上海高考数学文科试题含答案

一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写答案，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1. 若全集U R =，集合{1}A x x =≥，则U C A =2. 计算3lim(1)3n nn →∞-+= 3. 若函数()21f x x =+的反函数为1()fx -，则1(2)f --=4. 函数2sin cos y x x =-的最大值为5. 若直线l 过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l 得方程为6. 不等式11x<的解为 7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为 8. 在相距2千米的,A B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则,A C 两点之间的距离是 千米. 9. 若变量,x y 满足条件30350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y =+得最大值为10. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12， 8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 11. 行列式(,,,{1,1,2}a b a b c d c d∈-所有可能的值中，最大的是12. 在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 13. 随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001） 14. 设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） （A ）2y x -= （B ）1y x -= （C ）2y x = （D ）13y x = 16.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）（A ）222a b ab +> （B ）a b +≥ （C ）11a b +> （D ）2b a a b +≥ABDCA 1B 1C 1D 117.若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为,E F ，则（ ） （A ）E F Ø （B ）E F Ù （C ）E F = （D ）EF =∅18.设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.（本题满分12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，求2z20.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求 （1）异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四面体11AB D C 的体积21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠ （1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（2）若0a b ⋅<，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围.22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； （2）若3m =，求PA 的最大值与最小值； （3）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*)n N ∈.将集合{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c（1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； （2）数列12340,,,,c c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？请说明理由；（3）求数列{}n c 的前4n 项和4(*)n S n N ∈.2011年上海高考数学（文史类）答案15、A；16、D；17、A；18、B。

2022年高考文科数学上海卷试题与答案word解析版某1．不等式＜0的解为______．2某12．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝______.3．设mR，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝______.某2某y11＝0，11＝1，则y＝______.4．已知5．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2＋ab＋b2－c2＝0，则角C的大小是______．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为______．7．设常数aR.若(某8．方程2a5)的二项展开式中某7项的系数为－10，则a＝______.某91＝3某的实数解为______．某3119．若co某coy＋in某iny＝，则co(2某－2y)＝______.310．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为l，则＝______.的概率是______(结果用最简分数表示)．12．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝间的距离为______．.若AB＝4，BC＝2，则Γ的两个焦点之4a213．设常数a＞0.若9某＋≥a＋1对一切正实数某成立，则a的取值范围为______．某14．已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c1、c2、c3.若i，j，k，l{1,2,3}且i≠j，k≠l，则(ai＋aj)2(ck＋cl)的最小值是______．15．函数f(某)＝某－1(某≥0)的反函数为f(某)，则f(2)的值是() A．3B．3C．1+2D．1216．设常数aR，集合A＝{某|(某－1)(某－a)≥0}，B＝{某|某≥a－1}．若A∪B＝R，则a的取值范围为()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的()A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2－1－1某2ny218．记椭圆＝1围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1，2，)，当点(某，y)分别在Ω1，Ω2，上44n1时，某＋y的最大值分别是M1，M2，，则limMn＝()19．如图，正三棱锥O－ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．2022上海文科数学第1页20．甲厂以某千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤某≤10)，每一小时可获得的利润是3100(5某1)元．某(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(513)元；某某2(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．已知函数f(某)＝2in(ω某)，其中常数ω＞0.(1)令ω＝1，判断函数F(某)＝f(某)＋f(某(2)令ω＝2，将函数y＝f(某)的图像向左平移2)的奇偶性，并说明理由；个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(某)的图像．对6任意aR，求y＝g(某)在区间[a，a＋10π]上零点个数的所有可能值．2022上海文科数学第2页22．已知函数f(某)＝2－|某|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，nN.(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；(3)是否存在a1，使得a1，a2，，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．某某2223．如图，已知双曲线C1：－y＝1，曲线C2：|y|＝|某|＋1.P是平面内一点，若存在过点P的直线与2C1、C2都有公共点，则称P为“C1－C2型点”．(1)在正确证明C1的左焦点是“C1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y＝k某与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1－C2型点”；(3)求证：圆某＋y＝221内的点都不是“C1－C2型点”．22022上海文科数学第3页2022年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(上海卷)111．答案：0＜某＜某(2某－1)＜0某(0，)．222．答案：15a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30a2＋a3＝15.2mm20223．答案：－2m＋m－2＋(m－1)i是纯虚数2m＝－2.m10某2某y4．答案：1已知＝某－2＝0某＝2，又＝某－y＝1联立上式，解得某＝2，y＝1.11112a2b2c212222C.5．答案：a＋ab＋b－c＝0coC＝32ab2340607580＝78.6．答案：78平均成绩＝100100a572r25yar7．答案：－2(某)C5(某)()＝－10某r＝1，C15a＝－105a＝－10，a＝－2某某99某某某某某8．答案：log34某＋1＝3某＝3－13－1＝±33＝±3＋1＞03＝4某＝log34.313171729．答案：co某coy＋in某iny＝co(某－y)＝co2(某－y)＝2co(某－y)－1＝.939lr310答案：3由题知，tan3.r6l3511．答案：考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

上海市高考数学试题（文科）一、填空题（56分）1、若全集U R =，集合{|1}A x x =≥，则U C A = 。

2、3lim(1)3n nn →∞-=+ 。

3、若函数()21f x x =+的反函数为1()fx -，则1(2)f --= 。

4、函数2sin cos y x x =-的最大值为 。

5、若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为6、不等式11x<的解为 。

7、若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是 。

8、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。

9、若变量x 、y 满足条件30350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y =+的最大值为 。

10、课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8。

若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 。

11、行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。

12、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 。

13、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。

14、设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为 。

二、选择题（15、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为〖答〗（ ） A 2y x -= B 1y x -= C 2y x = D 13y x = 16、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（ ）A 222a b ab +> B a b +≥ C11a b +>2b a a b +≥ 17、若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为E 和F ，则〖答〗（ ）A E F ØB E F ÙC E F =D EF =∅18、设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同的点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为〖答〗（ ）A 0B 1C 2D 4 三、解答题（74分）19、（12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。

2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海卷，解析版）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B =U ，则m = . 【解析】∵{}1,2,3,4A B =U ，∴{}21,3,m ∈，于是2m =.故答案为：2. 【点评】本题考查集合的概念和运算，属基础概念题．2.不等式204xx ->+的解集是 . 【解析】20(4)(2)0(4)(2)0424xx x x x x x->⇔+->⇔+-<⇔-<<+，故答案为：)2,4(-.或由2020404x xx x ->⎧->⇔⎨+>+⎩或2040x x -<⎧⎨+<⎩，解得42x -<<，故答案为：)2,4(-. 【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解.3.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 . 【解析】cossin 166coscossinsincos()cos 66666632sincos66πππππππππππ=-=+==，答案为：12. 【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= .【解析】∵12z i =-，∴(12)(12)1251262z z z i i i i i ⋅+=-++-=+-=-，故答案为：i 26-【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题．5.将一个总数分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 个个体.【解析】设A 、B 、C 三层的个体数为5k ，3k ，2k （0k >），则分层抽样方法知：从C 中应抽取100220532k k k k⨯=++个个体，故答案为：20.【点评】本题改编自09年湖南的一道高考题，主要考查分层抽样的基本知识.6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =， 则该四棱椎的体积是 . 【解析】四棱椎的体积2168963V =⨯⨯=，故答案为：96. 【点评】本题考查棱椎的概念、性质和体积计算公式，属基础题.7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = . 【解析】由044222=+--+y x y x ，得22(1)(2)1x y -+-=，则圆心为(1,2)，故22|31424|334d ⨯+⨯+==+，答案为：3.【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 .【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题. 9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 ______.【解析】因函数3()log (3)f x x =+图象与x 轴的交点是(2,0)-，所以其反函数的图像与y 轴的交点坐标是(0,2)-，故答案为：)2,0(-.【点评】反函数是高考常考的知识点，一般难度都不大.当与反函数图像有关时，要注意反函数与原函数的图象关于直线y x =对称.10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 ____________（结果用最简分数表示）.【解析】由等可能事件的概率计算公式,得213252117C P C ==,故答案为：117.【点评】本题考查等可能事件的概率及其计算，解本类问题的关键是弄清基本事件的总数. 11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 .【解析】依题意，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，可知程序的执行框内应填：a S S +←.【点评】本题主要考查算法的程序框图．由题意确定算式是基础，弄清算法流程图的逻辑结构是解题关键．12.在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅.当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= _____.【解析】当9n =时，由矩阵的结构可知：111a =，223a =，335a =，447a =，559a =，662a =，774a =，886a =，998a =，∴1122339912945a a a a +++⋅⋅⋅+=+++=L ，故答案为：45.【点评】矩阵是上海高考常考的知识点，也是一大亮点.本题考查矩阵元素的构成规律和等差数列的前n 项和公式.13.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e =r、2(2,1)e =-r 分别是两条渐近线的方向向量。

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(文史类)一、填空题：(本大题共有14题，满分56分)1.计算：工= _____________ .仃为虚数单位)1 + Z2.若集合A = {x|2x-1 >0}, B = {x制vl},贝lj AC\B= ____________ .3.函数/(A)=S IN X2的最小正周期是 ____________________ .-1 COSX4 .若7 = (2,1)是直线/的一个方向向量,则/的倾斜角的大小为____________ ・(结果用反三角函数值表示)5.一个高为2的圆柱，底面周长为2兀，该圆柱的表面积为__________ .6.方程4r-2A+,-3 = 0的解是_____________ .7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、丄为公比的等比数列，体积分别2记为X，X, •…，匕，•…，则lim(M+X+…+匕,)=8.在丄丫的二项式展开式中，常数项等于________________ ・\ X)9・己知y = f(x)是奇函数，若g(x) = /(x) + 2且g(l) = l ,则g(T)= ____________ •10・满足约束条件|x| + 2|y|<2的目标函数z = 的最小值是____________ •11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是_____________ .(结果用最简分数表示)12.在矩形A3CD中，边A3、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、\BM\丽| _________________CD上的点，且满足7 = #』，则AM - AN的取值范围是_____________ •13.己知函数y = /（x）的图像是折线段A3C,其中A（0,0）、3（丄,1）、C（1,O）,2函数y = xf M（0<x<l）的图像与x轴围成的图形的面积为___________ ・14.己知/« = —,各项均为正数的数列匕｝满足仏2=/（冷），1 I X右^2010 = ^2012 '则“20 +白'J fl L 心____ •二、选择题：（本大题共有4题，满分20分）15.若1 + 72/是关于x的实系数方程疋+加+c = 0的一个复数根，则（）A . b = 2、c = 3 ；B . b = 2,c = —1；C . Z? = —2,c = —l；D . b = —2, c = 3 .16.对于常数加、”，“ 〃加>0”是“方程mx2+ny2=\的曲线是椭圆”的（）A .充分不必要条件；3・必要不充分条件；C .充分必要条件；D .既不充分也不必要条件.17.在△A3C中，若sin2A + sin2B<sin2C,则△A3C的形状是（）A.钝角三角形；B.直角三角形；C・锐角三角形；D.不能确定.18.若S” =sin 彳+ sin 扌+ ...+sin 罕（mN*）,则在S「S、，…中，正数的个数是（D. 100.三、解答题：(本大题共有5题，满分74分)19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知/(x) = lg(x + l).(1)若O</(l-2x)-/(x)<l,求x 的取值范围；(2)若g(Q是以2为周期的偶函数，且当0<x<l时，g(x) = /(x),求函数y = g(x) (xe[l,2])的反函数.21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题A • 16；B • 12；满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里4处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线= ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；49③救援船出发/小时后，失事船所在位置的横坐标为7/.（1）当）=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合, 求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分在平面直角坐标系，中，己知双曲线C:2x2= 1.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若鬥=2血，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积;（3）设斜率为& （网＜血）的直线/交C于八Q两点，若/与圆x2 + / = l相切，求证：OP丄OQ・23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于项数为加的有穷数列｛%｝,记以=max｛di，a2，...,（s｝（ « =1,2,...,加）, 即仿为⑷心,...,代中的最大值，并称数列他｝是&｝的控制数列，如1, 3, 2, 5, 5的控制数列是1, 3, 3, 5, 5.（1）若各项均为正整数的数列｛①｝的控制数列为2, 3, 4, 5, 5,写出所有的⑷；（2 ）设｛/?,｝是［a n｝的控制数歹lj,满足冬+仇一*+1 = C（C为常数，k = l, 2,..., m）, 求证:b k = a k（ R = 1,2,…,）；（1 、n（；r+l）-,1，若5=肿-（-1尸_〃，｛化｝是｛©｝的控制2 ）数列，求（勺一勺）+ @2 -“2）+ •・•+（勺00 - "】00）•上海市教育考试院保留版权 岛考（20⑵数学（文）答案第顷（共4页》2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准说明1. 本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标 准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持毎题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题 的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后地部分，但该步以后的解答未改变这 一題的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分 应给分数之半.如果有较严垂的慨念性错误，就不给分. 解答一、（第I 题至第Z 题）题号 15 16 1718 代号DBAC三、（第19题至第23题） 19.[解]⑴ S M[)C = -^ x 2 x 2x ;3 = 2\,z 3 ....... 2分三棱锥P-ABC 的体积为V - \ x = - x 2x5 x 2 =・ 6分333(2)取的中点E,连接DE 、AE,则1. l-2i6. log, 3宀312. [1,4] 3. 7C& —2013.-414. arctan -9. 3 「13內 + 314. -----------------2610. 一2pEDH BC ,所以ZADE (或其补角)畑异面直线在WDE 中.DE = 2, AE = >/2 . =22 + 22 -2 3 3cos "DE =-—=——-=—.所以/A DE = arccos —・2x2x2 4 4因此，异面直线BC与所成的角的大小是arccos-・……12分4f2-2x>0,,20. [解]⑴由< 得-lvxv 1.x + l>02-?x 2—2丫由0vlg(2-2x) — lg(x + l) = lg―<1 得1<—— <10. ……3分X+l X+12 1因为x + 1 >0 »所以x + 1 <2 — 2x vl0x + 10, <x <一・I白 2 1得一-<x<7. ……6分——< x < - 3 3I 3 3(2) 6(1,2]时，2-xe[0,l],因此P = g(x) = g(x-2) = g(2-x) = /(2-x) =lg(3-x). ……10 分由单调性可得y“0,lg2]・因为x = 3-2,所以所求反函数^^ = 3-10\ xe[0Jg2]・ (4)7 10【解](1)r = 0.5时，P的横坐标Xf,=7t = -.代入抛物线方科丿= 得p的钮坐标〃=3. ...... 2分得救援船速厦的大小为<949海里/时.7 7由论皿拄，得沖臥故救援船速度的方向为北偏东arctan 辭度.⑵ 设救援船的时速为v海里，经过/小时追上矢弔船，此时位置为(7/J2P). 由吩J(7r)2+(12/2 十12)2 .高考(2012)数学(文)答宝第2贞(共4页)整理得V? =144(/2+*) + 337.10分因为/2+p->2.当且仅当了= 1时等号成'L高考(2012)数学(文)答宝第2贞(共4页)髙考（2012）数学（文）答突第3页（芫3所以 V 2>144X 2 + 337 = 25\ 即 v>25 ・因此，救援船的时速至少绘25海里才能追上次引船.2( J6 }22.(解］(1)双曲线C : — >•' = 1 •左焦点F - ~~,0・ 丄 〔2 丿2f /7\2 <6 j X + ----- I2由M 点是右支上一点，知x >.所以| MF |= VJx +得x 仝.（2）左顶点S,渐近线方稈：y 二士、行x ・过点“4与渐近^y = <2x 平行•的自线方程为：y = <272 x + —2丿即 y = \l2x +1• 一厲x~~~" 1 V 二一. • 2所求平行四边形的面积为s =: OA \ y 产¥解方程组'得 y=、'2x + l（3）设直线P0的方程是丁 =后+ 6・肉頁线PQb 己知圆相切, 即/二F+］（車）・设P （环必）、则丿2kbx } +x. = -一r• 2_k-l-於x.x,二 ----- -又”力二（匕+b ）（也+6）,所以高考（2012）数学（文〉答冬 第4贞（共4页）OP ・OQ = XR +y =(1 + /)衲2 + 肋(X| +兀2)+6‘ (1 + &：)(-1-戸)| 2M +护二一1 +於-疋2-Q J-Q + = ~2-，23. ［解］⑴数列{a n }为:2,3,4,5,1； 2,345,2； 2,3,4,5,3；2,3,4,5,4； 2,3,4,5,5.(2)因为b k =max{a p a 2,•••,«*} . 6如 二max{q 卫勺卫八|} • 所以2®....... 6分 因为畋+也.严C,如+也=C,所以-碍=侏.2_4*»0,即> a k .……8分 因此，b k -a k .... 10分 (3)对^ = 1,2,•••,25,%_3 = d(% - 3)J + (4* - 3)；a tk-i - - 2)* + (4^ - 2)；。

2023年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意:1．答卷前,考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试卷,满分150分,考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将解析直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1．不等式11x -＜地解集是 ．【解析】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2．若集合{}|2A x x =≤,{}|B x x a =≥满足{2}A B = ,则实数a = ．【解析】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素.3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位),则z = ．【解析】1i+【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-.4．若函数()f x 地反函数为12()log f x x -=,则()f x = ．【解析】()2xx R ∈【解析】令2log (0),y x x => 则y R ∈且2,yx =()()2.xf x x R ∴=∈5．若向量a ,b 满足12a b == ，且a 与b 地夹角为3π,则a b += ．【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b+=++=++22||||2||||cos 73a b a b π=++= ||a b ⇒+=6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =地焦点,则实数a = ．【解析】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =地焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 7．若z 是实系数方程220x x p ++=地一个虚根,且2z =,则p = ．【解析】4【解析】设z a bi =+,则方程地另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=,由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=-+-=8．在平面直角坐标系中,从五个点:(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个,这三点能构成三角形地概率是 （结果用分数表示）．【解析】45【解析】由已知得A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线,所以五点中任选三点能构成三角形地概率为3335245C C -=9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数,且它地值域为(]4-∞，,则该函数地解析式()f x = ． 【解析】224x -+【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数,则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，,224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+10．已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数为10.5．若要使该总体地方差最小,则a 、b 地取值分别 ． 【解析】10.5,10.5a b ==【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知,只需10.5a b ==时,总体方差最小.11．在平面直角坐标系中,点A B C ，，地坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成地区域（含边界）上地点,那么当xy ω=取到最大值时,点P 地坐标是 ． 【解析】5,52⎛⎫⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时,点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题,每题都给出代号为A 、B 、C 、D 地四个结论,其中有且只有一个结论是正确地,必须把正确结论地代号写在题后地圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出地代号超过一个（不论是否都写在圆括号内）,一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上地点．若12F F ，是椭圆地两个焦点,则12PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】D【解析】 由椭圆地第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中地直线l 及平面α．条件"直线l 与平面α内两条相交直线都垂直"是"直线l 与平面α垂直"地（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件【解析】C【解析】"直线l 与平面α内两条相交直线都垂直"⇔"直线l 与平面α垂直".14．若数列{}n a 是首项为1,公比为32a =地无穷等比数列,且{}n a 各项地和为a ,则a 地值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【解析】B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或.15．如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x 轴地正半轴、y 轴地正半轴分别相切于点C 、D 地定圆所围成地区域（含边界）,A 、B 、C 、D 是该圆地四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥,则称P 优于P '．如果Ω中地点Q 满足:不存在Ω中地其它点优于Q ,那么所有这样地点Q 组成地集合是劣弧（ D ）Ａ． AB B ． BCC ． CD D ． DA 【解析】D【解析】由题意知,若P 优于P ',则P 在P '地左上方,∴当Q 在 DA上时, 左上地点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 地点,∴Q 组成地集合是劣弧 DA.三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要地步骤．16．(本题满分12分)如图,在棱长为2地正方体1111ABCD A B C D -中,E 是BC 1地中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角地大小（结果用反三角函数值表示）．16. 【解】过E 作EF ⊥BC ,交BC 于F ,连接DF.∵ EF ⊥平面ABCD ,∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成地角. ……………4分由题意,得EF =111.2CC =∵11,2CF CB DF ==∴=分∵ EF ⊥DF , ∴tan EF EDF DF ∠==……………..10分故直线DE 与平面ABCD所成角地大小是….12分17．（本题满分13分）如图,某住宅小区地平面图呈扇形AOC ．小区地两个出入口设置在点A 及点C 处,小区里有两条笔直地小路AD DC ，,且拐弯处地转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟,从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行地速度为每分钟50米,求该扇形地半径OA 地长（精确到1米）．17. 【解法一】设该扇形地半径为r 米. 由题意,得CD =500（米）,DA =300（米）,∠CDO=060在CDO ∆中,22022cos 60,CD OD CD OD OC+-⋅⋅⋅=……………6分即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ,作OH ⊥AC ,交A C 于H …………………..2分由题意,得CD =500（米）,AD =300（米）,0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中∴ AC =700（米）…………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米）∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题,第1个题满分5分,第2小题满分10分．已知函数f (x )=sin2x ,g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭,直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，地图象分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时,求｜MN ｜地值；（2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时地最大值．18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分 231cos.32π=-=………………………………5分（2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 222t t =……...8分26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………….11分∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN . ……………15分19．（本题满分16分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分．已知函数||1()22xx f x =-．（1）若()2f x =,求x 地值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立,求实数m 地取值范围．19、【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知,2122,22210,2x x x x-=-⋅-=即解得 21x=±…………6分∵ (220,log 1x x >∴= …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t ttt m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈-- 故m 地取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20．（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 地渐近线方程；（2）已知点M 地坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上地点,Q 是点P 关于原点地对称点．记MP MQ λ=．求λ地取值范围；（3）已知点D E M ，，地坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，,P 为双曲线C 上在第一象限内地点．记l 为经过原点与点P 地直线,s 为DEM △截直线l 所得线段地长．试将s表示为直线l 地斜率k 地函数．20、【解】（1）所求渐近线方程为0,0y y x -=+= ……………...3分（2）设P 地坐标为()00,x y ,则Q 地坐标为()00,x y --, …………….4分()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ (7)分0x ≥ λ∴地取值范围是(,1].-∞-……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内地点,则直线l地斜率.k ⎛∈ ⎝……………11分由计算可得,当()1(0,],2k s k ∈=时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝时……………15分∴ s 表示为直线l 地斜率k 地函数是()1(0,21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝….16分21．（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分４分,第2小题满分６分,第3小题满分8分．已知数列{}n a :11a =,22a =,3a r =,32n n a a +=+（n 是正整数）,与数列{}n b :11b =,20b =,31b =-,40b =,4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ,求r 地值；（2）求证:当n 是正整数时,124n T n =-；（3）已知0r >,且存在正整数m ,使得在121m T +,122m T +, ,1212m T +中有4项为100．求r 地值,并指出哪4项为100．21、【解】（1）()()()12312...12342564786a a a a r r r r ++++=++++++++++++++ 484.r =+………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴=………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明:当12,4.n n Z T n +∈=-时①当n=1时,1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分②假设n=k 时等式成立,即124,k T k =-那么当1n k =+时,()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定:当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r nn m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数,41,4,44m r m r m -+-----均为负数,∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时,293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。

2022上海高考数学试题〔文科〕答案与解析一、填空题〔本大题共有14题，总分值56分〕【点评】此题主要考查行列式的根本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．假设是直线的一个方向向量，那么的倾斜角的大小为〔结果用反三角函数值表示〕.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，那么21arctan ,21tan ==αα. 【点评】此题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的外表积为. 【答案】π6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的外表积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】此题主要考查空间几何体的外表积公式.审清题意，所求的为圆柱的外表积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的外表积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230xx +--=的解是.【答案】3log 2 【解析】根据方程03241=--+x x，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20x t t =>，那么原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x.所以原方程的解为3log 2.【点评】此题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.此题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.此题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，那么12lim(...)n n V V V →∞+++=.【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积那么组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】此题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于.【答案】20-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x=-=-. 【点评】此题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.()y f x =是奇函数，假设()()2g x f x =+且(1)1g =，那么(1)g -=. 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】此题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，此题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是. 【答案】2-【解析】根据题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，〔包括边界〕目标函数可以化成z x y +=，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z . 【点评】此题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，此题属于中档题，难度适中. 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛，假设每人只选择一个工程，那么有且仅有两位同学选择的工程相同的概率是〔结果用最简分数表示〕. 【答案】32 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的工程的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32. 【点评】此题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清根本领件数和根本领件总数.此题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，那么AM AN ⋅的取值范围是【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如下列图，因为1,2==AD AB ，所以 (0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，根据题意，22x b -=，所以2(,1),(2,).2xAN x AM →→-==所以123+=•→→x AN AM ()20≤≤x ，所以41231≤+≤x ， 即→→≤•≤41AN AM .【点评】此题主要考查平面向量的根本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.此题属于中档题，难度适中.13.函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =〔01x ≤≤〕的图像与x 轴围成的图形的面积为. 【答案】41【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为41)22(2121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41.【点评】此题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出表达数形结合思想，此题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，此题属于中高档试题，难度较大. 14.1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，假设20102012a a =，那么2011a a +的值是. 【答案】265133+ 【解析】据题x x f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到n n a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a 〔负值舍去〕.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】此题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，此题综合性强，运算量较大，属于中高档试题. 二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕15.假设1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，那么〔 〕A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-=【答案】 D【解析】根据实系数方程的根的特点知1-也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】此题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四那么运算.属于中档题，注重对根本知识和根本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn >〞是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.【点评】此题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，假设222sin sin sin A B C +<，那么△ABC 的形状是〔 〕 A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<， 由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.应选择A.【点评】此题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.此题属于中档题. 18.假设2sin sin...sin 777n n S πππ=+++〔n N *∈〕，那么在12100,,...,S S S 中，正数的个数是〔 〕A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】此题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题〔本大题共有5题，总分值74分〕19.〔此题总分值12分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，∠BAC ＝2π，2AB =，3AC =2PA =，求： 〔1〕三棱锥P ABC -的体积； 〔2〕异面直线BC 与AD 所成的角的大小〔结果用反三角函数值表示〕. 【答案与解析】【点评】此题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.此题源于 必修2 立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20.〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分()lg(1)f x x =+.〔1〕假设0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；〔2〕假设()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =〔[]1,2x ∈〕的反函数. 【答案与解析】【点评】此题主要考查函数的概念、性质等根底知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21.〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系〔以1海里为单位长度〕，那么救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .〔1〕当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，假设此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；〔2〕问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 【答案与解析】【点评】此题主要考查函数的概念、性质及导数等根底知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22.〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:21C x y -=.〔1〕设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，假设22MF =M 的坐标； 〔2〕过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； 〔3〕设斜率为k 〔2k <l 交C 于P 、Q 两点，假设l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ .【答案与解析】【点评】此题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，此题属于中档题 ．23.〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =〔1,2,...,k m =〕，即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.〔1〕假设各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a ； 〔2〕设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=〔C 为常数，1,2,...,k m =〕，求证：k k b a =〔1,2,...,k m =〕；〔3〕设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，假设(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-. 【答案与解析】【点评】此题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的根本性质等根底知识，此题属于信息给予题，通过定义“控制〞数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的根本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地写姓名、转考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】(24)，【解析】试题分析：421311|3|<<⇔<-<-⇔<-x x x ，故不等式1|3|<-x 的解集为)4,2(. 考点：绝对值不等式的基本解法. 2．设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________. 【答案】-3 【解析】 试题分析：32i23i, 3.iz z +==--的虚部等于 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3．已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则12l l 与的距离是_______________.25【解析】试题分析：利用两平行线间的距离公式得12222225d 5a b 21===++. 考点：两平行线间距离公式.x OP 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_________（米）. 【答案】1.76 【解析】试题分析：将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，这五个数的中位数是1.76. 考点：中位数的概念.5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 【答案】3±【解析】试题分析：)sin(16)(2ϕ++=x a x f ，其中4tan a =ϕ，故函数)(x f 的最大值为216a +，由已知得，5162=+a ，解得3±=a .考点：三角函数sin()y A x ωϕ=+ 的图象和性质.6．已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数.【答案】2log (1)x -考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【解析】试题分析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令y x z 2-=，当直线z x y 2121-=经过点)1,0(P 时，z 取得最大值2-.y考点：线性规划及其图解法.8．方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2]π上的解为___________. 【答案】566ππ， 【解析】试题分析：化简3sinx 1cos 2x =+得：23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），又[0,2]x ∈π，所以566x ππ=或. 考点：二倍角公式及三角函数求值.9．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.【答案】112 【解析】试题分析：由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为n2，即n 2256=，所以n 8=，又二项展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x --+=-=-，令84r 033-=，所以r 2=，所以3T 112=，即常数项为112. 考点：二项式定理.10．已知△ABC 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为22235712352+-=-⨯⨯，所以此角的正弦值为2，由正弦定理得2R =,所以R =.考点：正弦、余弦定理.11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】16【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组，有24C 6=种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16. 考点：古典概型12．如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x =-上一个动点，则OP BA ×uu u r uu r的取值范围是 .【答案】[1,2]-【解析】试题分析：由题意，设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，则(cos ,sin )OP αα=u u u r ，又(1,1)BA =u u u r, 所以cos sin 2sin()[1,2]4OP BA αααπ⋅=+=+∈-u u u r u u u r .考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13．设a >0,b >0. 若关于x ,y 的方程组11ax y x by ，ì+=ïïíï+=ïî无解，则a b +的取值范围是 . 【答案】(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠.又a ，b 为正数，所以22a b ab +>=（1a b ≠≠），即a b +的取值范围是(2,)+∞.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.14．无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意*n ÎN ，{23}n S Î，，则k 的最大值为 . 【答案】4考点：数列的项与和.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．设a ∈R ，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）.（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以“1>a ”是“12>a ”的充分非必要条件，选A.考点：充要条件16．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）.(A)直线AA 1(B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1【答案】D【解析】试题分析：只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 中的直线与EF 都是异面直线，故选D ． 考点：异面直线17．设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（ ）.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,)3πa b =，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πa b =-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．考点：三角函数18．设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数．对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是增函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）. (A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题 (C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 试题分析：考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为56π ，¼11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.【答案】（1）V =π，2S =π；（2）π2． 【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．由此计算即得.（2）由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角，再结合题设条件计算即得． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =．圆柱的体积2211V r l =π=π⨯⨯=π， 圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π．（2）设过点B 1的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ， 所以COB ∠或其补角为11O B 与OC 所成的角．由¼11A B 长为3π，可知1113AOB AO B π∠=∠=， 由»AC 长为56π，可知5π6AOC ∠=，2COB AOC AOB π∠=∠-∠=，所以异面直线11O B 与OC 所成的角的大小为2π．考点：1.几何体的体积；2.空间角.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.【答案】（1）24y x =（02y <<）；（2）矩形面积为52，五边形面积为114，五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 【解析】所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114． 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-=，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点.（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设b =l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）. 【解析】试题分析：（1）设(),A A A x y ，根据题设条件可以得到()24413b b +=，从而解得2b 的值．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k ∆=+>．由|AB |=4构建关于k 的方程进行求解． 试题解析：（1）设(),A A A x y ．由题意，()2,0F c，c =，()22241y b c b A =-=，因为1F AB △是等边三角形，所以2c A =， 即()24413b b +=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()22,0F ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:l ()2y k x =-．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()()2212223613k x x k +-=-， 故()21226143k AB x k +==-==-，解得235k=，故l 的斜率为．考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.弦长公式.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =n a ，*n ∈N }，B ={x |x =n b ，*n ∈N }，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B =∅I 且*A B =N U ，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n 且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }的通项公式.【答案】（1）{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列，理由见解析；（2）180；（3）24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．【解析】试题分析：（1）直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式进行求解；（3）先求等差数列{n a }的通项公式，再求{n b }的通项公式. 试题解析：（1）因为4A ∉，4B ∉，所以4A B ∉U ， 从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列． （2）因为416a =，所以1616420b =+=．考点：等差数列、等比数列、新定义问题23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x +.（1）当1a =时，解不等式()f x >1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值； （3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(0,1)x ∈；（2）0或14-；（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】试题分析：（1）由21log 11x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得112x +>，从而得解． （2）转化得到2221log ()log ()0a x x ++=，讨论当0a =、0a ≠时的情况即可．（3）讨论()f x 在()0,+∞上的单调性，再确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差，由此得到()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．试题解析： （1）由21log 11x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得112x +>，解得(0,1)x ∈． （2）()2221log log 0a x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭有且仅有一解，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http://xkw.so/wksp。

三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。

设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)( （1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。

在平面直角坐标系xOy 中，对于直线I ：ax+by+c=0和点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），记η=（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ），若η<0，则称点P 1，P 2被直线I 分隔，若曲线C 与直线I 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1，P 2被直线I 分割，则称直线I 为曲线C 的一条分隔线。

（1）求证：点A （1，2），B （-1,0）被直线x+y-1=0分隔；（2）若直线y=kx 是曲线x 2-4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线。

全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.1.不等式12-x x ＜0的解为 )21,0( . 【答案】 )21,0(【解析】)21,0(0)12(∈⇒<-x x x2.在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= 15 . 【答案】 15【解析】 1530)(232324321=+⇒=+=+++a a a a a a a a3.设m ∈R,m 2+m-2+( m 2-1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m= . 【答案】 -2【解析】 20102)1(22222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-+⇒-+-+m m m m i m m m 是纯虚数 4.已知1x 12=0，1x 1y =1，则y= 1 .【答案】 1 【解析】111 2021 12 =-==⇒=-=y x yx x x x ，又已知,1,2==y x 联立上式，解得5.已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a 2+ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是. 【答案】 π32【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 . 【答案】 78【解析】 7880100607510040=⋅+⋅=平均成绩7.设常数a ∈R.若52x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a 的二项展开式中x 7项的系数为-10，则a= -2 .【答案】 -2 【解析】10,110)()()(15752552-==⇒-=⇒+-a C r x xa x C x a x r r r 2,105-=-=⇒a a8.方程x 31139x=+-的实数解为 4log 3 . 【答案】 4log 3 【解析】4log 43013331313139311393=⇒=⇒>+±=⇒±=-⇒-=-⇒=+-x xx x x xx x9.若cosxcosy+sinxsiny=31，则cos(2x-2y)= 【答案】 97- 【解析】971)(cos 2)(2cos 31)cos(sin sin cos cos 2-=--=-⇒=-=+y x y x y x y x y x10.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r,O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则rl【答案】3【解析】 3336tan =⇒==rl l r π由题知， 【答案】75【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

《组织行为学》常用事例剖析题参照答案：案例分析题案例一：50年月初，弗考夫和中学时代的伙伴创办了科维特公司。

这家公司在益10年内把营业额从5500 万美元提升到75000 万美元，一跃成为零售史上发展最快的公司之一。

在 60年月初，这家公司均匀每7 个星期增设一家大的商铺。

很快扩大到了25 家商店。

从一开始，科维特的管理就是集权式的。

总部操控着全部的经营活动和其余各项政策，商铺经理和其余管理人员只被给予少的可怜的权利。

弗考夫常常四周巡视，直接收理相当大数目的商铺，直到这一数目高出了他力所能及的范围。

科维特公司的规模愈来愈大，他所面对的问题也变得愈来愈复杂。

当公司的商铺还没有超出12 家时，弗考夫及其总部的高级管理人员还可以够亲临现场给各商铺作领导。

可是，跟着公司的扩大，当面的监控，控制等一系列问题变得难乎其难了。

此后，科维特公司在经营上的开始日趋严重。

最后公司不得不减少新店的增设，把注意力转向了现有的商铺。

最后弗考夫仍然没法挽救公司，科维特公司被斯巴坦斯工业公司收买，弗考夫从舞台中心消逝了。

问题：1、所采纳的组织构造和管理方式使他获取了成功，也以致了他的失败。

这是为何？2、科维特公司的发展，当当面的管理变得不再可行时，为保证有效得监察管理，应当如何进行组织设计？参照答案或提示：1、开始组织较小，采纳的方法很使用这类较小的组织，跟着组织的变大，管理者没有能力像从前同样的持续达成从前成功的方法，管理方法不适应组织的进一步发展。

2、从组织改革的步骤着手剖析。

2/16事例二明娟不再和阿苏说话了。

问题：1、明娟和阿苏之间产生矛盾的原由是什么 2、威恩作为公司领导解决矛盾的方法能否可行 ?参照答案或提示：1、由职权之争引起矛盾，又因信息交流阻碍产生矛盾。

2、威恩解决矛盾的方法是可行的。

他采纳了转移目标的策略，如给他们设置一个共同的矛盾者马德，并促使明娟和阿苏之间交流信息，协调认知。

3、改良人际关系必定要表现同等的原则、互利原则和相容的原则。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学 试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将案写在题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A =．2．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f =．3．已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．5．已知()(),2,5,6,k ab k ∈==R ，且//a b，则k 的值为．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠=(精确到0.1度)12．无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=-∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是．二、单选题13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势14．下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x C ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-15．定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（）A ．()0,0,0∈ΩB ．()1,0,0-∈ΩC ．()0,1,0∈ΩD ．()0,0,1-∈Ω16．已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值三、解答题17．如图为正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心．(1)若5,AP AD ==，求POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积；(2)若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小．18．若()log (0,1)a f x x a a =>≠．(1)()y f x =过()4,2，求()()22f x f x -<的解集；(2)存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”；(2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．参考答案及解析注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。