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…………
式中(P/A,i,n)，叫做年金现值系数或等额收付现值系数。
例：某设备经济寿命为8年，预计年净收益为20万元，残值 为0，若投资者要求的收益率为20%，问投资者最多愿意出多 少的价格购买该设备？
解：P= A
(1 i)n 1 i(1 i)n
=20
(1 0.2)8 1 0.2(1 0.2)
等 额 序 列
2. 偿债基金 3. 资金回收 4. 年金现值
第二节 资金等值及其计算 三.资金等值换算的基本公式 ㈡等额收付序列
3.普通年金现值公式
求年金现值的模型如左图:已知年金A,求 它们的现值P。
已知 A
A
A
A
A
求P=?
推导: 通过2次转换,可将年金换算成n个一次收付的现值,共分3步：
n1 ⑴先求得年金终值F=A (1i) ,即把n个A值换算成第n年年末的总终值， i 用图表示就是:
例：某项目现在投资10万元，年利率10%，5年期满后一次 性收回本息，能收回多少资金？ 解：这是求一次投资的终值的问题,∴用上述一次收付终值公 式可得： F＝p(1+i )n＝10(1+10%)5 ＝10×1.15＝10×1.611＝16.11万元 利用复利系数计算更简便: 本例的终值系数为(F/ p,10%,5)，其数值可在复利系数 表查到：1.611 ∴ F ＝P(1+i )n ＝P (F/ p, i ,n) ＝ P (F/ p,10% ,5)=10×1.611=16.11万元
偿债基金: 为了n年后偿还一笔债务F,按年利率i计 算,须从现在起连续n年,每年年末等额存款多少？
已知 F
？ ？ ？ ？ ？
积累基金: 为了积累一笔给定数额的基金F,按年利率i计算,求每期应 积累多少资金？(上述两种说法实际上是一样的)。 偿债基金是后付年金终值的逆问题： 已知终值(未来偿债总额)F,求各期等额偿债（偿 债基金）A。因此,偿债基金是年金终值的逆运算 ,∴由年金终值公式 n F= A (1i) 1 ，可导出偿债基金为：
i =20%
1000
i = F (A / F, i ,n) (1i)n-1 0.2 =134.4万元 = 1000×(10.2 )5-1
？ ？ ？ ？ ？
(A / F, 20% ,5) 教材第528页:(A / F, 20% ,5)=0.13438 或 = 1000× = 1000×0.1344=134.4万元
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复习:资金等值换算基本公式
序
类型
公式名称
现金流量图
公
式
1 2 3 4 5 6
一次 1. 一次收付终值 收付
2. 一次收付现值 1. 年金终值
F
P F A
F=P(1+i )n = P(F/P,i,n) P=F(1+i )-n = F(P/F,i,n)
(1+i )n －1 F= A = A(F/A,i,n) i i A= F(1+i )n －1 = F (A/F,i,n)
课题九 等值计算
• 教学目标
【掌握】 资金等值含义 等值换算含义 【重点掌握】(难点) 一次支付终值公式 一次支付现值公式 等额年金终值公式 等额偿债基金公式 等额资金回收公式 等额年金现值公式
课题九 等值计算
• 主要内容
一次支付终值公式 一次支付现值公式
等额年金终值公式
等额偿债基金公式 等额资金回收公式
A= F
式中
i
i = F (A / F, i ,n) n (1i) -1
i
………………
⑷偿债基金公式
n 叫做偿债基金系数，用(A/F, i (1 i) - 1
,n)表示(它与年金终值系数互为倒数).
例：某企业欲积累一笔设备更新基金，用于4年后更新设备，此项投资总 额需500万元，银行利率12%，问每年年末至少要存款多少？
已知A:
⑴转换为
0 1 2 3
(1i)n1 F=A i
n-1
n
⑵把上述终值F转换为现值P. ⑶将F=A
1 (1i)n1 n 带入 P = F i (1i) ,得
⑵
求P=? =F
1n (1i)
⑸年金现值公式
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n－1 1 (1+ i )n－1 (1+ i ) P＝A =A = A (P/A,i,n) i (1+i )n i(1+i )n
… (1+i )-n叫做一次收付的现值系数,用(P/ F, i,n )表示。
例：某人计划5 年后从银行提取1万元，若银行年利率为12%，问 现在他应存入银行多少钱？
解：P=F(1+ i )-n=1×(1+12%)-５=1×1.12-5=0.5674万元
查表，用现值系数计算更简便：(P / F,12% ,5) 的数值可在复利系数 表中找到：0.5674 ∴ P=F(P / F,i,n) = F(P / F,12%,５) ＝1O×0.567＝0.567万元
2 n
Ｐ (1+i)· i ……
Ｐ (1+i)n-１· i
Ｐ (1+i)n-１
Ｐ (1+i)n-１ (1+i ) ＝ Ｐ (1+i) n
„„„ ⑴一次支付终值公式
5
一次支付终值公式为： F=P(1+i )n
式中 (1+ i )n 为一元的终值系数,用(F/ Ｐ, i ,n)表示。
第九章、第二节 资金等值及其计算 三.资金等值换算的基本公式 ㈠
等额年金现值公式
第九章 资金时间价值与现金流量的等值计算
第二节 一.资金等值概念
资金等值及其计算
在考虑资金时间价值(利息)的情况下,不同时点的绝对数额 不等的相关资金在一定的利率条件下具有相等的价值。 推论：如果发生在两个不同时点上的数额不等的资金是
等值的,则它们在其他任何时点上都等值。
二.资金等值换算 1.利用资金等值概念，把一个时点的资金额换算成另一时点 的等值金额的过程，称为资金的等值换算。如折现等。 通过等值换算，也可以把不同时点上的资金额换算成同一时 点上的金额，从而使不同投资方案的现金流量在价值上具有可比 性。
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第九章 第二节 资金等值及其计算
三、资金等值换算的基本公式 ㈠ 一次收付类型 1. 一次收付终值（本利和）公式
模型 年
1
已知P
等值于
求F
或
当年本金 ⑴ Ｐ Ｐ (1+i) ……
当年利息 ⑵ Ｐ· i
初始本金P，n年后的本利和F ⑶ = ⑴ +⑵ ＝ Ｐ (1+i) Ｐ+Ｐ· i Ｐ (1+i) (1+i ) …… ＝ Ｐ (1+i)2 ……
＝3×5.309 ＝15.927万元
查表计算：： 年金终值系数 (F/A,3% ,5)查复利系数表：
5.309
∴ F = A(F/A, i ,n) = 3×(F/A,3% ,5) = 3×5.309 =15.927万元
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第二节 资金等值及其计算 三.资金等值换算的基本公式 ㈡等额收付序列
2.偿债基金（积累基金）公式
求Ｆ＝？
… …
已知 A
……
Fn Fn-1 Fn-2 F3 F2 F1
A(1+i)0=A A(1+i)1 A(1+i)2
……
A(1+i) n-3 A(1+i) n-2 A(1+i) n-1
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普通年金终值为： F＝F1+F2+F3+…+Fn-2+Fn-1+Fn
普通年金终值为：
F＝F1+F2+F3+…+Fn-2+Fn-1+Fn ＝Fn+Fn-1+Fn-2+…+F3+F2+F1 ＝ A (1+i)0+ A(1+i)1 + A(1+i)2 +…+ A (1+i) n-3 + A (1+i) n-2 + A (1+i) n-1 将A 提出，得 ｛(1+i)0 +(1+i)1 +(1+i)2 +…+(1+i) n-3 +(1+i) n-2 +(1+i) n-1 ｝ ……① F＝A ①式等号两端同乘以(1+ i)，得 F (1+i) ＝A｛(1+i)1+(1+i)2+(1+i)3 +…+(1+i) n-2 +(1+i) n-1 +(1+i) n ｝ ……② 由式②－①，得 F(1+i) － F ＝A｛(1+i)n －(1+i) 0 ｝，整理得 F｛（1+i）－ 1 ｝＝A ｛(1+i)n －1｝，整理得
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第九章、第二节 资金等值及其计算 三.资金等值换算的基本公式 ㈠
2.一次收付现值
这是一个与终值计算相反的逆过程： 已知n年后的值F,求第0年的值(现值)。 ∴由上述式F= P (1+ i ) n 可得一次收付现值公式：
1 P＝F (1+ i )n ＝F (1+ i )- n ＝F (P/ F, i,n )
i(1i)n 解:A=P (1i)n 1 = P (A/P,i,n)
=3×(A/P,0.08,5) =3×0.25046=0.75138万元
即每年回收7513.8元，才能将3万元的原始投资正好全部收回。若每年实际回收额 17 小于A(=7513.8元)，则在8%的收益率的情况下，5年内就不能收回3万元的全部投资。
