平面几何基本定理

平面几何的17个著名定理，助力中考，快帮孩子收藏

平面几何是初中数学中的一大重点，对于中考数学而言，几何同样占据着举足轻重的地位，学号几何，对于中考数学的提分绝对是必不可少的一大助力。你拥有一颗几何脑将会让你对于几何的学习异常轻松。

今天为大家分享平面几何的17个著名定理，希望对您的数学提升有所帮助！

一、欧拉线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

二、九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

三、费尔马点：已知为锐角△ ABC内一点，当∠ APB = ∠ BPC = ∠ CPA = 120° 时，PA PB PC的值最小，这个点P称为△ ABC的费尔马点。（图中H为B.点，G为C点）

四、海伦公式：在△ ABC中，边BC 、 CA 、 AB的长分别为a 、

b 、 c，若P = ½ （a b

c ），则△ABC的面积S = √ P （P - a）（P - b ）（P - c）。

五、塞瓦定理：在△ ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC 、 CA 、 AB与点D 、 E 、 F ，则BD / DC ：CE / EA ： AF / FB = 1；其逆亦真。

六、密格尔点：若AE 、 AF 、 ED 、 FB四条直线相交于ABCDEF 六点，构成四个三角形，它们是△ ABF、△ AED 、△ BCE 、△ DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

初中数学知识归纳平面几何的基本定理和公

式

初中数学知识归纳：平面几何的基本定理和公式

平面几何是数学中的一个重要分支，它研究的是平面上的点、线、

面及其间的关系。在初中数学学习中，学生将接触到许多关于平面几

何的基本定理和公式，这些定理和公式在解题过程中起到了重要的作用。本文将对初中数学中的平面几何的基本定理和公式进行归纳和总结，以帮助学生在学习和应用中理解和掌握这些知识点。

一、直线的基本概念及相交定理

1. 直线：直线是由一条无穷延伸的点集合组成，可以用两个不同

的点唯一确定一条直线。

2. 直线段：直线段是由直线两个特定的不同的端点所组成的线段。

3. 直线的相交类型：两条直线可以相交成三种类型，即相交、平行、重合。

二、角的基本概念及性质

1. 角：角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。

2. 角的三要素：角的三要素包括顶点、两边和夹角。

3. 角的分类：角可以分为锐角、直角、钝角和平角。

4. 角的性质：逆角、对顶角、同位角等性质在解题中有重要作用。

三、平行线与平行四边形的性质

1. 平行线与转角：已知两条平行线和一条横切线，可以得出转角和对应角相等的结论。

2. 平行线的判定：平行线的判定包括一般判定、倒角判定和平行四边形特性判定。

3. 平行四边形的性质：平行四边形的特点包括对边平行、对角线等长和对角线平分。

四、三角形的性质及常用公式

1. 三角形的分类：根据边长和角度等特点，三角形可分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

2. 三角形的角性质：三角形的内角和为180度，外角等于其不相邻的内角之和。

3. 三角形的边关系：根据边长关系，三角形的边可分为等边、等腰和一般三角形。

一．平面几何

1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理)（1)锐角对边

的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理）

3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则

有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2

222

22a c b m a -+=

4． 垂线定理：2

2

2

2

BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥

高

线

长

：

C b B c A a

bc

c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=

5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线

段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线

定理)

角平分线长：2

cos 2)(2A

c b bc a p bcp c b t a +=-+=

(其中

p 为周长一半)

6． 正弦定理:

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===，

（其中R 为三角形外接圆半径) 7． 余弦定理：C ab b a c

cos 2222

-+=

8． 张角定理:AB

DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin

9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C

两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）

1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，

等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．

2．

射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有

)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m

a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C

b B

c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2

===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个

角的两边对应成比例．

如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC

AB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=

（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．

余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一

一.平面几何

1． 勾股定理(毕达哥拉斯定理)(广义勾股定理)(1)锐角对边的平

方,等于其她两边之平方与,减去这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍. (2)钝角对边的平方等于其她两边的平方与,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍.

2． 射影定理(欧几里得定理)

3． 中线定理(巴布斯定理)设△ABC 的边BC 的中点为P ,则有

)(22222BP AP AC AB +=+;

中线长:2

222

22a c b m a -+=

4． 垂线定理:2

2

2

2

BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥

高线长

:

C

b B

c A a

bc

c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=

5． 角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线

段与这个角的两边对应成比例.

如△ABC 中,AD 平分∠BAC ,则AC AB DC BD =;(外角平分线定理)

角平分线长:2

cos 2)(2A

c b bc a p bcp c b t a +=-+=

(其中

p 为周长一半)

6． 正弦定理:

R C

c B b A a 2sin sin sin ===,(其中R 为三角形外接圆半径) 7． 余弦定理:C ab b a c

cos 2222

-+=

8． 张角定理:AB

DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin

9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理:设已知△ABC 及其底边上B 、C 两

点间的一点D ,则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD

平面几何基本定理总结

平面几何是研究二维图形、点、线和角度之间的关系和性质的数学分支。它是数学中的基础学科，对于建立几何推理和解决实际问题具有重要意义。在平面几何中，存在一些基本定理，它们为我们理解和运用几何知识提供了重要的依据。本文将对平面几何的基本定理进行总结和概述。

一、点、线和角度

1. 点：

- 点是平面几何中最基本的概念，它没有长度、宽度和高度，只有位置。

- 点可以用大写字母表示，如A、B、C等。

2. 线：

- 线是由一系列无限延伸的点组成的，它没有宽度。

- 线可以用小写字母表示，如AB、CD等。

3. 角度：

- 角度是由两条射线共享一个端点而形成的图形，常用来表示两条线的夹角大小。

- 角度可以用小字母表示，如∠ABC、∠DEF等。

二、平面几何基本定理

1. 直线的性质：

- 直线上的任意两点可以确定一条直线。

- 一条直线上的所有点在同一条直线上。

2. 线段的性质：

- 线段是由两个端点和它们之间的所有点组成的有限部分。

- 线段的长度可以通过两个端点的坐标计算得出。

3. 角度的性质：

- 角度大小可以用度数或弧度来表示。

- 两条直线垂直时，它们所形成的角度为直角，即90度或π/2弧度。

- 两条直线平行时，它们所形成的角度为零度或零弧度。

4. 三角形的性质：

- 三角形是由三条线段组成的图形。

- 三角形的内角和为180度或π弧度。

- 直角三角形中，直角的对边和斜边之间满足勾股定理：c² = a² +

b²，其中c为斜边，a、b为直角边的长度。

5. 四边形的性质：

- 四边形是由四条线段组成的图形。

初一数学平面几何基本定理总结数学是一门研究数量、结构、变化以及空间和形式等概念的学科，

而平面几何则是研究平面上的形状和尺寸关系的一部分数学内容。在

初一数学学习中，平面几何基本定理是学习平面几何的基础和起点。

下面将对初一数学中常见的平面几何基本定理进行总结。

1. 垂直平分线定理：

垂直平分线定理是指如果一条直线同时是一条线段的垂直平分线，

那么它将把这条线段分成两个相等的部分。这个定理在平面几何中非

常常见，经常用于解决线段的问题。

2. 直角三角形定理：

直角三角形定理是指在一个直角三角形中，两条边的平方和等于斜

边的平方。这个定理在解决直角三角形相关问题时非常有用，可以通

过已知两边求第三边的长度。

3. 同位角定理：

同位角定理是指当一条直线被两个平行线相交时，同位角是相等的。这个定理在解决平行线问题、角的计算问题等方面非常常用。

4. 垂直角定理：

垂直角定理是指垂直的两条直线所形成的两对相邻角是相等的。利

用这个定理可以在已知一个角的情况下求解另一个角的大小。

5. 顶角定理：

当一条直线穿过两条平行线时，位于平行线之间的对应角是相等的。这个定理在解决平行线问题、角的计算等方面常常被使用。

6. 外角定理：

外角定理是指一个三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和。

这个定理可以用于求解三角形内角的大小，还可以用于证明一些性质。

7. 同旁内角定理：

同旁内角定理是指两条平行线被一条横切线切割后，同旁内角互补。这个定理在解决平行线图形的内角问题时特别有用。

8. 直角平分线定理：

直角平分线定理是指在一个直角三角形中，从直角的顶点到斜边上

一．平面几何

1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边

的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理）

3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有

)(22222BP AP AC AB +=+；

中线长：2

222

22a c b m a -+=

4． 垂线定理：2

2

2

2

BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥

高

线

长

：

C b B c A a

bc

c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=

5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线

段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定理）

角平分线长：2

cos 2)(2A

c b bc a p bcp c b t a +=-+=

（其中

p 为周长一半）

6． 正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===，

（其中R 为三角形外接圆半径） 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222

-+=

8． ；

9．

张角定理：AB

DAC

AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin

10．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C

两点间的一点D ，则有AB 2

·DC +AC 2

平面几何的基本定理

在数学中，平面几何是研究平面上的图形和形状的分支学科。它基

于一系列基本定理和性质，帮助我们了解和解决与平面图形、角度、

线段等相关的问题。以下是一些平面几何的基本定理。

一、平行线的定理

平行线的定理指出，如果一条直线与另外两条直线分别相交，使得

同位角之和为180度，则这两条直线是平行的。这被称为同位角定理。

二、三角形的基本性质

1. 三角形内角和定理：任何三角形的内角之和等于180度。

2. 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边

的平方。这被称为勾股定理。

3. 直角三角形的角度关系：直角三角形的两个锐角是互补角，它们

的和为90度。

4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两条边相等。

5. 等边三角形的性质：等边三角形的所有边相等，所有角度均为60度。

三、四边形的性质

1. 矩形的性质：矩形的对角线长度相等，且互相垂直。

2. 正方形的性质：正方形是一种特殊的矩形，所有边长相等，对角线相等且互相垂直。

3. 平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，且对角线长度相等。

4. 梯形的性质：梯形的两边平行，且对角线交于一点。

四、圆的性质

1. 圆的定理：圆是以一个点为中心、与该点到各点的距离均相等的点的集合。

2. 弧和圆心角的关系：一个圆心角所对的弧的长度是固定的，而一个弧所对的圆心角的大小也是固定的。

3. 弦和切线的性质：如果一条切线与一条弦相交，那么切线与弦的交点处的角是弦所对的圆心角的一半。

五、相似三角形的定理

相似三角形的定理涉及到三角形的比例关系。如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。相似三角形有以下定理：

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）

1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．

2． 射影定理（欧几里得定理）

3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2

22222a c b m a −+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC

CD AB −=−⇔⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===

−−−=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC

AB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=−+=

（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C

c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222−+=．

8． 张角定理：AB

DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．

9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．

一．平面几何

1． 勾股定理〔毕达哥拉斯定理〕〔广义勾股定理〕(1)锐角对边

的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理〔欧几里得定理〕

3． 中线定理〔巴布斯定理〕设△ABC 的边BC 的中点为P ，那么

有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2

222

22a c b m a -+=

4． 垂线定理：2

2

2

2

BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥

高

线

长

：

C

b B

c A a

bc

c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=

5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线

段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，那么AC AB DC BD =；〔外角平分线定理〕

角平分线长：2

cos 2)(2A

c b bc a p bcp c b t a +=-+=

〔其中

p 为周长一半〕

6． 正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===，

〔其中R 为三角形外接圆半径〕 7． 余弦定理：C ab b a c

cos 2222

-+=

8． X 角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin

9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设△ABC 及其底边上B 、C 两点间

的一点D ，那么有AB 2

·DC +AC 2

平面几何基本定理

在平面几何中，有一些基本定理被广泛应用于证明和解决各种几何问题。这些基本定理是我们理解和应用平面几何的基础。本文将介绍几个常见的平面几何基本定理。

一、直角三角形的勾股定理

直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要定理。根据勾股定理，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有以下关系：c² = a² + b²

勾股定理可以帮助我们计算直角三角形中的边长，以及判断一个三角形是否为直角三角形。

二、平行线的性质

平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。平行线的性质有以下几个基本定理：

1. 若两条直线被一条平行线截断，那么它们被另一条平行线所截断的对应线段成比例。

2. 若两条直线被一条平行线截断，那么对应的内角和外角相等。

3. 若两条直线被一条平行线截断，那么对应的同旁内角相等，对应的同旁外角相等。

平行线的性质在证明和解决平面几何问题时经常被使用。

三、相似三角形的性质

相似三角形是指具有相等角度但是边长不一定相等的三角形。相似三角形的性质有以下几个基本定理：

1. AAA相似定理：若两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

2. AA相似定理：若两个三角形的两个对应角度相等，则它们是相似的。

3. SAS相似定理：若两个三角形的一个对应角度相等，且两边成比例，则它们是相似的。

相似三角形的性质可以帮助我们求解三角形的边长比例，以及推导出其他与三角形相关的性质。

四、圆的性质

圆是平面几何中的一个重要概念，其性质有以下几个基本定理：

一．平面几何

1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边

的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理）

3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则

有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2

222

22a c b m a -+=

4． 垂线定理：2

2

2

2

BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥

高

线

长

：

C b B c A a

bc

c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=

5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线

段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定

理）

角平分线长：2

cos 2)(2A

c b bc a p bcp c b t a +=-+=

（其中

p 为周长一半）

6． 正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===，

（其中R 为三角形外接圆半径） 7． 余弦定理：C ab b a c

cos 2222

-+=

8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin

9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C

两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）

1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．

2． 射影定理（欧几里得定理）

3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2

22222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A a

bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC

AB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=

（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C

c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．

8． 张角定理：AB

DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．

9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．