21.2.2《二项式系数的性质》教案

"二项式系数的性质"教案教学目标：1、德育渗透：介绍辉三角，加强爱国主义教育。

2、知识目标：掌握二项式系数的性质,进一步认识组合数、组合数的性质.会应用二项式系数的性质解决一些简单问题。

运用函数观点分析处理二项式系数的性质.3、能力目标：通过对问题的尝试、探究加强对学生观察、归纳、发现能力的在培养。

教学重点：二项式系数的性质教学难点：二项式系数的性质2教学过程：证明、贾两人成就的唯一证据。

"永乐大典"是极其珍贵的国宝，然而1900 年，八年联军侵占，把翰林院中的"永乐大典"残本掠走，运往英国。

后来，中国数学家俨的外国朋友在英国见到"永乐大典"残本，拍下了记载‘辉三角’容的文字，并把照片寄给俨，这段历史才得以证实，我们今天的数学课本中也才能堂堂正正地写上‘辉三角’。

但是可惜的是，"永乐大典"的残本至今未能回到祖国的怀抱。

二、尝试：〔提出问题尝试解决〕辉三角既然是二项式系数表我们就可以用辉三角来研究二项式系数的性质。

提问：还可以用什么方法研究它的性质。

提问：如何来做图象。

提问：观察图象有何性质.为什么会有这种性质。

提问：能否用语言总结一下.提问：能否证明.提问：下面我们继续观察图象，还可以发现学生预习得出：函数图象可以形象，直观反响性质，我们还可以用函数图象来研究二项式的系数。

学生讨论后答复：r可以看成以r为自变量的函数f〔r〕，其定义域是｛0,1,···,n｝。

当n=6时，它的图象如图。

观察图表及图象得出：对称性。

这是二项式系数的性质1。

学生总结：生：在二项展开式中，与首末两端"等距〞的两项的二项式系数相等。

学生证明：有组合数性质r=n-r得到。

答复：多媒体给出图象给出学生确实定函数的过程。

多媒体给出图表。

北师大版选修2《二项式系数的性质》教案及教学反思一、教学目标1. 知识目标：了解二项式系数的定义，掌握二项式系数的计算公式，掌握二项式系数的基本性质。

2. 能力目标：培养学生的逻辑思维和运算能力。

3. 情感目标：培养学生对于数学思想的兴趣和热爱，增强学生数学信心。

二、教学重难点重点：1.二项式系数的定义 2.二项式系数的计算公式 3. 二项式定理的证明难点： 1. 二项式系数的递推公式的推导2.证明二项式定理的几种方法 三、教学内容1. 二项式系数的定义定义：对于非负整数 n 和 k ，二项式系数 C n k 表示从 n 个不同元素中取 k 个元素的组合数。

它的值可以用下式来计算： $C_n^k=\\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$2. 二项式系数的计算公式公式1：C n k =C n−1k−1+C n−1k公式2：Ck=C n n−kn公式3：$\\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n$3. 二项式系数的基本性质性质1：二项式系数Ck是整数。

n性质2：Ck=C n n−kn性质3：C0=C n n=1n性质4：$\\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n$四、教学方法本课采用讲授、演示、练习三种教学方法相结合。

主要通过讲解理论知识、演示例题以及组织思考和解决实际问题的案例来提升学生的数学运算和逻辑思维能力。

五、教学步骤步骤1：引入引入二项式系数的定义和意义，解释二项式系数在实际应用中的意义，并且给出几个简单的例子。

步骤2：讲解和演示讲解二项式系数的计算公式和基本性质，并演示三个公式的证明。

步骤3：例题演练给出一些例题进行练习，帮助学生掌握二项式系数的计算方法和性质。

步骤4：小组讨论分小组进行讨论，在讨论的过程中，加强学生的交流和思考能力，让他们理解和掌握二项式系数的相关性质。

步骤5：课堂互动通过问答环节，检查学生对二项式系数概念、性质的掌握情况，加深学生对知识点的理解。

六、教学反思本课教学反思如下：1.整个课程安排合理，授课内容层次清晰，有助于学生轻松理解和掌握二项式系数的性质和计算方法。

2019-2020年高二数学二项式系数的性质教案1、知识目标： 掌握二项式系数的性质,进一步认识组合数、组合数的性质.会应用二项式系数的性质解决一些简单问题。

运用函数观点分析处理二项式系数的性质.2、能力目标： 通过对问题的尝试、探究加强对学生观察、归纳、发现能力的培养和 学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力的培养3、德育渗透： 介绍杨辉三角，加强爱国主义教育。

教学重点：二项式系数的性质教学难点：二项式系数的性质2授课类型：新授课教学模式：合作—探究教学手段：多媒体教学和传统教学相结合教学设想：本节课借助“杨辉三角”和函数图象的直观性充分调动学生的积极主动性，让学生自己观察，发现其规律，很轻松地记住二项式系数的性质，然后再尝试去证明，主要体现思维过程的教学。

教学过程设计：复习回顾：1组合数的性质？2二项式定理及展开式？二项式系数？通项？导入新课：写出下列展开式的二项式系数(a ＋b)0 ，(a ＋b)1，(a ＋b)2，(a ＋b)3，(a ＋b)4，(a ＋b)5，(a ＋b)6 揭示课题新课： 让学生观察“杨辉三角”，总结规律从函数角度进一步分析刚才发现的规律，并尝试证明一、二项式系数的性质1、对称性：2、增减性与最大值 （分析证明）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且同时取得最大值3、各二项式系数的和（4、奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和）二、例题选讲例1 （性质4）证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

（分析，证明）课堂练习1：1、在展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项nn n n n n 2210=++++C C C C2、在展开式中，二项式系数最大的项是( ).A.第6项B.第7项C.第6项和第7项D.第5项和第7项例２：已知的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式的中间项系数。

二项式系数的性质教案教案标题：二项式系数的性质教案一、教学目标：1. 理解二项式系数的概念和含义；2. 掌握计算二项式系数的方法；3. 理解二项式系数的性质及其在组合数学中的应用。

二、教学准备：1. 教师准备：a. 熟悉二项式系数的概念、计算方法和性质；b. 准备相关的教学课件、习题和练习册。

2. 学生准备：a. 预习相关的二项式系数的概念和计算方法。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）：a. 通过一个简单的问题引入二项式系数的概念，例如：有5个红球和3个蓝球，从中选取2个球的组合数有多少种？b. 引导学生思考并讨论问题，引出二项式系数的概念。

2. 理解二项式系数的概念（10分钟）：a. 介绍二项式系数的定义和表示方法，例如：C(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数。

b. 通过具体的例子解释二项式系数的含义，例如：C(5, 2)表示从5个元素中选取2个元素的组合数。

c. 利用教学课件展示相关的例题，引导学生进行思考和讨论。

3. 计算二项式系数的方法（15分钟）：a. 介绍计算二项式系数的方法，例如：使用组合数公式C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)进行计算。

b. 通过具体的例子演示计算二项式系数的步骤，例如：计算C(5, 2) = 5! / (2!* (5-2)!)。

c. 引导学生进行练习，巩固计算二项式系数的方法。

4. 二项式系数的性质（15分钟）：a. 介绍二项式系数的性质，例如：对于任意非负整数n和k，有以下性质：i. C(n, k) = C(n, n-k)ii. C(n, 0) = C(n, n) = 1iii. C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)b. 解释每个性质的含义和证明思路，通过具体的例子进行演示。

c. 引导学生进行练习，巩固二项式系数的性质。

5. 应用实例（15分钟）：a. 介绍二项式系数在组合数学中的应用，例如：二项式定理和杨辉三角形等。

6.3.2 二项式系数的性质一、内容与内容解析1. 内容：二项式系数的概念，由杨辉三角和数形结合等方法观察并推导得到二项式系数的性质。

2. 内容解析：（1） 二项式系数的性质：本节课设置在学生学习完二项式定理之后，课程要求学生对 二项式系数的性质进行探索。

本节课设置为教师结合数学史的相关内容，引导学生对二项式系数的性质进行由浅及深的探究。

结合杨辉三角，教师可以引导学生发现二项式系数最直观的一个性质——对称性，要观察对称性，我们可以把它看作一个函数，通过提问“对于函数y =C n r，比如y =C 6r ，它关于谁对称呢？”帮助学生去发现结论；随后在函数的基础上很自然地引出第二个性质——增减性与最大值，学生通过前面函数图像都对二项式系数的增减性与最大值已经有较清晰的感受，这时教师再从数的角度展示增减性和最大值的证明过程，体现结论的合理性；随后对于不能直接观察到的性质——各二项式系数的和，可以结合二项式定理的展开式，通过赋值得到结果。

（2）赋值法：即通过对二项展开式中的字母赋予特定的值，从而求解特定项的值的方法。

学生在学习二项式系数的第三条性质——各二项式系数的和时，了解了赋值法，通过例题“证明：在n b a )( 的展示式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和”进一步熟悉赋值法，随后通过更多的习题和变式初步掌握赋值法的运用。

3. 教学重点：掌握二项式系数的性质、探讨二项式系数的规律、了解赋值法的运用。

二、目标与目标解析1. 目标：（1）掌握二项式系数的性质及推导。

（2）掌握赋值法在求解二项展开式特定项系数和中的运用。

（3）通过探究二项式系数性质的过程，培养学生发现问题、解决问题的能力，发展学生的学科素养。

2.目标解析：达成上述目标的标志分别是： （1）知道二项式系数与系数的区别；（2）能够在习题中灵活运用二项式系数的性质解决问题； （3）能用赋值法快速准确地解决相关习题；三、教学问题诊断解析1. 问题诊断（1） 为什么要学习二项式系数的性质是第一个问题。

二项式系数的性质教案1教学目标1．掌握二项式系数性质，并会应用其解决一些简单问题．2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．教学重点与难点二项式系数的性质及应用．教学过程设计师：二项式定理的内容是什么？(教师板书)师：上一节课，我们已经学会了如何将二项式展开及求展开式中指定项或指定项系数、二项式系数的方法．今天，我们来研究一下二项式系数的性质．二项展开式中的二项式系数指的是谁？共有多少个？师：要研究它的一般规律，我们先通过杨辉三角看看n为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？(出示幻灯片，内容如下)(从特殊到一般的思想由此引发)杨辉三角：(引导学生猜想，猜想是发现的开始)生：第一项与第末项二项式系数相等．(诱导一下)师：这位同学找的是等量关系，是否完善呢？(用笔尖指杨辉三角中的二项式系数)生：第二项与倒数第二项的二项式系数相等，第三项与倒数第三项的二项式系数相等……．师：你能把你的想法概括成一句话吗？生：……师：在研究等差数列性质时，我们也发现了首末两项，第二项与倒数第二项，……它们和相等的规律，当时我们使用了什么术语呢？(学生顿悟)生：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等．师：有一定理由，当n取1～6时，均可验证此规律正确，但如果就肯定它正确，未免太草率．谁能论证一下这个结论是否正确呢？师：由此“猜想”得到证明，可以写成性质形式．(板书)性质1 在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等．即：师：发现了这个性质对解题的帮助体现在哪儿呢？我们来看两个小题．(出示幻灯片) 1．求(a＋b)6展开式中的倒数第三项的二项式系数．2．若(a＋b)n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n=？师：谁愿意回答这两个题目．(给学生1～2分钟考虑一下)现第五项就是倒数第三项，所以n＋1=7，即n=6．(此时，给出这两个小题，可使学生及时的理解性质1，并学会简单应用，有利于知识的巩固、概念的记忆)师：再看杨辉三角，找特点．生：二项式系数先增加后减小．师：有最值吗？生：有，中间位置可能最大．师：能再具体一些吗？是哪些项二项式系数最大？(学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，积极参与)未必简捷，只要正确就要鼓励他往下说，以免打消学生的积极性)师：这个猜想是否正确呢？我可以告诉大家是正确的，但对它的严格证明，不是本节课的重点，有兴趣的同学可在课下研究证明．(板书)性质2 二项式系数最大的项(性质2的证明不给出，有利于突出本节课的重点，使内容合理，紧凑)师：性质2记忆一定要准确，如有疑问时，可以依靠杨辉三角，使特点法验证，下面我们再来看两个小题．(出示幻灯片)3．分别指出(a＋b)20与(x＋5y)15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并分别求出其最大的二项式系数(用组合数表示)4．已知(a＋b)n的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大，求n的值．(以上两个小题也是对性质2的巩固)师：目前我们已经发现了二项式系数的两个性质，二项式系数还有没有其它规律呢？在排列组合中，我们做过这样一个题目：(出示幻灯片)已知集合A={0，1，2｝，求它的所有子集的个数．师：当时，我们是怎么做的呢？生：是，刚才求的就是二项式系数的和．(学生呼应，达到前后知识的联系，前一节中出这个题的一个目的就是为这一节作铺垫)再相加，但如果集合A中元素个数很多，我们该如何计算呢？二项式系数的和是否也有规律呢？(学生思考，诱导一下)师：不妨再从杨辉三角中挖掘．生：2n，对吗？师：大家是否也同意这个同学的想法呢？如果认可，请给予例1(板书)严格地证明．师：例1是一个等式，可以通过证明等式的几条途径来考虑．(诱导一下)师：现在我们学习的是二项式定理，等号的两边都可以从这个角度来考虑．(将2n换成(1＋1)n)学生甲：(板演)师：还有没有其它方法呢？这个等式与二项式定理(黑板上有)比较一下有什么发现呢？生：将二项式定理中的a，b都取成1，因为二项式定理对a，b取任意值都是成立的．生：(板演)在二项展开式中，令a=1，b=1，得师：第二种方法是赋值法，是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．我们已经发现并证明了二项式系数的三个性质，它还有一个性质，也是很常用的，我直接给出，大家看看怎样证明．(板书)例2 证明在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．师：先翻译成数学语言．(容易发现目标，减少盲目性)(鼓励学生继续往下进行)(到了这一步，由于有例1的铺垫，学生很容易想到赋值法)生：(板演)证明：在二项展开式中令a=1，b=－1，得师：例1与例2是二项式系数(或组合数)的两个常用的性质，它们的证明方法和结论都有相当重要的意义．(例1、例2体现了由一般到特殊的思想)师：例2得到了奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．下面我们来看两个小题：(出示幻灯片)(考查一下学生是否会算)5．求(a＋b)10的展开式中的各项的二项式系数和及奇数项的二项式系数和．学生甲：算5题(a＋b)10展开式中各项二项式系数和为1024，奇数项二项式系数和为512．(以上两个小题训练，加深学生对例1、例2结论的记忆，遇到问题时，可直接转化为简单的数学语言或得到具体值)师：现在我们要来解决一个问题．(板书)练习已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为32，求展开式中哪项二项式系数最大，并求该项．生：(板演)(此题不难，可由学生独立完成，自我检查)师：今天这堂课的关键是利用杨辉三角形直观性发现并证明二项式系数的性质．(由学生叙述这四个性质)我们可以把第一个性质简记为二项式系数对称规律，性质2简记为最大二项式系数规律，后两个性质所采取的方法——赋值法是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．师：今天课下的作业是课本P257练习：1，2，3；P258：9，10，补充三2)已知：(1－2x)5=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．3)若二项式(x3＋x－2)n的展开式中，只有第六项系数最大，则展开式中的常数项是什么？课堂教学设计说明这份教案的教学过程可简记为以下几个环节：1．提出问题：寻求二项式系数的性质；2．观察杨辉三角发现二项式系数的特点；3．得三个猜想(性质1，2，例1)并逐一证明(除性质2)，证明后紧跟小练习；4．用赋值法，证明例2；5．练习，加强记忆；6．小结、作业．我之所以这样设计这堂课，主要有以下几个原因：第一，二项式定理这部分内容比较枯燥，需要记忆的知识点也比较多，更要求教师不断地挖掘规律简化学生的记忆负担．但即使如此，学生的学习仍处于被动状态，所以这节课，我想充分发挥学生的积极性，化被动为主动，因此我引入了杨辉三角，利用它图表的直观性很容易发现规律，这个规律是由学生自己发现的，当然也就容易记忆．第二，以往我们处理二项式系数的性质这一节时，总是将性质用定论的形式直接呈现在学生面前，然后自己再说出证明方法，紧接着就是上例题做练习．这样，似乎是开门见山，直截了当，节约时间，但忽视了很重要的一点．数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往，学生的数学素质很难得到提高．第三，分别在得到性质1，2，例1，例2后马上出几个小题加以巩固，题目的深浅是根据学生的程度不同而定的．但我觉得一定得有，否则四个结论全出来后，学生再见题目，会有手足无措的感觉，效果不佳．第四，性质2的证明是本节的难点，本教案回避了这一点，没有给予证明，因为本教案是为普通班设计的．而“好班”对性质2应给予证明，性质2，证明如下：最好，再补充下面一个例题：例3 求(1＋2x＋x2)10·(1－x)5的展开式中各项系数的和．解：原式=(1＋x)20·(1－x)5=(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a20x20)·(b0＋b1x＋b2x2＋…＋b5x5)=C0＋C1x＋C2x2＋…＋C25x25．由于展开式(1＋2x＋x2)10·(1－x)5=C0＋C1x＋C2x2＋C3x3＋…＋C25x25中对于任意的x均成立，则令x=1，得C1＋C2＋…＋C25=0，所以(1＋2x＋x2)10·(1－x)5的展开式中各项系数和为零．。

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》说课稿1．教材分析《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时.教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力；也有利于学生理解数学知识，培养其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.根据以上对教材及学情的分析，特制定教学重点如下：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.2．教学目标分析“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，了解我国古代数学成就之一的“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，运用函数的知识深化对二项式系数性质的理解，联系函数图象和性质、赋值法、两个计数原理等知识探究证明二项式系数的性质，体会用函数知识研究问题的方法，体验数形结合、特殊到一般进行归纳等数学思想的渗透和运用，体现教师引导、学生探究的教学方式，培养学生问题意识，提高数学思维能力，培育学生理性精神.根据以上分析特制定教学目标如下：1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.2．通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.4．通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情.3．学情分析教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，不仅是因为“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感，而且“杨辉三角”与二项式系数的性质紧密相联，由它可以直观的看出二项式系数的性质，同时课程体系在本节课后编排了关于探究与发现“杨辉三角”中的奥妙的阅读材料，为了凸现数学史教学，更好的掌握本节知识，促进学生发展，在高中学生学习的各个领域渗透研究性学习，因此对教材内容进行了精心加工，合理调整，课前开展了探究与发现“杨辉三角”的一些规律的学习活动，课上进行展示.学生不难发现和概括二项式系数的对称性和增减性与最大值，如何证明呢？这就需要适当引导学生联系函数知识，画出6n =和7的函数图象，讨论函数的性质，让学生经历再发现、再提炼、深入探究的学习过程，培育理性思维.在证明各二项式系数的和的过程中，教材中运用赋值法，求证很简略，但是让学生记住这个结论并不难，难的是在这个学习过程中如何遵循学生的认知规律，提高学生的思维能力？基于此，让学生自己归纳、猜想各二项式系数的和，运用多种方法予以求证，如：（1）利用赋值法：在.0122(1)C C C C C n r r n n n n n n n x x x x x +=++++++中，令1x =可得；（2）利用模型化思想：引入n 元集合子集的个数的问题，利用分类计数原理和分步计数原理进行说明，很好的解决了上面的问题.根据以上分析，制定教学难点如下：（1）结合函数图象，理解二项式系数的增减性与最大值时，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；（2）利用赋值法证明二项式系数的性质.4、教法特点及预期效果分析数学是思维的科学，数学学习不是简单的“告诉”，而应是学生个性化的“体验”. 在本节课的学习中，采用问题引导、合作探究的教学方法，设计六大教学环节：展示成果话杨辉、感知规律悟性质、联系旧知探新知、合作交流议方法、反馈升华拨思路、悬念小结再求索.倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流，为学生开展数学体验，丰富学习方式，形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利的条件和广阔的空间.在探究二项式系数的性质中，设计为探究“三部曲”：第一步是数形结合、概括性质.通过学生画出n=6和n=7时函数图象，并观察分析其对称性和增减性与最大值，引导学生概括性质，学生有目的地动手实践，亲身参与探究活动远比目睹幻灯播放更能体验数学蕴含的规律，使抽象的数学知识直观生成.第二步是分组讨论、证明性质. 在学生初步认识“杨辉三角”包含的规律及“杨辉三角”与二项式系数的关系的基础上，在画出n=6和n=7时函数图象并观察分析其对称性和增减性与最大值的情境下，采取分组讨论、交流展示的学习方式，诱发学生内在的认知冲突，激发学生沉淀的知识，培养学生解决问题的能力，让知识经历一个再发现、再创造的过程，体验到探究过程中涉及的思维策略，促进学生对内容的深刻理解，把课堂教学的“话语权”、“生成权”、“展示权”、“交流权”交给学生，用学生的“亮点”，点亮学生的智慧.第三步是师生合作、再探性质. 在探究各二项式系数的和的教学中，设计探究性的问题串，运用特殊到一般的归纳思想，猜想结论，再运用赋值法证明这一性质，培养学生思维的严谨性和深刻性，引导学生挖掘问题的本质特征，同时呈现用分类和分步计数原理说明()na b的展开式的各二项式系数的和，引发学生的认知冲突，培养学生思维的灵活性和独创性，激发学生的探索兴趣.学生经历课前初探、课中深探、变式细探的探究过程，对“杨辉三角”及二项式系数的性质有比较深刻的认识，不断提高学生探究和解决问题的能力，促进学生数学思维发展.5．教后反思通过本节课的教学实践，认识到多一点精心设计，就能融一份直观生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，学生成为课堂上的真正主人.开展数学体验，丰富学习方式，师生会有共同的、积极的情感体验.成功之处：一是教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，通过三步探究实现本节课的教学目标，突出以学生为主体，教师以引导者的身份参与其中；二是教态自然得体，亲和力强，能很好的驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃.改进之处：一是可考虑通过网上链接搜集一些杨辉三角包含的规律，比较学生展示的结论，让学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论增减性与最大值时出现口误，以及教师板书将“各二项式系数的和”写成“各二项式的系数和”，虽然课后通过师生沟通，学生说不影响掌握本节知识，但是在以后的教学中一定要做得更好.“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计一、教材背景分析1．教材的地位和作用《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时. 教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.2．学情分析知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质.心理特征：高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题.3．教学重点与难点重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.关键：函数思想的渗透.二、教学目标1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.2．通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.4．通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情.三、教法选择和学法指导教法：问题引导、合作探究．学法：从课前探究和课上展示中感知规律，结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟性质，在探究证明性质中理解知识，螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想.四、教学基本流程设计五、教学过程1. 展示成果话杨辉课前开展学习活动：了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用，探究与发现“杨辉三角”包含的规律.（1）学生从不同的角度畅谈“杨辉三角”，对它有何了解及认识.（2）各小组展示探究与发现的成果——“杨辉三角”包含的一些规律.【设计意图】引导学生开展课外学习，了解“杨辉三角”，探究与发现“杨辉三角”包含的规律，弘扬我国古代数学文化；展示探究与发现的杨辉三角的规律，为学习二项式系数的性质埋下伏笔.2. 感知规律悟性质通过课外学习，同学们观察发现了杨辉三角的一些规律，并且知道杨辉三角的第n 行就是()n a b +展开式的二项式系数，()n a b +展开式的二项式系数具有杨辉三角同行中的规律——对称性和增减性与最大值.【设计意图】寻找二项式系数与杨辉三角的关系，从而让学生理解二项式系数具有杨辉三角同行中的规律.3. 联系旧知探新知【问题提出】怎样证明()n a b +展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢？【问题探究】探究：（1）()n a b +展开式的二项式系数012C ,C ,,,C n n n n n C ，C rn 可以看成是以r 为自变量的函数()C rn f r =吗？它的定义域是什么？（2）画出6n =和7时函数()C rn f r =的图象，并观察分析他们是否具有对称性和增减性与最大值.（3）结合杨辉三角和所画函数图象说明或证明二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．C C m n m n n-=． 增减性与最大值：(1)(2)(1)C (1)!kn n n n n k k k ---+=-1(1)C k n n k k --+=，所以C k n 相对于1C k n -的增减情况由(1)n k k -+决定．由(1)112n k n k k -++>⇔<可知，当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 的偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C n n -，22C n n +相等，且同时取得最大值．【设计意图】教师引导学生用函数思想探究二项式系数的性质，学生画图并观察分析图象性质；运用特殊到一般、数形结合的数学思想归纳二项式系数的性质，升华认识；通过分组讨论、自主探究、合作交流，说明或证明二项式系数的对称性和增减性与最大值，提高学生合作意识.4. 合作交流议方法【继续探究】问题：()n a b +展开式的各二项式系数的和是多少？探究：（1）计算()n a b +展开式的二项式系数的和（n =1，2，3，4，5，6）.（2）猜想()n a b +展开式的二项式系数的和.（3）怎样证明你猜想的结论成立？赋值法：已知.0122(1)C C C C C n r r n n n n n n n x x x x x +=++++++，令1x =，则0122C C C C n n n n n n =++++．这就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ．n 元集合子集的个数（两个计数原理）.分类计数原理：012C C C C n n n n n ++++分步计数原理：n 个2相乘，即2n ．所以012C C C C 2n n n n n n ++++=．【问题拓展】你能求012345C C C C C C n n n n n n -+-+-+吗？在展开式011222()C C C C n n n n n n n n n n a b a a b a b b --+=++++中，令1,1a b ==-， 则得0123(11)C C C C (1)C n n nn n n n n -=-+-++-，即02130(C C )(C C )n n n n =++-++，所以0213C C C C n n n n ++=++，在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.【设计意图】通过学生归纳猜想各二项式系数的和，引导学生验证猜想结论是否正确；同时为了突破利用赋值法证明二项式系数性质的难点，引导学生从模型化的角度出发，多角度的分析问题、探究问题、解决问题，将学生思维推向高潮，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应.5. 反馈升华拨思路练1．()n a b +的展开式中的第四项和第八项的二项式系数相等，则n 等于 .练2．11(23)x y -的展开式中前 项的二项式系数逐渐增大，后半部分逐渐减小，二项式系数取得最大值的是第 项.练3．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： （1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++. 【设计意图】促进学生进一步掌握二项式系数的性质，学会用赋值法解决问题，促进其有意识的运用．6. 悬念小结再求索【课堂小结】 通过本节课的学习，你有什么收获和体会（从数学和生活的角度）？还有什么疑问吗？【课堂延伸】今天同学们展示了一些杨辉三角的规律，但是作为我国古代数学重要成就之一的杨辉三角还有更多有趣的规律，相信大家一定有极高的热情和严谨的态度去探究与发现杨辉三角的奥妙之处.【课外活动】（研究性学习）活动主题：杨辉三角中的奥妙.活动目标：探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.活动方案步骤：查阅资料，收集信息；独立思考，发现规律，猜想证明；合作探究，小组讨论，形成初步结论；与指导老师及其他小组成员交流展示；撰写研究性学习报告.【设计意图】通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法，再次感受我国古代数学成就，激励自己努力学习.“杨辉三角”还有很多有趣的规律，让学生带着问题走进课堂，带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高学生探究问题、解决问题的能力.设计研究性学习活动，诱发学生创造性的想象和推理.同时教会学生如何开展研究性学习.杨辉三角与二项式系数的性质教学点评本节课有以下几点值得一提：一、目标定位准确本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体.教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的.二、突出主体地位1．放手发动学生把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释：一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则.二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困.三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高.2．彰显理性数学本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去.3．呈现合作交流本节课每个问题的波浪式出现，我们不仅发现每个学生动手做、动眼看、动口说、动笔写、动脑想，全身心投入到学习过程中去，真正地让学生动起来，让课堂活起来，更令人吃惊的是“合作交流”发挥得淋漓尽致. 这不仅反映在四人小组毫无掩饰、捏造的交流过程，更有把自己的不同想法敢于同学面前展示和袒露的真实场景. 这种“生生合作”的经典，更来自于“师生合作”的源头. 教师始终把自己放在和学生平等的位置上，“同欢乐，共困苦”，让学生心情愉悦地、神情自信地回答和展示自己的“成果”，这些话成果、说思路、讲道理、议方法、谈感悟等系列活动，既寄托了老师的殷切希望和拳拳爱生之心，又破除了传统的学生蹑手蹑脚演板，胆怯地来回张望，等待老师去评点乃至训斥的那种尴尬局面，展现了一种兴趣盎然、生动活泼的自主、合作、交流的课堂活动场景.三、主导水到渠成综观整节课三个性质的呈现（教师板书的主题）毫无生涩造作，支离隔阂的痕迹. 却是分块搭建，彼此衔接，宛若于活动中生成，从过程中体验，在操作中建构，水到渠成之感，这得益于教师充分挖掘和把握教材内在联系之功力和涵养，也借助于教师过渡衔接之妙：和蔼微笑的教态，激励动情的语言，豁达激情的风貌，使得课堂情境天人合一.四、增色情感价值教材的主干内容之一“杨辉三角”就蕴含较丰富的文化价值（包括数字演变），我国古代数学成就和爱国主义情结.教学过程中，由于提及到与“帕斯卡三角”的比照，涉及到与“斐波那契数列”的联系，学生的民族自豪感，爱国主义情操不时会写在那一张张稚嫩、率真的脸上，相信对他们的精神风貌是一种陶冶，思想品质是一种升华.本节课值得改进的地方：一是可考虑通过网上链接搜集一些“杨辉三角”包含的规律，比较学生展示的结论，让学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论增减性与最大值时出现口误，以及教师板书将“各二项式系数的和”写成“各二项式的系数和”，尽管课后通过师生沟通，形成了共识，但值得在以后的教学中更好地把握好教学细节.。

《二项式系数的性质》教学设计一、教学内容解析1．《二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。

以前面学习的二项式定理为基础，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识”和抽象概括能力；通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。

这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识、创新精神。

2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。

4．从知识发生发展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然”，他们更应渴望的是“知其所以然”。

故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。

另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。

二、教学目标设置教学目标：1．掌握二项式系数的基本性质及证明方法；2．通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.3．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情. 同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。

二项式系数的性质教案1教学目标1．掌握二项式系数性质，并会应用其解决一些简单问题．2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．教学重点与难点二项式系数的性质及应用．教学过程设计师：二项式定理的内容是什么？(教师板书)师：上一节课，我们已经学会了如何将二项式展开及求展开式中指定项或指定项系数、二项式系数的方法．今天，我们来研究一下二项式系数的性质．二项展开式中的二项式系数指的是谁？共有多少个？师：要研究它的一般规律，我们先通过杨辉三角看看n为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？(出示幻灯片，内容如下)(从特殊到一般的思想由此引发)杨辉三角：(引导学生猜想，猜想是发现的开始)生：第一项与第末项二项式系数相等．(诱导一下)师：这位同学找的是等量关系，是否完善呢？(用笔尖指杨辉三角中的二项式系数)生：第二项与倒数第二项的二项式系数相等，第三项与倒数第三项的二项式系数相等……．师：你能把你的想法概括成一句话吗？生：……师：在研究等差数列性质时，我们也发现了首末两项，第二项与倒数第二项，……它们和相等的规律，当时我们使用了什么术语呢？(学生顿悟)生：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等．师：有一定理由，当n取1～6时，均可验证此规律正确，但如果就肯定它正确，未免太草率．谁能论证一下这个结论是否正确呢？师：由此“猜想”得到证明，可以写成性质形式．(板书)性质1 在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等．即：师：发现了这个性质对解题的帮助体现在哪儿呢？我们来看两个小题．(出示幻灯片) 1．求(a＋b)6展开式中的倒数第三项的二项式系数．2．若(a＋b)n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n=？师：谁愿意回答这两个题目．(给学生1～2分钟考虑一下)现第五项就是倒数第三项，所以n＋1=7，即n=6．(此时，给出这两个小题，可使学生及时的理解性质1，并学会简单应用，有利于知识的巩固、概念的记忆)师：再看杨辉三角，找特点．生：二项式系数先增加后减小．师：有最值吗？生：有，中间位置可能最大．师：能再具体一些吗？是哪些项二项式系数最大？(学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，积极参与)未必简捷，只要正确就要鼓励他往下说，以免打消学生的积极性)师：这个猜想是否正确呢？我可以告诉大家是正确的，但对它的严格证明，不是本节课的重点，有兴趣的同学可在课下研究证明．(板书)性质2 二项式系数最大的项(性质2的证明不给出，有利于突出本节课的重点，使内容合理，紧凑)师：性质2记忆一定要准确，如有疑问时，可以依靠杨辉三角，使特点法验证，下面我们再来看两个小题．(出示幻灯片)3．分别指出(a＋b)20与(x＋5y)15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并分别求出其最大的二项式系数(用组合数表示)4．已知(a＋b)n的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大，求n的值．(以上两个小题也是对性质2的巩固)师：目前我们已经发现了二项式系数的两个性质，二项式系数还有没有其它规律呢？在排列组合中，我们做过这样一个题目：(出示幻灯片)已知集合A={0，1，2｝，求它的所有子集的个数．师：当时，我们是怎么做的呢？生：是，刚才求的就是二项式系数的和．(学生呼应，达到前后知识的联系，前一节中出这个题的一个目的就是为这一节作铺垫)再相加，但如果集合A中元素个数很多，我们该如何计算呢？二项式系数的和是否也有规律呢？(学生思考，诱导一下)师：不妨再从杨辉三角中挖掘．生：2n，对吗？师：大家是否也同意这个同学的想法呢？如果认可，请给予例1(板书)严格地证明．师：例1是一个等式，可以通过证明等式的几条途径来考虑．(诱导一下)师：现在我们学习的是二项式定理，等号的两边都可以从这个角度来考虑．(将2n换成(1＋1)n)学生甲：(板演)师：还有没有其它方法呢？这个等式与二项式定理(黑板上有)比较一下有什么发现呢？生：将二项式定理中的a，b都取成1，因为二项式定理对a，b取任意值都是成立的．生：(板演)在二项展开式中，令a=1，b=1，得师：第二种方法是赋值法，是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．我们已经发现并证明了二项式系数的三个性质，它还有一个性质，也是很常用的，我直接给出，大家看看怎样证明．(板书)例2 证明在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．师：先翻译成数学语言．(容易发现目标，减少盲目性)(鼓励学生继续往下进行)(到了这一步，由于有例1的铺垫，学生很容易想到赋值法)生：(板演)证明：在二项展开式中令a=1，b=－1，得师：例1与例2是二项式系数(或组合数)的两个常用的性质，它们的证明方法和结论都有相当重要的意义．(例1、例2体现了由一般到特殊的思想)师：例2得到了奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．下面我们来看两个小题：(出示幻灯片)(考查一下学生是否会算)5．求(a＋b)10的展开式中的各项的二项式系数和及奇数项的二项式系数和．学生甲：算5题(a＋b)10展开式中各项二项式系数和为1024，奇数项二项式系数和为512．(以上两个小题训练，加深学生对例1、例2结论的记忆，遇到问题时，可直接转化为简单的数学语言或得到具体值)师：现在我们要来解决一个问题．(板书)练习已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为32，求展开式中哪项二项式系数最大，并求该项．生：(板演)(此题不难，可由学生独立完成，自我检查)师：今天这堂课的关键是利用杨辉三角形直观性发现并证明二项式系数的性质．(由学生叙述这四个性质)我们可以把第一个性质简记为二项式系数对称规律，性质2简记为最大二项式系数规律，后两个性质所采取的方法——赋值法是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．师：今天课下的作业是课本P257练习：1，2，3；P258：9，10，补充三2)已知：(1－2x)5=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．3)若二项式(x3＋x－2)n的展开式中，只有第六项系数最大，则展开式中的常数项是什么？课堂教学设计说明这份教案的教学过程可简记为以下几个环节：1．提出问题：寻求二项式系数的性质；2．观察杨辉三角发现二项式系数的特点；3．得三个猜想(性质1，2，例1)并逐一证明(除性质2)，证明后紧跟小练习；4．用赋值法，证明例2；5．练习，加强记忆；6．小结、作业．我之所以这样设计这堂课，主要有以下几个原因：第一，二项式定理这部分内容比较枯燥，需要记忆的知识点也比较多，更要求教师不断地挖掘规律简化学生的记忆负担．但即使如此，学生的学习仍处于被动状态，所以这节课，我想充分发挥学生的积极性，化被动为主动，因此我引入了杨辉三角，利用它图表的直观性很容易发现规律，这个规律是由学生自己发现的，当然也就容易记忆．第二，以往我们处理二项式系数的性质这一节时，总是将性质用定论的形式直接呈现在学生面前，然后自己再说出证明方法，紧接着就是上例题做练习．这样，似乎是开门见山，直截了当，节约时间，但忽视了很重要的一点．数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往，学生的数学素质很难得到提高．第三，分别在得到性质1，2，例1，例2后马上出几个小题加以巩固，题目的深浅是根据学生的程度不同而定的．但我觉得一定得有，否则四个结论全出来后，学生再见题目，会有手足无措的感觉，效果不佳．第四，性质2的证明是本节的难点，本教案回避了这一点，没有给予证明，因为本教案是为普通班设计的．而“好班”对性质2应给予证明，性质2，证明如下：最好，再补充下面一个例题：例3 求(1＋2x＋x2)10·(1－x)5的展开式中各项系数的和．解：原式=(1＋x)20·(1－x)5=(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a20x20)·(b0＋b1x＋b2x2＋…＋b5x5)=C0＋C1x＋C2x2＋…＋C25x25．由于展开式(1＋2x＋x2)10·(1－x)5=C0＋C1x＋C2x2＋C3x3＋…＋C25x25中对于任意的x均成立，则令x=1，得C1＋C2＋…＋C25=0，所以(1＋2x＋x2)10·(1－x)5的展开式中各项系数和为零．。

二项式系数的性质（1）一、课题：二项式系数的性质（1）二、教学目标：1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；2．初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3．能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力。

三、教学重点、难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。

四、教学过程： （一）复习：1．二项式定理，二项展开式的通项及二项式系数． （二）新课讲解：1．二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，如下表所示： 1()a b +……………………1 1 2()a b +…………………1 2 1 3()a b +………………1 3 3 1 4()a b +……………1 4 6 4 1 5()a b +…………1 5 10 10 5 1 6()a b +………1 6 15 20 15 6 1………………………………上表叫二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（为什么？）这个表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就已经出现，这个表叫杨辉三角。

利用这一性质，可根据相应于n 的各项二项式系数写出相应于1n +的各项二项式系数。

2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时， 其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn n C C -=）． 直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅，∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++．3．例题分析：例1 在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

6.3.2 二项式系数的性质本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要学习二项式系数的性质本节是在学习了二项式定理的基础上，探究二项式系数的性质。

由于二项式系数组成的数列就是一个离散型函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识前后联系，使学生运用利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想进行思考。

研究二项式系数这组特定的性质，对巩固二项式定理，建立知识间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要作用，对后续学习微分方程也具有重要地位。

重点： 二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）； 难点：理解增减性与最大值时，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.多媒体61615201561将上表写成如下形式： 思考：通过上表和上图，能发现什么规律？对于(a +b )n展开式的二项式系数C n 0,C n 1,C n 2,…,C n k,…,C n 0.我们还可以从函数的角度分析它们。

C n r可看成是以r 为自变量的函数f(r) ，其定义域是{0,1,2,…,n } 我们还可以画出它的图像。

例如，当n =6时，函数f (r )=C n r (r ϵ{0,1,2,…,n })的图像是7个离散的点，如图所示。

1.对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即C n m =C n n -m .(a +b )21 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1 (a +b )1 (a +b )3(a +b )4(a +b )5 (a +b )6三、达标检测1.(1-x )13的展开式中系数最小的项为( ) A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项. 答案:C2.已知C n 0+2C n 1+22C n 2+…+2n C n n =729,则C n 1+C n 3+C n 5的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n =3n =729,解得n=6.则C n 1+C n 3+C n 5=C 61+C 63+C 65=32.答案:B3.已知(1+x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.212B.211C.210D.29解析:因为(1+x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以C n 3=C n 7,解得n=10,所以二项式(1+x )10中奇数项的二项式系数和为12×210=29.答案:D 4.已知14+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为 .解析:由C n 0+C n 1+C n 2=37,得1+n+12n (n-1)=37,解得n=8(负值舍去),本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。

《二项式系数的性质》教案设计江西省新余市第一中学聂生庚北师大版选修2-3第一章第5节第2课时一、教案内容解读1．《二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。

以前面学习的二项式定理为基础，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识”和抽象概括能力；通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。

这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识、创新精神。

2．本节课的教案内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。

4．从知识发生发展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然”，他们更应渴望的是“知其所以然”。

故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。

另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。

二、教案目标设置教案目标：1．掌握二项式系数的基本性质及证明方法；2．通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.3．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情.同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。

21．2．2《二项式系数的性质》教案【教材】中等职业教育规划教材《数学》第三册【教学目标】知识目标：理解并掌握二项式系数的性质；能够运用来作简单计算和证明简单的问题。

能力目标：通过布置课前任务来培养学生的自学能力；通过让学生讨论、讲解来训练学生的语言表达能力和逻辑思维能力；通过让学生解决生活或专业中与数学相关的问题来培养学生的分析问题、解决问题的能力。

情感目标：通过让学生解决一些生活或专业中的问题，让学生感悟数学的实用性；通过小组活动，培养学生的团队精神；通过让学生解决一系列层层深入的问题，培养学生积极探索勇于创新的精神。

【教学重点】二项式系数的性质。

【教学难点】二项式系数性质的应用。

【突破难点的关键】通过多媒体演示、类比举例等手段让抽象的概念具体化。

【教学方法】探究式问题教学法。

此法就是把学习问题与学生的学习活动相结合，教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，从而使学生独立地、创造性地完成学习任务。

教学过程双边活动【知识回顾】二项式定理及二项展开式、二项式系数、二项展开式的通项公式【引入新课】一、观察探究1.观察n=0,1,2,3,…时, (a+b)n展开式的二项式系数,写出n=6时的二项式系数.2.介绍杨辉三角教师提问学生回答教师启发学生观察讨论解决教师启发归纳学生回答讨论完善教师介绍提问学生查看资料回答教学 过 程 双边活动3.联想类比帕斯卡三角和杨辉三角 二、新知学习 二项式系数的性质 (1)每行两端都是1，除1以外的每个数都等于“肩”上两数之和.即: 11;r r rn n nC C C -+=+ (2)对称性：;r n rnn C C -= (3)最大值：rn C 先增后减,在中间取得最大值.①当n 为偶数时, 2n n C 即中间一项的二项式系数最大; ②当n 为奇数时, 1122n n n n C C -+、即中间两项的二项式系数相等且最大; 应用 例6 求 8(1)x +的展开式二项式系数最大的项。

江西省九江市实验中学高中数学 第一章 第十四课时 二项式系数的性质（二）教案 北师大版选修2-3一、教学目标：1、知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

2、过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观：要启发学生认真分析课本图提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

二、教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。

教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。

三、教学方法：探析归纳，讨论交流 四、教学过程 （一）、例题探析例1、 设()()()()231111nx x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x ++++，当012254n a a a a ++++=时，求n 的值。

解：令1x =得：230122222n n a a a a ++++=++++2(21)25421n -==-，∴2128,7nn ==。

点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系。

例2、求证：1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅．证（法一）倒序相加：设S =12323nn n n nC C C nC ++++ ①又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n nnC n C n C C C --+-+-+++ ②∵r n rn nC C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==， 由①+②得：()0122nn n n n S n C C C C =++++，∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅．（法二）：左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++12n n -=⋅．例3、已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n ，求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除。

二项式系数的性质中职教案教案标题：二项式系数的性质中职教案教案目标：1. 理解二项式系数的定义和意义；2. 掌握二项式系数的计算方法；3. 了解二项式系数的性质，并能应用于实际问题中。

教学准备：1. 教材：包含二项式系数的相关知识点的教材或教学资料；2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔；3. 辅助工具：计算器、实例题目。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入二项式系数的概念，提问学生是否了解二项式系数是什么，以及它们的作用。

2. 引导学生思考二项式系数的计算方法。

二、知识讲解（15分钟）1. 讲解二项式系数的定义和计算方法，包括杨辉三角形的应用。

2. 通过实例演示二项式系数的计算过程，帮助学生掌握计算技巧。

三、性质探究（20分钟）1. 分组讨论：将学生分成小组，每组讨论一个二项式系数的性质，并总结出至少两个性质。

2. 小组展示：请每个小组派代表上台展示他们讨论的性质，并进行解释。

3. 教师点评：对每个小组的展示进行点评和补充，确保学生对性质的理解正确。

四、练习与应用（15分钟）1. 给学生分发练习题，让他们在课堂上完成。

2. 收集学生的答案，进行讲解和订正。

五、拓展延伸（10分钟）1. 提供一些拓展问题，让学生运用二项式系数的性质解决实际问题。

2. 鼓励学生展示他们的解决思路，并与其他同学进行讨论。

六、总结与反思（5分钟）1. 总结今天所学的内容，强调二项式系数的定义、计算方法和性质的重要性。

2. 鼓励学生提出问题或反思，以便进一步加深对知识的理解。

教学延伸：1. 提供更多的练习题，巩固学生对二项式系数的计算和应用能力；2. 引导学生进行课外拓展，探究更多关于二项式系数的性质和应用。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和学习态度；2. 收集学生在课堂练习中的答案，进行评估和订正；3. 针对拓展延伸环节中的解决思路和讨论，评估学生的思维能力和合作能力。

教学反馈：1. 针对学生在课堂上的表现，及时给予肯定和鼓励；2. 对学生在练习和拓展延伸中的答案和思路进行评价和指导；3. 收集学生的反馈意见，改进教学方法和内容。

第2课时二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用学习目标核心素养1．掌握二项式系数的性质及其应用．重点2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明．难点3．掌握二项式定理的应用．难点1．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉约13世纪所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释a＋b n的展开式的各项系数．a＋b0 1a＋b1 1 1a＋b2 12 1a＋b3 133 1a＋b4 1464 1a＋b5 1510105 1问题：观察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？1．二项式系数的性质1C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝2n；2C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝2n－12．杨辉三角具有的性质1每一行都是对称的，且两端的数都是1；2从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．3利用二项式系数的对称性可知，二项式系数C错误!，C错误!，C错误!，…，C错误!，C错误!，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．1．思考辨析正确的打“√”，错误的打“×”1杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．2二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的． 3二项展开式的二项式系数和为C 错误!＋C 错误!＋…＋C 错误![答案] 1√ 2× 3×2．1－215的展开式中的各项系数和是 A ．1 B ．－1 C ．215D ．315B [令＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1]3．在a ＋b 10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是 A ．第8项 B ．第7项 C ．第9项D ．第10项C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]4．教材P 32尝试与发现改编观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是________．1 12 1 13 3 1 14 a 4 1 15 10 10 5 16 [由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a ＝10，得a ＝6]求展开式的系数和2 0210122 2 0212 0211求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 021的值； 2求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021的值； 3求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 021|的值．[思路点拨] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解] 1令＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝－12 021＝－1①2令＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 021＝32 021②①－②得2a1＋a3＋…＋a2 021＝－1－32 021，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝错误!3∵T r＋1＝C错误!－2r＝－1r·C错误!·2r，∴a2＜0∈N＋，a2＞0∈N．－1∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 021|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 0211．解决二项式系数和问题思维流程2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令＝0可得常数项，令＝1可得所有项系数之和，令＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．错误!1．若3－17＝a77＋a66＋…＋a1＋a0，求：1a1＋a2＋…＋a7；2a1＋a3＋a5＋a7；3a0＋a2＋a4＋a6[解]1令＝0，则a0＝－1；令＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①所以a1＋a2＋…＋a7＝1292令＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－47，②由①－②得2a1＋a3＋a5＋a7＝128－－47，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 2563由①＋②得2a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝128＋－47， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128二项式系数的性质及应用【例2】 已知f ＝错误!＋32n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992 1求展开式中二项式系数最大的项； 2求展开式中系数最大的项．[思路点拨] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项或中间两项是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将，的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．[解] 令＝1，则二项式各项系数的和为f 1＝1＋3n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n ，由题意知，4n －2n ＝992∴2n 2－2n －992＝0， ∴2n ＋312n －32＝0，∴2n ＝－31舍去或2n ＝32，∴n ＝51由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 错误!错误!3322＝906， T 4＝C 错误!错误!2323＝270错误!2展开式的通项公式为T r ＋1＝C 错误!3r ·错误!5＋2r ． 假设T r ＋1项系数最大， 则有错误!()()()()()()5!5!35!!6!1!5!5!3,5!!4!1!r r r r r r r r ⎧⨯≥⎪---⎪∴⎨⎪≥⨯⎪--+⎩∴错误!∴错误!≤r ≤错误!，∵r ∈N ，∴r ＝4∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 错误!错误!324＝405错误!1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．错误!2．11＋2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋32已知a＋b n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________．1C28[1该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．2因为只有第5项的二项式系数最大，所以错误!＋1＝5，所以n＝8]与“杨辉三角”有关的问题【例3】如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为S n，求S19的值．[思路点拨]由图知，数列中的首项是C错误!，第2项是C错误!，第3项是C错误!，第4项是C错误!，…，第17项是C错误!，第18项是C错误!，第19项是C错误![解]S19＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＋C错误!＋C 错误!＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＋C错误!＝2＋3＋4＋…＋10＋C错误!＝()21092+⨯＋2202174“杨辉三角”问题解决的一般方法错误!3．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶334[由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C错误!∶C错误!＝2∶3，即错误!＝错误!，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3]二项式定理的应用[探究问题]1．不用计算器，你能用二项式定理求的近似值，使误差小于吗？[提示]把变成1－，然后应用二项式定理展开．因为＝1－6＝1－C错误!×＋C错误!×－C错误!×＋…＋C错误!×第三项T3＝15×＝<，以后各项更小，所以≈1－＝2．你能用二项式定理证明错误!错误!＞2，n∈N*，且n≥2吗？[提示]∵错误!错误!＝1＋C错误!错误!＋C错误!错误!错误!＋…＋C错误!错误!错误!＝2＋错误!＋…＋错误!，又n≥2且n∈N*，∴错误!＋错误!＋…＋错误!＞0∴错误!错误!＞2n∈N*，且n≥2．【例4】教材P33例5改编1用二项式定理证明：1110－1能被100整除；2求9192被100除所得的余数．[思路点拨]11110－1＝1＋1010－1，展开求证便可；29192＝1＋9092，展开求解便可．[解]1证明：∵1110－1＝10＋110－1＝1010＋C错误!·109＋C错误!·108＋…＋C错误!·10＋1－1＝1010＋C错误!·109＋C错误!·108＋…＋102＝100108＋C错误!.107＋C错误!.106＋ (1)∴1110－1能被100整除．29192＝100－992＝C错误!·10092－C错误!·10091·9＋C错误!·10090·92－…＋C错误!992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝10－192＝C错误!·1092－C错误!·1091＋…＋C错误!·102－C错误!·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系,整除性问题或求余数问题的处理方法：1解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式2用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数或与除数密切关联的数与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面或者是前面的几项就可以了错误!4．1求证32n＋2－8n－9n∈N*能被64整除；2求230－3除以7的余数．[解]1证明：32n＋2－8n－9＝8＋1n＋1－8n－9＝C错误!8n＋1＋C错误!8n＋…＋C错误!－8n－9 ＝C错误!8n＋1＋C错误!8n＋…＋C错误!82＋C错误!·8＋1－8n－9＝C错误!8n＋1＋C错误!8n＋…＋C 错误!82该式每一项都含因式82，故能被64整除．2230－3＝2310－3＝810－3＝7＋110－3＝C错误!710＋C错误!79＋…＋C错误!7＋C错误!－3＝7×C错误!79＋C错误!78＋…＋C错误!－2 又∵余数不能为负数需转化为正数，∴230－3除以7的余数为51．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．对于二项式定理的应用主要体现在估算、证明及整除上，注意近似计算可用1＋n≈1＋n，具体情况视精确度而定．1．二项式－1n的奇数项二项式系数和是64，则n等于A．5B．6C．7D．8C[二项式a＋b n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝]2．已知错误!错误!开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于A．4B．5C．6D．7C[令＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有错误!＝64，所以n＝6]3．若错误!错误!n∈N*的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为A．210B．252C．462D．10A[由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C错误!＝210]4．设－3＋24＝a0＋a1＋a22＋a33＋a44，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．－15[令＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1 ①＝C错误!－34－2，又T＋1∴当＝4时，4的系数a4＝16 ②由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15]5．设a∈Z，且0≤a＜13，若512021＋a能被13整除，求a的值．[解]512021＋a＝52－12021＋a＝522021＋C错误!×522021×－1＋…＋C错误!×52×－12021＋－12021＋a能被13整除，只需－12021＋a＝1＋a能被13整除即可．∵0≤a＜13，∴a＝12。