线性代数第3章_线性方程组习题解答

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T Tααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=-----1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T Tαα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0Tααααααα=--++-+=并且求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].Tα=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。

(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。

解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解： 正确。

（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。

(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。

解：不正确。

例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。

第3章　矩阵的初等变换与线性方程组本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质；然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有惟一解或有无限多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法.§1矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.为引进矩阵的初等变换，先来分析用消元法解线性方程组的例子.引例　求解线性方程组解这里，　（1）→（B1）是为消x1作准备. （B1）→（B2）是保留①中的x1，消去②、③、④中的x1.（B2）→（B3）是保留②中的x2并把它的系数变为1，然后消去③、④中的x2，在此同时恰好把x3也消去了.　（B3）→（B4）是消去x4，在此同时恰好把常数也消去了，得到恒等式0=0（若常数项不能消去，就将得到矛盾方程0= 1，则说明方程组无解）.至此消元完毕.（B4）是4个未知数3个有效方程的方程组，应有一个自由未知数，由于方程组（B4）呈阶梯形，可把每个台阶的第一个未知数（即x1，x2，x4）选为非自由未知数，剩下的x3选为自由未知数.这样，就只需用“回代”的方法便能求出解：由③得x4=-3；将x4=-3代入②，得x2 = x3 +3；以x4=-3， x2 =x3+3代入①，得x1=x3+4.于是解得其中x3可任意取值.或令x3=c，方程组的解可记作即其中c为任意常数.在上述消元过程中，始终把方程组看作一个整体，即不是着眼于某一个方程的变形，而是着眼于整个方程组变成另一个方程组.其中用到三种变换，即：　（i）交换方程次序（ⓘ与ⓙ相互替换）；　（i i）以不等于0的数乘某个方程（以ⓘ×k替换ⓘ）；　（i i i）一个方程加上另一个方程的k倍（以ⓘ+kⓙ替换ⓘ）.由于这三种变换都是可逆的，即因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，这三种变换都是方程组的同解变换，所以最后求得的解（2）是方程组（1）的全部解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算.因此，如果记方程组（1）的增广矩阵为那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B的变换.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换.定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i）对换两行（对换i，j两行，记作r i↔r j）；（i i）以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记作r i×k）；（i i i）把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i+k r j）.把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）.矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换.显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换；变换r i↔r j的逆变换就是其本身；变换r i×k的逆变换为变换r i+kr j的逆变换为r i+（-k）r j（或记作r i-k r j）.如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A～B.矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i）反身性A～A；（i i）对称性　若A～B，则B～A；（i i i）传递性　若A～B，B～C，则A～C.下面用矩阵的初等行变换来解方程组（1），其过程可与方程组（1）的消元过程一一对照：由方程组（B4）得到解（2）的回代过程，也可用矩阵的初等行变换来完成，即B5对应方程组取x3为自由未知数，并令x3=c，即得其中c为任意常数.矩阵B4和B5的特点是：都可画出一条从第一行某元左方的竖线开始到最后一列某元下方的横线结束的阶梯线，它的左下方的元全为0；每段竖线的高度为一行，竖线的右方的第一个元为非零元，称为该非零行的首非零元.具有这样特点的矩阵称为行阶梯形矩阵.为明确起见给出如下定义：定义2 （1）非零矩阵若满足（i）非零行在零行的上面；　（i i）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵；（2）进一步，若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：　（i）非零行的首非零元为1；（i i）首非零元所在的列的其他元均为0，则称A为行最简形矩阵.于是B4和B5都是行阶梯形矩阵，且B5还是行最简形矩阵.用归纳法不难证明（这里不证）：对于任何非零矩阵A m×n，总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.利用初等行变换，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种很重要的运算.由引例可知，要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵.由行最简形矩阵B5，即可写出方程组的解（2）；反之，由方程组的解（2）也可写出矩阵B5.由此可猜想到一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的（行阶梯形矩阵中非零行的行数也是惟一确定的）.对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形.例如矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元全为0.对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，为探讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍它的一个最基本的性质.定理1设A与B为m×n矩阵，那么（i）的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA =B；（i i） A～B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使A Q=B；（i i i）A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PA Q=B.为证明定理1，我们引进初等矩阵的知识.定义3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应有三种初等矩阵.（i）把单位矩阵中第i，j两行对换（或第i，j两列对换），得初等矩阵用m阶初等矩阵E m（i，j）左乘矩阵A=（a i j）m×n，得其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i行与第j行对换（r i↔r j）.类似地，以民阶初等矩阵E n（i，j）右乘矩阵A，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换：把A的第i列与第j列对换（　c i↔c j）.（i i）以数k≠0乘单位矩阵的第i行（或第i列），得初等矩阵可以验知：以E m（i（k））左乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i行（r i×k）；以E n（i（k））右乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i列（c i×k）.（i i i）以k乘单位矩阵的第j行加到第i行上或以k乘单位矩阵的第i列加到第j列上，得初等矩阵可以验知：以E m（i j（k））左乘矩阵A，其结果相当于把A的第j行乘k加到第i行上（r i+kr j）；以E n（i j（k））右乘矩阵A，其结果相当于把A的第i列乘k加到第j 列上（c j+kc i）.归纳上面的讨论，可得性质1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵.显然初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵：性质2方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…，P l，使A =P1P2…P l.证　先证充分性.设A=P1P2…P l，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆.故A可逆.再证必要性.设n阶方阵A可逆，它经有限次初等行变换成为行最简形矩阵B.由性质1，知有初等矩阵Q1，…，Q l使Q l…Q1A=B.因A，Q1，…，Q l均可逆，故B也可逆，从而B的非零行数为n，即B有n个首非零元1，但B总共只有n个列，故B=E.于是这里为初等矩阵，即A是若干个初等矩阵的乘积. 证毕下面应用初等矩阵的知识来证明定理1.定理1的证明：（i）依据A～B的定义和初等矩阵的性质，有A～B ⇔A经有限次初等行变换变成B⇔存在有限个m阶初等矩阵P1，P2，…， P l，使P l… P2P1A=B⇔存在m阶可逆矩阵P，使PA=B.类似可证明（i i）和（i i i）.证毕定理1把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的乘法.下面先给出定理1的一个推论，然后介绍一种利用初等变换求逆阵的方法.推论　方阵A可逆的充分必要条件是证A可逆⇔存在可逆矩阵P，使PA=E定理1表明，如果，即A经一系列初等行变换变为B，则有可逆矩阵P，使PA=B.那么，如何去求出这个可逆矩阵P？由于因此，如果对矩阵（A，E）作初等行变换，那么，当把A变为B时，E就变为P.于是就得到所求的可逆矩阵P.例1设的行最简形矩阵为F，求F，并求一个可逆矩阵P，使PA=F.解　把A用初等行变换化成行最简形矩阵，即为F.但需求出P，故按上段所述，对（A，E）作初等行变换把A化成行最简形矩阵，便同时得到F和P.运算如下：故为A的行最简形矩阵，而使PA=F的可逆矩阵注　上述解中所得（F，P），可继续作初等行变换r3×k，r1+kr3，r2+kr3，则F不变而P变.由此可知本例中使PA=F的可逆矩阵P不是惟一的.例2设证明A可逆，并求A-1.解　如同例1，初等行变换把（A，E）化成（F，P），其中F为A的行最简形矩阵.如果F=E，由定理1之推论知A可逆，并由PA=E，知P=A-1.运算如下：例3求解矩阵方程A X=B，其中解　设可逆矩阵P使PA =F为行最简形矩阵，则P（A，B）=（F，P B），因此对矩阵（A，B）作初等行变换把A变为F，同时把B变为PB.若F=E，则A 可逆，且P=A-1，这时所给方程有惟一解X=PB=A-1B.由可见因此A可逆，且即为所给方程的惟一解.例2和例3是一种用初等行变换求A-1或A-1B的方法，当A为3阶或更高阶的矩阵时，求A-1或A-1B通常都用此方法.这是当A为可逆矩阵时，求解方程A X=B的方法（求A-1也就是求方程A X=E的解）.这方法就是把方程A X=B 的增广矩阵（A，B）化为行最简形矩阵，从而求得方程的解.特别地，求解线性方程组Ax=b （A为可逆矩阵）时把增广矩阵（A，b）化为行最简形矩阵，其最后一列就是解向量，从而得到了一个求解线性方程组的新途径.例4求解线性方程组解　记此方程组为Ax=b，则增广矩阵因故　A可逆，于是方程组有解，且解为此方程组我们已在第2章例16中分别用克拉默法则和逆矩阵求解过.比较这三种方法，显然这里介绍的方法最为方便和快捷.§2矩阵的秩为了更好地理解矩阵的秩的概念，重新讨论上节引例中增广矩阵B及其行阶梯形矩阵B4和B5：我们发现B4和B5都恰好有3个非零行.自然要问：每一个与B行等价的行阶梯形矩阵是否都恰好有3个非零行？回答是肯定的.为阐明这一问题先引入矩阵子式的概念.定义4在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.m×n矩阵A的k阶子式共有个.现在来观察行阶梯形矩阵B4的子式.取B4的第1、第2、第3行和第1、第2、第4列，得到三阶非零子式而它的任一四阶子式都将因含有零行而成为0.换言之，B4中非零子式的最高阶数是3.同样B5中非零子式的最高阶数也是3.非零子式在矩阵的初等行变换中的意义可以表述成如下的引理.引理　设，则A与B中非零子式的最高阶数相等.证　先证B是A经过一次初等行变换而得的情形.设D是A中的r阶非零子式.当或对，在B中总能找到与D相对应的r阶子式D1，由于D1=D或D1=-D或D1=kD，因此D1≠0.当时，因为对于作变换r i↔　r j时结论成立，所以只需考虑这一特殊情形.分两种情形讨论：　（①　D不包含A的第1行，这时D也是B的r阶非零子式；②　D包含A 的第1行，这时把B中与D对应的r阶子式D1记作若p=2，则D1=D≠0；若p≠2，则D2也是B的r阶子式，由D1-kD2=D≠0，知D1与D2不同时为0.总之，B中存在r阶非零子式D1或D2.记A和B中非零子式的最高阶数分别为s和t，那么上述表明s≤　t.因A经一次初等行变换成为B，B也就可经一次初等行变换成为A，故又有t≤　s，于是s=t.经一次初等行变换结论成立，即可知经有限次初等行变换结论也成立. 证毕现在可以回答本节一开始提出的问题了.设C是任一与B行等价的行阶梯形矩阵，由引理，C中非零子式的最高阶数应与B4中非零子式的最高阶数相同，即C有且仅有3个非零行.值得注意的是上面的讨论中，关心的并不是非零子式（作为行列式）本身，而是它的阶数，尤其是非零子式的最高阶数.由此给出矩阵的秩的定义：定义5设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）.并规定零矩阵的秩等于0.由行列式的性质可知，在A中当所有r+1阶子式全等于0时，所有高于r+1阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A的非零子式的最高阶数.由于R（A）是A的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则R（A）≥s；若A中所有t阶子式全为0，则R（A）＜t.显然，若A为m×n矩阵，则0≤R（A）≤mi n｛m，n｝.由于行列式与其转置行列式相等，因此A T的子式与A的子式对应相等，从而R（A T）=R（A）.对于n阶矩阵A，由于A的n阶子式只有一个︳A ︳，故当︳A ︳≠0时R（A）= n，当︳A ︳=0时R（A）＜n.可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.因此，可逆矩阵又称满秩矩.阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵.矩阵的初等变换作为一种运算，其深刻意义在于它不改变矩阵的秩，即有定理2若A～B，则R（A）=R（B）.证　由引理，只须证明A经初等列变换变成B的情形，这时A T经初等行变换变为B T，由引理知R（A T）=R（B T），又R（A）=R（A T），R（B）=R（B T），因此R（A）= R（B）.总之，若A经有限次初等变换变为B（即A～B），则R（A）=R（B）. 证毕由于A～B的充分必要条件是有可逆矩阵P、Q，使PA Q=B，因此可得推论　若可逆矩阵P、Q使PA Q=B，则R（A）=R（B）.对于一般的矩阵，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.然而对于行阶梯形矩阵，如前所示，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算.因此依据定理2把矩阵化为行阶梯形矩阵来求秩是方便而有效的方法.例5求矩阵A和B的秩，其中解　在A中，容易看出一个2阶子式A的3阶子式只有一个经计算可知因此R（A）= 2.对B作初等行变换变成行阶梯形矩阵因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以R（B）= 3.例6设求矩阵A及矩阵B=（A，b）的秩.解　对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，故从中可同时看出R（A）及R（B）.因此R（A）=2，R（B）= 3.从矩阵B的行阶梯形矩阵可知，本例中的A与b所对应的线性方程组Ax=b是无解的，这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程0=1.例7设已知R（A）=2，求λ与μ的值.解因R（A）=2，故下面讨论矩阵的秩的性质.前面我们已经提出了矩阵秩的一些最基本的性质，归纳起来有①0≤R（A m×n）≤　min｛ m，n｝.②R（A T）=R（A）.③若A～B，则R（A）= R（B）.④若P、Q可逆，则R（PA Q）=R（A）.下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：⑤ma x｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）≤R（A）+R（B），特别地，当B=b为非零列向量量时，有R（A）≤R（A，b）≤R（A）+1.证　因为A的最高阶非零子式总是（A，B）的非零子式，所以R（A）≤R（A，B）.同理有R（B）≤R（A，B）.两式合起来，即为max｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）.设R（A）=r，R（B）=t.把A T和B T分别作初等行变换化为行阶梯形矩阵和.因由性质2，R（A T）=r，R（B T）=t，故和中分别含r个和t个非零行，从而中只含r+t个非零行，并且.于是证毕例如令则⑥　R（A+B）≤R（A）+R（B）.证　无妨设A，B为m×n矩阵.对矩阵作初等行变换ri-r n+i（i=1，2，…，n）即得于是证毕后面我们还要介绍两条常用的性质，现先罗列于下：⑦　R（A B）≤mi n｛R（A），R（B）｝（见下节定理7）.⑧若A m×n B n×l=O，则R（A）+R（B）≤　n（见下章例13）例8设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥　n.证　因（A+E）+（E-A）=2E，由性质⑥，有R（A+E）+R（E-A）≥R（2E）= n，而R（E-A）= R（A-E），所以R（A+E）+R（A-E）≥≥n.例9证明：若A m×n B n×l=C，且R（A）= n，则R（B）=R（C）.证　因R（A）=n，知A的行最简形矩阵为，并有m阶可逆矩阵P，使于是由矩阵秩的性质④，知R（C）=R（PC），而故R（C）=R（B）.本例中的矩阵A的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵.当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵.因此，本例的结论当A 为方阵这一特殊情形时就是矩阵秩的性质④.本例另一种重要的特殊情形是C=O，这时结论为设A B=O，若A为列满秩矩阵，则B=O.这是因为，按本例的结论，这时有R（B）=0，故B=O.这一结论通常称为矩阵乘法的消去律.§3线性方程组的解设有n个未知数m个方程的线性方程组（3）式可以写成以向量x为未知元的向量方程A x=b，（4）第二章中已经说明，线性方程组（3）与向量方程（4）将混同使用而不加区分，解与解向量的名称亦不加区别.线性方程组（3）如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它不相容.利用系数矩阵A和增广矩阵B=（A，b）的秩，可以方便地讨论线性方程组是否有解（即是否相容）以及有解时解是否惟一等问题，其结论是定理3 n元线性方程组Ax=b（i）无解的充分必要条件是R（A）＜R（A，b）；（i i）有惟一解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）=n；（i i i）有无限多解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）＜n.证　只需证明条件的充分性，因为（i），（i i），（i i i）中条件的必要性依次是（i i）（i i i），（i）（i i i），（i）（i i）中条件的充分性的逆否命题.设R（A）=r.为叙述方便，无妨设B=（A，b）的行最简形矩阵为（i）若R（A）＜R（B），则中的d r+1=1，于是的第r+1行对应矛盾方程0= 1，故方程（4）无解.（i i）若R（A）=R（B），则进一步把B化成行最简形矩阵，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形矩阵.（i i i）设R（A）=R（B）=r，把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数，其余n-r个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于c1，c2，…，c n-r，由B（或A）是行最简形矩阵，即可写出含n-r个参数的通解.例10求解齐次线性方程组解　对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵即得与原方程组同解的方程组由此即得令x3 =c1，x4=c2，把它写成通常的参数形式其中c1，c2为任意实数，或写成向量形式例11求解非齐次线性方程组解　对增广矩阵B施行初等行变换可见R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解.例12求解非齐次线性方程组解　对增广矩阵B施行初等行变换即得亦即例13 设有线性方程组问λ取何值时，此方程组（1）有惟一解；　（2）无解；　（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.解法1对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有（1）当λ≠0且λ≠-3时，R（A）= R（B）=3，方程组有惟一解；（2）当λ=0时，R（A）=1，R（B）= 2，方程组无解；（3）当λ=-3时，R（A）=R（B）= 2，方程组有无限多个解，这时由此便得通解即解法2因系数矩阵A为3阶方阵，故有R（A）≤　R（A，b）3×4≤　3.于是由定理3，知方程有惟一解的充分必要条件是A的秩R（A）=3，即︳A ︳≠0.而因此，当λ≠0且λ≠-3时，方程组有惟一解.当λ=0时知R（A）=1，R（B）=2，故方程组无解.当λ=-3时知R（A）=R（B）=2，故方程组有无限多个解，且通解为比较解法1与解法2，显见解法2较简单.但解法2的方法只适用于系数矩阵为方阵的情形.对含参数的矩阵作初等变换时，例如在本例中对矩阵B作初等变换时，由于λ+1，λ+3等因式可以等于0，故不宜作诸如这样的变换.如果作了这种变换，则需对λ+1=0（或λ+3=0）的情形另作讨论.因此，对含参数的矩阵作初等变换较不方便.由定理3容易得出线性方程组理论中两个最基本的定理，这就是定理4 n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R（A）＜n.定理5线性方程组A x=b有解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）.显然，定理4是定理3（i i i）的特殊情形，而定理5就是定理3（i）.为了下一章论述的需要，下面把定理5推广到矩阵方程.定理6矩阵方程A X=B有解的充分必要条件是R（A）= R（A，B）.证　设A为m×n矩阵，B为m×l矩阵，则X为n×l矩阵.把X和B按列分块，记为X=（x1，x2，…，x l）， B=（b1，b2，…，b l），则矩阵方程A X=B等价于l个向量方程A x i=b i（i=1，2，…，l）.又，设R（A）=r，且A的行最简形矩阵为，则有r个非零行，且的后m-r行全为零行.再设从而由上述讨论并依据定理5，可得A X=B有解⇔Ax i=b i有解（i=1，2，…，l）⇔R（A，b i）=R（A） （i=1，2，…，l）⇔b i的后m-r个元全为零（i=1，2，…，l）⇔（b1，b2，…，b l）的后m-r行全为零行⇔R（A，B）=r=R（A）. 证毕利用定理6，容易得出矩阵的秩的性质7，即定理7设A B=C，则R（C）≤min｛ R（A），R（B）｝.证　因A B=C，知矩阵方程A X=C有解X=B，于是据定理6有R（A）= R（A，C）.而R（C）≤R（A，C），因此R（C）≤R（A）.又B T A T=C T，由上段证明知有R（C T）≤R（B T），即R（C）≤　R（B）.综合便得R（C）≤min｛R（A），R（B）｝.证毕定理6和定理7的应用，我们在下一章中讨论.习　题　三1.用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：2.设求一个可逆矩阵P，使PA为行最简形矩阵.3.设（1）求可逆矩阵P，使PA为行最简形矩阵；（2）求一个可逆矩阵Q，使QA T为行最简形矩阵.4.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：5.试利用矩阵的初等行变换，求解第2章习题二第15题之（2）.6. （1）设求X使A X=B；（2）设　求X使XA=B；（3）设A A X=2X+A，求X.7.在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式？有没有等于0的r阶子式？8.从矩阵A中划去一行得到矩阵B，问A，B的秩的关系怎样？9.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1，0，1，0，0），（1，-1，0，0，0）.10.求下列矩阵的秩：11.设A、B都是m×n矩阵，证明A～B的充分必要条件是R（A）=R（B）.12.设，问k为何值，可使（1）R（A）= 1；（2）R（A）=2；（3）R（A）=3.13.求解下列齐次线性方程组：14.求解下列非齐次线性方程组：15.写出一个以为通解的齐次线性方程组.16.设有线性方程组问λ为何值时（1）有惟一解；（2）无解；　（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.17.λ取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解；　（2）无解；　（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.18.非齐次线性方程组当λ取何值时有解？并求出它的通解.19.设问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解.20.证明R（A）=1的充分必要条件是存在非零列向量　a及非零行向量　b T，使A=ab T.21.设A为列满秩矩阵，A B=C，证明线性方程Bx=0与Cx=0同解.22.设A为m×n矩阵，证明方程A X=E m有解的充分必要条件是R（A）=m.。

习题三（A ）1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵：(1) 112332141022-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1111131320461135-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）24512122111212136363--⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-- ⎪---⎝⎭2.设A 123012425⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，010(1,2)100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E ，100(3,2(5))010051⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E .试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A .3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵：(1) A 101110012⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）A 211124347--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）A1111022200330004⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭4.用初等变换解下列矩阵方程：(1) 设A 101110120⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102102-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，且AX =B ，求X .（2）设A 220213010⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且+AX =A X ，求X .5.设矩阵A 122324111222-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，计算A 的全部三阶子式，并求()R A .6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明.7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明.8.求下列矩阵A 的秩：(1) 310211311344⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）1121224230610304-⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭（3）12211248022423336064--⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭(4) 112205123λλλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ (5)111111λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设有矩阵A101110112111022264μμ-⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，若()3R=A，求μ的值.10.判断下列命题是否正确．(1) 如果线性方程组AX=0只有零解，那么线性方程组AX=B有唯一解；(2) 如果线性方程组AX=B有唯一解，那么线性方程组AX=0只有零解．11. 解下列齐次线性方程组：（1）12312312325502303570x x xx x xx x x+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩（2）1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩（3）31243124312431242530420476023950xx x xxx x xxx x xxx x x-+-=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩（4）3124312412431242350240347045530xx x xxx x xx x xxx x x-+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨--=⎪⎪-+-=⎩12. 解下列非齐次线性方程组：（1）123123123343322323x x xx x xx x x-+=⎧⎪+-=-⎨⎪-+-=-⎩（2）12341234123443222333244x x x xx x x xx x x x+-+=⎧⎪++-=-⎨⎪---+=⎩（3）3124312431243124235324434733749xx x xxx x xxx x xxx x x+++=⎧⎪++-=⎪⎨+++=⎪⎪++-=⎩（4）31231231231224523438214496xx xxx xxx xxx x-+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩13. 确定λ的值，使下列齐次线性方程组有非零解，并求其一般解．（1）123123123x x xx x xx x xλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）123123123240356020x x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩λ14.讨论下列非齐次线性方程组，当λ取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出一般解:（1）12312321231x x xx x xx x xλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）212312312313422321x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩λλ15. 设有方程组112223334445551x axx axx axx axx ax-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩，证明方程组有解的充分必要条件是51iia==∑.（B ）1.设A 是n 阶可逆阵，互换A 的第i 行与第j 行（i j ≠）得到矩阵B ，求1-AB .2. （研2007数一、二、三）设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为___ ____. 3. （研2010数一）设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，若AB =E ，则正确的是（ ）(A) ()R m =A ，()R m =B (B) ()R m =A ，()R n =B(C) ()R n =A ，()R m =B (D) ()R n =A ，()R n =B4. （研2015数一、二、三）设矩阵A 21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合={1,2}Ω，则线性方程组Ax =b 有无穷多解的充分必要条件是（ ）(A) a ∉Ω，d ∉Ω (B) a ∉Ω，d ∈Ω (C) a ∈Ω，d ∉Ω (D) a ∈Ω，d ∈Ω5. （研2016数二、三）设矩阵111111a a a --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭与110011101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭等价，则a =____ ____.6.证明：()()R R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A O AB O B . 7.设A ，B 是n 阶非零矩阵，证明：若=AB O ，则()R n <A 及()R n <B .8.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且n m <.证明：||0=AB .。

线性代数第四版课后习题答案线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。

而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。

本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。

第一章：线性方程组1.1 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：2x + 3y + z = 74x + 2y + 5z = 43x + 4y + 2z = 5解得x = 1，y = -1，z = 2。

1.2 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：x - 2y + 3z = 12x + y + z = 23x + 4y - 5z = -1解得x = 1，y = 0，z = 0。

第二章：矩阵代数2.1 习题答案：1. 解：设矩阵A为：3 45 6则A的转置矩阵为：1 3 52 4 62.2 习题答案：1. 解：设矩阵A为：1 23 4则A的逆矩阵为：-2 13/2 -1/2第三章：向量空间3.1 习题答案：1. 解：设向量v为：123则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。

3.2 习题答案：1. 解：设向量v为：23则v的单位向量为v/||v||，即：1/sqrt(14)2/sqrt(14)3/sqrt(14)第四章：线性变换4.1 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：T(x, y) = (y, -x)4.2 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即：T(x, y) = (2x, 2y)通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问题中的应用。

通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。

第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。

线性代数习题解答I目录第一章行列式 (1)第二章矩阵 (22)第三章向量组的线性相关性 (50)第四章线性方程组 (69)第五章矩阵的相似对角化 (91)第六章二次型 (114)附录：习题参考答案 (129)I教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010第一章行列式1．填空题：比较系数可得：x1 x2 x3 0 ，x1x2 x3q2（1）3421 的逆序数为 5 ；解：该排列的逆序数为 t 0 0 2 3 5.2） 517924 的逆序数为 7 0 1 0 0 3 3 7.25 1 3 0 1 1 2 0 46 5 4 3 2= (a ) 1 0 0 7 81 1 1 3 2解：该排列的逆序数为 t3）设有行列式D含因子a 12a 31a45 的项为 -1440， 0 解： ( 1)t(23154)a 12a 23a 31a 45a 54 ( 1)35 2 t(24153) 4( 1) a 12a 24a 31a 45a 53 ( 1) 5 0 6 8（4）若 n阶行列式 D(aij )a,则D 解： Q 行列式 D中每一 行可提出一 个公因子 D ( a ij ) n 1 (a ij) n1 a. 1 1 11 1 22x（5）设 f2，则 f 1 4 4 x 21 8 8 x 3解： f （x ） 是一个 Vandermonde 行列式， f(x) (x 2)(x 2)( 2 1)( 2所以 D 含因子 a 12a 31a45 的项为 -1440 和 0. 6）设 x 1,x 2,x 3是方程x 36 8 3 144010 ( a ij )1 a ；1，0 的根为1，2，-22)(2 1) 0的根为 1，2， -2.px q 0 的三个根，则行列式x 1 x 3 x2x 2 x 1 x3x 3 x 2 x1解：根据条件有 x 3px q (x x 1)(x x 2)(x x 3)x 2 x 3)x 2ax x 1 x 2x 3比较系数可得：x1 x2 x3 0 ，x1x2 x3q1,2.1234 6543002x 0033x 2.3 x 1 px 1q3x 2 px 2 q3x 3px 3q再根据条件得：3 x33x 1x 2x33含有 x 3的项只可能是 xA 41xA 41 x( 1)4 1xa33x x a12a 34a13a 24 a 22a 33a13a 22a 34a12a 24a 331 2 3 49)如果 6 5 4 3=0 ，则 x = 20 0 2 x0 0 3 3Q xA 41 不含 x 3项，原行列式 =x 12 3x 32p(x 1 x 2 x 3) 3q 3 ( q) 0.7) 设有行列式=0， x =1，2解：x 23x 2 (x 1)(x 2) 08) a11 a12 a13a 21 a22xa31xa33xa42a43f (x) a11 A11，则多项式 f(x) 中x 3的系数为 f(x) 中 x 3的系数为 0.122x6533解：设f(x)a21 A 21 a 31 A 31 xA 41 ，解：按第一列展a34a24 a44(5 12)(6 3x) 081 2212 38 0 A 160 0 0 a10) b 0 0 0 = -abcd0 c 0 00 0 d 0解：将行列式按第一行展开： 000a b000 0c00 00d0b00 a ( 1)140 c0 00d abcd.11）如果 解： b3 c33r 3b3 c3r22r 3a11 a12 a132a112a12 2a12 2a1312）如 a21 a 22 a23 =2，则 2a 212a 22 2a22 2a23a31 a 32a332a 312a 322a 322a332a 11 a21 3a11 a21 a31 2a 12 a 22 3a 12 a 22 a32 2a 13 a233a13a23a33a11 a12解： Aa21 a22a 31a322a 11 2a122a122a21 2a 22 2a222a312322a32a23 a 332a332a23 a132a13 1.-160 00 2-4 ，a11 a21 a31 1a12 a 22 a32 2a 13a 23a333a11A Ta12 a 1322a22 a 2323a32 a33-42a11 a 21 3a11 a21 a312a12 a22 3a12 a22 a322a13 a23 3a13 a23 a33代数余子式之和为 = ab按第二行展开b A21 A22 L A2n a 0 b 0,且A21 A22 L A2n 0A21 A22L A2 a n b实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和a11 a12 a13 a14如果0a22 a23 a24（14=1，则0 a32 a33 a340 a42 a43 a44 a11 a22 a32 a421a23 a33 a43a11 ；a24 a34 a44A i1 A i 2L aA in ,i a22 a23 a24a32 a33 a34 -1 ，a42 a43 a44a12 a23 a24a22 a23 a24a32 a33 a34 ，则31 2 AT0 0 0 2 a11 a21 a311 a12 a22 a322 a13 a23 a333（13）设n 阶行列式按第一行展开2（-1）1 4A T4.D =a 0 ，且D 中的每列的元素之和为则行列式D 中的第二行的a11 a12L解：a21 a22 LM Ma n1 a n2 La12 LbL Ma n2 La1nbMa nn1=bMa n1a121Ma n2a1n1Ma nn解：令Ba11 b M a n1解：方法一： A 14 2A 24 3A 34 4A 44 可看成 D 中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和，故其值为 0.1 2 31方法二： A142 3 42 推论12A 24 3A 34 4A443 4 13 0.4 11234a bcd（17 ）设 D c b d a =(a ij ) ，d bcaA ij 表示元素 a ij 的代数余子a b d cA14 A 24 A 34A44；a11a12 a13 a140 a 22 a23 a24 0 a 32 a 33 a34 0 a 42 a 43 a44 0 a 22 a 23 a24 0 a 32 a 33 a34 0a 42 a 43 a44 a11a 12a 23a24a 11 ( 1)1 1B 1a 11 0,且 Ba 11 ( 1)4 1B a 11 B 11a11a 22 a32 a42 a 23a 33 a43 a 24a 34a441a1115）设有行列式则元素 1的余子式 M 21=232x 31 ，元素2 的代数余子011 2 3 416 )设 D 2 3 4 13 4 1 24 1 2 3（a ij ） ， A ij 表示元素 a ij 的代数余子式，则B T式A 12 =A14 2A 24 3A 34 4A44解： A14 A 24 abc1c bd 1 推论 40.dbc1 54 3 2 x 04 3 2 x 0 018)设 f (x) 32 x 0 0 05 20 0 0 0 ，则 x 5的系x x 0 0 0 0 0 00 0 0 0 6abd1解：方法 5 4 3 2 x 05 4 3 2 x 4 3 2 x 0 0 4 3 2 x 0 3 2 x 0 0 06 3 2 x 0 0 2 x 0 0 0 0 2 x 0 0 0 x 0 0 0 0 0 x 0 00 0 0 0 0 6f(x )6 Q f(x) 只有一项非541)2( 1)6x55 44 3 f(x) 3 22 xx 0 0 0方法二： 3 2 x 02 x 0 0x 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 6 t 543216a15a 24a 33a 42a 51a 6610 2 5 5 ( 1)10 ( 1)2 x 5 6 6x 5综上所述： x 5的系数为 6.19) 设 Da 11a12K a1ma21 a 22 K a2mM M LMa11a12Ka m1 am2K a mm ，且 a 21 a22K b1n c 11c 12 Kc1mM M L b2n c 21c 22 Kc2ma m1 am2 K M M M LMb nnc n1 c n2 K cnmb 11 b 12 K b 21 b 22 KM M L b n1 b n2 K a1mMamm1 b12Knb21 Mb22 Mb2nMb ，mn1 ab ；a11 a12 L a1mb11 b12 L b1n 解：方法一：令 A a 21a 22La2ma ， Bb 21b22Lb2nMMM M MMam1 am2L ammbn1bn2Lbnnbnnbn1bn2则D1 证明： ab , D 2mnA B1mnab根据行列式性质 2和 5，将行列式 A变成下三角行列式，得到：a 11 a 12 La 21 a 22 L M Ma m1 a m2 LAa 1m a2m Mamm a 1 a 21 a 2 M MOa m1 a m2 L a m a 1a 2 L a行列式 D 1 、 D2的变换和行列式 A的变换完全相同，得到： a 1 a21 a2 D1MOam1 am2 L amc11 c 12 L c1m b11c 21c 22Lc 2mb21MMMM cn1cn2Lcnmbn1b12bn2b1n b2nMbnn1a1a21Ma2MOD2 a m1 a m2L a m b11 b12L b1n c11 c12 L c1m b21 b22L b2n c21 c22 L c2mMMb n1 b n2 b nnc n2 c nm分别将D1、D2第一次按第一行展开（a2 变成第一行）第二次按第二行展开（a3变成第行），总共进行m 次第一行展开，得到：D1 a1a2L a m ab；D2 a1 1a2n1L a mn1 mnAB mn ab证毕.方法二：设其中：d ijaijm m， B b pq nnDACOd ijBijm n m na ij ,i 1: m, j 1 :mb pq,i m 1: m n, j m1:m n,p i m,q j mc pj ,i m 1: m n, j 1: m,p imA那么：t p1L p m p m 1Lpmp1 ,L ,p m1,L,m nd1p1L d mpmd m 1,pm 1Ld m n,p m nt p1L p m l1Lmla1p1 a mp m b1l 1L b nl np1,L ,pml1,L ,lm1,L ,m1,L ,np1Lpna1 p1 a mp ml1Ll b1l1L b nl n,mp1,L ,p m 1,Ll 1 ,L ,lm1,L ,np1L pnp 1,L ,pm1,L ,ma1p1L a mpm1t l1Ll nAB ab l1,L ,lm1,L,nb1l1 L b nl n2．选择题总共进行了 mn 次对换。

线性代数————第3章：线性方程组一、例题解析：1．单项选择题（1）向量组[][][][]αααα1234110100111001====,,,,,,,,,,,的极大线性无关组是（ ）。

A. αα12,B. αα24,C. ααα134,,D. ααα123,, 解：因为向量组ααα123,,线性无关，而向量组ααα134,,线性相关，所以原向量组的极大线性无关组是ααα123,,。

正确答案：D（2）设线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000103006211041231，则此线性方程组的一般解中自由元的个数为（ ）。

A. 1B. 2C. 3D. 4解：因为方程组中未知量个数是4，增广矩阵的秩)(B A r =3，所以 一般解的自由元个数 = 方程组中未知量个数 - )(B A r = 4-3=1 所以，线性方程组的一般解中自由元的个数为1。

正确答案：A （3）n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是（ ）。

A. n A r =)(B. n A r >)(C. n A r <)(D. )(A r 与n 无关 解：n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是n A r >)( 正确答案：C（4）设线性方程组B AX =的两个解21,X X )(21X X ≠，则下列向量中（ ）一定是B AX =的解。

A. 21X X +B. 21X X -C. 212X X -D. 122X X - 解：因为B B B AX AX X X A =-=-=-22)2(1212，所以122X X -是线性方程组B AX =的解。

正确答案：D2． 填空题（1）一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性 。

解：设0, m αα,,1 为一组n 维向量，取00≠k ，01===m k k ，则0k 0 +m m k k α++α 11= 0由定义可知，向量组0, m αα,,1 线性相关。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

第三章 线性方程组1． 用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-+=-⎪⎪-+--=⎨⎪-++-=⎪⎪++-+=-⎩124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨+++=⎪⎪-++=-⎩123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=-⎩123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=-⎪⎪-+-=⎩12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎪⎪+++=⎨⎪++-=⎪⎪++=⎩ 解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→------⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦102101100101003212000212002000002000000000000000011100010100--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦因为()()45rank A rank B ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1445324122200x x x x x x x -=⎧⎪+=-⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩，解得123451022x k x k x x k x k=+⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=--⎩ 其中k 为任意常数。