第八章向量代数与空间解析几何习题

向量代数与空间解析几何试题A一．选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ）（A ）5 （ B ） 3 （ C ） 6 （ D ）92. 设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（ ）．（A ） 7 （B ）7j （ C ）–1； （D ）-9k3．平面1234x y z ++=与平面2341x y z +-=的位置关系是( )．(A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合4．两直线182511 :1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-.32,6 :2z y y x L 的夹角为（ ）.（A ） 6 π； （B ） 4 π； （C ） 2 π；（D ） 3π。

5. 母线平行于x 轴且通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程是( )．(A) 223216x z += (B) 22316y z -= (C) 22216x y += (D) 2316y z -= ６.已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是 （ ） A. ；5 B. ；3 C. 6； D. 9.二．填空题1． 设向量2a i j k =-+，42b i j k λ=-+，则当=λ__ ____时，a 与b 垂直.2.已知2a =，2b =，且2a b ⋅=，则a b ⨯= .3．设一平面过原点及)2 ,3 ,6(-A ，且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为 。

4．曲线L :⎩⎨⎧-==+1222x z z y x ，关于平面xoy 的投影柱面的方程为 。

5．平面xoy 上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转而成的旋转曲面的方程为 。

6. 已知2a =，2b =，且2a b ⋅=，则a 与b的夹角θ= ；7. 平面0523=-+z y x 的法向量=n ．三．判断题1. 任何向量都有确定的方向.（ ）2. 与非零向量a 同向的单位向量a 只有1个. （ ）3. 设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有 +=-a b a b .（ ）4. 若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有0⋅a b =（ ）．5. 若两向量,a b 满足关系a b a b +=+，则,a b 同向。

8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。

4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。

第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3(　则：　且　b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。

8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。

第八章空间解析几何与向量代数（整理解答）第八章空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标系，坐标面，坐标轴，投影坐标8.3 点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )；A. )2,4,1(-QB. )2,0,1(-QC. )0,4,1(-QD. )2,4,0(Q 解：在yoz 面上，坐标x 分量必为零，所以选D.二、向量，方向角，模，向量运算，数量积，向量积8.5设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。

8.8 向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )；A. 0B. 1C. 2D. )2,11,5(--- 解：311(1)232a b ?=-?+?-+?=，所以选C 。

8.12 向量}3,0,1{=a ，}2,1,1{-=b ，则=?b a ( )；A. 6B. 6-C. }1,1,3{-D. }1,1,3{-- 解：1033112ij k a b i j k ?==+--，所以选C 。

8.16 a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ?=( ).(A) sin ab θ (B) s i n a b θ (C) cos ab θ(D) cos a b θ解：由定义，选D 。

8.21 已知1,a b ==a 与b的夹角为4π，则a b +=( ). (A)(B) 1 (C) 2 (D) 1解：222||||2||||cos 5θ+=++?=a b a b a b ，所以，+=a b A 。

8.23 设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ).(A) +=+a b a b (B) -=-a b a b (C) +=-a b a b (D) +=-a b a b解：因为⊥a b ，所以由向量加法和减法平行四边形法则+=-a ba b ，选C 。

第8章向量代数与空间解析几何习题解答1．自点()0000,,z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。

解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体(图略)。

xoy D P ⊥0平面，垂足D 的坐标为()0,,00y x ；yoz E P ⊥0平面，垂足E 的坐标为()00,,0z y ；zox F P ⊥0平面，垂足F 的坐标为()00,0,z x ；x A P ⊥0轴，垂足A 的坐标为()0,0,0x ；y B P ⊥0轴，垂足B 的坐标为()0,,00y ；z C P ⊥0轴，垂足C 的坐标为()0,0,0z 。

2．过()0000,,z y x P 分别作平行于z 轴的直线和平行于xoy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解：过0P 且平行于z 轴的直线上的点有相同的横坐标0x 和相同的纵坐标0y ，过0P 且平行于xoy 面的平面π上的点，有相同的立标0z 。

3．在空间直角坐标系下，设点()1,3,2-P 关于x 0轴的对称点为1P ，P 关于xoz 平面的对称点为2P ，关于原点O 的对称点为3P ，求1P 、2P 、3P 。

解：1P 为()1,3,2-，2P 为()1,3,2，3P 为()1,3,2--。

4．在yoz 平面上，求与三点()2,1,3A 、()2,2,4--B 和()1,5,0C 等距离的点。

解：设所求点为(),,,0z y P 则()()2222213||-+-+=z y PA ，()()2222224||++++=z y PB ，()()22215||-+-=z y PC 。

由于P 与A 、B 、C 三点等距，故222||||||PC PB PA ==，于是有：。

第八章 向量代数与空间解析几何（一）练习题1 :,,:,,,0,0,.A B C OA OB OC O λμνλμνλμν++=++=练习题证明三点共线的充分必要条件为存在不全为零的数使得并且其中是任意点():. ,,// ,, , A B C AB ACAB AC OB OA OC OA λλλ⇒⇒=-=-必要性若共线存在实数使得即亦即参考证明 (1)0.. ,,0, 0.(), OA OB OC OA OB OC λλλμνλμνλμννλμ-+-=++=++==-+充分性若存在不全为零的数使得并且将代入上式得()()0,0,,,,,,,,OA OC OB OC CA CB A B C λμλμλμνλμ-+-=+=即由于不全为零因此不全为零故共线.:,,,:,,,,0,0,.A B C D OA OB OC OD O λμνωλμνωλμνω+++=+++=练习四点共面的充分必要条件为存在不全为零的数使得并且其中是任意点1231112132122233132332 :,,, 0.r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅练习题证明对任意三个共面向量有123123123:,,,,, 0, (1),,(1), r r r r r r r r r λμνλμν++=三个向量共面的充分必要条件是存在不全为零的数使得将分别与式左右两端做内积得参考证明1112132122233132330 0 (2)(2),,,,,, r r r r r r r r r r r r r r r r r r λμνλμνλμνλμνλμν⎧⋅+⋅+⋅=⎪⎪⋅+⋅+⋅=⎨⎪⋅+⋅+⋅=⎪⎩将视为关于的三线性齐次方程组由于不全为零因此1112132122233132330.r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅练习3 设,,a i j b j k c k i =+=+=+，试求a b ⋅，a b ⨯，()a b c ⨯⨯和()a b c ⨯⨯.解：因为,,i j k 是直角坐标系的三个单位向量，故1i i j j k k ⋅=⋅=⋅=，0i j j k k i ⋅=⋅=⋅=.因此，()()1a b i j j k i j i k j j j k ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=.当然，利用坐标表达式可得{1,1,0}{0,1,1}1a b ⋅=⋅=.同样，利用0i i j j k k ⨯=⨯=⨯=，,,i j k j k i k i j ⨯=⨯=⨯=，可知()(){1,1,1}a b i j j k i j i k j j j k k j i ⨯=+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯=-+=-. ()()(()())()()a b c i j j k k i i j j k j i k k k i ⨯⨯=+⨯+⨯+=+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=()()i j i k j i i i k i j j i j k j j k j i k i j +⨯-+=⨯-⨯+⨯+⨯-⨯+⨯=-+-+=-+. 直接利用坐标表达式计算(1,1,0)(0,1,1)110{1,1,1}011i j ka b i j k ⨯=⨯==-+=-.()(1,1,1)(1,0,1)111{1,0,1}11i j k a b c i k ⨯⨯=-⨯=-=-+=-.注意：()a b c ⨯⨯()a b c ≠⨯⨯！注：计算向量的内积、外积可直接利用坐标表达式的公式，或根据单位向量,,i j k 的内积和外积的运算规律计算.练习题4 已知三个单位向量,,a b c 满足条件0a b c ++=，试求a b b c c a ⋅+⋅+⋅之值，并证明a b b c c a ⨯=⨯=⨯.解：注意到2()()222a b c a b c a b c a a b b c c a b b c c a ++=++⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 所以222213[()]22a b b c c a a b c a b c ⋅+⋅+⋅=++-++=-. 因为0a b c ++=，两边与b 作外积，得 0a b b b c b ⨯+⨯+⨯=，即a b b c ⨯=⨯.同理，若两边与c 作外积，就有c a b c ⨯=⨯，于是a b b c c a ⨯=⨯=⨯.:()()a ba a cb a bc b a a a⋅⋅-⋅-⋅练习证明向量与向量和都垂直。

第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1、重点①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点①向量积（方向）、混合积（计算）；②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形； ③空间曲线在坐标面上的投影；④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；） ⑤平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量及其线性运算①向量的基本概念：向量: 既有大小, 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.； 向量的符号: 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作→AB . 向量可用粗体字母表示, 也可用上加箭头书写体字母表示, 例如, a 、r 、v 、F 或→a 、→r 、→v 、→F ；向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量；向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.共面向量： 设有k (k ≥3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k 个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k 个向量共面； 两向量夹角：当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值.；②向量的线性运算向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的终点重合, 此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和, 记作a +b , 即c =a +b . :平行四边形法则: 向量a 与b 不平行时, 平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b .向量的加法的运算规律: (1)交换律a +b =b +a ; (2)结合律(a +b )+c =a +(b +c ).负向量: 设a 为一向量, 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量, 记为-a . 向量的减法: 把向量a 与b 移到同一起点O , 则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量→AB 便是向量b 与a 的差b -a .向量与数的乘法： 向量a 与实数λ的乘积记作规定λa 是一个向量, 它的模|λa |=|λ||a |, 它的方向当λ>0时与a 相同, 当λ<0时与a 相反. 当λ=0时, |λa |=0, 即λa 为零向量, 这时它的方向可以是任意的.运算规律: (1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ；λ(a +b )=λa +λb . 向量的单位化: 设a ≠0, 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量, 记为e a . ，于是a =|a |e a .定理1 设向量a ≠ 0, 那么, 向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使 b =λa .③空间直角坐标系在空间中任意取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i 、j 、k , 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz 坐标系.注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上, 而z 轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则.坐标面: 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面. x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面, 另两个坐标面是yOz 面和zOx 面.卦限: 三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy 面的上方. 在xOy 面的上方, 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy 面的下方, 与第一卦限对应的是第五卦限, 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 向量的坐标分解式: 任给向量r , 对应有点M , 使→r =OM . 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有 →→→→→→→OR OQ OP NM PN OP OM ++=++==r ,设 →i x OP =, →j y OQ =, →k z OR =, 则 →k j i r z y x OM ++==.上式称为向量r 的坐标分解式, x i 、y j 、z k 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量. 点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系 →) , ,(z y x z y x OM M ↔++==↔k j i r .有序数x 、y 、z 称为向量r (在坐标系Oxyz )中的坐标, 记作r =(x , y , z ); 向量→OM =r 称为点M 关于原点O 的向径. ④利用坐标作向量的线性运算 设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )a +b =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ). λa =(λa x , λa y , λa z ).利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a =(a x , a y , a z )≠0, b =(b x , b y , b z ), 向量b //a ⇔b =λa ,即b //a ⇔(b x , b y , b z )=λ(a x , a y , a z ), 于是zzy y x x a b a b a b ==. ⑤向量的模、方向角、投影 设向量r =(x , y , z ), 作→r =OM , 则 向量的模长公式222||z y x ++=r . 设有点A (x 1, y 1, z 1)、B (x 2, y 2, z 2),→→→OA OB AB -==(x 2, y 2, z 2)-(x 1, y 1, z 1)=(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1),A 、B 两点间的距离公式为：→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==. 方向角：非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角. 设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.||cos r x =α, ||cos r y=β, ||cos r z =γ.从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα. cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1. 投影的性质:性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );2、数量积、向量积、混合积①两向量的数量积数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ .数量积的性质:(1) a·a = |a | 2.(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b ;反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ⇔ a ·b =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示:设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有 222222||||cos zy x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ.数量积的坐标表示:设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z ), 则 a·b =a x b x +a y b y +a z b z . 数量积的运算律: (1)交换律: a·b = b·a ;(2)分配律: (a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c .(3) (λa )·b = a·(λb ) = λ(a·b ), (λa )·(μb ) = λμ(a·b ), λ、μ为数.②两向量的向量积向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出: c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角;c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定. 那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即c = a ⨯b .向量积的性质:(1) a ⨯a = 0 ;(2) 对于两个非零向量a 、b , 如果a ⨯b = 0, 则a //b ; 反之, 如果a //b , 则a ⨯b = 0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则a //b ⇔ a ⨯b = 0. 数量积的运算律:(1) 交换律a ⨯b = -b ⨯a ;(2) 分配律: (a +b )⨯c = a ⨯c + b ⨯c .(3) (λa )⨯b = a ⨯(λb ) = λ(a ⨯b ) (λ为数). 数量积的坐标表示: 设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )a ⨯b = ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k .为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成zy x z y x b b b a a a kj i b a =⨯=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . ③三向量的混合积混合积：先作两向量a 和b 的向量积b a ⨯,把所得到的向量与第三个向量c 再作数量积c b a ∙⨯)(，这样得到的数量叫做三个向量a 、b 、c 的混合积，记作[abc][abc]= c b a ∙⨯)(=zyxz y xc c c b b b z y xa a a 混合积的几何意义：混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。

第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用第一节 向 量1．数量积1）几何表示：αcos ||||b a b a =⋅. 2) 代数表示: z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a . 3) 运算规律:i) 交换律: a b b a ⋅=⋅ii) 分配律: .)(c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅ 4) 几何应用:i) 求模: a a a ⋅=||ii) 求夹角: ||||cos b a ba ⋅=α iii) 判定两向量垂直: 0=⋅⇔⊥b a b a 2.向量积1) 几何表示 b a ⨯是一向量. 模: αsin ||||||b a b a =⨯. 方向: 右手法则.2) 代数表示: zyx z y xb b b a a a k j ib a =⨯. 3) 运算规律 i) b a ⨯= )(a b ⨯-ii) 分配律: ⨯a (c b +)=b a ⨯+c a ⨯. 4)几何应用:i) 求同时垂直于a 和b 的向量: b a ⨯.ii) 求以a 和b 为邻边的平行四边形面积:=S |b a ⨯|.iii)判定两向量平行: ⇔b a //0=⨯b a . 3.混合积: c b a abc ⋅⨯=)()( 1) 代数表示:zyxz y xz y xc c c b b b a a a =)(abc . 2) 运算规律:i) 轮换对称性: )()()(cab bca abc ==. ii) 交换变号: )()(acb abc -=. 3) 几何应用i) 平行六面体V =|)(|abc .ii)判定三向量共面: c b a ,,共面⇔(abc )=0.题型一 向量运算例8.1 设,2)(=⋅⨯c b a 则=+⋅+⨯+)()]()[(a c c b b a .解 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a +⋅⨯+⨯+⨯+⨯=a cbc c b a c a c c a a b a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()()()( a c b c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a .例8.2 已知3||,2||==b a ,则=⋅⋅+⨯⋅⨯))(()()(b a b a b a b a .解 22)())(()()(b a b a b a b a b a b a ⋅+⨯=⋅⋅+⨯⋅⨯ ),(c o s ),(s i n 222222∧∧+=b a b a b a b a 3622==b a .例8.3 已知2||,2||==b a ,且2=⋅b a ,则=⨯||b a.A)2 B)22 C)22D)1 解 由于2),cos(==⋅∧b a b a b a ，而2,2==b a ，则21),cos(=∧b a ，从而4),(π=∧b a .故 22122),s i n (=⋅==⨯∧b a b a b a题型二 向量运算的应用及向量的位置关系例8.4 已知}4,4,2{-=a ,}2,2,1{--=b ,求a 与b 的角平分线向量且使其模为32。

462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。

高等数学A(2)复习题第八章 空间解析几何与向量代数一、填空题1、空间坐标系中)1,1,2(),0,1,2(),0,0,0(B A O ，则向量AB 与OB 的夹角为__________.2、平面-2-60x y z +=和2-50x y z ++=的夹角θ= ．3、设1,2,2a =-r （），1,1,4b =-r （），则夹角(,)a b ∧r r =_______.5、向量k j i k j i a ϖϖϖϖϖϖϖϖ22432-+=+-=β与的夹角为_____________．6、设点A 位于第I 卦限，向径OA u u u r 与x 轴，y 轴的夹角依次为π3和π4，且OA 6=u u u r ，则点A 的坐标为 .7、设0,1,2,1,1,3a b ==--r r （）（），则同时垂直于a ρ和b ρ的单位向量为 .8、向量2,3,6a =-r （），则与a ρ同向的单位向量为______________.9、设空间点A(1,-2,3),则与点A 关于原点对称的点的坐标为__________.10、设向量a ρ与2,1,2b =-r （）平行，18-=⋅b a ρρ，则向量a ρ＝ .11、设向量(3,2,1)a =-r ，4(2,,)3b k =r .已知a b ⊥r r ，则k =_____________． 14、设两向量分别为-a =r （1，2，2）和-b =r （1，1，4），则数量积a b ⋅r r =_______.15、设向量 1 , -1, k a =r （）与向量 2 , 4, 2b =r （） 垂直，则k =_______．16、过点)3,1,2(-且垂直于直线11211-+==-z y x 的平面方程为 ． 17、设一平面通过z 轴和点(3,1,2)-，则其方程为_____________________.18、直线22112z y x =-+=-与平面2342=+-z y x 的位置关系为 （填平行、垂直或斜交）.19、将xOz 坐标面上的抛物线2z 20x y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周，所生成的面方程为 . 20、曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 . 21、xOy 坐标面上的曲线20x y -=绕x 轴旋转一周,所得的旋转曲面方程为 .22、点（1,2,1）到平面0253=--+z y x 的距离为 .23、点(1,2,1)到平面1x y z ++=的距离为____________.24、 直线 310x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面 10x y z --+=的夹角为 . 二、解答题1、求平行于x 轴，且过点)2,1,3(-M 及)0,1,0(N 的平面方程.2、求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.3、求通过点P （1，2，3）且垂直于两平面012, 02=++-=-+z y x z y x 的平面方程.4、求平行于xoz 坐标面且经过点(2,-5,3)的平面方程.5、求过点()2,0,3-且与直线-24-7035-210x y z x y z +=⎧⎨++=⎩垂直的平面方程．6、求过点)0,4,2(0M 且与直线 ⎩⎨⎧=--=-+023017:1x y z x l 平行的直线方程． 7、求过点)3,1,0(-且与平面0122:=--+z y x π垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.8、求过点()2,1,3且与直线11321x y z +-==-垂直相交的直线的方程． 9、求过点)2,0,1(0-M 且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线14213:z y x L =+=- 垂直的直线方程. 三、综合题1、验证两直线12z 25y 1x :L 1-=-=与12z 14y 32x :L 2-=-=-相交，并求出它们所在的平面方程. 2、求过点A(1,1-1),B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点的平面方程.。

第八章 向量代数与空间解析几何1、已知求和2121),1,2,4()3,2,1(M M M M --2、设λλ垂直，求与c b a k j i c k j b k j i a +++=-=+-=3,,43,5233、设=⨯-=-=b a b a 则),4,1,1(),0,2,3(4、设=⋅b a b a b a 均为非零向量，则平行，且与, ，=⨯b a5、求向量的夹角与k j i b k j i a 25432++=+-=6、求过点垂直的平面方程与直线⎪⎩⎪⎨⎧+-==+=t z t y t x 1232)3,2,1(7、求过点的直线方程及)7,4,0()3,1,2(21-M M8、求过点轴的平面方程及y M )2,3,2(-9、求过点轴的平面方程且平行于及x M M )3,0,4()1,2,3(21--10、求过点2272512:23251:)0,6,2(21-=+=+=--=--z y x L z y x L M 与且与直线都垂直的直线方程11、设=⨯++=++=b a k j i b k j i a 则,42,32λ ，=λ但 时，b a ⊥； =λ但 时，a ∥b12、设=⋅++=j a zk yj xj a 则,13、两向量b a 和相互垂直的充要条件是 ，相互平行的充要条件是14、设向量=++=-+=p pk j i b k j i a 垂直，则与622315、求平行于y 轴且过点)1,2,3()1,5,1(21--P P 及的平面方程16、求直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 的点向式（对称式）方程17、求两直线2272512:23251:21-=+=+=--=-z y x L z y x L 与的夹角余弦18、求与两直线411221:322112:21-=-+=+-=+=-z y x L z y x L 与平行且过原点的平面方程19、设已知两点212121,),2,0,3()1,2,4(M M M M M M 并计算用坐标表示式表示向量和的模、方向余弦，方向角20、设夹角的余弦）；（及）求（与b a b a b a k j i b k j i a ,21,223⨯⋅-+=--=21、已知3221321,),3,1,3()1,3,3(),2,1,1(M M M M M M M 求和-同时垂直的单位向量22、已知的面积求OAB k j k i ∆+=+=,3,323、求过点平行的直线方程和且与两平面2312)4,2,0(=-=+z y z x24、求过点⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+-=+-=-+-=+-+00201012)1,2,1(z y x z y x z y x z y x 和而与两直线平行的平面的方程25、已知求与C B A ,),2,4,1(),2,3,3(),1,2,1(---26、设夹角余弦及求d c b a d b a c b a ,2,),1,0,2(),1,1,1(-=+=-=-=27、一平面过点试求该平面方程和且平行与向量),0,1,1()1,1,2(),1,0,1(-==-b a28、求过点的平面方程且通过直线12351)2,1,3(z y x =+=--29、求过点的直线方程且平行于直线5123)3,1,4(-==--z y x413222:032:)1,2,2(30-=--=-=-+-z y x L z y x M 平行，与直线且与平面π、求过点垂直的直线方程第八章 向量代数与空间解析几何1、414cos ,414cos ,413cos ;41;443-===-+γβαk j i 2、18 3、1；k j i 5128++ 4、0;b a 5、2π=θ 6、01023=-++z y x 6、435122-=--=--z y x 8、0=-z x 9、 03=+-z y 10、13296282z y x =-+=-- 11、;6;310;)6()6(2=-=-+-λλλλj i 12、x ； 13、0=⋅b a ；0=⨯b a ； 14、10； 15、0523=-+z x16、32141-+=-=-z y x ； 17、;2613cos =θ 18、05211=-+z y x 19、{34332;21cos ,22cos ,21cos ;21,2,1ππ，π，方向角方向余弦====-=-==--γβαβα 20、（1）3=⋅b a ，;75k j i b a ++=⨯（2）2123)cos(=∧b a 21、)172,172,173()172,172,173(---或 22、219 23、14322-=-=-z y x 24、0=+-z y x 25、);214,212,211(-±=e 26、;65130)cos(=∧d c 27、043=--+z y x ； 28、0592298=---z y x ； 29、53124-=+=-z y x ； 30、416212-=-=-z y x。

第八章向量代数与空间解析几何习题三十四向量及其线性运算一、填空题1、已知点A（-4，-2，1），B（1，-5，-3），C（-1，0，0），D（1，0，2），E（0，0，3），则点B（1，-5，-3）在第________卦限，点_______为zox坐标面上的点，点_______为x轴上的点，点_______既在yoz坐标面上也在zox坐标面上；2、点P（-3，2，-1）关于xoy坐标面的对称点是_______，关于yoz面的对称点是_______，关于zox 坐标面的对称点是_______，关于x的对称点是_______，关于y轴的对称点是_______，关于z轴的对称点是_______，关于原点的对称点是_______。

二、已知A（1，0，2）、B（4，5，10）、C（0，3，1）、D（2，-1，-6）和→→→→-+=kjim45求：1、向量→→→→-+=mCDABa34在三坐标轴上的投影及分向量；2、→a的模；3、→a的方向余弦；4、与→a平行的两个单位向量；5、求A与C两点之间的距离。

三、已知两向量→a=（λ，5，-1），→b=（3,1,μ）平行，求λ,μ的值。

四、从点A（2,-1,7）沿→→→→-+=kjja1298的方向取|→AB|=34，求点B的坐标。

五、如果平面上一个四边形的对角全互相平分，试用向量知识证明它是平行四边形。

习题三十五 向量的数量积 向量积一、是非题1、0=∙→→b a ，则→a =→0或→→=0b ；2、→→→=⨯0b a ，则→a =→0或→→=0b ；3、若→→→→∙=∙c a b a 且→→≠0a ，则→b =→c ；4、若→→≠0a ，→→≠0b 则2222a b a b a b →→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+∙= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 5、若→→≠0a ，→→≠0b ，→→≠0c 且→→→→⨯=⨯c b c a 则→a =→b ；6、→→→→∙=∙b a b a =→→→→∙=∙b b a a ；7、→→→→⨯=⨯a b b a ；8、向量→→⨯b a 既垂直于→a 也垂直于→b 。