f (x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ′(x)不恒为0，则由f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立解出的参数的取值范围确定．五．典例分析题型一函数的单调性与导数例1 已知f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．思维启迪：(1)通过解f′(x)≥0求单调递增区间；(2)转化为恒成立问题，求a.探究提高在区间内f ′(x)>0 (f ′(x)<0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分条件而不是必要条件，如果出现个别点使f ′(x)＝0，不会影响函数f (x)在包含该点的某个区间上的单调性．一般地，可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0 (f ′(x)≤0)，且f ′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零．特别是在已知函数的单调性求参数取值范围时，要特别注意“＝”是否可以取到．变式训练1已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x (x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围题型二函数的极值与导数例2已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．思维启迪(1)单调区间即为f′(x)>0，f′(x)<0的解区间．(2)f′(x)的零点在(2,3)内至少有一个．探究提高(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2)本题的易错点为不对1－a2讨论，致使解答不全面．变式训练2 设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx (x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．(1)求b、c的值；(2)求g(x)的单调区间与极值．题型三函数的最值与导数例3已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．思维启迪：先求函数的极值，然后再与端点值进行比较确定最值．探究提高在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f (x)在[a，b]内所有使f ′(x)＝0的点，再计算函数y＝f (x)在区间内所有使f ′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．变式训练3已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3、最小值－29？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．题型四生活中的优化问题例4某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？(2)年销售量关于x 的函数为s ＝3 240⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时,本年度的年利润最大？最大利润为多少？ 思维启迪：(1)建立本年度的利润函数解析式，构造不等式求解．(2)建立本年度利润的函数解析式，运用导数研究最大值．探究提高 利用导数解决生活中的优化问题时：(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间．(2)一定要注意求得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去．(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．变式训练4 用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？六 家庭作业1.若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．92，函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）3，（2011年山东理高考题9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是4.函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可 能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 45.函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值. 6.设()1x e f x ax =+，其中a 为正实数（Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a的取值范围。

第39课时导数在实际生活中的应用（2）自主导学导数在实际生活中的应用主要在、、等方面，用于解决有关最大值或最小值问题，一般地，应该先建立目标函数，再转化成前面用导数求函数最值问题.合作探究1.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝4200－x24500，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．2.在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)-C(x)称为利润函数，记为P(x).(1)如果C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000，那么生产多少单位产品时，边际成本C´(x)最低？(2)如果C(x)=50x+10000，产品单价为p(x)=100-0.01x，那么怎样定价可使利润最大？3.甲、乙两地相距100km ，汽车从甲地以速度v （km/h ）匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为80000元，可变成本与速度v 的平方成正比，比例系数为k(k>0).(1)当k=12.5时，为使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？(2)在条件（1）下，由于甲、乙两地间的道路需要维护，车速v 不得超过60（km/h ），为使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？(3)甲、乙两地间的道路需要维护，车速v 被限制在[40,60]（km/h ）内，为使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？回顾反思1.体会建构函数模型解决实际问题的基本思路；2.对于函数()(0,0)a f x x a x x=+>>，设其定义域为[m ，n]，求函数最小值时，（1[,]m n ，则可直接使用基本不等式求得最小值；（2[m,n]不能确定，则需分类讨论，且用导数证明单调性.当堂检测1.一杯80o C 的热茶值置于桌面上，热茶的温度T （o C ）随着时间t 的增加而逐渐下降，设T 与t 的函数关系为T=f(t)，则f ´(3)=-3的实际意义是.2.某市在一次降雨过程中,降雨量()y mm 与时间(min)t 的函数关系可近似地表示为()y f t ==则在时刻40min t =的降雨强度为.3.（2010江苏卷第14题）将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是.1。