线性代数 基础和常考知识点

线性代数期末知识点总结线性代数知识点总结

(免费)

1、行列式1.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.代数余子式和余子式的关系：

4.设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

是中某两组基的过渡矩阵；

2.对于阶矩阵：

无条恒成立；

3.

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则：

Ⅰ、；

Ⅱ、；

②、；（主对角分块）

③、；（副对角分块）

④、；（拉普拉斯）

线性代数知识点梳理

一、行列式与矩阵

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行

列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式)

还具有两种形式：

(1)矩阵形式

(2)向量形式。

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立;印证

了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：

①有唯一零解;

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极

大线性无关组中的向量个数”。经过“秩→ 线性相关无关→ 线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。

大一线性代数必考知识点

线性代数是大一学生学习的一门重要的数学课程。掌握线性代数的基础知识对于后续学习高等数学、概率论、统计学等学科都非常重要。接下来，本文将介绍大一线性代数必考的知识点，以帮助大一学生有效备考。

一、向量和矩阵

1. 向量的概念和运算：向量的定义、数量积、向量的代数运算等。

2. 矩阵的概念和运算：矩阵的定义、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等。

3. 向量和矩阵的性质：向量和矩阵的加法和乘法满足的性质，线性相关和线性无关的概念等。

二、线性方程组

1. 线性方程组的概念和解法：齐次线性方程组和非齐次线性方

程组的定义、高斯消元法、矩阵的秩等。

2. 向量空间和子空间：向量空间的定义、子空间的定义、线性

无关组和基、维数的概念等。

三、特征值和特征向量

1. 特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的概念和基本

性质等。

2. 对角化和相似矩阵：对角化的概念、相似矩阵的性质等。

四、内积空间和正交性

1. 内积的定义和性质：内积的定义、内积的基本性质等。

2. 正交向量和正交投影：正交向量的定义、正交投影的概念等。

五、线性变换

1. 线性变换的定义和基本性质：线性变换的定义、线性变换的

基本性质等。

2. 线性变换的矩阵表示：线性变换与矩阵的关系、矩阵的相似

和对角化等。

六、向量空间的维数和秩

1. 向量空间的维数和秩的定义和性质：向量空间的维数的定义、秩的定义与性质等。

2. 雅可比矩阵和秩-零度定理：雅可比矩阵的定义和性质、秩-

零度定理等。

这些是大一线性代数课程中必考的知识点，通过学习这些知识点，掌握了线性代数的基础知识，将能够更好地理解和应用其他

线性代数知识点归纳与梳理

线性代数是现代数学的一个重要分支，不仅是数学领域中的基础性学科，也是物理学、计算机科学、经济学、工程学等多个领域的重要应用基础。在计算机科学领域中，线性代数是机器学习、计算机图形学、计算机视觉等多个领域必不可少的数学工具。本文将介绍线性代数的重要知识点，并对其进行归纳与梳理。

1. 线性方程组

线性方程组是线性代数研究的一个基础问题。线性方程组可以表示为Ax = b的形式，其中A是一个矩阵，x和b是向量。

解线性方程组即求出x的值，这对于很多实际问题来说是十分重要的。常见的解法有高斯消元法、LU分解法和QR分解法等。

2. 矩阵和向量空间

矩阵是线性代数中的一个基础概念，具有加法、数乘、转置、乘积等运算。矩阵可以用来表示线性变换和向量的坐标，因此在物理学、计算机图形学、计算机视觉等领域中得到了广泛的应用。向量空间则是由向量和它们之间的运算构成的一个集合，其具有一些基本性质，如加法结合律、数乘结合律等。

3. 特征值与特征向量

某些重要的线性变换具有特殊的性质，即它们在某个向量上的

作用相当于对该向量进行数乘。对于某个向量空间中的线性变换A，如果存在一个实数λ和非零向量v，使得Av = λv，则

称该向量v为矩阵A的特征向量，λ为特征值。特征值和特征

向量是线性代数中重要的概念，在很多数学及工程应用中都有广泛的应用。

4. 行列式

行列式是线性代数中的一个基础概念，用于表示一个方阵中各元素按照一定规律排列的乘积之和。行列式可以用来求解线性方程组的解、判断矩阵的秩以及计算线性变换的缩放因子等。行列式是线性代数中必须掌握的基础知识。

大学数学易考知识点线性代数与概率论

大学数学易考知识点：线性代数与概率论

线性代数是大学数学中非常重要且基础的一门学科，它涉及到向量空间、矩阵、行列式、线性方程组等内容。概率论则是研究随机事件发生的概率及其规律性的数学学科。在大学数学考试中，线性代数与概率论是比较易于考察且知识点较为独立的部分。本文将介绍大学数学考试中线性代数与概率论的一些常见易考知识点。

一、线性代数

1. 向量空间与线性变换

向量空间是线性代数的核心概念之一，在考试中常涉及到向量空间的基本性质、子空间、线性组合、线性相关性、线性无关性等内容。此外，线性变换也是考察的重点，包括线性变换的定义、性质、矩阵表示及其相关定理等。

2. 矩阵与行列式

矩阵是线性代数的重要工具，考试中经常涉及到矩阵的基本运算、特殊矩阵、矩阵的秩与逆等知识点。行列式也是考试的常见题型，包括行列式的定义、性质、展开及其应用等内容。

3. 线性方程组与解空间

线性方程组是线性代数的基本问题之一，考试中常涉及到线性方程

组的求解、解的结构、解的个数等知识点。此外，解空间也是考查的

重点，包括零空间、列空间、行空间等相关概念及其性质。

4. 特征值与特征向量

特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，考试中常涉及到特征

值与特征向量的定义、性质、求解、对角化等知识点。矩阵的对角化

定理也是考查的重点，需掌握其条件与应用。

二、概率论

1. 随机变量与概率分布

随机变量是概率论的基础，考试中常涉及到随机变量的定义、分类、概率分布、期望、方差等知识点。常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等；常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布等。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结篇1

第一章行列式

知识点1：行列式、逆序数

知识点2：余子式、代数余子式

知识点3：行列式的性质

知识点4：行列式按一行（列）展开公式

知识点5：计算行列式的方法

知识点6：克拉默法则

第二章矩阵

知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律

知识点8：矩阵的乘法运算及运算律

知识点9：计算方阵的幂

知识点10：转置矩阵及运算律

知识点11：伴随矩阵及其性质

知识点12：逆矩阵及运算律

知识点13：矩阵可逆的判断

知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解

知识点16：初等变换的概念及其应用

知识点17：初等方阵的概念

知识点18：初等变换与初等方阵的关系

知识点19：等价矩阵的概念与判断

知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式

知识点21：矩阵的秩的概念与判断

知识点22：矩阵的秩的性质与定理

知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例

第三章向量

知识点25：向量的概念及运算

知识点26：向量的线性组合与线性表示

知识点27：向量组之间的线性表示及等价

知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念

知识点29：线性表示与线性相关性的关系

知识点30：线性相关性的判别法

知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念

知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系

知识点33：求向量组的最大无关组

知识点34：有关向量组的定理的综合运用

知识点35：内积的概念及性质

知识点36：正交向量组、正交阵及其性质

知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点

第⼀部分⾏列式

1. 排列的逆序数

2. ⾏列式按⾏（列）展开法则

3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算

⾏列式的定义

1.⾏列式的计算：

①(定义法)

②（降阶法）⾏列式按⾏（列）展开定理：

⾏列式等于它的任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.

推论：⾏列式某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.

③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.

④若都是⽅阵（不必同阶）,则

⑤关于副对⾓线：

⑥范德蒙德⾏列式：

证明⽤从第n⾏开始，⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍，按第⼀列展开，重复上述操作即可。

⑦型公式：

⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，保持原⾏列式不变的⽅法.

⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式，其中

,,等结构相同，再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.

(拆分法) 把某⼀⾏（或列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，使问题简化以例计算.

⑩(数学归纳法)

2. 对于阶⾏列式，恒有：，其中为阶主⼦式；

3. 证明的⽅法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次⽅程组，证明其有⾮零解；

④、利⽤秩，证明；

⑤、证明0是其特征值.

4. 代数余⼦式和余⼦式的关系：

第⼆部分矩阵

1.矩阵的运算性质

2.矩阵求逆

3.矩阵的秩的性质

4.矩阵⽅程的求解

1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.

记作：或

①同型矩阵：两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.

②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.

1、行列式

1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、ij A 和ij a 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij

M A A M ++=-=-

4. 设n 行列式D ：

将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2

1(1)

n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2

2(1)n n D D -=-；

将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；

将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2

(1)

n n -⨯ -；

③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -⨯ -；

⑤、拉普拉斯展开式：

A O A C A B

C

B O B

==、(1)m n C

A O

A A B

B O

B C

==-

⑥、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n

n

k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；

7. 证明0A =的方法：

①、A A =-；

②、反证法；

线性代数知识点

1、行列式

1.

n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、ij A 和ij a 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3.

代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij

ij ij

M A A M ++=-=-

4. 设n 行列式D ：

将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2

1(1)

n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2

2(1)n n D D -=-；

将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；

将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2

(1)

n n -⨯ -；

③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -⨯ -；

⑤、拉普拉斯展开式：

A O A C A

B

C B O B ==、(1)m n C A O A

A B B O B C

==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n

n

k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；

7. 证明0A =的方法：

①、A A =-；

线性代数基础知识点

(),n

T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，

0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i

A p p p p n

B AB E AB E

⎧⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵

存在阶矩阵使得 或 ○

注：全体n 维实向量构成的集合n

R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆

0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪

⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎩特征向量

○

注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪

+=⇔+=⎨⎪⎩

有非零解=-

⎫

⎪

≅⎪−−−

→⎬⎪⎪⎭

:;具有

向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅： ①称为n

¡

的标准基，n

¡

中的自然基，单位坐标向量87p 教材；

②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；

⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.

1212121112121222()

1212()n n n

n n j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a D a a a a a a τ=

=

-∑

L

L L L L M M M L

1

√ 行列式的计算：

线性代数知识点

1、行列式

1.n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；

2.代数余子式的性质：

①、ij A 和ij a 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3.

代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij

ij ij

M A A M ++=-=-

4.设n 行列式D ：

将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2

1(1)

n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o

，所得行列式为2D ，则(1)2

2(1)n n D D -=-；

将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；

将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5.行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2

(1)

n n -⨯ -；

③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -⨯ -；

⑤、拉普拉斯展开式：

A O A C A

B C

B O B

==、

(1)m n C

A O

A A

B B O

B C

==-g

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6.对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n

n

k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；

7.证明0A =的方法：

①、A A =-； ②、反证法；

《线性代数》知识点归纳整理诚毅

学生编

01、余子式与代数余子式.............................................................................................................................................. - 2 -

02、主对角线.................................................................................................................................................................. - 2 -

03、转置行列式.............................................................................................................................................................. - 2 -

04、行列式的性质.......................................................................................................................................................... - 3 -

线性代数知识点总结

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间，线性变换和有限维的线性方程组。下面是作者想跟大家分享的线性代数知识点总结，欢迎大家浏览。

第一章行列式

知识点1：行列式、逆序数

知识点2：余子式、代数余子式

知识点3：行列式的性质

知识点4：行列式按一行（列）展开公式

知识点5：计算行列式的方法

知识点6：克拉默法则

第二章矩阵

知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律

知识点8：矩阵的乘法运算及运算律

知识点9：计算方阵的幂

知识点10：转置矩阵及运算律

知识点11：伴随矩阵及其性质

知识点12：逆矩阵及运算律

知识点13：矩阵可逆的判断

知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算

知识点15：矩阵方程的求解

知识点16：初等变换的概念及其应用

知识点17：初等方阵的概念

知识点18：初等变换与初等方阵的关系

知识点19：等价矩阵的概念与判断

知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式

知识点21：矩阵的秩的概念与判断

知识点22：矩阵的秩的性质与定理

知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算

知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例

第三章向量

知识点25：向量的概念及运算

知识点26：向量的线性组合与线性表示

知识点27：向量组之间的线性表示及等价

知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念

知识点29：线性表示与线性相关性的关系

知识点30：线性相关性的判别法

知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念

知识点32：矩阵的秩与向量组的`秩的关系

知识点33：求向量组的最大无关组

知识点34：有关向量组的定理的综合运用

线性代数知识点总结

1 行列式

（一）行列式概念和性质

1、逆序数：所有的逆序的总数

2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和

3、行列式性质：（用于化简行列式）

（1）行列互换（转置），行列式的值不变

（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式

4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明

★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

（三）按行（列）展开

9、按行展开定理：

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0

（四）行列式公式

10、行列式七大公式：

（1）|kA|=k n|A|

（2）|AB|=|A|·|B|

（3）|A T|=|A|

（4）|A-1|=|A|-1

（5）|A*|=|A|n-1

（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则

（7）若A与B相似，则|A|=|B|

（五）克莱姆法则

11、克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

线性代数知识点总结

1 行列式

（一）行列式概念和性质

1、逆序数：所有的逆序的总数

2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和

3、行列式性质：（用于化简行列式）

（1）行列互换（转置），行列式的值不变

（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式

4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明

★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

（三）按行（列）展开

9、按行展开定理：

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0

（四）行列式公式

10、行列式七大公式：

（1）|kA|=k n|A|

（2）|AB|=|A|·|B|

（3）|A T|=|A|

（4）|A-1|=|A|-1

（5）|A*|=|A|n-1

（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则

（7）若A与B相似，则|A|=|B|

（五）克莱姆法则

11、克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

线性代数知识点汇总

线性代数是数学中的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。它

是现代数学中的一个重要基础学科，广泛应用于各个领域，如物理学、计

算机科学、经济学等。下面是线性代数的主要知识点的汇总。

1.向量空间：向量空间是线性代数的基本概念，它是一个集合，其中

的元素称为向量，满足一定的运算规则，如加法和数乘。向量空间具有加

法和数乘封闭性、结合律、分配律等性质。

2.线性变换：线性变换是向量空间之间的一种映射，它保持向量空间

中的加法和数乘运算。线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法运算对应于

线性变换的复合运算。

3.矩阵：矩阵是线性代数中的一种重要工具，它是一个由数构成的矩

形阵列。矩阵可以表示向量空间中的线性变换，也可以用于解线性方程组、计算行列式、求逆矩阵等。

4.行列式：行列式是一个标量值，它是一个方阵的特征量。行列式的

值可以用于判断矩阵的可逆性、计算矩阵的逆、求解线性方程组等。

5.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵，存在一个矩阵使得两者的乘积等于

单位矩阵。这个矩阵称为原矩阵的逆矩阵，它具有一些重要的性质，如对

角矩阵的逆矩阵等。

6.线性方程组：线性方程组是线性代数中的一种基本问题，它由一组

线性方程组成。线性方程组的解可以通过矩阵的运算（如高斯消元法、矩

阵的逆等）来求解。

7.特征值和特征向量：对于一个线性变换，存在一些特殊的向量，使

得它们在变换后只改变了大小而没有改变方向。这些向量称为特征向量，

对应的大小称为特征值。特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化、求解

差分方程等。

8.内积空间：内积空间是一种向量空间，它定义了一种内积运算。内