2020届四川省泸县第二中学高三下学期第二次高考适应性考试数学(理)试题

估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，则21s 22s A ．，B ．，C ．，D ．12x x >2212s s >12x x >2212s s <12x x <2212s s >1x <4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：为坐标原点），若过点作互相垂直的两O1,3,4 3⎫⎬⎭三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第试题考生都必须作答．第22（一）必考题：共60分。

(1)求证：平面平面BDG ⊥ABC (2)若，求平面2AB BC CP ===19．（12分）公司采用招考的方式引进入才，规定考生必须在测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用，已知考生在每个测试点的测试结果互不影响，若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点、、测试合格的概率分别为，A B C 23，，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是．231223（）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大?请说明理由；1（）假设小李选择测试点、进行测试，小王选择测试点、进行测试，记为两人在各测试点测试2A B A C X 合格的测试点个数之和，求随机变量的分布列及数学期望．X EX 20．（12分）已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，是面积为()2222:10x y C a b a b +=>>,A B D ABD △的正三角形．3(1)求椭圆的方程；C (2)过椭圆外一点的直线交椭圆于两点，已知点与点关于轴对称，点与点关C (),0M m C ,P Q P P 'x Q Q '于轴对称，直线与交于点，若是钝角，求的取值范围．x PQ 'P Q 'K AKB ∠m 21．（12分）已知函数，.若函数在定义域内有两个不同的极值点()2ln 12a f x x x x x =--+a ∈R ()f x .12x x ，(1)求实数a 的取值范围；(2)当时，证明：.02m <≤12m x x a +>（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.设351i z i i=++，则z =（ ）A. 2B.12C.22D.102【★答案★】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则求得1122z i =-+，根据模长的定义求得结果. 【详解】()351111222i i i z i i i i --=+=+=-++ 112442z ∴=+= 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题. 2.已知集合{}2670A x x x =--<，{}B x x x ==-，则A B =（ ）A. (]1,0-B. (]7,0-C. [)0,7D. [)0,1【★答案★】A 【解析】 【分析】分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果. 【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}(],0B x x x ==-=-∞(]1,0A B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4.已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A.22B.23C.24D.25【★答案★】C 【解析】 分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=， 所以12cos ,422⋅<>===a b a b a b. 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.5.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线l 与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切，则(p = )A. 6B. 8C. 3D. 4【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意，求出圆的圆心为()1,2和半径为4，以及抛物线的准线方程:2pl y =-，利用直线与圆相切的性质得出242p+=，即可求出p 的值． 【详解】解：由题可知，圆22:(1)(2)16M x y -+-=的圆心为()1,2，半径为4，抛物线2:2(0)C x py p =>的准线:2p l y =-与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切， 则有242p+=，解得：4p =． 故选：D .【点睛】本题考查圆的标准方程和抛物线的简单性质，以及直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A. 8B. 7C. 6D. 4【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，得到13123322123132221111a a a a a S a a a a a a a a +++++=+==，结合题中数据，即可得出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1231112a a a ++=，22a =， 则13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===,则38S =. 故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型. 7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：32.09460.8269≈）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【★答案★】A 【解析】 【分析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为22333320.82692rr ππ==，则33 3.141920.8269π=≈⨯.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 8.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【★答案★】B 【解析】 【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.9.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A. m p n >> B. p n m >>C. p m n >>D. n p m >>【★答案★】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈， 所以0.1421log 25log 73->>， 因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A. x 2212y -=1B. 22134x y -= C. 221169x y -= D. 221916x y -=【★答案★】D 【解析】 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝， 可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A.305 B.2305C. 275D.475【★答案★】B【解析】 【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DNDQ D =，1BMA M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22212512CP ⨯==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2xh x x=的最大值为3x ，则（ ） A. 123x x x >> B. 213x x x >>C. 312x x x >>D. 321x x x >>【★答案★】A 【解析】 【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】()1x f x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= 函数()2xg x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->=⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是________.【★答案★】0 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14.某公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为_____【★答案★】0.954y x =+ 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于b 与a 的方程组，求解即可得到y 关于x 的线性回归方程.【详解】解：由已知表格中的数据可得，12342.54x +++==，56 6.5825.544y +++==，∴25.52.54b a =+，① 又11.68b a =+，②联立①②解得：0.95b =，4a =.∴y 关于x 的线性回归方程为0.954y x =+.故★答案★为：0.954y x =+.【点睛】本题考查线性回归方程，直接利用公司计算即可，属于基础题15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【★答案★】8π. 【解析】 【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +===， 所以球的表面积为()2428S ππ==.故★答案★8π【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【★答案★】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A 的大小； （2）若2a =，π3B =，求ABC ∆的面积.【★答案★】(1) 4A π=.(2) 334ABC S ∆+=【解析】 【分析】（1）先由正弦定理，将2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即2222b c a bc +-=，再由余弦定理可得2cos 2bc A bc =，即2cos 2A =, 所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()62sin sin 4C A B +=+=， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得3b =. 133sin 24ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，A 1D 与AD 1交于点E ，AA 1＝AD ＝2AB ＝4.（1）证明：AE ⊥平面ECD.（2）求直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）69【解析】 【分析】（1）证明AA 1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA 1D 1D ，得到CD⊥AE.证明AE⊥ED.即可证明AE⊥平面ECD ；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是直四棱柱， 所以AA 1⊥平面ABCD ，则AA 1⊥CD.又CD ⊥AD ，AA 1∩AD ＝A ，1,AA AD ⊂平面AA 1D 1D ， 所以CD ⊥平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥AE.因为AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.又CD∩ED＝D，,CD ED⊂平面ECD.所以AE⊥平面ECD.（2）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以1AA所在直线为z轴，建立如图所示的坐标系，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），所以E（0，2，2），(0,2,2)AE=，(2,4,0)AC=，1AC=（2，4，﹣4），设平面EAC的法向量为n=（x，y ，z），可得n ACn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240220x yy z+=⎧⎨+=⎩，不妨n=（﹣2，1，-1），所以直线A1C与平面EAC 所成角的正弦值为11||444|46966|636nA CA Cn⋅-++===⋅.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【★答案★】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；（2）分别设两种方案的日收费为X ，Y ，由题中条形图，得到X ，Y 的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为X190 200 210 220 230 P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为Y200 220 240 P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，焦距为23.（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3POQ '∠>. 【★答案★】（1）2214x y +=； （2）①见解析；②见解析.【解析】 【分析】（1）根据离心率、焦距和222b a c =-可解出,,a b c ，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12y y ；整理可知：2121214Q Q O O P P y y k k k x x ===，从而证得结论；②Q '与Q 关于x 轴对称可知xOQ xOQ'∠=∠，由①知1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，则()tan tan POQ xOQ xOP ''∠=∠+∠，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可得：32223c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且122xx m +=，()21221x x m =-()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2212212112421OP OQPQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP'∠+∠''∴∠=∠+∠='-∠⋅∠()44tan tan 2tan tan 3343xOQ xOP xOQ xOP ''=∠+∠⨯⋅∠=≥∠ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan 3POQ '∴∠>【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.21.已知函数()xf x e ax b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=．（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x -．（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，且线段AB 的中点为0(P x ，0)y ，证明：0()f x g <（1）0y <.【★答案★】（1）()2xf x e =-；证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意，对()f x 求导得()x f x a e '=+，利用导数的几何意义和切线方程求出a 和b ，即可求出()f x 的解析式，令()()11x h x f x x e x =-+=--，利用导数研究函数得单调性和最值得出()0h x ≥，即可证明不等式；（2）结合分析法，把所要证明的问题转化为证明212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，设210t x x =->，进而转化为只需证：22tte e t -->，构造函数22()ttF t e e t -=--，利用导数研究函数的单调性，从而可证明出0()f x g <（1）0y <.【详解】解：（1）由题可知，()xf x e ax b =++，则()x f x a e '=+，由于()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=， 所以f （1）2e a b e =++=-，即2a b +=-， 即f '（1）e a e =+=，则0a =，解得：2b =-， 则()2xf x e =-．令()()11x h x f x x e x =-+=--，()1xh x e '=-，令()0h x '=，即10x e -=，解得：0x =，则0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减；0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴=，则()1f x x -．（2）由题可知，()2g x kx =-，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，则1202()22x x x f x e e+=-=-，12120422x x y y e e y ++-==， 要证0()f x g <（1）0y <成立， 只需证：121224222x x x x e e ek ++--<-<，即证：121222x x x x e k e e++<<，即证：1122122212xx x x x x e e e x e e x +-+<<-， 只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-， 不妨设210t x x =->，即证：2112tt t e e e t -+<<， 要证21t t e e t-<，只需证：22t t e e t -->，令22()t t F t e et -=--，则221()()102t tF t e e -'=+->，()F t ∴在(0,)+∞上为增函数，()(0)0F t F ∴>=，即21t t e e t-<成立； 要证112t t e e t -+<，只需证：112t t e t e -<+，令1()12t t e tG t e -=-+，则22222214(1)(1)()0(1)22(1)2(1)t t t t t t t e e e e G t e e e -+--'=-==<+++， ()G t ∴在(0,)+∞上为减函数，()(0)0G t G ∴<=，即112t te e t -+<成立． ∴2112tt t e e e t -+<<，0t >成立， 0()f x g ∴<（1）0y <成立．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用和利用导数证明不等式，还涉及利用导数研究函数的单调性和最值，属于导数知识的综合应用，考查转化思想和运算能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为54，求a . 【★答案★】（1）l :cos sin0a ，C ：()2224sin cos 4ρθθ+=；（2）12a =±. 【解析】 【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得； （2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()22224sincos 4cos sin aθθθθ++=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则125tan tan 4O O B A k k θθ==，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 0a .在曲线C 的参数方程中，消去α，可得2214x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2214x y +=的方程中，所以曲线C 的极坐标方程为()2224sincos 4ρθθ+=.（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组()222cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组得()()22224sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即()22244tan 8tan 40a a θθ--+-=， 设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245tan tan 444O OB A a k k a θθ-===-，解得12a =±. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【★答案★】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020届四川省泸州市泸县第二中学高三下学期第二次高考适应性考试数学（理）试题一、单选题 1．若复数31iz i =+，则复数z 的虚部为（ ） A ．12B ．12i C ．12-D ．12i -【答案】C【解析】根据虚数的性质以及复数的乘除法运算法则化简复数z ，根据共轭复数的概念可得其共轭复数，再根据复数的概念可得结果. 【详解】 因为31i z i =+(1)11(1)(1)2i i i i i i i +-+===--+1122i =-+，所以1122z i =--，所以复数z 的虚部为12-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题.2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间[401,731]的人数为( ) A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】根据系统抽样的特征可知，抽出的号码成等差数列，由题意即可写出通项公式，解不等式即可求出. 【详解】∵9603230÷=，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为11(1)303019n a n n =+-=-， 由4013019731n ≤-≤，n 为正整数可得1425n ≤≤， ∴编号落入区间[401,731]的人数2514112-+=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查系统抽样的特征应用，以及等差数列的通项公式的应用，属于基础题. 3．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱 【答案】A【解析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项. 【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A. 【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4．等比数列{}n a 的前项和为n S ，若1,3,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比q 等于A ．1B ．12C ．-12D ．2【答案】C 【解析】【详解】因为1,3,2,S S S 成等差数列，所以123112232311=+2(202)2a a a a a a a a S q S S ∴++=++∴+=∴=-，选C 5．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.6．已知2a =，2b =，且()b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1B 2C ．2D ．22【答案】B【解析】设a 和b 的夹角为α，根据已知得cos 2α=，再求出向量a 在b 方向上的投影. 【详解】设a 和b 的夹角为α， 因为()b a b ⊥-，所以2()=22cos 20,cos 2b a b a b b αα⋅-⋅-=-=∴=.所以向量a 在b 方向上的投影为2cos α=故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量投影的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120C ．-15D ．15【答案】C 【解析】写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数．【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r rr r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C 【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D【解析】试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.【考点】点线面的位置关系.9．在ABC 中，3sin()sin 2A B C -+=，3BC AC =，则B =（ ） A ．3πB ．6π C ．6π或3π D ．2π 【答案】B【解析】利用两角和的正弦公式以及3sin()sin 2A B C -+=可得3sin cos 4A B =①，再由3BC =得到sin 3sin A B ②，联立①②解方程组即可.【详解】因为3sin()sin 2A B C -+=，所以3sin()sin()2A B A B -++=，化简得32sin cos 2A B =，即3sin cos 4A B =①，又3BC =及正弦定理可得 sin 3sin AB 33cos 4B B =，即3sin 2B = 又(0,)B π∈，所以6B π=或3π，注意到sin 31A B =≤，所以3sin B ≤， 所以6B π=.故选：B 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式，本题容易错选C ，要注意题中隐含的信息，是一道中档题. 10．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),i i x y （1i =，……，n ），则()1ni i i x y =+=∑（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】C【解析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果. 【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0 且()cos 2xf x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点 同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419iii x y =+=⨯+=∑故选：C 【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.11．已知不等式1ln a x x a x x e ++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．e B ．e 2- C ．e - D ．2e -【答案】C【解析】将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解. 【详解】 不等式1ln ax x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln ax x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增 当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()x a g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤ 只需maxln x a x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.12．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b：-=>>的一个焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．BC ．2D 1【答案】D【解析】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不难得到,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程化简可得22241c e b-=，再化简整理可得212e e -=，解之即可得到结果. 【详解】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不妨设交点1,2p A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22y px =可得1y p =，故,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简可得222214p p a b-=，即22241c e b -=，也即222241c e c a-=-，由此可得()22214e e -=，即212e e -=，也即2(1)2e -=，所以1e =.所以本题应选D. 【点睛】圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，也是高考和各级各类考试的重要内容和考点，解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，探寻出,22pc p c ==，及AF ⊥x 轴等条件，这些都是解答本题的重要条件和前提.解答时，将,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭代入双曲线方程化简得到222214p p a b -=后化简并求出双曲线的离心率仍是一个难点，因为22241c e b-=距离求出离心率的目标仍然较远，解这个方程不是很简单，这需引起足够的重视.二、填空题13．已知向量(,4),(3,2)a m b ==-，且a b ∥，则m =___________. 【答案】6-【解析】由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案. 【详解】因为a b ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-. 故答案为：6- 【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.14．已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．【答案】43【解析】分析：根据cos θ的值得到tan θ的值，再根据二倍角公式得到tan 2θ的值．详解：因此cos θ=且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 2θ=-，所以()()2224tan 2312θ⨯-==--，故填43． 点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=求得12x +==__________．【答案】12【解析】先换元令()330m m ++⋅⋅⋅=>，平方可得方程23m m +=，解方程即可得到结果. 【详解】令()330m m ++⋅⋅⋅=>，则两边平方得，得2333m +++⋅⋅⋅= 即23m m +=，解得：1132m =+或1132m -=（舍去） 本题正确结果：1132+ 【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于E 点，若满足112F E AF =，且1260EF F ∠=，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】71- 【解析】采用数形结合，计算1F E 以及1AF ，然后根据椭圆的定义可得2AF ，并使用余弦定理以及ce a=，可得结果. 【详解】 如图由1260EF F ∠=，所以12cos60cF E c ==由112F E AF =，所以1112AF F E c == 又122AF AF a +=，则22AF a c =-所以222121212121cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠=所以()()22222cos12022c c a c c c+--=⋅化简可得：()22722c a c a c =-⇒-=则13c a ==故答案为：13【点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.三、解答题17．某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店四月份中5天的日营业额y （单位：千元）与该地当日最低气温x （单位：C ︒）的数据，如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的回归方程y bx a =+； （Ⅱ）设该地区4月份最低气温()2,XN μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求()0.610.2P X <<.附：（1）回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-；（2 3.2≈ 1.8≈； （3）若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=.【答案】（Ⅰ）0.5612.92y x =-+（Ⅱ）0.8186【解析】（Ⅰ）根据题意计算x 、y ，求出回归系数，写出回归直线方程； （Ⅱ）由题意知平均数μ和方差2σ，利用正态分布计算(0.610.2)P X <<的值． 【详解】解：（Ⅰ）根据题意，计算1(258911)75x =⨯++++=，1(1210887)95y =⨯++++=，22212875790.5629557ni ii nii x ynx yb xnx ==--⨯⨯===--⨯-∑∑， 9(0.56)712.92a y bx =-=--⨯=，y ∴关于x 的回归直线方程为0.5612.92y x =-+；（Ⅱ）由题意知平均数7μ=，计算方差210σ=， ~(7,10)X N ∴，(0.610.2)(0.67)(710.2)P X P X P X ∴<<=<<+<<110.95450.682722=⨯+⨯0.8186=． 【点睛】本题考查了线性回归方程与正态分布的应用问题，属于中档题．18．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若36S =,且1a ，2a ，31a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2na n nb a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =.（2）(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据等差数列公式得到()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩，计算得到答案.（2）12nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）依题意，得()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩即()()2111121336a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得220d d +-=.∵0d >，∴1d =，11a =.∴数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-= 即数列{}n a 的通项公式n a n =. （2）1222nna n n nb a n n --⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，12n n T b b b =+++211221122nn ⎛⎫⎛⎫⎪=+++ +++⎪⎝⎭⎝⎭，()231111122222n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-11122(1)1212nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-(1)1122n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故(1)1122nn n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，60A ∠=︒，现沿对角线BD 将ABD ∆折起，使点A 到达点P ，点M ，N 分别在直线PC ，PD 上，且A ，B ，M ，N 四点共面.（1）求证：MN BD ⊥；（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，二面角M AB D --平面角大小为30，求直线PC 与平面BMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5【解析】（1）根据余弦定理，可得AB BD ⊥，利用AB //CD ，可得CD //平面ABMN ，然后利用线面平行的性质定理，CD //MN ，最后可得结果.（2）根据二面角M AB D --平面角大小为30，可知N 为PD 的中点，然后利用建系，计算PC 以及平面BMN 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】（1）不妨设2AB =，则4=AD ， 在ABD ∆中,2222cos BD AB AD AB AD A =++⋅⋅，则BD =因为22241216AB BD AD +=+==， 所以AB BD ⊥，因为AB //CD ，且A 、B 、M 、N 四点共面，所以CD //平面ABMN . 又平面ABMN平面PCD MN =，所以CD //MN .而CD BD ⊥，MN BD ⊥.（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥， 所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥，因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN AB ⊥， 因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30， 所以30DBN ∠=︒，在Rt PBD ∆中，易知N 为PD 的中点， 如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()002P ,,，()2,23,0C ， ()3,1N ，()3,1M ，()1,0,0NM =，()0,3,1BN =，()2,23,2PC =-，设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =，则由00030x n NM n BN z =⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎩， 令1y =，得(0,1,3n =-. 设PC 与平面BMN 所成角为θ，则()15sin cos 90n PC n PCθθ⋅=︒-==⋅. 【点睛】本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，且8AB =． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1，1）作直线交抛物线C 于不同于R （1，2）的两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线:22l y x =+于M ，N 两点，求|MN|取最小值时直线DE 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）20x y +-=．【解析】（1）过点F 且斜率为1的直线方程与抛物线的方程联立，利用8AB =求得p 的值，即可求得抛物线C 的方程；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由题意求出,M N x x 得值，建立MN 的解析式，再求出MN 的最小值以及直线DE 的方程． 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2pF ， 直线方程为：2p y x =-， 代入22(0)y px p =>中，消去y 得： 22304p x px -+=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有123x x p +=，由8AB =，得128x x p ++=，即38p p +=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，如图所示，由2(1)14x m y y x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得：244(1)0y my m -+-=， ∴12124,4(1)y y m y y m +==-， 设直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+， 由()11222y k x y x ⎧=-+⎨=+⎩，解得点M 的横坐标112M k x k =-， 又k 1=1121y x --=142y +，∴x M =112k k -=-12y ，同理点N 的横坐标22N x y =-，12y y -=M -x N12y +22y2112y y y y -22511m m m ⋅-+-，令1,0m t t -=≠，则1m t =+，∴|MN|=25•221t t t ++=25•211()1t t ++=25•2113()24t ++≥25•34=15，所以当2t =-，即01x ≠时，|MN|取最小值为15， 此时直线DE 的方程为20x y +-=．【点睛】本题主要考查了抛物线线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21．已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；（Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值. 【答案】(1) 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减;(2)114. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求． 试题解析：（I ）由题意得()()()()2113ln 1222F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()21111ax a x F x ax a x x-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=.当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<；令()0F x '<，解得1x a >. 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（II ）由题意知0t ≥.()2111ax x f x ax x x-+=='+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增． 不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立. 记()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+， 由题意得()h x 在[]1,2上单调递减. 所以()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()112H a xa t x=-++-，[]2,1a ∈--，则()()max 122120H a H x t x=-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立.故max 1212t x x ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭，而12y x x=+在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为92.由9212t -≥，解得114t ≥.故实数t 的最小值为114．22．在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,以原点O为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ-,直线l 与曲线C 交于A 、B 两点.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若(1,0)P -,求11AP BP+的值. 【答案】（1）10x y ++=；22(2)4x y ++=（2）3【解析】(1)相加消去参数t 可得直线l 的普通方程,对=4cos ρθ-两边乘以ρ再根据极坐标与,x y 的关系化简可得曲线C 的直角坐标方程.(2)将直线l 写成过(1,0)P -的标准直线参数方程,再联立圆的方程化简求得关于t 的二次方程,进而根据t 的几何意义,结合韦达定理求解11AP BP+即可. 【详解】 （1）因为1x ty t=-+⎧⎨=-⎩,相加可得直线的普通方程为10x y ++=,.又=4cos ρθ-,即2224cos 40x y x ρρθ=-⇒++=,化简可得曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y ++=.（2）直线的参数方程可化为1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入曲线()2224x y ++=可得2214⎛⎫⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得230t -=,由韦达定理有1212123,t t t t t t +==--==所以121211||||3t t AP BP t t -+== 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题.23．已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. 【答案】（1）[]0,1（2 【解析】（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案； （2）32a b +=⇒9122a b +++=，()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，在乘开，利用基本不等式即可. 【详解】解（1）因为()3,1,12112,1,213,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩从图可知满足不等式()2f x x ≤+的解集为[]0,1.第 21 页 共 21 页（2）由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以32a b +=，从而9122a b +++=， 从而()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()()212122226423329129129a a b b a b a b ⎡⎡⎤+-⎛⎫+++=++≥+⋅=⎢⎢⎥ ⎪++++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣ 当且仅当()21212a b a b ++=++，即92111492,22a b --==时，等号成立， ∴1212a b +++的最小值为6429+. 【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.。

2020年四川省泸县第二中学高考适应性考试数学（理工类）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数()38i i a bi +=+, a R ∈, b R ∈, a b +=A ．3-B ．5-C ．11D ．52．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点()()20P a a a ≠，，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．3-B ．13-C ．3D ．133．已知单位向量1e →、2e →的夹角为3π，122a e e →→→=-，则a →在1e →方向上的投影为A ．12-B ．12C ．32-D ．324．从3名男生和2名女生共5名同学中抽取2名同学，若抽到了1名女同学，则另1名女同学也被抽到的概率为 A ．110 B ．18 C ．17 D ．125．已知ABC ∆的角C B A ,,所对的边为c b a ,,；π32,1,7===C b c ；则=a A.5 B.2 C.3 D.3 6．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何 体的体积为 A ．43 B ．2512C ．83D ．103 7．若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为4，则判断框中应填入的条件是1222A ．k ＜18B ．k ＜17C ．k ＜16D ．k ＜158.已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有 A ．e 2020f (－2020)<f (0)，f (2020)>e 2020f (0) B ．e 2020f (－2020)<f (0)，f (2020)<e 2020f (0) C ．e2020f (－2020)>f (0)，f (2020)>e 2020f (0) D ．e 2020f (－2020)>f (0)，f (2020)<e 2020f (0)9.将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 图象，若12()()6g x g x +=，且[]12,2,2x x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ） A ．π B ．2π C.3π D ．4π10.在0,1,2,3,4,5,6,7中任意选择6个数学组成数字不重复的六位数中，大于400000的偶数共有多少个A.10080B.5040C.4800D.960011.点),(y x P 是半径为4的圆外任意一点，过),(y x P 向圆引切线，切点分别为B A ,;则PB PA .的取值范围是A.[)+∞-,48232B.[)+∞,64C.[)+∞-,36232 [)+∞,32 12.已知函数xx x x x f +---=11ln )sin(4)(π；则0)1()1(2≤-++a f a f 成立的a 的取值范围是A.(][)+∞-∞-,21,YB.(][)+∞-∞-,12,YC.(]1,2-- D,)1,2(--二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

A ．B ．3.63.86．已知向量、为单位向量，且a b A ．B ．6π4π内（包括边界）的动点，则下列结论；奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动．并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取人上台领奖，请求出有女生上台领奖的概率．）抽奖活动中，运动员通过操作按键，使电脑自动产生[0，4]内的两个均匀随机数x ，y ，随后电脑自中奖”，则运动员获相应奖品；若电脑显示“谢谢上的点，E ，F ，G 分别为，，1AA AC 11A CC CD，曲线是弧，曲线3所围成图形的面积；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．2x ≥()()22f x x ≤+a答案1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．A 7．A 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A 13．914．15．0或16．①②③13-317．解：（1）锐角中，，∴，ABC ∆233cosA cosB sinCa b a +=23cos cos sin 3b A a B b C +=由正弦定理得，23sin cos cos sin sin sin 3B A B A B C +=∴，又，()23sin sin sin 3A B B C+=()sin sin 0A B C +=≠∴，又，∴3sin 2B =02B π<<3B π=（2）由正弦定理，4a c bsinA sinC sinB ===则有， 则4sin ,4sin a A c C ==4sin 4sin a c A C+=+，24sin 4sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭6sin 23cos A A =+43sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为为锐角三角形所以，可得，ABC ∆022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩62A ππ<<则， 由正弦函数的图像与性质可得，即2363A πππ<+<3sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭643a c <+≤18．解：（1）设代表队共有人，则，所以，n 55016n =160n =则季军队的男运动员人数为．160(3030302030)20-++++=（2）设男生为，女生为，随机抽取2人，123,,a a a 12,b b 包括的基本事件个数为，有女生上台领奖的基本事件为，2510C =22531037C C -=-=所以，有女生上台领奖的概率为．7()10P A =710（3）试验的全部结果所构成的区域为，面积为，{(,)|04,04}x y x y Ω=≤≤≤≤4416S Ω=⨯=事件A 表示运动员获得奖品，所构成的区域为，{(,)|480,04,04}A x y x y x y =--≤≤≤≤≤面积为，这是一个几何概型，所以,即运动员获得奖品的概率为．1(23)4102A S =⋅+⨯=5()8A S P A S Ω==58，，，)()1()得，22112218338141313233t t F A F B t t t t ++⎛⎫+==++=+- ⎪⎝⎭ 由，得，，22F A F B λ=1122,y y y y λλ=--=()22121222112142223y y y y m y y y y m λλ+-∴--+=++==+()222314112,20,,232t m m t λλλ-⎡⎤+-==∈⎢⎥+⎣⎦ 11134,43t t ∴ 中边上中线长的取值范围是11151,224F A F B ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 1ABF ∴ AB 51,2.4⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．解：（1），在点处的切线垂直于轴；()2f x x m x =++' ()f x 1(1))f （，y ，得；则；∴()10f '=3m =-()()()2122323x x x x f x x x x x ---+='=-+=时；时，∴()()0,12x +∞∈ ，()0f x ¢>()1,2x ∈()0f x ¢<在区间单调递增，在区间单调递减.∴()f x ()()0,12+∞，，()1,2（2）设，则.欲证明：，即.()()()f a f b f c n ===52ln 24,2n ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭2c a -<2c a <+因为，且在上单调递增，只需要证明；2,22c a >+>()f x ()2+∞，()()(2)f a f c f a =<+构造()()(2)()22ln(2)2ln 4,0,1g x f x f x x x x x =+-=++--∈，所以在区间上单减，在上单增，()()2222(2)x x g x x x +-=+'()g x ()031，-()311-，()()min ()312362ln(31)2ln31=-=-++--g x g()()2362ln 2ln(31)232ln 31⎡⎤>-+--=---⎣⎦e 现证明：，令，，则在上单调递减，()ln3132-<-()ln 1(01)h x x x x =-+<<()10xh x x -'=>()h x ()0,1所以，而，得证()(1)0h x h <=()310,1-∈()ln3132-<-所以，得证结论成立.()0,1,()()(2)a f c f a f a ∀∈=<+22．解：（1）由题意可知，弧所在圆的圆心的直角坐标为，点的直角坐标为，点的AB ()0,2A ()0,4B 直角坐标为，所以，弧所在圆的方程为，即，()2,2 AB ()2224x y +-=224x y y +=所以，曲线的极坐标方程为.1C 4sin 42ππρθθ⎛⎫=<≤⎪⎝⎭弧所在圆的圆心的直角坐标为，点的直角坐标为，点的直角坐标为， BC ()2,0B ()2,2C ()2,2-所以，弧所在圆的方程为，即， BC ()2224x y -+=224x y x +=所以，曲线的极坐标方程为（或）.2C 4cos ρθ=04πθ≤≤724πθπ<≤弧所在圆的圆心坐标为，点的直角坐标为，点的直角坐标为.CD ()0,2-C ()2,2-D ()0,4-所以，弧所在圆的方程为，即， CD ()2224x y ++=224x y y +=-所以，曲线的极坐标方程为.3C 374sin 24ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭因此，曲线的极坐标方程为.C 4sin 4274cos 0244374sin 24ππθθππρθθθπππθθ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=≤≤<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩或所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组成，所以面积为：；2211222244842S πππ=⋅⋅⋅+⋅+⨯=+（2）设曲线上一点，由题设：若，由得，则；C (),M ρθ42ππθ<≤4sin 23θ=3sin 2θ=3πθ=若或，由得，得或；04πθ≤≤724πθπ<<4cos 23θ=3cos 2θ=6πθ=116πθ=若，由得，得；3724ππθ≤≤4sin 23θ-=3sin 2θ=-53πθ=因此，点的极坐标为或或或.M 23,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭23,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭1123,6π⎛⎫⎪⎝⎭523,3π⎛⎫⎪⎝⎭23．(1)解，∴，2a = ()221f x x x =-++化为，()9f x ∴<228x x -+<当时，原式为，解得，；1x ≤(22)8x x -+<6x >-61x ∴-<≤当时，原式为，，.综上可得，解集为.1x >(22)8x x -+<103x <1013x ∴<<106,3⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)解：由题意得：当时，恒成立，恒成立，2x ≥2433ax a x x +-≤++2330x x ++> 上式化为恒成立，即，∴2233433x x ax a x x ---≤+-≤++()2231137x x a x x x --+≤+≤++由于，，令，则，上式化为：.2x ≥22313711x x x x a x x --+++∴≤≤++1x t +=3t ≥2235t t t t a t t --+++≤≤在上为减函数，；()2331t t g t t t t --+==--+[)3,+∞()()max 33g t g ∴==-同理在上为增函数，()2551t t h t t t t ++==++[)3,+∞.∴实数的取值范围为：.()()min 1733h t h ∴==a 1733a -≤≤。

四川省叙州区第二(dìèr)中学2020届高考数学下学期第二次适应性考试试题理注意事项：1．答卷前，考生(kǎoshēng)务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目(tímù)的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合(fúhé)题目要求的。

1．设集合(jíhé)，，则A．B．C．D．2．复数，则的模为A．B．C．D．3．已知向量，，若，则A．B．C．D．4．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是A．该家庭(jiātíng)2019年食品(shípǐn)的消费额是2015年食品(shípǐn)的消费额的一半B．该家庭(jiātíng)2019年教育(jiàoyù)医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当5．在中，是上一点，且，则A． B． C． D．6．某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在(117,126]之外的人数估计有（附：若服从，则，）A．1814人B．3173人C．5228人D．5907人7．已知，则A．B．C．D．8．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是A．若∥，则∥B．若，则C．若,a b相交，则,αβ相交D．若,αβ相交，则,a b相交9．已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则M的横坐标是A．B．C．D．10．已知，则A． B． C． D．11．若存在，满足，且，则的取值范围是A．B． C． D．12．已知点是椭圆(tuǒyuán)上的动点，过P作圆的两条切线(qiēxiàn)分别为切于点，直线(zhíxiàn)与轴分别(fēnbié)相交于两点，则（为坐标(zuòbiāo)原点）的最小面积为（）A．B．C．D．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前四川省泸州市泸县二中2020届高三毕业班下学期第二次高考适应性考试理科综合试题可能用到的相对原子质量：C-12 N-14 O-16 S-32 C1-35.5 Ba-137 Cu-64 Na-23第I卷选择题（126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列实验操作中，不可能导致结果偏小的是A．调查某地蒲公英种群密度时舍弃个体数量过多的样方B．被标记鲤鱼投放入池塘后立即重捕并计算鲤鱼的数量C．在高度近视患者的家系中随机调查高度近视的发病率D．从未摇匀试管中吸出少量酵母菌培养液对酵母菌计数2．下列关于组成细胞的物质叙述,错误的是A．核酸因为核苷酸序列的多样性而能储存遗传信息B．衰老细胞因为自由水的减少而使细胞体积变小C．蛋白质在高温条件下结构变得松散而更易被消化D．蔗糖可以被消化,所以可通过静脉注射进入人体3．下图是探究影响酵母菌种群数量变化因素时的实验结果,有关分析正确的是A．MN时期酵母菌细胞呼吸的终产物是酒精和二氧化碳B．NP时期酵母菌各年龄期的个体数量比例保持相对稳定C．图示MN时间内酵母菌种内斗争程度的变化为弱→强→弱D．酵母菌种群数量从p点开始下降与培养液pH下降有关4．基因在转录形成mRNA时,有时会形成难以分离的DNA-RNA杂交区段,会形成三链核酸结构,称为R环,这种结构会影响DNA复制、转录和基因的稳定性。

以下说法错误的是A．三链杂合片段中嘌呤数不一定等于嘧啶碱基总数B．DNA-RNA杂交区段最多存在8种核苷酸C．正常基因转录时也能形成DNA-RNA杂交区段D．mRNA难以从DNA上分离跟碱基的种类和比例无关5．盐碱地中的某种植物,其细胞的液泡膜上有一种载体蛋白,能将细胞质基质中的Na+逆浓度梯度运入液泡,降低Na+对细胞质基质中酶的伤害。

下列叙述错误．．的是A．Na+进入液泡的过程受环境温度的影响B．Na+进入液泡与进入神经细胞的方式不同C．该载体蛋白作用的结果降低了细胞液的渗透压D．该载体蛋白作用的结果增强了植物的耐盐性6．生物群落的组成在垂直方向上的分化状况称为群落的垂直结构,又称为垂直分层现象。

2021年泸县第二中学高考适应性考试创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学〔理科〕试题第I卷〔一共60分〕一．选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，有且只有一项是哪一项符合题目要求的. 请将其编号选出，并涂在机读卡上的相应位置〕1.集合，，那么A. B.C. D.2.假设复数满足，那么的虚部为A. 5B.C.D. -53.假设，那么的值是A. B. C. D.4.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分是150分，统计结果显示数学成绩优秀〔高于120分〕的人数占总人数的，那么此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为A. 150B. 200C. 300D. 4005.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.6.双曲线的渐近线方程是，那么的离心率为A. 或者2B.C.D. 或者7.函数的图象可能是A. B. C. D.8.过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于点和，那么线段的长度是A. 8B.4C.6D. 79.?易经?是中国传统文化中的精华，下列图是易经八卦图〔含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦〕，每一卦由三根线组成〔表示一根阳线，表示一根阴线〕，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为A. B. C. D.S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，假设1SC AB AC ===，0120BAC ∠=，那么球O 的外表积为 A ．52π B ．5π C ．4π D ．53π 11.为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，那么的零点的个数为A.B.C. D. 12.函数，假设关于的方程有且仅有两个不同的整数解，那么实数的取值范围是A. B. C.D.第二卷〔一共90分〕二.填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕，满足约束条件，那么的最小值为_____．14.展开式中的系数为_____________.15.如下图，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，ABC ＝120，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，那么异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．中，内角所对的边分别为，是的中点，假设且，那么面积的最大值是___三.解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.〔本小题满分是12分〕数列满足，〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕求数列的前项和．18.〔本小题满分是12分〕某公司为了进步利润，从2021年至2021年每年对消费环节的改良进展HY，HY金额与年利润增长的数据如下表：年份2021 2021 2021 2021 2021 2021 2021HY金额〔万元〕年利润增长〔万元〕(Ⅰ)请用最小二乘法求出关于的回归直线方程；假如2021年该公司方案对消费环节的改良的HY金额为万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？〔结果保存两位小数〕〔Ⅱ〕现从2021年—2021年这年中抽出三年进展调查，记年利润增长HY金额，设这三年中〔万元〕的年份数为，求随机变量的分布列与期望.参考公式：.参考数据：，.19.〔本小题满分是12分〕如图，在四棱锥PABCD－中，AB//CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2，PAD＝60°，AB⊥平面PAD，点M在棱PC上．(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCD；(Ⅱ)假设直线PA// 平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．20.〔本小题满分是12分〕，是椭圆的两个焦点，椭圆的离心率为，是上异于上下顶点的任意一点，且面积的最大值为.(Ⅰ)求椭圆的方程；〔Ⅱ〕假设过点的直线与椭圆交于，两点，，求直线的方程.21.函数〔为常数〕〔Ⅰ〕假设是定义域上的单调函数，求的取值范围；〔Ⅱ〕假设存在两个极值点，且，求的最大值．请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分，答题时请写清题号.22.〔选修4-4：坐标系与参数方程〕〔10分〕平面直角坐标系中，直线1的参数方程是〔t为参数〕，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(Ⅰ)求直线l的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线l与曲线C相交于两点，求.23.〔本小题满分是10分〕选修4-5：不等式选讲函数.(Ⅰ)当时，求不等式的解集；〔Ⅱ〕假设函数的图象与函数的图象存在公一共点，务实数的取值范围.参考答案一．选择题二．填空题13.2 14. 15. 16.三．解答题17.〔Ⅰ〕由可得，两式相减得到，最后验证满足上式，进而得到通项公式；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得，于是，故利用裂项相消法可求出．〔Ⅰ〕∵∴，两式相减得，∴．又当时，满足上式，∴．∴数列的通项公式．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，∴∴．18.〔Ⅰ〕，，，那么回归直线方程为：将代入方程得即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元.〔Ⅱ〕由题意可知，年份2021 2021 2021 2021 2021 2021 20212的可能取值为1,2,3，;;那么分布列为1 2 3P19.解：〔Ⅰ〕因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥DP，又因为，AP=2，∠PAD=60°，由，可得，所以∠PDA=30°，所以∠APD=90°，即DP⊥AP，因为，所以DP⊥平面PAB，因为，所以平面PAB⊥平面PCD〔Ⅱ〕由AB⊥平面PAD以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如下图建立空间直角坐标系.其中，，，，.从而，，，设，从而得，，设平面MBD的法向量为，假设直线PA//平面MBD，满足，即，得，取，且，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于：.20.解：〔1〕据题意，得，.椭圆的方程为.〔2〕据题设分析知，直线的斜率存在，设直线的方程为. 据得.设，，那么，.，..，那么.又，，.故直线的方程为或者.21.〔Ⅰ〕∵，，∴．设，，∵是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，∴在定义域上恒成立，即在上恒成立．又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，∴，或者，解得.∴实数的取值范围为．〔Ⅱ〕由〔I〕知函数的两个极值点满足，所以，不妨设，那么在上是减函数，∴，∴．令，那么，又，即，解得，故，∴．设，那么，∴在上为增函数．∴，即．所以的最大值为．22〔1〕直线的普通方程为；，曲线的直角坐标方程为；〔2〕曲线圆心到直线的间隔；圆的半径；，23.解：〔1〕当时，，此时不等式为.当时，，解得，所以；当时，，解得，所以；当时，，解得，此时无解.综上，所求不等式的解集为.〔2〕，该函数在处获得最小值.，分析知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.据题设知，，解得.所以实数的取值范围是.创作人：历恰面日期：2020年1月1日。

绝密★启用前四川省泸州市泸县五中2020届高三毕业班下学期第二次高考适应性考试数学(理)试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B = A ．{}2x x >-B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x < 2．若复数221a i i++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设向量(1,)a x x =-,(1,2)b =-,若//a b ,则x =A ．32-B ．-1C ．23D ．324．如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出）,根据折线图,下列说法中错误的是A ．该超市这五个月中的营业额一直在增长；B ．该超市这五个月的利润一直在增长；C ．该超市这五个月中五月份的利润最高；D ．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关.5．在ABC 中,D 在BC 边上,且2BD DC =,E 为AD 的中点,则BE =A ．1136AC AB - B ．1536AC AB -+ C ．1136AC AB -+D ．1536AC AB - 6．某中学在高三上学期期末考试中,理科学生的数学成绩()X N 105,100～,若已知P(90X 105)0.36<≤=,则从该校理科生中任选一名学生,他的数学成绩大于120分的概率为A ．0.86B ．0.64C ．0.36D ．0.147．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ,M 为C 上一点,若4MF =,则MOF △（O 为坐标原点）的面积为A B ．C ．D ．8．设m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题： ①若m α⊂,//n α,则m ,n 为异面直线；②若m β⊥,αβ⊥,m γ⊥,则αγ⊥； ③若//αγ,//βγ,则//αβ；④若m α⊥,n β⊥,//m n ,则αβ⊥.则上述命题中真命题的序号为A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④9．为得到函数sin 3y x x =-的图象,只需要将函数2cos3y x =的图象。

学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题理（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对集合A中的不等式进行求解，然后与集合B取交集即可.【详解】因为，故解得与集合B取交集得：故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，涉及不等式的求解.2.若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为（）A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】【分析】化简复数为，利用纯虚数的定义可得a﹣6＝0 且2a+3≠0，求出a 值，可得复数z的虚部．【详解】∵复数为纯虚数，∴a﹣6＝0 且2a+3≠0，∴a＝6，复数z3i，则复数的虚部为3，故选C．【点睛】本题考查纯虚数及虚部的定义，复数代数形式的除法，属于基础题．3.已知向量，其中，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算出向量和的坐标，再利用共线向量的坐标表示列等式求出实数的值.【详解】因为，，，.，，则，解得，又，因此，，故选：A.【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的值，同时也考查了平面向量线性运算的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.4.PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A. 这10天中，12月5日空气质量超标B. 这10天中有5天空气质量为二级C. 从5日到10日，PM2.5日均值逐渐降低D. 这10天的PM2.5日均值的中位数是47【答案】C【解析】【分析】先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解.【详解】解：由图表可知，选项A，B，D正确，对于选项C，由于10日的PM2.5日均值大于9日的PM2.5日均值，故C错误，故选：C.【点睛】本题考查了频率分布折线图，考查数据处理和分析能力，属于基础题.5.在中，D在边上，且，E为的中点，则( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，，，从而根据平面向量线性运算求解即可．【详解】解：∵，∴，∵为的中点，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．6.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量，则，.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意P（0＜X≤1）=．即可得出结论【详解】由题意P（0＜X≤1）=．则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×=1359．故选C．【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，，，故.故选.8.已知是三条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】试题分析：A中，由线面垂直的判定定理可知，需满足：是两条相交直线，结论才成立，故A项错误；B中，因为，所以. 又，所以，故B项正确；C中，由线面平行的判定定理可知，需满足：在平面外，结论才成立，故C项错误；D中，与还可以相交或异面，故D项错误，故选B.考点：空间中直线与平面的平行与垂直关系.9.已知F是抛物线的焦点，A，B为抛物线C上两点，且．则线段的中点到y轴的距离为（）A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的准线为，设，，根据抛物线的定义可得，进一步可得的中点到y轴的距离为2.【详解】设，，抛物线的准线为，由，可得，，所以的中点到y轴的距离为2，故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了抛物线的定义，属于基础题.10.在中，，则为（）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】由通过诱导公式辅助角公式化简可得，再由化简可得，又三角形内角和为，所以，进而得出结果.【详解】由可得即，再由辅助角公式化简得即，又，所以，再由可得，所以，又，所以，所以，所以为直角三角形.故选B.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、辅助角公式的化简，属于基础题.11.已知抛物线：在点处的切线与曲线：相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】设恒成立，故单调递增，又故故，令，选D点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．12.过点的直线与圆相切于M，N两点，且这两点恰好在椭圆上，设椭圆的右顶点为A，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件求解出的坐标，将点代入椭圆方程即可得到关于的方程，由此求解出离心率的值.【详解】如图所示：设切线方程为，所以圆心到直线的距离，所以，所以，因为，所以，所以，所以，又因为四边形为平行四边形且，所以四边形为菱形，因为，中点为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查求解椭圆的离心率，着重考查了直线与圆的相切关系，难度一般.求解直线与圆的相切问题，可通过两种方法求解：(1)几何法：利用半弦长、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形完成求解；(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用来进行求解.二、填空题第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在二项式的展开式中，含的项的系数是________．【答案】10【解析】分析：先根据二项展开式的通项公式求含的项的项数，再确定对应项系数.详解：，所以令得，即含的项的系数是点睛：求二项展开式有关问题常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.经过点且圆心在直线上的圆的方程是____.【答案】【解析】【分析】本题首先可设出圆的标准方程，再通过圆心在直线上得出，然后再通过圆经过点解出的值，最后得出结果．【详解】设圆的方程为因为圆心在直线上，得，所以可得圆的方程为，因为圆经过点，所以，解得，因此，所求圆的方程为，故答案为．【点睛】本题考查的是圆的相关性质，主要考查圆的方程的求法以及对圆的标准方程的性质的理解，考查运算能力，考查方程思想，是简单题．15.已知直线恒过定点，且点在直线上，则的最大值为_____________【答案】1【解析】【分析】首先求定点，代入直线得，再利用基本不等式求的最大值.【详解】直线则，解得：，所以定点；则，且那么，等号成立的条件是.故答案为：1【点睛】本题考查直线过定点，基本不等式求乘积的最大值，属于基础题型，本题的关键是定点问题.16.定义为数列的“均值”,已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，得到，求出，得到数列是等差数列，再由数列的前项和为，对任意正整数恒成立，得到，即可求出结果.【详解】由题意可得：，即，所以，因此，所以，显然数列是等差数列，又数列的前项和为，对任意正整数恒成立，所以，即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查由数列的最值求参数的问题，熟记等差数列的概念与等差数列的增减性即可，属于常考题型.三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在中，角，、的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，且，求的面积.【答案】(1) . (2)【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到，计算得到答案.（2）化简得到，即，再计算得到，代入面积公式得到答案.【详解】（1）∵，∴.∵，∴.（2）∵∴，∴，即，即.∵，∴.∵，∴.∴.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.18.2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的的平均值为依据，播报我市的空气质量.（1）若某日播报的为118，已知轻度污染区的平均值为74，中度污染区的平均值为114，求重度污染区的平均值；（2）如图是2018年11月的30天中的分布，11月份仅有一天在内.①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的为标准，如果小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到不小于180的天数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）平均值为172；（2）①；②分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用题目所给平均值列方程，解方程求得重度污染区平均值.（2）①求得月份小于的天数，由此求得题目所求概率.②利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.【详解】（1）设重度污染区的平均值为，则，解得.即重度污染区平均值为172.（2）①由题意知，在内的天数为1，由图可知，在内的天数为17天，故11月份小于180的天数为，又，则该学校去进行社会实践活动的概率为.②由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，则的分布列为数学期望.【点睛】本小题主要考查超级和分布分布列和数学期望的计算，考查古典概型概率计算，考查数据分析与处理能力，属于中档题.19.已知四棱锥，底面为菱形，,H为上点，过的平面分别交于点，且平面．（1）证明：；（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连结交于点，连结．由题意可证得平面，则．由线面平行的性质定理可得，据此即可证得题中的结论；（2）结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以．因为平面，平面，且平面平面，所以，所以．（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，所以，因为，所以．分别以，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以．记平面的法向量为，则，令，则，所以，记平面的法向量为，则，令，则，所以，记二面角的大小为，则．所以二面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点.(1)求椭圆的方程和点的坐标；(2)设为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.【答案】（I）+=1，T（1，）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（I）由椭圆的离心率为得到 b2=a2，根据直线l：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T得到△=0，解得a2=4，b2=3，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先计算出|PT|2=t2，|PA|==|﹣x1|，|PB|=|﹣x2|，再计算=为定值．【详解】（I）由椭圆的离心率e===，则b2=a2，则，消去x，整理得：y2﹣16y+16﹣a2=0，①由△=0，解得：a2=4，b2=3，所以椭圆的标准方程为：+=1；所以=，则T（1，），（Ⅱ）设直线l′的方程为y=x+t，由，解得P的坐标为（1﹣，+），所以|PT|2=t2，设设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得x2+tx+﹣1=0，则x1+x2=﹣t，x1x2=，△=t2﹣4（﹣1）＞0，t2＜12，y1=x1+t，y2=x2+t，|PA|==|﹣x1|，同理|PB|=|﹣x2|，|PA|•|PB|=|（﹣x1）（﹣x2）|=|﹣（x1+x2）+x1x2|，|﹣（﹣t）+|=t2，所以==，所以=为定值．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，两点之间的距离公式，考查转化思想，属于中档题．21.是自然对数的底数，，已知函数，.（1）若函数有零点，求实数的取值范围；（2）对于，证明:当时，.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）函数有零点等价于对应方程有实数解，进而分离参数，并通过构造函数，结合求导，利用函数的单调性来确定其最值，从而得以确定参数的范围；（2）通过所要证明的不等式的等价转化，转化为两个不等式问题，通过分类讨论分别加以证明，构造函数并求导，结合函数的单调性与最值来证明与转化．【详解】（1）由函数有零点知，方程有实数解，因为，所以．设，，则的取值范围转化为函数在上的值域．因为，所以当，时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，故函数在时，取得最大值，又上，，所以函数在上的值域为，．当时，，所以函数在上的值域为，.从而函数有零点时，实数的取值范围为，（2）可以转化为证明两个不等式①，②.设，所以，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增．故函数在时，取得最小值，所以．得证①设，有，当时，．函数在上单调递减；当时，函数，在上单调递增．故函数在时，取得最小值．所以，得．（仅当时取等号）又由为增函数，得②.合并①②得证．【点睛】本题主要考查导数及其应用、导数的单调性、极值与最值，不等式的证明，考查推理论证能力函数与方程思想，化归与转化思想，难度较大．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若直线与曲线相交于，两点，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即得到曲线的直角坐标方程；由直线的参数方程，消去参数，即可得到直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的方程，得到，，利用弦长公式，得到的长，再利用点到直线的距离公式求的原点到直线的距离，即可求解三角形的面积．试题解析：（1）由曲线的极坐标方程为，得，所以曲线的直角坐标方程是．由直线的参数方程为（为参数），得直线的普通方程．·······6分（2）由直线的参数方程为（为参数），得（为参数），代入，得，设，两点对应的参数分别为，，则，，所以，因为原点到直线的距离，所以．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数（1）若，，求不等式的解集；（2）若，，且，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解不等式求不等式的解集；（2）先用绝对值不等式的性质求得，再根据基本不等式可得，利用不等式的传递性可得．【详解】（1）时，或或，解得，故不等式的解集为；（2）时，当且仅当时，取等．∵，∴，当且仅当时取等．故．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了三角绝对值不等式的应用，考查了基本不等式求最值，属中档题．学2020届高三数学下学期第二次适应性考试试题理（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对集合A中的不等式进行求解，然后与集合B取交集即可.【详解】因为，故解得与集合B取交集得：故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，涉及不等式的求解.2.若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为（）A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】【分析】化简复数为，利用纯虚数的定义可得a﹣6＝0 且2a+3≠0，求出a 值，可得复数z的虚部．【详解】∵复数为纯虚数，∴a﹣6＝0 且2a+3≠0，∴a＝6，复数z3i，则复数的虚部为3，故选C．【点睛】本题考查纯虚数及虚部的定义，复数代数形式的除法，属于基础题．3.已知向量，其中，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算出向量和的坐标，再利用共线向量的坐标表示列等式求出实数的值.【详解】因为，，，.，，则，解得，又，因此，，故选：A.【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的值，同时也考查了平面向量线性运算的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.4.PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A. 这10天中，12月5日空气质量超标B. 这10天中有5天空气质量为二级C. 从5日到10日，PM2.5日均值逐渐降低D. 这10天的PM2.5日均值的中位数是47【答案】C【解析】【分析】先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解.【详解】解：由图表可知，选项A，B，D正确，对于选项C，由于10日的PM2.5日均值大于9日的PM2.5日均值，故C错误，故选：C.【点睛】本题考查了频率分布折线图，考查数据处理和分析能力，属于基础题.5.在中，D在边上，且，E为的中点，则( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，，，从而根据平面向量线性运算求解即可．【详解】解：∵，∴，∵为的中点，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．6.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量，则，.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意P（0＜X≤1）=．即可得出结论【详解】由题意P（0＜X≤1）=．则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×=1359．故选C．【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，，，故.故选.8.已知是三条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】试题分析：A中，由线面垂直的判定定理可知，需满足：是两条相交直线，结论才成立，故A项错误；B中，因为，所以. 又，所以，故B项正确；C 中，由线面平行的判定定理可知，需满足：在平面外，结论才成立，故C项错误；D中，与还可以相交或异面，故D项错误，故选B.考点：空间中直线与平面的平行与垂直关系.9.已知F是抛物线的焦点，A，B为抛物线C上两点，且．则线段的中点到y轴的距离为（）A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的准线为，设，，根据抛物线的定义可得，进一步可得的中点到y轴的距离为2.【详解】设，，抛物线的准线为，由，可得，，所以的中点到y轴的距离为2，故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了抛物线的定义，属于基础题.10.在中，，则为（）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】由通过诱导公式辅助角公式化简可得，再由化简可得，又三角形内角和为，所以，进而得出结果.【详解】由可得即，再由辅助角公式化简得即，又，所以，再由可得，所以，又，所以，所以，所以为直角三角形.故选B.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、辅助角公式的化简，属于基础题.11.已知抛物线：在点处的切线与曲线：相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】设恒成立，故单调递增，又故故，令，选D点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．12.过点的直线与圆相切于M，N两点，且这两点恰好在椭圆上，设椭圆的右顶点为A，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件求解出的坐标，将点代入椭圆方程即可得到关于的方程，由此求解出离心率的值.【详解】如图所示：设切线方程为，所以圆心到直线的距离，所以，所以，因为，所以，所以，所以，又因为四边形为平行四边形且，所以四边形为菱形，因为，中点为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查求解椭圆的离心率，着重考查了直线与圆的相切关系，难度一般.求解直线与圆的相切问题，可通过两种方法求解：(1)几何法：利用半弦长、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形完成求解；(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用来进行求解.二、填空题第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在二项式的展开式中，含的项的系数是________．【答案】10【解析】分析：先根据二项展开式的通项公式求含的项的项数，再确定对应项系数.详解：，所以令得，即含的项的系数是点睛：求二项展开式有关问题常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.经过点且圆心在直线上的圆的方程是____.【答案】【解析】【分析】本题首先可设出圆的标准方程，再通过圆心在直线上得出，然后再通过圆经过点解出的值，最后得出结果．【详解】设圆的方程为因为圆心在直线上，得，所以可得圆的方程为，因为圆经过点，所以，解得，因此，所求圆的方程为，故答案为．【点睛】本题考查的是圆的相关性质，主要考查圆的方程的求法以及对圆的标准方程的性质的理解，考查运算能力，考查方程思想，是简单题．15.已知直线恒过定点，且点在直线上，则的最大值为_____________【答案】1【解析】【分析】首先求定点，代入直线得，再利用基本不等式求的最大值.【详解】直线则，解得：，所以定点；则，且那么，等号成立的条件是.故答案为：1【点睛】本题考查直线过定点，基本不等式求乘积的最大值，属于基础题型，本题的关键是定点问题.16.定义为数列的“均值”,已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，得到，求出，得到数列是等差数列，再由数列的前项和为，对任意正整数恒成立，得到，即可求出结果.【详解】由题意可得：，即，所以，因此，所以，显然数列是等差数列，又数列的前项和为，对任意正整数恒成立，所以，即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查由数列的最值求参数的问题，熟记等差数列的概念与等差数列的增减性即可，属于常考题型.三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在中，角，、的对边分别为，，，且.。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数31iz i =+，则复数z 的虚部为 A ．12B ．12iC ．12-D ．12i -2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间[401,731]的人数为 A ．10B ．11C ．12D ．133．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱4．等比数列{}n a 的前项和为n S ，若1,3,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比q 等于 A ．1B ．12C ．-12D ．25．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为 A ．B ．C ．D ．6．已知2a =，2b =，且()b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为A ．1B 2C ．2D ．227．已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥9．在ABC 中，()3sin sin 2B C A -+=,AC =，则角C = A ．2π B ． 3πC ． 6π或3πD ．6π10．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1ni i i x y =+=∑A ．7B ．8C ．9D ．1011．已知不等式1ln a x x a x x e ++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为 A．B ．e 2- C ．e - D ．2e -12．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b：-=>>的一个焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为 ABC ．2D1第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。