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考前冲刺卷(二)第Ⅰ卷第一部分听力(略)第二部分英语知识运用(共两节，满分45分)第一节单项填空(共15小题；每小题1分，满分15分)从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
21．He wants to see ________ much stronger China within ________ rest of his life.A．/；a B．a；/C．the；a D．a；the答案 D解析本题考查冠词。
句意为：他想在有生之年看到一个更加强大的中国。
a much stronger China指一个更加强大的中国；the rest固定用法，表示剩下的人(物)，应用the。
22．—$100，but that is my last offer.—________A．Good idea! B．What did you say?C．Oh，it’s up to you! D．OK，it’s a deal.答案 D解析考查情景交际。
这类题目要求学生理解交际发生的场景和说话人的意图、目的，此题情景为购物砍价，最终成交，所以选D项。
23．Hardly ________ when the flood peak arrived.A．they had left their villageB．they left their villageC．did they leave their villageD．had they left their village答案 D解析否定副词hardly放于句首构成倒装句。
句意为：他们刚离开他们的村庄，洪峰就来到了。
24．—What’s the price of petrol these days?—It ________ frequently since last year.A．is arisen B．increasedC．has been rising D．has raised答案 C解析考查动词时态。
考前冲刺卷(四)第Ⅰ卷第一部分听力(略)第二部分英语知识运用(共两节，满分45分)第一节单项填空(共15小题；每小题1分，满分15分)从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
21．The driver was at ________ loss when ________ word came that he was forbidden to drive because of speeding.A．a；the B．/；/C．the；the D．a；/答案 D解析第一空为固定搭配at a loss，意为“不知所措”；第二空word此处意为“消息”，不可数名词，因此前面不加任何冠词。
句意为：当这位驾驶员得知他由于超速而被禁驾的消息时，不知所措。
22．There is not much time left，but________we must get there on time.A．somehow B．somewhatC．however D．anyhow答案 D解析句意为：剩下的时间不多了，但无论如何，我们也必须按时到达那里。
anyhow 无论如何，不管怎样；somehow以某种方式，通过某种途径；somewhat稍微，有点。
根据题意选D项。
23．Look！The ground is wet.It must have rained last night，________？A．hasn’t it B．didn’t itC．mustn’t it D．hadn’t it答案 B解析由last night及must have rained可知此处是对过去情况的猜测，下雨是过去的事实，所以反意疑问句的助动词用did，并且根据前肯后否的原则，反意疑问句应该用否定形式，C项正确。
句意为：看！地面湿了，昨天晚上肯定下雨了，不是吗？24．—________ one and a half months enough for the project to be finished?—I am afraid not.The professor is ill and only after he recovers ________ go on with it.A．Is；he can B．Are；he canC．Is；can he D．Are；can he答案 C解析由主语one and a half months可知，谓语动词应该用单数，将其看成一个整体，所以第一空用is；第二空and连接的并列句的第二句是only位于句首，应该用部分倒装，所以用can he，故C项正确。
[考纲要求] 1.了解元素、核素和同位素的含义。
2.了解原子构成；了解原子序数、核电荷数、质子数、中子数、核外电子数以及它们之间的相互关系；了解原子、离子等概念的含义。
3.了解原子核外电子排布。
4.掌握元素周期律的实质；了解元素周期表(长式)的结构(周期、族)及其应用。
5.以第三周期为例，掌握同一周期内元素性质的递变规律与原子结构的关系。
6.以ⅠA和ⅦA族为例，掌握同一主族内元素性质的递变规律与原子结构的关系。
7.了解金属、非金属在周期表中的位置及其性质递变的规律。
8.了解化学键的定义；了解离子键、共价键的形成。
9.了解物质的组成、结构和性质的关系。
10以上各部分知识的综合应用。
考点一微粒结构和化学键原子结构、离子结构、物质结构的核心内容，同样也是高考的重要考点。
复习时，注意掌握常用规律，提高解题能力；重视知识迁移、规范化学用语。
根据考纲，应从以下四个方面掌握。
1．突破原子组成的两大关系(1)构成原子的微粒之间存在两个等量关系原子由原子核和核外电子组成，其中原子核带正电荷，核外电子带负电荷，原子核由质子和中子组成；由于中子不带电，原子呈电中性，所以原子的核电荷数＝核内质子数＝核外电子数；原子结构中的核电荷数(Z)决定了元素的种类，而质子数与中子数之和决定了原子质量的相对大小，即质量数(A)＝质子数(Z)＋中子数(N)。
(2)一个信息丰富的符号，如过氧根离子：2．辨析核素、同位素、同素异形体、同分异构体等概念(1)核素、同位素的正确理解①同种元素，可以有若干种不同的核素，即核素种数远大于元素种数。
②核电荷数相同的不同核素，虽然它们的中子数不同，但是属于同一种元素。
③同位素是同一元素不同原子的互相称谓，不指具体原子。
④同一元素的不同同位素原子其质量数不同，核外电子层结构相同，其原子、单质及其构成的化合物的化学性质几乎完全相同，只是某些物理性质略有差异。
(2)辨析同位素、同素异形体、同分异构体、同系物10电子体和18电子体是元素推断题的重要突破口。
第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3． 弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4． 轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)． ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性． (2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.考点一 求轨迹方程例1 (2013·辽宁)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时， A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B (x 2，x224)，x 1≠x 2， 由N 为线段AB 中点知 x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA 、MB 的方程分别为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤ y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为 x 2＝43y .(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上的点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)时，求B 点坐标．解 (1)设N (x ，y )，则由MN →＝2MP →，得P 为MN 的中点，所以M (－x,0)，P (0，y 2)．又PM →⊥PF →得PM →·PF →＝0，PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(1，－y 2)，所以y 2＝4x (x ≠0)．(2)由(1)知F (1,0)为曲线C 的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P 0(x 0，y 0)到F 的距离等于其到准线的距离，即|P 0F |＝x 0＋p2，所以|AF →|＝x 1＋p 2，|BF →|＝x 2＋p 2，|DF →|＝x 3＋p 2，根据|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，得x 1＋x 3＝2x 2， 直线AD 的斜率为y 3－y 1x 3－x 1＝y 3－y 1y 234－y 214＝4y 1＋y 3，所以AD 中垂线方程为y ＝－y 1＋y 34(x －3)， 又AD 中点(x 1＋x 32，y 1＋y 32)在直线上，代入上式得x 1＋x 32＝1，即x 2＝1，所以点B (1，±2)． 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2，∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－2(4k 2－12)3＋4k 21－8k23＋4k 2＋4k 2－123＋4k2＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 的中点N ⎝⎛⎭⎫52，0， 猜想，当直线l 的倾斜角变化时， AE 与BD 相交于定点N ⎝⎛⎭⎫52，0， 证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线 AE 过定点⎝⎛⎭⎫52，0，∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝⎛⎭⎫－32＝2(4－x 1)·y 2－3(y 2－y 1)2(4－x 1)＝2(4－x 1)·k (x 2－1)－3k (x 2－x 1)2(4－x 1)＝－8k －2kx 1x 2＋5k (x 1＋x 2)2(4－x 1)＝－8k (3＋4k 2)－2k (4k 2－12)＋5k ·8k 22(4－x 1)·(3＋4k 2)＝0.∴点N ⎝⎛⎭⎫52，0在直线l AE 上．同理可证，点N ⎝⎛⎭⎫52，0也在直线l BD 上．∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝⎛⎭⎫52，0.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．(2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中 点，∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题例3 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭 圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1， 所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.故x 0＝－8k4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313， 当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：(1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x .(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝33(x －m )， 由⎩⎨⎧y ＝33(x －m )x 26＋y22＝1，由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0， 即－23<m <23，①而x 1x 2＝m 2－62，x 1＋x 2＝m ，故y 1y 2＝33(x 1－m )·33(x 2－m ) ＝13[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2] ＝m 2－66.欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部， 则FC →·FD →>0，又F (－2,0)，即FC →·FD →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m (m ＋3)>0， 即m <－3或m >0.②由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．1． 求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 2． 定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3． 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，∴(1＋k 2)[64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209，∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0， ∴k 2>14.∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2， 又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2，∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)．(推荐时间：70分钟)一、选择题1． 已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3答案 B解析 若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>03－k >0k ＋1>3－k ，解得1<k <3.选B.2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3)D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线 的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．3． 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得：F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|， ∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4， 又y 0≥0，∴y 0>2.4． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6.5． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(13，＋∞)C ．(15，＋∞)D ．(19，＋∞)答案 B解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ， PF 1＝r 1，PF 2＝r 2. 由题意知r 1＝10，r 2＝2c ， 且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52<c <5⇒1<25c2<4， ∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c 5－c ；e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c. ∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1>13. 二、填空题6． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， ∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： 025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.7． 设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________． 答案 －2解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)， ∴PF →1＝(－3，－1)，PF →2＝(3，－1)， ∴PF →1·PF →2＝－2.8． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 答案522－1 解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得 d 1＋d 2＝|P A |－|AB |＋d 2＝|PF |－1＋d 2， |PF |＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ， 即|PF |＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d 1＋d 2的最小值为522－1.9． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.三、解答题10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为 D (0,1)，即a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k3)，且将直线方程代入椭圆C 的方程，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2.由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k1＋4k 2)． 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k (x －2)，联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－13k )．∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为83.11．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1)设圆P 的半径为r ， 则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ， ∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，左顶点除外， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ＝－2)．(2)由(1)知：2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. ①当l 的方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，⎩⎪⎨⎪⎧|－k ＋b |1＋k 2＝1|2k ＋b |1＋k 2＝2解之得：⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝24b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24b ＝－2. ∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2. 联立方程⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1y ＝24x ＋2化简：7x 2＋8x －8＝0∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝187.12．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值． (1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b .由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455， 得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b 2＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB . 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.(3)解 设直线OA 的斜率为k 0. 当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 0x ，x24＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k201＋4k 20.同理可求得⎩⎨⎧x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4.故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)，则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)，所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1.当k 0＝0时，可求得S ＝1， 故45≤S ≤1，故S 的最小值为45.。
第2课时功能关系在电学中的应用1．静电力做功与路径无关．若电场为匀强电场，则W＝Fs cos α＝Eqs cos α；若是非匀强电场，则一般利用W＝qU来求．2．磁场力又可分为洛伦兹力和安培力．洛伦兹力在任何情况下对运动的电荷都不做功；安培力可以做正功、负功，还可以不做功．3．电流做功的实质是电场对移动电荷做功．即W＝UIt＝Uq.4．导体棒在磁场中切割磁感线时，棒中感应电流受到的安培力对导体棒做负功，使机械能转化为电能．5．静电力做的功等于电势能的变化，即W AB＝－ΔE p.1．功能关系在电学中应用的题目，一般过程复杂且涉及多种性质不同的力，因此，通过审题，抓住受力分析和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各力做功的特点来选择相应规律求解．2．动能定理和能量守恒定律在处理电学中能量问题时仍然是首选的方法．题型1 几个重要的功能关系在电学中的应用例1如图1所示，在竖直平面内有一匀强电场，其方向与水平方向成α＝30°斜向上，在电场中有一质量为m、电量为q的带电小球，用长为L的不可伸长的绝缘细线挂于O点，当小球静止于M点时，细线恰好水平．现用外力将小球拉到最低点P，然后无初速度释放，则以下判断正确的是( )图1A ．小球再次到达M 点时，速度刚好为零B ．小球从P 到M 过程中，合外力对它做了3mgL 的功C ．小球从P 到M 过程中，小球的机械能增加了3mgLD ．如果小球运动到M 点时，细线突然断裂，小球以后将做匀变速曲线运动审题突破 小球静止在M 时，受几个力的作用？重力和电场力的大小关系是什么？小球由P 到M 的过程中，各力做功是多少？解析 小球从P 到M 的过程中，线的拉力不做功，只有电场力和小球重力做功，它们的合力也是恒力，大小为3mg ，方向水平向右，所以小球再次到达M 点时，速度最大，而不是零，选项A 错．小球从P 到M 过程中，电场力与重力的合力大小为3mg ，这个方向上位移为L ，所以做功为3mgL ，选项B 正确．小球从P 到M 过程中，机械能的增加量等于电场力做的功，由于电场力为2mg ，由P 到M 沿电场线方向的距离为d ＝L sin 30°＋L cos 30°＝L2(1＋3)，故电场力做功为2mg ·d ＝mgL (1＋3)，故选项C 错误．如果小球运动到M 点时，细线突然断裂，小球的速度方向竖直向上，所受合外力水平向右，小球将做匀变速曲线运动，选项D 正确． 答案 BD以题说法 在解决电学中功能关系问题时应注意以下几点：(1)洛伦兹力在任何情况下都不做功；(2)电场力做功与路径无关，电场力做的功等于电势能的变化；(3)力学中的几个功能关系在电学中仍然成立．如图2所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，一质量为m 的带正电小球在外力F 的作用下静止于图示位置，小球与弹簧不连接，弹簧处于压缩状态．现撤去F ，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力、弹簧弹力对小球做的功分别为W 1、W 2和W 3，不计空气阻力，则上述过程中 ( )图2A ．小球与弹簧组成的系统机械能守恒B ．小球重力势能的变化为W 1C ．小球动能的变化为W 1＋W 2＋W 3D ．小球机械能的变化为W 1＋W 2＋W 3 答案 C解析 由于电场力做功，小球与弹簧组成的系统机械能不守恒，选项A 错误．重力对小球做的功为W 1，小球重力势能的变化为－W 1，选项B 错误．由动能定理可知，小球动能的变化为W 1＋W 2＋W 3，选项C 正确．由功能关系可知，小球机械能的变化为W 2，选项D 错误．题型2 应用动能定理分析带电体在电场中的运动例2 如图3所示，虚线PQ 、MN 间存在如图所示的水平匀强电场，一带电粒子质量为m ＝×10－11kg 、电荷量为q ＝＋×10－5C ，从a 点由静止开始经电压为U ＝100 V 的电场加速后，垂直进入匀强电场中，从虚线MN 的某点b (图中未画出)离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ 、MN 间距为20 cm ，带电粒子的重力忽略不计．求：图3(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速率v 1； (2)水平匀强电场的场强大小； (3)ab 两点间的电势差．审题突破 带电粒子在水平匀强电场中做什么运动？速度与电场方向成30°角，隐含条件是什么？解析 (1)由动能定理得：qU ＝12mv 21代入数据得v 1＝104m/s(2)粒子沿初速度方向做匀速运动：d ＝v 1t 粒子沿电场方向做匀加速运动：v y ＝at 由题意得：tan 30°＝v 1v y由牛顿第二定律得：qE ＝ma 联立以上各式并代入数据得：E ＝3×103 N/C ＝×103 N/C(3)由动能定理得：qU ab ＝12m (v 21＋v 2y )－0联立以上各式并代入数据得：U ab ＝400 V. 答案 (1)104m/s (2)×103N/C (3)400 V以题说法 1.电场力做功与重力做功的特点类似，都与路径无关．2．对于电场力做功或电势差的计算，选用动能定理往往最简便快捷，但运用动能定理时要特别注意运动过程的选取．如图4所示，在光滑绝缘水平面上，用长为2L 的绝缘轻杆连接两个质量均为m 的带电小球A 和球的带电量为＋2q ，B 球的带电量为－3q ，两球组成一带电系 统．虚线MN 与PQ 平行且相距3L ，开始时A 和B 分别静止于虚线MN 的两侧，虚线MN 恰为AB 两球连线的垂直平分线．若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MN 、 PQ 间加上水平向右的电场强度为E 的匀强电场后，系统开始运动．试求：图4(1)B 球刚进入电场时，带电系统的速度大小；(2)带电系统向右运动的最大距离和此过程中B 球电势能的变化量； (3)A 球从开始运动至刚离开电场所用的时间． 答案 (1)2qEL m (2)73L 4qEL (3)(32－2) mLqE解析 (1)设B 球刚进入电场时带电系统的速度为v 1，由动能定理得 2qEL ＝12×2mv 21解得：v 1＝2qELm(2)带电系统向右运动分为三段：B 球进入电场前、带电系统在电场中、A 球出电场后． 设A 球出电场后移动的最大位移为s ，对于全过程，由动能定理得 2qEL －qEL －3qEs ＝0解得s ＝L3，则B 球移动的总位移为s B ＝73LB 球从刚进入电场到带电系统从开始运动到速度第一次为零时的位移为43L其电势能的变化量为ΔE p ＝－W ＝3qE ·43L ＝4qEL(3)取向右为正方向，B 球进入电场前，带电系统做匀加速运动： a 1＝2qE 2m ＝qE m ，t 1＝v 1a 1＝ 2mLqE带电系统在电场中时，做匀减速运动：a 2＝－qE2m设A 球刚出电场时速度为v 2，由动能定理得： －qEL ＝12×2m (v 22－v 21)解得：v 2＝qEL mt 2＝v 2－v 1a 2＝2(2－1)mL qE解得总时间t ＝t 1＋t 2＝(32－2)mL qE题型3 功能观点在电磁感应问题中的应用例3 如图5所示，固定的光滑金属导轨间距为L ，导轨电阻不计，上端a 、b 间接有阻值为R 的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B 、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．质量为m 、电阻为r 的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v 0.整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知弹簧的劲度系数为k ，弹簧的中心轴线与导轨平行．图5(1)求初始时刻通过电阻R 的电流I 的大小和方向；(2)当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v ，求此时导体棒的加速度大小a ； (3)导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为E p ，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q .审题突破 导体棒第一次回到初始位置时，受几个力的作用？最终导体棒静止时，在几个力作用下平衡？具体位置在哪里？解析 (1)初始时刻，导体棒产生的感应电动势E 1＝BLv 0 通过R 的电流大小I 1＝E 1R ＋r ＝BLv 0R ＋r电流方向为b →a(2)导体棒产生的感应电动势为E 2＝BLv 感应电流I 2＝E 2R ＋r ＝BLvR ＋r导体棒受到的安培力大小F ＝BIL ＝B 2L 2vR ＋r，方向沿导轨向上根据牛顿第二定律有mg sin θ－F ＝ma解得a ＝g sin θ－B 2L 2vm R ＋r(3)导体棒最终静止，有mg sin θ＝kx 压缩量x ＝mg sin θk设整个过程回路产生的焦耳热为Q 0，根据能量守恒定律有 12mv 20＋mgx sin θ＝E p ＋Q 0 Q 0＝12mv 20＋mg sin θ2k －E p电阻R 上产生的焦耳热Q ＝R R ＋r Q 0＝RR ＋r [12mv 20＋mg sin θ2k －E p ]答案 (1)BLv 0R ＋r，电流方向为b →a (2)g sin θ－B 2L 2vm R ＋r(3)RR ＋r [12mv 20＋mg sin θ2k－E p ]以题说法 导体棒在匀强磁场中运动时棒中的感应电流受到的安培力是变力，所以安培力做的功只能由动能定理或能量守恒定律来求解．在如图6所示的倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，区域Ⅰ的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为L ，一个质量为m 、电阻为R 、边长也为L 的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，t 1时刻ab 边刚越过GH 进入磁场Ⅰ区，此时线框恰好以速度v 1做匀速直线运动；t 2时刻ab 边下滑到JP 与MN 的中间位置，此时线框又恰好以速度v 2做匀速直线运动．重力加速度为g ，下列说法中正确的是( )图6A ．线框两次匀速直线运动的速度之比v 1∶v 2＝2∶1B ．从t 1到t 2过程中，线框中通过的电流方向先是a →d →c →b ，然后是a →b →c →dC ．从t 1到t 2过程中，线框克服安培力做功的大小等于重力势能的减少量D ．从t 1到t 2过程中，有3mgL sin θ2＋m v 21－v 222的机械能转化为电能答案 BD解析 根据题意，第一次匀速运动时，B 2L 2v 1R ＝mg sin θ，第二次匀速运动时，4B 2L 2v 2R＝mg sin θ，解得v 1∶v 2＝4∶1，选项A 错误；根据楞次定律可以判断，选项B 中所判断的感应电流的方向是正确的，选项B 正确；线框克服安培力做的功等于线框产生的热量，根据能量守恒定律，线框克服安培力做的功等于重力势能的减少量和动能的减少量之和，重力势能的减少量为3mgL sin θ2，动能的减少量为mv 21－v 222，选项C 错误，选项D 正确．7． 应用动力学和功能观点处理电学综合问题审题示例(14分)如图7所示，在水平方向的匀强电场中有一表面光滑、与水平面成45°角的绝缘直杆AC ，其下端(C 端)距地面高度h ＝0.8 m ．有一质量为500 g 的带电小环套在直杆上，正以某一速度沿杆匀速下滑．小球离杆后正好通过C 端的正下方P 点处．(g 取10 m/s 2)求：图7(1)小环离开直杆后运动的加速度大小和方向； (2)小环从C 运动到P 过程中的动能增量； (3)小环在直杆上匀速运动时速度的大小v 0. 审题模板答题模板(1)小环沿杆做匀速运动，受力如图所示故qE cos 45°＝mg cos 45°即qE＝mg (1分)小环离开直杆后，所受合外力为F合＝2mg＝maa＝2g＝10 2 m/s2 (2分) 方向垂直于杆向下(1分) (2)小环从C运动到P的过程中动能的增量为ΔE k＝W重＋W电(2分) 其中W重＝mgh＝4 J．W电＝0，所以ΔE k＝4 J (3分) (3)环离开杆做类平抛运动平行杆方向做匀速运动：22h＝v0t (2分)垂直杆方向做匀加速运动：22h＝12at2 (2分)解得v0＝2 m/s (1分) 答案(1)10 2 m/s2，方向垂直于杆向下(2)4 J (3)2 m/s如图8，竖直平面坐标系xOy的第一象限，有垂直xOy面向外的水平匀强磁场和竖直向上的匀强电场，大小分别为B和E；第四象限有垂直xOy面向里的水平匀强电场，大小也为E；第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为R的半圆轨道，轨道最高点与坐标原点O相切，最低点与绝缘光滑水平面相切于N.一质量为m的带电小球从y 轴上(y>0)的P点沿x轴正方向进入第一象限后做圆周运动，恰好通过坐标原点O，且水平切入半圆轨道并沿轨道内侧运动，过N点水平进入第四象限，并在电场中运动(已知重力加速度为g)．图8(1)判断小球的带电性质并求出其所带电荷量； (2)P 点距坐标原点O 至少多高；(3)若该小球以满足(2)中OP 最小值的位置和对应速度进入第一象限，通过N 点开始计时，经时间t ＝2R /g 小球距坐标原点O 的距离s 为多远？ 答案 (1)正电mg E (2)2EB Rg(3)27R 解析 (1)小球进入第一象限正交的电场和磁场后，在垂直磁场的平面内做圆周运动，说明重力与电场力平衡，设小球所带电荷量为q ，则有qE ＝mg① 解得：q ＝mgE②又电场方向竖直向上，故小球带正电．(2)设小球做匀速圆周运动的速度为v 、轨道半径为r ，由洛伦兹力提供向心力得：qBv ＝mv 2/r ③小球恰能通过半圆轨道的最高点并沿轨道运动，则应满足：mg ＝mv 2/R④ 由②③④得：r ＝E BR g⑤ 即PO 的最小距离为：y ＝2r ＝2EBR g⑥(3)小球由O 运动到N 的过程中设到达N 点的速度为v N ，由机械能守恒定律得：mg ·2R ＝12mv 2N －12mv2⑦ 由④⑦解得：v N ＝5gR⑧小球从N 点进入电场区域后，在绝缘光滑水平面上做类平抛运动，设加速度为a ，则有： 沿x 轴方向有：x ＝v N t⑨ 沿电场方向有：z ＝12at2⑩由牛顿第二定律得：a ＝qE /m⑪t 时刻小球距O 点为：s ＝x 2＋z 2＋2R 2＝27R(限时：45分钟)1． (2013·新课标Ⅰ·16)一水平放置的平行板电容器的两极板间距为d ，极板分别与电池两极相连，上极板中心有一小孔(小孔对电场的影响可忽略不计)．小孔正上方d2处的P 点有一带电粒子，该粒子从静止开始下落，经过小孔进入电容器，并在下极板处(未与极板接触)返回．若将下极板向上平移d3，则从P 点开始下落的相同粒子将( )A ．打到下极板上B ．在下极板处返回C ．在距上极板d2处返回D ．在距上极板25d 处返回答案 D解析 粒子两次落到小孔的速度相同，设为v ，下极板向上平移后由E ＝U d知场强变大，故粒子第二次在电场中减速运动的加速度变大，由v 2＝2ax 得第二次减速到零的位移变小，即粒子在下极板之上某位置返回，设粒子在距上极板h 处返回，对粒子两次运动过程应用动能定理得mg (d 2＋d )－qU ＝0，mg (d 2＋h )－q U 23d ·h ＝0.两方程联立得h ＝25d ，选项D 正确．2． 将带正电的甲球放在乙球的左侧，两球在空间形成了如图1所示的稳定的静电场，实线为电场线，虚线为等势线．A 、B 两点与两球球心的连线位于同一直线上，C 、D 两点关于直线AB 对称，则( )A ．乙球一定带负电B ．C 点和D 点的电场强度相同C ．正电荷在A 点具有的电势能比其在B 点具有的电势能大D ．把负电荷从C 点移至D 点，电场力做的总功为零 答案 CD解析电场线从正电荷出发指向负电荷，根据电场线知乙球左侧带负电，右侧带正电，整体带电情况不确定，A错误；电场强度是矢量，C、D两点电场强度的方向不同，B错误；电场线的方向是电势降落最快的方向，A点的电势比B点的电势高，由电势能的定义式E p＝qφ知，正电荷在A点的电势能比在B点的电势能大，C正确；C、D两点在同一等势面上，故将电荷从C点移至D点电势能不变，电场力做功是电势能变化的量度，故电场力不做功，D正确．3．如图2所示，绝缘轻弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧与斜面平行，带电小球Q(可视为质点)固定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上．现把与Q大小相同、电性相同的小球P，从N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到压缩至最短的过程中(弹簧始终在弹性限度内)，以下说法正确的是( )图2A．小球P和弹簧组成的系统机械能守恒B．小球P和弹簧刚接触时其速度最大C．小球P的动能与弹簧弹性势能的总和增大D．小球P的加速度先减小后增大答案CD解析小球P沿斜面向下运动的过程中，在接触弹簧前，库仑斥力变小，合力变小，加速度变小，小球向下加速，接触弹簧后，弹簧弹力增大，故受到的合力沿斜面先向下再向上，小球的加速度先向下减小，再向上增加，小球先向下加速再向下减速，B错误，D 正确；对于小球P和弹簧组成的系统，由于电场力对其做正功，故机械能要增大，A错误；全过程只发生了小球P的动能、重力势能、电势能与弹簧的弹性势能的相互转化，由于重力和电场力都做正功，重力势能和电势能的总和减小，故小球P的动能与弹簧弹性势能的总和增大，C正确．4．如图3所示，在一个点电荷形成的电场中，M、N、L是三个间距相等的等势面．一重力不计的带电粒子从p点无初速度释放后，沿图中直线依次经过q、k两点，且p、q、k 三点是带电粒子的运动轨迹与等势面的交点．设带电粒子从p点到q点电场力做的功为W pq，从q点到k点电场力做的功为W qk，则( )图3A ．W pq ＝W qkB ．W pq <W qkC ．粒子从p 点到q 点做匀加速直线运动D ．粒子从p 点到q 点其电势能逐渐减小 答案 D解析 离点电荷越近，等势面分布越密集，即离点电荷越近的地方间距相等的等势面间的电势差越大，则有U pq >U qk ，由W ＝qU 得W pq >W qk ，选项A 、B 错误；粒子从静止开始运动，电场力做正功，电势能逐渐减小，选项D 正确；从p 到q 电场力逐渐减小，则加速度逐渐减小，选项C 错误．5． 如图4所示，在倾角为θ的斜面上固定两根足够长的光滑平行金属导轨PQ 、MN ，相距为L ，导轨处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下．有两根质量均为m 的金属棒a 、b ，先将a 棒垂直导轨放置，用跨过光滑定滑轮的细线与物块c 连接，连接a 棒的细线平行于导轨，由静止释放c ，此后某时刻，将b 也垂直导轨放置，a 、c 此刻起做匀速运动，b 棒刚好能静止在导轨上，a 棒在运动过程中始终与导轨垂直，两棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计．则( )图4A ．物块c 的质量是2m sin θB ．b 棒放上导轨前，物块c 减少的重力势能等于a 、c 增加的动能C ．b 棒放上导轨后，物块c 减少的重力势能等于回路消耗的电能D ．b 棒放上导轨后，a 棒中电流大小是mg sin θBL答案 AD解析 b 棒恰好静止，受力平衡，有mg sin θ＝F 安，对a 棒，安培力沿导轨平面向下，由平衡条件得mg sin θ＋F 安＝m c g ，由上面的两式可得m c ＝2m sin θ，选项A 正确；根据机械能守恒定律知，b 棒放上导轨之前，物块c 减少的重力势能应等于a 棒、物块c 增加的动能与a 棒增加的重力势能之和，选项B 错误；根据能量守恒定律可知，b 棒放上导轨后，物块c 减少的重力势能应等于回路消耗的电能与a 棒增加的重力势能之和，选项C 错误；对b 棒，设通过的电流为I ，由平衡条件mg sin θ＝F 安＝BIL ，得I ＝mg sin θBL，a 棒中的电流也为I ＝mg sin θBL，选项D 正确．6． 如图5所示，质量为m 的物块(可视为质点)，带正电Q ，开始时让它静止在倾角α＝60°的固定光滑绝缘斜面顶端，整个装置放在水平方向向左、大小为E ＝3mg /Q 的匀强电场中(设斜面顶端处电势为零)，斜面高为H .释放后，物块落地时的电势能为ε，物块落地时的速度大小为v ，则( )图5A ．ε＝33mgH B ．ε＝－33mgH C ．v ＝2gHD ．v ＝2gH答案 C解析 由电场力做功等于电势能的变化可得物块落地时的电势能为ε＝－QEH /tan 60°＝－3mgH /3＝－mgH ，选项A 、B 错误；由动能定理，mgH ＋QEH /tan 60°＝12mv 2，解得v ＝2gH ，选项C 正确，D 错误．7． 如图6所示，间距为L 、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R 的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m 、电阻也为R 的金属棒，金属棒与导轨接触良好．整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v 沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q .下列说法正确的是( )图6A ．金属棒在导轨上做匀减速运动B ．整个过程中金属棒克服安培力做功为12mv 2C ．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为2qRBLD ．整个过程中电阻R 上产生的焦耳热为12mv 2答案 BC解析 由题意可知金属棒在安培力作用下做减速运动直至静止，由于速度一直减小，故安培力的大小一直减小，金属棒的加速度减小，故金属棒做加速度减小的减速运动，选项A 错误．在整个过程中，只有安培力做负功，由动能定理可知金属棒克服安培力做功为12mv 2，选项B 正确．由q ＝ΔΦR 总可知q ＝BLs 2R ，解得s ＝2qR BL ，选项C 正确．由B 项可知整个回路中产生的焦耳热为12mv 2，电阻R 上产生的焦耳热为14mv 2，选项D 错误．8． 如图7所示，一长为h 2内壁光滑的绝缘细管竖直放置．管的底部固定一电荷量为Q (Q >0)的点电荷M .现在管口A 处无初速度释放一电荷量为q (q >0)、质量为m 的点电荷N ，N 在距离底部点电荷为h 1的B 处速度恰好为零．再次从A 处无初速度释放电荷量为q 、质量为3m 的点电荷P (已知静电常数为k ，重力加速度为g )．求：图7(1)电荷P 运动过程中速度最大处与底部点电荷间的距离； (2)电荷P 运动到B 处时的速度大小． 答案 (1)kQq3mg(2)2 g h 2－h 13解析 (1)电荷P 运动到重力等于电场力时，速度最大，距底部距离为r ， 则有3mg ＝kQq r 2解得r ＝kQq 3mg(2)设电荷P 运动到B 处时的速度为v B ，由动能定理， 有3mg (h 2－h 1)－qU AB ＝12×3mv 2B依题意有mg (h 2－h 1)＝qU AB 联立两式可得：v B ＝2g h 2－h 139． 如图8所示，MN 和PQ 为固定在绝缘水平面上两平行光滑金属导轨，导轨左端MP 间接有阻值为R 1＝2 Ω的导线；导轨右端接有与水平轨道相切、半径r ＝0.5 m 、内壁光滑的半圆金属轨道．导轨间距L ＝0.4 m ，电阻不计．导轨所在平面abcd 区域内有竖直向上、B ＝ T 的匀强磁场．导轨上长度也为0.4 m 、质量m ＝0.6 kg 、电阻R 2＝1 Ω的金属棒AB 以v 0＝6 m/s 的速度进入磁场区域，离开磁场区域后恰好能到达半圆轨道的最高点，运动中金属棒始终与导轨保持良好接触．已知重力加速度g ＝10 m/s 2.求：图8(1)金属棒AB 刚滑出磁场右边界cd 时的速度v 的大小； (2)金属棒滑过磁场区域的过程中，导线R 1中产生的热量Q . 答案 (1)5 m/s (2) J解析 (1)在轨道的最高点，根据牛顿第二定律有mg ＝m v 21r①从金属棒刚滑出磁场到最高点，根据机械能守恒定律有 12mv 21＋mg ·2r ＝12mv 2②联立①②两式并代入数据解得v ＝5 m/s③(2)在金属棒滑过磁场的过程中，根据能量关系得Q 总＝12mv 20－12mv2④对闭合回路，根据热量关系有Q ＝Q 总R 1＋R 2R 1⑤(3分)联立④⑤两式并代入数据得Q ＝ J10．如图9所示，A 、B 为半径R ＝1 m 的四分之一光滑绝缘竖直圆弧轨道，在四分之一圆弧区域内存在着E ＝1×106V/m 、竖直向上的匀强电场，有一质量m ＝1 kg 、带电量q ＝×10－5C 正电荷的物体(可视为质点)，从A 点的正上方距离A 点H 处由静止开始自由下落(不计空气阻力)，BC 段为长L ＝2 m 、与物体间动摩擦因数为μ＝的粗糙绝缘水平面，CD 段为倾角θ＝53°且离地面DE 高h ＝0.8 m 的斜面．(1)若H ＝1 m ，物体能沿轨道AB 到达最低点B ，求它到达B 点时对轨道的压力大小； (2)通过你的计算判断：是否存在某一H 值，能使物体沿轨道AB 经过最低点B 后最终停在距离B 点0.8 m 处；(3)若高度H 满足：0.85 m≤H ≤1 m，请通过计算表示出物体从C 处射出后打到的范围．(已知sin 53°＝，cos 53°＝.不需要计算过程，但要有具体的位置，不讨论物体反弹以后的情况)图9答案 (1)8 N (2)不存在 (3)在斜面上距离D 点59 m 范围内 在水平面上距离D 点0.2m 范围内解析 (1)物体由初始位置运动到B 点的过程中根据动能定理有mg (R ＋H )－qER ＝12mv 2B到达B 点时由支持力F N 、重力、电场力的合力提供向心力F N －mg ＋qE ＝m v 2BR解得F N ＝8 N根据牛顿第三定律，支持力与压力大小相等、方向相反 所以物体对轨道的压力大小为8 N ，方向竖直向下(2)要使物体沿轨道AB 到达最低点B ，当支持力为0时，最低点有个最小速度v ，则qE －mg ＝m v 2R解得v ＝2 m/s在粗糙水平面滑行时的加速度a ＝μg ＝2 m/s 2物体最终停止的位置距离B 为s ＝v 22a＝1 m>0.8 m故不存在某一H 值，使物体沿着轨道AB 经过最低点B 后，停在距离B 点0.8 m 处． (3)在斜面上距离D 点59m 范围内(如图PD 之间区域)在水平面上距离D 点0.2 m 范围内(如图DQ 之间区域)。
