(新)高一数学寒假作业第07天直线、平面垂直的判定新人教A版

直线、平面垂直的判定及其性质（人教A版）一、单选题(共12道，每道8分)1.在空间，下列命题正确的是( )①如果直线a，b都与直线平行，那么a∥b②如果直线a与平面β内的直线b平行，那么a∥β③如果直线a与平面β内的直线b，c都垂直，那么a⊥β④如果平面β内的直线a垂直于平面α，那么α⊥βA.①③B.①④C.②④D.②③答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系2.已知α，β，γ是三个互不重合的平面，是一条直线，下列命题中正确命题是( ) A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：面面垂直的判定3.给出下列关于互不相同的直线m，，n，平面α，β及点A的四个命题：①若m⊂α，∩α=A，点A∉m，则与m不共面；②若m，是异面直线，∥α，m∥α，且n⊥，n⊥m，则n⊥α；③若∥α，m∥β，α∥β，则∥m；④若⊂α，m⊂α，∩m=A，∥β，m∥β，则α∥β．其中为假命题的是( )A.①B.②C.③D.④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系4.如图，在正方体中，点P是CD上的动点，则直线与直线所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定5.如图，在三棱锥S-ABC中，底面是边长为1的正三角形，O为△ABC的中心，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系6.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使，则三棱锥D-ABC的体积为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：棱柱、棱锥、棱台的体积7.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC的体积是．其中正确命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间位置关系与距离8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=，PA=2，则△PCD的面积为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质9.（上接试题8）异面直线BC与AE所成的角的大小为( )A.90°B.60°C.45°D.30°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角10.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，侧棱PA垂直于底面，且PA=3，则直线PC与平面ABCD所成角的正切值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角11.（上接试题10）异面直线PB与CD所成角的正切值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角12.（上接试题10，11）四棱锥P-ABCD的表面积为( )A.80B.68C.60D.48答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积第11页共11页。

2018年高一数学寒假作业（人教A版必修2）直线、平面垂直的判定与性质(时间：40分钟)一、选择题1．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC4．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC。

其中正确的是( )A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下面命题正确的是A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC6．(2017·温州模拟)如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC二、填空题7．已知不同直线m、n及不重合平面α、β给出下列结论：①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β；②m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β；③m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α∥β；④m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β。

典题精讲例1如图2-3-1,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 为DD 1的中点,O 为ABCD 的中心,求证:B 1O ⊥平面PAC.图2-3-1思路分析:要证B 1O ⊥平面PAC,只需证B 1O 垂直于平面PAC 中的两条相交直线.证明:连结AB 1、CB 1,设AB=1.因为AB 1=CB 1=2,AO=CO,所以B 1O ⊥AC.连结PB 1.因为OB 12=OB 2+BB 12=23,PB 12=PD 12+B 1D 12=49,OP 2=PD 2+DO 2=43, 所以OB 12+OP 2=PB 12.所以B 1O ⊥PO.所以B 1O ⊥平面PAC.绿色通道:线面垂直可转化为线线垂直.应用勾股定理的逆定理,通过计算得出垂直也是证明垂直的常用手段.变式训练1在本题中,试证明平行平面AB 1C 与DC 1A 1与体对角线BD 1垂直且平分BD 1.证明:∵D 1D ⊥平面ABCD,∴AC ⊥D 1D.又∵AC ⊥BD,BD∩DD 1=D,∴AC ⊥平面D 1DB, ∴BD 1⊥AC.同理BD ⊥B 1C.∵AC∩CB 1=C,∴BD 1⊥平面AB 1C,同理BD 1⊥平面DC 1A 1. 不妨设正方体的棱长为a,则BD 1=3a.设B 到平面AB 1C 的距离是d.∵ABC B V -1=C AB B V 1-∴d=3331=∆-ABC ABCB S V a. 同理,D 1到平面DC 1A 1的距离也是33a. ∴原结论成立.例2如图2-3-2,已知P 是△ABC 所在平面外一点,PA 、PB 、PC 两两垂直,H 是△ABC 的垂心,求证:PH ⊥平面ABC.图2-3-2思路分析:根据判定定理,要证线面垂直,需证直线和平面内的两条直线垂直,根据H是△ABC 的垂心,可知BC⊥AH,又PA、PB、PC两两垂直,得PA⊥面PBC,于是PA⊥BC,由此可知BC 垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH,结论得证.证明:∵H是△ABC的垂心,∴AH⊥BC.①∵PA⊥PB,PB⊥PC,PB∩PC=C,∴PA⊥平面PBC.又∵BC 平面PBC,PA⊥BC,②由①②知,BC⊥PH,同理,AB⊥PH.∴PH⊥平面ABC.绿色通道:根据所求证的结论,寻求所需的已知条件,看题目是否已经直接给出,或者从题目所给条件,经过推理能够得出,这是分析问题的重要方法,称为执果索因;也可从条件出发,将这一条件可能得出的结论一一列出,从中选出我们证题所需要的结论,这种分析问题的方法称为由因导果,发散性较强.变式训练2在本题中,若PA⊥BC,PB⊥AC,试证PC⊥AB.证明:如图2-3-3,作PH⊥平面ABC于点H.图2-3-3∵PH⊥平面ABC,∴BC⊥PH.又∵BC⊥PA,∴BC⊥平面PAH.∴BC⊥AH.同理可证AC⊥BH.∴H是△ABC的垂心,则CH⊥AB.又∵AB⊥PH,∴AB⊥平面ACH.∴PC⊥AB.例3已知PA⊥平面ABC,点H、G分别是△ABC、△PBC的垂心,如图2-3-4.求证:HG⊥平面PBC.图2-3-4思路分析:欲证HG ⊥平面PBC,需证HG 与平面PBC 内的两条相交直线垂直.利用“垂心和三角形顶点的连线垂直于对边”的性质,可使孤立的点G 、H 与各边联系起来,并得到垂直关系,从而找到解题突破口.首先连结AH,并延长交BC 于点D,连结PD,则根据线面垂直及已知条件得PD ⊥BC,AD ⊥BC,从而BC ⊥平面PAD,且BC ⊥HG.再连结并延长BG 、BH 分别交对边于E 、F,则PC ⊥BE 且BF ⊥AC,从而PC ⊥BF,推出PC ⊥平面BEF,PC ⊥HG.证明:连结AH 并延长交BC 于D,连结PD.H 为△ABC 的垂心⇒AD ⊥BC.⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥PAD PD PAD BC A AD PA BC PA ABC BC ABC PA 平面平面平面平面 BC ⊥PD ⇒G ∈PD 且HC ⊥BC.连结并延长BG 、BH 分别交PC 、AC 于点E 、F,连结EF.H 为△ABC 的垂心,⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒PAC PC PAC BF ABC AC ABC PA AC BF 平面平面平面平面⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⇒⎭⎬⎫∈∈⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒∆⊥C BC PC BC GH PC GH BEF GH BF H BE G BEF PC PC BE PCB G BF PC 平面平面的垂心为GH ⊥平面PBC. 绿色通道:解决立体几何中的有关垂直关系的问题,常常要进行多次线线垂直和线面垂直之间的转化,这充分体现了数学化归思想的重要性和优越性.变式训练3如图2-3-5所示,在Rt △ABC 中,∠B=90°,P 为△ABC 所在平面外一点,PA ⊥平面ABC.问:四面体PABC 中有几个直角三角形？图2-3-5答案:△PAB,△PAC,△ABC,△PBC 都是直角三角形.问题探究问题直线与平面垂直的判定有哪些方法？导思:直线与平面垂直的判定定理,体现的仍是“平面化”的思想,同时,这也蕴含了“降维”的思想,即要证线面垂直,可转化为线线垂直.初中我们是这样定义垂直的:如果两条相交直线所成的角是直角,则称这两条直线互相垂直.这是平面几何中对垂直的认识,它是从角的方面联系垂直关系,要注意在学习中拓展,在空间几何中,垂直的意义更广泛.在初中我们主要用以下方法判定垂直:用定义判定垂直;两条平行线中,有一条与第三条直线垂直,则另一条也与第三条直线垂直;等腰三角形底边上的中线也是高;菱形的对角线互相垂直;垂径定理中的垂直等.探究:直线与平面垂直的判定方法很多,现简要总结如下:(1)用线面垂直定义:证一直线垂直于平面内任一直线,这条直线垂直于该平面.(2)用线面垂直判定定理:若一直线与平面内两相交直线都垂直,这条直线与平面垂直.(3)用线面垂直性质:两平行线之一垂直平面,则另一条也必垂直这个平面.(4)用面面垂直性质定理:两平面垂直,在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面.(5)用面面平行性质:一直线垂直于两平行平面之一,则必垂直于另一平面.(6)用面面垂直性质:两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面交线垂直于第三个平面.这六条线面垂直的判定方法其实质仍是转化思想,它们是线线、线面、面面垂直的转化.。

§直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定【课时目标】．掌握直线与平面垂直的定义．．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．．知道斜线在平面上的射影的概念，斜线与平面所成角的概念．．直线与平面垂直()定义：如果直线与平面α内的直线都，就说直线与平面α互相垂直，记作．直线叫做平面α的，平面α叫做直线的．()判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⇒⊥α．．直线与平面所成的角()定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图所示，就是斜线与平面α所成的角．()当直线与平面垂直时，它们所成的角的度数是°；当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是；线面角θ的范围：．一、选择题．下列命题中正确的个数是()①如果直线与平面α内的无数条直线垂直，则⊥α；②如果直线与平面α内的一条直线垂直，则⊥α；③如果直线不垂直于α，则α内没有与垂直的直线；④如果直线不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与垂直．．．．．．直线⊥直线，⊥平面β，则与β的关系是()．⊥β．∥β．⊂β．⊂β或∥β．空间四边形的四边相等，则它的两对角线、的关系是()．垂直且相交．相交但不一定垂直．垂直但不相交．不垂直也不相交．如图所示，定点和都在平面α内，定点∉α，⊥α，是平面α内异于和的动点，且⊥，则△为()．锐角三角形．直角三角形．钝角三角形．无法确定．如图所示，⊥平面，△中⊥，则图中直角三角形的个数为()．．．．．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为，，，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：①△是正三角形；②垂足是△的内心；③垂足是△的外心；④垂足是△的垂心．其中正确命题的个数是()．．．．二、填空题。

新人教A版高一第 1 课时直线与平面垂直的判定(2464)1.直线a与平面α所成的角为50∘，直线b//a，则直线b与平面α所成的角为（）A.40∘B.50∘C.90∘D.150∘2.已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①m⊥n,m//α,α//β⇒n⊥β；②m⊥n，m⊥α，α//β⇒n⊥β；③m⊥α，n//β，α//β⇒m⊥n；④m⊥α，m//n，α//β⇒n⊥β.其中正确的是（）A.①②B.②③C.①④D.③④3.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（）A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC4.若一条直线与一个平面成72∘角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角为（）A.72∘B.90∘C.108∘D.180∘5.如图所示，若斜线段AB的长度是它在平面α上的射影BO的长度的2倍，则AB与平面α所成的角是（）A.60∘B.45∘C.30∘D.120∘6.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体，使B,C,D三点重合，重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O，则下列说法中正确的是（）A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心7.如图所示，△ABC是等腰三角形，BA=BC，DC⊥平面ABC，AE//DC，若AC=2，且BE⊥AD，则（）A.AB·BC=1B.AB·BC=2C.AE·CD=1D.AE·CD=28.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=√2AD，E为CD的中点，则（）A.A1E⊥DD1B.A1E⊥DBC.A1E⊥D1C1D.A1E⊥DB19.如图所示，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)10.平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是.11.底面边长为a的正四棱锥的体积与棱长为a的正方体体积相等，则正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为.12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.BC=1，PA=√5，△PBC 13.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，AD=AB=12是正三角形.(1)求证：AB⊥平面PBC；(2)求点P到平面ABC的距离.14.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点.(1)求证：AF⊥平面BB1D1D；(2)求异面直线EF与BC所成的角的正切值.点P在棱AB 15.如图，已知三棱锥A−BCD的所有棱长均相等，点E满足CE→=3E，→上运动.设EP与平面BCD所成的角为θ，则sinθ的最大值为.16.已知AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点.(1)判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由；(2)当△VAB是边长为2√2的正三角形时，求四面体V−DEB的体积.参考答案1.【答案】:B【解析】:若两条直线平行，则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50∘，直线b//a，所以直线b与平面α所成的角为50∘.故选 B.2.【答案】:D【解析】:若m⊥n,m//α,α//β，则n//β或n与β相交，故①错误；若m⊥n,m⊥α,α//β，则n//β或n⊂β，故②错误；若m⊥α，n//β,α//β，则m⊥n，故③正确；若m⊥α,m//n,α//β，则n⊥β，故④正确.故选 D.3.【答案】:C【解析】:∵OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC=O，∴OA⊥平面OBC.4.【答案】:B【解析】:当这个平面内经过斜足的直线l与这条直线在这个平面内的射影垂直时, 直线l与这条直线垂直,所成的角为直角.又因为两直线所成角的取值范围为[0∘,90∘],所以直线l与这条直线所成角的最大值为90∘.故选 B.5.【答案】:A【解析】:∠ABO即是AB与平面α所成的角.在Rt△AOB中，AB=2BO，所以cos∠ABO= 1，即∠ABO=60∘.故选 A.26.【答案】:A【解析】:由题意可知PA,PE,PF两两垂直，则PA⊥平面PEF，则PA⊥EF.由题意知PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，又PA∩PO=P，所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO.同理可得AE⊥FO，AF⊥EO，所以O为△AEF的垂心.故选A.7.【答案】:D【解析】:取AC的中点O，连接OB，OE，OE交AD于点F，则OB⊥AC.∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥OB，∵DC∩AC=C，∴OB⊥平面ADC，∴OB⊥AD.∵BE⊥AD，OB∩BE=B，∴AD⊥平面BOE，∴AD⊥OE.∵AE//DC，∴∠DAE=∠ADC.又∠AFE=∠ACD=90∘，∴∠AEO=∠CAD，∴1AE =CD2，∴AE·CD=2.故选 D.8.【答案】:B【解析】:连接AE.因为AB=√2AD，E为CD的中点，所以ABAD =ADDE=√2，所以△ABD∽△DAE，所以∠DAE=∠ABD，所以∠EAB+∠ABD=90∘，即AE⊥BD.因为A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1A⊥BD.又A1A∩AE=A，所以BD⊥平面A1AE，所以A1E⊥DB.9.【答案】:AC⊥BD或四边形ABCD为菱形10.【答案】:垂直【解析】:∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又∵AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD.11.【答案】:3√2【解析】:记该正四棱锥为S−ABCD，设其高SO=ℎ，则13a2·ℎ=a3，可得ℎ=3a.因为该正四棱锥的侧棱与底面所成的角为∠SCO，且OC=√2所以tan∠SCO=a√2=3√2.12.【答案】:√33【解析】:如图所示，连接BD，与AC交于点O，连接D1O，过点D作DE⊥D1O.易知BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角.由题意知AC⊥DB,AC⊥DD1，又DB∩DD1=D，所以AC⊥平面DD1O，可得AC⊥DE，又DE⊥D1O，AC∩D1O=O，所以DE⊥平面ACD1,所以DD1与平面ACD1所成的角为∠DD1O.设正方体的棱长为1，则在Rt△DD1O中，sin∠DD1O=DOD1O =√22√62=√33.13(1)【答案】∵AB=12BC=1，且△PBC是正三角形，∴PB=2.∵PA=√5，∴AB2+PB2=PA2，∴AB⊥PB.又∵AB⊥BC，PB∩BC=B，PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC，∴AB⊥平面PBC.(2)【答案】设点P到平面ABC的距离为ℎ.由(1)知AB⊥平面PBC，由V P−ABC=V A−PBC，得13S△ABC·ℎ=13S△PBC·AB，即13×12×1×2×ℎ=13×12×2×2×√32×1，解得ℎ=√3，则点P到平面ABC的距离为√3.14(1)【答案】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD,因为F为BD的中点，所以AF⊥BD.因为DD1⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，所以AF⊥DD1.又DB∩DD1=D，DB⊂平面BB1D1D，DD1⊂平面BB1D1D，所以AF⊥平面BB1D1D.(2)【答案】连接D1B,D1C，如图所示.因为E，F分别为DD1，BD的中点，所以EF//D1B，故异面直线EF与BC所成的角即为∠D1BC.又BC⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，所以BC⊥D1C，所以tan∠D1BC=D1CBC=√2.15.【答案】:2√23【解析】:依题意可知，该几何体为正四面体.设顶点A在底面上的射影是O，则O是底面的中心，连接OB，过P作PH//AO，交OB于H，连接HE.设正四面体的棱长为4a，PB=x(0<x⩽4a).在三角形PBE中，∠PBE=π3，由余弦定理得PE=√x2+a2−ax.因为AO⊥平面BCD，PH//AO，所以PH⊥平面BCD，所以PH⊥HE，所以∠PEH是直线EP与平面BCD所成的角θ.在三角形AOB中，AO=√(4a)2−(4√33a)2=4√63a⋅又PHAO=x4a，又PHAO =x4a,所以PH=√63x.所以sinθ=PHPE=√63x√x2+a2−ax=√63√(ax−12)2+34，所以当x=2a时，sinθ取得最大值，最大值为2√23.16(1)【答案】DE⊥平面VBC，∵AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的动点，∴AC⊥BC.∵过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面，AC⊂平面BC，∴AC⊥VC，∵BC∩VC=C，∴AC⊥平面VBC.∵D，E分别是VA，VC的中点，∴DE//AC，∴DE⊥平面VBC.(2)【答案】∵△VAB是边长为2√2的正三角形，∴VB=VA，又∠VCB=∠VCA=90∘，VC=VC，∴△VBC≌△VAC，∴BC=AC.∵BC2+AC2=AB2=8，∴AC=BC=2，∴VC=√(22)2−22=2.∵D，E分别是VA，VC的中点，∴DE=12AC=1，∴四面体V−DEB的体积V V−DEB=V D−VBE=13×S△BEV×DE=13×12×S△VBC×DE=13×12×12×2×2×1=13.。

[A 基础达标]1.直线l 与平面α所成角θ的范围是( )A ．(0°，180°)B ．(0°，90°)C ．[0°，90°]D ．(0°，90°] 解析：选C.根据定义可知选C.2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径 ④正六边形的两条边 A ．①③ B ．② C ．②④ D ．①②③解析：选A.由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交，也可能直线在平面内．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直，故选A.3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( ) A.23 B ．33 C.23 D ．63解析：选D.如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接D 1O ，由于BB 1∥DD 1，所以DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62，所以cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63. 所以BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为63.4．如图所示，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，∠PBA ＝θ1，∠PBC ＝θ2，∠ABC ＝θ3.则下列关系一定成立的是( ) A ．cos θ1cos θ2＝cos θ3 B ．cos θ1cos θ3＝cos θ2 C ．sin θ1sin θ2＝sin θ3 D ．sin θ1sin θ3＝sin θ2解析：选B.⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BCAC ⊥BC PA ∩AC ＝A⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，所以cos θ1＝AB PB ，cos θ2＝BC PB ，cos θ3＝BCAB .则有cos θ1cos θ3＝cos θ2.5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．6.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________．解析：如图所示，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则AE ⊥平面BB 1C 1C . 所以AE ⊥DE ，因此AD 与平面BB 1C 1C 所成角即为∠ADE ， 设AB ＝a ，则AE ＝32a ，DE ＝a 2， 即有tan ∠ADE ＝3，所以∠ADE ＝60°. 答案：60°7.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________．解析：连接A 1C 1(图略)，因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角．又A 1B 1＝B 1C 1＝2，AA 1＝1，所以AC 1＝3.在Rt △AA 1C 1中，sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13.答案：138.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的最小值为________．解析：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥QD . 若BC 边上存在一点Q ，使得QD ⊥PQ ， 则有QD ⊥平面PAQ ，从而QD ⊥AQ .在矩形ABCD 中，当AD ＝a <2时，直线BC 与以AD 为直径的圆相离，故不存在点Q ，使PQ ⊥DQ .所以当a ≥2时，才存在点Q ，使得PQ ⊥QD .所以a 的最小值为2.答案：29.如图，在直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动．证明：AD ⊥C 1E .证明：因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以AD ⊥BC .①又在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ， 而AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥BB 1.② 由①②得AD ⊥平面BB 1C 1C .由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ， 所以AD ⊥C 1E .10.如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝2，CC 1＝5，M 是棱CC 1上一点．是否存在这样的点M ，使得BM ⊥平面A 1B 1M ？若存在，求出C 1M 的长；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M 使得BM ⊥平面A 1B 1M ，并设C 1M ＝x ，则有Rt △B 1C 1M ∽Rt △BMB 1.所以C 1M B 1M ＝B 1M BB 1，所以4＋x 2＝5x ，所以x ＝4或x ＝1.当C 1M ＝1或4时，使得BM ⊥平面A 1B 1M .[B 能力提升]1．已知三条相交于一点的线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且A 、B 、C 在同一平面内，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于点H ，则垂足H 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心解析：选C.易证AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，CH ⊥AB ，故点H 为△ABC 的垂心．2．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝6，则PC 与平面ABCD 所成角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：选C.如图，连接AC . 因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 就是PC 与平面ABCD 所成的角． 因为AC ＝2，PA ＝6， 所以tan ∠PCA ＝PA AC ＝62＝ 3.所以∠PCA ＝60°.3.如图，ABCD ­A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是________．(填序号)①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1；④异面直线AD 与CB 1所成的角为60°.解析：由于BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面CB 1D 1，B 1D 1⊂平面CB 1D 1，则BD ∥平面CB 1D 1，所以①正确；由于BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1，所以AC 1⊥BD .所以②正确；可以证明AC 1⊥B 1D 1，AC 1⊥B 1C ， 所以AC 1⊥平面CB 1D 1，所以③正确；由于AD ∥BC ，则∠BCB 1＝45°是异面直线AD 与CB 1所成的角，所以④错误． 答案：④4．(选做题)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝33，BC ＝3，沿对角线BD 将△BCD 折起，使点C 移到C ′点，且C ′点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上．(1)求证：BC ′⊥平面AC ′D ；(2)求直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值．解：(1)证明：因为点C ′在平面ABD 上的射影O 在AB 上， 所以C ′O ⊥平面ABD ，所以C ′O ⊥DA . 又因为DA ⊥AB ，AB ∩C ′O ＝O ， 所以DA ⊥平面ABC ′，所以DA ⊥BC ′. 又因为BC ⊥CD ，所以BC ′⊥C ′D . 因为DA ∩C ′D ＝D ，所以BC ′⊥平面AC ′D .(2)如图所示，过A 作AE ⊥C ′D ，垂足为E . 因为BC ′⊥平面AC ′D ， 所以BC ′⊥AE .又因为BC ′∩C ′D ＝C ′， 所以AE ⊥平面BC ′D .连接BE ，则BE 是AB 在平面BC ′D 上的射影，故∠ABE 就是直线AB 与平面BC ′D 所成的角．由(1)知DA ⊥平面ABC ′，所以DA ⊥AC ′. 在Rt △AC ′B 中， AC ′＝AB 2－BC ′2＝3 2.在Rt △BC ′D 中，C ′D ＝CD ＝3 3. 在Rt △C ′AD 中，由等面积法，得 AE ＝AC ′·AD C ′D ＝32×333＝ 6.所以在Rt △AEB 中，sin ∠ABE ＝AE AB ＝633＝23，即直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值为23.。

2．3.1 直线与平面垂直的判定一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．如果直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是( ) A．l⊂α B．l⊥αC．l∥α D．l⊂α或l∥α2．下列说法中正确的个数是( )①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.A．4 B．2 C．3 D．13．在正方体ABCD­ A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1DD．异面直线AD与CB1所成的角为45°4．如图L2­3­1所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )图L2­3­1A．平行 B．垂直相交C．垂直但不相交 D．相交但不垂直5．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列结论中不正确的是( )A．若c⊥α，α∥β，则c⊥βB．若a⊥b，b⊂β，c是a在β内的射影，则b⊥cC．若b∥c，b⊂α，c⊄α，则c∥αD．若a∥α，b⊥a，则b⊥α6．给出互不相同的直线m，n，l和平面α，β，则下列四个结论中正确的个数是( )①若m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；②若m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.A．1 B．2 C．3 D．47．如图L2­3­2所示，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )图L2­3­2A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．如图L2­3­3所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件______________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)图L2­3­3图L2­3­49．如图L2­3­4所示，在正方体ABCD­ A1B1C1D1中，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为________．10．如图L2­3­5所示，在正三棱锥A­BCD中，E，F分别为BD，AD的中点，EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为________．图L2­3­5 图L2­3­611．如图L2­3­6所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)得分12．(12分)如图L2­3­7所示，在四棱锥P­ ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2 2，求证：AD⊥平面PAB.图L2­3­713．(13分)如图L2­3­8所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC上的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.图L2­3­814．(5分)正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.6315．(15分)如图L2­3­9所示，已知点M，N分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，A1B1的中点，P是底面ABCD的中心．求证：(1)MN∥平面PB1C；(2)D1B⊥平面PB1C.图L2­3­92．3 直线、平面垂直的判定及其性质2．3.1 直线与平面垂直的判定1．D [解析] l可在平面α内也可在平面α外，在平面α外时l∥α.2．B [解析] 对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以①②是错误的；易知③④是正确的．3．C [解析] 由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确．4．C [解析] 连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD 不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．5．D [解析] 对于选项D，可能还有b∥α或b与α相交的情况．6．C [解析] 由异面直线的定义，易知①正确；由线面平行的性质知，存在直线l′⊂α，m′⊂α，使得l∥l′，m∥m′，∵m，l是异面直线，∴l′与m′是相交直线．又n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′，故n⊥α，所以②正确；由面面平行的判定定理知，③正确；④中满足条件l∥α，m∥β，α∥β的直线m，l的位置关系可能是相交、平行或异面，故④不正确．7．D [解析] 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C ，由对称性知SA 与平面SBD 所成的角与SC 与平面SBD 所成的角相等，故C 正确．8．AC ⊥BD 或四边形ABCD 为菱形 [解析] 若A 1C ⊥B 1D 1，由四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，得AA 1⊥B 1D 1，则B 1D 1⊥平面AA 1C 1C ，所以A 1C 1⊥B 1D 1，即AC ⊥BD ，则四边形ABCD 为菱形．9．30° [解析] 连接BC 1交B 1C 于点M ，连接A 1M ，则BM ⊥B 1C .因为A 1B 1⊥BM ，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，所以BM ⊥平面A 1B 1CD ，因此∠BA 1M 即为直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角．因为A 1B ＝2BM ，∠A 1MB ＝90°，所以∠BA 1M ＝30°.10．45° [解析] 因为三棱锥A ­ BCD 为正三棱锥，所以AB ＝AD ，AB ⊥CD . 又EF ⊥CF ，EF ∥AB ，所以AB ⊥CF ，所以AB ⊥平面ACD ，故直线BD 与平面ACD 所成的角∠BDA ＝45°.11．2 [解析] 因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在△PAC 中，AC ＝12AB ＝12PA ，所以tan ∠PCA ＝PAAC＝2.12．证明：在△PAD 中，由PA ＝2，AD ＝2，PD ＝2 2，可得PA 2＋AD 2＝PD 2，即AD ⊥PA .又AD ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面PAB .13．证明：(1)因为SA ＝SC ，D 为AC 的中点， 所以SD ⊥AC .在Rt △ABC 中，有AD ＝DC ＝DB ， 所以△SDB ≌△SDA ，所以∠SDB ＝∠SDA ，所以SD ⊥BD . 又AC ∩BD ＝D ，所以SD ⊥平面ABC .(2)因为AB ＝BC ，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC . 又由(1)知SD ⊥BD ，所以BD ⊥平面SAC.14．D [解析] O 1，O ，则OO 1⊥B 1D 1，OO 1∥BB 1，O 1O 与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角，易证得为∠O 1OD 1，在Rt △OO 1D 1中，cos ∠O 1OD 1＝O 1O OD |＝132＝63. 15．证明：(1)连接AP ，AB 1.∵四边形ABCD 为正方形，∴A ，P ，C 三点共线． 因为M ，N 为中点，所以MN ∥AB 1.因为MN ⊄平面PB 1C ，AB 1⊂平面PB 1C ，所以MN ∥平面PB 1C . (2)连接D 1B 1，PB .∵D 1D DB ＝PB BB 1＝12，∠D 1DB ＝∠PBB 1＝90°，∴△D 1DB ∽△PBB 1， ∴∠D 1BD ＝∠BB 1P .∵∠PBB 1＝90°，∴∠B 1PB ＋∠D 1BD ＝90°，∴D 1B ⊥PB 1①. ∵B 1B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴B 1B ⊥AC . 又AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ，∴AC ⊥平面B 1D ， ∵BD 1⊂平面B 1D ，∴AC ⊥D 1B ②.由PB 1∩AC ＝P 以及①②得D 1B ⊥平面PB 1C .。

2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、选择题1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在2．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为() A．30° B．45°C．60° D．120°3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC.BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是()A．4 B．3 C．2 D．15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在四面体A－EFH中必有()A．HG⊥△AEF所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．AH⊥△EFH所在平面6．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63 B.265 C.155 D.105二、填空题7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________.9．已知△ABC的三条边长分别是5,12,13，点P到A，B，C三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC的距离为________．10．如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．三、解答题11．如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN ⊥平面PBM .(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB .12．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .答案精析1．B 2.C 3.C4．A [∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC .又∵BC ⊥AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB.△P AC.△ABC.△PBC .]5．D [∵AD ⊥DF ，AB ⊥BE ，∴AH ⊥HF ，AH ⊥HE .又∵EH ∩FH ＝H ，∴AH ⊥面EFH .] 6．D [如下图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，连接A 1C 1，与B 1D 1交于O 点，连接OB ，由已知A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴OC 1⊥BB 1.而BB 1∩B 1D 1＝B 1， ∴OC 1⊥平面BB 1D 1D .∴OB 是BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影． ∴∠C 1BO 是BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角． 在正方形A 1B 1C 1D 1中， OC 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝ 2.在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5. ∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25＝105.]7．A 1C 1⊥B 1C 1解析 如图所示，连接B 1C .由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C .因此，要得AB 1⊥BC 1，则需BC 1⊥平面AB 1C ，即只需AC ⊥BC 1即可．由直三棱柱可知，只要满足AC ⊥BC 即可．而A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要满足A 1C 1⊥B 1C 1即可．8．90°解析 ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，MN ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥MN .又∵MN ⊥B 1M ，B 1M ∩B 1C 1＝B 1，∴MN ⊥平面C 1B 1M ，∴MN ⊥C 1M ，即∠C 1MN ＝90°.9.332解析 由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在面ABC 上的投影为△ABC 的外心． 又∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即P 在面ABC 上的投影是△ABC 斜边的中点D ，如图．∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝32 3.10．①②③解析 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB .又∵AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确． 11．证明 (1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM ⊥BM .又P A ⊥平面ABM ，∴P A ⊥BM . 又∵P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM . 又AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， ∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ， PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB . 又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ， ∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .12．(1)证明 ∵AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥PH .又∵PH ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)解 ∵PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，∴点E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH＝12. 又∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥CD ，∴S △BFC ＝12·CF ·AD ＝12×1×2＝22，∴V E －BCF ＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212.(3)证明 如图，取P A 的中点G ，连接GE ，DG .∵DA ＝DP ，∴DG ⊥P A .∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面P AD ，∴AB ⊥DG . 又∵AB ∩P A ＝A ，∴DG ⊥平面P AB .∵GE ∥AB ，GE ＝12AB ，DF ∥AB ，DF ＝12AB ，∴GE ∥FD ，GE ＝FD ， ∴四边形DFEG 为平行四边形， ∴DG ∥EF ，∴EF ⊥平面P AB .。

2．3.1直线与平面垂直的判定基础梳理1．直线与平面垂直．(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α；直线l叫做平面α的垂线；平面α叫做直线l的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.练习1：如右图所示，PA⊥CD，ABCD是正方形，求证：CD⊥平面PAD.证明：因为PA⊥CD，又ABCD是正方形，所以AD⊥CD，又PA与AD相交，所以CD⊥平面PAD.2．直线与平面所成的角．(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)特别的，当直线AP与平面α垂直时，它们所成的角是90°；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是0°．(3)直线和平面所成角θ的范围[0°，90°]．练习2：直线与平面不垂直时，能否在平面内找到两条直线与这条直线垂直？答案：能练习3：两条直线垂直就一定相交吗？答案：错►思考应用1．“两条平行直线能确定一个平面，一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则这条直线也垂直于这个平面．”这个结论对吗？解析：不正确．实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直．2．异面直线所成的角的定义及范围是什么？解析：异面直线所成的角是通过作平行线得到的，即异面直线a 与b所成的角，在空间中任取一点O，过O作a′∥a，b′∥b，则a′与b′的夹角就是a与b所成的角，其范围为(0°，90°]．自测自评1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是(A)A．①③B．②C．②④D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能平行．2．若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是(A)A．60°B．45°C．30°D．120°解析：AB与平面α所成的角，即AB与其在平面α射影所成的角，由已知得为60°.3．如果直线l和平面α内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是(D)A．l⊂αB．l与α相交C．l∥αD．都有可能4．已知a，b是异面直线，下列结论不正确的是(D)A．存在无数个平面与a，b都平行B．存在一个平面与a，b等距离C．存在无数条直线与a，b都垂直D．存在一个平面与a，b都垂直5．三条直线两两垂直，下列四个命题：①三条直线必共点；②其中必有两条直线是异面直线；③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条直线在同一平面内．其中真命题的序号是③．解析：两条直线垂直不一定相交，只有③正确．基础达标1．下列说法中错误的是(D)①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可得①②③错误．2．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(B)A．(0°，90°) B．[0°，90°]C．[0°，180°] D．[0°，180°)3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：取AD的中点F，连接EF、BF，则EF∥PA，由侧棱PA⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，则∠EBF为BE与平面ABCD所成角．答案：213 134．设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________．答案：垂直5．给出下列命题：①若直线a⊥平面α，且直线a⊥直线b，则b⊥平面α；②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；③如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．其中正确命题的序号是________．解析：解答此类问题的关键是正确理解和掌握好直线与平面垂直的定义，对不正确的命题，可通过举反例说明．①b与平面α可以平行或者b⊂α.②直线垂直于平面α内的无数条平行直线时，直线与平面不一定垂直．③由反证法可知正确．答案：③6．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．解析：由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．答案：菱形巩固提升7．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的(D) A．内心B．外心C．重心D．垂心解析：连接AH并延长交BC于D，如图所示．由于PH⊥平面ABC，则BC⊥PH，又PA⊥PB，PA⊥PC，则PA⊥平面PBC，所以BC⊥PA.所以BC⊥平面PAD，又AH⊂平面PAD，所以AH⊥BC.同理可证BH⊥AC，CH⊥AB，所以垂足H是△ABC的垂心．8．如图，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝12AB，PH为△PAD 中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)证明：EF⊥平面PAB.证明：(1)∵PH为△PAD中的高，∴PH⊥AD.又AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，∴PH⊥AB，AB∩AD＝A.∴PH⊥平面ABCD.(2)取PA的中点Q，连接EQ，DQ，∵E是PB的中点，∴EQ∥AB且EQ＝12AB.又DF＝12AB且DF∥AB，∴EQ綊DF，∴四边形EQDF是平行四边形．∴EF∥DQ.由(1)知AB⊥平面PAD，∴AB⊥DQ.又∵PD＝AD，∴DQ⊥PA.∵PA∩AB＝A，∴DQ⊥平面PAB.∵EF∥DQ，∴EF⊥平面PAB.9．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE＝3，AB＝6.(1)求证：AB⊥平面ADE；(2)求凸多面体ABCDE的体积．(1)证明：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD.在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE.∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.(2)解析：在Rt △ADE 中，AE ＝3，AD ＝6，∴DE ＝AD 2－AE 2＝3 3.如图，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，∵AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ，∴EF ⊥AB.∵AD ∩AB ＝A ，∴EF ⊥平面ABCD.∵AD ·EF ＝AE·DE ，∴EF ＝AE ·DE AD ＝3×336＝332. 又正方形ABCD 的面积S 正方形ABCD ＝36，∴V 多面体ABCDE ＝V EABCD ＝13S 正方形ABCD ·EF ＝13×36×332＝18 3. 故所求凸多面体ABCDE 的体积为18 3.1．直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”，“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直，这是关键．2．判定线面垂直的两种方法：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理．。

直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况，关系的认识，既可以从直线与平面相交所成的角为90°又可以从已有的线线垂直关系出发进行推理和论证．在线面垂直的判定定理中，有非常重要的限制条件，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用时一边垂直，如图文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．α所成的角把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．()(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b.()(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.()答案：(1)×(2)√(3)×2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1B1CDC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：由于易证BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.答案：B3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于() A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.答案：C4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥α，l∥m，则m⊥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：易知A正确．B项，l与m可能异面，也可能平行．C项，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.D项，l与m可能平行、异面或相交．答案：A类型一直线与平面垂直定义的理解例1已知平面α及α外一条直线l，给出下列命题：①若l 垂直于α内两条直线，则l ⊥α； ②若l 垂直于α内所有直线，则l ⊥α；③若l 垂直于α内任意一条直线，则l ⊥α； ④若l 垂直于α内两条平行直线，则l ⊥α.其中，正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．【答案】 C命题是否正确，一般先考虑能否利用定义来判断．方法归纳直线与平面垂直要求直线与平面内的任一直线都垂直，“任一直线”与“所有直线”表示相同的含义．但“任一直线”与“无数条直线”含义不一样．跟踪训练1 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证该直线与平面垂直．而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．答案：①③④用定义判断时一定要弄清两直线是否相交．类型二 证明直线与平面垂直例2 如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AC ＝BC ，N 是AB 的中点．求证：CN ⊥平面ABB 1A 1.【证明】⎭⎪⎬⎪⎫AA 1⊥底面ABC CN ⊂底面ABC ⇒AA 1⊥CN ， ⎭⎪⎬⎪⎫AC ＝BC N 是AB 的中点⇒AB ⊥CN ，P A⊥底面ABC，其中∠，BC⊂平面ABC∴∠AOH即为OA与平面求：一般来说是借助三角形的相关知识求角．的正方体ABCDABC1D1所成的角的正弦值．的中点F，连接EF与平面ABC1D1所成的角．∥β，则．lβ．以上均有可能，则平面a，b，又．AC1⊥BD1D1，可知选项A可得BD⊥平面ACCB正确；，同理AC1⊥D1CAB是它在平面)中，最多有________⊥AC，则△APBP A⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知BC⊥AB，∴BC为直角三角形，故直角三角形最多有所成的角的大小为________．B1D1，则B1D1是与平面A1B1C1D1所成的角．3分，共20分)ABCD中，AB∥CD，CD＝SD＝1.求证：⊥CD，AB＝BC＝为直角梯形，平面SAB.为圆O的直径，且C为圆O上一点，且D，PD＝DB.所成的角．，由3AD＝DB的直径，所以AC⊥CB[能力提升](20分钟，40分)11．[2019·淮安一中月考]在四面体P－ABC中，P A＝PB＝PC＝AB ＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．BC⊥平面P AEC．DF⊥平面P AED．AE⊥平面APC解析：因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DF∥BC，故BC∥平面PDF，故A项正确．又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，PE⊥BC，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，所以DF⊥平面P AE，故B、C项正确．由于AE与AP不垂直(否则，等腰三角形P AE将有两个直角)，故AE与平面APC不垂直．选D.答案：D12．已知点O为三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若P A＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若P A⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的________心．解析：因为P A＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；若P A⊥BC，又PO⊥平面ABC，所以BC⊥PO.所以BC⊥平面P AO.所以BC⊥AO.同理AC⊥OB.所以O是△ABC的垂心．ABCD中，底面ABCD是矩形，F分别是AD，PC⊥平面BEF.－ABCD中，AD⊥平面CD＝4，PD＝2.所成角的余弦值；；的平行线交BC于点F，连接与平面PBC所成的角．，故PF为DF在平面PBC所成的角．。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③B．②C．②④D．①②④解析：由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．答案： A2．已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()A．a∥αB．a⊂αC．a⊥αD．a是α的斜线解析：答案： C3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．答案： C4.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，则直线BA 1与平面DD 1B 1B 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析： 如图取B 1D 1的中点O 1，连A 1O 1，易证A1O 1⊥平面DD 1B 1B .连接O 1B ，则O 1B 为A 1B 在平面DD 1B 1B 内的射影，∴∠A 1BO 1为所求的线面角，在Rt △A 1O 1B 中，sin ∠A 1BO 1＝A 1O 1A 1B ＝12，∴∠A 1BO 1＝30°.答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在的平面，若PC ⊥BD ，则平行四边形一定是________． 解析：如图，PA ⊥平面ABCD 得PA ⊥BD ，又PC ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAC ， ∴BD ⊥AC ，平行四边形ABCD 为菱形． 答案： 菱形6．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是________．解析： tan ∠PCA ＝PA AC ＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案： 30°7．在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝6，BC ＝8，EC ⊥平面ABC ，且EC ＝12，则ED ＝________.解析：如图所示，在Rt △ABC 中， CD ＝12AB .∵AC ＝6，BC ＝8， ∴AB ＝62＋82＝10.∴CD ＝5.∵EC ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴EC ⊥CD . ∴ED ＝EC 2＋CD 2＝122＋52＝13.答案： 13三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC .若点O 为△ABC 的外心，求证：PO ⊥平面ABC .证明： 如图所示，分别取AB ，BC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，PD ，PE . ∵O 为△ABC 的外心， ∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .∵PA ＝PB ，D 是AB 的中点， ∴AB ⊥PD .而OD ∩PD ＝D ， ∴AB ⊥平面POD .又∵PO ⊂平面POD ，∴AB ⊥PO . 同理，BC ⊥PO .∵AB ∩BC ＝B ，∴PO ⊥平面ABC .9．如图所示，直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，AC ，BC 与α所成的角分别为30°，45°，CD 是直角三角形斜边AB 上的高，求CD 与平面α所成的角．解析： 设C 在平面α内的射影为H ，连接DH ，AH ，BH ，如图所示，则易知∠CDH 是CD 与平面α所成的角．设CH ＝m ，则在Rt △CAH 中，由∠CAH ＝30°可得CA ＝2m . 又在Rt △CBH 中，由∠CBH ＝45°可得CB ＝2m .故在Rt △ABC 中，由CA ＝2m ，CB ＝2m ，可得斜边上的高CD ＝23m 3，则sin ∠CDH ＝CH CD ＝m 233m ＝32，即∠CDH ＝60°.故CD 与平面α所成的角为60°.10.(2015唐山玉田县林南仓中学高二期末)如图，四面体ABCD 的各棱长均相等，AD ⊥平面α于点A ，点B 、C 、D 均在平面α外，且在平面α的同一侧，线段BC 的中点为E ，则直线AE 与平面α所成角的正弦值为( )A.33B.32C.22D.12解析：如图，设四面体ABCD的棱长为a，则△ABC为边长为a的正三角形，又E为BC边的中点，所以AE⊥BC，则AE＝32a.取AD的中点M，连接BM、CM，则BM⊥AD，CM⊥AD，又BM∩CM＝M，所以AD⊥平面BCM，故平面BCM∥平面α，所以平面BCM到平面α的距离为a2，所以E到平面α的距离为a2.则直线AE与平面α所成角的正弦值sin α＝a 2AE ＝a232a＝33，故选A.答案： A11.(2015·广东河源高二期中)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AC⊥SO.正确结论的序号是________．解析：连接SO，如图所示，因为四棱锥S－ABCD的底面为正方形，所以AC⊥BD.因为SD⊥底面ABCD，所以SD⊥AC，因为SD∩BD＝D，所以AC⊥平面SBD，因为SB⊂平面SBD，所以AC⊥SB，则①正确；因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，则②正确；因为SD⊥底面ABCD，所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，因为AD＝CD，SD＝SD，所以∠SAD＝∠SCD，则③正确；因为AC⊥平面SBD，SO⊂平面SBD，所以AC⊥SO，则④正确．答案：①②③④12．(2015·北京市房山区高二期中)如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB.证明：(1)因为F是BE的中点，取BA的中点M，连接FM，MC，则FM∥EA，FM＝12EA＝a，因为EA、CD都垂直于平面ABC，所以CD∥EA，所以CD∥FM，又CD＝a＝FM，所以四边形FMCD是平行四边形，所以FD∥MC，FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC ， 所以FD ∥平面ABC .(2)因为M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形， 所以CM ⊥AB .又EA 垂直于平面ABC ，所以CM ⊥AE ， 又AE ∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面EAB ， 因为AF ⊂平面EAB ，所以CM ⊥AF ，又CM ∥FD ，从而FD ⊥AF ， 因为F 是BE 的中点，EA ＝AB ， 所以AF ⊥EB .EB ，FD 是平面EDB 内两条相交直线， 所以AF ⊥平面EDB .13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC 的值．解析： (1)证明：设点O 为AC ，BD 的交点． 由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BD .PA ∩AC ＝A . 所以BD ⊥平面APC .(2)连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC＝23，所以OC ＝12AC ＝ 3.在直角△OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2. 在直角△OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为433.(3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ， 所以PC ⊥OG .在直角△PAC 中，得PC ＝15. 所以GC ＝AC ·OC PC ＝2155.从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.。