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高等数学-第七版-课件-1-6 极限的计算(一)

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《高等数学极限》课件

《高等数学极限》课件

THANK YOU
无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。

高等数学同济第七版

高等数学同济第七版
在
都存在 ; 并求出
解:
故
时
此时
在
都存在;
显然该函数在 x = 0 连续
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P83 6; 9467 ; 13;
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
牛顿1642 – 1727
伟大的英国数学家 ; 物理学家; 天文
内容小结
1 导数的实质:
3 导数的几何意义:
4 可导必连续; 但连续不一定可导;
5 已学求导公式 :
6 判断可导性
不连续; 一定不可导
直接用导数定义;
看左右导数是否存在且相等
2
增量比的极限;
切线的斜率;
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思考与练习
区别:
四 函数的可导性与连续性的关系
定理1
证:
设
在点 x 处可导;
存在 ;
因此必有
其中
故
所以函数
在点 x 连续
注意: 函数在点 x 连续未必可导
反例:
在 x = 0 处连续 ; 但不可导
即
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在点
的某个右 邻域内
五 单侧导数
学家和自然科学家
他在数学上的卓越
贡献是创立了微积分
1665年他提出正
流数 微分 术 ;
次年又提出反流数积分术;
并于1671
年完成 流数术与无穷级数一书 1736年出版
他
还著有 自然哲学的数学原理和 广义算术等
莱布尼兹1646 – 1716
德国数学家; 哲学家
他和牛顿同为
微积分的创始人 ;

同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件

同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件

3
2
1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y

D( x)

1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)

1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
例如,
f
(
x)

2x

x
2

1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y

sgn
x


0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
y
1
o
x
-1
y
(3) 取整函数 y=[x]
4
[x]表示不超过 x 的最大整数
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)

高等数学 同济大学第七版第1章第1节课件C1S1

高等数学 同济大学第七版第1章第1节课件C1S1

那么称函数f (x)在X上有上界
y
K1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K1, 使得 f ( x) K1 对任一 x X 都成立
那么称函数f (x)在X上有上界
o
x
注 函数f (x)在X上有界
函数f (x)在X上既有上界，又有下界
例：f ( x) sin x 在(, )内有界，f ( x) 1 在(0, 1)内无界 x
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
积 f g ( f g)( x) f ( x) g( x), x D
商 f g
f ( x) f ( x) , x D \ x | g( x) 0
g g(x)
概念
概念
集映 合射
逆映射
区邻 间域
构造 复合映射
初等函数 函
反函数
数
复合函数 构造
四则运算
第一讲 映射与函数
映
特例
函
射
数
概念
映
函
射
数
映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x)
f Xx
原像
像
定义域
Y y
值域
注
（1） 映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则； （2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称

高等数学同济第七版

高等数学同济第七版
在
都存在 ; 并求出
解:
故
时
此时
在
都存在;
显然该函数在 x = 0 连续
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作业
P83 6; 9467 ; 13;
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牛顿1642 – 1727
伟大的英国数学家 ; 物理学家; 天文
五 单侧导数
第一节
导数的概念
第二章
一 引例
1 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
自由落体运动
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2 曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
割线 M N 的斜率
切线 MT 的斜率
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两个问题的共性:
瞬时速度
切线斜率
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限
类似问题还有:
加速度
角速度
线密度
电流强度
是速度增量与时间增量之比的极限
是转角增量与时间增量之比的极限
是质量增量与长度增量之比的极限
是电量增量与时间增量之比的极限
变化率问题
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解:
即
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是否可按下述方法作:
例6 证明函数
在 x = 0 不可导
证:
不存在 ;
例6 设
存在; 求极限
解: 原式
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三 导数的几何意义
若
曲线过
上升;
若
曲线过
下降;

同济七版NUAA高数课件 第一章 函数与极限 函数

同济七版NUAA高数课件 第一章 函数与极限 函数

x sgn x x
16
(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x 的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
17
(3) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
18
(4) 取最值函数
则
f u 1
u
1
1 u2
1
1 u2 ,
u
故
f (x) 1
1 x2 .
( x 0)
x
解：
x
2
x
k 1
x
k,k
0,1,2, x0
得定义域为 x < 0 且 x 1,2,
14
例3 设 f(x) 的定义域[0，1]，求 (1) f (x+a)+f(x-a) (a>0) 的定义域； (2) f (lnx)的定义域。
解: (1)
0 0
x x
a a
1 1
a
a
x
x
1 1
a
a
x应取在a≤x≤1-a, 而a ≤1-a
则: 若 a > 1/2 ，定义域为空集; 若 a <＝ 1/2 ，定义域为 [a, 1-a];
(2) 0≤ln x≤1 , 1≤x≤e为定义域。
15
几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
y
1

1.2数列的极限及运算 同济大学高数(第七版)上册PPT演示课件


]

,
当n


N时，有
n2 2n2
-1 - 5n
-
1 2

n2 1 1
lim n
2n2
5n

2
.
14
三、 收敛数列的性质
定理1（唯一性） 若数列{ xn } 收敛，则其极 限必唯一.
证
设
lim
n
xn

a,又设 lim n
xn

b，由定义知：

0, N1 , N 2 N ,
2
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2

R
正6 2n1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
当n越大时，An的面积与圆的面积的差别也就越小； 当n→∞时，内接正多边形的面积就无线接近于圆， 这就是极限的概念.
3
二、数列极限的定义
1、数列的定义
数列是整标函数: xn f (n) , n 1,2,,可表示为 {xn}：x1 , x2 , , xn , ；其中，为数列的通项 .
放大的原则： 1、使放大后的式子n 较为简单,且 n 0 (n ) ，再解不等式 n ，从而确定所要找的 N .
2、在放大过程中，为使式子简单，有时要限定n 必须大于某个正数， 并在最后确定N 的值时，考虑到这个前提条件.
12
例3 证明 lim 2n 2 . n 1 3n 3
以数列 {1 (1)n1} 为例，观察它当 n 时的变化趋势 . n
两个数的接近程度可用这两个数之差的绝对值来度量！

xn
1

( 1) n 1
1 n

《高数极限》课件

答案4
$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)$
THANKS
感谢观看
极限的运算性质
极限的四则运算性质
加减乘除满足相应的运算法 则。
极限的复合运算性质
复合函数的极限满足相应的 运算法则。
极限的等价变换
在一定条件下，可以将复杂 的函数进行等价变换，简化 计算过程。
02
极限的求解方法
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) + g(x)] = A + B。
减法法则
如果lim(x→a) f(x) = A，则lim(x→a) [f(x) - g(x)] = A - B。
乘法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) * g(x)] = A * B。
除法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B（B≠0），则lim(x→a) [f(x) / g(x)] = A / B。
05
习题与答案
习题部分
习题1
计算下列极限：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$
习题3
讨论下列函数的极限：$lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x}$
习题2
计算下列极限：$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^3 + x}$
习题4
求下列函数的导数并计算极限：$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

同济大学高等数学第七版极限的运算法则

结论： 设多项式 f( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,则有
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
11
极限的计算 一些基本极限（已经证明或明显的）
12
例 1 求lim(3x2 5x 8). x1
解：lim(3x2 5x 8) lim3x2 lim5x lim8.
x1
x1
x1
x1
3lim x2 5lim x 8.
x1
x1
3(lim x)2 5 8 3 5 8 6. x1
lim x2 5x4 12 514
x1 2x3
213
0
lx i1mx22x5x34
24
练习3.
12 lxi m 1(1x1x2).
通分
解： lx im 1(11x12x2)
lx i1m 1 1x(1x)21 (x)
lx im 1(1xx)(11x)
lim 1 x11 x
1 2
.
x2
练习4
lim x01 1 x2
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
直观记忆：M*0=0 这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。 回忆一些重要的有界函数。
常见的有界函数
4
注意： 也有界
记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。
5
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 !

高等数学第七版

高等数学第七版简介高等数学，又称微积分，是大学数学的一门重要的基础课程。

它是对数学分析和微分方程的进一步拓展和深化，是几何、物理和其他学科的基本数学工具。

《高等数学第七版》是一本经典教材，被广泛应用于中国大学的高等数学教学中。

内容概述《高等数学第七版》包含了以下主要内容：1.极限与连续：介绍函数的极限概念和求解极限的方法，以及连续函数的性质和应用。

2.一元函数微分学：包括函数的导数和微分的定义，导数的性质以及常见函数的求导法则等内容。

3.一元函数积分学：介绍不定积分和定积分的概念，以及求解不定积分和定积分的方法，包括换元积分法、分部积分法等。

4.数列和级数：涵盖数列的概念，以及等比数列、调和数列和算术级数、几何级数的性质和求和公式等。

5.多元函数微分学：讲解多元函数的偏导数、全微分和多元函数的极值、梯度等内容。

6.多元函数积分学：引入重积分的概念和多重积分的计算方法，包括二重积分和三重积分。

7.无穷级数：介绍无穷级数的概念以及判别级数收敛性的方法。

教学特点《高等数学第七版》具有以下教学特点：1.内容全面详细：该教材涵盖了高等数学课程的核心知识点，内容全面详细，适合大学本科高等数学教学。

2.理论与应用结合：教材不仅讲解了高等数学的理论知识，还结合了实际应用，突出了数学在工程、自然科学等领域中的作用和应用。

3.注重思维培养：教材重视培养学生的数学思维和逻辑推理能力，每章配有大量的习题和解答，便于学生巩固理论知识并提升问题解决能力。

4.扩展与拓展：除了基本概念和定理外，教材还涵盖了一些拓展内容，扩展了高等数学的应用领域，为学生提供更广阔的数学学习和研究空间。

学习建议在使用《高等数学第七版》教材进行学习时，可以注意以下几点：1.理论与实践结合：理论知识和实际应用是密不可分的，建议学生结合实际问题，理解和应用教材中的概念和方法。

2.多做习题：教材提供了大量的习题和解答，学生应该多做练习，通过实践巩固理论知识，加深对数学原理的理解。

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limCf ( x ) CA lim f ( x )n An
3．商的法则
lim f ( x ) A, lim g ( x ) B ( B 0)
f ( x) A lim g( x) B
例1 求 lim ( x 2 2 x 5 )
x 1
结论 lim a0 x n a1 x n1 an1 x an
一、极限的运算法则
（一）运算法则
（二）适用条件
一、极限的运算法则
（一）运算法则
（二）适用条件
1．和与积的法则 每一项的极限存在
有限项 2．商的法则 每一项的极限存在
分母的极限不为零
1 例3 lim x sin x 0 x
例4 求 lim sin x 1 sin x
x
lim f ( x ) A
B0 B0
A B
A0

0 A 0 未定式 0
1 x x 2 1 1 x (2) 求 lim 3 例8 (1) 求 lim x 1 1 x x 0 x
例9 求lim
x
cos

2
x x sin 2 2 cos x
常用技巧:消去零因子 途径: 函数
1

(3) ○和△呈倒数关系
应用
例15 求lim1 2 x
x 0 1 x
2x 3 例16 求lim x 2 x 1
x 1
极限的计算(一)
一、极限运算法则
二、极限存在准则 三、两个重要极限
四、变量代换与无穷小代换
极限的计算(一)
一、极限运算法则
二、极限存在准则 三、两个重要极限
四、变量代换与无穷小代换
四、变量代换与无穷小代换
（一）变量代换
（二）无穷小代换
四、变量代换与无穷小代换
（一）变量代换
（二）无穷小代换
依据
定理 设函数 y f g( x )是由函数 u g( x )与函数 y f ( u) 复合而成，y f g( x )在点x0的某去心邻域内有定义，
例11 求下列极限 (1)
m
nm nm nm
0
2 x 320 3 x 230 lim x 2 x 150
x
(2)
3 x 1 lim
17
1 4 x
6 x
2
5

5
7 4
极限的计算(一)
一、极限的运算法则
二、极限的存在准则 三、两个重要极限
(1) lim tan 2 x tan x 4 x 4
1 x tan x (2) lim x 1 2
四、变量代换与无穷小代换
（一）变量代换
（二）无穷小代换
四、变量代换与无穷小代换
（一）变量代换
（二）无穷小代换
依据 定理 设 且 存在,则
2．积的法则
lim f ( x) g ( x) AB 推广： 若 lim f1 ( x ) A1 , lim f 2 ( x ) A2, , lim f n ( x ) An
lim f ( x ) A, lim g ( x ) B
则 lim f1 ( x) f 2 ( x) f n ( x) A1 A2 An 特例：lim f ( x ) A
lim g( x ) u0 , lim f (u) A, 且存在 0 0, 当x U ( x0 , 0 ) 时， 若x x u u
0 0
o
有 g( x ) u0 , 则
x x0
lim f g ( x) lim f (u) A.
u u0
应用 例17 求下列极限
1 x A o C x
BD
tan x arcsin x (1) lim (2) lim x 0 x x 0 x
1 cos x (3) lim x 0 x2
三、两个重要极限
2．第二个重要极限 特点 (1) (2)
1 lim 1 e x x
x
1 底数→1，指数→∞
x x0


a0 x0 a1 x0
n
n 1
a n 1 x 0 a n
2 x 2 3x 1 例2 求 lim x 0 x2
结论
P ( x ) P ( x0 ) lim x x Q( x ) Q( x ) 0
0
P x 和 Q x 为多项式，Q x0 0
单调有界数列必有极限 例13 证明数列
x1 x2 x3 A M x
2 , 2 2 , 2 2 2 ,
极限存在,并求此极限.
极限的计算(一)
一、极限的运算法则
二、极限的存在准则 三、两个重要极限
四、变量代换与无穷小代换
极限的计算(一)
一、极限的运算法则
二、极限的存在准则 三、两个重要极限
四、变量代换与无穷小代换

1 2 n 1 例5 求lim 2 2 2 n n n n
4x 3 例6 求 lim x 1 x 2 3 x 2
关于商的极限
f ( x) lim 若 lim g ( x ) B g( x)
x2 4x 3 例7 求 lim x 3 x2 9
1．和的法则
lim f ( x ) A, lim g ( x ) B lim f ( x) g ( x) A B 推广： 若 lim f1 ( x ) A1 , lim f 2 ( x ) A2, , lim f n ( x ) An
则 lim f1 ( x) f 2 ( x) f n ( x) A1 A2 An
常用等价无穷小
应用
例18 求下列极限
1 (3) lim
x 0
tan 2 x (1) lim x 0 sin 5 x
1 cos x 1
1 x2 3
sin x (2) lim 3 x 0 x 3 x
极限的计算(一)
一、极限运算法则
二、极限存在准则 三、两个重要极限
四、变量代换与无穷小代换
三、两个重要极限
1．第一个重要极限
sin x lim 1 x0 x
y
证明
△AOB 的面积＜ 扇形AOB的面积 ＜△AOD的面积
1 x A o C x
BD
三、两个重要极限
1．第一个重要极限
sin x lim 1 x0 x
y
证明
△AOB 的面积＜扇形AOB的面积 ＜△AOD的面积 应用 例14 求下列极限
四、变量代换与无穷小代换
极限的计算(一)
一、极限的运算法则
二、极限的存在准则 三、两个重要极限
四、变量代换与无穷小代换
二、极限的存在准则
夹逼准则
g ( x ) f ( x ) h( x )
lim g ( x ) lim h( x ) A
lim f ( x ) A
1 1 1 例12 求 lim 2 2 2 n n n 1 2 n 单调有界准则
有理式 分解因式 无理式 有理化 三角式 三角变形
3x 2 2 x 1 例10 求 lim 3 x 2 x x 2 5
m 1

未定式
a0 b0
常用技巧:分子分母同除最高次幂
a0 x a1 x am 结论 lim n n 1 x b x b x bn 0 1
第六讲 极限的计算(一)
极限的计算(一)
一、极限的运算法则
二、极限的存在准则 三、两个重要极限
四、变量代换与无穷小代换
极限的计算(一)
一、极限的运算法则
二、极限的存在准则 三、两个重要极限
四、变量代换与无穷小代换
一、极限的运算法则
（一）运算法则
（二）适用条件
一、极限的运算法则
（一）运算法则
（二）适用条件