人教版高中数学必修1学案：§2.1.1 指数与指数幂的运算(2)

高中数学2.1.1指数与指数幂的运算（2）教案新人教版必修1内容：分数指数幂一、教学目标（一）知识目标（1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。

（2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。

（二）能力目标（1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．（2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．（3）训练学生思维的灵活性（三）德育目标（1）激发学生自主学习的兴趣（2）养成良好的学习习惯 教学重点：次方根的概念及其取值规律。

教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。

教学过程：一、复习回顾，新课引入：指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。

引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。

．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出及，同时追问这里的由来。

二、师生互动，新课讲解：1.分数指数幂看下面的例子：当0>a 时，（1）2552510)(a a a ==，又5102=，所以510510a a =； （2）3443412)(a a a ==，又4123=，所以412412a a =． 从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？根据n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：n m n ma a =（0>a ，1*,,>∈n N n m ）．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当0<a 时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式． 例如：3273-=-，而3)27(62=-．规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用．联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用(1)a r a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q)(2)(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q)(3)(ab)r =a r b r (a>0,b>0, r,∈Q)3．分数指数幂与根式的表示方法之间关系。

第二课时：9月21日星期二 （I ）复习回顾（II ）讲授新课分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n 次方根的概念来解：25101052a a ,a )a (=∴=Θ； 也可根据n 次方根的性质来解：2552510a )a (a ==。

问题1：观察34122510a a ,a a ==，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？43124122510510a aa,a aa====⇒，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。

问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：3232a a =是否可行？分析：假设幂的运算性质mnnm a)a (=对于分数指数幂也适用，那么2332332a a)a (==⨯，这说明32a 也是2a 的3次方根，而32a 也是a 2的3次方根（由于这里n=3，a 2的3次方根唯一），于是3232a a =。

这说明3232a a =可行。

由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>1*,,,0(>∈>=n N n m a a a n m nm 且)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a n的幂指数n 与根式的根指数n 的一致性。

根式与分数指数幂可以进行互化。

问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？ 分析：正例：32322510510331)2()2(,4)2()2()2(,28)8(-=-=-=-=--=-=-等等；反例：6231,2)8()8(,28)8(6262331==-=--=-=-而实际上；又如： ，）（）（）（3412412888-=-=-34434124128888===-）（）（。

这样就产生了混乱，因此“a>0”这个限制不可少。

至于28)8(331-=-=-，这是正确的，但此时31)8(-不能理解为分数指数幂，31不能代表有理数（因为不能改写为62），这只表示一种上标。

必修1教案2.1.1指数与指数幂的运算（二）2.1.1 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程教学教学内容师生互动设计意图环节提出回顾初中时的整数指数幂及运算性质.老师提问，学生回答. 学习新知前的an?a?a?a???a,a0?1(a?0),问题 00无意义a?n简单复1?na(a?0)习，不仅能唤起学am?an?am?n;(am)n?amn(an)m?amn,(ab)n?anbn什么叫实数？有理数，无理数统称实数.生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习观察以下式子，并总结出规律：a＞0① 5 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根数学中引进一a?5(a)?a?a a8?(a4)2?a4?a8210252105引入② ③ 54式可以写成分数作为指数的形式，个新的概（分数指数幂形式）”联想“根式的念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的. a?(a)?a?a 41012343124被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形④a?(a)?a?a5252105小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：3a?a?(a?0)b?b?(b?0)122234c?c?(c?0)nmmn554即：a?a(a?0,n?N,n?1) 形成*为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．让学生经历从概念a?a(a?0,m,n?N) 正数的定负分数指数幂的意义与负整mnnm*“特殊一一般”，“归纳一数幂的意义相同. 即：a?mn?1amn猜想”，(a?0,m,n?N*) 是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 a?a?a???a(a?0) nm1m1m1m深化由于整数指数幂，分数指数幂都有意让学生讨论、研究，教师引导．通过本环节的教学，进一步体会上概念义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）a?a?arSrsr?s(a?0,r,s?Q) 一环节的设计意图．）（2）(a)?a(a?0,r,s?Q) （3rs(a?b)r?arbr(Q?0,b?0,r?Q) 若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57――P58. 即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2. 所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，5向逼近52. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，522的近似值从小于52的方的近似值从大于52的方向逼近52，(如课本图所示) 所以，52是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂 ap(a?0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考：2的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： 3ar?as?ar?s(a?0,r?R,s?R) (ar)s?ars(a?0,r?R,s?R)(a?b)r?arbr(a?0,r?R) 应用举例例题例1（P56，例2）求值学生思考，口答，教师板演、点评．例1解：① 8?(2) 23233通过这二个例题的解答，巩固所学的分1?516?38；25；()；()4. 281?2312例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0） ?2a33?23?22?4； ?12数指数幂?12a3.a；a2?3a2；a. ② 25?(5) 2与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.a?a?a?a232223331213?2?512?(?)21?5?； 5?1?a； 2372③ ()8312?5?(2?1)?5 a?a?a?a?a a32??a； ?2?1?(?5)?32； a?a?a?a?(a)?a. 134341322334?(?)16?32④()4?()4 813课堂练习：P59练习第 1，2，3，4题补充练习：227?()?3?. 38例2分析：先把根式化为分数1(2)?()2n?121. 计算：的结果；n?248n?14指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.a?a?a 33122. 若a3?3,a10?384, ?a23?12?a； 222372a101求a3?[()7]n?3的值. a3 a?a?a?a ?a2?233?a；134383a3a?a?a?a 413223?(a)?a. 练习答案： 24n?4?2?2n?11.解：原式= 2n?62?2感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2．1．1指数与指数幂的运算(第二课时)（胡文娟）一、教学目标（一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础．（二）学习目标1．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．2．运用有理数指数幂运算性质进行计算．（三）学习重点1．有理数指数幂的运算性质．2．运用有理数指数幂的性质进行计算．（四）学习难点有理数指数幂的运算性质及其应用二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）求下列各式的值：①0232)2017(2)8(--⋅--；②21)62581(- 详解：①原式014164121)8(3232=-⋅=-⋅-=； ②原式925)53()53(2214==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--．（2）计算下列各式． ①=⋅2222 ，=⋅212122 ；②=22)2( ，=221)2( ；③=⨯2)32( ，=⨯21)32( ；观察上面的计算结果，你能得出什么结论？结论： ．详解： ①16222242222===⋅+，222221212121==⋅+； ②1622)2(42222===⨯，22)2(221221==⨯； ③3632)32(222=⨯=⨯，632)32(212121=⨯=⨯．结论：整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也适用．2．预习自测 （1）对于0>a ，Q ,∈s r ，以下运算中正确的是（ ）A ．rs s r a a a =⋅B ．s r s r a a +=)(C ．r r r b a ba -=)( D ．s r s r ab b a +=)( 【知识点】有理数指数幂的运算性质．【数学思想】【解题过程】s r s r a a a +=⋅，A 选项错；rs s r a a =)(，B 选项错；由有理数指数幂的运算性质得D 选项不成立．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质．【答案】C ．（2）下列各式正确的是（ ）A ．y x y x 3223=B ．)0()(2<=-x x xC ．x x x =⋅52D ．35332x x x =⋅ 【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质．【数学思想】32x y = A (0)x x =-< B 59x == D 错．【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化进行判断．【答案】C ．。

学生班级 姓名 小组号 评价数学必修一 2.1.1指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解有理数指数幂和根式的含义；掌握幂的运算法则。

2.学会根式与分数指数幂之间的相关转化；了解无理数指数幂的意义。

3.自主学习，合作探究，学会归纳、类比的研究方法。

【重点和难点】教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相关转化，有理数指数幂的运算性质。

教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化。

【使用说明及学法指导】1． 先预习课本P 48-P 53内容，然后开始做导学案。

2. 带“*”的C 层可以不做。

预习案一．知识梳理1．一般地，如果a x n =，那么x 叫做 ，其中1>n ，且*N n ∈。

当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。

此时，a 的n 次方根用符号 表示。

式子n a 叫做 ，这里n 叫做 ，a 叫做 。

2.当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数 。

此时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示。

正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 （0>a ）。

3.正数的分数指数幂的意义是怎么规定的？。

4.有理数指数幂的运算性质有哪些？5.一般地，无理数指数幂αa （0>a ，α是无理数）是 。

有理数指数幂的运算性质 （填“适用”或“不适用”）于无理数指数幂。

二．问题导学1. n n a 表示na 的n 次方根，等式a a n n =一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a 等于什么？2.实数指数幂的运算性质是怎样的？与整数指数幂的运算性质一样吗？3.根式中的底数有什么限制条件？ 三.预习自测1．求下列各式的值：（1）38-； （2）44)5(-； （3）3)21(-； （4）21)1681(-。

2.用分数指数幂表示下列各式： （1）52x ； （2）34)(1b a +； （3）352n m 。

2.1.1指数与指数幂的运算（2）
学习目标
1. 进一步理解分数指数幂的概念；掌握根式与分数指数幂的互化；
2. 掌握有理数指数幂的运算.
3、了解无理数指数幂的意义。

学习重点、难点
重点：按照分数指数幂的运算性质进行幂的运算。

难点：无理数指数幂的逼近值的理解。

学习进程
一、温习
一、 .
当是奇数时，；
当是偶数时， .
负数______偶次方根；0的n次方根是____，即______.
2、；
二、新课导学
探讨任务一：① 0的正分数指数幂为；0的负分数指数幂 .
②分数指数幂有什么运算性质？
小结：
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推行到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也一样能够推行到有理数指数幂．
指数幂的运算性质：（）
·；
；
．
※典型例题
学习讲义52页例4 例5
小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要擅长利用幂的运算法则.
※练习
A组：1、讲义54页练习3
（1）（2）
（3）（4）
2、讲义59页A组2、4
2、（1）（2）（3）
4、（1）（2）（3）
（4）（5）（5）
（7）（8）
B组：赢在课堂33页 2-2
探讨任务二：无理数指数幂
一般的，无理数指数幂（＞0，n是无理数）是一个肯定的实数。

有理数指数幂的运算性质一样适用于无理数指数幂。

三、课堂小结
1、n次方根，根式的概念；根式运算性质.
2、分数指数幂的意义；分数指数幂与根式的互化；有理指数幂的运算性质.。

数学教学设计检查结果及修改意见：合格[ ] 不合格[ ]组长（签字）：检查日期：年月日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

2.1.1《指数与指数幕的运算》（2）指数幕及其运算导学案【学习目标】:正确理解分数指数帚的概念，掌握根式与分数指数帚的互化，掌握有理数指数幕的运算.【重点难点】重点：有理数指数幕的运算.难点：有理数指数幕的运算.无理数指数幕的意义.【知识链接】1.什么叫根式？根式运算性质：（丽）"=?、丽L、妨7=?2.分数指数幕如何定义？运算性质？3.计算下列各式的值：（舟尸；（症）3 VF, 佰，畅4.基础习题练习：（口答下列基础题）①斤为___ 吋，VF=|X|=J ------------- （2°'____ （x<0）②求下列各式的值：_____①②疝③帧；④乂（-2）彳；⑤⑥纭；⑦【学习过程】1.分数指数幕概念及运算性质:①引例：a> 0吋，护=碍^二宀* - 斷 =?；忖=寸（/）3 =/ _>丽二？.②定义分数指数幕：m _____ ffJ规定：Q" 7V*,n>l）；a = — = -7^7 （a>O,m,nEa n2、无理指数幕（课本不作要求）例题分析例1、（1）将下列根式写成分数指数幕形式：①佰②疗；③疽2 2 _4 _5（2）求值：①27亍；②5$；③6亏；④八.讨论：0的正分数指数幕？ 0的负分数指数幕？指出：规定了分数指数帚的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数 幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕.指数幕的运算性质：设d>0,b>0,厂,swQ① /・/二严；② (a r )s =a rs .；③ (ab)r = a r a s .例2、求下列各式的值：解: 例3、用分数指数幕的形式表或下列各式(a >0)：；②a 2 xV?；③ Ja 历・例4、计算下列各式(式屮字母都是正数)2丄 丄丄 1 5(1) (2历方2)(-6°2沪)*(一3品沪)1 _3(2) (771477 ^)8例5、计算下列各式：(1) (V25-7125)-^25 ;(cz>0)._丄例5、己知a? +a 3=3,求下列各式的值：3_3 (2) 2 \_①・；②25「 ■1 9 A Q2 _ a 2 (1) a +a~｝； (2) a-a'2； (3)：】【基础达标】1、下列运算正确的是()A.(-巧'=(-/)2 ； B(-巧'=a5:C.(・/)'=・/；D. ° 夕)‘=/2、(-2)6+(-2)-7+(--)-3-(--!-)3的值是()3A. -24；B.・8；C. 7-；D. 8.45^计算⑴(_2)"5尸x(y；⑵•[(*严]3^(2-3尸.6要使式子(71-x)° +(|x|-2)-3有意义，则x的取值范围是 _________ .7如果3，=—,则A■二_______ ・276、化简:r 2v "3 i i i(1)( _| )~3； (2)(Q T +/「)(= ------- +77)•3dcr ah 7、求值:2①27_4 ②16 3；③y（5丿25 -- •'④(捫• 8.求值：①252；②27^③（―p ； 49 ④（于⑤【学习反思】1. 分数指数是根式的另一种写法.2. 无理数指数幕表示一个确定的实数.3. 掌握好分数指数幕的运算性质，英与整数指数幕的运算性质是一致的.@2V3x^L5xV12 ① (2 1 \ 3历沪 11、 -牝莎 • ( 1 5\ -6/质k 7 \ )k (\ 3\16② m 4n s 9、化简:亲爱的同学:经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的, 在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧!。

课题： 指数与指数幂的运算 课时：第2课时【学习目标】1. 阅读课本P50,知道分数指数幂的概念；2. 阅读课本P50，掌握根式与分数指数幂的互化；3. 阅读课本P51，学会有理数指数幂的运算性质.第一环节：导入学习（激情导入）（约3分钟）复习1：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的 n 次方根 ，其中1n >,n *∈N .简记为：na x =. 像n a 的式子就叫做 根式 ，具有如下运算性质：()nn a =a ；nna =当n 为奇数时，nn a =a ；当n 为偶数时，nn a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ；np mp a =mna .复习2：整数指数幂的运算性质.（1）mna a ⋅=m na+；（2）()nm a =mn a ；（3）()nab = n na b第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（约15分钟）（一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）1.正数的正分数指数幂的意义 n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定：(1)nm nmaa1=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质:)()(),()(),(Q n b a ab Q n m aa Q n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用）例1、求值：4332132)8116(,)41(,100,8---. 解：422)2(8232332332====⨯827)32()32()8116(6422)2()41(1011010)10(1003)43(4436)3()2(3231)21(221221===========--⨯--⨯------⨯--例2、用分数指数幂的形式表示下列各式：a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞0)解：252122122a aa a a a ==⋅=⋅+4321232121311323323323)()(aa a a a a aaa a a a ==⋅===⋅=⋅+例3计算下列各式（式中字母都是正数）（教材52页例4）.))(2();3()6)(2)(1(88341656131212132n m b a b a b a -÷-解aab ba b a b a b a 44)]3()6(2[)3()6)(2)(1(0653121612132656131212132==-÷-⨯=-÷-++++323338384188341)()())(2(nm n m n m n m =•==--第三环节：互助学习（约7分钟）1．若(3x －2)－12 ＋(x －2)0有意义，则x 的取值范围是 ( D )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[23，2)∪(2，＋∞)D ．(23，2)∪(2，＋∞)2．(－x )2·－1x等于 ( B )A ．xB ．－x ·－xC ．x ·xD ．x ·－x第四环节：展示学习（约7分钟）第五环节：精讲学习（学生对应的是反思学习）（约8分钟）学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.。

2.1.1 指数与指数幂的运算教学目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程： 第一课时 引例：填空（1）*)nn aa a a n N =⋅∈个（； a 0=1（a )0≠； n naa1=-)N n ,0a (*∈≠ (2)m n m na a a+⋅= (m,n ∈Z)； ()m n mna a= (m,n ∈Z)； ()nnnab a b =⋅ (n ∈Z)（3）_____9=； -_____9=； ______0=（4）)0a _____()a (2≥=； ________a 2= （II ）讲授新课 1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n a a ÷可看作m na a -⋅,所以mnm na a a-÷=可以归入性质m n m na a a+⋅=；又因为n ba)(可看作m na a-⋅，所以n nn ba b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。

为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。

22=4 ，（-2）2=4 ⇒ 2，-2叫4的平方根 23=8 ⇒ 2叫8的立方根； （-2）3=-8⇒-2叫-8的立方根 25=32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n=a ⇒2叫a 的n 次方根5次方根，类似地，若2n=a ，则2叫a 的n 次方根。

由此，可有： 一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ）,其中1n >，且n N *∈。

问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？na x =是否正确？分析过程：例1．根据n 次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a 6的3次方根。

黑龙江省鸡西市高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教版必修1课题：§2.1.1指数及指数幂的运算启发式模式与方法教学使学生理根式的概念，掌握n次方根的性质。

目的重点指数的运算难点指数的运算教学内容师生活动及时间分配一，引入课题为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到实数指数幂，本小节主要学习分数指数幂的概念和运算性质，并给出了无理数指数幂的概念和性质。

2．为了学习分数指数的概念，首先要介绍根式的概念，学生在初中已学习了数的开平方、开立方和二次根式，根式的内容是这些已学内容的推广。

因此要结合这些已学内容引入根式的概念和n次方根的性质。

二、探索新知（一）引出根式的概念。

需要注意的是，当n是奇数时，表示a的n次方根；当n是偶数时，.a≥0，表示正的n次方根或0。

在两种情况下，。

也就是说，先开方，再乘方（同次），结果为被开方数，如果先乘方，再开方（同次），结果是什么呢？可让学生分别求出的结果，然后指出，一般地，当n 为奇数时，，当n为偶数时，。

可向学生说明，当n 是偶数时。

的结果为|a|，是因为≥0时，而则是根据绝对值的意义得出的。

课堂练习： 1、填空：（1）25的平方根是 （2）27的立方根是（3）－32的五次方根为 （4）16的四次方根是2、若244(),a a a -=-则a 的取值范围是 3、求下列各式的值（1）2(5) （2）33(2)- （3）44(2)- （4）2(3)π-.四，小结：教师引导学生总结并补充教师引导学生复习初中所学的公式及相关知识引导讨论x 的范围 加深对于公式的理解及应用欢迎您的下载，资料仅供参考！。

2.1.1指数与指数幂的运算（2）分数指数幂【教学目标】1．有理指数幂． 2．无理指数幂． 3. 幂的运算．【重点】分数指数幂的概念和有理指数幂的运算性质. 【难点】1.实数指数幂的形成过程；2.利用有理指数幂的运算性质进行运算及运算时对底数范围的限制条件.【学习探究】【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材 2.1.1 分数指数幂 部分）1. 1. 分数指数幂（1）正数的正分数指数幂的意义212= ，312= ，232= ；nm a = )1,,.,0(>N ∈>*n n m a .（2）正数的负分数指数幂的意义12-= ，212-= ，342-= ；nm a -= )1,,,0(>N ∈>*n n m a .（3）0的分数指数幂0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 . （4）分数指数幂的运算性质：①=•sr a a Q).,0(∈>s r a ;②=sr a )( Q).,0(∈>s r a ；③rb a )(•= Q).,0(∈>s r a . 【感悟】2. 无理指数幂的含义：如32，它是一个确定的实数，可以看成由以3的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值 的结果.【感悟】3. 根式的运算，先把根式化成分数指数幂，然后利用 的运算性质进行运算. 【感悟】【基础练习】1. 如果n m b a ,,0,0>>都是有理数，下列各式错误的是（ ）.（A ）mnn m a a =)（ （B ）nm n m a a a --=（C ）n n n b a ba -•=)( （D ）n m n m a a a +=+2.对任意实数a ，下列关系式不正确的是（ ）. （A ）a a =2132)( （B ）313221)(a a = （C ）513153)(a a =--（D ）515331)(a a =3.求值：①3227； ②2116-； ③2)31(-； ④32)1258(- 4.用根式表示2134()m n -， 其中,0m n >.【典型例题】例1用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0>a ）：a a •3； 322a a •；3a a .【方法总结】例2计算下列各式（式中字母均为正数）： （1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-；（2）322aa a •)0(>a .【方法总结】例3已知22121=+-a a ，求：（1）1-+a a ； （2）22-+a a .【方法总结】【课后作业】1. 设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（ ）.①n m nm a a=；②10=a ；③nmnm aa1=-（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个2. 计算)(84)21()2(21221*-++N ∈n n n n 的结果为（ ）. （A ）461（B ）522+n （C ）6222+-n n （D ）72)21(-n3.若0≠xy ，则xy y x 2422-=成立的条件可以是（ ）.（A ）0,0>>y x （B ）0,0<>y x （C ）0,0≥<y x （D ）0,0<<y x 4.已知31=+-a a ,下列各式中正确的个数是（ ）. ①722=+-aa ；②1833=+-a a ；③52121±=+-aa ；④521=+aa a a .（A)1(B)2 (C)3 (D)45.14.333-π的值是 （精确到0.0001）.6.=+-++--48373)27102(1.0)971(03225.0π . 7.若410,310==yx ，则y x -10= ，=+yx 10. 8.用分数指数幂表示下列各式.（1）)0(4>a aa ； （2）)0()(5≥++n m n m ；（3）3x x ；)0(≥x . 9.计算下列各式的值.（1）75.003116)87(064.0+---；（2）3263425.031)32()32(285.1--⨯+⨯+-.10.化简：223410623+--.。

第3页/共3页高一数学《必修1》 导学案 2.1.1 指数与指数幂的运算（二）【使用说明及学法指导】阅读课本P 51的第10行∽P 53后再做学案： 【课前导学】1、（1）正数的分数指数幂的意义为：*_______(0,,)r sa a r s N =>∈；*______(0,,)r saa r s N -=>∈（2）若0a >，0b >，,,r s Q ∈则r s a a =________，r a ÷s a =________，()r s a =_____，()rab =________。

2、无理数指数幂(0,)m a a m >是无理数是一个确定的_______，有理数指数幂的运算性质同样______________无理数指数幂。

【预习自测】1、求值:（1）328； （2）2181-； （3）6)21(-； （4）43)1681(-.2、用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a >0）： （1）a a ⋅3； （2）543a a ⋅； （3）42a a ⋅.3、已知733.13732.1<<，则732.15和733.15分别是35的 近似值和近似值.【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究一：化简（式中字母都是正数）： (1) (12m 38n )4； （2）（243a 14b )(—623a 12b )÷(323a 34b ).变式：（1）124331)(-b a ； （2）)6()3(43221314141----÷-y x y x x . 探究二：计算下列各式的值：（1）63425.0)32(28⨯+⨯； （2）)0()(415643>⋅⋅⋅a aa a a a .变式：计算下列各式：（1）63125.132⨯⨯； （2）2323131)221(2---x x x小结：运算结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时既含根号又含分数指数，也不能既含分母，又含有负指数。