【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第七章 第2讲 一元二次不等式及其解法 理 新人教A版

【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第7章 第2节 基本不等式 新人教B 版一、选择题1．(文)(2014·某某模拟)已知a>0，b>0，则1＋a2b2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．5 [答案] A[解析] ∵a>0，b>0，∴ab>0， ∴1＋a2b2ab ＝1ab ＋ab≥2等号成立时1ab ＝ab ，∴ab ＝1，故选A.(理)(2014·某某随州中学模拟)函数y ＝log2x ＋logx2x 的值域是( )A ．(－∞，－1]B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [答案] D[解析] 由条件知x>0，且x≠1， y ＝log2x ＋logx2＋1，当x>1时，log2x>0，y≥2log2x·logx2＋1＝3，等号成立时，x ＝2； 当0<x<1时，log2x<0，y≤－2log2x·logx2＋1＝－1，等号成立时，x ＝12.∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 2．(2013·某某一中月考)已知a 、b 是实数，则“a>1，b>1”是“a ＋b>2且ab>1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵a>1，b>1，∴a ＋b>2，且ab>1；当a ＝103，b ＝910时，a ＋b>2且ab>1，但“a>1，b>1”不成立，故选A.3．(2014·某某五模)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y)，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．2 3 C ．6 D ．9 [答案] C[解析] 由题意知a·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y≥232x ＋y ＝6，等号成立时，x ＝12，y ＝2，故选C.4．(文)(2013·某某模拟)已知a>0，b>0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7 [答案] B[解析] 由条件知m≤a ＋2b2a ＋bab恒成立，∵a ＋2b2a ＋bab ＝2a2＋b2＋5abab≥4ab ＋5abab ＝9.等号在a ＝b 时成立， ∴m≤9，故选B.(理)(2014·某某五校联考)已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y)(a x ＋by )>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A ．[4，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，4] D ．(－∞，4) [答案] D[解析] 因为(x ＋y)(a x ＋b y )＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy 时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m<4即可，正确选项为D.5．(文)设x 、y ∈R ，a>1，b>1，若ax ＝by ＝2，a ＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1[答案] A[解析] 依题意得4＝a ＋b ≥2a·b(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，则a b ≤4，a2b≤16，又x ＝loga2，y ＝logb2，所以2x ＋1y ＝2log2a ＋log2b ＝log2(a2b)≤log216＝4，即2x ＋1y 的最大值是4，故选A.(理)设a>0，b>0，3是a 与b 的等差中项，ax ＝by ＝3，则1x ＋1y 的最大值等于( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 [答案] B[解析] 由条件知a ＋b ＝23，x ＝loga3，y ＝logb3， ∴1x ＋1y ＝log3a ＋log3b ＝log3(ab)≤log3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，等号在a ＝b ＝3时成立，故选B.[点评] 将基本不等式与其他知识结合命制求最值的问题是高考命题中常见的一种方式，解题时先依据其他知识将条件与待求最值的表达式作适当变形、等价转化，使其具备应用基本不等式的条件是解题的关键． 6．(2014·某某松江期末)已知0<a<b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是( ) A ．log2a>0 B ．2a －b<12C ．log2a ＋log2b<－2D ．2a b ＋b a <12 [答案] C[解析] 由条件知0<a<1，∴log2a<0，A 错误；∵0<a<b ，a ＋b ＝1，∴0<a<12，12<b<1，∴a －b>－1，此时2a －b>12，B 错误；由a b ＋ba >2a b ·b a ＝2,2a b ＋b a >22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，即ab<14，因此log2a ＋log2b ＝log2(ab)<log214＝－2.故选C. 二、填空题7．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a>0，b>0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是________． [答案] 8[解析] AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， ∵AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a>0，b>0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b)＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝12，a ＝14时等号成立．8．(文)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______． [答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋y b ＝1，则aba2＋b2＝1，∴a2b2＝a2＋b2≥2ab ，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB ＝|AB|＝a2＋b2≥2ab ≥2.(理)在等式“1＝1＋9”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________． [答案] 4和12[解析] 设两个括号中的正整数分别为x ，y ，则x>0，y>0，1x ＋9y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y)(1x ＋9y )＝10＋y x ＋9xy ≥10＋2y x ·9x y ＝16，等号在y x ＝9x y ，即y ＝3x 时成立，由⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋9y ＝1y ＝3x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12. 9．(文)已知c 是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的半焦距，则ca ＋b 的取值X 围是________．[答案] [22，1)[解析] 由题设条件知，a ＋b>c ，∴ca ＋b <1，∵a2＋b2＝c2，∴(c a ＋b )2＝c2a2＋b2＋2ab ≥c22a2＋b2＝12，∴c a ＋b ≥22，22≤ca ＋b<1. (理)(2014·某某专题训练)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x 的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． [答案] 4[解析] 由题意，P 、Q 关于(0,0)对称，设直线PQ ：y ＝kx(k>0)，从而P(2k ，2k)，Q(－2k ，－2k)． 则PQ ＝8k ＋8k ≥4，当且仅当k ＝1时，(PQ)min ＝4.[点评] 1.用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．2．应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等． 3．注意到P 、Q 关于原点对称，可设P(x0，2x0)，x0>0，则|PQ|＝2|OP|＝2x20＋4x20≥4，x0＝2时取等号，更简捷的获解．三、解答题 10．(2014·某某某某一中检测)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值．[解析] (1)由题意，得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝10＋2x10＋x (0<x<10)．(2)花坛的面积为12θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x) ＝－x2＋5x ＋50(0<x<10)，花坛面积与装饰总费用的比为y ＝－x2＋5x ＋50170＋10x＝－x2－5x －501017＋x令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110(t ＋324t )≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.故当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.一、选择题11．(2014·某某某某调研)已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a2＋4b2＋1ab 的最小值为( ) A.72 B ．4 C.16136D ．172[答案] D[解析] 因为a>0，b>0,1＝a ＋2b≥22ab ，所以ab≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a2＋4b2＋1ab ≥2a·(2b)＋1ab ＝4ab ＋1ab ，令t ＝ab ，所以f(t)＝4t ＋1t ，因为f(t)在(0，18]上单调递减，所以f(t)min ＝f(18)＝172，此时a ＝2b ＝12，故选D.12．(文)(2014·某某南雄黄坑中学月考)已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋1y 的最小值是( ) A ．2 3 B ．4 3C ．2＋ 3D ．4＋2 3 [答案] D[解析] 由已知lg2x ＋lg8y ＝lg2得lg2x ＋3y ＝lg2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(x ＋3y)＝4＋3y x ＋xy ≥4＋2 3.(理)(2013·某某鱼台一中质检)若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是( ) A.1a <1bB ．log2a>log2bC ．a2＋b2≤2a ＋2b －2D ．b<ab<a ＋b2<a [答案] C[解析] y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，a>b>0，∴1a <1b ，故A 成立；∵y ＝log2x 在(0，＋∞)上单调递增，∴log2a>log2b ，∴B 成立；∵a>b>0，∴a ＝2a 2>a ＋b2>ab>b2＝b ，∴D 成立；∵a2＋b2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2>0，∴a2＋b2>2a ＋2b －2，∴C 不成立．13．(2014·某某、某某、某某一中模拟、某某调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(4，＋∞) B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2) [答案] D[解析] ∵x>0，y>0，且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y)(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋xy ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时取等号．又∵2x ＋1y ＝1，∴x ＝4，y ＝2时，(x ＋2y)min ＝8.要使x ＋2y>m2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y)min>m2＋2m 恒成立，即8>m2＋2m ，解得－4<m<2. 14．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a2，c －b ＝4－4a ＋a2，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．c≥b>a B ．a>c≥b C ．c>b>a D ．a>c>b [答案] A[解析] 解法1：特值法：令a ＝0，则b ＝1，c ＝5， ∴c>b>a ，排除B 、D ；令c ＝b ，则a ＝2，∴b ＝c ＝5，也满足b>a ，排除C ，选A. 解法2：c －b ＝4－4a ＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b ，已知两式作差得2b ＝2＋2a2，即b ＝1＋a2， ∵1＋a2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴1＋a2>a ，∴b>a ，∴c≥b>a. 二、填空题 15．(2014·某某模拟)已知点A(m ，n)在直线x ＋2y －2＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________． [答案] 4[解析] 由条件知m ＋2n ＝2， 2m ＋4n ＝2m ＋22n≥22m ＋2n ＝4，等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝22n ，m ＋2n ＝2，∴m ＝1，n ＝12.∴所求最小值为4.16．(2015·某某揭阳一中期中)已知正实数x ，y 满足lnx ＋lny ＝0，且k(x ＋2y)≤x2＋4y2恒成立，则k 的最大值是________．[答案] 2[解析] 由条件知x>0，y>0，xy ＝1， ∴x ＋2y≥22xy ＝22，要使k(x ＋2y)≤x2＋4y2恒成立，只要k≤(x2＋4y2x ＋2y)min ，∵x2＋4y2x ＋2y ＝(x ＋2y)－4x ＋2y ≥22－422＝2， 等号成章地，⎩⎨⎧x ＋2y ＝22，x ＝2y ，∴x ＝2，y ＝22，∴k≤ 2.三、解答题 17．(2014·某某省五市十校联合检测)某化工企业2013年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)． (1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备． [解析] (1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋2＋4＋6＋…＋2x x ， 则y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N*)． (2)由基本不等式得： y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备． 18．(文)已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tanβ的值；(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解析] (1)∵由条件知，sinβ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－β，整理得32sinβ－12cosβ＝0，∵β为锐角，∴tanβ＝13. (2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ， ∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，∴tanβ＝sinαcosα1＋sin2α＝sinαcosα2sin2α＋cos2α＝tanα2tan2α＋1＝12tanα＋1tanα≤122＝24. 当且仅当1tanα＝2tanα时，取“＝”号， ∴tanα＝22时，tanβ取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝ 2.(理)(2014·某某嘉定一模)已知函数f(x)＝x ＋mx ＋2(m 为实常数)．(1)若函数f(x)图象上动点P 到定点Q(0,2)的距离的最小值为2，某某数m 的值；(2)若函数y ＝f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义某某数m 的取值X 围； (3)设m<0，若不等式f(x)≤kx 在x ∈[12，1]时有解，求k 的取值X 围． [解析] (1)设P(x ，y)，则y ＝x ＋mx ＋2，|PQ|2＝x2＋(y －2)2＝x2＋(x ＋m x )2＝2x2＋m2x2＋2m≥22|m|＋2m ＝2， 当m>0时，解得m ＝2－1；当m<0时，解得m ＝－2－1. 所以m ＝2－1或m ＝－2－1.(2)由题意，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋m x2＋2－(x1＋mx1＋2)＝(x2－x1)·x1x2－m x1x2>0. 因为x2－x1>0，x1x2>0，所以x1x2－m>0，即m<x1x2. 由x2>x1≥2，得x1x2>4，所以m≤4. 所以m 的取值X 围是(－∞，4]． (3)由f(x)≤kx ，得x ＋mx ＋2≤kx. 因为x ∈[12，1]，所以k≥m x2＋2x ＋1. 令t ＝1x ，则t ∈[1,2]，所以k≥mt2＋2t ＋1. 令g(t)＝mt2＋2t ＋1，t ∈[1,2]，于是，要使原不等式在x ∈[12，1]时有解，当且仅当k≥[g(t)]m in(t ∈[1,2])． 因为m<0，所以g(t)＝m(t ＋1m )2＋1－1m 图象开口向下，对称轴为直线t ＝－1m >0. 因为t ∈[1,2]，所以当0<－1m ≤32，即m≤－23时，g(t)min ＝g(2)＝4m ＋5； 当－1m >32，即－23<m<0时，g(t)min ＝g(1)＝m ＋3. 综上，当m≤－23时，k ∈[4m ＋5，＋∞)； 当－23<m<0时，k ∈[m ＋3，＋∞)．。

§7.2 一元二次不等式及其解法1．“三个二次”的关系2.(x －【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ax ＋b>0，则x>－ba.( × )(2)不等式－x 2－5x ＋6<0的解集为{x|x<－6或x>1}．( √ ) (3)不等式x －2x ＋1≤0的解集是[－1,2]．( × )(4)若不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为R.( × ) (6)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a<0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )1．函数f(x)＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3]B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)答案 A解析 由3x －x 2≥0得 x(x －3)≤0，∴0≤x ≤3，∴函数f(x)＝3x －x 2的定义域为[0,3]．2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a<0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a<0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)． 3．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x|x<1或x ≥3}B ．{x|1≤x ≤3}C ．{x|1<x ≤3}D ．{x|1<x<3}答案 C解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x ≠1，∴1<x ≤3.故原不等式的解集为{x|1<x ≤3}．4．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0，即k 2>2，∴k>2或k<－ 2.题型一 一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集： (1)－x 2＋8x －3>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x|4－13<x<4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x>1. 若a<0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x<1a 或x>1.若a>0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a>1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x<1；③当0<a<1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x<1a .综上所述：当a<0时，解集为{x|x<1a或x>1}；当a ＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|1a<x<1}．思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(1)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x<13，则不等式2x 2＋bx ＋a<0的解集是________．(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．答案 (1)(－2,3) (2)(－12，1]解析 (1)由题意，知－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.则不等式2x 2＋bx ＋a<0即2x 2－2x －12<0，其解集为{x|－2<x<3}．(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0，(*)由(*)解得－12<x ≤1.题型二 一元二次不等式的恒成立问题 例2 设函数f(x)＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝m 2＋4m<0⇒－4<m<0.所以－4<m ≤0.(2)要使f(x)<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g(x)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)max ＝g(3)⇒7m －6<0，所以m<67，所以0<m<67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max ＝g(1)⇒m －6<0，所以m<6，所以m<0. 综上所述：m 的取值范围是{m|m<67}．方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m(x 2－x ＋1)－6<0，所以m<6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m<67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m<67.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(1,3)答案 (1)A (2)C解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f(a)＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， 则由f(a)>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 易知只需f(－1)＝x 2－5x ＋6>0， 且f(1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程解得x<1或x>3. 题型三 一元二次不等式的应用例3 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围． 解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.所以y ＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________． 答案 20 解析 由题意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000， 化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．∴x ≥20，即x 的最小值为20.转化与化归思想在不等式中的应用典例：(1)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a x ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解． 解析 (1)由题意知f(x)＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a24.∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f(x)<c.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c<x<－a 2＋ c.∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6.②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立，即x 2＋2x ＋a>0恒成立．即当x ≥1时，a>－(x 2＋2x)＝g(x)恒成立．而g(x)＝－(x 2＋2x)＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g(x)max ＝g(1)＝－3，故a>－3. ∴实数a 的取值范围是{a|a>－3}． 答案 (1)9 (2){a|a>－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． (2)注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别.方法与技巧1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a<0的情形转化为a>0时的情形．2．f(x)>0的解集即为函数y ＝f(x)的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． 失误与防范1．对于不等式ax 2＋bx ＋c>0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c>0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．函数f(x)＝1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B 解析1－x x ＋2≥0⇔x －1x ＋2≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x ≠－2⇔－2<x ≤1.2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，x ＋6>3，解得－3<x<1或x>3.3．设a>0，不等式－c<ax ＋b<c 的解集是{x|－2<x<1}，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶1答案 B解析 ∵－c<ax ＋b<c ，又a>0， ∴－b ＋c a <x<c －b a.∵不等式的解集为{x|－2<x<1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.4．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2] 答案 A解析 原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， ∴－2<m<2，综合①②，得m ∈(－2,2]．5．若集合A ＝{x|ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a|0<a<4} B ．{a|0≤a<4} C ．{a|0<a ≤4} D ．{a|0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.6．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为________．答案 {x|x<－lg2}解析 由已知条件0<10x <12，解得x<lg 12＝－lg2.7．若0<a<1，则不等式(a －x)(x －1a )>0的解集是________________．答案 {x|a<x<1a}解析 原不等式即(x －a)(x －1a )<0，由0<a<1得a<1a ，∴a<x<1a.8．(2013·江苏)已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________________． 答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x 2－4x ，因此f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x<0.不等式f(x)>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x>x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－x 2－4x>x.解得：x>5，或－5<x<0.9．已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋6. (1)解关于a 的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 解 (1)∵f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋6， ∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a<3＋2 3. ∴不等式的解集为{a|3－23<a<3＋23}． (2)∵f(x)>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a(6－a)x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a(6－a)3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征锐率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%， 农产品的收购量为a(1＋2x%)万担， 收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y ＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得150a(100＋2x)(10－x)≥20a ×83.2%， 化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2.又∵0<x<10，∴0<x ≤2.即x 的取值范围为(0,2]．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f(x)＝(ax －1)(x ＋b)，如果不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)<0的解集是( )A ．(－∞，－32)∪(12，＋∞) B ．(－32，12) C ．(－∞，－12)∪(32，＋∞) D ．(－12，32) 答案 A解析 f(x)＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a<0，由f(－2x)<0得－2x>3或－2x<－1，∴x<－32或x>12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( )A.52B.72C.154D.152答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a)(x －4a)<0，因a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a)＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos2α≤0，化简得cos2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f(x)＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f(2)≤0，f(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ f(2)＝4－12＋a ≤0，f(1)＝1－6＋a>0，解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f(a)＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f(－1)>0，f(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x<2或x>4.所以x的取值范围是{x|x<2或x>4}．。

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第2课时一元二次不等式的解法1．下列不等式中解集为R的是（)A．－x2＋2x＋1≥0B．x2－2错误!x＋错误!〉0C．x2＋6x＋10〉0 D．2x2－3x＋4〈0答案C解析在C项中，Δ＝36－40＝－4〈0,所以不等式解集为R.2．函数y＝错误!的定义域为（）A．(－4,－1）B．（－4，1）C．(－1，1) D．(－1，1］答案C解析由错误!解得－1〈x〈1。

3．若0＜m＜1,则不等式（x－m）（x－错误!）＜0的解集为（）A．{x｜错误!＜x＜m｝B．{x｜x＞错误!或x＜m}C．{x|x＞m或x＜错误!} D．｛x|m＜x＜错误!｝答案D解析当0〈m<1时，m〈错误!。

4．关于x的不等式x2＋px－2〈0的解集是（q,1），则p＋q的值为( ）A．－2 B．－1C．1 D．2答案B解析依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，选B. 5．不等式（2x－1)（1－|x|）<0成立的充要条件是( )A．x〉1或x〈错误!B．x>1或－1<x<错误!C．－1<x<错误!D．x<－1或x>错误!答案B解析原不等式等价于错误!或错误!∴错误!或错误!∴x>1或－1<x<错误!,故选B。

第2讲 一元二次不等式及其解法一、选择题 1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．(－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2]解析 ∵x －2x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2≤0，x ＋1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ≠－1，∴x ∈(－1,2]． 答案 B2. 若集合{},{}x A x x B xx-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂=（ ） A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1 C. {}x x 0≤≤2 D.{}x x 0≤≤1解析 因为集合{},{}A x x B x x =-1≤≤1=0<≤2,所以A B ⋂={}x x 0<≤1,选B. 答案 B3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝ ( )． A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －ba. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋ca ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.答案 B4．不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )．A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2<0，log 2x <0.∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)． 答案 A5．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为 ( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0. 答案 C6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )．A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为 [－3，－1]∪(0，＋∞)． 答案 C 二、填空题7．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1.②⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0.综上可知：－1＜x ＜2－1. 答案 (－1，2－1)9．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R)，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．解析 依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是增函数．若f (x )>0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b －2)(b ＋1)>0，∴b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)10．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________. 解析 显然a ＝1不能使原不等式对x >0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2<x 3，易知x 2<0，x 3>0.当x >0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案 32三、解答题11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .12．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅. 综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式的解集为∅.13．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R)． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}． 14．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注 e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋ax.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2，对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f1＝a －1≥e－1，f e ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.。

一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

第2讲 一元二次不等式及其解法[基础题组练]1．设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1，2)B ．[1，2]C ．[1，2)D ．(1，2]解析：选D.A ＝[－1，2]，B ＝(1，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]．2．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >13，则a －b a 的值为( )A.56 B.16 C ．－16D ．－56解析：选A.由题意得ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a＝1－b a ＝1－16＝56.3．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1，1]B ．[－2，2]C ．[－2，1]D ．[－1，2]解析：选A.法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， 所以－1≤x ≤0；① 当x >0时，－x ＋2≥x 2，所以0<x ≤1.②，由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}． 法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1，1]．4．(2020·宁波效实中学模拟)不等式x 2＋2x ＜a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4，2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.不等式x 2＋2x ＜a b＋16b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋16b a min，由于a b ＋16b a ≥2 a b ·16b a＝8(当且仅当a ＝4b 时等号成立)，所以x 2＋2x ＜8，解得－4＜x ＜2.5．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，5)B ．(－3，－2)∪(4，5)C ．(4，5]D ．[－3，－2)∪(4，5]解析：选D.原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．6．(2020·台州联考)在R 上定义运算：＝ad －bc .若不等式≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32C.13D.32解析：选D.原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32，故选D.7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}8．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，化为(2[x ]－3)(2[x ]－15)＜0，解得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．答案：[2，8)9．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，如果使f (x )≤kx 对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，则实数k ＝________．解析：设g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由题意知g (x )≤0对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，所以x ＝5是方程g (x )＝0的一个根，将x ＝5代入g (x )＝0，可以解得k ＝365(经检验满足题意)．答案：36510．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，3x －2，x ＞0，若|f (x )|≥ax 在x ∈[－1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是____________．解析：当x ＝0时，|f (x )|≥ax 恒成立，a ∈R ；当0＜x ≤1时，|f (x )|≥ax 转化为a ≤|f （x ）|x ＝|3x －2|x ＝|3－2x |.因为|3－2x|的最小值为0，所以a ≤0；当－1≤x ＜0时，|f (x )|≥ax 转化为a ≥|f （x ）|x ＝－|x 2－2x |＝－|x －2x |.因为－|x －2x|的最大值为－1，所以a ≥－1，综上可得a ∈[－1，0]．答案：[－1，0]11．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0， 即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.12．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c . (1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n 求|m －n |的取值范围． 解：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－b2a ＞1. 所以a ＜0且ca＞1，所以ac ＞0. 对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac ＞0.所以函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn ＝（b －a ）2＋4ac a 2＝（－2a －c ）2＋4ac a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋4.由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t ＞1)，由根与系数的关系知c a＝t ，所以|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)． 所以|m －n |＞13，所以|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．[综合题组练]1．(2020·金华市东阳二中高三调研)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A.由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.3．(2020·杭州模拟)若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是________．解析：原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.答案：[－4，3]4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8，4]5．(2020·杭州高级中学质检)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .6．(2020·丽水市高考数学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |x 2＋1(a ∈R )．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)对任意的b ∈(0，1)，当x ∈(1，2)时，f (x )>bx恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x ＋1|x 2＋1>1⇔x 2＋1<|x ＋1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x 2＋1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x 2＋1<－（x ＋1）⇔0<x <1.故不等式的解集为{x |0<x <1}．(2)f (x )＝|x ＋a |x 2＋1>b x ⇔|x ＋a |>b (x ＋1x )⇔x ＋a >b (x ＋1x )或x ＋a <－b (x ＋1x)⇔a >(b －1)x＋b x 或a <－[(b ＋1)x ＋b x ]对任意x ∈(1，2)恒成立．所以a ≥2b －1或a ≤－(52b ＋2)对任意b ∈(0，1)恒成立．所以a ≥1或a ≤－92.。

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第7章 第2节 一元二次不等式的解法及其应用 北师大版一、选择题 1．不等式x －2x ＋1≤0的解集为( ) A ．{x |－1≤x ≤2} B ．{x |－1<x ≤2} C ．{x |－1≤x <2} D ．{x |－1<x <2}[答案] B[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2x ＋1≤0，x ＋1≠0⇔－1<x ≤2.2．已知不等式x 2－x ≤0的解集为M ，且集合N ＝{x |－1<x <1}，则M ∩N 为( ) A ．[0,1) B ．(0,1) C ．[0,1] D ．(－1,0][答案] A[解析] 由x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，所以M ∩N 为[0,1)．选A ．3．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为( )A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1[答案] D[解析] ∵x 2－2x －3<0，∴－1<x <3.∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1.4．(文)(2014·全国大纲卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}[答案] C[解析] 本题考查不等式(组)的解法．由⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2>0|x |<1得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－2－1<x <1∴0<x <1，注意解不等式组求交集．(理)不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)[答案] B[解析] ①当x －2>0，即x >2时， 不等式可化为(x －2)2≥4，∴x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2. 所以原不等式的解集为[0,2)∪[4，＋∞)．5．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在x 0，使f (x 0)＝0，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <15B ．a >15C ．a <－1或a >15D ．a <－1[答案] C[分析] a ≠0时，f (x )为一次函数，故由x 0∈(－1,1)时，f (x 0)＝0知，f (－1)与f (1)异号．[解析] 由题意得f (－1)·f (1)<0， 即(－3a ＋1－2a )·(3a ＋1－2a )<0，即(5a －1)(a ＋1)>0，∴a <－1或a >15.故选C ．6．(文)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A ．52 B ．72 C ．154D ．152[答案] A[解析] ∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0化为(x ＋2a )(x －4a )<0，∴－2a <x <4a ， ∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，∴a ＝52.(理)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] [答案] C[解析] 本题考查三角形相似及一元二次不等式的解法．设矩形的另一条边长为t ，由相似知识得x 40＝40－t40，∴t ＝40－x ，所以(40－x )x ≥300，即x 2－40x ＋300≤0， 解得10≤x ≤30，故选C ． 二、填空题7．若不等式－4<2x －3<4与不等式x 2＋px ＋q <0的解集相同，则p q＝________. [答案]127[解析] 由－4<2x －3<4，得－12<x <72.由题意得72－12＝－p ，(－12)×72＝q ，∴p q ＝127.8．(文)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值值范围是________．[答案] (0,8)[解析] ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝(－a )2－4·2a <0，即a 2－8a <0,0<a <8.故a 的取值范围是(0,8)(理)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________． [答案] －1<a <1[解析] 令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正根一负根，则只需f (0)<0，即a 2－1<0， ∴－1<a <1. 9．关于x 的不等式x －a x ＋1>0的解集为P ，不等式log 2(x 2－1)≤1的解集为Q .若Q ⊆P ，则a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] 当a ≥－1时，P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)， 当a <－1时，P ＝(－∞，a )∪(－1，＋∞)，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤2，x 2－1>0，∴⎩⎨⎧－3≤x ≤3，x <－1或x >1，∴Q ＝[－3，－1)∪(1，3)． ∵Q ⊆P ，P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)． ∴－1≤a ≤1.三、解答题10．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． [解析] 解法1：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为x ＝A ． ①当a ∈(－∞，－1)时，结合图像知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a ，恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a 解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.解法2：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0a ＜－1f －1≥0，解得－3≤a ≤1.一、选择题1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x＝2x 2－x －2x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0x x 2－x －2>0，解得x >2，故选C ．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)[答案] C[解析] ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 因此f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0.∴－32<a <－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0.故选C ． 二、填空题3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________．[答案] (－5,0)∪(5，＋∞)[解析] 本题考查函数性质和解不等式应用． 当x >0时，x 2－4x >x ，∴x >5， 当x ＝0时，f (0)＝0，不合题意．当x <0时，－x >0时，f (－x )＝(－x )2＋4x ＝x 2＋4x ， ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x >x ，∴－5<x <0，综上f (x )>x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．4．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．[答案] 20[解析] 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0， 解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)． ∴x ≥20，即x 的最小值为20. 三、解答题5．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数．又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0， ∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立， ∴0<m ≤12.6．(文)已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)c 为何值时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R?[解析] 由题意知f (x )的图像开口向下，即a <0，交x 轴于两点A (－3,0)和B (2,0)，对称轴为x ＝－12(如图)，那么x ＝－3或x ＝2时，y ＝0.代入原式错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝8(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图可知f (x )在[0,1]内单调递减，∴y min ＝f (1)＝12，y max ＝f (0)＝18，值域为[12,18]． (2)令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ， 即Δ≤0，∴c ≤－2512.(理)已知函数f (x )＝(x ＋2)|x －2|.(1)若不等式f (x )≤a 在[－3,1]上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解不等式f (x )>3x .[解析] (1)当x ∈[－3,1]时，f (x )＝(x ＋2)|x －2|＝(x ＋2)(2－x )＝－x 2＋4. ∵－3≤x ≤1，∴0≤x 2≤9.于是－5≤－x2＋4≤4.即函数f(x)在[－3,1]上的最大值等于4.∴要使不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，＋∞)．(2)不等式f(x)>3x，即(x＋2)|x－2|－3x>0.当x≥2时，原不等式等价于x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.又∵x≥2，∴x>4.当x<2时，原不等式等价于4－x2－3x>0，即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.满足x<2.综上可知，原不等式的解集为{x|x>4或－4<x<1}．。

7-3一元二次不等式的解法及其应用基 础 巩 固 一、选择题1．(·北京理，1)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0} 则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．{－1，－23}C ．(－23，3)D ．(3，＋∞)[答案] D[解析] 本题考查了集合的交集运算，一次和二次不等式的解法． 因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝{x |x >－23}，B ＝{x |x <－1或x >3}，所以A ∩B ＝{x |x >3}，故选D.2．(文)不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．(－12，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] 本题主要考查一元二次不等式的解法，利用分解因式． 2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)>0，所以不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．(理)不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A ．{x |x <－2，或x >3}B ．{x |x <－2，或1<x <3}C ．{x |－2<x <1，或x >3}D ．{x |－2<x <1，或1<x <3} [答案] C[解析] 原不等式等价于(x －1)(x 2－x －6)>0，即(x －1)(x －3)(x ＋2)>0，由穿根法可知－2<x <1或x >3. 3．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在x 0，使f (x 0)＝0，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <15B ．a >15C ．a <－1或a >15D ．a <－1[答案] C[分析] a ≠0时，f (x )为一次函数，故由x 0∈(－1,1)时，f (x 0)＝0知，f (－1)与f (1)异号． [解析] 由题意得f (－1)·f (1)<0， 即(－3a ＋1－2a )·(3a ＋1－2a )<0， 即(5a －1)(a ＋1)>0，∴a <－1或a >15.故选C.4．二次函数f (x )的图像如图所示，则f (x －1)>0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(0,3)C ．(－1,2)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) [答案] B[解析] ∵f (x －1)>0， ∴由图知－1<x －1<2， ∴0<x <3.5．(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3)[答案] A[解析] 本小题主要考查不等式解法． ∵f (1)＝3，∴当x ≥0时，由f (x )＞f (1) 得x 2－4x ＋6>3，∴x ＞3或x ＜1.又x ≥0，∴x ∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x ＜0时，由f (x )＞f (1)得x ＋6＞3∴x ＞－3， ∴x ∈(－3,0)．综上可得x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1 x <0x －1 x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}[答案] C[解析] 不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x ＋x ＋1[－x ＋1＋1]≤1或(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ＋x ＋1[x ＋1－1]≤1，解不等式组(1)得x <－1； 解不等式组(2)得－1≤x ≤2－1.因此原不等式的解集是{x |x ≤2－1}，选C.6．关于x 的方程2x ＝a 2＋a 在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，－1)∪(0,1] B ．[－2，－1]∪(0,1] C ．[－2，－1)∪(0,2] D ．[－2，－1)∪[0,2][答案] A[解析] ∵x ∈(－∞，1]， ∴2x ∈(0,2]，∴0<a 2＋a ≤2， 解得0<a ≤1或－2≤a <－1. 二、填空题7．(·临沂模拟)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________． [答案] －1<a <1[解析] 令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正根一负根，则只需f (0)<0，即a 2－1<0， ∴－1<a <1.8．(·江西文，11)不等式x 2－9x －2>0的解集是________．[答案] (－3,2)∪(3，＋∞)[解析] 本题考查分式不等式，高次不等式解法．不等式x 2－9x －2>0可化为(x 2－9)(x －2)>0，即(x ＋3)(x －3)(x －2)>0，而(x ＋3)(x －3)(x －2)＝0的根为－3,2,3，由穿根法画图如下：所以不等式解集为(－3,2)∪(3，＋∞)，穿根法是解高次不等式的好方法，它体现了数形结合思想． 三、解答题9．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .[解析] (1)由题意知1－a ＜0且－3和1是方程 (1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3，∴不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0，即为2x 2－x －3＞0，解得x ＜－1或x ＞32.∴所求不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞32}．(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6. 能 力 提 升 一、选择题1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)[答案] C[解析] 本题主要考查导数的概念及分式不等式的解法和对数的性质． 因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x＝2x 2－x －2x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0x x 2－x －2>0，解得2<x ，故选C.2．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}[答案] A[解析] 由ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}知a ≠0，Δ>0且⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－ba，－1×2＝2a，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝－1，故2x 2＋x －1<0的解集为{x |－1<x <12}．二、填空题3．若不等式a <2x －x 2对于任意的x ∈[－2,3]恒成立，则实数a 的取值范围为________． [答案] (－∞，－8)[解析] 由已知不等式a <－x 2＋2x 对任意x ∈[－2,3]恒成立，令f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[－2,3]， 可得当x ＝－2时，f (x )min ＝f (－2)＝－8， ∴实数a 的取值范围a ∈(－∞，－8)．4．(·陕西理，12)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________. [答案] 3或4[解析] 本小题考查充要条件，解一元二次方程．x 2－4x ＋n ＝0，Δ＝16－4n ≥0，∴n ≤4，∴n ＝1,2,3,4， 排除n ＝1,2，∴n ＝3或4. 三、解答题5．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数．又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0， ∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立，∴0<m ≤12.6．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0； 若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以m 的取值范围是(－4,0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，就是要使m (x －12)2＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一：令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0， 所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0. 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}．方法二：因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0， 所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6x －122＋34， 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是{m |m <67}．7．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.80≤x ≤510.2 x >5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析] 依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.80≤x ≤5，8.2－x x >5.(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0， 当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0， 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7，∴1<x ≤5. 当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内． (2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6，而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2，所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．。

A 基础稳固训练1 ．【 2016 年第三次全国大联考【浙江卷】理科数学】设会合M x y ln(1 x)，N x | x22x 3 0，则 e U M I N（）A ．(1,3)B．[1,3)C．(3,)D．( ,1)【答案】 B.【分析】由题意得M (,1)， N(1,3) ，∴e U M I N [1,3) ，应选 B.2．【2015届福建省龙岩市非一级达标校高三上学期期末检查】已知函数f x x2mx1，若对于随意x m, m 1 ，都有 f x0 建立，则实数m 的取值范围是（）A ．2B．2C．0,22 ,0,0D．0, 2222【答案】 B3．【 2016年3月冲刺卷考【浙江卷】理科】已知“命题p : (x m)23(x m) ”是“命题q : x2 3x 40 ”建立的必需不充足条件，则实数m 的取值范围为（）A ．m 1或m7B ．m 1或m7C．7 m 1D ．7 m1【答案】 B.【分析】 p ：x m 或 x m3， q ：4x1，又∵ p 是 q 的必需不充足条件，∴ m1或 m34m7 ，应选B．x22x30的解集不是空集，则实数 a 4．【 2016 湖北龙泉中学模拟】若不等式组x24x(1a) 0的取值范围是（）A ．(, 4]B．[4,)C．[4,20]D．[ 40,20)【答案】 B5．【 2016 湖北襄阳模拟】若存在x [ 2,3] ，使不等式2x x2 a 建立，则实数a 的取值范围是（）A ．(，1]B．(, 8]C．[1, )D．[ 8,)【答案】 A【分析】设 f ( x) 2x x2(x1)2 1 1 ，由于存在x[ 2,3] ，使不等式 2x x2a 建立，可知 a f (x) max，所以 a1，应选A．B 能力提高训练1 ．【 2016 届四川省德阳市四校高三结合测试】已知函数 f ( x) 2mx22(4 m)x 1，g( x)mx ，若对于任一实数x ，f (x)与g (x)起码有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ()A.(0 ， 2)B.(0 ，8)C.(2， 8)D.( －∞， 0)【答案】 B【分析】试题剖析：解法 1：当 m=0，不行能建立．当 m<0，由 g(x)=mx 知， f (x) 在 [0，+∞ )上恒正，但 f(x) 的张口向下，∴ f(x) 在 [0， +∞)上恒正决不行能，即 m<0 也是不行能建立，∴切合题意的 m0 ，由 g(x)=mx 知，此时必有 f(x) 在 (-∞， 0]上恒正；又∵ f (0)10 ； f ( x) 张口向上，且 f ( x) 的轴为 x4 m ．2m4 m4 m 00 或 2m (∵ m 0 )∴f ( 4 m )2m2m0 m 4或 4 m 80 m 8 ，∴选 C ．解法 2：取 m 2 ，则 f ( x) 4 x 24x 1 (2x 1) 2 ， g( x)2x ，∴ m 2 切合题意． ∴选 C ．2．【 2016 年高考押题卷（ 1）【浙江卷】理科】要使对于 x 的不等式 0 x 2ax 6 4恰巧只有一个解，则 a _________.【答案】2 2 .【分析】剖析题意得，问题等价于 x 2 ax 6 4 只有一解，即 x 2ax2 0 只有一解，∴a 2 8 0a 2 2 ，故填： 2 2 .3．【陕西咸阳市一模】设命题 p :实数 x 知足 x 24ax3a 20 ,此中 a 0 ;命题 q :实数 x知足 x 2 2 x 80, 且 q 是p 的必需不充足条件 ,则实数 a 的取值范围是.【答案】, 44．【 2016 云南曲靖一中模拟】设实数 a(1,2) ，对于 x 的一元二次不等式x 2 (a 2 3a2)x 3a( a 2 2) 0 的解为（ ）A ． (3a, a 22)B ． (a 22,3a) C ． (3, 4)高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题7.2一元二次不等式及解法(练)答案分析D ． (3,6)【答案】B【解析】x 2(a 2 3 a2 )x3a 2 (a2 )0 ,x 2[ a(x2 ) ]a[23a]0 ,a23 ,a 22 x 3a ，应选 B.5 ．【 2016 湖 北 沙 市 模 拟 】 已 知 函 数 f ( x) x 24x 1, x 1， 关 于 t 的 不 等 式6x 10, x1f ( t) mt 2m 2 0 的解集是 (t 1,t 2 ) U (t 3 ,) ，若 t 1t 2 t 3 0 , 则实数 m 的取值范围是 （）A ． ( 4,3)B ．( 4, 1)C ． (1,1)D ．( ,1)222【答案】 BC 思想拓展训练1．【 2016 辽宁抚顺一中四模】6、当 x(1 2x 4x a恒建立，则实数,1] ，不等式a 1 0a 2a 的取值范围为 ______.【答案】 a341)23【分析】明显 a 2a 1 ( a0 ，所以原不等式即为 1 2x 4x a 0 ，24a ( 1)x(1) x，易知函数 y ( 1) x (1)x 是减函数，所以当 x ( ,1] 时，42 4 2y 最小 1 13，所以a3，即 a3 ．4 2 4442 ．【浙江省嘉兴市第一中学2016 届高三上学期能力测试数学（理）试题】已知函数f ( x) ax 2 bx c ， a,b, cR ，且 a 0 ．记 M (a,b,c) 为 f ( x) 在 0,1上的最大值，则ab 2c的最大值是_______． M (a, b, c)【答案】 2【分析】试题剖析：由题意知M ( a, b, c) | f (1) |， M (a,b, c)| f (0) | ，所以 2M (a,b,c) | f (1)| | f (0) |≥ | f (1) f (0) | | ab2c | a b2c ，所以a b 2c2 ．M (a, b, c)3 ．【 2016 年河南八校高三联考】若不等式f (x)0( x R) 的解集为1,2 ，则不等式f (lg x)0 的解集为 __________.【答案】x|0x1或 x 10010【 解 析 】 因 为 不 等 式 f ( x) 0( xR)的解集为 1,2 ， 则 f ( x)0的解集为，,12, ， 则 不 等 式 f (lg x) 0 的 解 集 为lg x 1lg x 2 x 0或x， 即|0 x1 或x 100 .x104 ．【 2016 届安徽省合肥市 八中高三上学期第一次段考】已知函数f ( x) x 24mx 4m 2 1，若对于x 的不等式 f ( f (x)) 0 的解集为空集， 则实数 m 的取值范围是 ．【答案】 m15．【2016 陕西二模】若不等式 a 2 8b 2 b a b 对随意的实数 a, b 均建立，则实数 的取值范围为 ______ ．【答案】8,4【分析】由已知可得a2ab (8)b20 ,若 b 0 ,则a20 恒建立；若b0,对不等式两边同除以b2可得(a)2a80恒建立 ,故24(8) 0 ,解之得b b8 4 ,故应填8,4.。

第2讲 一元二次不等式的解法[基础题组练]1． 不等式(x －2)(2x －3)<0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(2，＋∞) B ．R C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2D ．∅解析：选C.因为不等式(x －2)(2x －3)<0，解得32<x <2，所以不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 2．不等式1－x2＋x ≥1的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎝⎛⎦⎥⎤－2，－12 C ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析：选B.1－x 2＋x ≥1⇔1－x 2＋x －1≥0⇔1－x －2－x2＋x ≥0⇔－2x －12＋x ≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）（x ＋2）≤0x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B.3．(2020·某某黄冈元月调研)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(1，2)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C.因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，所以a >0，且－b a＝1，所以关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b a(x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}．故选C.4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值X 围是( ) A ．[－4，1] B ．[－4，3] C ．[1，3]D ．[－1，3]解析：选B.原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5．(2020·某某某某4月模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f (x )<0的解集为( )A ．(－2，2)∪(2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析：选A.因为函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数， 所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋4，所以不等式(x －2)f (x )<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2. 故原不等式的解集为(－2，2)∪(2，＋∞)．故选A. 6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}7．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值X 围是________．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3， 化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. 答案：(－1，1)8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．解析：因为函数f (x )＝x 2＋mx －1的图象是开口向上的抛物线，所以对于任意x ∈[m ，m＋1]，都有f (x )<0成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0， 解得－22<m <0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 9．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值X 围． 解：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9， 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.则实数x 的取值X 围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值X 围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（2a ）2－4a ≤0， 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值X 围是[0，1]．(2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a （x ＋1）2＋1－a ， 因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12， 所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. [综合题组练]1．(2020·某某蒙城五校联考)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－3，5)B ．(－2，4)C ．[－3，5]D ．[－2，4]解析：选D.因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }； 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值X 围是a ∈[－2，4]，故选D.2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值X 围是( )A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.3．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. 因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝(x ＋a2)2.又f (x )<c ，所以(x ＋a2)2<c ，即－a2－c <x <－a2＋c .所以⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ②.②－①，得2c ＝6，所以c ＝9. 答案：94．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N +)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N +)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．答案：[2，8)5．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，某某数c 的取值X 围． 解：(1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0， 当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－b a ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5. 所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数， 所以f (x )max ＝f (0)＝18，f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－2512. 6．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。

专题7.2 一元二次不等式及其解法【基础巩固】一、填空题1．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【答案】92．对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．【答案】{x |x <1或x >3}【解析】x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【答案】{x |－1<x <2}【解析】∵2x 2－x <4＝22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0,4]【解析】由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________．【答案】{x |x ＞1}【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}． 6．(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[－1,4]7．(2017·扬州期末)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 【解析】由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45. 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1＝m ＋12＋m m ＋1－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 二、解答题9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【能力提升】11．(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <－3212．(2017·南通调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．【答案】{x |－ln 2<x <l n 3}【解析】法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－l n 2<x <ln 3. 法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 13．(2017·无锡模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．解原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.。

专题7.2 一元二次不等式及其解法【考纲解读】内容要求备注A B C集合一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划√基本不等式√【直击考点】题组一常识题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．3. 若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________．【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>13，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞.4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ______________.题组二 常错题5．不等式x (2－x )>0的解集为________．【解析】由不等式x (2－x )＞0，得不等式x (x －2)＜0，则0＜x ＜2. 6．不等式(ax －1)(x －2)＜0(a ≤0)的解集是________．【解析】当a <0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)>0，解得x ＜1a或x >2；当a ＝0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为x －2＞0，解得x ＞2.7．不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x ≤1.题组三 常考题8． 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________________．【解析】集合A ＝(1，3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.9． 不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【解析】因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，则m 的取值范围是 ________． 【解析】要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0， 所以m 的取值范围为－4＜m ≤0.【知识清单】考点1 一元二次不等式的解法对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅考点2 一元二次不等式恒成立问题由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式20ax bx c>＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式20axbx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值． 考点3 一元二次不等式的应用构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.一元二次不等式及其解法主要有两种常见的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比较简单的，是一些问题的基础；二是与恒成立问题相结合，这一般都要与一元二次方程和一元二次函数相结合，也就是常说的“三个二次”问题.【重点难点突破】考点1 一元二次不等式的解法【1-1】不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，则______,a b == .【答案】a =－4，b =－9【解析】Q 不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，12,4∴--为方程220ax bx +-=的两根，则根据根与系数关系可得1122(),(2)()44b a a-+-=--⋅-=-，4,9a b ∴=-=-. 【1-2】已知不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则不等式022<++a bx x 的解集为 .【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x解为211<<-x ； 【1-3】已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)0,+∞【解析】1()121a a f a ≤⎧≥⇒⎨≥⎩或21451a a a >⎧⎨-+≥⎩，∴10a a ≤⎧⎨≥⎩或1a x R >⎧⎨∈⎩，∴01a ≤≤或1a >，∴0a ≥.【1-4】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4. 【1-5】解不等式2221x ax a -≤-+【思想方法】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【温馨提醒】注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当0∆>时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论. 考点2 一元二次不等式恒成立问题【2-1】不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【答案】[－1,4]【解析】x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A. 【2-2】若不等式的解集是R ，则m 的范围是 .【答案】【2-3】若不等式对满足的所有都成立，则x 的取值范围是 .【答案】【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立所以只需即，所以x 的范围是.【2-4】若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围应为 . 【答案】11a ≥【解析】记2()23f x x x a =-+-，因为(0),(4)f f 不同时为0，所以仅需(0)011(4)0f a f ≤⎧⇒≥⎨≤⎩. 【2-5】在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是 . 【答案】1322a -<< 【解析】根据定义可得不等式()()1x a x a -⊗+<为()[1()]1x a x a --+<即2(1)10x x a a -+-+>，此不等式对任意实数x都成立，所以214[(1)1]04430(21)(23)0a a a a a a ∆=--+<⇒--<⇒+-<，从中解得1322a -<<.【思想方法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 【温馨提醒】二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x 轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论思想求解.考点3 一元二次不等式的应用【3-1】有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． 【答案】(8]403，【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【思想方法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【温馨提醒】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型．考点4 不等式性质的应用【易错试题常警惕】1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．。

专题二一元二次函数、方程和不等式06 等式性质与不等式性质题型一由不等式性质比较数（式）大小题型二作差法比较代数式大小题型三作商法比较代数式大小题型四由不等式性质证明不等式题型五利用不等式求值或取值范围07 基本不等式（1）题型一由基本不等式比较大小题型二由基本不等式证明不等关系题型三基本不等式求积的最大值题型四基本不等式求和的最小值题型五二次与二次（或一次）的商式的最值问题07 基本不等式（2）题型一条件等式求最值题型二基本不等式的恒成立问题题型三对勾函数求最值题型四基本不等式的应用08 二次函数与一元二次方程、不等式（1）题型一解含有参数的一元二次不等式题型二由一元二次不等式的解确定参数题型三一元二次方程根的分布问题题型四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系08 二次函数与一元二次方程、不等式（2）题型一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型二 一元二次不等式其他恒成立问题 题型三 一元二次不等式有解问题 题型四 一元二次不等式的应用一元二次函数、方程和不等式讲义§2.1等式性质与不等式性质 1.作差法比较大小0a b a b >⇔->；0a b a b <⇔-<；0a b a b =⇔-=.2.不等式的基本性质（1）（对称性）a b b a >⇔> （2）（传递性）,a b b c a c >>⇒> （3）（可加性）a b a c b c >⇔+>+（4）（可乘性）,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒< （5）（同向可加性）,a b c d a c b d >>⇒+>+ （6）（正数同向可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （7）（正数乘方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 §2.2基本不等式① 重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式： ()2222()()a b a b a b R +≥+∈，② 基本不等式：2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： a b +≥； 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要满足条件:“一正.二定.三相等”. §2.3二次函数与一元二次方程.不等式b06 等式性质与不等式性质题型一 由不等式性质比较数（式）大小1．若a b <，d c <，且()()0c a c b --<，()()0d a d b -->，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ） A ．d a c b <<< B ．a c b d <<< C ．a d b c <<< D ．a d c b <<<【答案】A【解析】因为()()0c a c b --<，a b <，所以a c b <<，因为()()0d a d b -->，a b <，所以d a <或d b >，而a c b <<，d c <，所以d a <． 所以d a c b <<<． 故选：A ．2．已知,,R a b c ∈，下列命题为真命题的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d >，则a d b c ->- C ．若a b >，c d >，则ac bd > D ．若22a b >，且0ab <则11a b< 【答案】B【解析】:A 若,0a b c >=则220ac bc ==，A 不正确；B ：因为a b >，c d >，则c d -<-，所以a d b c ->-，故B 正确；C ：当0b c ==时，可得不等式不成立，故C 不正确．D ：若3,2a b ==-，满足条件，但11a b>，所以D 不正确. 故选：B ．3．已知,,a b c ∈R ，若a b c >>，且230a b c ++=，则下列不等关系正确的是（ ） A ．ac bc < B ．a b c b >C ．c c a c b c>-- D ．()2a bc abc +>+【答案】ACD【解析】230a b c ++=，a b c >>，0c ∴<，0a >， 对于A ，a b >，0c <，ac bc ∴<，A 正确；对于B ，当0b =时，满足a b c >>，此时0a b c b ==，B 错误； 对于C ，a b c >>，0a c b c ∴->->，11a cbc ∴<--，又0c <，c c a c b c∴>--，C 正确； 对于D ，a b >，0a b ∴->，()()a a b c a b ∴->-，即2a ab ac bc ->-，整理可得：故选：ACD.4．已知g b 糖水中含有g a 糖(0b a >>)，若再添加g m 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ） A ．a a m b b m+<+B ．22mm a m a b m b ++<++ C ．()()()()22a m b m a m b m ++<++ D ．121313ba -<- 【答案】ABD【解析】对于A ，由题意可知a a mb b m+<+，正确； 对于B ，因为2mm <，所以2222m mm ma m a m m ab m b m m b +++-+<=+++-+，正确； 对于C ，22a m a m m a mb m b m m b m ++++<=++++即()()()()22a m b m a m b m ++<++，错误； 对于D ，1122131131311333b b b b a --+<==<--+，正确. 故选：ABD5．已知1m n >>，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11+>+m n n mB ．->-m n m nC ．3322+>m n mnD ．3322+>m n m n【答案】ABC【解析】对于A 项，11111,,m n m n n m n m>>>∴+>+，故A 正确； 对于B 项，()()22222220m nm nmn n n n ---=->-=，结合0,0m n m n ->->可得->-m n m n ，故B 正确；对于C 项，()()323222222()()m mn n mn m m n n n m m n m mn n -+-=-+-=-+-，222220,0m mn n m n n m n +->+->->，即3322+>m n mn ，故C 正确；对于D 项，当3,2m n ==时，33227835236m n m n +=+=<=，故D 错误； 故选：ABC题型二 作差法比较代数式大小1．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是（ ） A ．a 2＜b 2 B ．a 2b ＜ab 2 C ．2211ab a b< D ．b a a b< 【答案】C【解析】对于A ，取3,2a b =-=-，则a b <，但22a b >，故A 错误.而2332b aa b=->-=，故D 错误. 对于C ，因为2222110a b ab a b a b --=<，故2211ab a b<，故C 正确. 故选：C.2．设2243P a a =-+，()()13Q a a =--，a ∈R ，则有（ ） A ．P Q ≥ B ．P Q > C ．P Q < D ．P Q ≤【答案】A【解析】解：∵ ()()22214330P a a Q a a a -=-+---=≥,∵ P Q ≥. 故选：A.3．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是（ ） A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B【答案】B 【解析】()2234A B a ab ab b-=+--22a ab b =-+223204b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥，A B ∴≥.故选：B4．已知a b c d ,,,均为实数，下列命题正确的有（ ） A ．若0ab >，0bc ad ->，则0c da b ->B ．若0ab >，0c da b ->，则0bc ad ->C ．若0bc ad ->，0c da b->，则0ab >D ．如果0a b >>，0c d >>，则bc bd > 【答案】ABCD【解析】对于A ，因为0ab >，0bc ad ->，所以0c d bc ada b ab --=>，故A 正确； 对于B ，因为0ab >，又0c d a b ->，即0bc adab ->，所以0bc ad ->，故B 正确； 对于C ，因为0bc ad ->，又0c d a b ->，即0bc adab->，所以0ab >，故C 正确； 对于D ，因为0a b >>，0c d >>，，所以bc bd >，故D 正确． 故选：ABCD5．已知221110,1,1,,a A a B a C D -<<=+=-==，则,,,A B C D 的大小关系是________．(用“>”连【答案】C A B D >>> 【解析】由题意不妨取14a =-，这时171544,,,161635A B C D ====. 由此猜测：C A B D >>>下面给出证明：()()2221324111111a a a a a C A a a a a⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪-++⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-+==+++， 又21310,0,0,24a a a C A ⎛⎫+>->++>∴> ⎪⎝⎭222(1)(1)20A B a a a A B -=-=>∴>＋－，,()2221512411111a a a a a B D a a a a⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=--==---. 又∵102a -<<，10a ∴->，又∵22151150,24224a B D ⎛⎫⎛⎫--<---<∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述，C A B D >>>. 故答案为：C A B D >>>.6．现有A B C D 、、、四个长方体容器，A B 、的底面积均为2x ，高分别为,x y ；C D 、的底面积均为2y ，高也分别为x y 、 (其中x y ≠)，现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 【答案】未能确定x 与y 大小的情况下，取,A D 必胜,有1种必胜的方案.【解析】由条件得3223,,,,A B C D V x V x y V xy V y ====,则()()()()()23223A B C D V V V V x x y xy y x y x y +-+=+-+=+-当x y >时， A B C D V V V V +>+，当x y <时， A B C D V V V V +<+()()()()()322322A C B D V V V V x xy x y y x y x y +-+=+-+=+-当x y >时， A C B D V V V V +>+，当x y <时， A C B D V V V V +<+()()()()()233220A D B C V V V V x y x y xy x y x y +-+=+-+=-+>所以未能确定x 与y 大小的情况下，取,A D 必胜,有1种必胜的方案. 题型三 作商法比较代数式大小（2）当0a >，0b >且ab 时，a b a b 与b a a b .【答案】（1）223121x x x x -+>+-；（2）a b b a a b a b >. 【解析】（1）()()()2222312122110xx x x x x x -+-+-=-+=-+>，因此，223121x x x x -+>+-；（2）1a ba ba b a b b a a b b a a b a a b a a b b b -----⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∵当0a b >>时，即0a b ->，1a b >时，01a ba ab b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b ∴>； ∵当0b a >>时，即0a b -<，01a b <<时，01a ba ab b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b ∴>. 综上所述，当0a >，0b >且ab 时，a b b a a b a b >.2．已知0a >，0b >，试比较+a b 与a b b a+的大小； 【答案】a ba bb a++（当且仅当a b =时取等号） 【解析】方法一：由题意()()()a b a b a b a a b b a b b a a b ba ab ab--+--⎛⎫+-+==⎪⋅⎝⎭()()2a ba bab+-=，因为0a >，0b >，所以0a b +>，()20a b-≥，0ab >，所以()()20a ba bab+-≥，当且仅当a b =时等号成立，所以a ba b b a+≤+（当且仅当a b =时取等号）. 方法二：由()()()()a b a b a b aba ab b a b ab ba ab ab ab a bab a b +++-++-===+++()2a babab-+==()211a b ab-+，当且仅当a b =时等号成立，所以a ba bb a++（当且仅当a b =时取等号）. 3．设,a b R +∈，试比较a b a b 与b a a b 的大小. 【答案】当a b =时两者相等；当a b 时a b b a a b a b >.【解析】依题意，,a b R +∈，当ab 时，a ba b b a a b a a b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭：当0a b >>时，1,0a a b b >->，所以1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭；当0b a >>时，01,0b a b a <<-<，所以1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭.故当ab 时，1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即a b b a a b a b >.4．（1）设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；（2）已知a ，b ，c ∵{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∵N ，n ＞2时比较c n 与a n ＋b n 的大小． 【答案】（1）(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )；（2）a n ＋b n ＜c n . 【解析】（1）(x 2＋y 2)(x －y )-(x 2－y 2)(x ＋y )()()()222x y x y x y ⎡⎤=-+-+⎣⎦()()2x y xy =-⨯-因为0x y <<， 则0,20x y xy -<-<， 故()()20x y xy -⨯->， 即(x 2＋y 2)(x －y )-(x 2－y 2)(x ＋y )>0 (x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y ).（2）∵a ，b ，c ∵{正实数}，∵a n ，b n ，c n ＞0.而n n n a b c +＝n na b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵a 2＋b 2＝c 2，则22a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1，∵0＜a c ＜1，0＜bc＜1. ∵n ∵N ，n ＞2，∵2na a c c ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2nb bc c ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵n n n a b c +＝n n a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜22a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1. ∵a n ＋b n ＜c n .1．设a ，b 为正实数，则下列命题中是真命题的是（ ） A ．若221a b -=，则1a b -< B ．若111b a-=，则1a b -<C ．若1a b -=，则1a b -<D ．若1a ，1b ，则1a b ab --【答案】AD【解析】对于A 选项，由a ，b 为正实数，且221a b -=，可得1a b a b-=+，所以0a b ->， 所以0a b >>， 若1a b -≥，则11a b≥+，可得1a b +≤，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 中命题为真命题；对于B 选项，取5a =，56b =，则111b a -=，但5516a b -=->，所以B 中命题为假命题；对于C 选项，取4a =，1b =，则1a b -=，但31a b -=>，所以C 中命题为假命题；对于D 选项，由1,1a b ≤≤，则()()()()2222222211110a b ab a b a b a b---=+--=--，即()()221a b ab -≤-，可得1a b ab --，所以D 中命题为真命题.故选AD.2．已知三个不等式：0,0,0c dab bc ad a b>->->（其中a b c d ,,,均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是______． 【答案】3【解析】若0,0ab bc ad >->成立，不等式0bc ab ->两边同除以ab 可得0c da b->,即0,0c dab bc ad a b>->⇒->； 若0,0c d ab a b >->成立，不等式0c da b ->两边同乘ab ，可得0bc ad ->,即0,00c dab bc ad a b>->⇒->；若0c d a b ->，0bc ad ->成立，则0c d bc ada b ab --=>，又0bc ad ->，则0ab >， 即0c da b->，00bc ad ab ->⇒>. 综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个.故答案为：3．3．设n N ∈，1n >，1A n n =--，1B n n =+-，试比较A 与B 的大小． 【答案】A B >【解析】()()11111111n n n n n n A n n n n n n --+---=--===+-+-，同理可得11B n n=++，n N ∈，1n >，所以11n n n n +-<++，则1111n n n n>+-++，因此，A B >，故答案为A B >. 3．若0a b >>，0c d <<,||||b c > （1）求证：0b c +>； （2）求证：22()()b c a da cb d ++<--； （3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()bc a c +<-所求式2()a db d +<-？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---.【解析】（1）因为||||b c >，且0,0b c ><，所以b c >-，所以0b c +>.（2）因为0c d <<，所以0c d ->->．又因为 0a b >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0a c b d ->->．所以22()()0a c b d ->->． 所以22110()()a c b d <<--，因为,a b d c >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a d b c +>+． 所以0a d b c +>+>，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得22()()b c a da cb d ++<--.（3）因为0b c +>，22110()()a c b d <<--， 所以22()()b c b ca cb d ++<--，因为0b c a d <+<+，210()b d >-，所以22()()b c a db d b d ++<--，所以222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---. 所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式2()b cb d +-满足题意.4．设绝对值小于1的全体实数构成集合S ，在S 中定义一种运算“*”，使得*1a ba b ab+=+，求证：如果a ，b S ∈，那么*a b S ∈. 【答案】证明见解析【解析】由题意，绝对值小于1的全体实数构成集合S ，因为a S ∈，b S ∈，所以1a <，1b <，可得21a <，21b <， 则210b ->，210a -<，所以()()22110ba--<，即222210a b a b +--<，所以2222212a b ab ab a b ++<++，即()()221a b ab +<+，所以()()2211a b ab +<+，即11a bab+<+，所以*a b S ∈. 5．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a ＞1b ，x ＞y ，求证xx a+＞y y b +. 【答案】见解析【解析】,,,a b x y 都是正数，且1a ＞1b，x ＞y ，,x y a b a b x y∴>∴<， 故11a b x y +<+，即0x a y b x y ++<<， x yx a y b∴>++. 题型五 利用不等式求值或取值范围1．实数x ，y ，z 满足0x y z ++=，0xyz >，若111T x y z=++，则（ ） A ．0T > B ．0T < C ．0T =D ．0T ≥【答案】B【解析】因为0x y z ++=且0xyz >，所以不妨设0x >，则0y <，0z <， 则()2y x z xz xy yz xz y xzT xyz xyz xyz++++-+===. 因为0x >，0z <，所以0xz <，又20y -<， 所以20y xz -+<，又0xyz >，所以0T <. 故选：B.2．设实数,x y 满足01xy <<且01x y xy <+<+，那么,x y 的取值范围是 A ．1x >且1y > B ．01x <<且1y < C ．01x <<且01y << D ．1x >且01y << 【答案】C【解析】∵1x y xy +<+， ∵10,x xy y -+-< ∵()110,x y y -+-<∵()()110,x y --< ∵()()110,x y -->∵1x >，1y >或1x <，1y <.又∵01xy <<，0x y +>，∵01x <<，01y <<. 故选C.3．设实数x ，y 满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，求34x y的最大值． 【答案】27【解析】令()3224mn x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则3422m n n m x y x y -+-⋅=⋅，所以2324m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得2,1m n ==-，所以()232124x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，由题意得2249,38x xy y≤≤≤≤， 所以2221111681,83x y xy ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，所以()[]2321242,27x x xy y y -⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭.故34x y 的最大值为27. 故答案为：274．若108a b -<<<，求a b +的取值范围. 【答案】018a b <+<【解析】当0a ≥时有08a ≤<，08b <<，故016a b <+<，即0616a <+<； 当0a <时，100a -<<，故010a <-<，因为108b -<<所以1018a b -<-+< 又a b <，所以018a b <-+<，即018a b <+<. 综上018a b <+<.5．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 【答案】137x y ≤-≤【解析】令3()()x y s x y t x y -=++- ()()s t x s t y =++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩, 12s t =⎧∴⎨=⎩, 又11x y -≤+≤∵ 13x y ≤-≤, 22()6x y ∴≤-≤⋯∵∴∵+∵得137x y ≤-≤.07 基本不等式（1）题型一 由基本不等式比较大小 1．设b aM a b=+，其中a ，b 是正实数，且a b ，242N x x =-+-，则M 与N 的大小关系是（ ）.A ．M N ≥B ．M N >C ．M N <D ．M N ≤【答案】B【解析】∵a ，b 都是正实数，且a b ，∵22b a b a M a b a b=+>⋅=，即2M >， 又∵()2242442N x x x x =-+-=--++，()2222x =--+≤，即2N ≤，∵M N >， 故选B.2．已知0a >，0b >，2a b A +=，B ab =，2abC a b=+，则A ，B ，C 的大小关系为（ ）. A ．A B C ≤≤ B ．A C B ≤≤ C ．B C A ≤≤ D ．C B A ≤≤【答案】D【解析】由于0a >，0b >，故2a b ab +≥，则2a bab +≥，即A B ≥， 结合02a b ab +<≤可得：12a bab ≥+，两边乘以ab 可得：2ab ab a b ≥+，即B C ≥.据此可得：C B A ≤≤. 故选D .3．已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．4ab ≤ B ．111a b+≥C ．2216a b +≥D ．228a b +≥【答案】ABD【解析】A ．因为4a b +=，所以24ab ≤，所以4ab ≤，取等号时2a b ==，故正确； B ．因为1141a b a b ab ab++==≥，取等号时2a b ==，故正确； C ．因为22222228a b a b a b ++≥⋅==，取等号时2a b ==，故错误；D ．因为2222a b a b++≥，所以228a b +≥，取等号时2a b ==，故正确. 故选：ABD.4．设0a >，0b >，下列不等式恒成立的是（ ）. A ．21a a +>B ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D ．296a a +>E.若111a b+=，则4ab ≤【答案】ABC【解析】解：对于选项A ，由于22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴21a a +>，故A 恒成立；对于选项B ，由于12a a+≥，12b b +≥，∴114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故B 恒成立；对于选项C ，由于2a b ab +≥，1112a b ab+≥，∴()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，故C 恒成立；对于选项D ，当3a =时，296a a +=，故D 不恒成立； 对于选项E ，111a b +=，∴111112a b a b=+≥⨯，∴4ab ≥，当且仅当2a b ==时，等号成立.故E 不恒成立，即不等式恒成立的是ABC ， 故选ABC.题型二 由基本不等式证明不等关系1．若0x >，0y >，4x y +≤，则下列不等式中成立的是（ ） A ．114x y ≤+ B ．111x y+≥C ．2xy ≥D ．11xy≥ 【答案】B【解析】对于A ，因为4x y +≤，所以114x y ≥+，所以A 不正确； 对于B ，若0,0x y >>，设,04x y a a +=<≤，得1x ya+=，所以11111114()2(22)1y x x y x y a x y a x y a a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2x y ==时，等号成立，所以B 正确；对于C ，因为0,0x y >>，由4x y +≤，所以42x y xy ≥+≥，即2xy ≤，当且仅当2x y ==时，等号成立，所以C 不正确；对于D ，由上面可知2xy ≤，则4xy ≤，得114xy ≥，所以D 不正确； 故选：B2．已知a,b,c 均为正实数,且a+b+c=1,求证：(1a -1)(1b -1)(1c-1)≥8．【答案】证明见解析【解析】主要考查不等关系与基本不等式．证明：因为a, b, c (0,),∈+∞且a+b+c=1，所以111(1)(1)(1)()()()2)22)8.a b c a a b c b a b c c a b c a b c b c a c b a a a b b c c b c a c b aa ab bc c ++-++-++----=⋅⋅=+++≥⨯⨯⨯⨯⨯=． 3．已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.【答案】证明见解析【解析】∵a ，b ，c ∵R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∵1a ＋1b ＋1c ＝a b c a b c a b c a b c++++++++ ， ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎛⎫+ ⎪⎝⎭b a a b ＋⎛⎫+ ⎪⎝⎭c a a c ＋⎛⎫+ ⎪⎝⎭c b b c ，≥3＋2b a a b ⋅＋2⋅c aa c ＋2⋅cb b c＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 所以1a ＋1b ＋1c>9.4．已知0a >，0b >，1a b +=，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析 【解析】()()()22222211254112541254a b a b ab a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++⇔++⇔+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2243380(41)(8)0a b ab ab ab ⇔-+⇔--1a b +=，2212a b ab ∴+=-.104ab<，410ab ∴-，80ab -<. ∵(41)(8)0ab ab --成立，故原不等式成立.5．已知0,0,0a b c >>>,求证:32c a b a b b c a c +++++. 【答案】见解析【解析】设,,a b x b c y c a z +=+=+=,则0,0,0x y z >>>, 且()()22x y z z x ya abc b c y +++-=++-+=-=. 同理,,22x y z y z xb c +-+-==. 所以原不等式的左边222y z x z x y x y zx y z+-+-+-=++ 1322y x zx z y x y x z y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-⎢ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133(222)222≥⨯++-=. 当且仅当,x y z x y x x z ==,且z yy z=,即,x y z a b c ====时,等号成立. 题型三 基本不等式求积的最大值1．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为（ ）（单位：cm 2）.A ．8B ．10C ．16D ．20【答案】C【解析】设BC =x ，连结OC ，得OB =216x -，所以AB ＝2216x -， 所以矩形ABCD 面积S ＝2216x x -，x ∵（0，4）， S ＝2()22222162161616x x x x x x -=-≤+-= ． 即x 2＝16﹣x 2，即x ＝22时取等号，此时max 16y =故选：C2．已知,a b 为正数，2247a b +=，则21a b +的最大值为（ ） A ．7B ．3C ．22D ．2【答案】D【解析】222211411212222a b a b a b ⎛⎫+++=⨯+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2241a b =+时，取得最大值.故选：D3．(1)已知x ,y R +∈,求x y x y++的最大值;(2)求满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值,并说明理由. 【答案】(1)2 (2)2.见解析【解析】(1)∵x ,y R +∈,∵22212x y x y xy xyx y x y x y ⎛⎫+++==+≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭, 当且仅当x y =时,对等号, ∵当x y =时,x y x y++的最大值为2.(2)∵a ,b R +∈,∵设0a m =>,0b n =>,2a m =,2b n =, ∵22222m n mn mn +≥=,∵满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值, ∵222224242m n k m n k m n k mn +≥+≥=, ∵222k ≤,解得2k ≤,∵满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值为2. 4．我们学习了二元基本不等式：设0a >,0b >,2a bab +≥,当且仅当a b =时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值. （1）对于三元基本不等式请猜想：设0,0,c 0,3a b ca b ≥ 当且仅当a b c ==时，等号成立（把横线补全）.(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：设0,0,0,a b c >>>求证：2229a b ca b c abc(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：设0,0,c 0,1,a b a b c 求111a b c 的最大值.【答案】（1）33a b cabc （2）证明见解析（3）827 【解析】（1）通过类比,可以得到当0a >,0b >,0c >时33a b c abc ,当且仅当a b c ==时,等号成立；（2）证明：0a >,0b >,0c >,由（1）可得22232223a b c a b c ++≥,∴22233222333333a b c a b c a b c abca b c abc()()2229a b c a b c abc ∴++++≥（3）解：由（1）可得,33a b c abc ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,即33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,由题,已知0a >,0b >,0c >,1a b c ++=,10a b c ∴-=+>,10b a c -=+>，10c a b -=+>,∴33322811133327b ca ca ba b c b c a c a ba b c ∴当且仅当b c a c a b +=+=+,即a b c ==时取等,即111a b c 的最大值为8275．设∵ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝3π，a ＋b ＝λ，若∵ABC 面积的最大值为93，求λ的值． 【答案】 12 【解析】S ∵ABC ＝12absin C ＝34ab ， 根据基本不等式2224a b ab λ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ , 当且仅当a=b 时，等号成立, ∵S ∵ABC ＝34ab≤34·223216a b λ+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令2316λ＝93，解得λ＝12. 题型四 基本不等式求和的最小值1．设x ，y 均为正数，且xy +x -y -10=0，则x +y 的最小值是_______. 【答案】6【解析】由xy +x -y -10=0，得101y x y +=+=91,111y y ++>+， 故()99121611x y y y y y +=++≥⋅+=++，当且仅当911y y =++，即y =2时，等号成立． 故答案为：6.2．若0a b +≠，则2221()a b a b +++的最小值为________．【答案】2【解析】由于()222222222a b a b a b ab a b +++⎛⎫≤≤⇒+≥ ⎪⎝⎭， 所以()()222222211122()2()2()a b a b a b a b a b a b ++++≥+≥⋅=+++，当且仅当a b =且()2212()a b a b +=+时等号成立， 即()34144222a b a b a b a b a b -=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒==⎨⎨+=⎪⎪+=⎩⎩时等号成立. 所以2221()a b a b +++的最小值为2.故答案为：23．已知ab ＞0，则()()22222424541ab a b ab +++++的最小值为_____.【答案】4.【解析】解：根据题意，ab ＞0，故22224244a b a b ab +≥⨯=，当且仅当a ＝2b 时等号成立，则原式()()()22222224245(4)245(41)4414141ab a b ab ab ab ab ab ab ++++++++=≥==+++44141ab ab +++，又由ab ＞0，则4ab +1＞1， 则有44141ab ab ++≥+()424141ab ab +⨯=+4，当且仅当4ab +1＝2，即4ab ＝1时等号成立，综合可得：()()22222424541ab a b ab +++++的最小值为4，当且仅当a ＝2b 12=时等号成立 故答案为：4.4．设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值为__________. 【答案】4【解析】因为0a b c >>>，所以()222221111210251025()a ac c a a ac c ab a a b ab a a b ++-+=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦++-+-- ()()()()222222222211445 55204 2a a c a a c a a c a b a b a a b a b ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=++-≥++-=++-≥⋅+=-+-⎣⎦⎪⎝⎭，当且仅当252a b c === 时取等号，此时221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值为4． 故答案为：4.题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值问题1．若41x -<<，则当22222x x x -+-取最大值时x 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】D【解析】变形，可得()()()()222112221111222121221x x x x x x x x x x -+-+-++-===+----，41x -<<，510x ∴-<-<，原式()()()11111121221221221x x x x x x ⎡⎤---=+=-+≤-⋅=-⎢⎥---⎣⎦， 当且仅当()11221x x -=-，即0x =时取等号，因此，22222x x x -+-取最大值时0x =. 故选：D.2．（1）若,0x y >，且280x y xy +-=，求x y +的最小值；（2）若41x -<<，求22222x x x -+-的最大值．【答案】（1）18；（2）-1.【解析】（1）由280x y xy +-=，得821x y+=，()828210y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭8210218y xx y ≥+⋅=，当且仅当212x y ==时取等号故当212x y ==，x y +取最小值18.（2）若41x -<<，则()2221112221x x x x x -+⎡⎤=--+⎢⎥--⎣⎦()1121x x-+≥-当且仅当0x =时取等号 ()111121x x ⎡⎤∴--+≤-⎢⎥-⎣⎦.即若41x -<<，22222x x x -+-的最大值为1-．3．（1）求当0x >时，2342x x y x ++=的最小值；（2）求当1x >时，221x y x +=-的最小值.【答案】（1）72；（2）232+.【解析】（1）当0x >时，234322372222222x x x x x x x ++=++≥⋅+=，当且仅当2x =时等号成立，所以当0x >时，函数2342x x y x++=的最小值为72；（2）()22112312111xxy x x x x -+⎡⎤+⎣⎦===-++---， 当1x >时，10x ->，所以()32122321y x x ≥-⋅+=+-， 当且仅当311x x -=-，即在13x =+时等号成立， 所以，当1x >时，221x y x +=-的最小值为232+.4．若,,x y z 均为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值是_______．【答案】22【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以2222222()11(2)2xy yz xy yzx y y x z y z ++=+++++ 22222()2222xy yzxy yz xy yz x y y z ++≤==+⋅+⋅⋅, 当且仅当2222x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即22x z y ==时等号成立．故答案为：22. 、专题7 基本不等式（2）题型一 条件等式求最值1．已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，且44430ab a b --+=，则12a b+的最小值是______．【答案】4243+【解析】已知01,01a b <<<<，由44430ab a b --+=得44441ab a b --+=，即1(1)(1)4a b --=， 令()()10,1,10,1,41x a y b xy =-∈=-∈=， 所以()10,14y x =∈，所以1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故12121218111114114x a b x y xx x x+=+=+=+------()()12421422224441141444134441x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++=++=++-+- ⎪⎣⎦------⎝⎭ ()()()()4412444412441242264434441344413x x x x x x x x ⎡⎤----=+++≥+⋅=+⎢⎥----⎣⎦， 当且仅当()()4412444441x x xx --=--即3224x -=时，取等号. 故答案为：4243+． 2．已知正实数x ，y 满足14xy <，且2441y y xy x ++=，则13x y x+-的最小值为______． 【答案】22【解析】解：正实数x ，y 满足14xy <，且2441y y xy x++= 所以21442y y xy x +--=，即()42y x y x y x +-+=，也即()142x y y x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 则()1123422x y y x y x y x x x y+-=-++=++≥+ 当且仅当()2142x y x y x y y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即2142x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则5234832348x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时取等号，此时1711164xy -=<，所以取得最小值22． 故答案为：22．3．已知0a >，0b >，1c >且1a b +=，则21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值为______． 【答案】422+【解析】因为0a >，0b >，1a b +=，所以222221()22a a a b a b ab ab ab ab +++++==222222ab abab+≥=+，又1c >，则21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭2221c c ≥+- ＝122(c 1)21c ⎡⎤-++≥⎢⎥-⎣⎦1222(1)24221c c ⎡⎤-⋅+=+⎢⎥-⎣⎦，其中等号成立的条件：当且仅当222112(1)1a b a b c c ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪-=-⎩，解得21a =-，22b =-，212c =+，所以21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值是422+. 故答案为：422+.4．若正实数a ，b 满足()2261a b ab +=+，则21aba b ++的最大值为______.【答案】16【解析】()()()221621216a b ab a b a b ab +-=⇒+++-= ，即21216ab a b a b +-=++又()22236323224a b ab a b a b +⎛⎫=⋅⋅≤=+ ⎪⎝⎭，等号成立的条件为2a b = ，原式整理为()()()2223212244a b a b a b +≤++⇒+≤ ，即022a b <+≤ ，那么2121121666ab a b a b +--=≤=++，所以21ab a b ++ 的最大值是16.5．求下列函数的最值（1）求函数22(1)1x y x x +=>-的最小值.（2）若正数x ，y 满足35x y xy +=，求34x y +的最小值. 【答案】（1）223+；（2）5.【解析】（1）2(1)2(1)33(1)223211x x y x x x -+-+==-+++--，当且仅当2(1)3x -=即31x =+时等号成立，故函数y 的最小值为223+.（2）由35x y xy +=得13155y x+=， 则1331213133634(34)()2555555525x y x y x y y x y x +=++=+++=， 当且仅当12355y x x y =,即12y =，1x =时等号成立， 故34x y +的最小值为5.题型二 基本不等式的恒成立问题1．已知a ，b 为正实数，且23a b ab +=，若0a b c +-≥对于满足条件的a 、b 恒成立，则c 的取值范围为.（ ） A ．2213c c ⎧⎫⎪⎪≤+⎨⎬⎪⎪⎩⎭B ．322c c ⎧⎫≤+⎨⎬⎩⎭C ．{}6c c ≤D ．{}322c c ≤+【答案】A【解析】将23a b ab +=变形为213a b+=，所以()()11121223322132333a b a a b a b b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2a b =时，即632,333a b =-=-时取等号.0a b c +-≥恒成立等价于c a b ≤+恒成立，即()min c a b ≤+，所以2213c ≤+故选：A .2．已知x 、y 都为正数，且4x y +=，若不等式14m x y +>恒成立，则实数m 的取值范围是________.【答案】94m ∴< 【解析】x 、y 都为正数，且4x y +=，由基本不等式得()14144x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭445259y x y xx y x y=++≥⋅+=，即1494x y +≥，当且仅当2y x =时，等号成立，所以，14x y +的最小值为94，94m ∴<.3．已知正实数x ，y 满足2520x y +=． （1）求xy 的最大值； （2）若不等式21014m m x y+≥+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）10；（2）9122m -≤≤.【解析】（1）2025225x y x y =+≥⋅，解得10xy ≤， 当且仅当5x =，2y =取等号， ∵xy 最大值为10． （2）101555592104421042101041x y y x y x x x x y x y y y ⎛⎫⎛⎫++=++≥+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=， 当且仅当203x =，43y =取等号， ∵2944m m +≤，解得9122m -≤≤． 4．设a b c >>，且11ma b b c a c+≥---恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】4m ∴≤ 【解析】由a b c >>知0a b ->，0b c ->，0a c ->. ∴原不等式等价于a c a cm a b b c--+≥--.要使原不等式恒成立，只需a c a ca b b c--+--的最小值不小于m 即可. ()()()()2224a b b c a b b c a c a c b c a b b c a ba b b c a b b c a b b c a b b c-+--+-------∴+=+=++≥+⋅=-------- 当且仅当b c a ba b b c--=--，即2b a c =+时，等号成立. 4m ∴≤5．已知16k >，若对任意正数x ，y ，不等式1322k x kyxy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】12k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】∵0x >，0y >，∵不等式1322k x kyxy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立等价于1322x y k ky x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立.又16k >，∵1132322x y k k k k y x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当132k x ky ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，等号成立），∵12322k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得13k -（舍去）或12k ，∵实数k 的取值范围为12k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.题型三 对勾函数求最值1．设x ，y 均为负数，且1x y +=-，那么1xy xy+有（ ）. A ．最大值174- B ．最小值174-C ．最大值174D ．最小值174【答案】D【解析】设a x =-，b y =-，则0a >，0b >.由12a b ab +=≥得14ab ≤. 由函数1y x x =+的图像得，当104ab <≤时，1ab ab +在14ab =处取得最小值， 11117444xy ab xy ab ∴+=++=≥，当且仅当12x y ==-时取等号成立.综上可得，1xy xy +有最小值174. 故选D .2．已知52x ≥，则24524x x y x -+=-有（ ）A ．最大值52B．最小值54C ．最大值1D．最小值1【答案】D【解析】解：由522x≥>得，()()()2221451121242222xx xy xx x x-+-+⎡⎤===-+≥⎢⎥---⎣⎦，当且仅当122xx-=-，即3x=时，等号成立，故选：D.题型四基本不等式的应用1．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（）A．2a bx+=B．2a bx+≤C．2a bx+>D．2a bx+≥【答案】B【解析】解：由题意得，2(1)(1)(1)A a b A x++=+，则2(1)(1)(1)a b x++=+，因为211(1)(1)2a ba b+++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以21122a b a bx++++≤=+，所以2a bx+≤，当且仅当a b=时取等号，故选：B2．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得AC a=，BC b=，过点C作CD AB⊥交圆周于D，连接OD．作CE OD⊥交OD于E．由CD DE可以证明的不等式为()A．2(0,0)abab a ba b>>+B．(0,0)2a bab a b+>>C．22(0,0)22a b a ba b++>>D．222(0,0)a b ab a b+>>【答案】A【解析】解：由射影定理可知2CD DE OD=，即222DC ab abDEa bOD a b===++，由DC DE得2ababa b+，故选：A．。