第二十七章《相似》教材分析
一地位与作用
从数学知识上，相似形的几何性质是全等形的几何性质的自然而然的延伸和拓展；相似作为图形的一种变换也是全等变换的拓广和发展，同时，相似也是学习锐角三角函数、投影与视图的基础．所以说相似在空间与几何的学习中起着承上启下的作用。
从学生的数学认知发展来看，学生通过对直线形的学习，已积累了对图形的丰富的感性认识、一定的逻辑推理论证能力和利用几何模型分析解决实际问题的能力，这为相似的学习提供了坚实的知识基础和能力基础；同时，从特殊的“全等”研究到一般的“相似”研究也符合学生从特殊到一般的认知规律，学生在探究学习全等时所积累的数学思想和方法可以顺理成章地迁移到相似的研究中，这可以进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力，巩固和提高学生的逻辑推理证明的能力。
此外，相似被广泛应用于现实生活中（测物体的高度、测河宽，制作艺术字等）。在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识。通过对相似的应用研究，可进一步的加强学生数学建模的意识，提高学生分析解决实际问题的能力，对于学生今后从事各种实际工作也有重要作用。
二课程学习目标
1．了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，了解黄金分割；
2．通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定定理，并能利用这些性质和判定定理解决生活中的一些实际问题；
3．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2
B ．△AB
C 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠
D 的度数=1：2
D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D
2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是
A ．13
B ．
23 C ．34
D ．45
【答案】C
【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，
∴
EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BF
AB CD DB BD
+=+
=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +
=1，∴EF =3
4
．故选C ．
3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B
【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=2
3
AB=
2
3
CD，
∵AB∥CD，∴EF
FC
=
BE
DC
=
2
3
，故选B．
4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且
3
2
AE
DE
=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长
为
A．10cm B．5cm
C．6cm D．9cm
【答案】C
九年级数学下册第二十七章相似知识集锦
单选题
1、如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1=1:2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（）
A．1:2B．1:3C．1:4D．1:√2
答案：A
分析：根据位似图形的概念得到ΔABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，进而得出ΔAOC∽△A1OC1，根据相似三角形
的性质解答即可．
解：∵ΔABC与△A1B1C1位似，
∴ΔABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，
∴ΔAOC∽△A1OC1，
∴AC
A′C′=OA
OA′
=1
2
，
∴ΔABC与△A1B1C1的周长比为1:2，
故选：A．
小提示：本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．
2、一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为（）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
答案：C
分析：设它的最大边长为x cm，根据相似图形的性质求解即可得到答案解：设它的最大边长为x cm，
∵两个四边形相似，
∴1
5=4
x
，
解得x=20，
即该四边形的最大边长为20cm．
故选C．
小提示：本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．
3、如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为（）
A．1米B．2米C．3米D．4米
答案：B
分析：利用相似三角形的性质即可求得DE的长．
第二十七章相似
本章概要
本章的主要内容包括相似图形的概念和性质、相似三角形的判定、相似三角形的应用举例和位似变换等.第1小节“图形的相似”主要介绍相似图形、相似多边形的概念，并探索出相似多边形的性质；第2小节“相似三角形”主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用以及相似三角形的周长与面积；第3小节“位似”研究了一种特殊的相似——位似，研究了位似图形的画法以及平面直角坐标系中的位似变换.
全等是图形之间的一种特殊关系，而本章学习的相似比全等更具有一般性，所以本章所研究的问题实际上是在前面研究的图形全等和一些全等变换基础上的拓展.在后面，我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识.在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识，因此这一章的内容也是今后学习所必须的基础知识.另外，在实际生活中，在建筑设计、测量、绘图等许多方面，也都要用到相似的有关知识：例如汽车模型的制作，必须保证模型与原型是相似的，因此这一章内容对于今后从事各种实际工作都具有重要作用.
本章重点是相似多边形的有关性质以及相似三角形的判断.难点主要有两个，一是证明两个三角形相似的条件和性质；二是理解在同一坐标系中，图形变化后点的坐标的变化规律.
学习策略
画图是本章学习的基础，不仅要学会在格点中作格点图，而且也应尝试脱离格点作出图形.另外，几何画板的“作图与度量”功能在学习中也可以运用.探究图形形状时，应从角的大小、边的长度以及顶点的位置(坐标)等不同角度进行量化分析，做到“数”与“形”的有机结合.
九年级下册第二十七章“相似”简介
课程教材研究所宋莉莉
中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似．本章将在前面对全等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究．本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形．此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换，本章将介绍一种新的图形变换——位似．为了进一步培养学生的推理论证能力，本章对许多新结论进行了证明，证明的思路各具特色．全章包括三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要14课时，具体安排如下（仅供参考）：
27．1 图形的相似 2课时27．2 相似三角形 7课时27．3 位似 3课时数学活动
小结 2课时
一、教科书内容和本章学习目标
1．本章知识结构
本章知识结构如下图所示：
2．教科书内容
在“全等三角形”一章中，学生学习了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法．本章以此为基础，按照研究对象的“一般→特殊→特殊位置关系”的顺序展开研究．首先，教科书从现实世界中形状相同的物体谈起，然后把
研究对象确定为形状相同的图形——相似图形，举例说明了放大、缩小两种操作与相似图形之间的关系．接着教科书把研究对象缩小为特殊的相似图形——相似多边形，由相似多边形的定义推出了相似多边形的性质．对于相似多边形的判定，教科书以三角形为载体进行研究，此外，还研究了相似三角形的其他性质和应用．最后，教科书研究了一种具有特殊位置关系的相似图形——位似图形．本章的知识不仅将在后面学习“锐角三角函数”和“投影与视图”时得到应用，而且对于建筑设计、测量、绘图等实际工作也具有重要价值．
九年级下册数学第二十七章：《相似三角形》教案
九年级下册数学第二十七章：《相似三角形》教案
相似三角形
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
l 了解相似三角形的概念，会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角。
l 探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似。
l 探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算。
l 通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题。
l 培养合情推理和数学说理能力。
l 掌握相似三角形的判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似；运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；相似三角形和相似多边形的周长、面积的性质的理解与运用。
难点：
l 相似三角形判定方法的运用；灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）；探索证明相似多边形面积的性质。
学习策略：
对于本知识点的学习，应由低到高处理好以下几个方面的问题：
l 先识记并理解相似三角形的判定方法。
l 灵活运用三角形的判定方法，进行证明或计算。
l 学会由实际问题构建实际三角形，利用相似三角形解决实际问题。
l 结合三角形的判定方法，从本质上去理解相似三角形的性质，在实际应用中加深体会相似三角形的性质。
（一）相似图形的概念
我们把的图形称为相似图形(similar figures).
（二）成比例线段
对于四条线段，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段(proportional segments).
相像三角形根本学问
学问点一：相像图形
1.的两个图形说成是相像的图形。
留意：〔1〕我们可以这样理解相像形：两个图形相像，其中一个图形可以看作是由另一个图形得到的．〔2〕全等形是相像图形的一种．
2.相像多边形：假如两个多边形 ,对应角，对应边,那么这两个多边形是相像多边形。记为相像比。
3.相像多边形的性质：对应角，对应边。
留意：当两个相像的多边形是全等形时，他们的相像比是.
练习1、在比例尺为1：8000000的“中国政区〞地图上，量得甲市及乙市之间的间隔是6.5，那么这两市之间的实际间隔为；
学问点二：平行线分线段成比例定理
(一)平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条
直线,所得的对应线段成比.
l1∥l2∥l3 ,可得
，
2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
∵∥
∴.
3、断定三角形相像定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边及原三角形三边对应成比例.
即： ∵ ∥ ∴.
练习1、如图，E 是平行四边形的边的延长线上的一点，
连结交于F ，那么图中共有相像三角形 〔 〕 A 1对 B 2对 C 3对 D 4对
练习2、如图，△中，点D 、E 分别是、的中点，以下结论不正确的选项是〔 〕
A.2
B. △∽△
C. AC
AB
AE AD = D. ADE ABC S S ∆∆=3
练习3、在菱形中，E 是边上的点，连接交于点F, 假设2,
那么
FD
BF
的值是〔 〕 A.21 B.31 C.4
1 D.
51
8、如图小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，那么球拍击球的高度h 为〔 〕
知识·巧学
一、相似三角形
1.定义：如果两个三角形对应边成比例，对应角相等，那么这两个三角形相似. 例如：在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
k A C CA
C B BC B A AB ='
'=''='',则△ABC 与△A′B′C′相似. 2.记作△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k. 3.读作△ABC 相似于△A′B′C′.
4.这里要把对应顶点写在对应的位置上.对应相等的角的顶点是对应点.以一对对应顶点为端点的边是对应边，也可以说对应角所对的边是对应边. 二、三角形一边的平行线性质
1.过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似.
2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. (1)平行线截得的三角形与原三角形的形状相同.
如图27.2-1，DE ∥BC ，直线DE 的位置有三种，总有△ABC ∽△ADE.
图27.2-1
(2)如图，DE 在AB 、AC(或它们的延长线)上截得的线段成比例, 即∵DE ∥BC,∴
EC
AE
BD AD =. (3)用几何画板演示三角形一边的平行线构成的相似关系，操作步骤如下： ①新建几何画板文件；
②选取“画点”工具画三个点；
③选中这三个点，由菜单“作图”→“画直线”，可以画出经过这三点的直线，标上标签； ④选取“画点”工具，在直线AB 上作点D ，标上标签；
⑤选中点D 和直线AB ，由菜单“作图”→“平行线”，可以画出经过点D 的AB 的平行线，选取平行线与直线AC 的交点，标上标签E ； ⑥隐藏直线AB 、BC 、CA 、DE ；
第二十七章相似
27．1 图形的相似
第1课时相似图形
教学目标
1．通过对事物图形的观察、思考和分析，认识相似的图形．
2．经历动手操作的活动过程，增强学生的观察和动手能力．
3．体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识．
预习反馈
阅读教材P24～25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似．并完成下列预习内容．
①把形状相同的图形叫做相似图形．
②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？
相似．
④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？
不相似．
⑤全等三角形相似吗？
相似．
⑥生活中哪些地方会见到相似图形？
答案不唯一．
【点拨】研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形．例题讲解：
例1下列各图中哪组图形是相似图形(C)
A B
C D
【点拨】观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形．
【跟踪训练1】下列图形中，不是相似图形的是(C)
A B
C D
【跟踪训练2】(教材P25练习2)如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？
解：(d)与(1)相似，(e)与(2)相似．
巩固训练
1．如图所示各组图形中，两个图形形状不相同的是(C)
A B
C D
2．下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片．其中相似的组数有(C)
A．4组B．3组C．2组D．1组
