二次根式例题解析

4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根（ ）A.36B.81121 C.2-（5） D.41【答案】A.2=36±（6）∴36的平方根为6±，即6± ∴36的算术平方根为6，即B.2981=11121±（）∴81121的平方根为911±，即911±∴81121的算术平方根为911，即911 C.25=25±（）∴2-（5）的平方根为5±，即5± ∴2-（5）的算术平方根为5，即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．练习1、计算：（1 （2）【答案】（1）211=121（2）20.9=0.810.9±表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。

练习1、x为何值时，下列各式有意义。

【答案】解：A.10x-≥，即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥，即01x≤≤有意义C.10x+>，即1x>-D.230x+≥，即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解：33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于（）.D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是（）A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根，4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是（）3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解：A、本选项不能合并，错误；3=-2，本选项错误；B、√-8C、（(x+2y)2=x2+2xy+4y2，本选项错误；D、√18-√8=3√2-2√2=√2，本选项正确．故选D【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例8、）【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1【答案】B【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1【答案】D解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．【解析】代数式√x有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．x-13.要使式子2-x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2【答案】D解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．4. 下列计算正确的是（）=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3，原式计算错误，故本选项错误；B、√2与√3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；=√2，计算正确，故本选项正确；C、2√12D、3+2√2≠5√2，原式计算错误，故本选项错误；根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．5. 若，则＝【答案】6【解析】原方程变为：，所以，，由得：＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6中等题1.结果是。

专题04 二次根式的运算1．二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。

（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。

2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0 3．二次根式的性质： （1）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积， 即=·（a ≥0,b ≥0）。

（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a ≥0,b>0）。

反之，4．最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

5．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

6．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。

7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。

8．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b ab a b a ab b a 专题知识回顾（＞0）（＜0）0 （=0）；9．找有理化因式的方法：（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。

如：①的有理化因式为，②的有理化因式为。

（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。

即的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为10．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。

一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组（3）合并同类二次根式11．二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

专题03：二次根式（简答题专练）一、解答题1．已知：211327m +=，234221m n --⨯=【答案】【分析】将已知的等式变形为同底数的式子，可得m 和n 的值，代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵211327m +=， ∴21333m +=﹣， ∴213m +=-，解得：2m =-，∵234221m n --⨯=， 即23421m n -+-=∴2340m n -+-=，∴5n =，==． 【点评】本题考查了负整数指数、零指数幂的定义、幂的性质及二次根式的性质，解题的关键是掌握分数指数幂和负整数指数幂的运算法则．2．探究题：（1a 等于多少？（2）求222222,,,,,的值．对于任意非负实数2等于多少？【答案】（12=3=5=6=7=0=，对于任意实数a a =；（2）24=，29=，225=，236=，249=，20=，对于任意非负实数a ， 2a =．【分析】（1）直接计算各式进而得出一般规律；（2）直接计算各式进而得出一般规律．【解答】（12=，3=，5=，6=，7=，=，对于任意实数a a；（2）24 =，29 =，225=，236=，249=，20 =，对于任意非负实数a，2a =．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出变化规律是解题关键．3．探究题：=_，=，=，=，=，20=，根据计算结果，回答：（1a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：①若2x<；= ；（3）若,,a b c【答案】3，0.5，6，34，13；（1a ．当0a ≥时，a =；当0a ≤时，a =-．（2）①2x -，②3.14π-；（3）+-+--++-abc b c a b c a【分析】首先计算出探究题答案；（1a =；再根据绝对值的性质去掉绝对值符号可得当0a ≥时，a =；当0a ≤时， a =-；（2）①因为2x <，所以20x -<2x =-，再根据规律进行计算即可；②因为 3.14π<可得3.140π-< 3.14=-π，再根据规律进行计算即可； （3）根据三角形的三边关系定理可得000a b c b c a b c a +---+-＞，＜，＞，因此a b c b c a b c a =+-+--++-， 再根据绝对值的性质去掉绝对值符号合并同类项即可．3=，0.5=，6=，34=，13=， 200=； 故答案为：3，0.5，6，34，13；（1a ．当0a ≥时， a =；当0a ≤时， a =-；（2）①因为2x <，2x =-；②因为 3.14π<，即3.140π-<，3.14=π-；（3）根据三角形的三边关系定理可得000a b c b c a b c a +---+-＞，＜，＞，()a b c c a b b c a =+-++-++-a b c =++． 【点评】a =．4．交警通常根据刹车后轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式是v= 16 ，其中v 表示车速（单位：km/h ），d 表示刹车距离（单位：m ），f 表示摩擦系数，在一次交通事故中，测得d=20m ，f=1.44，而发生交通事故的路段限速为80km/h ，肇事汽车是否违规超速行驶？说明理由.，）【答案】超速行驶；理由见解析【分析】先把d=20m ，f=1.44，分别代入80km/h 比较即可解答．【解答】肇事汽车超速行驶．理由如下： 把d=20，f=1.44代入＞80km/h ， 所以肇事汽车超速行驶．考点：二次根式的应用．5．先化简，再求值：，其中a=17﹣，.【分析】先将所求式子化简，再分别将a 、b 的值整理代入求解即可.【解答】原式==）=）∵a =17﹣=32﹣2×3×（）2=（3﹣）2，b =12+2×+）2=（）2，∴原式【点评】本题主要考查二次根式的性质与运算法则、分式的运算法则以及平方差公式的应用.6．求值（1）已知1124x y ，==-的值；（2）已知x y ==，22343x xy y ++求的值．【答案】（1）2；（3）22.【解析】试题分析：（1）根据二次根式的分母有理化，先化简代数式，再代入求值即可；（2）先根据分母有理化化简x 、y ，然后利用配方法化简代数式，再代入求值即可.试题解析：（1）当1124x y ==，时，=()()()()()()y x y y x y x y x y x y x y +---+-+ =2y x y - =2（2）∵2121x y ==+-，， ∴x=21-，y=21+∴22343x xy y ++=22363x xy y ++-2xy=3（x+y ）2-2xy=3（21-+21+）2-2（21-）（21+）=3×（22）2-2=3×8-2=227．实数a b 、在数轴上的位置如图所示：化简()222a b a b +--【答案】0【分析】根据数轴确定a 、b 的符号以及绝对值的大小，根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】如图所示： 000a b a b -＞，＜，＞()222a b a b +-()a b a b =---0=．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及数轴的知识，掌握二次根式的性质、正确得出各项符号是解题的关键．8．阅读材料，解答下列问题：例：当0a >时，如5a =，则55a ==，故此时a 的绝对值是它本身；当0a =时，0a =，故此时a 的绝对值是0；当0a <时，如5a =-，则()555a =-=--=，故此时a 的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即：()()(),00,0,0a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想．（1）请仿照例中的分类讨论，分析2a 的各种化简后的情况；（2）猜想2a 与a 的大小关系；（3）已知实数a b c 、、，在数轴上的位置如图所示，试化简：()22a a b c a b c --+-+-【答案】（1()()()20000a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩；（22a a ；（3）22-+-b c a【分析】（1）根据二次根式的性质，可得答案；（2）根据二次函数的根式与绝对值的性质，可得答案；（3）根据二次根式的性质与绝对值的性质，可化简式子，根据整式的加减，可得答案． 【解答】（1）当0a >时，如5a =2255a ==2a a =；当0a =时，如 200a ==20a =；当0a <时，如5a =-， ()2255a =-=25a =，()()()20000a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩；（22a a ；（3）由数轴上点的位置，得：0a b c <<<，0a b -<，0c a ->，0b c -<，()22a a b c a b c -+--()(()a b a c a c b =---+-+-）a b a c a c b =--++-+-22b c a =-+-．【点评】本题考查了二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质、绝对值的性质是解题关键．9．若,x y 是实数，且41143y x x =-+-+，求()3294253x x x x xy ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭. 【答案】1382- 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x =14，将其代入已知等式即可求得y 的值，原二次根式化简后，将x 、y 的值代入求值即可． 【解答】解：依题意得：410140x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x =14，∴y =13 原式=225x x xy x x xy +--=3x x xy -=111134443-⨯=138-． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．10．化简（1)2490,064a a b b>> （20.01810.25144⨯⨯ 【答案】（1）78a b ；（2）320． 【分析】（1）根据a b 、的符号以及二次根式的性质，可得答案；（2）根据二次根式的性质，可得答案．【解答】（1）∵0a >，0b >，==；（2=0.190.512⨯=⨯ 320=． 【点评】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．11．已知：y ，求的值．【答案】【分析】根据二次根式的定义得出x ﹣8≥0，8﹣x≥0，求出x ，代入求出y ，把所求代数式化简后代入求出即可．【解答】解：要使y 有意义，必须x ﹣8≥0，且8﹣x≥0，解得：x ＝8，把x ＝8代入得：y ＝0+0+9＝9，∴13 【点评】本题考查了对二次根式有意义的条件，二次根式的化简，分母有理化等知识点的应用，解此题的关键是求出x 、y 的值，通过做此题培养了学生灵活运用性质进行求值的能力，题目比较典型．12．有这样一类题目：如果你能找到两个数m，n，使m2+n2=a，且，则a±，变成m2+n2+2mn=（m±n）2因为3±=1+2±=12+）2=（）2，2|=±1．仿照上例化简下列各式：（1（2【答案】(1) +1;(2)【解析】试题分析:根据题目中的例题中的研究方法即可求解.试题解析:（1）原式=1,（2）原式=13．计算下列各题：)－)；(2) (2；(3) 2；(4)(22017(2)2018－|－|－()0.【答案】＋5；(3) 15＋；(4)1.【解析】试题分析：这是一组二次根式的混合运算题，按照二次根式的相关运算法则计算即可.试题解析：（1）原式==（2）原式=55=；（3）原式=48315-+=+；（4）原式=2017[(2(21211+⨯+==.14．已知32x -≤≤，化简：． 【答案】34+x【分析】首先根据x 的范围确定3x +与2x -的符号，然后利用二次根式的性质，以及绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵ 32x -≤≤， ∴3020x x +≥-≤，，∴=()()232x x =++-262x x =++-34x =+．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式的性质是关键．15．若实数a ，b ，c 满足． （1）求a ，b ，c ；（2）若满足上式的a ，c 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1），b=2， c=3；（26.【分析】（1）利用二次根式的性质进而得出c 的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a ，b 的值； （2）利用等腰三角形的性质分析得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0， 解得：c=3，∴，则，b=2；（2）当a 是腰长，c＜3，不能构成三角形，舍去； 当c 是腰长，a 是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，+6，+6．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的性质，正确得出c 的值是解题关键． 16．（1）已知xy2x 2－5xy ＋2y 2的值．（2）先化简，再求值：222222x y x yx xy y x xy x y ⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中x＝1，y＝2-【答案】（1）42，（2）13+-【解析】分析：（1）由已知得，再把2x 2－5xy ＋2y 2化简，再代入即可. （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再计算x 和y 的值并代入进行计算即可 详解：（1）xy∴∴22252x xy y -+＝()2222x xy yxy -+-＝()22x y xy --＝(222+＝402+ ＝42（2）原式＝()()222x y xx y x x y y x y ⎡⎤---⋅⎢⎥--⎢⎥⎣⎦＝1122x yx y x y y ⎛⎫--⋅⎪--⎝⎭＝[()()()()22x y x y x y x y -----]·2x yy -＝()()()2112y x y x y x y yx y y x --⋅==-----·当x ＝1，y ＝2时，原式＝ 点睛: 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17=，且x 为奇数，求（1+x ）的值．【答案】【分析】由二次根式的非负性可确定x 的取值范围，再根据x 为奇数可确定x 的值，然后对原式先化简再代入求值.=， ∴6090x x ＞-≥⎧⎨-⎩解得，6≤x ＜9， ∵x 为奇数， ∴x=7，∴（1+x ）=（1+x ）=（1+x ）．【点评】本题考查了二次函数的非负性及二次根式的化简求值.18．（1）设n 1；（2...+ 【答案】（1）111n n -+；（2）9910【分析】（1）根据完全平方公式，可得()22211111111n n n n ⎡⎤⎛⎫++=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭+⎣⎦，根据开方运算，可得1111n n =+-+；（21111n n =+-+，可化简二次根式，根据分式的加减运算，可得答案． 【解答】（1）∵()()22211111112111n n n n n n ⎛⎫++=+-+ ⎪++⎝⎭+ 2111112()()11n n n n =+-+-++21111n n ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，111111111n n n n =+--=-++；（21111n n =+-+，...+11111111111...122334910=+-++-++-++-11010=-9910=．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用完全平方公式得出()22221111111n n n n ⎡⎤⎛⎫++=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭+⎣⎦是解题关键．19．定义()f x =(1)f +(3)f …+(21)f k -+…+(999)f 的值.【答案】5.【解析】【分析】将()f x进行分母有理化，分子分母同时乘以可得()f x =2=，进而求得()12f =，()32f =，()5f =()()()()1321999f f f k f ++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+5== 【解答】()f x ==2=，()12f ∴=，()32f =，()5f =，…，()999f = ()()()()132199952f f f kf ∴++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+==． 【点评】本题以新定义型题形式考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过分母有理化将()f x 简化，再代值得到()212f k -=，即可解题.20．阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务.斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数,这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第nn n⎡⎤-⎢⎥⎣⎦表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有理数的一个范例.任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数. 【答案】第1个数为1;第2个数为1.【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．【解答】当n＝1n n ⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎡⎤-⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦＝1当n＝2122n n⎡⎤⎛⎛-⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦22⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦11112222⎛⎫⎛-+-⎪⎪⎭⎝⎭＝1。

第06讲二次根式的混合运算与化简求值一．解答题1．（2023秋•新蔡县期中）计算：；【分析】（1）先计算二次根式的除法，再算减法，即可解答；【解答】解：（1）＝3﹣2+＝3﹣2+2＝3；2．（2023秋•和平区校级期中）计算：（1）（）﹣1+（1﹣）0+|﹣2|；（2）÷﹣×+．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．【解答】解：（1）（）﹣1+（1﹣）0+|﹣2|＝2+1+2﹣＝5﹣；（2）÷﹣×+＝﹣+4＝﹣+4＝4﹣2+4＝2+4．3．（2023秋•金塔县期中）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；（2）先把各个二次根式化成最简二次根式，然后利用乘法分配律进行计算即可；（3）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；（4）先根据二次根式的除法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝9+1＝10；（3）原式＝＝＝；（4）原式＝＝＝4．（2023秋•太原期中）计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先化简，然后合并同二次根式即可；（2）先算乘法，再化简即可；（3）根据完全平方公式将式子展开，然后合并同类二次根式和同类项即可；（4）先化简，然后合并同二次根式即可．【解答】解：（1）＝3﹣5+4＝2；（2）＝＝＝；（3）＝20﹣4+1+4＝21；（4）＝﹣3+5＝．5．（2023秋•郓城县期中）计算：（1）﹣+；（2）|﹣1|+﹣；（3）+×﹣|2﹣|；（4）﹣（+1）2﹣（+3）×（﹣3）．【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（4）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．【解答】解：（1）﹣+＝3﹣2+＝2；（2）|﹣1|+﹣＝﹣1+3﹣2＝；（3）+×﹣|2﹣|＝2+5×﹣（﹣2）＝2+2﹣+2＝3+2；（4）﹣（﹣（+3）×（﹣3）＝﹣（4+2）﹣（5﹣9）＝﹣4﹣2+4＝﹣2．6．（2023秋•太和区期中）计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；（2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；（3）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；（4）先计算二次根式的乘除法，零指数幂，再算加减，即可解答；（5）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（6）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．【解答】解：（1）＝﹣5＝6﹣5＝1；（2）＝+3﹣3＝；（3）＝（﹣）÷＝÷﹣÷＝﹣＝2﹣；（4）＝+1﹣＝+1﹣4＝﹣3；（5）＝﹣3+4﹣+﹣1＝0；（6）＝3﹣2+2﹣（6﹣1）＝3﹣2+2﹣5＝﹣2．7．（2022秋•青羊区校级期末）计算：（1）；（2）|﹣2|+（2023+π）0+﹣（﹣）﹣2．【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．【解答】解：（1）＝2+﹣3+＝3﹣2；（2）|﹣2|+（2023+π）0+﹣（﹣）﹣2＝2﹣+1+﹣4＝2﹣+1+3﹣4＝2﹣．8．（2023秋•锦江区校级期中）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．【解答】解：（1）＝1+|5﹣5|﹣＝1+5﹣5﹣3＝5﹣7；（2）＝3﹣4+4﹣（3﹣2）＝3﹣4+4﹣1＝6﹣4．9．（2023秋•汝阳县期中）计算：（1）5；（2）（）2﹣（2+3）2024（2﹣3）2023．【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．【解答】解：（1）5＝+﹣×﹣×2＝+﹣5﹣2＝﹣5；（2）（）2﹣（2+3）2024（2﹣3）2023．＝2﹣2+1﹣[（2+3）2023（2﹣3）2023]×（2+3）＝2﹣2+1﹣[（2+3）（2﹣3）]2023×（2+3）＝2﹣2+1﹣（8﹣9）2023×（2+3）＝2﹣2+1﹣（﹣1）2023×（2+3）＝2﹣2+1﹣（﹣1）×（2+3）＝2﹣2+1+2+3＝6．10．（2023秋•皇姑区校级期中）计算：（1）﹣（+1）2+（+1）（﹣1）．（2）﹣（﹣1）2023+（π﹣2021）0﹣|5﹣|﹣（）﹣2；【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）﹣（+1）2+（+1）（﹣1）＝3﹣（2+2+1）+3﹣1＝3﹣2﹣2﹣1+3﹣1＝﹣1；（2）﹣（﹣1）2023+（π﹣2021）0﹣|5﹣|﹣（）﹣2＝﹣（﹣1）+1﹣（﹣5）﹣4＝1+1﹣3+5﹣4＝3﹣3．11．（2023秋•潞城区校级期中）阅读与思考．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．双层二次根式的化简二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．例如：要化简，可以先思考（根据1）．．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有a+b．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样，我就找到了一种把部分化简的方法．任务：（1）文中的“根据1”是完全平方式，b＝2mn．（2）根据上面的思路，化简：．（3）已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可；（3）根据，得出a＝x2+3y2，4＝2xy，根据x，y为正整数，求出x＝2，y＝1或x＝1，y＝2，最后求出a的值即可．【解答】解：（1）的根据是完全平方公式；∵，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．故答案为：完全平方公式；2mn．（2）＝＝＝．（3）由题意得，∴a＝x2+3y2，4＝2xy，∵x，y为正整数，∴x＝2，y＝1或x＝1，y＝2，∴a＝22+3×12＝7或a＝12+3×22＝13．12．（2023秋•龙泉驿区期中）已知x＝，y＝．（1）求x2+y2+xy的值；（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求（m+n）2021﹣的值．【分析】（1）先利用分母有理化化简x和y，从而求出x+y和xy的值，然后再利用完全平方公式进行计算，即可解答；（2）利用（1）的结论可得：m＝2﹣，n＝﹣1，然后代入式子中进行计算，即可解答．【解答】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝＝＝2+，∴x+y＝2﹣+2+＝4，xy＝（2﹣）（2+）＝4﹣3＝1，∴x2+y2+xy＝（x+y）2﹣xy＝42﹣1＝16﹣1＝15；（2）∵1＜＜2，∴﹣2＜﹣＜﹣1，∴0＜2﹣＜1，∴2﹣的小数部分是2﹣，∴m＝2﹣，∵1＜＜2，∴3＜2+＜4，∴2+的小数部分＝2+﹣3＝﹣1，∴n＝﹣1，∴（m+n）2021﹣＝（2﹣+﹣1）2021﹣（n﹣m）＝12021﹣[﹣1﹣（2﹣）]＝1﹣（﹣1﹣2+）＝1﹣+1+2﹣＝4﹣2．13．（2023秋•双流区校级期中）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：﹣1，以上这种化简的步骤叫作分母有理化．（1）化简：；（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．（3）计算：+++…++．【分析】（1）利用分母有理化进行计算，即可解答；（2）先利用分母有理化进行化简，然后再估算出的值的范围，从而估算出2+的值的范围，进而可求出a，b的值，最后代入式子中进行计算，即可解答；（3）先利用分母有理化化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）＝＝＝﹣，故答案为：﹣；（2）＝＝＝2+，∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴3＜2+＜4，∴2+的整数部分是3，小数部分＝2+﹣3＝﹣1，∴a＝3，b＝﹣1，∴a2+b2＝32+（﹣1）2＝9+3﹣2+1＝13﹣2；（3）+++…++＝+++…++＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．14．（2023秋•大东区期中）观察下列各式：第一个式子：＝1＝1+（1﹣）；第二个式子：＝1＝1+（）；第三个式子：＝1＝1+（）；…（1）求第四个式子为：；（2）求第n个式子为：（n为正整数）（用n表示）；（3）求+…+的值．【分析】（1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题．（2）利用（1）中的发现即可解决问题．（3）根据（2）中的结论即可解决问题．【解答】解：（1）观察题中所给式子可知，第四个式子为：．故答案为：．（2）由（1）中的发现可知，第n个式子为：．故答案为：（n为正整数）．（3）原式＝＝1×2022+＝2022+1﹣＝．15．（2023秋•晋中期中）阅读与思考：观察下列等式：第1个等式＝；第2个等式；第3个等式：；…按照以上规律，解决下列问题：（1）＝4﹣；（填计算的结果）（2）计算：．【分析】（1）利用分母有理化进行化简计算，即可解答；（2）利用材料的规律进行计算，即可解答．【解答】解：（1）＝＝＝4﹣，故答案为：4﹣；（2）＝（﹣1+﹣+2﹣+…+﹣）×（+1）＝（﹣1）×（+1）＝2023﹣1＝2022．16．（2023秋•郁南县期中）综合探究：像，…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，2与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；．根据以上信息解答下列问题（1）与+互为有理化因式；（2）请你猜想＝﹣；（n为正整数）（3）＜（填“＞”“＜”或“＝”）；（4）计算：（+++…+）×（+1）．【分析】（1）利用互为有理化因式的定义，即可解答；（2）利用分母有理化进行化简计算，即可解答；（3）先求出它们的倒数，然后再进行比较，即可解答；（4）利用分母有理化先化简各数，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）与+互为有理化因式，（2）＝＝﹣，故答案为：﹣；（3）∵＝＝+，＝＝+，+＞+，∴＞，∴＜，故答案为：＜；（4）（+++…+）×（+1）＝[+++…+]×（+1）＝（+++…+）×（+1）＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）×（+1）＝（﹣1）×（+1）＝×（2023﹣1）＝×2022＝1011．17．（2023秋•平阴县期中）阅读下列材料，然后解决问题．在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们可以将其进一步化简：，＝，如上这种化简的步骤叫做“分母有理化”．（1）化简＝，＝，＝﹣．（2）化简：．【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）＝＝，＝＝，＝＝＝﹣，故答案为：；；﹣；（2）＝+++＝+++＝（﹣1+﹣+﹣+﹣）＝．18．（2023春•莱芜区月考）观察下列一组等式，然后解答问题：，，，，……．（1）利用上面的规律，计算：；（2）请利用上面的规律，比较与的大小．【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，计算即可求出式子的值；（2）利用得出的规律将与进行转化，再进行比较即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）由题意得，，，∵，∴．19．（2023春•宁海县期中）已知：a＝+2，b＝﹣2，求：（1）ab的值；（2）a2+b2﹣3ab的值；（3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．【分析】（1）代入求值即可；（2）代入求值，可将（1）的结果代入；（3）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算．【解答】解：（1）∵a＝+2，b＝﹣2，∴ab＝（+2）（﹣2）＝7﹣4＝3；（2）∵a＝+2，b＝﹣2，ab＝3，∴a2+b2﹣3ab＝a2+b2﹣2ab﹣ab＝（a﹣b）2﹣ab＝[（+2）﹣（﹣2）]2﹣3＝（+2﹣+2）2﹣3＝42﹣3＝16﹣3＝13；（3）∵m为a整数部分，n为b小数部分，a＝+2，b＝﹣2，∴m＝4，n＝b＝﹣2∴＝＝＝，∴的值．20．（2023•沈丘县校级开学）已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；（2）化简：﹣．【分析】（1）根据若ab＝0，则a＝0或b＝0，求出a与b，b与c的关系，进行解答即可；（2）先根据三角形三边关系，判断a+b﹣c和a﹣b﹣c的正负，再利用二次根式的性质进行计算化简即可．【解答】解：（1）∵a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，∴a﹣b＝0或b﹣c＝0，∴a＝b或b＝c，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，a﹣b＜c，∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴＝a+b﹣c﹣（﹣a+b+c）＝a+b﹣c+a﹣b﹣c＝2a﹣2c21．（2023•江北区开学）求值：（1）若，，求的值；（2）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．【分析】（1）先求出ab和a+b的值，然后利用完全平方公式进行计算即可解答；（2）先利用分母有理化进行化简可得＝，然后估算出的值的范围，从而求出a，b 的值，然后代入式子中进行计算，即可解答．【解答】解：（1）∵，，∴ab＝（﹣1）（+1）＝3﹣1＝2，a+b＝﹣1++1＝2，∴＝＝＝＝＝4，∴的值为4；（2）＝＝，∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴5＜3+＜6，∴＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2＝，∴a＝2，b＝，∴＝22+（1+）×2×+＝4+7﹣1+＝10+＝，∴的值为．22．（2023春•清江浦区期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如，和、与、与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1）计算：①＝，②＝；（2）计算：．【分析】（1）①分子、分母都乘即可；②分子、分母都乘即可；（2）第一项分子、分母都乘以，第二项分子、分母都乘以，再计算即可．【解答】解：（1）①，故答案为：；②，故答案为：；（2）＝＝＝2+﹣﹣1＝1．23．（2023春•珠海校级期中）观察式子：，反过来：，∴，仿照上面的例子：（1）化简①；②；（2）如果x+y＝m，xy＝n且x＞y＞0，化简．【分析】（1）模仿示例将更号里面算式变形为完全平方式的形式进行化简；（2）将算式变形为，再运用二次根式的性质进行化简．【解答】解：（1）①＝＝＝＝+1；②＝＝＝＝；（2）∵x+y＝m，xy＝n且x＞y＞0，∴＝＝＝＝+．24．（2023春•濮阳期中）已知，，求下列代数式的值．（1）a2﹣2ab+b2；（2）a2﹣b2．【分析】（1）先计算a+b和a﹣b的值，将原式分解因式，再将a﹣b的值代入计算即可；（2）将原式分解因式，再将a+b和a﹣b的值代入计算即可．【解答】解：（1）∵，，∴，，∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝42＝16；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝＝．25．（2023春•张店区期末）阅读材料，解答下列问题．材料：已知，求的值．小明同学是这样解答的：∵＝＝5﹣x﹣2+x＝3，∵，∴，这种方法称为“构造对偶式”．问题：已知．（1）求的值；（2）求x的值．【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；（2）利用（1）的结论可得2＝5，从而可得＝2.5，进而可得9+x＝6.25，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝9+x﹣3﹣x＝6，∵，∴＝2，∴的值为2；（2）由（1）得：﹣＝2，+＝3，∴2＝5，∴＝2.5，∴9+x＝6.25，∴x＝﹣2.75，∴x的值为﹣2.75．。

《第二章7 二次根式》讲解与例题1．二次根式的概念 一样地，咱们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数．【例1－1】 以下式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？2，33，1x，x 2＋1，0，42，－2，1x ＋y，x ＋y .解：二次根式有：2，x 2＋1，0，－2；不是二次根式的有：33，1x ，42，1x ＋y，x ＋y .析规律 二次根式的条件二次根式应知足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0.【例1－2】 当x 是多少时，3x －1在实数范围内成心义？分析：由二次根式的概念可知，被开方数必然要大于或等于0，因此3x －1≥0时，3x －1才成心义．解：由3x －1≥0，得x ≥13.因此当x ≥13时，3x －1在实数范围内成心义．点技术 二次根式成心义的条件二次根式成心义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数必然要大于或等于0. 2．积的算术平方根 用“＞，＜或＝”填空． 4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36.依照上面的计算咱们可得出：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积． 【例2】 化简： (1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54.分析：利用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)直接化简即可．解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36.(3)81×100＝81×100＝9×10＝90.(4)54＝9×6＝32×6＝3 6.点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式．3．商的算术平方根填空：(1)916＝__________，916＝__________；(2)1636＝__________，1636＝__________；(3)416＝__________，416＝__________；(4)3681＝__________，3681＝__________.规律：916______916；1636______1636；416______416；3681______3681.通过计算容易患出上面的式子都是相等的．因此，a b＝ab(a≥0，b>0)即：商的算术平方根等于各算术平方根的商．【例3】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)9x64y2；(4)5x169y2.分析：直接利用ab＝ab(a≥0，b＞0)就能够够达到化简之目的．解：(1)364＝364＝38.(2)64b29a2＝64b29a2＝8|b|3|a|.(3)9x64y2＝9x64y2＝3x8|y|.(4)5x169y2＝5x169y2＝5x13|y|.4．最简二次根式最简二次根式应知足以下两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．因此，化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．【例4】把以下根式化成最简二次根式：(1)12，(2)40，(3) 1.5，(4)4 3 .解：(1)12＝4×3＝2 3.(2)40＝4×10＝210.(3) 1.5＝32＝32＝3×22×2＝62.(4)43＝23＝233.点评：化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，应利用二次根式的有关性质化掉分母中的根号．5．二次根式的乘除二次根式的乘法：a·b＝ab(a≥0，b≥0)二次根式的除法：ab＝ab(a≥0，b>0)即：二次根式相乘除，只把被开方数相乘除，结果仍然作为被开方数．【例5】计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)14÷116；(4)648.分析：直接利用a·b＝ab(a≥0，b≥0)和ab＝ab(a≥0，b＞0)计算即可．解：(1)5×7＝35.(2)13×9＝13×9＝ 3.(3)14÷116＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)648＝648＝8＝2 2.6．二次根式的加减计算以下各式：(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2；(3)x＋2x＋3y；(4)3a2－2a2＋a3.上面的题目，事实上为同类项归并．同类项归并确实是字母不变，系数相加减．计算以下各式：(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.分析：(1)若是咱们把2当做x，不就转化为上面的问题了吗？22＋32＝(2＋3)2＝5 2.(2)把8当做y；28－38＋58＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)把7当做z；7＋27＋9·7＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4)把3看为x，2看为y.33－23＋2＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.因此，二次根式的被开方数相同的话是能够归并的．二次根式加减时，能够先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行归并．【例6】计算：(1)8＋18；(2)16x ＋64x ；(3)348－913＋312；(4)(48＋20)＋(12－5)．分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行归并． 解：(1)8＋18＝22＋32＝(2＋3)2＝52.(2)16x ＋64x ＝4x ＋8x ＝(4＋8)x ＝12x .(3)348－913＋312＝123－33＋63＝(12－3＋6)3＝153.(4)(48＋20)＋(12－5)＝48＋20＋12－5＝43＋25＋23－5＝63＋5.7．化简a 2(1)计算：42＝4，0.22＝0.2，⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝45，202＝20，观看其结果与根号内幂底数的关系，归纳取得：当a ＞0时，a 2＝a .(2)计算：(－4)2＝4，(－0.2)2＝0.2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝45，(－20)2＝20，观看其结果与根号内幂底数的关系，归纳取得：当a ＜0时，a 2＝－a .(3)计算：02＝0，当a ＝0时，a 2＝0.(4)将上面做题进程中取得的结论综合起来，取得二次根式的又一条超级重要的性质：a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，0，a ＝0，－a ，a <0.【例7－1】 化简：(1)9；(2)(－4)2； (3)25； (4)(－3)2.分析：因为(1)9＝32，(2)(－4)2＝42，(3)25＝52，(4)(－3)2＝32，因此都可运用a 2＝a (a ≥0)去化简．解：(1)9＝32＝3. (2)(－4)2＝42＝4.(3)25＝52＝5. (4)(－3)2＝32＝3.【例7－2】 先化简再求值：当a ＝9时，求a ＋1－2a ＋a 2的值，甲、乙两人的解答如下：甲的解答为：原式＝a ＋(1－a )2＝a ＋(1－a )＝1； 乙的解答为：原式＝a ＋(1－a )2＝a ＋(a －1)＝2a －1＝17.两种解答中，__________的解答是错误的，错误的缘故是__________． 答案：甲 甲没有先判定1－a 是正数仍是负数 8．二次根式的混合运算 计算： (1)6x ·3y ； (2)(2x ＋y )·zx ； (3)(2x 2y ＋3xy 2)÷xy . (4)(2x ＋3y )(2x －3y )； (5)(2x ＋1)2＋(2x －1)2.若是把上面的x ，y ，z 改写成二次根式，以上的运算规律是不是仍成立？仍成立．整式运算中的x ，y ，z 是一种字母，它的意义十分普遍，能够代表所有一切，固然也能够代表二次根式，因此，整式中的运算规律也适用于二次根式．【例8】 计算：(1)(6＋8)×3；(2)(46－32)÷22；(3)(5＋6)(3－5)； (4)(10＋7)(10－7)．分析：因为二次根式仍然知足整式的运算规律，因此直接可用整式的运算规律． 解：(1)(6＋8)×3＝6×3＋8×3＝18＋24＝32＋26.(2)(46－32)÷22＝46÷22－32÷22＝23－32.(3)(5＋6)(3－5)＝35－(5)2＋18－65＝13－3 5.(4)(10＋7)(10－7)＝(10)2－(7)2＝10－7＝3.。

二次根式典型例题1. 求解方程：√(3x+5) = 7解：将方程两边进行平方，得到3x + 5 = 49将方程两边同时减去5，得到3x = 44将方程两边同时除以3，得到x = 44/3所以方程的解为x = 44/32. 求解方程：2√(x+2) - 1 = 5解：将方程两边加上1，得到2√(x+2) = 6将方程两边除以2，得到√(x+2) = 3将方程两边进行平方，得到x + 2 = 9将方程两边减去2，得到x = 7所以方程的解为x = 73. 求解方程：√(5x-1) + 2 = 9解：将方程两边减去2，得到√(5x-1) = 7将方程两边进行平方，得到5x - 1 = 49将方程两边加上1，得到5x = 50将方程两边除以5，得到x = 10所以方程的解为x = 104. 求解方程：√(2x+3) + √(x-1) = 5解：将方程两边减去√(x-1)，得到√(2x+3) = 5 -√(x-1)将方程两边进行平方，得到2x + 3 = 25 - 10√(x-1) + (x-1)整理得到x - 10√(x-1) = 21再将方程两边平方，得到x^2 - 20x(x-1) + 100(x-1) = 441展开得到x^2 - 20x^2 + 20x + 100x - 100 = 441合并同类项，得到-19x^2 + 120x - 541 = 0该方程需要用求根公式或因式分解法求解，结果为x ≈1.988 或x ≈14.2435. 求解方程：√(3x-2) -√(x+1) = 1解：将方程两边加上√(x+1)，得到√(3x-2) = 1 + √(x+1)将方程两边进行平方，得到3x - 2 = 1 + 2√(x+1) + (x+1)整理得到2√(x+1) = 2x + 2再将方程两边平方，得到4(x+1) = (2x+2)^2展开得到4x + 4 = 4x^2 + 8x + 4合并同类项，得到4x^2 + 4x - 8x - 4 + 4 = 0化简得到4x^2 - 4x = 0因式分解得到4x(x-1) = 0解得x = 0 或x = 1但由方程可知，当x = 0 时，√(3x-2) 和√(x+1) 不满足等式关系，所以方程的解为x = 16. 求解方程：√(4x+1) + 2√(x-3) = 6解：将方程两边减去2√(x-3)，得到√(4x+1) = 6 - 2√(x-3)将方程两边进行平方，得到4x + 1 = 36 - 24√(x-3) + 4(x-3)整理得到24√(x-3) = 4x - 35再将方程两边平方，得到576(x-3) = (4x - 35)^2展开得到576x - 1728 = 16x^2 - 280x + 1225合并同类项，得到16x^2 - 856x + 3953 = 0该方程需要用求根公式或因式分解法求解，结果为x ≈3.886 或x ≈24.1947. 求解方程：2√(x+5) + √(2x+3) = 8解：将方程两边减去√(2x+3)，得到2√(x+5) = 8 -√(2x+3)将方程两边进行平方，得到4(x+5) = 64 - 16√(2x+3) + (2x+3)整理得到2x - 16√(2x+3) = 56再将方程两边平方，得到4x^2 - 128(x+3) = 3136展开得到4x^2 - 128x - 384 = 3136合并同类项，得到4x^2 - 128x - 3520 = 0该方程需要用求根公式或因式分解法求解，结果为x ≈-5 或x ≈228. 求解方程：√(x+1) -√(2x-3) = 2解：将方程两边加上√(2x-3)，得到√(x+1) = 2 + √(2x-3)将方程两边进行平方，得到x + 1 = 4 + 4√(2x-3) + 2x - 3整理得到2√(2x-3) = x + 2再将方程两边平方，得到8x - 12 = x^2 + 4x + 4将方程移项，得到x^2 - 4x - 8x + 4 + 12 = 0合并同类项，得到x^2 - 12x + 16 = 0该方程需要用求根公式或因式分解法求解，结果为x ≈2.828 或x ≈9.1729. 求解方程：√(3x-2) + √(x-5) = 4解：将方程两边减去√(x-5)，得到√(3x-2) = 4 -√(x-5)将方程两边进行平方，得到3x - 2 = 16 - 8√(x-5) + (x-5)整理得到8√(x-5) = 23 - 2x再将方程两边平方，得到64(x-5) = (23 - 2x)^2展开得到64x - 320 = 529 - 92x + 4x^2合并同类项，得到4x^2 - 156x + 849 = 0该方程需要用求根公式或因式分解法求解，结果为x ≈3.455 或x ≈61.54510. 求解方程：√(x+2) + √(3x-1) = 5解：将方程两边减去√(3x-1)，得到√(x+2) = 5 -√(3x-1)将方程两边进行平方，得到x + 2 = 25 - 10√(3x-1) + (3x-1)整理得到10√(3x-1) = 3x - 24再将方程两边平方，得到900x - 3600 = (3x - 24)^2展开得到900x - 3600 = 9x^2 - 144x + 576将方程移项，得到9x^2 - 1044x + 4176 = 0该方程需要用求根公式或因式分解法求解，结果为x ≈43.225 或x ≈16.308。

二次根式例1．在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ）A ．1)2(2+-mB ．1)2(2-mC ．2)12(--mD ．2)12(-m 分析 不论m 为任何实数，A 、C 、D 中被开方数的值都不是负数.解答 B说明 考查二次根式的意义. 只要理解了二次根式的意义，记住在0≥a 时，式子a 才有意义，这样的题目都不在话下.例2．yx 是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>yx C ．0≥x 且0>y D ．0≥y x 分析 要使yx 有意义，则被开方数y x 是非负数.应满足条件是0≥x 且0>y 或0≤x ，0<y .解答 D说明 式子a 叫做二次根式，a 可以是数，也可以是式子，但a 必须是非负数. 例3．判断下列根式是否二次根式：（1）3-； （2）3- （3）3)3(-（4）38 （5）a - （6）32-- （7）12--a （8）122++a a解答 （1）∵ 03<-，∴ 3-不是二次根式.（2）∵033>=-，∴3-是二次根式. （3）∵ 027)3(3<-=-，∴3)3(-不是二次根式.（4）38是三次根式，不是二次根式. （5）∵ a -的符号不确定，∴当0≤a 时，a -是二次根式，当0>a 时， a -不是二次根式，∴a -不一定是二次根式.（6）∵ 032>--，∴32--是二次根式. （7）∵0)1(122<+-=--a a∴12--a 不是二次根式.（8）∵0)1(1222≥+=++a a a∴122++a a 是二次根式.说明 判定一个式子是否二次根式，主要观察两方面：第一，被开方数是否非负；第二，是否为二次根式.例4．求使x x 3132-++有意义的x 的取值范围.解答 要使32+x 使有意义，则032≥+x ，即23-≥x ；① 要使x 31-有意义，则031≥-x ，即31≤x .② 所以使 x x 3132-++有意义的x 的取值范围是3123≤≤-x . 说明 本题主要考察二次根式的基本概念，要弄清每一个数学表达式的含义. 根据二次根式的意义求解.例5．在实数范围内分解因式：（1）_________32=-x（2）________6524=+-m m（3）________3222=--x x 解答 （1）)3)(3()3(3222-+=-=-x x x x（2）)2)(3(652224--=+-m m m m（3）5)2(22322222-+-=--x x x x说明 解本题的关键是对一个非负数a 能写成一个数平方形式.即)0()(2≥=a a a 的逆用.并且原来的因式分解方法和公式仍然适用.。

二次根式的知识点汇总知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

例1（x>0、、（x ≥0，y•≥0）．”；第二，被开方数是正数或0．知识点二：取值范围1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。

例2．当x例3．当x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负1x1x y+11x +数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

例4(1)已知+5，求的值．(2)=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质1（） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.例1计算12 2．（2 32 4）2 例2在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五：二次根式的性质2文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即；2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

中考数学精选例题解析:二次根式知识考点:数的开方是学习二次根式、一元二次方程的准备知识,二次根式是初中代数的重要基础,应熟练掌握平方根的有关概念、求法以及二次根式的性质。

精典例题: 【例1】填空题:（1）()23-的平方根是 ；16的算术平方根是 ；25-的算术平方根是 ；38的立方根是 。

（2）若22-是a 的立方根,则a ＝ ；若b 的平方根是±6,则b ＝ 。

（3）若x 21-有意义,则x ；若321-x 有意义,则x 。

（4）若02=+m m ,则m ；若()13312-=-a a ,则a ；若12-=aa ,则a ；若()111--+x 有意义,则x 的取值范围是 ；（5）若x -2有意义,则()22x -＝ 。

（6）若a ＜0,则a a -2＝ ；若b ＜0,化简ba b ab a 32+＝ 。

答案:（1）3±,2,51,32；（2）42-,6；（3）x ≤21,x ≠2； （4）m ≤0,a ≥31,a ＜0,x ≥－1且x ≠0；（5）x -2；（6）a 2-,ab ab 2-【例2】选择题:1、式子1313--=--x xx x 成立的条件是（ ） A 、x ≥3 B 、x ≤1 C 、1≤x ≤3 D 、1＜x ≤3 2、下列等式不成立的是（ ）A 、()a a =2B 、a a =2C 、33a a -=-D 、a aa -=-13、若x ＜2,化简()x x -+-322的正确结果是（ ）A 、－1B 、1C 、52-xD 、x 25- 4、式子3ax --（a ＞0）化简的结果是（ ）A 、ax x -B 、ax x --C 、ax xD 、ax x - 答案:DDDA 【例3】解答题:（1）已知51=-aa ,求aa 1-的值。

（2）设m 、n 都是实数,且满足224422-+-+-=m m m n ,求mn 的值。

分析:解决题（1）的问题,一般不需要将a 的值求出,可将51=-aa 等式两边同时平方,可求得31=+a a ,再求41122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a 的值,开方即得所求代数式的值；题（2）中,由被开方数是非负数得2±=m ,但分母02≠-m ,故2-=m ,代入原等式求得n 的值。

二次根式的运算知识考点：二次根式的化简与运算是二次根式这一节的重点和难点。

也是学习其它数学知识的基础，应熟练掌握利用积和商的算术平方根的性质及分母有理化的方法化简二次根式，并能熟练进行二次根式的混合运算。

精典例题： 【例1】计算：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322212143222； （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--31221821812；（3）()()()200215415215200020012002++-+-+；（4）()()235235-++-；（5）()1211321231260sin -⎪⎭⎫⎝⎛-+---++。

答案：（1）3324-；（2）24332-；（3）2002；（4）62；（5）－1 【例2】化简：b a bab ab b a b a ++÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+分析：将ba b a +和ba b +分别分母有理化后再进行计算，也可将除以ab 变为乘以ab1，与括号里各式进行计算，从而原式可化为：原式＝ba b ba a ++-+1＝1-++ba b a ＝0【例3】已知131-=a ，131+=b ，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a b b a ab 的值。

分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且a 、b 的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故ab 必然简洁且不含根式，b a +的值也可以求出来。

解：由已知得：b a +＝213213-++＝3，21=ab ∴原式＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a ab b ab ab ＝b a +＝3 探索与创新：【问题一】比较23-与12-的大小；34-与23-的大小；45-与34-的大小；猜想n n -+1与1--n n 的大小关系，并证明你的结论。

分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。

∵23-≈1.732－1.414＝0.318，12-≈1.414－1＝0. 414 ∴23-＜12-同理：34-＜23-，45-＜34-根据以上各式二次根式的大小有理由猜测：n n -+1＜1--n n证明：n n -+1＝()()n n nn nn ++++-+111＝()()nn n n ++-+1122＝nn ++111--n n ＝()()111-+-+--n n n n n n＝()()1122-+--n n n n＝11-+n n又∵nn ++11＜11-+n n∴n n -+1＜1--n n【问题二】阅读此题的解答过程，化简：a b ab b a b a a 322442+--（b a 20<<）解：原式＝a b ab a b b a a )44(222+-- ①＝22)2(2a b a ab b a a -- ②＝ab ab a b a a⋅-⋅-22 ③＝ab aba b a a ⋅-⋅-22 ④＝ab问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ；（2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。

初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。

①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。

②非负性2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。

3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、二次根式有关公式（1）)0()(2≥=a a a （2）a a =2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab（4）除法公式)0,0( b a ba b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。

常考题：一．选择题（共14小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥﹣且x ≠1B ．x ≠1C ．D ．3．下列计算错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．估计的运算结果应在（ ）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间5．如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．化简的结果是（）A．B．C．D．9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定11．把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．12．已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．313．若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5二．填空题（共13小题）15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ．16．计算：的结果是．17．化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= ．20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．21．计算：﹣﹣= ．22．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为cm．23．如果最简二次根式与能合并，那么a= ．24．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果保留根号）25．实数p在数轴上的位置如图所示，化简= ．26．计算：= ．27．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．三．解答题（共13小题）28．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．29．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．30．先化简，再求值：，其中．31．先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．32．先化简，再求值：，其中．33．已知a=，求的值．34．对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？35．一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．36．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．37．已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．38．计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C． D．【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：因为：B、=4；C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式．故选A．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．2．（2013•娄底）式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C．D．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故选A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．（2007•荆州）下列计算错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．【解答】解：A、==7，正确；B、==2，正确；C、+=3+5=8，正确；D、，故错误．故选D．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．4．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（）A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．5．（2011•烟台）如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．【解答】解：∵，∴1﹣2a≥0，解得a≤．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．6．（2009•荆门）若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可．【解答】解：∵=（x+y）2有意义，∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，∴x=1，y=﹣1，∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（2012秋•麻城市校级期末）是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．【解答】解：∵==2，∴当n=6时，=6，∴原式=2=12，∴n的最小值为6．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．8．（2013•佛山）化简的结果是（）A．B．C．D．【分析】分子、分母同时乘以（+1）即可．【解答】解：原式===2+．故选：D．【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．9．（2013•台湾）k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．【解答】解：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，则m＜k＜n．故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．10．（2011•菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞0，a﹣11＜0，则，=a﹣4+11﹣a，=7．故选A．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．11．（2013秋•五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，原式=﹣=﹣．故选：D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．12．（2009•绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．13．（2005•辽宁）若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断．【解答】解：要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴点（a，b）在第三象限．故选C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号．14．（2013•上城区一模）已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【分析】原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，然后整体代入计算即可．【解答】解：m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，原式====3．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．二．填空题（共13小题）15．（2004•山西）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= 1 ．【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴|a﹣1|+=a﹣1+2﹣a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式的化简规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．16．（2013•南京）计算：的结果是．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．17．（2013•泰安）化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ﹣6 ．【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．【解答】解：（﹣）﹣﹣|﹣3|=﹣3﹣2﹣（3﹣），=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（2006•广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= 5 ．【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a﹣8=17﹣2a，解得：a=5．【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．19．（2007•芜湖）定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= 6 ．【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．【解答】解：∵x@y=，∴（2@6）@8=@8=4@8==6，故答案为：6．【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．20．（2014•荆州）化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．【解答】解：原式=2×﹣4××1=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．21．（2014•广元）计算：﹣﹣= ﹣2 ．【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．【解答】解：==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题．22．（2013•宜城市模拟）三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为5cm．【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．【解答】解：这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．故答案为：5+2（cm）．【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．23．（2012秋•浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么a= 1 ．【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：根据题意得，1+a=4a﹣2，移项合并，得3a=3，系数化为1，得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．24．（2006•宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是2﹣2 ．（结果保留根号）【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）•=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积．【解答】解：矩形内阴影部分的面积是（+）•﹣2﹣6=2+6﹣2﹣6=2﹣2．【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．25．（2003•河南）实数p在数轴上的位置如图所示，化简=1 ．【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．【解答】解：由数轴可得，1＜p＜2，∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，∴=p﹣1+2﹣p=1．【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键．26．（2009•泸州）计算：= 2 ．【分析】运用二次根式的性质：=|a|，由于2＞，故=2﹣．【解答】解：原式=2﹣+=2．【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．27．（2011•凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5 ．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．三．解答题（共13小题）28．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；（2）原式=+…+=++…+=．【点评】学会分母有理化的两种方法．29．（2014•张家界）计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2=﹣7+3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．30．（2009•广州）先化简，再求值：，其中．【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．【解答】解：原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，当a=时，原式=6+3﹣3=6．【点评】本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．31．（2005•沈阳）先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：原式===；当x=1+，y=1﹣时，原式=．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．32．（2010•莱芜）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．【解答】解：原式====﹣（x+4），当时，原式===．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．33．（2008•余姚市校级自主招生）已知a=，求的值．【分析】先化简，再代入求值即可．【解答】解：∵a=，∴a=2﹣＜1，∴原式=﹣=a﹣1﹣=a﹣1+=2﹣﹣1+2+=4﹣1=3．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．34．（2002•辽宁）对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？【分析】因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，故错误的是乙．【解答】解：甲的解答：a=时，﹣a=5﹣=4＞0，所以=﹣a，正确；乙的解答：因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，错误；因此，我们可以判断乙的解答是错误的．【点评】应熟练掌握二次根式的性质：=﹣a（a≤0）．35．（2011•上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：（1）周长=++==，（2）当x=20时，周长=，（或当x=时，周长=等）【点评】对于第（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意．36．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【分析】（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．【解答】解：（1）s=，=；p=（5+7+8）=10，又s=；（2）=（﹣）=，=（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），=（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），=p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴=．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．37．（2009秋•金口河区期末）已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．【分析】观察，显然，要求的代数式可以变成x，y的差与积的形式，从而简便计算．【解答】解：∵，，∴xy=×2=，x﹣y=∴原式=（x﹣y）2+xy=5+=．【点评】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算．38．（2010秋•灌云县校级期末）计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．【分析】（1）先化简，再运用分配律计算；（2）先化简，再根据乘除法的法则计算．【解答】解：（1）原式==6﹣12﹣6=6﹣18；（2）原式=﹣×=﹣3a2b2×=﹣a2b．【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．39．（2013秋•故城县期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【解答】解：根据，可得m=13，n=42，∵6+7=13，6×7=42，∴==．【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．40．（2013•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1+ 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．。

专题03 二次根式之分母有理化一、例题讲解1.（2020-2021·安徽·月考试卷） 计算(1−23−4)×(2345)−(1−√2√3√4√5)×(√2√3+√4的结果等于( )A.12 B.√55 C.√33 D.√22【答案】B【解答】解：设a =√2√3√4，原式=(1−a )(a √5)−(1−a −√5)×a =a √5−a 2√5a +a 2+√5=√55．故选B ．2.（2020-2021·广东·月考试卷） 已知：a =2−√3，b =√3+2，则√a 2+ab +b 2的值为( )A.5B.17C.√15D.√17【答案】C【解答】解：∵ a =2−√3=√3+2(2−√3)(√3+2)=√3+2，b =√3+2=√3(2−√3)(√3+2)=2−√3，∵ a +b =4，ab =(2−√3)(2+√3)=22−3=1，∵ √a 2+ab +b 2=√(a +b )2−ab =√42−1=√15.故选C .3.（2020-2021·江苏·月考试卷） 若x =√5+1，y =√5−1，则x−yx 2−y 2的值为________. 【答案】√510【解答】解：∵x =√5+1，y =√5−1， ∴x +y =√5+1+√5−1=2√5，∴x−y x 2−y 2=x−y (x+y )(x−y )=1x+y=2√5=√510.故答案为：√510.4.（2020-2021·湖南·期末试卷） 化简题中，有四个同学的解法如下： ①√5+√2=√5−√2)(√5+√2)(√5−√2)=√5−√2，②√5+√2=√5+√2)(√5−√2)√5+√2=√5−√2， ③√a+√b=√a−√b)(√a+√b)(√a−√b)=√a −√b ，④√a+√b=√a+√b)(√a−√b)√a+√b=√a −√b .他们的解法，正确的是________.（填序号） 【答案】①②④【解答】解：①√5+√2=√5−√2)(√5+√2)(√5−√2)=√5−√2，故①正确；②√5+√2=√5+√2)(√5−√2)√5+√2=√5−√2，故②正确；③√a+√b （√a −√b ≠0）=√a−√b)(√a+√b)(√a−√b)=(a−b )(√a−√b)a−b=√a −√b ，故③错误；④a+√b=√a+√b)(√a−√b)a+√b=√a −√b ，故④正确.综上所述，计算正确的有①②④.故答案为：①②④.5.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=53√3； √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=2(√3−1)2=√3−1；√3+1=√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1.以上这种化简的方法叫分母有理化． 解决问题： (1)用上述方法化简5+3；(2)比较大小：√19−3√2与3√2−√17；(3)化简：√3+1√5+√3√7+√5⋯+√2021+√2019．【答案】解：√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)5−3=√5−√3．√19−3√2=√19+√18)(√19−√18)(√19+√18)=√19+√18，3√2−√17=√18+√17)(√18−√17)(√18+√17)=√18+√17，∵√19>√17，∴√19+√18>√18+√17，∴√19−3√2>3√2−√17．(3)原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2019−√20172+√2021−√20192=√2021−12．6.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：(√3+√2)⋅(√3−√2)=(√3)2−(√2)2=1；(√5+√2)(√5−√2)=(√5)2−(√2)2=3，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3；√3=√3√3×√3=√33，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)3+√7的有理化因式是________，√2+1分母有理化得________；(2)比较大小：√6−2________ 3−√7（用“>”“<”或“=”填空）；(3)计算：√5+13+√5√13+3+⋯+√2017+√2013√2021+√2017.【解答】解：(1)∵(3+√7)(3−√7)=32−(√7)2=2，∴3+√7的有理化因式是3−√7.√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1.故答案为：3−√7；√2−1.√6−2=√6+2(√6−2)(√6+2)=√6+22，3−√7=√7(3−√7)(3+√7)=3+√72，∵√6+22<3+√72，∴√6−2<3−√7.<. (3)原式=√5−1)(√5+1)(√5−1)√5)(3+√5)(3−√5)√13−3)(√13+3)(√13−3)⋯+√2017−√2013)(2017+2013)(2017−√2013)√2021−√2017)(√2021+√2017)(√2021−√2017)=√5−1+3−√5+√13−3+⋯+√2017−√2013+√2021−√2017=√2021−1．7.（2020-2021·安徽·月考试卷） 像√2×√2=2， (√3+1)×(√3−1)=2， (√5+√2)×(√5−√2)=3…两个含有二次根式的式子相乘，积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式． 爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． 例1：23=√323×3=√36； 例2：√2+1√2−1=√2+1)2(√2−1)×(√2+1)=2+2√2+12−1=3+2√2.请你解决下列问题：(1)2√3−3√5的有理化因式可以是（ ） A.2√3−3√5 B.2√3+3√5 C.√3−√5 D.√3+√5(2)化简：√32+√3.【解答】解：(1)(2√3−3√5)(2√3+3√5)=(2√3)2−(3√5)2=12−45=−33， ∵ 2√3−3√5的有理化因式为2√3+3√5.故选B. (2√32+√3=√3√3⋅√3√3(2+√3)(2−√3)=√3+2−√34−3=2.8.（2020-2021·安徽·月考试卷） 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知a =2+√3，求2a 2−8a +1的值．他是这样解答的：∵ a =2+3=√3(2+3)(2−3)=2−√3，∵ a −2=−√3，∵ (a −2)2=3，即a 2−4a +4=3，∵ a 2−4a =−1，∵ 2a 2−8a +1=2(a 2−4a )+1=2×(−1)+1=−1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： 3+2=________； (2)化简：√2+1√3+√2√4+√3⋯+√169+√168；(3)若a =√5−2，求a 4−4a 3−4a +3的值．【解答】解：3+2=√3−√2(3+2)(3−2)=√3−√2.故答案为：√3−√2.(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√169−√168=√169−1=13−1=12. (3)∵ a =√5−2=√5+2，∵ a −2=√5，∵ (a −2)2=5，即a 2−4a +4=5，∵ a 2−4a =1，∵ a 4−4a 3−4a +3=a 2(a 2−4a )−4a +3=a 2×1−4a +3=a 2−4a +3=1+3=4．9.（2020-2021·江西·期中试卷） 观察下列运算过程：1+2=2+1=√2−1(2+1)(2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1，√2+√3=√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2． (1)请运用上面的运算方法计算：1+√3√3+√5√5+√7；(2)利用上面的规律，比较√11−√10与√12−√11的大小． 【答案】解：1+√3+√3+√5√5+√7=√3−12+√5−√32+√7−√52=√7−12. (2)∵ √11−√10=√11+√10，√12−√11=√12+√11， ∵ √11+√10<√12+√11，∵ √11+√10>√12+√11，即√11−√10>√12−√11．二、实战演练1.（2020-2021·安徽·月考试卷） 已知a =√3+√2 ，b =√3−√2，那么a 与b 的关系为( )A.互为相反数B.互为倒数C.相等D.a 是b 的平方根【答案】C 【解答】解：∵ b =√3−√2=√3+√2(√3−√2)(√3+√2)=√3+√2，∴ a =b ．故选C ．2.（2020-2021·湖南·月考试卷） 若x =2−1，则x 2−2x =( )A.√2B.1C.2+√2D.√2−1【答案】B 【解答】解：∵ x =√2−1=√2+1(√2−1)(√2+1)=√2+1，∵ x 2−2x =x(x −2)=(√2+1)(√2+1−2)=2−1=1．故选B .3.（2020-2021·湖南·期末试卷） 已知x =√7−2，a 是x 整数部分，b 是x 的小数部分，则ba =________. 【答案】√7−24【解答】解：∵x =√7−2=√7+2，又2<√7<3，∴4<√7+2<5，即4<x <5，∴a =4，b =√7+2−4=√7−2，∴ba =√7−24.故答案为：√7−24.4.（2020-2021·山西·月考试卷） 在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题： 已知a =2+√3，求a +1的值．小华是这样解答的：∵ a =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∵ a +1=3−√3．请你根据小华的解题过程，解决下列问题． (1)填空√3−√2=________；√3−1=________．(2)化简√2+1√3+√2√4+√3⋯√289+√288．(3)若a =5−3，求(2a −√3)2−1的值．【解答】解：√3−√2=√3−√2(√3−√2)(√3+√2)=√3+√2;√3−1=√3−1(√3−1)(√3+1)=√3+12.故答案为：√3+√2；√3+12. (2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√289−√288=√289−1=17−1=16． (3)∵a =√5−√3=√5+√3(√5−√3)(√5+√3)=√5+√32，∴2a =√5+√3，∴(2a −√3)2=5，∴(2a −√3)2−1=4．5.（2020-2021·安徽·期中试卷） 阅读下面的材料，并解决问题．√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1； √3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；⋯⋯(1)观察上式并填空：√4+√3=________；(2)观察上述规律并猜想：当n 是正整数时，√n+1+√n=________；（用含n 的式子表示，不用说明理由）(3)请利用(2)的结论计算： ①(√2+1√3+√2√4+√3+√5+√4)×(√5+1)=________； ②(√2+1√3+√2+⋯√2020+√2019√2021+√2020)×(√2021+1).【解答】解：√4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4−√3)=√4−√3=2−√3.故答案为：2−√3.(2)1√n+1+√n=√n+1−√n(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n +1−√n ．故答案为：√n +1−√n．(3)①原式=(√5−1)×(√5+1)=5−1=4. 故答案为：4．②原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2020−√2019+√2021−√2020)×(√2021+1) =(√2021−1)(√2021+1)=2021−1=2020．6.（2020-2021·福建·月考试卷） 阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时， 我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33；√23=√2×33×3=√63； √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=2(√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．(1)化简：√3=________；√25=________；√5+√3=________； (2)化简：√3+1+√5+√3√7+√5⋯+√2019+√2017；(3)已知x =√5−√3√5+√3，y =√5+√3√5−√3，求y x +xy的值．【解答】解：√3=√3√3×√3=2√33；√25=√2√5=√2×√5√5×√5=√105；√5+√3=√5−√3(√5+√3)(√5−√3)=√5−√32. 故答案为：2√33；√105；√5−√32. √3+1√5+√3√7+√5⋯√2019+√2017=√3−1(√3+1)(√3−1)√5−√3(√5+√3)(√5−√3)√7−√5(√7+√5)(√7−√5)⋯+√2019−√2017(√2019+√2017)(√2019−√2017) =√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2019−√20172=√2019−12. (3)∵x =√5−√3√5+√3，y =√5+√3√5−√3，∴x 2=(√5−√3)2(√5+√3)2=√158+2√15，y 2=(√5+√3)2(√5−√3)2=√158−2√15，xy =√5−√3√5+√3√5+√3√5−√3=1，∴yx +xy =y 2+x 2xy=8+2√158−2√15+8−2√158+2√151=√158−2√15√158+2√15=√15)2√15)2(8−2√15)(8+2√15)=64+32√15+60+64−32√15+6064−60=62.7.（2020-2021·河北·月考试卷） 阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为√a×√a=a，(√2+1)(√2−1)=1，所以√a与√a，√2+1与√2−1互为有理化因式.(1)2√3−1的有理化因式是________；(2)这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：√3=√3√3×√3=2√33，√5+√3√5−√3=√5+√3)2(√5−√3)(√5+√3)=5+2√15+35−3=8+2√152=4+√15.用上述方法对√32+3进行分母有理化.(3)利用所需知识判断．若a=2+√5，b=2−√5则a，b的关系是________；(4)直接写结果：(√2+1√3+√2√2020+√2019)(√2020+1)=________.【解答】解：(1)(2√3−1)(2√3+1)=12−1=11，故2√3−1的有理化因式为2√3+1.故答案为：2√3+1.√3 2+√3=√3)2(2+√3)(2−√3)=4−4√3+34−3=7−4√3.(3)a=√5(2+√5)(2−√5)=√5−2=−b.故答案为：a和b互为相反数.(4)原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2020−√2019)×(√2020+1)=(√2020−1)×(√2020+1)=2020−1=2019.故答案为：2019.8.（2020-2021·河北·期中试卷）写作业时，小明被一道题难住了：“若a=3+√10，求a2+6a−27的值．”老师给予了必要的方法提示；不宜直接代入计算，需要先化简已知式，如a=2+√3.∵a=2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∵ a−2=−√3.……请你根据老师的提示，解决如下问题：(1)计算：3+√6=__________；(2)若a=3+√10，求a2+6a−27的值．【解答】解：3+√6=√6(3+√6)(3−√6)=3−√63.故答案为：3−√63.(2)∵ a=3+√10=√10(3+√10)(3−√10)=√10−3，∵ a+3=√10,∵ a2+6a−27=(a+3)2−36=(√10)2−36=−26.9.（2020-2021·河南·月考试卷）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：(√2+1)(√2−1)=1，(√3+√2)(√3−√2)=1，(√4+√3)(√4−√3)=1，(√5+√4)(√5−√4)=1......(1)观察上面的规律，计算下面的式子：√2+1+√3+√2√4+√3⋯+√2020+√2019；(2)利用上面的规律，试比较√11−√10与√12−√11的大小．【答案】解：(1)原式=(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2020−√2019)=√2020−1. (2)√11−√10=11+10，√12−√11=12+11.∵ √11+√10<√12+√11．∵√11+√10>√12+√11，即√11−√10>√12−√11．三、课后练习1.（2020-2021·湖南·月考试卷） 若x =2+√3，y =2−√3，则x 与y 关系是( )A.x >yB.x =yC.x <yD.xy =1【答案】B【解答】解：∵ y =2−√3=√3(2−√3)(2+√3)=2+√3，而x =2+√3，∵ x =y ．故选B ．2.（2020-2021·山西·月考试卷） 已知：a =2−√3，b =2+√3，则a 与b 的关系是( )A.a −b =0B.a +b =0C.ab =1D.a 2=b 2【答案】C【解答】解：∵ a =2−√3=√3(2−√3)(2+√3)=2+√3，b =2+√3=√3(2−√3)(2+√3)=2−√3，∵ a +b =4，a −b =2√3，ab =(2+√3)(2−√3)=22−(√3)2=1， a 2=7+4√3，b 2=7−4√3，a 2≠b 2.故选C .3.（2020-2021·上海·月考试卷） 已知a =√3+√2，b =√3−√2，则a 2−b 2的值是________． 【答案】−4√6 【解答】解：∵ a =√3+√2=√3−√2，b =√3−√2=√3+√2，∵ a 2−b 2=(a +b )(a −b )=2√3×(−2√2)=−4√6.故答案为：−4√6.4.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读下列解题过程：√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1； √3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2； √4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4−√3)=2−√3；…解答下列各题：√10+√9=________；(2)观察上面的解题过程，请直接写出式子√n+√n−1=________；(3)利用这一规律计算：(√2+1√3+√2√4+√3⋯√2022+√2021)×(√2022+1).【解答】解：√10+√9=√10−√9(√10+√9)(√10−√9)=√10−3.故答案为：√10−3.√n+√n−1=√n−√n−1(√n+√n−1)(√n−√n−1)=√n−√n−1.故答案为：√n−√n−1.(3)原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2022−√2021)(√2022+1)=(√2022−1)(√2022+1)=2022−1= 2021．5.（2020-2021·安徽·月考试卷）把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①√5=√5√5×√5=2√55；②√2−1=√2+1)(√2−1)(√2+1)=√2+1(√2)2−12=√2+1．根据上述材料，回答下列问题．(1)化简√3−1，(2)计算2+13+24+3⋯20+19．【答案】解：(1)原式=√3+1)(√3−1)(√3+1)=(√3+1)．(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋅⋅⋅+√20−√19=√20−1=2√5−1．6.（2020-2021·广东·月考试卷）观察下列一组等式，解答后面的问题：(√2+1)(√2−1)=1，(√3+√2)(√3−√2)=1，(√4+√3)(√4−√3)=1，(√5+√4)(√5−√4)=1，⋯(1)根据上面的规律，计算下列式子的值：(√2+1√3+√2√4+√3√2016+√2015)(√2016+1)；(2)利用上面的规律，比较√12−√11与√13−√12的大小．【答案】解：(1)原式=(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2016−√2015)(√2016+1)=(√2016+ 1)(√2016−1)=2016−1=2015.(2)√12−√11=√12−√11)(√12+√11)√12+√11=√12+√11=√12+√11，√13−√12=√13−√12)(√13+√12)√13+√12=√13+√12=√13+√12，又√12+√11<√13+√12．∵ √12−√11>√13−√12．7.（2020-2021·广东·月考试卷） 小明在解决问题：已知a =2+√3，求2a 2−8a +1的值，他是这样分析与解答的：因为 a =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，所以a −2=−√3，所以(a −2)2=3，即a 2−4a +4=3，所以a 2−4a =−1， 所以2a 2−8a +1=2(a 2−4a )+1=2×(−1)+1=−1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： √7+√6=________；(2) √2+1√3+√2√4+√3+⋯√100+√99；(3)若a =√2−1，求4a 2−8a +1的值．【解答】解：√7+√6=√7+√6(√7+√6)(√7−√6)=√7+√6.故答案为：√7+√6.(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99=√100−1=9. (3)因为a =√2−1=√2+1(√2−1)(√2+1)=√2+1，所以a −1=√2，所以(a −1)2=2，即a 2−2a +1=2，所以a 2−2a =1， 所以4a 2−8a +1=4(a 2−2a)+1=4×1+1=5. 8.（2020-2021·上海·月考试卷） 已知：x =3−2√2，求x 2−6x+2x−3的值．【答案】解：∵ x =3−2√2=√2(3−2√2)(3+2√2)=3+2√2，∵ 原式=(x−3)2+2−9x−3=√2−3)23+2√2−3=2√2=√22√2×√2=√24．9.（2020-2021·广东·月考试卷） 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33（一）， √23=√2×33×3=√63（二）， √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1（三），以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1（四）.(1)直接写出化简结果①√2+1=________，②√5=________；(2)请选择适当的方法化简√5+√3；(3)化简：√3+1√5+√3√7+√5⋯+√2n+1+√2n−1．【解答】解：(1)①√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；②√5=√5√5×√5=√55.故答案为：√2−1；√55.(2)原式=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)5−3=√5−√3.(3)原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2n+1−√2n−12=√2n+1−12．。

a引入通过例题引导学生了解二次根式的概念二次根式是数学中的一个重要概念，它在数学的许多领域中都有广泛的应用。

本文将通过一个例题的引导来帮助学生全面了解二次根式。

例题：计算√（25-3）/2+2²的值。

解析：在这个例题中，我们需要先计算括号中的值，然后再进行开方和平方运算。

首先，计算括号中的值：25-3=22。

接下来，进行开方运算：√22。

最后，进行平方运算：(√22)/2+2²。

通过这个例题，我们可以引导学生了解到以下几个关键点：二次根式的计算步骤、开方运算和平方运算的规则等。

二次根式的计算步骤：1. 先计算括号中的值；2. 对结果进行开方运算；3. 对开方结果进行进一步的运算，如加减乘除等。

在上述例题中，我们先计算了括号中的值，得到了22。

然后对22进行开方运算，结果为√22。

最后进行平方运算，得到最终的答案。

开方运算的规则：1. 开方是对一个数求其平方根；2. 开方的结果可以是有理数也可以是无理数；3. 开方的结果可以是正数、负数或零。

在二次根式中，我们需要计算非负数的平方根，因此开方的结果不会是负数，只会是正数或零。

平方运算的规则：1. 平方是对一个数乘以它自身的运算；2. 平方的结果一定是非负数；3. 正数的平方根是一个非负数；4. 对于非负数a和b，(a+b)²和a²+b²不相等；5. 对于非负数a和b，(a-b)²和a²-b²也不相等。

在上面的例题中，我们对开方结果√22进行了平方运算，并加上了2的平方。

这样，我们得到了一个最终的结果。

通过以上的例题引导，学生可以初步了解二次根式的概念和相关运算规则。

在实际应用中，二次根式的概念可以帮助我们解决一些与平方根和平方相关的问题，如求解方程、计算几何问题等。

对于深入研究数学的学生来说，掌握二次根式的概念和运算规则是非常重要的。

需要注意的是，二次根式的计算过程有时可能会涉及到复杂的运算，需要学生掌握一定的计算技巧和方法。

二次根式运算典型例题分析二次根式在中考中应用很广泛，现举几种运算供大家参考。

一、考查同级运算例1．计算：188．分析：先将每个式子化简，再进行加减运算．解：18832222-=．点评：本题是同级运算中的二次根式的加减运算一般先化简，再合并同类二次根式．例2．计算28′的结果是（）．A 、2 B 、4C 、8D 、16分析：先将8化简，再与2相乘，也可以直接把被开方数相乘．解：282224??或28164?=．点评：本题是同级运算中的二次根式的乘法运算，要注意运用法则进行计算．例3．下列计算错误．．的是( )(A)14772．(B)60523．(C)9258aaa ．(D)3223．分析：先将每个选项分别进行同级运算，再进行选择，也可以直接观察而得解．解：（A ）14727772?创=，故（A ）对；（B ）6060512235?==，故（B ）也对；（C ）925358a a a a a +=+=，故（C ）也对；因此应选D ．也可以直接观察判断32222，所以D 不对，从而选D ．点评：二次根式的同级运算要注意运用法则，一般的顺序是从左向右运算．2．考查混合运算例4．（１）化简122154＋的结果是（）．（A ）52（B ）63（C ）3（D ）53（2）计算112753483的结果是（）A ．6B ．43C ．236D ．12（3）计算：8＋(－1)3－2×22．分析：本题的几个小题都是二次根式的四则混合运算，但题目不难，只要按照规则运算即可．解：（1）122154＋=1541227123323532?=+=+=，故选（D ）；（2）的计算结果也选（D ）；（3）8＋(－1)3－2×22=221221--=-．点评：二次根式混合运算遵循先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的顺序进行，最后结果要化成最简二次根式，有时要注意一些方法技巧，可以简便计算．特别是第（3）小题计算时需要过程，考查了同学们的化简与计算能力，同时体现了数学能够帮助人们处理数据、进行计算，即义务教育的基础性．3．考查求值计算例5．先化简，再求值：22()()a a b a b ，其中2011a ，2010b ．分析：本题先将整式化简，再代入进行计算．解：22()()a a b a b =22222222a ab a ab b a b +---=-，当2011a，2010b 时，原式()()222220112010201120101a b =-=-=-=．例6．下课了，老师给大家布置了一道作业题：当13x 时，求代数式222(1)(1)112xx xxxx的值，雯雯一看，感慨道：“今天的作业要算得很久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程．分析：本题看起来是一道较复杂的化简求值题，要将13x 代入也较繁杂，其实化简的结果较简单且与x 的取值无关，无需代入就得结果．解：原式=22(1)(1)22(1)(1)x x x x x x +-?-+．点评：化简求值题是常考题型之一，它往往要求的是先化简所给的式子，再将数值代入求值；有时不但要化简、变形所给的代数式而且还要化简所给的条件，本类型题目方法灵活多变，技巧性较强，有时较难，希望同学们多加练习．4．考查探索猜想能力例7．观察下列各式：11111112,23,34, (3)34455请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来．分析：通过给定的几个式子注意观察、分析、猜想，最后再验证．解：11111112,23,34,....334455很容易观察得到：12nn ＝1 (1)2nn．点评：此类题目主要考察同学们的观察、归纳、猜想结论的能力，并能够利用规律解答问题，学会验证从特殊到一般的学习方法，培养同学们的分析问题、解决问题的能力以及探索习惯和创新精神．本题从最简单的二次根式的变形入手，层层递进，经过归纳、猜想出n次根式的变形结论．。

二次根式经典例题例1 x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？（1）1+x ；（2）22+x ；（3）2x -；（4）x 231-．（1）解：由二次根式的意义知：x ＋1≥0，∴x ≥－1， ∴当x ≥－1时， 式子1+x 在实数范围内有意义．（2）解：∵在实数范围内，不论x 取什么值，恒有x 2＋2≥0． ∴x 取任何实数时，式子22+x 在实数范围内都有意义．（3）解：∵在实数范围内，不论x 取什么值，恒有－x 2≤0， 又∵二次根式的被开方数大于等于零；∴－x 2≥0，∴x 2＝0，即x ＝0 ，∴当x ＝0时， 式子2x -在实数范围内有意义．（4）解：由题意知：320320≥≠x x ⎧⎨⎩－－． ∴3－2x ＞0，∴x ＜23， ∴当x ＜23时，x231-在实数范围内有意义． 例2 计算：（1）（12）2；（2）（32）2； （3）（b a +）2（a ＋b ≥0）．例3 计算：（1）（12+x ）2－（2x ）2；（2）（36）2；（3）（－221）2．解：（1）（12）2 ＝ 12；（2）（32）2 ＝32；（3）当a ＋b ≥0时，（b a +）2＝a ＋b ．3．解：（1）（12+x ）2－（2x ）2 ＝ x 2＋1－x 2＝1；（2）（36）2＝32×（6）2＝9×6＝54；（3）（－221）2＝（－2）2×（21）2＝4×21＝2．例4计算：（1）8×2； （2）21×8； （3）a 2·a 8（a ≥0）．解：（1）8×2＝2×8＝16＝4；（2）21×8＝821⨯＝4＝2； （3）当a ≥0时，a 2·a 8＝a a 82⋅＝216a ＝4a ．例5 化简：（1 （2）3a （a ≥0）；（3）324b a （a ≥0，b ≥0）．解：（143⨯＝3×4＝3×2＝32；（2）当a ≥0时，3a ＝a a ⋅2＝2a a a ；（3）当a ≥0，b ≥0时，324b a ＝b b a ⋅224＝()22ab ＝b ab 2．例6 计算：（1（2；（3）3a·ab（a≥0，b≥0）；（4）解：1（22＝（3）当a≥0，b≥0时，3a2；a·ab b（4）＝3×26×例7计算：（1）（－×（－；（2（1）（－×（－＝（－3)×（－2＝（2例8 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm，求AC．解：在△ABC 中，∠B ＝90°，AB 2＋BC 2＝AC 2，AC ，当AB ＝10 cm ，BC ＝20 cm 时，AC ＝．例9化简：（1 （2 ；（3 （4a ≥0，b ＞0）解：（154； （2＝774；（343 ；（4a ≥0，b ＞0）＝a b 32． 例10 化去根号内的分母：（1）32 ； （2）312 ； （3）xy 32（x ＞0，y ≥0）．解：（1）32（2）312＝3； （3）当x ＞0，y ≥0时，x y 32＝例11化简下列各式，使分母中不含根号．（1）32；（2（x ＞0）；（3x ＞0，y ≥0）．（1）32 3（2）当x ＞05x ； （3）当x ＞0，y ≥0时，． 例12 计算：（1）32＋43－22＋3；（2）12＋18－8－32；（3）40－5101＋10 例13 计算：（1）)32125(＋×15； （2）)52)(103(－＋．例14 计算：（1）)23)(23(－＋；（2）2)53(＋．2。

二次根式典型例题讲解【知识要点】10)a ≥的式子叫做二次根式。

注意：这里被开方数a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式，其中0a ≥式的前提条件。

2、二次根式的性质：（10(0)a ≥（2）2(0)a a =≥（3a =（4）)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=（50,0)a b =≥>3、二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。

即)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅。

4、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。

0,0)a b =≥>。

5、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号。

6、分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。

分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式2(0)a a =≥。

有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。

一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：①；③aa④7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

8、二次根式的加减法二次根式的加减，就是合并同类二次根式。

二次根式加减法运算的一般步骤：（1）将每一个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。

【典型例题】例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（123（456例2、x 是怎样的实数时，下列各式有意义。

（12（34例3、（12；（2（3）设,,a b c 为ABC ∆的三边，化简例4、化简：（12（30,0,0)x y z >>>（4）)56(1031-⋅例5、把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内。

（1）2）-（3）(x -（4）(1x -例6、计算： （1）)484(456-⋅-（2）)1021(32531-⋅⋅（3）648（4）545)321(÷- （5）12531110845-++【模拟试题】一、填空题：1、计算：0)15(-=________；13-=________；32=________；2)3(-=________。