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第一章 |过关测试
方法技巧 转化思想是一种重要的数学思想，它的应用十分广泛 ，如通过作高可以将非直角三角形的问题转化为直角 三角形的问题来解决，通过建模可以将实际问题转化 为数学问题来解决等．
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第一章 |过关测试 例4 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有一 个长方体盒子，底面正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长方体 盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F点处的食物 ，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？ 过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点，再 走对角线BF；乙生说：我认为应由A先走对角线AC，再走C到F点； 丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾 股定理求AF的长；丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长 方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．你认为哪位同学的说法正确 ？并说明理由．(参考数据：29≈5.392)
[解析] 由勾股定理的几何意义可知：S1＋S2＝1, S2＋S3＝1.21, S3＋S4 ＝1.44， ∴S1＋S2＋S3＋S4＝2.44.
解：因为 AC ＋AB ＝4a ＋a －2a ＋1＝a ＋2a ＋1. BC2＝(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1， 即 AC2＋AB2＝BC2. 所以△ABC 是直角三角形，∠A 为直角．
3． 如果一个三角形的三边长分别为 a＝m2－n2， b＝2mn， c＝m2＋n2(m>n)，求证：三角形是直角三角形．
[解析] 因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角 边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3,4为直角边． 而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边 ，也可能为直角边．
解：(1)当两直角边长分别为 3 和 4 时，第三边长的平方为 32＋42＝25； (2)当斜边为 4，一直角边为 3 时，第三边长的平方为 42－32＝7.
第一章 过关测试
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第一章 |过关测试
知识归纳
1．勾股定理 定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 2
a ＋b2＝c2
各种表达形式：在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠A、∠B、∠C 的对边分 2 2 ，a2＝ 2 2 . 2 ，b2＝ 2 别为 a、b、c，则 c2＝ c －a c －b 作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求 另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．
考查 意图
难易 度
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第一章 |过关测试 知 识 与 技 能 思想 方法 与勾股定理有关的计算 勾股定理的逆定理 勾股定理的实际应用 勾股定理在网格、折纸中的应用 数形结合 方程思想 转化思想 12,13,14,19 1,2,4,7, 18 3,5,9,10,11,16,17 ,20,21,22,24 6,8,15,23 6,13,14 20,21,23 16
图1－8 图1－9 [解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
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第一章 |过关测试 针对第7题训练
3 5 1． 已知三角形的三边为 a＝ ，b＝ ，c＝1，这个三角形是 4 4 直角三角形吗？
A. 74
B. 75
C. 64
D．70 图1－7
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第一章 |过关测试 2．如图1－8所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B 是方格纸的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6³6的方格中， 找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样 6 的点有________ 个．
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易错警示 根据 a2＋b2＝c2，判别直角三角形时，容易出现计算一条 短边及最长边的平方和，导致错误．
考点三 勾股定理的实际应用 例3 如图1－2，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆破，已 知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上另一停靠站B的 距离为400 m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250 m 范围内不得进入．在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要暂 时封锁？
图1－2
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[解析] 要判断公路 AB 段是否需要封锁，则需要比较点 C 到 AB 的距离与 250 m 的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面 积计算点 C 到 AB 的距离． 解：作 CD⊥AB 于 D，因为 BC＝400 m，AC＝300 m，∠ACB ＝90° ，根据勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2，即 3002＋4002＝AB2， 所以 AB＝500 m. 1 1 由三角形的面积可知： AB· CD ＝ BC· AC ，所以 500CD ＝ 2 2 400³300，所以 CD＝240 m. 因为 240＜250， 即点 C 到 AB 的距离小于 250 m， 所以有危险， 公路 AB 段需要暂时封锁．
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易错警示 应用勾股定理计算时，易出现下列两种错误：(1)忽视勾股 定理成立的条件，在非直角三角形中使用 a2＋b2＝c2；(2)当题 目给出两条边长而没有给出图形时，可能考虑不周而漏解． 考点二 直角三角形的判别
例 2 如图 1－1，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 1 BC 上一点，且 EC＝ BC，请说明：AF⊥EF. 4
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第一章 |过关测试 按丁生的办法，将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG， 如图1－5所示： 则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连接AF，在Rt△ABF 中，AF2＝BF2＋AB2＝52＋22＝29≈5.392， ∴AF＝5.39 cm.连接AC， ∵AF<AC＋CF， ∴丁的方法比乙的好． 比较丙生与丁生的计算结果，知丙生的说法正确．
图 1－10 A．25 2 m B．25 m 50 C. 3 m 3 D．25 3 m
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针对第13题训练 1．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12， 81 以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是________ π ．
8
图1－11 2．如图1－12，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置 的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方 形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝ ________. 2.44 图1－12
图1－4
图1－5
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第一章 |过关测试 方法技巧 最短路径问题是勾股定理在立体几何中的应用，一般做法 是把长方体(或其他几何体)侧面展开，将立体图形问题转化为 平面图形问题，再根据两点之间线段最短，用勾股定理求解． 考点四 验证勾股定理
例5 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股 定理的一种新的验证方法．如图1－6，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c ，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2＋b2＝c2.
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试卷讲练
勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直 角三角形中三边的数量关系，成为解决“几何学”有关 “线段长度计算问题”的强有力的工具．它主要考查具 体情境中运用勾股定理进行相关线段的计算及判断一个 三角形是否为直角三角形，它不但是今后学习四边形、 解直角三角形的基础知识，而且为我们将来学习立体几 何、研究数论作了一些有益的准备 易 中 难 1,2,3,4,5,6,7, 11,12, 17,18 8,9,10, 13,14,15,19,20,21,22 16,23,24
图1－3
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Hale Waihona Puke 第一章 |过关测试 [解析] 要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF ，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方案类似 ，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、 宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发 现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需 要计算了． 解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长 方形AEFD，如图1－4所示： 则AE＝AB＋BE＝4(cm)，EF＝3 cm，连接AF，在Rt△AEF中， AF2＝AE2＋EF2＝42＋32＝25，∴AF＝5(cm)．连接BF， ∵AF<AB＋BF， ∴丙的方法比甲的好．
亮点
第6题在网格中寻找直角三角形，体现数形结合思想； 借助生活情境中计算最短路线问题、安装电线杆垂直问 题、折纸中计算问题等巧妙设计在第5、16、17、20、 21、23题中，体现数学来源于生活，又应用于生活，并 进一步激发学习数学的兴趣与求知欲
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第一章 |过关测试 针对第6题训练 1．如图1－7，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则 网格上的三角形ABC边长的平方和为( C )
图1－6
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[解析] 观察图形会发现易证△ABC≌△C′D′A，得∠CAC′＝90° ，于是梯形 1 BCC′D′的面积既等于 (C′D′＋BC)· BD′， 又等于 S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′， 2 于是定理得证． 证明：由题意可知四边形 BCC′D′为直角梯形， 因为 Rt△ABC≌Rt△AB′C′， 所以∠BAC＝∠B′AC′， ∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90° . 所以 S 梯形 BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′， 1 1 1 1 2 (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ ab＋ c ， 2 2 2 2 即 a2＋b2＝c2.
