上海各区2014届高三数学(理科)一模习题种类汇编函数

2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分)1．(4分)(2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．考点：二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．解答：解：y=1﹣2cos2(2x)=﹣[2cos2(2x)﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为:点评：本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题．2．（4分)（2014•上海）若复数z=1+2i,其中i是虚数单位，则(z+）•=6．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．解答：解:复数z=1+2i，其中i是虚数单位,则（z+)•==（1+2i)（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6点评:本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查．3．(4分)（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解:由题意椭圆+=1,故它的右焦点坐标是（2,0），又y2=2px(p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为:x=﹣2点评:本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．（4分）（2014•上海)设f（x)=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．考点: 分段函数的应用；真题集萃．专题: 分类讨论；函数的性质及应用．分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．解答：解:当a＞2时，f(2)=2≠4,不合题意;当a=2时，f(2)=22=4，符合题意;当a＜2时,f（2）=22=4,符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞,2]．点评：本题考察了分段函数的应用,渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．5．(4分)（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点: 基本不等式．专题: 不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1,∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．6．（4分）(2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos （结果用反三角函数值表示）．考点: 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值,进而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍,∴==3,即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示:则cosθ==,∴θ=arccos,故答案为：arccos点评:本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,是解答的关键．7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ)=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．解答：解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．点评：正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．8．(4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n）,则q=．考点：极限及其运算．专题：等差数列与等比数列．分析:由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．解答：解：∵无穷等比数列{a n｝的公比为q,a1=（a3+a4+…a n）=(﹣a1﹣a1q）=,∴q2+q﹣1=0,解得q=或q=（舍）．故答案为：．点评：本题考查等比数列的公比的求法,是中档题，解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用．9．（4分）（2014•上海）若f（x)=﹣,则满足f(x）＜0的x的取值范围是（0，1）．考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可．解答：解:f（x）=﹣,若满足f（x)＜0,即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0,1）．点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用,考查计算能力．10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,选择的3天恰好为连续3天的概率,须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1,2，3)，（2，3，4），（3，4,5）,（4，5，6)，（5,6，7），（6，7，8），（7，8,9），（8,9，10)，∴选择的3天恰好为连续3天的概率是,故答案为：．点评：本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．（4分）（2014•上海)已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2｝，则a+b=﹣1．考点: 集合的相等．专题: 集合．分析：根据集合相等的条件,得到元素关系，即可得到结论．解答：解:根据集合相等的条件可知,若｛a，b｝=｛a2，b2}，则①或②，由①得,∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合｛1，1}不满足条件．若b=a2,a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a,∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．12．(4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π］上恰有三个解x1,x2，x3,则x1+x2+x3=．考点: 正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．专题: 三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin(x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在［0，2π］上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点,进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．解答：解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在［0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点,令sin(x+)=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0,x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为:点评：本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．（4分）(2014•上海)某游戏的得分为1，2,3,4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．（1）【2014年上海，理1，4分】函数212cos (2)y x 的最小正周期是．【答案】2【解析】原式＝cos4x ，242T．（2）【2014年上海，理2，4分】若复数12i z ，其中i 是虚数单位，则1zzz．【答案】6【解析】原式＝211516z z z．（3）【2014年上海，理3，4分】若抛物线22ypx 的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．【答案】2x 【解析】椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x．（4）【2014年上海，理4，4分】设2(,)()[,)x x a f x xx a ，若(2)4f ，则a 的取值范围为．【答案】2a 【解析】根据题意，2[,)a ，∴2a ．（5）【2014年上海，理5，4分】若实数x ，y 满足1xy ，则222xy 的最小值为．【答案】22【解析】2222222xyx y．（6）【2014年上海，理6，4分】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为．（结果用反三角函数值表示）【答案】1arccos3【解析】设圆锥母线长为R ，底面圆半径为r ，∵3S S 侧底，∴23r R r ，即3Rr ，∴1cos3，即母线与底面夹角大小为1arccos 3．（7）【2014年上海，理7，4分】已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1，则C 与极轴的交点到极点的距离是．【答案】13【解析】曲线C 的直角坐标方程为341xy，与x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为13．（8）【2014年上海，理8，4分】设无穷等比数列n a 的公比为q ，若134lim n n a a a a L ，则q ．【答案】512【解析】223111510112a a qa qq qqq，∵01q，∴512q．P2P5P 6P7P 8P4P3P1B A（9）【2014年上海，理9，4分】若2132()f x x x，则满足()0f x 的x 的取值范围是．【答案】(0,1)【解析】2132()f x x x，结合幂函数图像，如下图，可得x 的取值范围是(0,1)．（10）【2014年上海，理10，4分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是．（结果用最简分数表示）【答案】115【解析】3108115PC．（11）【2014年上海，理11，4分】已知互异的复数,a b 满足0ab，集合22,,a ba b，则a b ．【答案】1【解析】第一种情况：22,a a b b ，∵0ab ，∴1a b ，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,ab ba ，∴431a a a ，∴210a a ，即1ab ．（12）【2014年上海，理12，4分】设常数a 使方程sin 3cos xxa 在闭区间[0,2]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ．【答案】73【解析】化简得2sin()3x a ，根据下图，当且仅当3a 时，恰有三个交点，即12370233x x x ．（13）【2014年上海，理13，4分】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩该游戏的得分．若()4.2E ，则小白得5分的概率至少为．【答案】0.2【解析】设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ，且123451p p p p p ，∴12345444444p p p p p ，与前式相减得：1235320.2p p p p ，∵0ip ，∴1235532p p p p p ，即50.2p ．（14）【2014年上海，理14，4分】已知曲线2:4C xy ，直线:6l x ．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ u u u r u uu r r，则m 的取值范围为．【答案】1615【解析】根据题意，A 是PQ 中点，即622PQP x x x m，∵20P x ，∴[2,3]m ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．（15）【2014年上海，理15，5分】设,a b R ，则“4a b ”是“2a 且2b ”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】B【解析】充分性不成立，如5a ，1b ；必要性成立，故选B ．（16）【2014年上海，理16，5分】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i L 是上底面上其余的八个点，则(1, 2,, 8)i AB AP i uu u r u u u rK 的不同值的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8【答案】AACBD【解析】根据向量数量积的几何意义，i ABAP u uu ru uu r 等于AB uu u r 乘以i AP u u u r 在AB u uu r 方向上的投影，而i AP uu u r 在AB uu u r方向上的投影是定值，AB u u u r 也是定值，∴i AB AP u uu ru u u r 为定值1，故选A ．（17）【2014年上海，理17，5分】已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1ykx （k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a xb y的解的情况是（）（A ）无论12,,k P P 如何，总是无解（B ）无论12,,k P P 如何，总有唯一解（C ）存在12,,k P P ，使之恰有两解（D ）存在12,,k P P ，使之有无穷多解【答案】B 【解析】由已知条件111b ka ，221b ka ，11122122a b D a b a b a b 122112(1)(1)0a ka a ka a a ，∴有唯一解，故选B ．（18）【2014年上海，理18，5分】设2(),0,()1,0.xa xf x xa xx若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（）（A ）[1,2]（B ）[1,0]（C ）[1,2]（D ）[0,2]【答案】D【解析】先分析0x 的情况，是一个对称轴为xa 的二次函数，当0a 时，min()()(0)f x f a f ，不符合题意，排除AB 选项；当0a 时，根据图像min ()(0)f x f ，即0a符合题意，排除C 选项，故选D ．三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（19）【2014年上海，理19，12分】底面边长为2的正三棱锥P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图．求123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V ．解：根据题意可得12,,P B P 共线，∵112ABP BAP CBP ，60ABC，∴11260ABP BAP CBP ，∴160P ，同理2360P P ，∴123PP P 是等边三角形，P ABC 是正四面体，所以123PP P 边长为4；∴3222123VAB．（20）【2014年上海，理20，14分】设常数0a，函数2()2x xa f x a ．（1）若4a，求函数()yf x 的反函数1()yfx ；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()yf x 的奇偶性，并说明理由．解：（1）∵4a，∴24()24x xf x y ，∴4421xyy ，∴244log 1y x y，∴1244()log 1xyfx x ，(,1)(1,)xU ．……６分（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x ，∴2222x x xxa a aa ，整理得(22)0xxa ，∴0a ，此时为偶函，若()f x 为奇函数，则()()f x f x ，∴2222x x xxaaa a，整理得210a，∵0a，∴1a，此时为奇函数，当(0,1)(1,)a时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数．……14分（21）【2014年上海，理21，14分】如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为和．（1）设计中CD 是铅垂方向．若要求2，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12，18.45，求CD 的长（结果精确到0.01米）．BA CP 3P 1P 2解：（1）设CD 的长为x 米，则tan,tan3580x x ，∵202，∴tantan 2，∴22tan tan1tan，∴2221608035640016400x x x xx，解得020228.28x ，∴CD 的长至多为28.28米．……６分（2）设,,DBa DAb DCm ，180123.43ADB，则sinsina AB ADB，解得115sin38.1285.06sin123.43a∴2280160cos18.4526.93maa ∴CD 的长为26.93米．……14分（22）【2014年上海，理22，16分】在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c 和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c ．若0，则称点12,P P 被直线l 分割．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线．（1）求证：点(1,2),(1,0)A B 被直线10x y 分割；（2）若直线ykx 是曲线2241x y 的分割线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线．解：（1）将(1,2),(1,0)A B 分别代入1x y ，得(121)(11)40，∴点(1,2),(1,0)A B 被直线10x y 分割．……3分（2）联立2241xy ykx，得22(14)1k x，依题意，方程无解∴2140k，∴12k或12k．……8分（3）设(,)M x y ，则22(2)1x y x，∴曲线E 的方程为222[(2)]1xy x①当斜率不存在时，直线0x ，显然与方程①联立无解，又12(1,2),(1,2)P P 为E 上两点，且代入0x ，有10，∴0x 是一条分割线；当斜率存在时，设直线为y kx ，代入方程得：2432(1)4410kxkxx，令2432()(1)441f x kxkx x，则(0)1f ，22(1)143(2)f kkk，22(1)143(2)f kkk，当2k 时，(1)0f ，∴(0)(1)0f f ，即()0f x 在(0,1)之间存在实根，∴ykx 与曲线E 有公共点当2k时，(0)(1)0f f ，即()0f x 在(1,0)之间存在实根，∴ykx 与曲线E 有公共点，∴直线ykx 与曲线E 始终有公共点，∴不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x 是E 的分割线．……16分（23）【2014年上海，理23，18分】已知数列n a 满足1133nnn a a a ，*n N ，11a ．（1）若2342,,9a a x a ，求x 的取值范围；（2）设n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a L ．若1133nnn S S S ，*n N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且121000ka a a L ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a L 的公差．解：（1）依题意，232133a a a ，∴263x ，又343133a a a ，∴327x ，综上可得36x ．……3分（2）由已知得1n na q ，又121133a a a ，∴133q ，当1q 时，n S n ，1133n nn S S S ，即133n nn ，成立；当13q时，11nnq S q ，1133nnn S S S ，即1111133111nn nq qqq q q ，∴111331n nqq ，此不等式即1132032n n n nq q qq，∵1q ，∴132(31)2220n nnnqqq q q ，对于不等式1320n nq q，令1n ，得2320qq ，解得12q ，又当12q 时，30q ，∴132(3)2(3)2(1)(2)0n nnq qq q q qq q 成立，∴12q ，当113q 时，11nnqS q，1133nnn S S S ，即1111133111nn nq qq q q q，即11320320n n n nq q qq ，310,30q q，∵132(31)2220n nnnq qq q q，132(3)2(3)2(1)(2)n nnqqq q q q q q∴113q 时，不等式恒成立，综上，q 的取值范围为123q．……10分（3）设公差为d ，显然，当1000,0kd 时，是一组符合题意的解，∴max 1000k ，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3kdk dkd ，∴(21)2(25)2k d kd，当1000k 时，不等式即22,2125d dk k，∴221dk，12(1) (10002)kk kd a a a k，∴1000k时，200022(1)21k dk kk ，解得10009990001000999000k ，∴1999k ，∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999kdk k ．……18分。

2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．=故答案为：2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 ．z+）•=3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2 ．）的焦点与椭圆+解：由题意椭圆+=1）的焦点与椭圆=1故=4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．y=∴y=+=2，=x=±6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．∴=3===arccos，7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．=故答案为：8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q= ．，由此能求出（=（﹣=故答案为：9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．﹣，若满足即＜∴∵y=是增函数，∴10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．天共有种情况，天的概率是故答案为：11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 ．则①或由①得，12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x2，x3，则x1+x2+x3=．x+a=cosx=2（sinx+x+a=），x+，即=2k++=+2=故答案为：13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2 ．14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P 和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]．通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明﹣使得+=∴m=二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）=，•=（，∵，∴•|∴•17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）∴k=，18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）≤x++a三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．==20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．∴∴∴∴，整理可得∴，整理可得=21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．==，∵0，∴tan，即由正弦定理得，∴m=22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．∴k≤﹣．•|x|=1，故曲线23．（16分）（2014•上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．）依题意：将已知代入求出）先求出通项：，由求出等式S∴；又）由已知得，，∴，，即，，即∴不等式当，，即∴此不等式即∴的取值范围为：．由得即时，﹣≤d≤2；时，由，1000=k的公差为﹣。

上海市2014届高考模拟数学(理)试卷考生注意：1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分） 1复数212iz i=-+的共轭复数的虚部为2.幂函数()x f 的图象过点()2,2，则()41-f的值_________3. 一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为4.若直线m my x m y mx 21=++=+与平行，则m =_____5. 己知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x +2，x ＞0，则不等式2)(x x f ≥的解集为6．已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于 7. 在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是8.已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P :当a A ∈时,必有6a A -∈.则具有性质P 的集合A 的个数是9. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11D ACB 的体积为10. 在ABC △中，3AB =，2AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅=11.设点A 为圆228x y +=上动点，点B （2，0），点O 为原点，那么OAB ∠的最大值为12. 己知A 、B 两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A 中有m 个红球与10-m 个白球，盒子B 中有10-m 个红球与m 个白球(0<m <10). 分别从A 、B 中各取一个球，ξ表示红球的个数，下图表示的是随机变量ξ100则当m 为 时， D (ξ)取到最小值13. 右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行 第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则______(3)mn a m =≥.14. 已知函数()f x 的图像在[a ，b ]上连续不断，定义：1()min{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，2()max{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，其中min{()/}f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最小值，max{()/}f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最大值，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数)(x f 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．已知函数2(),[1,4],f x x x =∈-为[-1，4]上的“k 阶收缩函数”，则k 的值为 二、选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题满分5分） 15. 对于直线m ,n 和平面α,β,使m ⊥α成立的一个充分条件是A ．m n ⊥,n ∥αB ．m ∥β,⊥βαC ．m n ⊥,n ⊥β,⊥βαD ． m ⊥β,n ⊥β,n ⊥α 16.若函数()xxf x ka a -=-(a >0且1a ≠)在(-∞，+∞)上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是A B C D17. 若在直线上存在不同的三个点C B A ，，，使得关于实数x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（点O 不在上），则此方程的解集为A.}1{- B ．∅ C ．D ．{}1,0-18.已知函数()y f x =的周期为2,当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-,如果()()g x f x =-5log 1x -，则函数()y g x =的所有零点之和为A ．2B ．4C ．6D ．8 三、解答题（本大题满分74分，共5小题） 19.(本题满分12分）第（1）小题8分，第（2）小题4分.如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，（1）在证明出PA ⊥平面ABCD 后，建立空间直角坐标系求二面角E AC D --的余弦值 （2）证明：在线段BC 上存在点F ， 使PF ∥平面EAC ，并求BF 的长.20.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分.在一个六角形体育馆的一角 MAN 内，用长为a 的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知120A =∠，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点．(1) 若BC =a =20, 求储存区域面积的最大值；(2) 若AB =AC =10,在折线MBCN 内选一点D ，使20=+DC BD ，求四边形储存区域DBAC 的最大面积.21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan 2)(παα++=x x f ，数列{n a }的首项)(,111n n a f a a ==+.（1）求函数)(x f 的表达式； （2）求数列｝｛n na 的前n 项和n S .22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分给定椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，的圆是椭圆C 的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为20)F ，其短轴上的一个端点到2F （1）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）若过点(0,)(0)P m m <的直线与椭圆C 只有一个公共点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为m 的值；（3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p r a a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由； （3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ．参考答案一、填空题（本题满分56分，共14小题，每小题满分4分） 152. 163. 84. -15. ]1,1[- 6．37. 3cos 2=ρθ 8.7 9. 31 10. 52-11. 45° 12. 1或9 13.14. 4三、选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题满分5分） 15. D 16. C 17. A 18. D三、解答题（本大题满分74分，共5小题）19.(本题满分12分）第（1）小题8分，第（2）小题4分. （1）证明：2PA AB ==，PB =∴222PA AB PB +=∴PA AB ⊥，同理PA AD ⊥又AB AD A =，∴PA ⊥平面ABCD .以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则24(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,,)33A B C D P E 平面ACD 的法向量为(0,0,2)AP =，设平面EAC 的法向量为(,,)n x y z =24(2,2,0),(0,,)33AC AE ==，由0n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取221x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴(2,2,1)n =-， 设二面角E AC D --的平面角为θ1cos 3||||n AP n AP θ⋅==⋅，∴二面角E AC D --的余弦值为13.（2）假设存在点F BC ∈，使PF ∥平面EAC ， 令(2,,0)F a ，(02)a ≤≤∴(2,,2)PF a =- 由PF ∥平面EAC ，∴0PF n ⋅=，解得1a =∴存在点(2,1,0)F 为BC 的中点，即1BF =20.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分. (1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>由222202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-，得222202022cos1204sin60xy≤=-.2222112020cos6020 sin1202sin60cos60224sin604sin604tan60S xy∴=≤⋅⋅===即y四边形DBAC x=时取到．(2) 由20=+DCDB，知点D在以B，C为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABCS，∴要使四边形DBAC面积最大，只需DBC∆的面积最大，此时点D到BC的距离最大, 即D必为椭圆短轴顶点．由BC=，得短半轴长5,BCDb S∆=面积的最大值为152⨯=因此，四边形ACDB面积的最大值为．21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：⑴1)12(1)12(2tan1tan22tan22=---=-=ααα又∵α为锐角∴42πα=∴1)42sin(=+πα12)(+=xxf（2）∵121+=+nnaa，∴)1(211+=++nnaa∵11=a∴数列{}1+n a是以2为首项，2为公比的等比数列。

上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014届高三模拟理科数学试卷（带解析）1．在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是（ ）. A.[0,2] B. [2,1)(1,0]--- C. [0,1)(1,2] D.[2,0]-【答案】D 【解析】试题分析：依题意()0x x a *->可得(1)0x x a -+>.由于解集为{|11}x x -≤≤，所以011a <+≤或110a -≤+<，即10a -<≤或21a -≤<-.当1a =-时，解集为空集，所以成立.故选D.考点：1.新定义问题.2.不等式的解法.3.集合间的关系.2．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的（ ）. A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：因为x x x f ωω22cos sin)(-=可化为()cos 2f x x ω=-.所以可得1=ω是函数()f x 最小正周期为π的充分条件.由于函数的最小正周期为π,则2,12T ππωω==∴=±.所以必要性不成立.故选B.考点：1.三角函数的恒等变形.2.充要条件的知识.3．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =（ ）.A.1:1B.2:1C.3:2D.4:1 【答案】C 【解析】试题分析：假设球的半径为r .则圆柱的底面半径为r .高为2r .所以圆柱的表面积为216S r π=.球的表面积为224S r π=.所以12:3:2S S =.故选C.考点：1.圆柱的表面积.2.球的表面积.3.方程的思想.4．函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）.O xyA.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.10,4⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】试题分析：因为对任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2. 由在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，即函数()f x mx m =+在[1,3]-上有四个不同的零点.即函数()y f x =与函数()h x mx m =+在[1,3]-有四个不同的交点.所以0(3)1h <≤.解得1(0,]4m ∈.故选D. 考点：1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.5．已知j i ,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .【解析】试题分析：由2i j +=.考点：向量的模的含义. 6．二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）【答案】2【解析】 试题分析：由ii i ++-1101可得(1)(1)2i i -+=.考点：1.行列式的运算.2.复数的运算.7．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________. 【答案】35 【解析】试题分析：717r rr T C x -+=.依题意可得73,4r r -=∴=.所以展开式中含3x 项的系数值为35.考点：1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.8．已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π) 【答案】12π 【解析】试题分析：由圆锥的母线长为5,侧面积为π15.则根据12s lr =.即可求出圆锥的底面周长6π.从而解出底面半径3r =.再求出圆锥的高4h =.根据体积公式213V r h π= 12π=.考点：1.圆锥曲线的侧面积.2.圆锥曲线的体积公式.3.图形的展开前后的变化. 9．已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B = .【答案】{1,0,1}- 【解析】试题分析：依题意可得集合{11}A y y =-≤≤，集合{,1,0,1,}B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅.所以A B ={1,0,1}-.考点：1.集合描述法表示.2.三角函数的值域.10．在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 . 【答案】30x y +-= 【解析】试题分析：假设1122(,),(,)A x y B x y .AB 的中点坐标为00(,)x y .所以可得22112222(1) 4(1) 4 x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩①②.由①-②可得001AB x k y =-.即1AB k =-.所以:30AB l x y +-=. 考点：1.点差法的应用.2.直线与圆的位置关系.3.直线方程的表示. 11．已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.【答案】【解析】试题分析：由1log log 22=+y x 可得2log ()1,2xy xy =∴=.又y x +≥=.当且仅当x y =时取等号. 考点：1.对数的知识.2.基本不等式.12．已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ． 【答案】14【解析】试题分析：首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈，设公比为q ,由各项和等于 4.即341q=-.解得14q =.考点：无穷等比数列的求和公式.13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .【答案】4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）【解析】试题分析：设点(,)P x y .由2OP OM =，可得4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩.即2C 的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）. 考点：1.参数方程的知识.2.向量相等.14．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .【答案】138【解析】 试题分析：由程序框图可知，x=1,y=1,z=2;当x=2,y=3,z=5;当x=3,y=5,z=8;当x=5,y=8,z=13;当x=8,y=13,z=21.由21>20.所以退出循环.即可得138y x =. 考点：1.程序框图.2.数的交换运算. 15．从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ． 【答案】98【解析】试题分析：由8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动共有3856C =种情况.所以3510(0)5656C P ξ===.215330(1)5656C C P ξ===.125315(2)5656C C P ξ===.03531(3)5656C C P ξ===.所以ξ的数学期望是30151639()23565656568E ξ=+⨯+⨯==. 考点：1.概率问题.2.数学期望.16．设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 . 【答案】3【解析】试题分析：由数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，所以11a =.当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-.所以42912525n n b n n -=-=--.当10i i bb +<（正整数i ）时，即292702523i i i i --⋅<--.所以3522i <<或7922i <<.所以i=2,4又因为1235150bb =-⨯=-<，所以i=1.所以数列{}n b 的变号数为3.考点：1.数列的求和公式.2.数列与不等式交汇.3.分类归纳的思想.4.递推的数学思想. 17．已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）【答案】32【解析】试题分析：依题意可得函数2222 [0,2)1(68) [2,4)3()1(1024) [4,6)9x x x x x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪-+-∈⎪=⎨⎪-+-∈⎪⎪⋅⋅⋅⎩.所以11a =，213a =，319a =，…，113n n a -=.所以数列}{n a 是一个首项为1，公比为13的等比数列.所以31(1)23n n S =-.所以=∞→n n S lim 32.考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.18．正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .ABCDEFS 1 αABCPNF S 2αMQ【答案】110【解析】试题分析：依题意可得4411=S ，所以21FD =，4402=S ,所以MQ =.所以21cos sin AF αα=，所以即21cos 21sin AC αα=+.AM CM α==，所以AC α=.即可得21c o s2110c o s s i n ααα+=+.即21(sin cos )cos αααα+=.令sin cos tαα+=.则22sin cos 1t αα=-.所以可得2210t -=.解得t =或t =（由于1sin 2011α=-<，所以舍去.），所以21sin 2110t α=-=. 考点：1.解三角形的知识.2.三角形相似的判定与性质.3.三角的运算.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =，F 是BC 的中点.ADCFPB（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）参考解析；（2）5【解析】试题分析：（1）需证明DA ⊥平面PAC ，转化为证明AD ⊥AC,AD ⊥PA.因为PA 垂直平面ABCD ，由题意可得AD ⊥AC,AD ⊥PA 显然成立，即可得结论.（2）如图建立空间直角坐标系，因为)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，所以求出平面PAF的法向量(1,2,0)m =u r，再根据两平面的法向量的夹角的余弦值，即可得到平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，试题解析： 1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A C B D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴考点：1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.20．某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？【答案】（1）10210x x θ+=+；（2）参考解析 【解析】试题分析：（1）由于花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度.所以AD 的弧长为10θ，BC 的弧长为x θ.所以可得102(10)30x x θθ++-=.即可得结论.（2）由花坛两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．即可得所需费用的关系式. 花坛的面积由大扇形面积减去小的扇形面积即可，再利用基本不等式即可求得结论.试题解析：(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．考点：1.扇形的面积.2.函数的最值.3.基本不等式的应用.21．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】试题分析：（1）由椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的右焦点F (1,0)，即1c =.又短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-，即可求出a ，b 的值.从而得到椭圆的方程.（2）由（1）可得假设直线AB 的方程联立椭圆方程消去y 即可得到一个关于x 的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k 的关系式.写出线段AB 的中点坐标以及线段AB 的垂直平分线的方程.即可得到点D 的坐标.即可求得线段PD 的长，根据弦长公式可得线段MN 的长度，再通过最的求法即可得结论.试题解析：（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-. 由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k -++.所以MN == 2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =.所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<. 所以DP MN 的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力. 22．设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1）解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++（3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2=x ；（2）参考解析；（3）2<k 【解析】试题分析：（1）由于函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，所以解方程0)1()(8)(=--h x g x h .通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.（2）由于3)()()(+=x g x g x p 即得到()x P x =.所以()(1)1p x p x +-=.所以两个一组的和为1，还剩中间一个21323)21()20141007(===p p .即可求得结论. （3）由bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，可求得1,3=-=b a .又由于0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立.该式的理解较困难，所以研究函数()f x 的单调性可得.函数()f x 在实数集上是递增.集合奇函数，由函数值大小即可得到变量的大小，再利用基本不等式，从而得到结论.试题解析：（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 考点：1.解方程的思想.2.函数的单调性.3.归纳推理的思想.4.基本不等式.23．设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．【答案】（1）142n n b -=；（2）参考解析；（3）存在5【解析】试题分析：（1）由于数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，所以通项公式为12 (*)n n a n N -=∈.由于数列{}n a 为递增数列，所以都符合1+<n n a a .即可得到数列{}n b 的通项公式.（2）由于各项都是正整数的无穷数列{}n a ，所以利用反正法的思想，反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈即可得到证明.（3）由{}n a 各项都是正整数，所以由1n n a a +>可得到11n n a a +≥+.所以可得到1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++≥++-+.从而可得到{}n a 是公差为1的等差数列.再根据求和公式以及解不等式的知识求出结论. 试题解析：（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈ ①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-= 即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得 14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立．注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．考点：1.数列的性质.2.反证法的知识.3.放缩法证明相等的数学思想.4.数列求和.5.数列与不等式的知识交汇.。

上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编函数2014.01.23（浦东新区2014届高三1月一模，理）6.已知函数11()24xx f x -=的反函数为1()f x -，则1(12)f -=___________.（ 6.2log 3（杨浦区2014届高三1月一模，理）6．若函数()23-=x x f 的反函数为()x f 1-，则()=-11f ．6. 1 ；（（嘉定区2014届高三1月一模，理）1．函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________．1．),2(∞+（徐汇区2014届高三1月一模，理）7. 若函数()f x 的图像经过(0,1)点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点.长宁区2014届高三1月一模，理）1、设()x f 是R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()=1f1、3-（浦东新区2014届高三1月一模，理）17.已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ） (A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 20132117. D（普陀区2014届高三1月一模，理）6. 函数)1(l o g )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.6. =-)(1x f)0(21≤+x x（不标明定义域不给分）；2（嘉定区2014届高三1月一模，理）13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________． 13．47（嘉定区2014届高三1月一模，理）3．已知函数)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(， 则)1(1-f的值是___________．3．2（杨浦区2014届高三1月一模，理）8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 8. 2；（浦东新区2014届高三1月一模，理）14. 已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f =14.6（长宁区2014届高三1月一模，理）3、已知函数5()2x f x x m-=+的图像关于直线y x =对称，则m =3、1-（普陀区2014届高三1月一模，理）14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 14.2<a ；（徐汇区2014届高三1月一模，理）14. 定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 . 14. 2（杨浦区2014届高三1月一模，理）18．定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x=+⊗，若函数()()g x f xk =-恰有两个零点，则k 的取值范围为 ………（ ）. )(A (]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．页 3第18.理B ；（嘉定区2014届高三1月一模，理）18．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函 数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间” B ．函数x e x f =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”C ．函数14)(2+=x xx f (0≥x ）存在“和谐区间” D ．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=81log )(x a a x f （0>a ，1≠a ）不存在“和谐区间”18．D（长宁区2014届高三1月一模，理）18、函数2xy =的定义域为[,]a b ，值域为[1,16]，a 变动时，方程()b g a =表示的图形可 以是 （ ）A ．B ．C ．D ． 18、B（普陀区2014届高三1月一模，理）23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.定义在()0,+∞上的函数()f x ，如果对任意()0,x ∈+∞，恒有()()f kx kf x =（2k ≥，*k N ∈）成立，则称()f x 为k 阶缩放函数.（1）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()121log f x x =+，求(f 的值；（2）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =求证：函数()y f x x=-在()1,+∞上无零点；4（3）已知函数()f x 为k 阶缩放函数，且当(]1,x k ∈时，()f x 的取值范围是[)0,1，求()f x 在(10,n k +⎤⎦（n N ∈）上的取值范围.23. （本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.解：（1）由]2,1(2∈得，212log 1)2(21=+=f ………………2分 由题中条件得1212)2(2)22(=⨯==f f ……………………4分 （2）当]2,2(1+∈i i x （i N ∈）时，(]1,22ix∈，依题意可得： ()222222222iix x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6分 方程0)(=-x x f⇔x =⇔0x =或2i x =，0与i 2均不属于]2,2(1+i i ……8分当(12,2i i x +⎤∈⎦（i N ∈）时，方程()0f x x -=无实数解。

上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编数列2014.01.26（长宁区2014届高三1月一模，理）5、数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a . 5、⎩⎨⎧≥=+.2,21,141n n n （嘉定区2014届高三1月一模，理）4．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________． 4．15（普陀区2014届高三1月一模，理）8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a .8.32； （长宁区2014届高三1月一模，理）11、已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a ,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______. 11、85（浦东新区2014届高三1月一模，理）3.已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.3. 32n -（普陀区2014届高三1月一模，理）22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.已知数列{}n a 中，13a =，132nn n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.解：（1）将已知条件132nn n a a ++=⋅变形为()1122n n n n a a ++-=--……1分由于123210a -=-=≠，则12211-=--++nn n n a a （常数）……3分 即数列{}2nn a -是以1为首项，公比为1-的等比数列……4分所以1)1(12--⋅=-n nn a 1)1(--=n ，即n n a 2=1)1(--+n （*N n ∈）。

2014年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若复数Z =3+i 1−i（i 为虚数单位），则其共轭复数在复数平面上对应的点位于________象限． 2. 已知函数f(x)=|1−113x |，则f −1(4)________． 3. 如果一个圆锥的高不变，要使它的体积扩大为原来的9倍，那么他的底面半径应该扩大为原来的________倍．4. 二项式(x +y)5的展开式中，含x 3y 2的项的系数是________．（用数字作答）5. 函数y ＝sin2x +2√3sin 2x 最小正周期T 为________．6. 已知双曲线k 2x 2−y 2=1(k >0)的一条渐近线的法向量是(1, 2)，那么k =________．7. （如图）已知△ABC 中，∠ABC =30∘，AB =2，AD 是BC 边上的高，则BD →⋅BA →=________．8. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)=x 2+2x ，那么不等式f(x +1)<3的解集是________．9. 在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n 为前n 个圆的面积之和，则limn →∞s n=________． 10. 掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为________． 11. 若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[0, π4]上单调递增，则ω=________．12. 设i →、j →分别表示平面直角坐标系x 、y 轴上的单位向量，且|a →−i →|+|a →−2j →|=√5，则|a →+2i →|的取值范围是________． 13. 已知f(x)={|log 3x|，0<x ≤3，13x 2−103x +8，x >3，a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则a ⋅ b ⋅c ⋅d 的取值范围是（ ）A (18,28)B (18,25)C (20,25)D (21,24)14. A k={x|x=kt+1kt , 1k2≤t≤1}，其中k=2，3，…，2014，则所有A k的交集为________．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1 // l3B l1⊥l2，l2 // l3⇒l1⊥l3C l1 // l2 // l3⇒l1，l2，l3共面 D l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面16. 测试上海样本中有42所一般普通高中和32所中等职业技术学校，为了某项问题的研究，用分层抽样的方法需要从这两类学校中在抽取一个容量为37的样本，则应该抽取一般普通高中学校数为（）A 37B 5C 16D 2117. 如果函数y＝f(x)图象上任意一点的坐标(x, y)都满足方程lg(x+y)＝lgx+lgy，那么正确的选项是（）A y＝f(x)是区间(0, +∞)上的减函数，且x+y≤4B y＝f(x)是区间(1, +∞)上的增函数，且x+y≥4C y＝f(x)是区间(1, +∞)上的减函数，且x+y≥4D y＝f(x)是区间(1, +∞)上的减函数，且x+y≤418. 若数列{a n}的前n项和为S n，有下列命题：(1)若数列{a n}的极限存在但不为零，则数列{S n}的极限一定不存在；(2)无穷数列{S2n}、{S2n−1}的极限均存在，则数列{S n}的极限一定存在；(3)若{a n}是等差数列（公差d≠0），则S1⋅S2•…•S k=O的充要条件是a1⋅a2•…•a k=O；(4)若{a n}是等比数列，则S1⋅S2•…•S k=O(k≥2)的充要条件是a n+a n+1=0．其中，错误命题的序号是（）A (1)(2)B (2)(3)C (3)(4)D (1)(4)三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. 记关于x的不等式x−ax+1<0的解集为P，不等式|x−1|≤1的解集为Q．(1)若a=3，求P；(2)若Q⊆P，求正数a的取值范围．20. 已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√3，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线l:y=2x+b(b∈R)与椭圆Γ相交于A、B两点，且∠AOB为钝角．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求b的取值范围．21. 设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）22. 已知非零数列{a n}的递推公式为a1=1，a n=a n⋅a n+1+2a n+1(n∈N∗)（1）求证：数列{1+1a n}是等比数列；（2）若关于n的不等式1n+log2(1+1a1)+1n+log2(1+1a2)+...+1n+log2(1+1a n)<m−52有解，求整数m的最小值．（3）在数列{1a n+1−(−1)n}(1≤n≤11)中，是否一定存在首项、第r项、第s项(1<r< s≤11)，使得这三项依次成等差数列？若存在，请指出r、s所满足的条件；若不存在，请说明理由．23. 已知f(x)=x+1|x|．（1）指出的f(x)值域；（2）求函数f(x)对任意x∈[−2, −1]，不等式f(mx)+mf(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．（3）若对任意正数a，在区间[1, a+2014a]内存在k+1个实数a1，a2，…，a k+1使得不等式f(a1)+f(a2)+...+f(a k)<f(a k+1)成立，求k的最大值．2014年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）答案1. 四2. 13. 34. 105. π6. 127. 38. (−4, 2)9. 4πr210. 5611. (0, 2]12. [6√55，3]13. D14. [2, 52]15. B16. D17. C18. B19. 解：(1)由x−3x+1<0，得P={x|−1<x<3}．(2)∵ Q={x||x−1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a>0，得P={x|−1<x<a}，又Q⊆P，再结合图形，∴ a>2，即a的取值范围是(2, +∞)．20. 解：（1）由已知{a2−b2=3a=2b，解得a=2，b=1，∴ 椭圆Γ的方程为x24+y2=1；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则直线l:y=2x+b(b∈R)代入椭圆Γ，可得17x2+16bx+4b2−4=0，∴ △=256b2−16×17(b2−1)>0，即b2<17，且x1+x2=−16b17，x1x2=4b2−417∴ y1y2=4x1x2+2b(x1+x2)+b2=b2−1617．∵ ∠AOB为钝角，∴ x1x2+y1y2=5b2−2017<0，∴ −2<b<2，∵ b=0时，∠AOB为平角，∴ b的取值范围为(−2, 0)∪(0, 2)．21. 解：如图设∠AMB=α，∠AMC=β，MC=x则tanβ=29x ，tan(α+β)=36x，tanα=tan[(α+β)−β]=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)tanβ=36x−29x⋅=7xx2+36×29=7x+36×29x≤712√29当且仅当x=36×29x，即x=6√29≈32.31时，tanα最大，因为α是锐角，所以此时α最大，即对球门的张角最大．22. （1）证明：∵ 非零数列{a n}的递推公式为a1=1，a n=a n⋅a n+1+2a n+1(n∈N∗)，∴ 1a n+1−2a n=1，∴ 1a n+1+1=2(1a n+1)，∴ {1+1a n}是首项为2，公比为2的等比数列．（2）解：∵ {1+1a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴ 1+1a n=2n，∵ 1n+log2(1+1a1)+1n+log2(1+1a2)+...+1n+log2(1+1a n)<m−52，∴ 1n+log2(1+1a1)+1n+log2(1+1a2)+...+1n+log2(1+1a n)=1n+1+1n+2+⋯+1n+n<m−52，令f(n)=1n+1+1n+2+⋯+1n+n，则f(n+1)−f(n)=12n+1+12n+2−1n+1=12n+1−12n+2>0，∴ f(n)是增函数，∴ f(n)min=f(1)=12，∴ 12<m−52．解得m>3，∴ 整数m的最小值为4．（3）∵ 1+1a n=2n，∴ a n=12n−1，∴ 1a n+1+(−1)n=2n+(−1)n=b n，要使b1，b r，b s成等差数列，只需b1+b s=2b r，即2s−2r+1=(−1)s−2(−1)r−3，∵ s≥r+1，∴ 2s−2r+1≥0，∵ (−1)s−2(−1)r−3≤0，∴ 当且仅当s=r+1，且s为不小于的偶数时，存在首项、第r项、第s项(1<r<s≤11)，使得这三项依次成等差数列．23. 解：（1）当x>0时，f(x)=x+1|x|=x+1x≥2；当x<0时，f(x)=x+1|x|=x−1x∈R．∴ 函数f(x)的值域为R；（2）由题意知，m≠0，当x∈[−2, −1]，函数f(x)=x−1x ，f′(x)=1+1x2>0，∴ f(x)=x−1x在[−2, −1]上为增函数，①当m>0时，由x∈[−2, −1]，得f(mx)+mf(x)=mx−1mx +mx−mx=2mx−m2+1mx<0恒成立，即2m2x2−m2−1>0恒成立，由于x∈[−2, −1]时，2x2−1>0，也就是m2>12x2−1恒成立，而12x2−1在[−2, −1]上的最大值为1，因此，m>1．②当m<0时，mx+1mx +mx−mx=2mx+1−m2mx<0，即2m2x2−m2+1<0．由于x∈[−2, −1]时，2x2−1>0，不等式左边恒正，该式不成立．综上所述，m>1；（3）取a=√2014，则在区间[1,2√2014]内存在k+1个符合要求的实数．注意到[1,2√2014]⊆[1, a+2014a]．故只需考虑在[1,2√2014]上存在符合要求的k+1个实数a1，a2，…，a k+1，函数f(x)=x+1x在[1,2√2014]上为增函数，∴ f(1)≤f(a i)(i=1, 2,…,k)，f(a k+1)≤f(2√2014)，将前k个不等式相加得，kf(1)≤f(a1)+f(a2)+⋯+f(a k)< f(a k+1)≤f(2√2014)，得k<√20144√2014<45，∴ k≤44．当k=44时，取a1=a2=...=a44=1，a45=2√2014，则题中不等式成立．故k的最大值为44．。

2014年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数Z＝（i为虚数单位），则其共轭复数在复数平面上对应的点位于象限．2．（4分）已知函数f（x）＝，则f﹣1（4）．3．（4分）如果一个圆锥的高不变，要使它的体积扩大为原来的9倍，那么他的底面半径应该扩大为原来的倍．4．（4分）二项式（x+y）5的展开式中，含x3y2的项的系数是．（用数字作答）5．（4分）函数y＝sin2x+2sin2x最小正周期T为．6．（4分）已知双曲线k2x2﹣y2＝1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k＝．7．（4分）（如图）已知△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝2，AD是BC边上的高，则•＝．8．（4分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+2x，那么不等式f（x+1）＜3的解集是．9．（4分）在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则s n＝．10．（4分）掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为．11．（4分）若函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，则ω＝．12．（4分）设、分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|﹣|+|﹣2|＝，则|+2|的取值范围是．13．（4分）已知函数f（x）＝若a，b，c，d互不相同，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是．14．（4分）A k＝{x|x＝kt+，≤t≤1}，其中k＝2，3，…，2014，则所有A k 的交集为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面16．（5分）测试上海样本中有42所一般普通高中和32所中等职业技术学校，为了某项问题的研究，用分层抽样的方法需要从这两类学校中在抽取一个容量为37的样本，则应该抽取一般普通高中学校数为（）A．37B．5C．16D．2117．（5分）如果函数y＝f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程lg（x+y）＝lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y＝f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y＝f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y＝f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y＝f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤418．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n，有下列命题：（1）若数列{a n}的极限存在但不为零，则数列{S n}的极限一定不存在；（2）无穷数列{S2n}、{S2n﹣1}的极限均存在，则数列{S n}的极限一定存在；（3）若{a n}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2•…•S k＝O的充要条件是a1•a2•…•a k＝O；（4）若{a n}是等比数列，则S1•S2•…•S k＝O（k≥2）的充要条件是a n+a n+1＝0．其中，错误命题的序号是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a＝3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．20．（14分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线l：y＝2x+b（b∈R）与椭圆Γ相交于A、B两点，且∠AOB为钝角．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求b的取值范围．21．（14分）设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）22．（16分）已知非零数列{a n}的递推公式为a1＝1，a n＝a n•a n+1+2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{1+}是等比数列；（2）若关于n的不等式++…+＜m﹣有解，求整数m的最小值．（3）在数列{+1﹣（﹣1）n}（1≤n≤11）中，是否一定存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列？若存在，请指出r、s 所满足的条件；若不存在，请说明理由．23．（18分）已知f（x）＝x+．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数f（x）对任意x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．（3）若对任意正数a，在区间[1，a+]内存在k+1个实数a1，a2，…，a k+1使得不等式f（a1）+f（a2）+…+f（a k）＜f（a k+1）成立，求k的最大值．2014年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数Z＝（i为虚数单位），则其共轭复数在复数平面上对应的点位于四象限．【解答】解：∵复数Z＝＝＝＝1+2i．则其共轭复数＝1﹣2i在复数平面上对应的点（1，﹣2）位于第四象限．故答案为：四．2．（4分）已知函数f（x）＝，则f﹣1（4）1．【解答】解：函数f（x）＝＝3x+1，令3x+1＝4，可得x＝1故答案为：1．3．（4分）如果一个圆锥的高不变，要使它的体积扩大为原来的9倍，那么他的底面半径应该扩大为原来的3倍．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则9×πr2h＝π（3r）2×h，∴底面半径应该扩大为原来的3倍．故答案为：3．4．（4分）二项式（x+y）5的展开式中，含x3y2的项的系数是10．（用数字作答）【解答】解：二项式（x+y）5的展开式的通项为T r+1＝C5r x5﹣r y r，令r＝2，可得含x3y2的项的系数是C52＝10故答案为：10．5．（4分）函数y＝sin2x+2sin2x最小正周期T为π．【解答】解：y＝sin2x+2×＝sin2x﹣cos2x+＝2（sin2x﹣cos2x）+＝2sin（2x﹣）+，∵ω＝2，∴T＝π．故答案为：π6．（4分）已知双曲线k2x2﹣y2＝1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k＝．【解答】解：由题意双曲线k2x2﹣y2＝1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），可得渐近线的斜率为﹣，由于双曲线的渐近线方程为y＝±kx故k＝，故答案为：7．（4分）（如图）已知△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝2，AD是BC边上的高，则•＝3．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝2，AD是BC边上的高，∴BD＝AB cos30°＝＝．∴•＝＝＝3．故答案为：3．8．（4分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+2x，那么不等式f（x+1）＜3的解集是（﹣4，2）．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝x2﹣2x，∴，∵函数f（x）为偶函数，∴f（|x|）＝f（x），∴f（x+1）＝f（|x+1|）＜3，∴f（|x+1|）＝（x+1）2﹣2|x+1|＜3，∴，解得﹣4＜x＜2，故答案为（﹣4，2）．9．（4分）在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则s n＝4πr2．【解答】解：依题意可知，图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°cos30°）cos30°，…，即内切圆半径组成以r为首项，为公比的等比数列∴圆的面积组成以πr2为首项，为公比的等比数列∴S n＝＝4πr2故答案为：4πr2．10．（4分）掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为．【解答】解：掷两颗骰子得两数a和b，所有的（a，b）共有6×6＝36个，其中不满足“两数之和大于4”的有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）共有6个，故满足“两数之和大于4”的共有30个，故事件“两数之和大于4”的概率为＝．故答案为：．11．（4分）若函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，则ω＝（0，2]．【解答】解：∵ω＞0，由，得，当k＝0时，函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）的一个增区间为，要使函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，则，解得ω≤2，又ω＞0，∴ω的取值范围是（0，2]．故答案为：（0，2]．12．（4分）设、分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|﹣|+|﹣2|＝，则|+2|的取值范围是．【解答】解：设＝＝（x，y）．B（1，0），C（0，2），D（2，0）．∵|BC|＝，|﹣|+|﹣2|＝，∴点A在线段BC上，∴，化为2x+y＝2（x∈[0，1]）．∴|+2|＝＝＝＝，令f（x）＝，∵x∈[0，1]，∴当x＝时，f（x）取得最小值，即|+2|取得最小值．又f（0）＝，f（1）＝3，．∴|+2|的最大值为3．∴|+2|的取值范围是．故答案为：．13．（4分）已知函数f（x）＝若a，b，c，d互不相同，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是（32，35）．【解答】解：先画出函数f（x）＝的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），4＜c＜5，7＜d＜8．∴﹣log2a＝log2b，c+d＝12，即ab＝1，c+d＝12，故abcd＝c（12﹣c）＝﹣c2+12c，由图象可知：4＜c＜5，由二次函数的知识可知：﹣42+12×4＜﹣c2+12c＜﹣52+12×5，即32＜﹣c2+12c＜35，∴abcd的范围为（32，35）．故答案为：（32，35）．14．（4分）A k＝{x|x＝kt+，≤t≤1}，其中k＝2，3，…，2014，则所有A k 的交集为[2，]．【解答】解：由于k＝2，3，…，2014，≤t≤1，则x＝kt+＝2，当k＝2时，x＝2t+，≤t≤1，由于x＝2t+在区间[，]上为减函数，在[，1]上递增函数，故此时x≤2×+＝2，当k＝3时，x＝3t+，≤t≤1，由于x＝3t+在区间[，]上为减函数，在[，1]上递增函数，故此时x≤3×+＝3，…当k＝2014时，x＝2014t+，≤t≤1，由于x＝2014t+在区间[，]上为减函数，在[，1]上递增函数，故此时x≤2014×+＝2014，又由A k＝{x|x＝kt+，≤t≤1}，其中k＝2，3， (2014)则所有A k的交集为[2，]．故答案为：[2，]．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选：B．16．（5分）测试上海样本中有42所一般普通高中和32所中等职业技术学校，为了某项问题的研究，用分层抽样的方法需要从这两类学校中在抽取一个容量为37的样本，则应该抽取一般普通高中学校数为（）A．37B．5C．16D．21【解答】解：∵样本中有42所一般普通高中和32所中等职业技术学校，∴抽取一个容量为37的样本，则应该抽取一般普通高中学校数为，故选：D．17．（5分）如果函数y＝f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程lg（x+y）＝lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y＝f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y＝f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y＝f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y＝f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4【解答】解：由lg（x+y）＝lgx+lgy，得，由x+y＝xy得：，解得：x+y≥4．再由x+y＝xy得：（x≠1）．设x1＞x2＞1，则＝．因为x1＞x2＞1，所以x2﹣x10，x2﹣1＞0．则，即f（x1）＜f（x2）．所以y＝f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，综上，y＝f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．故选：C．18．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n，有下列命题：（1）若数列{a n}的极限存在但不为零，则数列{S n}的极限一定不存在；（2）无穷数列{S2n}、{S2n﹣1}的极限均存在，则数列{S n}的极限一定存在；（3）若{a n}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2•…•S k＝O的充要条件是a1•a2•…•a k＝O；（4）若{a n}是等比数列，则S1•S2•…•S k＝O（k≥2）的充要条件是a n+a n+1＝0．其中，错误命题的序号是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）}的极限存在，则，∴【解答】解：（1）假设数列{S}的极限存在＝＝0，则与数列{a但不为零相矛盾，因此数列{S n}的极限一定不存在正确；（2）若无穷数列{S2n}、{S2n﹣1}的极限均存在，但是不相等，则数列{S n}的极限一定不存在，否则矛盾；（3）举反例：等差数列：6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6．a1a2a3a4＝0推不出S1S2S3S4＝0；同样对于等差数列：6，2，﹣2，﹣6．S1S2S3S4＝0，推不出a1a2a3a4＝0．因此对于：{a n}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2•…•S k＝O是a1•a2•…•a k＝O 既不充分也不必要条件；因此不正确．（4）∵{a n}是等比数列，a n+a n+1＝0⇔a n（1+q）＝0（q为公比）⇔q＝﹣1⇔＝0，当i为偶数时⇔S1•S2•…•S k＝O（k≥2）．正确．综上可知：只有（2）（3）是错误的．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a＝3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【解答】解：（I）由，得P＝{x|﹣1＜x＜3}．（II）Q＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．由a＞0，得P＝{x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．20．（14分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线l：y＝2x+b（b∈R）与椭圆Γ相交于A、B两点，且∠AOB为钝角．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求b的取值范围．【解答】解：（1）由已知，解得a＝2，b＝1，∴椭圆Γ的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l：y＝2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，可得17x2+16bx+4b2﹣4＝0，∴△＝256b2﹣16×17（b2﹣1）＞0，即b2＜17，且x1+x2＝﹣，x1x2＝∴y1y2＝4x1x2+2b（x1+x2）+b2＝．∵∠AOB为钝角，∴x1x2+y1y2＝＜0，∴﹣2＜b＜2，∵b＝0时，∠AOB为平角，∴b的取值范围为（﹣2，0）∪（0，2）．21．（14分）设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）【解答】解：如图设∠AMB＝α，∠AMC＝β，MC＝x则，＝当且仅当最大，因为α是锐角，所以此时α最大，即对球门的张角最大．22．（16分）已知非零数列{a n}的递推公式为a1＝1，a n＝a n•a n+1+2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{1+}是等比数列；（2）若关于n的不等式++…+＜m﹣有解，求整数m的最小值．（3）在数列{+1﹣（﹣1）n}（1≤n≤11）中，是否一定存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列？若存在，请指出r、s 所满足的条件；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵非零数列{a n}的递推公式为a1＝1，a n＝a n•a n+1+2a n+1（n∈N*），∴＝1，∴，∴{1+}是首项为2，公比为2的等比数列．（2）解：∵{1+}是首项为2，公比为2的等比数列，∴1+＝2n，∵++…+＜m﹣，∴++…+＝＜m﹣，令f（n）＝，则f（n+1）﹣f（n）＝＝＞0，∴f（n）是增函数，∴f（n）min＝f（1）＝，∴．解得m＞3，∴整数m的最小值为4．（3）∵1+＝2n，∴，∴＝2n+（﹣1）n＝b n，要使b1，b r，b s成等差数列，只需b1+b s＝2b r，即2s﹣2r+1＝（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3，∵s≥r+1，∴2s﹣2r+1≥0，∵（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，∴当且仅当s＝r+1，且s为不小于的偶数时，存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列．23．（18分）已知f（x）＝x+．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数f（x）对任意x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．（3）若对任意正数a，在区间[1，a+]内存在k+1个实数a1，a2，…，a k+1使得不等式f（a1）+f（a2）+…+f（a k）＜f（a k+1）成立，求k的最大值．【解答】解：（1）当x＞0时，f（x）＝x+＝≥2；当x＜0时，f（x）＝x+＝∈R．∴函数f（x）的值域为R；（2）由题意知，m≠0，当x∈[﹣2，﹣1]，函数f（x）＝x﹣，，∴f（x）＝x﹣在[﹣2，﹣1]上为增函数，①当m＞0时，由x∈[﹣2，﹣1]，得f（mx）+mf（x）＝恒成立，即2m2x2﹣m2﹣1＞0恒成立，由于x∈[﹣2，﹣1]时，2x2﹣1＞0，也就是恒成立，而在[﹣2，﹣1]上的最大值为1，因此，m＞1．②当m＜0时，，即2m2x2﹣m2+1＜0．由于x∈[﹣2，﹣1]时，2x2﹣1＞0，不等式左边恒正，该式不成立．综上所述，m＞1；（3）取a＝，则在区间内存在k+1个符合要求的实数．注意到⊆[1，a+]．故只需考虑在上存在符合要求的k+1个实数a1，a2，…，a k+1，函数f（x）＝在上为增函数，∴f（1）≤f（a i）（i＝1，2，…，k），，将前k个不等式相加得，，得，∴k≤44．当k＝44时，取a 1＝a2＝…＝a44＝1，，则题中不等式成立．故k的最大值为44．。

上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编函数 2014.01.23（浦东新区2014届高三1月一模，理）6.已知函数的反函数为，则11()24x x f x -=1()f x -___________.1(12)f -=（ 6. 2log 3（杨浦区2014届高三1月一模，理）6．若函数的反函数为，则 ．()23-=x x f ()x f 1-()=-11f 6. 1 ； （（嘉定区2014届高三1月一模，理）1．函数的定义域是_____________．)2(log 2-=x y 1． ),2(∞+（徐汇区2014届高三1月一模，理）7. 若函数()f x 的图像经过(0,1)点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点.长宁区2014届高三1月一模，理）1、设是上的奇函数，当时，，则 ()x f R 0≤x ()x x x f -=22()=1f 1、 3-（浦东新区2014届高三1月一模，理）17.已知函数则,1)(22+=x x x f （ ）()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L (A) 2010 (B) 2011 (C) 2012 (D) 2013 21212121 17. D （普陀区2014届高三1月一模，理）6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数 .=-)(1x f 6. （不标明定义域不给分）； =-)(1x f )0(21≤+x x（嘉定区2014届高三1月一模，理）13．已知函数是偶函数，直线⎪⎧≥++=,0,12)(2x x ax x f 与函数的图像自左t y =)(x f至右依次交于四个不同点、、、，若，则实数的值为________．A B C D ||||BC AB =t 13． 47（嘉定区2014届高三1月一模，理）3．已知函数存在反函数，若函数的)(x f y =)(1x f y -=)1(-=x f y 图像经过点，)1,3(则的值是___________．)1(1-f 3． 2（杨浦区2014届高三1月一模，理）8. 已知函数，若，则 ()lg f x x =()1f ab =22()()f a f b +=_________.8. 2；（浦东新区2014届高三1月一模，理）14. 已知函数，对任意都有**(),,y f x x y =∈∈N N *n ∈N ，且是增函数，则 [()]3f f n n =()f x (3)f =14.6（长宁区2014届高三1月一模，理）3、已知函数的图像关于直线对称，则5()2x f x x m -=+y x =m =3、 1-（普陀区2014届高三1月一模，理）14.已知函数，若方程有且仅有两⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x 0)(=+x x f 个解，则实数的取值范围是 .a 14.；2<a （徐汇区2014届高三1月一模，理）14. 定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b +≥--的x 构成的区间的长度之和为 .14. 2（杨浦区2014届高三1月一模，理）18．定义一种新运算：，已知函数,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，若函数24()(1log f x x x =+⊗ 恰有两个零点，则的取值范围为 ………（ ）.()()g x f x k =-k ． ． ． ． )(A (]1,2)(B (1,2))(C (0,2))(D (0,1)18.理B ；（嘉定区2014届高三1月一模，理）18．设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数)(x f D D b a ⊆],[满足：①)(x f )(x f 在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函],[b a )(x f ],[b a ]2,2[b a ],[b a 数的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（ ）)(x f A ．函数（）存在“和谐区间”2)(x x f =0≥x B ．函数（）不存在“和谐区间”x e x f =)(R ∈x C ．函数）存在“和谐区间”14)(2+=x x x f (0≥x D ．函数（，）不存在“和谐区间”⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(x a a x f 0>a 1≠a 18．D （长宁区2014届高三1月一模，理）18、函数的定义域为，值域为，变动时，方程表示的图形可2x y =[,]a b [1,16]a ()b g a =以是 （）A ．B ．C ．D ．18、B （普陀区2014届高三1月一模，理）23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.定义在上的函数，如果对任意，恒有（，）成()0,+∞()f x ()0,x ∈+∞()()f kx kf x =2k ≥*k N ∈立，则称为阶缩放函数.()f x k （1）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；()f x (]1,2x ∈()121log f x x=+(f （2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，()f x (]1,2x ∈()f x =在上无零点；()y f x x =-()1,+∞（3）已知函数为阶缩放函数，且当时，的取值范围是，求在()f x k (]1,x k ∈()f x [)0,1()f x （）上的取值范围.(10,n k +⎤⎦n N ∈23. （本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.解：（1）由得，………………2分]2,1(2∈212log 1)2(21=+=f 由题中条件得……………………4分1212)2(2)22(=⨯==f f （2）当（）时，，依题意可得：]2,2(1+∈i i x i N ∈(]1,22i x ∈分()222222222i i x x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 方程或，与均不属于……8分0)(=-x x f ⇔x =⇔0x =2i x =0i 2]2,2(1+i i 当（）时，方程无实数解。

1 上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编：概率和统计 Word 版含答案（长宁区2014届高三1月一模，理）8、不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共10只，从中任意摸出一只小球得到是黑球的概率为25．则从中任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为 ．8、1513 （长宁区2014届高三1月一模，理）10、已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则._______=ab 10、25.10（浦东新区2014届高三1月一模，理）5.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是___________.5. 30（徐汇区2014届高三1月一模，理）8. 某小组有10人，其中血型为A 型有3人，B 型4人，AB 型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示）（浦东新区2014届高三1月一模，理）11. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E ξ=_____（结果用最简分数表示）.11. （理）4712. 1＜a ＜4 （虹口区2014届高三1月一模，理）4、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ．8、1513 （徐汇区2014届高三1月一模，理）13. 一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”.。

上海市各区高三数学一模试题分类汇编立体几何（理）立体几何（普陀区2014 届高三 1 月一模，理）1.若会合 A { x | x 22x0} ，B{ x || x 1| 2} ，则AB. 1.( 3,0)；1（杨浦区2014 届高三 1 月一模，理） 4．若全集U R ，函数 y x 2的值域为会合 A ，则C U A.4., 0 ；（嘉定区2014 届高三 1 月一模，理）8．分别从会合A{1,2,3,4}和会合 B {5,6,7,8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是 _________．8．34（杨浦区2014 届高三 1 月一模，理） 7.若将边长为 1 cm 的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于cm3.7.；（嘉定区 2014 届高三 1 月一模，理）5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20cm2，则此圆锥的体积为 ________ cm3．5．16（长宁区 2014 届高三 1 月一模，理）6、一平面截一球获得直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4cm，则该球的体积是 .6、 500( cm) 33（浦东新区2014 届高三 1 月一模，理） 10. 已知圆锥的底面半径为3，体积是12，则圆锥侧面积等于 ___________.10.15（徐汇区2014 届高三 1 月一模，理） 12.如下图，已知点G 是△的重心，过G作直ABCAB C与 AB、 AC两分交于M、N两点，且AM xAB, AN y AC ，xy的. x y（普陀区2014 届高三 1 月一模，理） 10．如，正四棱柱ABCD A1B1C1 D1的底面AB 2 ，若直B1C与底面 ABCD第 10题所成的角的大小arctan2 ，正四棱柱ABCD A1B1C1 D1的面. 10．32；（普陀区2014 届高三 1 月一模，理）13. 正三角形ABC 的三个点都在半径 2 的球面上，球心 O 到平面ABC的距离1，点D是段 BC 的中点，D作球 O 的截面，截面面的最小 .13.9；4第 13题（浦区2014 届高三 1 月一模，理）15.若空三条直 a 、b 、c 足 a b ， b // c ，直 a 与 c ⋯⋯⋯（）.( A) 必定平行(B) 必定订交(C ) 必定是异面直(D ) 必定垂直15.D ；（宁区2014届高三 1 月一模，理）15、以下命中，的是．．()A.一条直与两个平行平面中的一个订交，必与另一个平面订交B.平行于同一平面的两个不一样平面平行C. 假如平面不垂直平面，那么平面内必定不存在直垂直于平面D. 若直l不平行平面，在平面内不存在与l 平行的直15、 D（浦区2014 届高三 1 月一模，理） 19．（本分12 分）本共有 2 个小，第 1 小分 6 分，第 2小分6分．已知正方体ABCD A1 B1 C1 D1的棱a.（1）求异面直A1 B 与 B1C 所成角的大小；（2）求四棱A1ABCD 的体.19.【解】（1）因B1C // A1D，直 A1 B 与 A1 D 所成的角就是异面直A1 B 与 B1C 所成角.⋯⋯2分又A1 BD 等三角形，异面直 A1B 与 B1C 所成角的大小60 .⋯⋯6分（2）四棱A1ABCD 的体 V1a 2a 1a3⋯⋯12分33.（宁区2014 届高三 1 月一模，理） 19. （本分12 分，此中（1）小分 6 分，（ 2）小分 6 分）如，正三棱柱— 1 1 1 的各棱都相等，M、 E 分是AB和 1 的中点，点在BC上且足 BF∶ FC=1∶3.(1)求： BB1∥平面 EFM；(2) 求四周体M BEF 的体。

2014届高中数学·一模汇编（专题：函数）2014届高中数学·一模汇编 函数一、填空题：1、函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________．2、已知函数)(x f y =存在反函数)(1x fy -=，若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(，则)1(1-f 的值是____3、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为______4、若函数1()1f x x =-(1)x ≠的反函数为1()f x -，则11()2f -= 5、对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①若)(x f 是奇函数，则函数(1)f x -的图像关于点(1,0)A 对称； ②若)(x f 是偶函数，则函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称； ③若2是()f x 的一个周期，则对任意的R x ∈，都有(1)()f x f x -=-； ④函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是 ．6、对于任意实数x ，x 表示不小于x 的最小整数，如1.22,0.20=-=．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合{}(),10A y y f x x ==-≤≤，则集合A 中所有元素的和为 7、函数f （x ）=4x（x ＞1）的反函数f ﹣1（x ）= 8、已知函数y=f （x ），任取t ∈R ，定义集合：．设M t ，m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h （t ）=M t ﹣m t ．则：（1）若函数f （x ）=x ，则h （1）= ； （2）若函数，则h （t ）的最大值为9、函数()()21log 2+-=x x x f 的定义域是10、已知幂函数()x f 存在反函数，且反函数()x f 1-过点（2，4），则()x f 的解析式是11、已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且在),0[∞+上单调递增，则满足)1()(f m f < 的实数m 的范围是 ．12、已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2141)(+-=，则此函数的值域为 13、已知函数x x f 10)(=，对于实数m 、n 、p 有)()()(n f m f n m f +=+)()()()(p f n f m f p n m f ++=++，则p 的最大值等于 14、函数f (x )=3x –2的反函数f–1(x )=_____15、已知11)(+-=x x x f ，45)2(=x f (其中)0>x ，则=x 16、已知函数11()24x x f x -=的反函数为1()f x -，则1(12)f -=________ 17、函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()f x -=18、函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是19、已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f =20、函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f21、已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是22、要使函数23y x ax =-+在区间[2,3]上存在反函数，则实数a 的取值范围是23、已知定义域为R 上的偶函数f(x )在(,0]-∞上是减函数，且1()22f =，则不等式(2)2xf >的解集为 24、在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是25、已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += ______26、函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为_________ 27、已知函数⎩⎨⎧≤>=.0,,0,log )(22x x x x x f 则不等式1)(>x f 的解集为_______． 28、设1,0≠>a a ，函数22sin 2)(-+=x a x f xπ(0>x )有四个零点，则a 的值为29、设()x f 是R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()=1f 30、已知函数5()2x f x x m-=+的图像关于直线y x =对称，则m =31、函数f(x)=-),(122R b a b b ax x ∈+-++对任意实数x 有)1()1(x f x f +=-成立，若当x ]1,1[-∈时0)(>x f 恒成立，则b 的取值范围是_________.32、设a 为非零实数，偶函数1||)(2+-+=m x a x x f (x ∈R )在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是 .二、选择题：1、函数2xy =的定义域为[,]a b ，值域为[1,16]，a 变动时，方程()b g a =表示的图形可以是 （ ）A ．B ．C ．D ．2、指数函数()()0,1xf x aa a =≠且>在R 上是减函数，则函数()()22g x a x =-在R 上的单调性为 （ ）A.单调递增B.单调递减C.在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增D.在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减ab O-4 4 ab O4-4 a b O 4-4 ab O-4 43、对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()12423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是 （ ） A. ），（313-1+ B.），（223-1 C. ），（2222- D.），（3-122- 4、设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间”B ．函数xe xf =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”C ．函数14)(2+=x xx f (0≥x ）存在“和谐区间” D ．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(x a a x f （0>a ，1≠a ）不存在“和谐区间”5、空间过一点作已知直线的平行线的条数（ ）A ．0条B ．1条C ．无数条D ．0或1条6、设f （x ）是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．f （x ）f （﹣x ）是奇函数 B ．f （x ）|f （﹣x ）|是奇函数 C ．f （x ）﹣f （﹣x ）是偶函数 D ．f （x ）+f （﹣x ）是偶函数7、已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ） (A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013218、在下列幂函数中，是偶函数且在),0(+∞上是增函数的是 ( ) A ．2-=x y ； B ．21-=xy ； C ．31x y =； D ．32x y =BCAO三、解答题：1、已知函数2)(++=xmx x f （m 为实常数）． （1）若函数)(x f y =图像上动点P 到定点)2,0(Q 的距离的最小值为2，求实数m 的值； （2）若函数)(x f y =在区间),2[∞+上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；（3）设0<m ，若不等式kx x f ≤)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解，求k 的取值范围．2、已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =. (1)求实数a 的值； (2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.3、已知函数xx a x x f -+-=1log 1)(2为奇函数. （1）求常数a 的值；（2）判断函数的单调性，并说明理由；（3）函数)(x g 的图象由函数)(x f 的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出)(x g 的一个对称中心，若1)(=b g ，求)4(b g -的值。

上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编圆锥曲线2014.01.26（杨浦区2014届高三1月一模，理）5．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.5. 3 ；（嘉定区2014届高三1月一模，理）7．已知双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）满足021=b a ，且双曲线的右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．7．1222=-y x （普陀区2014届高三1月一模，理）7. 已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .7. 8；（徐汇区2014届高三1月一模，理）9. 双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = .（虹口区2014届高三1月一模，理）5、双曲线19422=-y x 的焦点到渐近线的距离等于 ． 5. 12（普陀区2014届高三1月一模，理）19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C x y 22=上.（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标； （2）求||PQ 的最小值.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 【解】设),(y x Q （0,0>>y x ）,x y 22= （1）由已知条件得2)2(||22=+-=y x PQ …………………………2分将x y 22=代入上式，并变形得，022=-x x ，解得0=x （舍去）或2=x ……………4分当2=x 时，2±=y只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分 （2）||PQ 22)2(y x +-=其中x y 22=…………………………7分422)2(||222+-=+-=x x x x PQ 3)1(2+-=x （0≥x ）…………10分当1=x 时，3||m in =PQ ……………………………………12分（不指出0≥x ，扣1分）（杨浦区2014届高三1月一模，理）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？21. 【解】理科 （1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分 所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分 同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分 αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8……14分(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且m ≠①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.22. 【解】 理科解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y=121+-x m,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……4分据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m ---+-++===---++23,4m m +-∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭,令x=0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以 482+-=+k kx x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……14分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ252k k=⇒=⇒=±时等号成立,此时直线1:12l y x=±-……16分（浦东新区2014届高三1月一模，理）21、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，设1)2A是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P.设(,)P x y，其纵坐标满足()sin()()22y f t tππωϕϕ==+-<<.（1）求点B的坐标，并求()f t；（2）若06t≤≤，求AP AB⋅的取值范围.21、解: (1)当2t=时，22123AOBππ∠=⨯=，所以2XOBπ∠=所以，点B的坐标是（0，1）……………………………………………………2分又t秒时，66XOP tππ∠=+………………………………………………………4分sin,(0)66y t tππ⎛⎫∴=+≥⎪⎝⎭. (6)分（2）由12A⎫⎪⎪⎝⎭，(0,1)B，得12AB⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，又cos,sin6666P t tππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1cos662662AP t tππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…………………………8分311sin42664266AP AB t tππππ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x1sin 2663t πππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1sin 266t ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭………………………………10分 06t ≤≤，5,6666t ππππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,1662t ππ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ …………12分 所以，AP AB ⋅ 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………………………14分（嘉定区2014届高三1月一模，理）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量)1,2(=d的直线l 交椭圆C于A 、B 两点，求证：22||||PB PA +为定值．21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1） 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4，故可设椭圆C 的方程为14222=+b y x （0>>b a ）， ……………………………（1分） 因为点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1在椭圆C 上，所以143412=+b ， …………………………（2分） 解得12=b ， …………（1分）所以，椭圆C 的方程为1422=+y x ． …………………………………（2分） （2）设)0,(m P （22≤≤-m ），由已知，直线l 的方程是2mx y -=， ……（1分）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,14,)(2122y x m x y ⇒ 042222=-+-m mx x （*） ………………………（2分） 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，所以有，,22m x x =+24221-=m x x ， ……………………………………（1分）所以，2222212122)()(||||y m x y m x PB PA +-++-=+])()[(45)(41)()(41)(222122222121m x m x m x m x m x m x -+-=-+-+-+-=]22)(2)[(45]2)(2[45221212212212221m x x x x m x x m x x m x x +-+-+=++-+= 5]2)4(2[452222=+---=m m m m （定值）． ………………………………（3分） 所以，22||||PB PA +为定值． ……………………………………………………（1分）（写到倒数第2行，最后1分可不扣）（徐汇区2014届高三1月一模，理）22. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离mindb =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.。

2014年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）计算：＝．2．（4分）函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是．3．（4分）计算：2（＝．4．（4分）已知，，则x＝．（结果用反三角函数表示）5．（4分）直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝．6．（4分）如果（n∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）共有项．7．（4分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点．8．（4分）某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为．（结论用数值表示）9．（4分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝．10．（4分）在平面直角坐标系中，动点P和点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为．11．（4分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为．12．（4分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为．13．（4分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有个五位数符合“正弦规律”．14．（4分）定义区间（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d ＞c．若a，b是实数，且a＞b，则满足不等式≥1的x构成的区间的长度之和为．二、选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的倾斜角是（）A．B．C．D．16．（5分）为了得到函数y＝2sin（），x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）17．（5分）函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b＝0B．a+b＝0C．a＝b＝0D．a＝b 18．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{}；②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}；③M＝{（x，y）|y＝log2x}；④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④三.解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程的两个根，且A+B＝120°，求△ABC的面积及AB的长．20．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．21．（14分）某种海洋生物身体的长度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）＝．（设该生物出生时t＝0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，求t0（t0∈N*）的值．22．（16分）给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．（1）若椭圆C上一动点M1满足||+||＝4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；（3）已知m+n＝﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．23．（18分）称满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）若等比数列{a n}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q及{a n}的通项公式；（2）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”{a n}的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n）：（i）求证：|S k|；（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S m＝，试问数列{S k}能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．2014年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）计算：＝．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．2．（4分）函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是．【解答】解：函数y＝sin2x cos2x＝，∴函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是＝．故答案为：．3．（4分）计算：2（＝．【解答】解：2＝+＝．故答案为：．4．（4分）已知，，则x＝．（结果用反三角函数表示）【解答】解：∵x∈（，π），∴﹣x∈（﹣π，﹣），∴π﹣x∈（0，），∵sin x＝sin（π﹣x）＝，∴π﹣x＝arcsin，∴x＝π﹣arcsin．故答案为：π﹣arcsin．5．（4分）直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝﹣2．【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，∴直线l1的方向向量为＝（1，﹣（a+3）），直线l2的方向向量为＝（1，），∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即•＝1×1+（﹣a﹣3）×＝0，解得a＝﹣2，∴实数a＝﹣2．故答案为：﹣2．6．（4分）如果（n∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）共有2k项．【解答】解：∵（n∈N*），∴，，∴f（k+1）﹣f（k）＝＝，∴共有2k项．故答案为：2k．7．（4分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．【解答】解：∵函数f（x）的图象经过（0，1）点，∴f（0）＝1．∴f（﹣3+3）＝1，即函数f（x+3）的图象经过点（﹣3，1）．∴函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．故答案为：（1，﹣3）．8．（4分）某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为．（结论用数值表示）【解答】解：所有的选法共有＝45种，而选出的2人是同一血型的方法有++＝12种，故选出的2人是同一血型的概率为＝，故答案为：．9．（4分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝．【解答】解：双曲线mx2+y2＝1的标准方程为y2﹣＝1，虚轴的长是2，实轴长2．由题意知，2＝4，∴m＝﹣，故答案为﹣．10．（4分）在平面直角坐标系中，动点P和点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为y2＝﹣8x．【解答】解：∵点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，∴4+（4，0）•（x﹣2，y）＝0，化简可得y2＝﹣8x．故答案为：y2＝﹣8x．11．（4分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为4．【解答】解：由题意可得：x+y＝20，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，设x＝10+t，y＝10﹣t，则2t2＝8，解得t＝±2，∴|x﹣y|＝2|t|＝4，故答案为：4．12．（4分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为．【解答】解：根据题意G为三角形的重心，∴，＝，＝，由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得＝λ，即，∴，消去λ得x+y﹣3xy＝0，∴x+y＝3xy，即＝．13．（4分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有2892个五位数符合“正弦规律”．【解答】解：条件就是b是最大的，d是最小的，a，c，e介于最小最大之间．取b＝9，d＝7时，a，c，e只能是8；d＝6时，a，c，e可取7，8，共23种；d ＝5时，a，c，e可取6，7，8，共33种；…，d＝0时，a，c，e可取1，2，…，8，共83种；故此种情况是1+23+…+83种．类似b＝8时，是1+23+…+73种，b＝7时，是1+23+…+63种，b＝6时，是1+23+…+53种，b＝5时，是1+23+…+43种，b＝4时，是1+23+33种，b＝3时，是1+23种，b＝2时，是1种最后得所有的情况是（1+23+…+83）+（1+23+…+73）+…+1＝2892．故答案为：2892．14．（4分）定义区间（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d ＞c．若a，b是实数，且a＞b，则满足不等式≥1的x构成的区间的长度之和为2．【解答】解：∵≥1，实数a＞b，∴≥1，即，设x2﹣（2+a+b）x+ab+a+b＝0的根为x1和x2，则由求根公式可得，x1＝，x2＝，把不等式的根排在数轴上，穿根得不等式的解集为（b，x1）∪（a，x2），故解集构成的区间的长度之和为（x1﹣b）+（x2﹣a）＝（x1+x2 ）﹣a﹣b＝（a+b+2）﹣a﹣b＝2，故答案为：2．二、选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的斜截式方程为，斜率k＝，∴tan，则对应的倾斜角为＝，故选：B．16．（5分）为了得到函数y＝2sin（），x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）【解答】解：把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin（x+）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得函数y＝2sin （），x∈R的图象，故选：B．17．（5分）函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b＝0B．a+b＝0C．a＝b＝0D．a＝b【解答】解：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即﹣x|x﹣a|+b＝﹣x|x+a|﹣b恒成立，亦即x（|x﹣a|﹣|x+a|）＝2b恒成立，要使上式恒成立，只需|x﹣a|﹣|x+a|＝2b＝0，即a＝b＝0，故函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a＝b＝0，故选：C．18．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{}；②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}；③M＝{（x，y）|y＝log2x}；④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【解答】解：对于①y＝是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M＝{（x，y）|y＝log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选：D．三.解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程的两个根，且A+B＝120°，求△ABC的面积及AB的长．【解答】解：∵A+B＝120°，∴C＝60°．∵a、b是方程的两个根，∴a+b＝，ab＝2，＝＝，∴S△ABCAB＝c＝＝＝＝．20．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）＝x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）＝1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）＝（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣1）＝﹣+≤，∴当x＝时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．21．（14分）某种海洋生物身体的长度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）＝．（设该生物出生时t＝0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，求t0（t0∈N*）的值．【解答】解：（1）由题意，f（t）≥8，即≥8，化简可得，，即2﹣t+4≤2﹣2，解得t≥6，故该生物6年后身长可达到或超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，则有f（t0）﹣f（t0﹣1）＝﹣＝（t0≥1），令u＝，则u∈（0，8]，令g（u）＝＝＝，当且仅当2u＝，即u＝，＝，t0＝4.5时取“＝”，又∵t0∈N*，∴t0的值可能为4或5，∵f（4）﹣f（3）＝f（5）﹣f（4）＝，∴所求的年份为第4年和第5年，两年内各生长了米．22．（16分）给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．（1）若椭圆C上一动点M1满足||+||＝4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；（3）已知m+n＝﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，，∴＝，所以椭圆C的方程为．其“伴随圆”的方程为x2+y2＝6；（2）设直线l的方程为y＝kx+t，代入椭圆方程为（2k2+1）x2+4tkx+2t2﹣4＝0∴由△＝（4tk）2﹣8（2k2+1）（t2﹣2）＝0得t2＝4k2+2①，由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，可得，即t2＝3（k2+1）②由①②可得t2＝6．∵t＜0，∴t＝﹣，∴P（0，﹣）；（3）过两点（m，m2），（n，n2）的直线的方程为，∴y＝（m+n）x ﹣mn，∵m+n＝﹣（0，π）），∴，得x cosθ+y sinθ﹣3＝0，∴由于圆心（0，0）到直线x cosθ+y sinθ﹣3＝0的距离为d＝＝3．当a2+b2≥9时，d min＝0，等式不能成立；当a2+b2＜9时，d min＝3﹣，由3﹣＝﹣b得9+6b+b2＝4a2+4b2．因为a2＝b2+2，所以7b2﹣6b﹣1＝0，∴（7b+1）（b﹣1）＝0，∴b＝1，a＝．23．（18分）称满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）若等比数列{a n}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q及{a n}的通项公式；（2）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”{a n}的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n）：（i）求证：|S k|；（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S m＝，试问数列{S k}能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．【解答】（1）解：若q＝1，由①得，a1•2k＝0，得a1＝0，矛盾；若q≠1，则由①，，得q＝﹣1，由②得，或，∴q＝﹣1，数列{a n}的通项公式是，或；（2）解：设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k≥1）的公差为d，d＞0，∵a1+a2+…+a2k＝0，∴，∴a1+a2k＝a k+a k+1＝0，∵d＞0，由a1+a k+1＝0得，a k＜0，a k+1＞0，由①②得，，，两式相减得，k2d＝1，∴，又，得．∴数列{a n}的通项公式是a i＝a1+（i﹣1）•d＝＝；（3）证明：记a1，a2，…，a n中所有非负数项的和为A，所有负数项的和为B，则A+B＝0，A﹣B＝1，得A＝，B＝，（i），即（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使，由前面的证明过程知：a1≥0，a2≥0，…，a m≥0，a m+1≤0，a m+2≤0，…，a n≤0，且，如果{S k}是n阶“期待数列”，记数列{S k}（k＝1，2，3，…，n）的前k项和为T k，则由（i）知，，∴，而，＝0，从而．∴S1＝S2＝…＝S m﹣1又，则S m+1，S m+2，…，S n≥0．∴|S1|+|S2|+|S3|+…+|S n|＝S1+S2+S3+…+S n．S1+S2+S3+…+S n＝0与|S1|+|S2|+|S3|+…+|S n|＝1不能同时成立．∴对于有穷数列a1，a2，…，a n（n＝2，3，4，…），若存在m∈{1，2，3，…，n}使，则数列{a i}的和数列{S k}（k＝1，2，3，…，n）不能为n阶“期待数列”．。

2014年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题共有13题，满分52分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）＝．2．（4分）不等式的解是．3．（4分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n﹣1+3，（n≥2，n∈N*），则a n＝．4．（4分）已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，则tan（α+β）＝．5．（4分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是．6．（4分）已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（12）＝．7．（4分）已知复数z1＝2+i，z2＝a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|＝．8．（4分）二项式的展开式中，含x3的项的系数是．9．（4分）在锐角△ABC中，AC＝4，BC＝3，三角形的面积等于，则AB 的长为．10．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．11．（4分）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．12．（4分）用|S|表示集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A、B、C满足|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，且A ∩B∩C＝∅，则称有序三元组（A，B，C）为最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为．13．（4分）已知函数y＝f（x），x∈N*，y∈N*，对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，且f（x）是增函数，则f（3）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分24分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.14．（6分）设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2＞ab D．2a＞2b 15．（6分）方程log5x＝|sin x|的解的个数为（）A．1B．3C．4D．516．（6分）已知函数，则＝（）A．2010B．2011C．2012D．2013 17．（6分）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若，则（）A．0＜m+n＜1B．m+n＞1C．m+n＜﹣1D．﹣1＜m+n＜0三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝2（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C﹣SA﹣D的大小．19．（14分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝algI+b（a、b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量．（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为10﹣13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10﹣12W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．20．（14分）如图，设是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P．设P（x，y），其纵坐标满足．（1）求点B的坐标，并求f（t）；（2）若0≤t≤6，求的取值范围．21．（16分）已知实数a＞0，函数．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）当a＝1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．22．（18分）设项数均为k（k≥2，k∈N*）的数列{a n}、{b n}、{c n}前n项的和分别为S n、T n、U n．已知集合{a1，a2，…，a k，b1，b2，…，b k}＝{2，4，6，…，4k﹣2，4k}．（1）已知，求数列{c n}的通项公式；（2）若（1≤n≤k，n∈N*），试研究k＝4和k≥6时是否存在符合条件的数列对（{a n}，{b n}），并说明理由；（3）若，对于固定的k，求证：符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．2014年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有13题，满分52分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）＝．【解答】解：∵，∴原式＝＝．故答案为：．2．（4分）不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．【解答】解：∵，∴或，解得0＜x＜1，∴不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．故答案为：0＜x＜1（或（0，1））．3．（4分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n﹣1+3，（n≥2，n∈N*），则a n＝3n﹣2．【解答】解：在数列{a n}中，由，得，∴数列{a n}是以3为公差的等差数列，又a1＝1，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．故答案为：3n﹣2．4．（4分）已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，则tan（α+β）＝1．【解答】解：∵tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，∴由一元二次方程根与系数的关系，得tanα+tanβ＝﹣6，tanα•tanβ＝7．由此可得tan（α+β）＝＝＝1．故答案为：15．（4分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是30．【解答】解：∵甲校，乙校，丙校的学生的人数之比为：3600：5400：1800＝2：3：1，∴抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数为：，故答案为：30．6．（4分）已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（12）＝log23．【解答】解：＝1×4x﹣（﹣1）×2x＝4x+2x，令f（x）＝12，即4x+2x＝12，即（2x﹣3）（2x+4）＝0，解得：2x＝3即x＝log23，根据f（a）＝b，则f﹣1（b）＝a，可知f﹣1（12）＝log23．故答案为：log23．7．（4分）已知复数z1＝2+i，z2＝a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|＝．【解答】解：z1•z2＝（2+i）（a+3i）＝2a﹣3+（6+a）i是实数，∴6+a＝0，解得a＝﹣6．∴z2＝﹣6+3i．∴z1+z2＝（2+i）+（﹣6+3i）＝﹣4+4i．∴|z1+z2|＝|﹣4+4i|＝＝．故答案为：．8．（4分）二项式的展开式中，含x3的项的系数是﹣126．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•x18﹣2r•（﹣1）r•x ﹣r＝（﹣1）r••x18﹣3r，令18﹣3r＝3，求得r＝5，故含x3的项的系数是﹣＝﹣126，故答案为：﹣126．9．（4分）在锐角△ABC中，AC＝4，BC＝3，三角形的面积等于，则AB的长为．【解答】解：∵在锐角△ABC中，AC＝b＝4，BC＝a＝3，三角形的面积等于3，∴ab sin C＝3，即sin C＝，∵C为锐角，∴cos C＝＝，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝16+9﹣12＝13，解得：AB＝c＝．故答案为：10．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h＝4，∴圆锥的母线长l＝，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝3×5π＝15π，故答案为：15π．11．（4分）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ＝0时，表示没有选到女生；当ξ＝1时，表示选到一个女生；当ξ＝2时，表示选到2个女生，∴P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴Eξ＝0×＝．故答案为：12．（4分）用|S|表示集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A、B、C满足|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，且A ∩B∩C＝∅，则称有序三元组（A，B，C）为最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为96．【解答】解：∵|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，∴设A∩B＝{x}，B∩C＝{y}，C∩A＝{z}，∵A∩B∩C＝∅，且x，y，z∈{1，2，3，4}，∴①集合{1，2，3，4}中的子集含有4个元素时，∴从1，2，3，4四个元素选3个有＝4种方法，将3个元素进行全排列有＝3×2＝6种，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种，∴此时共有3×4×6＝72种．②集合{1，2，3，4}中的子集含有3个元素时，满足集合A，B，C中都只有一个元素．∴从1，2，3，4四个元素选3个有＝4种方法，将3个元素进行全排列有＝3×2＝6种，∴此时共有4×6＝24种．综上共有72+24＝96个．故答案为：96．13．（4分）已知函数y＝f（x），x∈N*，y∈N*，对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，且f（x）是增函数，则f（3）＝6．【解答】解：令f（1）＝a，∵对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，故有a≠1，否则，可得f[f（1）]＝f（1）＝1，这与f[f（1）]＝3×1＝3矛盾．从而a＞1，而由f（f（1））＝3，即得f（a）＝3．∵f（x）是增函数，∴f（a）＞f（1）＝a，即a＜3，于是得到1＜a＜3．又a∈N*，从而a＝2，即f（1）＝2．而由f（a）＝3知，f（2）＝3．于是f（3）＝f（f（2））＝3×2＝6，故答案为：6．二、选择题（本大题共有4题，满分24分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.14．（6分）设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2＞ab D．2a＞2b【解答】解：考察指数函数y＝2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b．故选：D．15．（6分）方程log5x＝|sin x|的解的个数为（）A．1B．3C．4D．5【解答】解：∵log5x＝|sin x|，∴设函数y＝log5x和y＝|sin x|，在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：∵当log5x＝|sin x|＝1，∴x＝5，∴由图象可知两个函数的交点个数为3个．故方程根的个数为3．故选：B．16．（6分）已知函数，则＝（）A．2010B．2011C．2012D．2013【解答】解：∵已知函数，∴f（）＝＝，∴f（x）+f（）＝1．则＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）+…+[f（2014）+f（）]＝+1+1+…+1＝+2013×1＝2013，故选：D．17．（6分）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若，则（）A．0＜m+n＜1B．m+n＞1C．m+n＜﹣1D．﹣1＜m+n＜0【解答】解：∵点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，∴不妨取∠AOB＝120°，∠AOC＝∠BOC＝60°，此时四边形AOBC为菱形，则＝+，又∵，∴m＝n＝1，则m+n＝2，从而可排除A，C，D选项，故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝2（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C﹣SA﹣D的大小．【解答】（1）证明：连接BD，∵SD⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD∴AC⊥SD…（4分）又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∴AC⊥平面SBD∴AC⊥SB．…（6分）（2）解：设SA的中点为E，连接DE、CE，∵SD＝AD，CS＝CA，∴DE⊥SA，CE⊥SA．∴∠CED是二面角C﹣SA﹣D的平面角．…（9分）∵SD＝AD＝2，∴DE＝，CE＝，CD＝2，∴CD⊥DE，∴，∴∴所求二面角的大小为．…（12分）19．（14分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝algI+b（a、b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量．（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为10﹣13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10﹣12W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．【解答】解：（1）∵D1+2D2＝3D3，∴algI1+b+2（algI2+b）＝3（algI3+b），∴lgI1+2lgI2＝3lgI3，∴I1•＝；（2）由题意得，解得：，∴100＜10lgI+160＜120，解得：10﹣6＜I＜10﹣4，答：当声音能量I∈（10﹣6，10﹣4）时，人会暂时性失聪．20．（14分）如图，设是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P．设P（x，y），其纵坐标满足．（1）求点B的坐标，并求f（t）；（2）若0≤t≤6，求的取值范围．【解答】解：（1）当t＝2时，，∴∴，点B的坐标是（0，1）…（2分）又t秒时，…（4分）∴．…（6分）（2）由，B（0，1），得，又，∴，…（8分）∴＝＝…（10分）∵0≤t≤6，∴，∴…（12分）∴，的取值范围是…（14分）21．（16分）已知实数a＞0，函数．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）当a＝1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣1，1），且f（x）为偶函数．（1）a＝1时，…（2分）∴x＝0时，最小值为2．…（4分）（2）a＝1时，∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（﹣1，0]时，f（x）递减；…（6分）由于f（x）为偶函数，∴只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增．设0≤x1＜x2＜1，∴，得∴x∈[0，1）时，f（x）递增；…（10分）（3）设，则∵，∴，∴从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间上，恒有2y min＞y max．…（11分）①当时，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；…（12分）②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；…（13分）③当时，在上单调递减，在上单调递增，∴y min＝2，y max＝a+1，由2y min＞y max得，从而；…（14分）④当a≥1时，在上单调递减，∴，由2y min＞y max得，从而；…（15分）综上，．…（16分）22．（18分）设项数均为k （k ≥2，k ∈N *）的数列{a n }、{b n }、{c n }前n 项的和分别为S n 、T n 、U n ．已知集合{a 1，a 2，…，a k ，b 1，b 2，…，b k }＝{2，4，6，…，4k ﹣2，4k }． （1）已知，求数列{c n }的通项公式；（2）若（1≤n ≤k ，n ∈N *），试研究k ＝4和k ≥6时是否存在符合条件的数列对（{a n }，{b n }），并说明理由； （3）若，对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（{a n }，{b n }）有偶数对． 【解答】解：（1）已知，当n ＝1时，c 1＝U 1＝4． 当n ≥2时，，经验证c 1＝4不适合上式， 故；（2），当n ＝1时，a 1﹣b 1＝S 1﹣T 1＝4，当n ≥2时，a n ﹣b n ＝（S n ﹣S n ﹣1）﹣（T n ﹣T n ﹣1）＝（S n ﹣T n ）﹣（S n ﹣1﹣T n ﹣1）＝2n +2n ﹣2（n ﹣1）﹣2n ﹣1＝2+2n ﹣1， 当k ＝4时，a 1﹣b 1＝4，a 2﹣b 2＝4，a 3﹣b 3＝6，a 4﹣b 4＝10， {a 1，a 2，a 3，a 4，b 1，b 2，b 3，b 4}＝{2，4，6，8，10，12，14，16} 数列{a n }、{b n }可以为（不唯一）： ①6，12，16，14；2，8，10，4； ②16，10，8，14；12，6，2，4． 当k ≥6时，＝＝（k﹣1）（k﹣4）+4k＞4k此时a k不存在．故数列对（{a n}，{b n}）不存在；（3）令d n﹣e n＝（4k+2﹣b n）﹣（4k+2﹣a n）＝a n﹣b n＝2n，又{a1，a2，…，a k，b1，b2，…，b k}＝{2，4，6，…，4k}，得{4k+2﹣a1，4k+2﹣a2，…，4k+2﹣a k，4k+2﹣b1，4k+2﹣b2，…，4k+2﹣b k}＝{2，4，6，…，4k}，∴数列对（{a n}，{b n}）与（{d n}，{e n}）成对出现．假设数列{a n}与{d n}相同，则由d2＝4k+2﹣b2＝a2及a2﹣b2＝4，得a2＝2k+3，b2＝2k﹣1，均为奇数，矛盾．故符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．。