2020届(新增4页)高三一轮数学复习第31讲等差数列的概念及基本运算
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等差数列的概念和求和公式
等差数列的概念和求和公式等差数列是数学中一种常见且重要的数列类型，它的表达形式为每一项与前一项之间的差值固定。
在本文中，我们将介绍等差数列的基本概念以及求和公式，并讨论其应用。
一、等差数列的概念等差数列由首项（a）和公差（d）两个基本要素来定义。
首项表示数列中的第一项，公差表示每一项与前一项之间的差值。
等差数列的通项公式可表示为：an = a + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项。
例如，考虑一个等差数列：2，5，8，11，14......其中首项a=2，公差d=3。
使用通项公式，我们可以计算数列中任意一项的值。
二、等差数列的求和公式求和公式是用来计算等差数列中前n项的和的公式。
等差数列的求和公式可以通过两种方法来推导：几何解法和代数解法。
1. 几何解法：通过将等差数列按照首项和公差的倍数进行分组，并且将这些分组拼接成一个等差数列的倒序数列，可以得到一个长方形的面积公式。
根据这个面积公式，我们可以得到等差数列的求和公式：Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2。
2. 代数解法：通过将等差数列的前n项和Sn与其后n项和Sn'进行相加，可以得到Sn + Sn' = (a + an') * n。
将an'表示为a + (n-1)d，将Sn'表示为Sn - a，代入公式得到Sn = (a + an') * n / 2 = (2a + (n-1)d) * n / 2。
三、等差数列的应用等差数列的求和公式在实际应用中非常有用，特别是在数学和物理等领域。
以下是几个具体的应用场景：1. 统计数据分析：等差数列的求和方法可以用于计算一段时间内的某项指标的总和，比如销售额、人口增长等。
2. 资金管理：等差数列可以帮助我们计算每月存入或取出固定金额下的总资金变化情况，以便进行合理规划和决策。
3. 物理学：在物理学中，等差数列广泛用于描述具有均匀加速度的运动，如自由落体运动的距离和速度的计算等。
(高考理数一轮复习)第31讲 等差数列的概念及基本运算
S9＝－18，则 S16＝
.
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解析：S9＝9a12＋a9＝9a5＝－18， 所以 a5＝－2，S16＝16a12＋a16＝8(a5＋a12)＝－80.
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一 等差数列中基本量的计算
【例 1】设递增等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a3＝1，a24＝a3·a7.
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3.(2012·北京卷)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，
若a1＝21，S2＝a3，则a2＝
.
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理数
解析：设等差数列{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得， a1＝a3－a2＝d＝12，所以 a2＝2d＝2×12＝1.
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4.(2012·广东卷)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，
所以nSn的最小值就在6S6,7S7两个较小者中取得，经计算在
n＝7时取得最小值为－49.
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2.(2012·福建卷)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则
数列{an}的公差为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
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解析：根据已知条件得aa11＋ ＋a31d＋＝47d＝10 ， 即2aa1＋1＋34dd＝＝710 ，解得 d＝2，故选 B.
所以Tn＝b1·b2·…·bn
＝32×1－10·32×2－10·…·32n－10
＝32×1－10＋2×2－10＋…＋2n－10
＝32(1＋2＋…＋n)－10n＝3n2－9n
等差数列的概念
等差数列的概念等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
在数学中，等差数列是一种重要的数列类型，具有广泛的应用。
它在数学、物理、经济等领域都有着重要的地位和作用。
一、等差数列的定义等差数列的定义比较简单，即数列中任意两项之差都相等。
数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
二、等差数列的性质1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，常用字母d表示。
公差可以是正数、负数或零，代表着数列中每一项之间的间隔。
2. 首项和末项：等差数列中的第一项为首项，常用字母a1表示；最后一项为末项，常用字母an表示。
3. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。
根据公式an = a1 + (n-1)d，我们可以轻松地求得数列中任意一项的值。
4. 总和公式：等差数列的前n项和可以用总和公式来表示。
总和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。
5. 递推关系：等差数列中的每一项都可以通过前一项加上公差得到。
这种递推关系使得我们可以通过已知条件计算出其他项的值。
三、等差数列的应用等差数列在数学上具有广泛的应用，它们可以通过表达式和性质来解决各种问题。
1. 数学应用：等差数列常常用来解决一次方程和一次不等式的问题。
通过等差数列的性质和公式，我们可以求解未知项的值，计算前n项和，判断数列的增减性等。
2. 物理应用：等差数列在物理学中也有重要的应用。
例如，物体匀速运动的位移、速度和加速度等可以通过等差数列来表示和计算。
3. 经济应用：等差数列在经济学中的应用也非常广泛。
例如，在贷款计算和投资分析中，我们常常需要利用等差数列的公式来计算每期的利息、本金和回报率等。
四、等差数列的例题分析为了更好地理解等差数列的概念和应用，我们来看几个例题。
例题1：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前5项和。
解法：根据等差数列的总和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，代入已知条件，得到S5 = (5/2)(2 + 2 + 3×4) = 35。
高考等差数列知识点
高考等差数列知识点在高考数学考试中，等差数列是一个经常出现的重要知识点。
掌握等差数列可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，同时也是解决实际问题的一种有效工具。
本文将介绍等差数列的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地掌握和理解高考涉及的等差数列知识点。
一、等差数列的定义和性质等差数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项之差都相等。
如果一个数列满足这个条件，那么我们就称其为等差数列。
等差数列通常用字母a, d来表示，其中a是首项，d是公差。
数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d在等差数列中，首项a是指数列的第一项，公差d是相邻两项之间的差值。
等差数列的一个重要性质是，任意两项之和等于首项和末项之和的一半乘以项数。
这一性质在高考中经常被用于求和问题的解答过程中。
二、等差数列的求和在高考数学中，等差数列的求和问题经常被考察。
当给定等差数列的首项、末项和项数时，我们可以利用等差数列的求和公式来求解。
等差数列的求和公式可以表示为：Sn = n/2 * (a + l)其中，Sn表示等差数列的前n项和，a表示首项，l表示末项。
利用等差数列的求和公式，我们可以迅速求得数列的和。
在高考数学中，这种技巧经常用于求解复杂的数学题，其中需要快速计算等差数列的和。
三、等差数列的应用等差数列在实际生活和科学研究中有广泛的应用。
例如，它可以用于描述人口增长、物种数量的变化、财富的积累等。
等差数列还常常用于建模和解决实际问题。
例如，在金融领域中，我们可以利用等差数列的知识来分析贷款的还款计划。
在计算机科学中，等差数列的知识也被应用于算法设计、数据结构等领域。
除了在实际应用中的广泛应用外，等差数列还是高中数学的基础知识，对于理解和学习更高阶数学概念起到了重要的作用。
学好等差数列不仅可以提高数学素养，还可以培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
总结：等差数列是高考数学中的重要基础知识，它常常出现在考试中。
掌握等差数列的定义、性质以及求和公式是必不可少的。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结在数学的世界里，等差数列是一个重要且基础的概念。
理解和掌握等差数列的相关知识，对于解决很多数学问题都有着至关重要的作用。
下面就让我们一起来详细了解一下等差数列。
一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
例如：数列 1，3，5，7，9就是一个公差为 2 的等差数列；数列 10，8，6，4，2则是一个公差为－2 的等差数列。
二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 an 表示第 n 项的值，a1 表示首项，n 表示项数，d 表示公差。
通过通项公式，我们只要知道了首项、公差和项数，就能够求出相应的项的值。
例如：在等差数列 2，5，8，11中，首项 a1 ＝ 2，公差 d ＝ 3 ，那么第 5 项 a5 ＝ 2 ＋（5 1)×3 ＝ 14 。
三、等差数列的性质1、若 m，n，p，q ∈ N+ ，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq 。
比如在等差数列 3，6，9，12，15 中，因为 1 ＋ 4 ＝ 2 ＋ 3 ，所以a1 ＋ a4 ＝ a2 ＋ a3 ，即 3 ＋ 12 ＝ 6 ＋ 9 。
2、从等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，且公差为原公差的倍数。
例如在等差数列1，4，7，10，13，16，19，22 中，抽出奇数项1，7，13，19 ，其公差为 6 ，是原公差 3 的 2 倍。
3、若数列{an}是等差数列，则{kan ＋ b}（k，b 为常数）也是等差数列。
比如数列 2，5，8 是公差为 3 的等差数列，那么 2×2 ＋ 1，2×5 ＋1，2×8 ＋ 1 即 5，11，17 也是等差数列，公差为 6 。
四、等差数列的前 n 项和公式等差数列的前 n 项和公式有两个：1、 Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 ，这个公式需要知道首项和末项的值。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是初等数学中最基础的数列形式。
在这篇文章中，我们将对等差数列的定义、性质以及常见问题进行总结。
让我们一起来探索等差数列的奥秘吧！一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。
简单来说，如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
通常用字母 "a" 表示首项，字母 "d" 表示公差，递推公式可以写作：an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示数列中的第 n 项。
二、等差数列的性质1. 公差 (d)：等差数列中相邻两项之间的差称为公差。
任意两项之差为公差的倍数。
2. 首项 (a1)：等差数列中第一项称为首项。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来计算数列中第 n 项的值。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
4. 项数 (n)：数列中项的个数称为项数。
5. 数列和公式：等差数列的前 n 项和可以通过数列的首项、末项以及项数来计算得出。
数列和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、等差数列的常见问题1. 求和问题：给定一个等差数列，如何计算前 n 项的和？使用数列和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) 可以得到结果。
2. 求特定项问题：在一个等差数列中，找到第 n 项的值。
可以利用通项公式 an = a1 + (n-1)d 来计算。
3. 求公差问题：已知一个等差数列的首项和任意两个相邻项之间的差，怎样求出公差？公差可以通过任意两项之差来求得。
4. 推理问题：已知一个等差数列中的几个项，如何判断一个数是否属于这个数列？当且仅当这个数与该等差数列中的任意两个相邻项之差相等时，该数属于该等差数列。
四、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域。
在数学中，等差数列是数学研究的基础，也是其他数列的基础形式之一。
在物理学中，等差数列用来描述匀速直线运动的位移变化。
等差数列的概念、性质及其应用
等差数列的概念、性质及其应用等差数列是数学中的一种常见数列形式，也是初等数学中较为基础的概念之一。
它在数学、物理等领域中都有广泛的应用。
本文将围绕等差数列展开，介绍等差数列的概念、性质及其应用。
一、等差数列的概念等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差恒定的数列。
设数列的首项为a1，公差为d，则数列中的任意一项可以表示为an=a1+(n-1)d。
其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
二、等差数列的性质1. 通项公式：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，通过这个公式可以计算出等差数列中任意一项的值。
2. 首项和末项：等差数列的首项为a1，末项为an，根据通项公式可得an=a1+(n-1)d。
3. 公差：等差数列中任意两个相邻项之间的差称为公差，常用字母d表示。
4. 项数：等差数列中项的个数称为项数，常用字母n表示。
5. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n/2*(a1+an)来计算。
三、等差数列的应用等差数列在实际应用中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 金融领域：等差数列常用于计算利息、贷款等金融问题中。
例如，某人每月存款1000元，存款期限为10个月，假设存款的年利率为5%，那么可以通过等差数列的求和公式计算出存款的总金额。
2. 物理学：等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位移变化。
例如，某物体以每秒10米的速度匀速向前运动，可以通过等差数列的通项公式计算出物体在任意时间点的位置。
3. 数学研究：等差数列是数学中的一个重要概念，研究等差数列的性质有助于深入理解数列的规律和数学推理的方法。
等差数列是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、金融等领域中都有广泛的应用。
通过等差数列的概念、性质及其应用的介绍，我们可以更好地理解等差数列的本质和作用，进一步拓展数学思维，并将其运用到实际问题中。
希望本文能对读者对等差数列有更深入的了解和应用提供帮助。
【学海导航】高考数学一轮总复习 第31讲 等差数列的概念及基本运算课件 理 新人教A版
一
等差数列中基本量的计算
【例 1】已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求 {an}的前 n 项和 Sn.
【分析】 由于数列{an}是等差数列， 则可将条件中的 a3，a7，a4，a6 均用首项 a1 与公差 d 来表示，进而建立关 于 a1 与 d 的方程组来求解．
【解析】 设{an}的公差为 d，
1.通过实例，理解等差数列的概念.
2.探索并掌握等差数列的通项公式与 前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的 等差关系，并能用有关知识解决相应的 问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.
1. 等 差 数 列 定 义 ① an+1-an=d(常数) .(n∈N*),这是证明一 个数列是等差数列的依据，要防止仅由 前若干项，如 a3-a2=a2-a1=d( 常数 ), 就说 {an}是等差数列这样的错误，判断一个 数 列 是 否 是 等 差 数 列 , 还 可 由 an+an+2=2an+1,即an+2-an+1=an+1-an来判断.
【点评】应用等差数列的通项公式，求出基本量，然后利 用求和公式求解．
素材1
在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，问 n 为何值时此数 列前 n 项的和 Sn 最大？
9 ×8 17×16 【解析】 方法 1：S9＝S17⇒9a1＋ 2 d＝17a1＋ 2 d， 将 a1＝25 代入得 d＝－2. nn－1 从而 Sn＝25n＋ 2 d＝－(n－13)2＋169， 故当 n＝13 时，Sn 最大．
4.已知数列{an}，“对任意的 n∈N*，点 Pn(n，an)都在 直线 y＝3x＋2 上”是“{an}为等差数列”的( A．充分不必要条件 C．充要条件 )
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中常见且重要的一个概念。
在数列中，如果相邻的两项之间的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列有很多应用，例如在数学、物理、工程等领域中都能见到它的身影。
本文将对等差数列的定义、常见知识点以及一些定理进行总结。
1. 等差数列的定义等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设数列A的公差为d，首项为a₁，则数列A的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ为数列A的第n项，n为项数。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式是指数列前n项的和。
设数列A的首项为a₁，公差为d，数列的前n项和为Sn，那么有如下公式：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，n为项数，aₙ为数列A的第n项。
3. 等差数列的性质(1) 通项公式的推导：设数列A的首项为a₁，公差为d，根据等差数列的定义，可以得到递推公式：aₙ = aₙ₋₁ + d。
通过数学归纳法可以证明等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1) * d。
(2) 首项与末项求和：等差数列的首项与末项之和等于所有项之和的一半，即a₁ + aₙ = Sn/2。
(3) 任意三项求和：对于等差数列中的任意三项aᵢ、aₙ、aₙ，其和满足如下关系：aᵢ + aₙ + aₙ = 3a〈(i+j+k)/3〉，其中，a〈(i+j+k)/3〉表示等差数列中下标为⌈(i+j+k)/3⌉的项。
(4) 项数与公差求和：对于等差数列，项数与公差的乘积等于数列中所有项的和与项数之积减去首项，即n * d = Sn - a₁。
4. 等差数列的常见定理(1) 等差中项定理：在等差数列中，任意三项构成的两个连续子列之和相等。
即对于等差数列中的任意三项aᵢ、aₙ、aₙ，有aᵢ + aₙ =2a〈(i+j)/2〉。
(2) 等差数列的均值定理：等差数列的任意k项的和与这k项的平均值之积等于这k项中间项的平方，即aᵢ + aᵢ₊₁ + ... + aₙ = (j-i+1)a〈(i+j)/2〉。
完整版等差数列知识点总结
完整版等差数列知识点总结等差数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和等差数列的性质等知识点进行全面总结。
一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之差都相等的数列。
数列中的每一项我们称之为等差数列的项，其中第一项通常用a1表示，等差用d表示。
例如，数列2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中a1=2，d=3。
二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指根据等差数列的首项和公差，求出任意一项的求值公式。
通项公式的推导有多种方法，这里我们介绍其中一种常用的方法。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d根据这个公式，我们可以轻松地求得等差数列中任意一项的值。
三、等差数列前n项和公式在等差数列中，求前n项和也是一个常见的问题。
我们可以通过求和公式来解决这个问题。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，前n项和用Sn表示，则前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)利用前n项和公式，我们可以方便地求得等差数列的前n项和。
四、等差数列的性质等差数列具有一些特点和性质，我们在解题过程中可以利用它们来简化计算。
1. 通项差是公差的倍数：an - an-1 = d这个性质意味着等差数列中，相邻两项之差都是公差的倍数。
2. 对称性：an = a1 + (n-1)d，an+k = a1 + (n+k-1)d根据等差数列的通项公式，我们可以发现等差数列具有对称性。
一个等差数列中的第k项和倒数第k项之和等于第一项与最后一项之和。
3. 求和公式与项数有关：Sn = (n/2)(a1 + an)求和公式中的项数n对和值Sn有影响，这个公式可以帮助我们快速计算一个等差数列的前n项和。
五、等差数列的应用领域等差数列在数学中有广泛的应用，它们不仅仅出现在数学题目中，还出现在其他许多领域。
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＝32(1＋2＋…＋n)－10n＝3n2－9n
要使 Tn>1，即 n2－9n>0，所以 n>9， 所以当 n>9，且 n∈N*时，Tn>1.
【拓展演练 3】 (2012·广东省肇庆市第一次模拟)已知数列{an}是一个等 差数列，且 a2＝1，a5＝－5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 cn＝5－2 an，bn＝2cn，求 T＝log2b1＋log2b2＋log2b3＋… ＋log2bn 的值．
解析：(1)在递增等差数列{an}中，设公差为 d>0， 因为aa243＝＝a13·a7 ⇒(aa11＋＋23dd＝)2＝1 1×(a1＋6d) ， 解得ad1＝＝2－3 ， 所以 an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5. (2)Sn＝n(－3＋22n－5)＝n2－4n， 所以 Sn＝n2－4n.
【拓展演练 1】 (2012·河北省保定第三次模拟)已知等差数列{an}中， a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值．
第31讲 等差数列的概念及基本运算
1．(原创)数列－2,2,6，x,14,18，……中的 x 等于( D )
A．7
B．8
C．9
D．10
解析：易知数列是公差为 4 等差数列， 因此 x＝6＋4＝10，故选 D.
2．(改编)已知等差数列{an}的首项 a1＝－3，公差 d＝2，
则通项公式 an＝( C )
.
解析：S9＝9(a1＋ 2 a9)＝9a5＝－18， 所以 a5＝－2，S16＝16(a12＋a16)＝8(a5＋a12)＝－80.
一 等差数列中基本量的计算
【例 1】(改编)设递增等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 已知 a3＝1，a24＝a3·a7.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{D．4
解析：根据已知条件得aa11＋ ＋a31d＋＝47d＝10 ， 即2aa1＋1＋34dd＝＝710 ，解得 d＝2，故选 B.
3.(2012·北京卷)已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，若
a1＝12，S2＝a3，则 a2＝
.
解析：设等差数列{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得， a1＝a3－a2＝d＝12，所以 a2＝2d＝2×12＝1.
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所以{S1n}是以S11＝a11＝13为首项，公差 d＝－12的等差数列．
3
(n＝1)
因此，an＝(3n－51)8(3n－8)
).
(n≥2，n∈N*)
(2)因为S1n＝S11＋(n－1)d＝13＋(n－1)(－12)＝5－63n， 所以 Sn＝5－63n(n∈N*)． 从而 an＝12Sn·Sn－1＝(3n－51)8(3n－8)(n≥2，n∈N*)，
A．n－4
B．3n－6
C．2n－5
D．－2n－1
解析：an＝－3＋(n－1)·2＝2n－5，故选 C.
3．(原创)若 4 是 P 与 12 的等差中项，则 P＝
.
解析：由 4＝P＋212，得 P＝－4.
4．(改编)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，a12＝－8，
S9＝－18，则 S16＝
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，
已知 S10＝0，S15＝25，则 nSn 的最小值为
.
解析：设 Sn＝An2＋Bn， 由 S10＝0，S15＝25，得 A＝13，B＝－130， 所以 nSn＝n33－130n2. 令 f(x)＝x33－130x2，其中 x>0，f′(x)＝x2－230x. 令 f′(x)＝0，得 x＝230∈(6,7)， 所以 f(x)在 x＝230处取得最小值，
1.(2013·广东卷)在等差数列{an}中，已知 a3＋a8＝10，
则 3a5＋a7＝
.
解析：由于 3a5＋a7＝a5＋2a5＋a7＝a4＋a5＋a6＋a7 ＝2(a3＋a8)＝20.
2.(2012·福建卷)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则
数列{an}的公差为( B )
A．1
解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d， 则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3 可得 1＋2d＝－3，解得 d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n， 所以 Sn＝n[1＋(32－2n)]＝2n－n2. 由 Sk＝－35 可得 2k－k2＝－35， 即 k2－2k－35＝0，
【拓展演练 2】
(改编)已知 f(x)＝－ 4＋x12，点 Pn(an，－an1＋1)在曲线 y＝f(x)(n∈N*)上且 a1＝1，an>0. (1)求证：数列{a12n}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设数列{a2n·a2n＋1}的前 n 项和为 Sn，若对于任意的 n∈N*， 存在正整数 t，使得 Sn<t2－t－12恒成立，求最小正整数 t 的值．
安装升降杆花洒头的高度最好为2米，这个距离刚好让出水覆盖全身，水流强度大小适宜。三沐阳光磁化花洒有效去除水中的余氯，重金属离子、悬浮污染物、有机微污染物，抑制细菌等微生物的生长 繁殖。， 从外表看，花洒形状看似相似，挑选时必须看其喷射效果，良好的花洒能保证每一个细小喷孔喷射均衡一致，在不同水压下能保证畅快淋漓的淋浴效果，挑选时可试水看其喷射水流是否均匀
所以只要14≤t2－t－12，所以 t≥32或 t≤－12，
所以存在最小的正整数 t＝2 符合题意．
三 等差数列的综合应用
【例 3】(2013·山东省微山 3 月模拟)已知等差数列{an}中， a3＝－4，a1＋a10＝2.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 an＝log3bn，设 Tn＝b1·b2·…·bn，当 n 为 何值时，Tn＞1.
解析：(1)设数列{an}的公差为 d， 则a21a＋1＋2d9＝d＝－24 ，解之得ad1＝＝2－8 ， an＝－8＋2(n－1)＝2n－10. (2)bn＝3an＝32n－10，
所以 Tn＝b1·b2·…·bn
＝32×1－10·32×2－10·…·32n－10
＝32×1－10＋2×2－10＋…＋2n－10
所以 nSn 的最小值就在 6S6,7S7 两个较小者中取得，经计算
在 n＝7 时取得最小值为－49.
解析：(1)因为－an1＋1＝－ 4＋a12n，所以a2n1＋1－a1n2＝4， 所以{a1n2}是以 1 为首项，4 为公差的等差数列． 所以a12n＝4n－3，因为 an>0，所以 an＝ 4n1－3.
(2)bn＝an2·a2n＋1＝(4n－3)1(4n＋1)＝14(4n1－3－4n1＋1)． 所以 Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝14[(1－15)＋(15－19)＋…＋(4n1－3－4n1＋1)] ＝14(1－4n1＋1)<14. 对于任意的 n∈N*使得 Sn<t2－t－12恒成立，
解析：(1)设{an}的公差为 d，
由已知条件，aa11＋ ＋d4＝d＝1－5 ，解得ad1＝＝－3 2 .
所以 an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)因为 an＝－2n＋5， 所以 cn＝5－2 an＝5－(－22n＋5)＝n，所以 bn＝2cn＝2n， 所以 T＝log2b1＋log2b2＋log2b3＋…＋log2bn ＝log22＋log222＋log223＋…＋log22n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n(n2＋1).
解得 k＝7 或 k＝－5. 又 k∈N*，故 k＝7 为所求．
二 递推数列与等差数列的证明
【例 2】已知数列an，首项 a1＝3，且 2an＝Sn·Sn－1(n≥2)． (1)求证：S1n是等差数列，并求其公差； (2)求an的通项公式．
分析：证S1n为等差数列，即证S1n－Sn1－1＝d(d 是常数)． 解析：(1)证明：由已知，当 n≥2 时，2an＝Sn·Sn－1， 即 2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1(n≥2)， 所以2(SSnn－SnS－n1－1)＝1 即S1n－Sn1－1＝－12(n≥2，n∈N*)．
4.(2012·广东卷)已知递增的等差数列{an}满足 a1＝1，
a3＝a22－4，则 an＝
.
解析：设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列， 所以 d>0，a3＝a1＋2d＝1＋2d，a2＝a1＋d＝1＋d， 代入已知条件：a3＝a22－4， 得 1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4， 所以 d＝2(d＝－2 舍去)，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
要使 Tn>1，即 n2－9n>0，所以 n>9， 所以当 n>9，且 n∈N*时，Tn>1.
【拓展演练 3】 (2012·广东省肇庆市第一次模拟)已知数列{an}是一个等 差数列，且 a2＝1，a5＝－5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 cn＝5－2 an，bn＝2cn，求 T＝log2b1＋log2b2＋log2b3＋… ＋log2bn 的值．
解析：(1)在递增等差数列{an}中，设公差为 d>0， 因为aa243＝＝a13·a7 ⇒(aa11＋＋23dd＝)2＝1 1×(a1＋6d) ， 解得ad1＝＝2－3 ， 所以 an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5. (2)Sn＝n(－3＋22n－5)＝n2－4n， 所以 Sn＝n2－4n.
【拓展演练 1】 (2012·河北省保定第三次模拟)已知等差数列{an}中， a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值．
第31讲 等差数列的概念及基本运算
1．(原创)数列－2,2,6，x,14,18，……中的 x 等于( D )
A．7
B．8
C．9
D．10
解析：易知数列是公差为 4 等差数列， 因此 x＝6＋4＝10，故选 D.
2．(改编)已知等差数列{an}的首项 a1＝－3，公差 d＝2，
则通项公式 an＝( C )
.
解析：S9＝9(a1＋ 2 a9)＝9a5＝－18， 所以 a5＝－2，S16＝16(a12＋a16)＝8(a5＋a12)＝－80.
一 等差数列中基本量的计算
【例 1】(改编)设递增等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 已知 a3＝1，a24＝a3·a7.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{D．4
解析：根据已知条件得aa11＋ ＋a31d＋＝47d＝10 ， 即2aa1＋1＋34dd＝＝710 ，解得 d＝2，故选 B.
3.(2012·北京卷)已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，若
a1＝12，S2＝a3，则 a2＝
.
解析：设等差数列{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得， a1＝a3－a2＝d＝12，所以 a2＝2d＝2×12＝1.
三沐阳光磁化花洒有效去除水中的余氯，重金属离子、悬浮污染物、有机微污染物，抑制细菌等微生物的生长繁殖。过滤、增压低碳节水、抗菌、按摩、全方位深层呵护你和家人的健康。
拧开花洒冷热出水口的封盖，安装入S型偏心转换接头，这种接头可以调节方向，方便与花洒龙头的连接。
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所以{S1n}是以S11＝a11＝13为首项，公差 d＝－12的等差数列．
3
(n＝1)
因此，an＝(3n－51)8(3n－8)
).
(n≥2，n∈N*)
(2)因为S1n＝S11＋(n－1)d＝13＋(n－1)(－12)＝5－63n， 所以 Sn＝5－63n(n∈N*)． 从而 an＝12Sn·Sn－1＝(3n－51)8(3n－8)(n≥2，n∈N*)，
A．n－4
B．3n－6
C．2n－5
D．－2n－1
解析：an＝－3＋(n－1)·2＝2n－5，故选 C.
3．(原创)若 4 是 P 与 12 的等差中项，则 P＝
.
解析：由 4＝P＋212，得 P＝－4.
4．(改编)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，a12＝－8，
S9＝－18，则 S16＝
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，
已知 S10＝0，S15＝25，则 nSn 的最小值为
.
解析：设 Sn＝An2＋Bn， 由 S10＝0，S15＝25，得 A＝13，B＝－130， 所以 nSn＝n33－130n2. 令 f(x)＝x33－130x2，其中 x>0，f′(x)＝x2－230x. 令 f′(x)＝0，得 x＝230∈(6,7)， 所以 f(x)在 x＝230处取得最小值，
1.(2013·广东卷)在等差数列{an}中，已知 a3＋a8＝10，
则 3a5＋a7＝
.
解析：由于 3a5＋a7＝a5＋2a5＋a7＝a4＋a5＋a6＋a7 ＝2(a3＋a8)＝20.
2.(2012·福建卷)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则
数列{an}的公差为( B )
A．1
解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d， 则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3 可得 1＋2d＝－3，解得 d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n， 所以 Sn＝n[1＋(32－2n)]＝2n－n2. 由 Sk＝－35 可得 2k－k2＝－35， 即 k2－2k－35＝0，
【拓展演练 2】
(改编)已知 f(x)＝－ 4＋x12，点 Pn(an，－an1＋1)在曲线 y＝f(x)(n∈N*)上且 a1＝1，an>0. (1)求证：数列{a12n}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设数列{a2n·a2n＋1}的前 n 项和为 Sn，若对于任意的 n∈N*， 存在正整数 t，使得 Sn<t2－t－12恒成立，求最小正整数 t 的值．
安装升降杆花洒头的高度最好为2米，这个距离刚好让出水覆盖全身，水流强度大小适宜。三沐阳光磁化花洒有效去除水中的余氯，重金属离子、悬浮污染物、有机微污染物，抑制细菌等微生物的生长 繁殖。， 从外表看，花洒形状看似相似，挑选时必须看其喷射效果，良好的花洒能保证每一个细小喷孔喷射均衡一致，在不同水压下能保证畅快淋漓的淋浴效果，挑选时可试水看其喷射水流是否均匀
所以只要14≤t2－t－12，所以 t≥32或 t≤－12，
所以存在最小的正整数 t＝2 符合题意．
三 等差数列的综合应用
【例 3】(2013·山东省微山 3 月模拟)已知等差数列{an}中， a3＝－4，a1＋a10＝2.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 an＝log3bn，设 Tn＝b1·b2·…·bn，当 n 为 何值时，Tn＞1.
解析：(1)设数列{an}的公差为 d， 则a21a＋1＋2d9＝d＝－24 ，解之得ad1＝＝2－8 ， an＝－8＋2(n－1)＝2n－10. (2)bn＝3an＝32n－10，
所以 Tn＝b1·b2·…·bn
＝32×1－10·32×2－10·…·32n－10
＝32×1－10＋2×2－10＋…＋2n－10
所以 nSn 的最小值就在 6S6,7S7 两个较小者中取得，经计算
在 n＝7 时取得最小值为－49.
解析：(1)因为－an1＋1＝－ 4＋a12n，所以a2n1＋1－a1n2＝4， 所以{a1n2}是以 1 为首项，4 为公差的等差数列． 所以a12n＝4n－3，因为 an>0，所以 an＝ 4n1－3.
(2)bn＝an2·a2n＋1＝(4n－3)1(4n＋1)＝14(4n1－3－4n1＋1)． 所以 Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝14[(1－15)＋(15－19)＋…＋(4n1－3－4n1＋1)] ＝14(1－4n1＋1)<14. 对于任意的 n∈N*使得 Sn<t2－t－12恒成立，
解析：(1)设{an}的公差为 d，
由已知条件，aa11＋ ＋d4＝d＝1－5 ，解得ad1＝＝－3 2 .
所以 an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)因为 an＝－2n＋5， 所以 cn＝5－2 an＝5－(－22n＋5)＝n，所以 bn＝2cn＝2n， 所以 T＝log2b1＋log2b2＋log2b3＋…＋log2bn ＝log22＋log222＋log223＋…＋log22n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n(n2＋1).
解得 k＝7 或 k＝－5. 又 k∈N*，故 k＝7 为所求．
二 递推数列与等差数列的证明
【例 2】已知数列an，首项 a1＝3，且 2an＝Sn·Sn－1(n≥2)． (1)求证：S1n是等差数列，并求其公差； (2)求an的通项公式．
分析：证S1n为等差数列，即证S1n－Sn1－1＝d(d 是常数)． 解析：(1)证明：由已知，当 n≥2 时，2an＝Sn·Sn－1， 即 2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1(n≥2)， 所以2(SSnn－SnS－n1－1)＝1 即S1n－Sn1－1＝－12(n≥2，n∈N*)．
4.(2012·广东卷)已知递增的等差数列{an}满足 a1＝1，
a3＝a22－4，则 an＝
.
解析：设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列， 所以 d>0，a3＝a1＋2d＝1＋2d，a2＝a1＋d＝1＋d， 代入已知条件：a3＝a22－4， 得 1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4， 所以 d＝2(d＝－2 舍去)，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.