成都七中2021届高三一诊模拟测试理科数学试卷

2021届四川省成都市第七中学高三第一诊断模拟测试数学（理）试题【含解析】一、单选题1．已知集合()1222M x y x x⎧⎫⎪⎪==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}11N x x =-<<，则M N =（ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．(]1,0-D ．()1,0-【答案】A【分析】先求出集合M ，再根据交集定义即可求出.【详解】(){}{}122222002M x y x xx x x x x ⎧⎫⎪⎪==-=-≥=≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， {}[)010,1M N x x ∴⋂=≤<=.故选：A.【点睛】本题考查交集运算，其中涉及函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( ) A ．3 B ．5C 5D ．35【答案】C【分析】先由已知，求出1m =-，进一步可得63i12i z+=-，再利用复数模的运算即可【详解】由z 是纯虚数，得10m +=且20m -≠，所以1m =-，3z i =. 因此，63631253i ii z i++==-=故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 3．函数()()33ln ||x xf x x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及计算()1(),22f f ，可得结果. 【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为()(),00,x ∈-∞+∞()()()()33ln ||33ln ||x x x x f x x x f x -+--=+-=+=所以可知函数()f x 为偶函数又()()11222211()33ln 0,233ln 2022f f --⎛⎫=+<=+> ⎪⎝⎭所以选项D 正确 故选：D【点睛】本题主要考查具体函数的图像，这种类型问题，可从以下几个指标判断：（1）函数定义域；（2）函数奇偶性；（3）特殊值：（3）单调性；（4）值域，属基础题. 4．执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为10【答案】C【解析】此题为流程图，主要考察学生的思维能力和对循环结构及赋值语句的理解程度，属于高考数学中的常见题型，难度不大，建议采用筛选法或排除法． 请在此填写本题解析!解 设输入,,a b c 的值依次为1,2,3，由条件结合赋值语句得c a 1,== a 2,b c 1,===所以3,ac b +=故排除A ，B ，同理验证可知排除D ，因此选C ． 5．函数()()2sin 0,2f x x πωϕϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．若对任意x ∈R ，()()2f x f t x =-恒成立，则实数t 的最大负值为（ ）A ．512π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-【答案】A【分析】根据函数图象可确定5544T π=，由此确定ω，利用1252f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；由()f x 的对称轴为x t =，采用整体对应的方式可确定t 的取值，进而确定t 的最大负值. 【详解】由图象可知：555546124T πππ=+=，2T ππω∴==，解得：2ω=. 5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()5262k k Z ππϕπ∴-+=-+∈，解得：()23k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，3πϕ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭. ()()2f x f t x =-，()f x ∴关于直线x t =对称， ()232t k k Z πππ∴+=+∈，解得：()122k t k Z ππ=+∈，则当1k =-时，t 取得最大负数，此时512t π=-. 故选：A .【点睛】本题考查根据正弦型函数的对称轴确定参数值的问题，关键是能够熟练掌握利用图象求解正弦型函数解析式的方法，进而采用整体对应的方式利用正弦函数的对称轴构造方程.6．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“21p -（p 是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是2213-=，3217-=，52131-=，721127-=，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为8921-，则第10个梅森数的位数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A ．25 B ．29C ．27D ．28【答案】C【分析】计算()89lg 21-判断即可.【详解】因为()89lg 2189lg 226.789-≈≈.故8926.7892110-≈.故第10个梅森数的位数为27. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据对数运算的应用,属于基础题型.7．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种. A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】B【分析】甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可.【详解】①甲在2道的安排方法有：336A =种；②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有22228A ⨯⨯=种，共有6814+=种方案. 故选B.【点睛】方法点睛：（1）先讨论甲在乙的位置的情况，此时乙不受限制，剩余元素全排列即可；（2）再讨论甲也不在乙的位置的情况； （3）两种情况求和.8．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>23，O 为坐标原点，过右焦点F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ，且OMN 为直角三角形，若332ONM S =△，则C 的方程为（ ） A ．221124x y -=B ．22162x y -=C ．2213x y -=D ．22126x y -=【答案】C【分析】利用双曲线的离心率得出3b a =，可得3a b ，2c b =，由OMN 为直角三角形可得出直线MN 的方程，求出点N 的坐标，可得出ON 、MN ，再由33ONM S =△b 、a 的值，进而可得出双曲线C 的方程. 【详解】由于双曲线C 的离心率为2231c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，3b a ∴=，可得3ab ，2c b =，设点M 、N 分别为直线3y x =、3y =上的点，且MN ON ⊥，则直线MN 的方程为)32y x b =-，联立)323y x b y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得323x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点33,2b b N ⎛ ⎝⎭，则2233322b b ON b ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易知3MON π∠=，tan3333MN ON b b π∴===，所以，2133332ONMSON MN =⋅==1b =，3a ∴= 因此，双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，要结合题意得出关于a 、b 、c 的方程组，考查计算能力，属于中等题.9．设0a >，0b >，1a b +=，则下列选项错误．．的是（ ） A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的取值范围是[)9,+∞ C ．11a b ab++的最小值为2D ．若1c >，则231121a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值为8 【答案】C【分析】由222()2a b a b ++≥，可判定A 正确；由41414()5b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，可判定B 正确；由ab ab ab ab ==ab 的范围，可判定C 不正确；由231424a a b ab b a+-=+≥，得到2311124(1)411a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+≥-++ ⎪--⎝⎭，进而判定D 正确. 【详解】对于A 中，由222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时取等，可得22a b +的最小值为12，所以A 正确； 对于B 中，由41414()55249b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，即21,33a b ==时，等号成立，取得最小值9，所以B 正确； 对于C ab ab ab ab==，又由102ab <1219412222ab ab ≥+=+=，所以C 不正确； 对于D 中，由222313()4224a a a b a bab ab b a+++-=-=+≥，当且仅当2b a =时，即12,33a b ==时，等号成立， 可得2311124(1)4811a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+≥-++≥ ⎪--⎝⎭， 当且仅当32c =时取等，所以D 正确. 故选：C.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．下列正确命题的序号有（ ） ①若随机变量()100,XB p ，且()20E X =，则1152D X ⎛⎫⎪⎝⎭+=．②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与B C D 是互斥事件，也是对立事件．③一只袋内装有m 个白球，n m -个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，()2P ξ=等于()22A Amnn m -④由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋅⋅⋅得到回归直线方程y bx a =+，那么直线y bx a =+至少经过()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋅⋅⋅中的一个点． A ．②③ B ．①②C ．③④D ．①④【答案】A【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可判断①；根据互斥和对立事件的定义即可判断②；计算2ξ=概率可判断③；根据回归直线方程是由最小二乘法得到，且过样本中心点可判断④，进而可得正确答案. 【详解】对于①：因为()100,X B p ，且()20E X =，所以10020p =，解得15p =，所以()1110011655D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以()111424D X D X ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故①不正确；对于②：根据互斥事件的定义可得A 与BC D 是互斥事件，()()1P A P B C D +=也是对立事件，故②正确；对于③：2ξ=表示前两次取出的是白球，第三次取到的是黑球，则()2122m n mnA C A P ξ-==，故③正确； 对于④：对于回归直线方程，只能确定通过(),x y ，故④不正确， 所以②③正确. 故选：A11．已知231a e b e +=-=，1e =，则a b ⋅的最小值是（ ） A ．18-B ．12-C ．8-D ．6-【答案】B【分析】根据题中条件，由向量线性运算的几何意义，求出13a ≤≤，24b ≤≤，得到a 与b 取得最大值时，a 与b 恰好反向，再由向量数量积的计算公式，即可求出结果.【详解】因为231a e b e +=-=，根据向量线性运算的几何意义，可得222a e a e a e -≤+≤+，333b e b e b e -≤-≤+，即212a a -≤≤+，313b b -≤≤+， 所以13a ≤≤，24b ≤≤，当3a =时，由21a e +=可得22441a a e e+⋅+=，即912cos ,41a e +<>+=，所以cos ,1a e <>=-，因为向量夹角大于等于0且小于等于180，所以,180a e <>=，故3a e =-；当4b =时，由31b e -=可得22691b b e e-⋅+=，即1624cos ,91a e -<>+=， 所以cos ,1a e <>=，故,0a e <>=，所以4b e =，此时a 与b 恰好反向，且模都取得最大值，所以a b ⋅的最小值是34cos18012⨯⨯=-. 故选：B.【点睛】思路点睛：求解向量数量积最值问题，一般需要建立适当的坐标系，用坐标表示出向量的数量积，将问题转化为求函数最值问题进行求解；有时也可根据向量的线性运算的几何意义，确定向量的模的最值以及向量的夹角，进行求解. 12．已知函数()21cos 2f x x x =--，()2g x x k =-，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，则k 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】将问题转化为()23cos 2h x x x =+与y k =有唯一交点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性和最值，由此得到()h x 大致图象，数形结合可求得结果. 【详解】()f x 与()g x 图象有且仅有一个公共点，()()f x g x ∴=有唯一解，即23cos 2k x x =+有唯一解， 令()23cos 2h x x x =+，则()3sin h x x x '=-，()3cos h x x ''=-， []cos 1,1x ∈-，()0h x ''∴>，()h x '∴在R 上单调递增，又()00h '=，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>；()h x ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 01h x h ∴==，可得()h x 大致图象如下图所示：23cos 2k x x =+有唯一解等价于()y h x =与y k =有唯一交点， 由图象可知：当1k =时，()y h x =与y k =有唯一交点，即()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点. 故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查根据两函数交点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将问题转化为平行于x 轴的直线与函数的交点个数的问题，进而利用数形结合的方法求得结果.二、填空题13．设实数x y ，满足2105x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则4z x y =+的最小值为______.【答案】53【分析】作出可行域,观察可得,当4z x y =+过点C 时，z 有最小值,再联立方程组解得最优解C 的坐标后,代入目标函数即得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，当4z x y =+过点C 时，z 有最小值；联立210x y x y +=⎧⎨-=⎩解得13x y == 即11,33C ⎛⎫⎪⎝⎭，故4z x y =+的最小值为53． 【点睛】本题考查了线性规划求最值,属中档题. 14．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足()132n S n n =+，n *∈N ，则数列12202011122020a a a ++⋅⋅⋅+=______． 【答案】20202021【分析】根据()132n S n n =+，利用数列通项和前n 项和的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得1n a n =+，再由()111111n na n n n n ==-++，利用裂项相消法求解. 【详解】因为数列{}n a 前n 项和n S 满足()132n S n n =+，n *∈N ， 当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时，()()()111312122n n n a S S n n n n n -=-=+--+=+ 对1n =时，也成立， 所以1n a n =+，所以()111111n na n n n n ==-++， 所以12202011122020a a a ++⋅⋅⋅+， 11111120201 (12232020202120212021)=-+-++-=-=，故答案为：2020 2021【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，()()11122nnn a a n nS na d+-==+②等比数列的前n项和公式()11,11,11nnna qS a qqq=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．15．如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为1的正方形，点E是棱PD上一点，3PE ED=，若PF PCλ=且满足//BF平面ACE，则λ=______．【答案】23【分析】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，在线段PE取一点G使得GE ED=，连接BG，可证平面//BGF平面AEC，从而可得23PF PGPC PE==.【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，则BO OD=，在线段PE 取一点G 使得GE ED =，则23PG PE =. 连接,BG FG ，则//BG OE ，又因为OE ⊆平面AEC ，BG ⊄平面AEC ， 所以//BG 平面AEC .因为//BF 平面ACE 且满足BG BF B ⋂=，故平面//BGF 平面AEC . 因为平面PCD 平面BGF GF =，平面PCD平面AEC EC =，则//GF EC .所以23PF PG PC PE ==，即23λ=为所求. 故答案为：23.【点睛】思路点睛：已知线面平行，则可以得到两类平行关系-线线平行和面面平行，前者可找过已知线的平面，该平面和已知平面的交线与已知直线平行，后面可构造过已知的直线的平面，它与已知的平面的平行.16．在平面直角坐标系xOy 中，定点()2,0F -，已知点P 是直线2y x =+上一动点，过点P 作圆()22:24C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ．直线PC 与AB 交于点R ，则线段FR 长度的最大值为______． 【答案】32【分析】根据点P 是直线2y x =+上一动点，设(),+2P a a ，求得CP ，然后利用射影定理24CA CR CP =⋅=，变形为2242+4R c R P c Px x y CR CP CP a x x y -====-，求得点R 的坐标，建立函数()2222R R FR x y =++，利用基本不等式求解. 【详解】如图所示：由射影定理得：24CA CR CP =⋅=， 因为点P 是直线2y x =+上一动点， 设(),+2P a a ， 所以()()()222=2+22+4CP a a a -+=所以()242+4CR CPa ==，则2242+4R c R P c Px x y CR CP CP a x x y -====-， 则22221+424+4R R a x a a y a ⎧-⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎪=⎪⎩，所以()2222R R FR x y =++，22222242+4+4a a a a ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，2224822344168+4+4+4a a a a a --⎛⎫=++=+⋅ ⎪⎝⎭，令223+4a t a -=， 当230m a =->时，1125425131344+2+4242t m m m m =≤=+⋅，当且仅当 25144m m =，即4a =时取等号，所以21168184FR ≤+⨯=， 所以线段FR 长度的最大值为32故答案为：32【点睛】关键点点睛：本题关键是将线段之比转化为坐标之比，即R c RP c Px x y CR CP x x y -==-，求得点R 的坐标，从而得解.三、解答题17．在①sin sin sin A b cB C b a+=--，②3sin c a A =，③23S CA CB =⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答，在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积. （1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，线段BD 的长度为2，求ABC 的面积S 的最大值.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.） 【答案】（1）答案见解析；（2）32. 【分析】（1）若选①，可以利用正弦定理得到关于边的关系式，再利用余弦定理得到所求的角，若选②，可利用辅助角公式求得角C 的大小，若选③，利用向量数量积的定义可得角C 的正切值，从而得到其大小.（2）利用余弦定理和基本不等式可求ab 的最大值，从而可求面积的最大值. 【详解】（1）选①：sin sin sin A b cB C b a+=--，∵由正弦定理得a b c b c b a +=--， ∴()()()a b a b c b c -=+-，即222a b c ab +-=，∴1cos 2C =， ∵(0,)C π∈，∴3C π=.选②：由正弦定理得sin sin 3sin C A A=sin 0A ≠，3sin cos 1C C =+， 12sin 1,sin 662C C ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵(0,)C π∈，∴5,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴66C ππ-=，∴3C π=. 选③：23,sin 3cos S CA CB ab C ab C =⋅=，∴tan 3C =∵(0,)C π∈，∴3C π=，（2）在BCD △中，由余弦定理知222(2)22cos 602a b a b +-⨯⨯=︒⨯，∴224242222a b ab a b ab ab +-=⋅⋅-=，∴2ab ，当且仅当2a b =. 即2,1a b ==时取等号， 此时ab 的最大值为2，面积13sin 2S ab C ==3【点睛】方法点睛：在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.18．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【分析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ0 1 2…… 1n -nP14 3144⋅ 23144⎛⎫ ⎪⎝⎭ ……13144n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭34n⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， （1）()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．已知，如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2AB PA ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，M 分别是BC ，PD 中点，点F 在棱PC 上移动.（1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； （2）当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，确定点F 的位置. 【答案】（1）证明见解析；（2）F 为PC 的中点.【分析】（1）连接AC ，可知得出AE AD ⊥和PA AE ⊥，即可证明AE ⊥平面PAD ，从而得出平面AEF ⊥平面PAD ；（2）以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解.【详解】（1）证明：连接AC ，∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC 为正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，又//AD BC ，∴AE AD ⊥， ∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥， ∵PA AD A ⋂=，PA 、AD ⊂平面PAD ，∴AE ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD .（2）由（1）知，AE ，AD ，AP 两两垂直，故以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，3,1,0)B -，3,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(0,1,1)M ，3,0,0)E ∴(3,1,2)=-PC ，(0,2,2)PD =-，(0,0,2)AP =.设(3,,2)PF PC λλλλ==-，则(3,,22)AF AP PF λλλ=+=-.. 设平面PCD 的法向量为()111,,m x y z =，则11111320220m PC x y z m PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令13z =，则11x =，13y =∴(1,3,3)m =. 设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ，222332323sin |cos ,||||(3)(22)7AF mAF m AF m λλλθλλλ⋅++-===⋅++-⨯2231172222λ=⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭ 当12λ=时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点. 【点睛】关键点睛：本题考查点的存在性问题，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用向量关系建立与线面角的关系，从而通过数量关系进行说明.20．已知函数()22ln f x ax x =-．（1）当2a =时，求()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对[]1,3x ∀∈，都有()14f x ≤恒成立，求a 的取值范围； （3）已知0a >，若1x ∃，2x 且满足120x x <<，使得()()12f x f x =，求证：)()2121220a x x x x +-+>．【答案】（1）21y x =+；（2）14a ≤；（3）证明见解析. 【分析】（1）当2a =时，求得函数的导数，求出切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线的方程;（2）转化已知条件为函数()f x 在[]1,3上的最大值()max 14f x ≤，利用单调性，①0a ≤时，②0a >时，分别求解函数的最小值，推出所求a 的范围;（3）通过()()12f x f x =)()2121220a x x x x +-+>,从而得到12x x a +>,令()212ln 4x g x x +=,求导,利用单调性可得()g x 在a ⎛ ⎝单调递减,即可()0g x g a >=在x a ⎛∈ ⎝恒成立,即可证明所求成立.【详解】（1）解：当2a =时，()222ln f x x x =-，()12f =，()24f x x x'=-，()12k f ='=，∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程为221y x -=-． 整理得: 21y x =+（2）解：法一：由题意()max 14f x ≤，()()22122ax f x ax x x-'=-= ①当0a ≤时，()'0fx <，()f x 在[]1,3上单调递减，∴()()max 114f x f a ==≤恒成立，∴0a ≤ ②当0a >时，()'0fx >，x a>∴()f x 在a ⎛ ⎝上单减，在a ⎫+∞⎪⎭上单增，（ⅰ1a≤，1a ≥时，()f x 在[]1,3上单增， ()()max134f x f =≤，12ln 349a +≤，舍去； （ⅱ3a ≥，109a <≤时，()f x 在[]1,3上单减， ()()max 114f x f =≤，14a ≤，∴109a <≤（ⅲ）当13a <<，119a <<时，()f x 在a ⎡⎢⎣上单减，a ⎤⎢⎥⎣⎦上单增， ()()114134f f ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，14a ≤，1194a <≤， 综上，14a ≤． 法2：()22l 1n 4f x ax x =-≤恒成立，即212ln 4xa x +≤， 令()212ln 4x g x x +=，()334ln 2xg x x-'=，()0g x '>，381e x <<． ∴()g x 在381,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，38e ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，()114g =，()12ln 314394g +=>， ∴()min 14a g x ≤=．（3）证明：因为120x x +>)()2121220a x x x x +-+>， 只需证明12x x a+>， 由（2）可知120x x a <<<，要证12x x a+>， 只需证明21x x a>-，又因为2x a >1x a a ->()f x 在a ⎫+∞⎪⎭单调递增， 所以只需证明()21f x f x a ⎫>-⎪⎭， 又因为()()21f x f x =，即证()11f x f x a ⎫>⎪⎭， 令()()0g x f x f x x a a ⎫⎛=--<<⎪⎭⎝即()222ln 2ln g x ax x a x x a a ⎫⎫=--+-⎪⎪⎭⎭442ln 2ln ax x x a ⎫=--+-⎪⎭注意到0g a = 因为()221442g x a a x a x x x a a '=-=⎫-⎪⎭140a a a x a ≤=+- ⎪⎪⎝⎭则()g x 在a ⎛ ⎝单调递减， 所以()0g x g a >=在x a ⎛∈ ⎝恒成立，所以12x x a+>)()2121220a x x x x +-+>． 【点睛】(1)曲线切线方程的求法：①以曲线上的点()00()x f x ，为切点的切线方程的求解步骤：求出函数()f x 的导数()f x '；求切线的斜率()0f x '；写出切线方程()()000()y f x f x x x '-＝- ，并化简．②如果已知点11()x y ， 在曲线上，则设出切点00()x y ，，解方程组()()0010010y f x y y f x x x ⎧=⎪-⎨=-'⎪⎩得切点00()x y ，，进而确定切线方程．(2)恒成立问题与存在成立问题常转化为值域问题．单变量的恒成立、有解、无解的转化：①对任意的[]x mn ∈， ，()a f x >恒成立()max a f x ⇒>； 若存在[]x mn ∈，，()a f x >有解()min a f x ⇒> ； 若对任意[]x mn ∈，，()a f x >无解()min a f x ⇒≤. ②对任意的[]x mn ∈，，()a f x <恒成立()min a f x ⇒<. 若存在[]x mn ∈，，()a f x <有解()max a f x ⇒<； 若对任意[]x mn ∈，，()a f x <无解()max a f x ⇒≥. 双变量的恒成立、有解、无解的转化：①对任意的[]x a b ∈，，不等式()()f x g x >恒成立，只须()()[]0min f x g x >－； ②存在0[]x a b ∈，，不等式()()00f x g x >成立，只须()()[]0max f x g x >－； ③对任意1[]x ab ∈，，2[]xcd ∈，，不等式()()12f x g x >恒成立，只须()()min max f x g x >；④存在1[]x a b ∈，，2[]x c d ∈，，不等式()()12f x g x >成立，只须()()max min f x g x >； ⑤对任意1[]x ab ∈，，存在2[]xcd ∈，，不等式()()12f x g x >成立，只须()()min min f x g x >.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为3C 相交于A ，B ，且AB OB ⊥，O 坐标原点. （1）求椭圆的离心率e ；（2）若1b =，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点. （ⅰ）求OP OQ k k ⋅的值；（ⅱ）点M 满足2OM OP =，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NMNQ的值. 【答案】（125；（2）（ⅰ）15-；（ⅱ）38.【分析】（1）由几何关系可得B 点坐标，代入椭圆方程即得5a b =，又222,ca b c e a=+=即得； （2）（ⅰ）将直线PQ 与椭圆联立即得1212OP OQ y y k k x x ⋅=结果； （ⅱ）,(01)NMNM NQ NQλλλ==<<将其坐标化，利用P ，Q ，N 在椭圆上求得结果即可．【详解】（1）已知||,||,26a OA a OB BAF π==∠=， 则3,44a a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225,5a a b b==，∴222c a b b =-=， ∴255c e a ==． （2）（ⅰ）由（1）可得1,5b a ==∴22:15x C y +=设直线l ：()()()11223332,,,,,,x P x y Q x y N x y =+ ∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭联立直线l 与椭圆C 的方程：223255x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 28310,0y +-=∆>恒成立1212318y y y y +==- ∴)())121212125323232348x x y y y y =++=+++=∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅱ）设,(01)NMNM NQ NQλλλ==<< ()11332323,,,22x y NM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ ∴12312322(1)22(1)x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩()()312312122(1)122(1)x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴22222211223355,55,55x y x y x y +=+=+=()()2212122222554(1)4(1)x x y y λλλλ--+=--∴()()222222112212125454520(1)x y x y x x y y λλλ+++-+=-由（ⅰ）可知121250x x y y +=，∴22144(1)λλ+=-，∴38λ=∴38NM NQ =． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为3x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为33x mmy k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C .（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin 324πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值. 【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）42【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l ：(3y k x =， 2l ：)133y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠.（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=， 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点.由于1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈），所以曲线1C 上的点()3,sin Qαα到直线60x y +-=的距离为2sin 63cos sin 6322d πααα⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==， 所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 的最大值为2. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23．已知函数()2725f x x x =-+- （1）求函数()f x 的最小值m ；（2）在（1）的条件下，正数a ，b 满足22a b m +=，证明2a b ab +≥． 【答案】（1）2m =；（2）证明见解析【分析】（1）由()()27252725x x x x -+-≥---，可求出()f x 的最小值； （2）利用基本不等式可得222a b ab +≥，从而可得1ab ≤1ab ，再结合2a b ab +≤12ab ≤1ab ≤，可证明结论. 【详解】（1）()()()272527252f x x x x x =-+-≥---=， ∴函数()f x 的最小值2m =． （2）证明：正数a ，b 满足222a b +=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号，所以1ab ≤1ab ≤， 2a bab +≤，当且仅当a b =时取等号， 所以12ab a b ≤+， 1ab ≤，所以12ab a b ≤+， 故2a b ab +≥．【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值，考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.。

高2021届成都“一诊”理科数学第I 卷 (选择题，共60分)一、 选择题:本大题共12小题, 每小题5分,共60分.1.设集合A={}2340,x x x --< B={}13,x x x N -<∈，，则AB=(A) {}1,2,3 (B) {}0,1,2,3 (C) {}14x x -<< (D) {}24x x -<<2.复数12(iz i i+=为虚数单位),则z 的共轭复数是 (A) 2i -- (B) 2i -+ (C) 2i - (D) 2i +3.若等比数列{}n a 满足23242,6a a a a +=-=,则6a =(A) 32- (B) 8 (C) 8 (D) 64 4.甲乙两台机床同时生产-种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是:1x 、2x 分别表示甲乙两组数据的平均数，S 1、S 2分别表示甲乙两组数据的方差,则下列选项正确的是(A)1212,x x S S => (B) 1212,x x S S >> (C) 1212,x x S S <> (D) 1212,x x S S >< 5.若函数32()3f x x x a =-+有且仅有一个零点,则实数a 的取值范围为 (A) (,0)(4,)-∞+∞ (B) (,8)(0,)-∞-+∞(C) [0,4] (D) (8,0)-6.若向量,a b 满足2,(2)6a a b b =+=,则b 在a 方向上的投影为 (A) 1 (B) 12 (C) 12- (D) 1- 7.设1202120202020ln ,20212021a b c === ,则a 、b 、c 的大小关系是(A)a >b .>c (B) a >c > b (C)c >a >b (D)c >b >a 8.若α、β、γ是空间中三个不同的平面，=,,l m n αβαγγβ==,则l m 是n m 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9.已知平行于x 轴的一条直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于P 、Q 两点，4,(3PQ a PQO O π=∠=为坐标原点) ，则该双曲线的离心率为(A)2(B) 2(C)(D)10.已知锐角ϕcos 1ϕϕ-=.若要得到函数21()sin ()2f x x ϕ=-+的图象,则可 以将函数1sin 22y x =的图象 (A)向左平移712π个单位长度 (B)向左平移12π个单位长度， (C)向右平移712π个单位长度 (D)向右平移12π个单位长度11.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ， B 两点，P(0, 7)2- 若PB ⊥AB ，则AF = (A)32 (B)2. (C) 52(D) 3 12.已知函数()ln ,()ln f x x x g x x x =+= .若12()ln ,()f x t g x t ==，则122()ln x x x t -的最小值为 (A)21e (B) 2e (C) 12e- (D) 1e - 第II 卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.71)x的展开式中1x -的系数是______________（用数字做答案）14.若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则23z x y =-的最小值为_________。

2021年四川成都高三一模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第1题5分设集合A={x|x2−3x−4<0}，B={x||x−1|<3,x∈N}，则A∩B=（）．A. {1,2,3}B. {0,1,2,3}C. {x|−1<x<4}D. {x|−2<x<4}2、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第2题5分2021年四川成都高三一模文科第2题5分（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）．复数z=1+2iiA. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第3题5分2021年四川成都高三一模文科第3题5分若等比数列{a n}满足a2+a3=2，a2−a4=6，则a6=（）．A. −32B. −8C. 8D. 644、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第4题5分2021年四川成都高三一模文科第4题5分甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：x1，x2分别表示甲乙两组数据的平均数，S1，S2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（）．A. x 1=x 2，S 1>S 2B. x 1>x 2，S 1>S 2C. x 1<x 2，S 1>S 2D. x 1>x 2，S 1<S 25、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第5题5分若函数f (x )=x 3−3x 2+a 有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）． A. (−∞,0)∪(4,+∞) B. (−∞,−8)∪(0,+∞) C. [0,4] D. (−8,0)6、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第6题5分若向量a →，b →满足|a →|=2，(a →+2b →)⋅a →=6，则b →在a →方向上的投影为（ ）． A. 1B. 12C. −12D. −17、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第7题5分设a =log 2020√2021，b =ln⁡√2，c =202112020，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a8、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第8题5分 2021年四川成都高三一模文科第8题5分若α，β，γ是空间中三个不同的平面，α∩β=l ，α∩γ=m ，γ∩β=n ，则l//m 是n//m 的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第9题5分 已知平行于x 轴的一条直线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)相交于P ，Q 两点，|PQ |=4a ，∠PQO =π3（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）．A. √62B. √52C. √6D. √510、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第10题5分 2021年四川成都高三一模文科第10题5分已知锐角φ满足√3sin⁡φ−cos⁡φ=1．若要得到函数f (x )=12−sin 2(x +φ)的图象，则可以将函数y =12sin⁡2x 的图象（ ）． A. 向左平移7π12个单位长度 B. 向左平移π12个单位长度 C. 向右平移7π12个单位长度 D. 向右平移π12个单位长度11、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第11题5分2020~2021学年四川成都温江区成都七中实验学校高二上学期期末模拟理科第11题5分 2021年四川成都高三一模文科第11题5分已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，P (0,−72)．若PB ⊥AB ，则|AF |=（ ）．A. 32B. 2 C. 52D. 312、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第12题5分已知函数f(x)=x+ln⁡(x−1)，g(x)=xln⁡x．若f(x1)=1+2ln⁡t，g(x2)=t2，则(x1x2−x2)ln⁡t的最小值为（）．A. 1e2B. 2eC. −12eD. −1e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第13题5分(√x−1x )7的展开式中x−1的系数是．（用数字作答）14、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第14题5分2017~2018学年湖南郴州嘉禾县嘉禾县第一中学高二上学期期中2017~2018学年广东深圳罗湖区菁华中英文实验中学高二上学期期中2017年高考真题新课标卷I2017~2018学年湖南郴州临武县临武县第一中学高二上学期期中设x，y满足约束条件{x+2y⩽12x+y⩾−1x−y⩽0，则z=3x−2y的最小值为．15、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第15题5分2021年四川成都高三一模文科第15题5分数列{a n}的前n项和为S n，a n+2S n=3n，数列{b n}满足3b n=12(3a n+2−a n+1)(n∈N∗)，则数列{b n}的前10项和为．16、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第16题5分在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =AB =1，AC =√2，三棱锥P −ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为 ；若点M ，N 分别是△ABC 与△PAC 的重心，直线MN 与球O 的表面相交于D ，E 两点，则线段DE 的长度为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第17题12分 2021年四川成都高三一模文科第17题12分在△ABC 中，点M 在边AC 上，CM =3MA ，tan⁡∠ABM =√35，tan⁡∠BMC =−√32． (1) 求角A 的大小．(2) 若BM =√21，求△ABC 的面积．18、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第18题12分 2021年四川成都高三一模文科第18题12分一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面2×2列联表：(1) 根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？(2) 在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：K2=a(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．19、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第19题12分如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点．(1) 求证：平面B1D1E⊥平面C1MN．(2) 若平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值．20、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第20题12分已知函数f(x)=(x−2)e x−a2x2+ax，a∈R．(1) 讨论函数f(x)的单调性．(2) 若不等式f(x)+(x+1)e x+a2x2−2ax+a>0恒成立，求a的取值范围．21、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第21题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且直线xa+yb=1与圆x2+y2=2相切．(1) 求椭圆C的方程．(2) 设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上．记△AOM，△BOP的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围．选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1题）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第22题10分在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=1+sin⁡α+cosαy=2+sin⁡α−cos⁡α（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin⁡(θ−π4)=√2．(1) 求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程．(2) 设点P(0,2)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求||PA|−|PB||的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第23题10分已知函数f(x)=|3−x|+|x−m|(m>2)的最小值为1．(1) 求不等式f(x)+|x−m|>2的解集．(2) 若a2+2b2+3c2=32m，求ac+2bc的最大值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 C; 8 、【答案】 C; 9 、【答案】 D; 10 、【答案】 A; 11 、【答案】 D; 12 、【答案】 C; 13 、【答案】 −35; 14 、【答案】 −5; 15 、【答案】 65; 16 、【答案】 √32;2√63;17 、【答案】 (1) A =2π3． ; (2) 6√3． ;18 、【答案】 (1) 有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系． ;(2) ξ的分布列为∴ξ的数学期望E (ξ)=23． ;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ; (2) √155．;20 、【答案】 (1) 当a ⩽0时，f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当0<a<e时，f(x)在(ln⁡a,1)上单调递减，在(−∞,ln⁡a)和(1,+∞)上单调递增；当a=e时，f(x)在R上单调递增；当a>e时，f(x)在(1,ln⁡a)上单调递减，在(−∞,1)和(ln⁡a,+∞)上单调递增．;(2) (1,4e32)．;21 、【答案】 (1) x26+y23=1．;(2) [√33,√63]．;22 、【答案】 (1) (x−1)2+(y−2)2=2；x−y+2=0．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) (−∞,3)∪(133,+∞)．;(2) 3．;。

2021届四川省成都七中高三第一次诊断性检测数学(理)试题一、单选题1.若随机变量弁~2),且>5)=0.2,则P(1 V X < 5)=()A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3【答案】A【解析】根据随机变量X服从正态分布N (3,。

？)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3,根据正态曲线的特点，即可得到结果.【详解】•・,随机变量X服从正态分布N (3, o=),・••对称轴是x=3.VP (X25)=0.2,AP (1<X<5) =1 - 2P (X25) =1 -0. 4=0.6.故选：A.【点睛】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x二口，并在x=u时取最大值从x二口点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的.2.函数)'=1)的图象大致是()【答案】D【解析】先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断.【详解】y = ln（l+ x2）, 因为满足偶函数f（・X）=f（X）的定义，所以函数y=ln（l+/）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B.又x=0时,y=0,排除A、C,故选D.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于基础题.3. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的恻面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）. 当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（）【答案】B【解析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案.【详解】・・•相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.・•・其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上, ・♦•俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B.【点睛】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考查了空间想象能力，属于中档题.4.设'是虚数单位，复数需满足9 — 1" ="+3,贝『的虚部为（）A. 1B. -1C. -2D. 2【答案】C【解析】令z=a+bi（a,b6R）,将其代入（Z—l"=z+3,化简即可得出.【详解】令z=a+bi,代入9T）i=z + 3,（a-l+bi） a+3+bi, •---b + （a-l）i = （a + 3）+bi3 =a—2< a-1 = b ,故选C.【点睛】本题考查了复数相等的概念及运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题.5.执行下边的算法程序，若输出的结果为120,则横线处应填入（）k=lDOS=S*kk=k+\LOOP UNTILPRINT S\gND J.k< 6n k < 6 尸k > 6、k> 6A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果.【详解】模拟执行算法程序，可得：S=l, k=l,不满足条件，S=l, k=2,不满足条件，S=2, k=3,不满足条件,S=6, k=4,不满足条件,S=24, k=5,不满足条件,S=120, k=6,此时i满足条件，退出循环，输出S的值为120；所以横线处应填写的条件为卜-°,故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，属于直到型循环结构，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.2x - y < 4x +2y < 2 y+i6.设实数满足（彳一1之° ,则丫的最大值是（）1 3A. -1B. 2 C, 1 D. 2【答案】D【解析】由约束条件确定可行域，由丁的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0, -D连线的斜率求得答案.【详解】2x - y < 4x + 2y <2由约束条件（X—,作出可行域如图，^-l=o I 巳联立&+ 2y -2=。

四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|0A x x x =->，{}|e 1x B x =≥，则A B = （）A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．已知复数z =i2i 1-（i 为虚数单位），则|z |=（ ）AB ．15C ．125D3．函数()()sin sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ）A ．3πB ．2πC ．πD ．2π4．若实数x ，y 满足约束条件03250210x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为（ ）A ．3-B ．3C ．4-D ．45．在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）A ．2πB ．C ．πD ．π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．37．已知实数,a b 满足log log 221a b >>，则（ ）A ．12a b<<<B ．12a b <<<C ．12b a <<<D ．12a b <<<8．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）A ．36625B ．9125C ．108625D ．541259．已知3sin()45πα-=，则sin 1tan αα-的值为（ ）A．BC．D10．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）．A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.4D ．中位数为3，方差为2.811．如图，已知三棱锥A -BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且,AC AMm n BD MB==，其中m ，n ∈（0，+∞）.有下列命题：①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形；③当m =1时，截面MNPQ 的周长与n 无关；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，截面MNPQ 的面积的最大值为1.其中假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数()f x =1ln ,0,e ,0.x xx x x x +⎧>⎪⎨⎪≤⎩则关于x 的方程2()()10()ef x af x a R --=∈的解的个数的所有可能值为（ ）A ．3或4或6B ．1或3C ．4或6D ．3二、填空题13．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为___________（用数字作答）14．已知向量,a b 满足()1,1a =r ，()23,1a b +=- ，则向量a 与b的夹角为___________.15．已知斜率为13-的直线与椭圆22+197x y =相交于不同的两点A ，B ，M 为y 轴上一点且满足|MA |=|MB |，则点M 的纵坐标的取值范围是___________.16．在ABC V 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.三、解答题17．已知等差数列{an }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4-2.(1)求{an }的通项公式；(2)设bn =2n a ，求数列{bn }的前n 项和.18．某项目的建设过程中，发现其补贴额x （单位：百万元）与该项目的经济回报y （单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：补贴额x （单位：百万元）23456经济回报y （单位：千万元）2.5344.56(1)请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+；(2)为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X 表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X 的分布列与期望.参考公式：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑19．如图甲，在直角三角形ABC 中，已知AB BC ⊥，4BC =，8AB =，D ，E 分别是,AB AC 的中点.将ADE V 沿DE 折起，使点A 到达点A '的位置，且A D BD '⊥，连接,A B A C ''，得到如图乙所示的四棱锥A '-BDEC ，M 为线段A D '上一点.(1)证明：平面A DB '⊥平面BDEC ；(2)过B ，C ，M 三点的平面与线段A 'E 相交于点N ，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN 与平面A 'BC 所成角的正弦值.①BM BE =；②直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；③三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C相交于P ，Q 两点.(1)设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标；(2)过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||MN AP AQ ⋅的值.21．已知函数()sin 2,f x x ax a R =-∈.(1)a ≥12时，求函数f （x ）在区间[0，π]上的最值；(2)若关于x 的不等式f （x ）≤ax cos x 在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos(4πρθ-=(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)已知点A 的直角坐标为（-1，3），直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，求|AE |·|AF |的值.23．已知函数()f x =|x -1|+2|x +1|.(1)求不等式()f x <5的解集；(2)设()f x 的最小值为m .若正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求3a 2+2b 2+c 2的最小值.参考答案：1．C 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，解指数函数不等式化简集合B ，再求集合的交集.【详解】{}(){}{20101A x x x x x x x x =->=->=>或}0x <，{}{}{}0|e 1|e e |0x x B x x x x =≥=≥=≥，所以{}()|11,A B x x =>=+∞I .故选：C.2．A 【解析】【分析】化简得2i5z -+=，即得解.【详解】解：由题得z =i i(2i 1)2i 2i 1(2i 1)(2i 1)5+-+==--+-，所以|z 故选：A 3．C 【解析】【分析】将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得.【详解】因为()21cos 2sin 2()sin sin cos sin sin cos 22x xf x x x x x x x -=+=+=+1224x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期22T ππ==.4．D 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．【详解】解：可行域如图所示，作出直线3y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C ．解方程组3250x yx y =⎧⎨+-=⎩得(1C ，1)，所以3114max z =⨯+=．故选：D ．5．D 【解析】【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S RL π=计算公式可得．【详解】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中圆锥母线长2L =，圆锥底面半径R =22S π∴=⨯=6．B 【解析】【分析】根据渐近线方程，即可求得,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可求得.【详解】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±因为渐近线方程为y =，所以ba=故可得：e ====故选：B 7．B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性及对数的运算即可得解.【详解】21log log a a a >=Q ，12a ∴<<，同理12b <<又log 2log 2a b >，lg 2lg 2lg lg 22lg 20lg lg lg log log lg a b b aa b a b∴--=-=⋅>⋅又lg 20>，lg 0a >，lg 0b >，lg lg 0b a -∴>，即lg 0ba >，1b a∴>，b a ∴>，12a b ∴<<<故选：B 8．C 【解析】【分析】利用二项分布的概率即可得解.【详解】由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为10.40.6-=罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次故概率()2131080.40.60.40.1728625P C =⨯⨯==故选：C 9．B 【解析】【分析】先求出cos sin αα-=7sin cos 50αα=，再化简sin 1tan αα-即得解.【详解】解：由3sin()45πα-=3sin ),cos sin 5αααα-=∴-=，所以18712sin cos ,sin cos 2550αααα-=∴=，所以sin sin sin cos 7sin 1tan cos sin 501cos ααααααααα===---.故选：B 10．C 【解析】【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项．【详解】解：对于A ，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A 错误；对于B ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C ，若平均数为2，且出现6点，则方差S 2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C 正确；对于D ，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：x ＝15（1+2+3+3+6）＝3方差为S 2＝15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D 错误．11．A 【解析】【分析】①证明//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②证明对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==求出截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④截面MNPQ 的面积为24(1)nn +，利用基本不等式求出截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.【详解】解：① 因为//AC 截面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ =,MN AC ⊂平面ABC ,所以//AC MN ,同理//AC PQ ,所以//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②当AC ⊥BD 时，则MN PN ⊥,所以截面MNPQ 是矩形，当ACm BD=时，,22AC ACm m PN PN =∴=，如果2,2,21AC AB AM m m m n MN BM MB =∴=∴=-=，所以当21n m =-时，MN PN =,此时对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==所以1,,11nMN x PN x MN PN x n n ==∴+=++，所以截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，2122,21111n n PN MN n n n n =⨯==⨯=++++，由于截面是矩形，所以截面MNPQ的面积为2244411(1)212n n n n n n n ==≤=+++++，当且仅当1n =时等号成立.所以截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.故选：A 12．D 【解析】利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图象，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e ⋅=-，然后分11t e =-，11t e <-和110t e -<<三种情况结合函数图象讨论即可【详解】当0x >时，1ln ()x f x x+=，则'221(1ln )ln ()x x f x x x -+-==，当01x <<时，'()0f x >，当1x >时，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，且当x →+∞时，()0f x →，当0x ≤时，()x f x xe =，则'()(1)x f x x e =+，当10-<≤x 时，'()0f x >，当1x <-时，'()0f x <，所以()f x 在(1,0]-上递增，在(,1)-∞-上递减，且当x →-∞时，()0f x →，所以()f x 的大致图象如图所示，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e⋅=-，当11t e =-时，则21t =，此时2()f x t =有1个根，1()f x t =有2个根，当11t e<-时，则201t <<，此时2()f x t =有2个根，1()f x t =有1个根，当110t e -<<时，则21t >，此时2()f x t =有0个根，1()f x t =有3个根，综上，对任意的a R ∈，方程都有3个根，故选：D 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后画出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于中档题13．80-【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()5155255212rr r r r r r C x x C x ----⋅⋅-=-⋅⋅⋅，令523-=r 得1r =，所以展开式中3x 项的系数为()14151280C -⋅⋅=-.故答案为：80-14．2π##90【解析】【分析】利用向量坐标的线性运算求得(02)a = ，，相减得(22)b =，，再利用夹角公式可得结果.【详解】设(,)b x y =r ，()1,1a =r Q ，()23,1a b +=-则123121x y +=⎧⎨+=-⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，(1,1)b ∴=-r故[]cos ,0,,0,πa b a b a b a b ⋅==∈⋅r rr r r r r r ，则a 、b 的夹角为2π.故答案为：2π.15．⎛ ⎝【解析】【详解】设直线AB 的方程为13y x t =-+，由2213+197y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 并化简得22869630x tx t -+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，212123963,48t x x t x x -+=⋅=，()2236329630t t ∆=-->，解得t -<<()()1212121212311373,28226648x x t x x y y t x x t t t t-++++===-++=-⨯+=.由于MA MB =，所以M 是AB 垂直平分线与y 轴的交点，AB 垂直平分线的方程为73388y t x t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0x =得14y t =-，由于t -<<14t -<.也即M的纵坐标的取值范围是⎛ ⎝.故答案为：⎛ ⎝16．6+【解析】【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,c bc b c==，22,22b b b c +===时等号成立.故答案为：6+17．(1)3n a n =-+；(2)3182n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，列方程组解方程组即得解；（2）利用等比数列的求和公式求解.(1)解：设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意，可得()1111224062320a d a d a d a d +++=⎧⎨+-++=⎩解得12,1a d ==-.3n a n ∴=-+.(2)解：由（1），可得32n n b -+=. 所以数列{}n b 是一个以4为首项，以12为公比的等比数列，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则123n n S b b b b =++++ .1412112n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=-31181822nn -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．(1)ˆ0.850.6yx =+(2)分布列答案见解析，数学期望：127【解析】【分析】（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，（2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望(1)23456 2.534 4.564,455x y ++++++++==== .()()15(2)( 1.5)(1)(1)0010.5228.5iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410ii x x =-=++++=∑.()()()155210.85,40.8540.6iii i i x x y y bax x ==--∴===-⨯=-∑∑ .0.80.ˆ56yx ∴=+.(2)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.()()()3122134343331777C C C C C 112180,1,2C 35C 35C 35P X P X P X ========= ，34374(3)35C P X C ===，X ∴的分布列为X0123P13512351835435112184120123353535357EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得证；（2）分别选①，②，③可求得M 为A D '的中点，再以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -.利用空间向量求得所求的线面角.(1),D E 分别为,AB AC 的中点，DE BC ∴∥.AD BC ⊥ ，AD DE ∴⊥，A D DE '∴⊥.A D BD '⊥Q ，DE DB D ⋂=，A D '∴⊥平面BDEC .又AD '⊂平面A DB '，∴平面A DB '⊥平面BDEC .(2)（2）选①，BM BE =；BM BE = ，90BDM BDE ∠=∠=︒，BDM BDE ∴≅V V ，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选②，直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；BC DE ∥，∴直线EM 与BC 所成角为MED ∠.又直线EM 与BC 所成角的大小为45︒，45MED ∴∠=︒A D DE '⊥ ，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选③，三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.413E A C A EBC BC B E V V S A D ''--'==⋅V Q ，1134M BDE BDE M BDE E A CB V S MD V V '---=⋅⋅=V 又12DE BC =，即12BDE EBC S S =V V ，2A D MD'∴=M ∴为A D '的中点.∵过,,B C M 三点的平面与线段A E '相交于点N,DE BC BC ⊄∥平面A DE ¢，BC ∴∥平面A DE ¢.又平面BMNC ⋂平面A DE MN '=，BC MN ∴∥，N ∴为A E '的中点.,,DE DB DA ' 两两互相垂直，∴以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则(0,0,0),(0,0,4),(1,0,2),(0,4,0),(4,4,0)D A N B C '；(1,0,2),(0,4,4),(4,0,0)DN BA BC '==-=.设平面A BC '的一个法向量为(,,)m x y z =，直线DN 与平面A BC '所成的角为θ.由00m BA m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩' ，得44040y z x -+=⎧⎨=⎩.令1y =，得(0,1,1)m =.则||sin |cos ,|||||DN m DN m DN m θ⋅=〈〉===∴直线DN 与平面A BC '.20．(1)(2,0)-(2)12【解析】【分析】（1）直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠，联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合已知条件可求得点B 的坐标；（2）直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用倾斜角定义知sin θ=12,sin sin y y AP AQ θθ-==，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得MN ，进而得解.(1)由题意，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠.设221212(,0),,,,22y y B m P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 联立2(2)2y k x y px=-⎧⎨=⎩，消去x 得2240p y y p k --=.21212242160,,4p pp y y y y p k k∴∆=+>+==-.120k k += ，122212022y yy y m m p p∴+=--，即()()12121202y y y y m y y p +-+=.4202p p m p k ⎛⎫-∴-⋅= ⎪⎝⎭，即2(2)0pm k +⋅=.0p > ，2m ∴=-，∴点B 的坐标为(2,0)-.(2)由题意，直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中tan θk =，θ为倾斜角，则sin θ=12,sin sin y y AP AQ θθ-∴==2122224114sin 1y y p AP AQ p k k kθ-⎛⎫∴⋅===+⋅ ⎪⎝⎭+设322344,,,22y y M y N y p p⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得2220p y y p k --=.222343424240,,p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.2112pk ⎛⎫-=+⋅ ⎪⎝⎭22112||11||||214p MN k AP AQ p k ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∴==⋅⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭.21．(1)最大值为0，最小值为2a π-(2)1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由导数小于零，可得函数在[0,]π上单调递减，从而可求出函数的最值，（2）由题意得sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，构造函数sin (),(0,)2cos x g x ax x x=-∈+∞+，则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+，设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，利用基本不等式可求得1()1,3h x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，然后分13a ≥和113a π≤<判断()g x 的最大值是否小于零即可(1)由题意，()cos 2f x x a '=-.21a ≥ ，∴当[0,]x π∈时， ()0f x '≤恒成立.()f x ∴在[0,]π上单调递减.∴当0x =时，()f x 取得最大值为0；当x π=时，()f x 取得最小值为2a π-.(2)不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，即sin 2cos x ax ax x ≤+在区间(0,)+∞恒成立.即sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立.∴当2x π=时，有sin2022cos2a πππ-≤+成立，即1a π≥.设sin (),(0,)2cos xg x ax x x=-∈+∞+.则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+.设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，令2cos 1,[1,3]t x t =+∈-.当0=t 时，()0h x =；当0t ≠时，2449696t y t t t t==++++，即1()[1,0)0,3h x ⎛⎤∈-⋃ ⎥⎝⎦.1()1,3h x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.①当13a ≥时，22cos 1()0(2cos )x g x a x '+=-≤+，即sin ()2cos x g x ax x =-+在区间(0,)+∞上单调递减，∴当,()0x ∈+∞时，()(0)0g x g <=，符合题意；②当113a π≤<时，函数2cos 1t x =+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数496y t t=++在(0,3)t ∈上单调递增.∴函数22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又12(0)0,033g a g a π''⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，020,3x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=.且当()00,,()0x x g x '∈>，即()g x 在()00,x 上单调递增，此时()0(0)0g x g >=，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，利用导数解决恒成立问题，解题的关键是将不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，转化为sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，然后构造函数sin (),(0,)2cos xg x ax x x=-∈+∞+，利用导数求函数的最大值小于零即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．(1)20x y +-=，22(1)(1)1x y -+-=；(2)7.【解析】【分析】（1）消去参数α得曲线C 的普通方程，由题得cos sin 2ρθρθ+=，化成直角坐标方程即得解；（2）先写出直线的参数方程，再利用直线参数方程t 的几何意义结合韦达定理求解.(1)解：由曲线C 的参数方程，消去参数α，得曲线C 的普通方程为22(1)(1)1x y -+-=.由cos(4πρθ-cos sin θθ+=cos sin 2ρθρθ+=cos ,sin x y ρθρθ== ，∴ 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.(2)解：设直线l的参数方程为1,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点A 在直线l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，整理可得270t ++=（*）24740∆=-⨯=>.设12,t t 是方程（*）的两个实数根.12127t t t t ∴+=-=.12||||7AE AF t t ∴⋅==.23．(1)42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)617.【解析】【分析】（1）对x 分三种情况讨论解绝对值不等式得解；答案第17页，共17页（2）先求出2m =，再利用柯西不等式求解.(1)解：①当1≥x 时，()(1)2(1)31f x x x x =-++=+.由()5f x <，解得43x <.此时413x ≤<；②当11x -<<时，()(1)2(1)3f x x x x =--++=+.由()5f x <，解得2x <.此时11x -<<；③当1x ≤-时，()(1)2(1)31f x x x x =---+=--.由()5f x <，解得2x >-.此时21x -<≤-.综上，原不等式的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)（2）由（1）得31,1()3,1131,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩.当1x =-时，()f x 取得最小值2. 2m ∴=.232a b c ∴++=.由柯西不等式得()222213229(23)43a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭.22263217a b c ∴++≥.3c ==，即139,,171717a b c ===时，等号成立.22232a b c ∴++的最小值为617.。

成都市2022级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合U=R，A={x|x2-x-2>0）．则(A)（-∞，-1) ⋃(2,+∞) (B)[-1,2](C)（-∞，-1] ⋃[2，+∞）(D)（-1，2）(2)命题“若a>b，则a+c>b+c"的否命题是(A)若a≤6，则a+c≤b+c(B)若a+c≤b+c，则a≤6(C)若a+c>b+c，则a>b(D)若a>b，则a+c≤b+c(3)执行如图所示的程序框图，假如输出的结果为0，那么输入的x为(A)19(B) -1或1 (C)l (D)一1(4)已知双曲线2222-1(0x ya ba b=＞＞）的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为(A) 1312(B)125(C)32(D)3(5)已知α为其次象限角，且sin2α=2425，则cosα-sinα的值为(A)75(B) 一75(C)15(D) 一15(6)（x+1)5(x-2）的开放式中x2的系数为(A) 25 (B)5 (C) - 15 (D) - 20(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为(A) 136π (B) 34π (C) 25π (D) 18π(8)将函数f(x)=sin2x+3cos2x图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上全部点向右平移6π个单位长度，得到函数g (x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴方程是(A)x=一6π(B)x=6π(C)x=2425π(D)x= 3π(9)在直三棱柱ABC-A1BlC1中，平面口与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面d．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α上平面BCFE．其中正确的命题有(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③(10)已知A,B是圆O:x2+y2=4上的两个动点，若M是线段AB的中点，则的值为(A)3 (B) 23(C)2 (D) -3(11)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f（-x-1）=f（x-1），当x∈[-1，0]时，f(x)= 一x3．则关于x的方程f(x ) =|cosπx|在[一52，12]上的全部实数解之和为(A) -7 (B) -6 (C) -3 (D) -1(12)已知曲线C1:y2 =tx (y>0，t>0)在点M(4t,2)处的切线与曲线C2:y=e x+l—1也相切，则tln24et的值为(A) 4e2 (B) 8e (C)2 (D)8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)若复数z=1aii+（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为-1，则a= ．(14)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：假如两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个外形不规章的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为.(15)若实数x，y满足约束条件，则的最小值为(16)已知△ABC中，AC=2，BC=6，△ABC的面积为32，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=4π，则CD = .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a l = -2，a n+1 =2a n +4． (I)证明数列{a n +4)是等比数列； (Ⅱ)求数列{|a n |}的前n 项和S n ． (18)（本小题满分12分）某省2022年高中数学学业水平测试的原始成果采 用百分制，发布成果使用等级制．各等级划分标准为：85 分及以上，记为A 等；分数在[70，85）内，记为B 等；分数 在[60，70）内，记为C 等；60分以下，记为D 等．同时认 定A ，B ，C 为合格，D 为不合格，已知甲，乙两所学校同学 的原始成果均分布在[50，100]内，为了比较两校同学的 成果，分别抽取50名同学的原始成果作为样本进行统 计，依据[50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90 ,100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙 校的样本中等级为C ，D 的全部数据的茎叶图如图2所示． (I)求图中x 的值，并依据样本数据比较甲乙两校的合 格率；(II)在选取的样本中，从甲，乙两校C 等级的同学中随 机抽取3名同学进行调研，用X 表示所抽取的3名同学中 甲校的同学人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．(19)（本小题满分12分）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是 AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，G 为BD 中点，点R 在线段BH 上，且BRRH =λ(λ>0)．现将△AED ，△CFD ，△DEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，C 重合于点B （该点记为P ），如图2所示． (I)若λ=2，求证：GR ⊥平面PEF ；(Ⅱ)是否存在正实数λ，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(20)（本小题满分12分）已知椭圆22:154x y E +=的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(I)若直线l 1的倾斜角为4π，求△ABM 的面积S 的值；(Ⅱ)过点B 作直线BN ⊥l 于点N ，证明：A ，M ，N 三点共线 (21)（本小题满分12分）已知函数f(x)=xln(x+1)+（12一a ）x+2一a ，a ∈R ． (I)当x>0时，求函数g(x)=f(x)+ln(x+1)+ 12x 的单调区间；(Ⅱ)当a ∈Z 时，若存在x ≥0，使不等式f(x)<0成立，求a 的最小值． 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分． (22)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠2π）的直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcosx θ - 4sin θ=0．(I)写出直线l 的一般方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点P(1，0)．若点M 的极坐标为（1，2π），直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ|的值．(23)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x ）=x +1+ |3 -x|，x ≥-1． (I)求不等式f(x ）≤6的解集；(Ⅱ)若f(x ）的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab =a+2b ，求2a+b 的最小值.。

2021年四川省成都市高三高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+28．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25二、填空题（共3小题）.13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于．14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．15．的展开式中x2y2项的系数是三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}解：A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝Z，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：A．2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝＝，∴，则+2对应点为（2，1），在第一象限．故选：A．3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）解：整理抛物线方程得x2＝y∴焦点在y轴，p＝∴焦点坐标为（0，）故选：D．4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 解：∵a＝log0.22＜log0.21＜0，∴a＜0，b＝0.32＝0.09，∵c＝20.3＞20＝1，∴c＞1，∴c＞b＞a，故选：C．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A 错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣解：由tan（α+）＝﹣3，得＝﹣3，解得tanα＝2，所以sin2α＝＝＝＝．故选：A．7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+2解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，f（1）＝2；曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为：4，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1）．即y＝4x﹣2．故选：B．8．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）解：由函数的图象可得A＝1，＝＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故有函数y＝sin（2x+），故选：B．9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”解：对于A：已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故A错误；对于B：已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0＞0，使得（x0+1），故B错误；对于C：设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，故C错误；对于D：“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”，故D正确．故选：D．10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个长为2，宽为2，高为1的长方体，挖去一个半径为1的半球．故几何体的表面积为S＝4×2×1+2×2+4﹣π•12+2•π•12＝16+π．故选：B．11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km 解：如图所示，连接BD，在△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝9+25﹣2×3×5×（﹣）＝49，∴BD＝7，又∵，即，解得：sin∠DBC＝，∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∴cos∠ABD＝cos（90°﹣∠DBC）＝sin∠DBC＝，在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD＝16+49﹣2×4×7×＝65﹣12，即A，D间的距离为km，故选：A．12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25解：设直线OP的方程为y＝kx，k＞0，且P在第一象限内，代入双曲线＝1，可得P（，k），由OP⊥OQ，可将上面中的k换为﹣，可得Q（k，﹣），所以△POQ面积S＝|OP|•|OQ|＝•••＝10（1+k2）≥10（1+k2）•＝20，当且仅当5﹣4k2＝5k2﹣4，即k＝1时，上式取得等号，所以△POQ面积的最小值为20．故选：A．二、填空题13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于12．解：∵＝（2，1），＝（﹣1，k），∴2﹣＝2（2，1）﹣（﹣1，k）＝（5，2﹣k），又∵•（2﹣）＝0，∴2×5+1×（2﹣k）＝0，解得k＝12故答案为：1214．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为01．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01；其中第二个和第四个都是02，重复，舍去；可知对应的数值为08，02，14，07，01，04；则第5个个体的编号为01．故答案为：01．15．的展开式中x2y2项的系数是420解：∵表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，要得到含x2y2的项，需其中有2个因式取2x，2个因式取﹣，其余的因式都取1．故展开式中x2y2项的系数为•22•••＝420，故答案为：420．三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是（0，]．解：函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，等价于函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，∵φ（1）＝0，g（1）＝0，∴函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1唯一交点为（1，0），又∵g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1，且e1﹣x＞0，e x﹣1＞0，∴g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1在R上恒小于零，即g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1在R上为单调递减函数，又∵φ（x）＝a sinπx（a＞0）是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，∴可得函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1的大致图象如图：∴要使函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，则φ′（1）≥g′（1），∵φ′（1）＝πa cosπ＝﹣πa，g′（1）＝﹣e1﹣1﹣e1﹣1＝﹣2，∴﹣πa≥﹣2，解得a≤，又∵a＞0，∴实数a的范围为（0，]．故答案为：（0，]．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．解：（Ⅰ）由题意可得：，∴2q2﹣5q+2＝0，∵q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ），∴，＝，上述两式相减可得∴＝．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．因为0.2×1×100＝20，所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为．（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．所以X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．所以X的分布列为：X0123P所以数学期望E（X）＝．（Ⅲ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD ＝2，所以BD＝，又CD＝4，∠BDC＝45°，由余弦定理可得，BC＝，所以CD2＝BD2+BC2，故BC⊥BD，又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC；（2）设E为BD的中点，连结PE，因为PB＝PD＝，所以PE⊥BD，PE＝2，由（1）可得平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，所以PE⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，2），因为，所以，所以，平面PBD的一个法向量为，设平面ABM的法向量为，因为，，则有，即，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故，所以，故平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小为．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．解：（1）由已知可得2c＝2，且，所以a＝2，c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由，则x1+x2＝λx0，y1+y2＝λy0，且…①又因为直线y＝k（x+t），（kt≠0）与圆相切，所以，即k＝）…②联立方程，消去y整理可得：（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12＝0，所以x，所以y，所以P（﹣），代入①得，②代入③得，t≠±1，t≠0，因为（），（）2++1≠3，所以λ2∈（0，．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．解：（1）f′（x）＝6x2+6（1+m）x+6m＝6（x+1）（x+m），①当m＝1时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；②当m＞1时，﹣m＜﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣m或x＞﹣1，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣m＜x ＜﹣1，此时函数f（x）单调递减；③当m＜1时，﹣m＞﹣1，f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣1或x＞﹣m，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣1＜x ＜﹣m，此时函数f（x）单调递减；综上，m＝1时，f（x）在R上单调递增；m＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣m）和（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣m，﹣1）上单调递减；m＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（﹣m，+∞）上单调递增，在（﹣1，﹣m）上单调递减．（2）由f（1）＝2+3（1+m）+6m＝5得，m＝0，所以f（x）＝2x3+3x2，又因为当x∈（1，+∞）时，lnx+1＞0，所以g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，此时，令h（x）＝（x∈（1，+∞）），则有a≤h（x）min，∵＝，令F（x）＝2lnx﹣（x＞1），则有F'（x）＝＞0，即得F（x）在（1，+∞）上单调递增，又因为F（2）＝2ln2﹣＜0，F（e）＝2﹣＞0，故可得h'（x）＝0在（1，+∞）上有且只有一个实根x0，且2＜x0＜e，此时，所以当1＜x＜x0时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，当x＞x0时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，因此可得h（x）min＝h（x0）＝＝2x0＜2e．从而可得a＜2x0＜2e，所以：当a＝5时，不等式g（x）≤0不恒成立；当a＝4时，不等式g（x）≤0恒成立；故有实数a的最大值为4．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为x+y﹣3＝0，由，即，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为；（2）将直线l的参数方程化为，代入代入曲线C的直角坐标方程，得，＞0，＜0，∴＝＝＝．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|，又f（2）＞a+1，可得|2+|+|2﹣a|＞a+1，等价为或或或，解得a≤﹣或﹣＜a＜0或0＜a＜或a∈∅，则a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，）；（2）对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，可得m≤f（x）min，由f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|x++a﹣x|＝|a+|＝a+≥2，当且仅当﹣1≤x≤1时，上式取得等号，则m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]．。

高考数学最新资料成都七中高一诊模拟数学试卷（理科）考试时间：120分钟总分：150分 命题人：张世永刘在廷审题人：巢中俊一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1.已知集合{}1,0,A a =-，{}|01B x x =<<，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是（）A {}1B (,0)-∞C (1,)+∞D (0,1)2.复数1()1ii i-⋅+的虚部为（ ） A -2 B -1 C 0 D 13.定义行列式运算：12142334,a a a a a a a a =-将函数cos () sin xf x x =的图象向左平移m个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（）A 23πB 3πC 8πD 56π 4．阅读下边的程序框图，若输出S 的值为－14，则判断框内可填写（ ） A ．i<6 ？B ．i<8 ？C ．i<5 ？ D.i<7 ？5.二项式1(n x-展开式中含有2x 项，则n 可能的取值是（） A 5 B 6 C 7 D 8 6.已知命题:(,0),34xxp x ∃∈-∞<； 命题:(0,),tan 2q x x x π∀∈>则下列命题中真命题是（ ）A p q ∧B ()p q ∨⌝C ()p q ∧⌝D ()p q ⌝∧7.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+。

若存在两项,m n a a 14a =，则19m n+的最小值为( ) A83 B 114 C 145 D 1768.平面四边形ABCD 中，,且AD AB ⊥，现将ABD ∆沿着对角线BD 翻折成/A BD ∆，则在/A BD ∆折起至转到平面BCD 内的过程中，直线/A C 与平面BCD 所成的最大角的正切值为( ) A 1 B12CD9.已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，)()(x g a x f x=，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则关于x的方程250((0,1))2abx b ++=∈有两个不同实根的概率为（）A 51B52 C53 D5410．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，当12x x ≤时，12()()f x f x ≤。

四川省成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（理科）【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简洁的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷。

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【学问点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：由于{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以U P =[0,1)(1,)+∞,故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不行能是（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可推断.【题文】3．已知复数z 43i =--（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（A ）复数z 的虚部为3i - （B ）复数z 的虚部为3 （C ）复数z 的共轭复数为z 43i =+ （D ）复数z 的模为5 【学问点】复数运算 L4【答案】【解析】D 解析：由复数概念可知虚部为-3，其共轭为43i -+，故选D. 【思路点拨】由复数概念直接可得.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】函数的图像 B6 B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．已知命题p ：“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”，则下列说法正确的是（ ） （A ）命题p 的逆命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （B ）命题p 的逆命题是“若2<x ab ，则22<+x a b ”（C ）命题p 的否命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （D ）命题p 的否命题是“若22x a b ≥+，则2<x ab ”【学问点】四种命题 A2【答案】【解析】C 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”，否命题是“若p ⌝则q ⌝”，故选C. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题，分别写出条件和结论的否定为否命题. 【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]【学问点】二次函数 B5【答案】【解析】B 解析：由于240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.yx OxyOx y Ox yO【题文】7．已知F是椭圆22221+=x y a b （0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，⊥PF x 轴.若14=PF AF ，则该椭圆的离心率是（ ）（A ）14 （B ）34 （C ）12 （D ）32【学问点】椭圆的几何性质 H5【答案】【解析】B 解析：Rt PFA 中，222|PF ||FA ||PA |+=，||c FA a =+，2|PF |b a =， 又14=PF AF ，21(c)4b a a =+，得22430c ac a +-=,34c a ∴=,故选B.【思路点拨】Rt PFA 中, ||c FA a =+，2|PF |b a =，且14=PF AF，得22430c ac a +-=，可求离心率.【题文】8．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且//m α，n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//αβ，则//m n （B ）若//m n ，则//αβ （C ）若n α⊥，则m β⊥ （D ）若m β⊥，则αβ⊥ 【学问点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】D 解析：A 中m ，n 可能异面；B 中α，β可能相交；C 中可能m β⊂或//m β，故选D. 【思路点拨】生疏空间中线线，线面关系的推断，逐一排解即可.【题文】9．若552sin =α，1010)sin(=-αβ，且],4[ππα∈，]23,[ππβ∈，则αβ+的值是 （A ）74π （B ）94π （C ）54π或74π （D ）54π或94π【学问点】两角和与差的正弦、余弦 C7【答案】【解析】A 解析：()2αββαα+=-+，552sin =α，],4[ππα∈25cos 25α∴=-且[,]42ππα∈，又1010)sin(=-αβ，[,]42ππα∈，]23,[ππβ∈， 310cos()10βα∴-=-，因此sin()sin[()2]αββαα+=-+sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-102531052()()1051052=⨯-+-⨯=-，又5[,2]4παβπ+∈，所以74παβ+=，故选A. 【思路点拨】利用角的变换()2αββαα+=-+，得sin()sin[()2]αββαα+=-+sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-即可求解.【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDDC 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时，2HP最小值是（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）25 【学问点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：点P 到平面11CDDC 距离就是点P 到直线1CC 的距离，所以点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，因此点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在面11A ABB 中作1HK BB ⊥于K ，连接KP ，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可，由题意易求得min2|K |6P =，所以2|HP |最小值为22，故选B. 【思路点拨】留意到点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，即点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【学问点】向量的夹角 F3【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】12．二项式261()x x -的开放式中含3x 的项的系数是__________．（用数字作答）【学问点】二项式定理 J3【答案】【解析】-20解析：2r 6r 6r 361661()()(1)r r r r T C x C x x ---+=-=-，求开放式中含3x 的项的系数，此时3633r r -=∴=，因此系数为6r 366(1)120r C C --=-⨯=-，故答案为-20.【思路点拨】利用通项2r 6r 6r 361661()()(1)r r r r T C x C xx ---+=-=-，可求r,即可求出系数.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ，则∆ABC 的面积=S __________．【学问点】余弦定理，正弦定理 C8【答案】152222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.面积1115sin 241522S ac B ==⨯⨯=15【思路点拨】【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =，再利用1sin 2S ac B =即可.【题文】14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．【学问点】充分、必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由于0x ≥时，奇函数3()log (1)=+f x x ，所以函数()f x 在R 上为增函数，2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+，2(2)22x a a ax x ∴++≤+，即()222(2)0x a x a a -+++≤，2a x a ∴≤≤+，{|2}A x a x a =≤≤+，{|22}B x x =-≤≤,由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩，故答案为[2,0]-.【思路点拨】由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，然后依据题意分别求出集合,A B 即可.【题文】15．已知曲线C ：22y x a =+在点n P (2)n n a +（0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且00=x y ．给出以下结论：①1a =；②当*n ∈N 时，n y 的最小值为54；③当*n ∈N 时，221n k n <+；④当*n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则2(11)<+n S n ．其中，正确的结论有 （写出全部正确结论的序号）【学问点】命题的真假推断A2 【答案】【解析】①③④解于曲线C ：析：由22y x a =+，所以()2'2'2y yy ==，即1'y k y ===，n k =，点nP (n （0,a n >∈N ）处的切线n l为)y x n =-，,n n x n a y ∴=--=， ①00|x ||y |=，0,||1n a a ∴=-=∴= ，正确；②1122n y ===12=112≥⨯=，所以n y 的最小值为1,错误；③1012n <≤，sin ∴><亦即n k<，正确；④n k==121n n n<++=+，22(2n 1)<+，<，<=，由于n k =，所以122(21321)n n S kk k n n =+++<-+-+++- 1)=， 故正确.【思路点拨】依题意，分别求出n k =,n n x n a y =--=，依次进行推断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球． （Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ． 【学问点】古典概型，分布列 K2 K6【答案】【解析】（Ⅰ）15 （Ⅱ）X 的分布列为:X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为大事A ，则21243641()205⋅===C C P A C ．……………………………………………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2，则343641(0)205====C P X C ………………………………………………………2分122436123(1)205⋅====C C P X C …………………………………………………2分1(2)()5===P X P A ……………………………………………………2分∴X 的分布列为∴X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX ．………………………………2分【思路点拨】）X 的可能取值为0,1,2，再分别求出(0)P X =，(1)P X =，(2)P X = 即可.【题文】17．（本小题满分12分）如图，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =． （Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．DBCAFE【学问点】线面平行，空间向量解决线面位置关系 G4 G10【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）22（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ． 在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 平面ABC ．……………………………………4分 （Ⅱ）∵//FO EC ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF 为,,z x y 轴，建系如图．则(1,0,0)A ，(1,0,2)-E ，3,1)D ． ∴(2,0,2)=-AE ，(13,1)=-AD ． 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE AD n n ，即22030-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ． ∴平面ADE 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ．∴1212122,22⋅>===cos <n n n n n n ．∴平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值2．…………………………8分【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很简洁找出//DF OB ； （Ⅱ）分别求平面DEA 与平面ABC 的法向量1(1,0,1)=n 2(0,0,1)=n ，∴1212122,22⋅>===cos <n n n n n n ，即可求出余弦值．【题文】18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，且22n n S a =-；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+.*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N ．求数列{}n c 的前n 项和nT ．【学问点】等差数列，等比数列 【答案】【解析】（Ⅰ）2n n a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵22n n S a =- ①当2≥n 时，1122--=-n n S a ②①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）．又当1≥n 时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n …………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ……………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ……………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n …………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可； （Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）依据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必需停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【学问点】函数模型及其应用B10【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分 即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．t （时）101112 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时） 5 3.522.753.1252.3752.5632.469由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应当在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）.【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b ya x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点12,F F 的距离之和为43．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且32AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB，求x 的值．【学问点】直线与椭圆H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+yx （Ⅱ）0x 的值为3-或1-（Ⅰ）由已知243=a 得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，由于=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分状况争辩即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数2()ln mx f x x =-，2()e mxmx g x m =-，其中m ∈R 且0m ≠．e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当0m <时，求函数()f x 的单调区间和微小值；（Ⅱ）当0m >时，若函数()g x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，试证明：10e a b c -<<<<<；（Ⅲ）是否存在负数m ，对1(1,)x ∀∈+∞，2(,0)x ∀∈-∞，都有12()()f xg x >成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【学问点】函数综合B14【答案】【解析】（Ⅰ）()2f x me=-极小值（Ⅱ）略（Ⅲ）(,(21)∈-∞-+m e e解：（Ⅰ）2222)(ln )ln 21()(ln ln 2)(ln 1ln 2)(x x mx x x x x m x x x x x mx f -⋅=-=⋅--='（0>x 且1≠x ）．∴由0)(>'x f ，得21e x >；由0)(<'xf ，得210e x <<，且1≠x ．…………………1分∴函数)(x f的单调递减区间是(0,1),(1，单调递增区间是),(+∞e ．……………2分 ∴mee f x f 2)()(-==极小值.……………………………………………………………1分（Ⅱ）222(2)(),(0)mx mx mx mxmxe mx e m mx mx g x m e e --'=-=>．∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m +∞上单调递增．∵函数()g x 存在三个零点．∴20(0)02402()00>⎧>⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨<⎪⎪-<⎩⎪⎩m g m e g m m m e ．∴02<<me …………………………………………………………………………………3分由(1)(1)0-=-=-<m mg m me m e ． ∴22()(1)0=-=-<em em me e g e m m e e ．……………………………………………………1分综上可知，()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得：(1,0),(0,),(,)a b e c e ∈-∈∈+∞．即10a b e c -<<<<<，得证．…………………………………………………………1分 （III ）由题意，只需min max()()>f x g x∵2(12ln )()(ln )-'=mx x f x x由0<m ，∴函数()f x 在12(1,)e 上单调递减，在12(,)e +∞上单调递增． ∴12min ()()2==-f x f e me ．………………………………………………………………2分∵(2)()-'=mx mx mx g x e由0<m ，∴函数()g x 在2(,)m -∞上单调递增，2(,0)m 上单调递减．∴max 224()()==-g x g m m e m ．…………………………………………………………2分 ∴242->-me m e m ，不等式两边同乘以负数m ，得22242-<-m e m e ．∴224(21)e m e +>，即224(21)m e e >+． 由0<m，解得m <．综上所述，存在这样的负数(,∈-∞m 满足题意．……………………………1分【思路点拨】（Ⅰ）2(12ln )()(ln )mx x f x x ⋅-'=，由0)(>'x f 和0)(<'x f ，求得其单调区间，进而可求极值 ；（Ⅱ）(2)(),(0)mx mx mx g x m e -'=>，∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m +∞上单调递增，得()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得10a b e c -<<<<<．（III ）由题意，只需min max()()>f x g x ，12min()()2==-f x f e me ，max 224()()==-g x g m m e m ，求解即可.。

四川省成都市第七中学2021届高三数学上学期一诊模拟试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A.3B. 6-C. 10D. 15-【答案】C 【解析】【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S=-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题. 3.关于函数()tan f x x=的性质，下列叙述不正确的是（）A. ()f x的最小正周期为2πB. ()f x是偶函数C. ()f x的图象关于直线()2k x k Zπ=∈对称D. ()f x在每一个区间(,)()2k k k Zπππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 考点：正切函数的图象与性质.4.已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式性质；2.充要条件.5.如果21nx ⎫-⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5.【详解】因为21nx ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rrn rr r rr nn T C C x x--+=-=-,(0,1,2,)r n =,令502n r-=,则5n r =,因为*n N ∈,所以1r =时,n 取最小值5. 故选:C【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.6.在约束条件：1210xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为1，则ab的最大值等于（）A. 12B.38C.14D.18【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求ab的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由(0,0)z ax by a b=+>>，则a zy xb b=-+，平移直线a zy xb b=-+，由图象可知当直线a zy xb b=-+经过点(1,2)A时直线的截距最大，此时z最大为1．代入目标函数z ax by=+得21a b+=．则1222a b ab=+，则18ab当且仅当122a b==时取等号，ab∴的最大值等于18，故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7.设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去）， ∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ） A. 288个 B. 306个 C. 324个 D. 342个【答案】C 【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以共有90234324+=种,故选C.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行.9.已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ） A. ()()22(2)log af f f a <<B. ()()2log (2)2af a f f <<C. ()()2log 2(2)af a f f <<D. ()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)af a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-, 所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <, 所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=, 所以224log 3a <-<, 所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)af a f -<, 所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.10.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. [6,)+∞B. [4,6]-C. (4,6)-D.(,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案. 【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,所以+的取值与x ，y 无关,取值与x ，y 无关,即圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离,所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或4a ≤- 且1a ≥, 所以6a ≥. 故选:A【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.11.若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ）A. 10B. 12C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值. 【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12.已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A.B. 5⎡⎢⎣C. 5⎡⎢⎣D.5⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】 分析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =,所以1//B Q DF ; 取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥, 所以22PC CD DP +,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以23110DN +21310DQ =+=所以点D 到QN 的距离为13231021102⨯⨯=, 所以DP 310,10, 所以PC 22310335()35+=22(10)319+=. 所以PC 的取值范围是33519⎣. 故选:B【点睛】本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13.命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”．14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】 【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016d d d +=∴=∴⨯+= 15.设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________.【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，则22MOMFx x ==++ 令14t x =-，则14t >-,14x t =+,若t>021123111399333216162MOt MFt t t t =+=+≤+=++++，当且仅当3t 4=时等号成立， 所以MOMF的最大值为233. 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ．【答案】424+ 【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填4243+． 【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 【答案】(1)3π;(2)a b ==． 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线， 得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）2113sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c=,由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-, ② 联立①②,{a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】（I ）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II ）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III ）分布列见解析，期望为95. 【解析】【详解】（I ）由列联表得所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（II ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人（III ）因为为所抽取3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为123于是．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值为155【解析】【详解】证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接EO .因为O 为1AB 的中点，O 为EO 的中点,所以EO ∥1AB 且112OD BB =.又O 是1AB 中点， 所以AB ∥1AB 且112OD BB =,所以AB ∥EO 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥EC .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则EC ∥平面1A BE . (Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB AB ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以ABC 平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥EC ，所以CD ⊂平面11A ABB . 所以CD ⊂1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O ⋂=，EO ⊥平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB , 所以1A B ⊂平面1A BE .（Ⅲ）解: 取11A C 中点F ，连接1,?B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面1AB ⊥.因为底面1AB ⊥是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1BB ⊥侧面11ACC A . 所以EF 是11A C 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是11A C 与平面11ACC A 所成角.111sin B F BE F B E ∠==20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为())12,F F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，3y =±.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．21.已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R . （1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；（2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+- 易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．23.已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）6m >或2m <- 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式为：23215x x ++-≤，当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵优质资料\word可编辑活应用，这是命题的新动向．- 21 - / 21- 21 -。