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《24.1.4 圆周角》教学设计【教学目标】一、知识目标：1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2．准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。
二、方法与过程目标：1．通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理和演绎推理的能力；2．通过观察图形提高学生的识图能力；3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。
三．情感态度与价值观目标：引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
【教学过程】一、复习引入2．判别各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
二、新课讲授知识点1、圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交,这样的角叫做圆周角。
学以致用 练习 知识点2、探究：∠ACB 与∠AOB 对着同一条弧AB ，那么∠ACB 与∠AOB 之间存在着怎样的数量关系呢？可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。
结论的证明需分三种情况考虑：①圆心在圆周角的一条边上；②圆心在圆周角的内部;③圆心在圆周角的外部。
对此结论加以证明。
这样，我们就得到圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
学以致用练习2.如图，点A 、B 、C 在圆O 上，已知∠AOB=60°，那么∠ACB 等于（ ）A ．30° B.60° C.90°D.120°练习3.如图△ABC 的顶点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠ABC 的度数是（ ）A.30°B.45°C.60°D.70°BOC A ∠=∠21几何语言表示为：练习2图练习3图知识点3、圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。
练习4.如图，如果∠A=30°,则∠D=____. ∠BOC=____.练习5.如图，如果∠BOC=70°,则∠A=____; ∠D=____.练习6.点A是⊙O上一点，∠BAC=20°，则∠BOC的度数为（）练习4、5图A.60°B.50°C.40°D.30°变式拓展：圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（）A．30°或60° B. 60° C.150° D. 30°或150°知识点4、圆周角定理推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.练习7.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=25°，则∠ABC的度数为____．例题讲解：例4.如图，⊙O的直径AB的长为10 cm，弦AC的长为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．三、课堂小结：今天我们学到了什么？1.圆周角的定义：角的顶点在圆上，并且两边都与圆相交。
24.1.4 圆周角一、【教材分析】知识技能1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2、掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明.过程方法1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；2、渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”，体验分类讨论的数学思想方法.教学目标情感态度敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.教学重点圆周角定理及定理的三个推论的应用．教学难点圆周角定理的证明，三个推论的灵活应用.二、【教学流程】教学环节问题设计师生活动二次备课情景创设观察与思考：（教师边演示自制教具边介绍，其中底面圆片上标注好有关的字母、线条）假设这是一个圆柱形的房子，同学们可以站在房中通过圆弧形玻璃窗AB向外观看外面的风景，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣图图c图画出来.3、利用第2题的图形，分别证明图a、图b、图c中的∠B OC=2∠B AC.4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么？（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；动，归纳出：⑴在圆周角的一条边上(如图a)；⑵在圆周角的内部(如图b)；⑶在圆周角的外部（如图c）.学生自己独立完成图a的证明.对于图b、图c两种情况的证明，我们可以先尝试让学生小组交流，寻找证题方法，教师可以参与小组讨论，及时给予引导、点拨，然后板书展示证明过程，最后全班进行点评，引导学生体会“转换化归”在解决从特殊到一般问题时的应用思路和方法.以小组为单位讨论、探索，教师参与其中，指导帮助学生完成问题的解答.最后归纳通过制作演示折纸，培养学生动手操作的能力，促进学生参与教学的意识的形成.学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键通过观察、交流、归纳，锻炼学生的逻辑思维能力，体验分类讨论的数学思想方法C三、【板书设计】四、【教后反思】本节课首先设计了一个问题情境，展示了圆心角与圆周角的位置关系，引出圆周角的概念.然后通过测量、猜想，得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半的结论.接着通过让学生折纸，观察与思考，利用分类讨论的思想方法，分三种情况给出系统的证明及思维过程.至此我们利用迁移、转化的思想方法化未知为已知，将圆周角的问题转化为圆心角来求解.其后为进一步探索圆周角的其他性质，我们又以设置的问题为导线，将学生带入到教学活动中，同时再次通过交流、讨论、合作、归纳出圆周角定理的三个推论，并运用它们进行解题，实现从认识到应用的转化.。
《圆周角》教案设计一、教学目标1.理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
2.能够运用圆周角定理解决实际问题，提高学生的逻辑推理能力。
3.培养学生的几何直观能力和空间想象力。
二、教学重难点1.教学重点：圆周角定理及其推论。
2.教学难点：圆周角定理的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾初中阶段学习的圆的相关知识，如圆的性质、圆的周长和面积等。
（2）提问：在圆中，哪些角与圆有关？它们之间有什么关系？（3）引导学生思考并回答，从而引出圆周角的概念。
2.探索圆周角的性质（1）让学生通过观察、画图、讨论等方式，发现圆周角定理。
（2）引导学生运用已学的圆的性质，证明圆周角定理。
3.应用圆周角定理（1）让学生通过练习题，巩固圆周角定理的应用。
（2）引导学生运用圆周角定理解决实际问题，如求圆弧的长度、圆的半径等。
（3）教师选取典型题目进行讲解，帮助学生掌握解题方法。
4.圆周角定理的推论（1）引导学生发现圆周角定理的推论，并证明。
5.课堂小结（2）教师点评本节课学生的表现，给予鼓励和指导。
6.课后作业（1）布置课后作业，巩固本节课所学知识。
（2）要求学生独立完成作业，培养独立思考能力。
四、教学反思1.圆周角的概念圆周角是指以圆心为顶点的角，其两边分别是圆的切线和弧。
2.圆周角定理圆周角定理：圆周角等于其所对的圆心角的一半。
证明：设圆的半径为r，圆心角为A，圆周角为B。
由圆心角的定义，可知圆心角的度数为360°/r。
由圆周角的定义，可知圆周角的度数为弧长所对的圆心角的度数。
设弧长为l，则圆周角的度数为l/r。
由圆心角和圆周角的定义，可知圆周角的度数为A/2。
因此，圆周角定理得证。
3.圆周角定理的推论推论1：圆周角的度数等于其所对的圆弧的度数。
推论2：圆周角的度数等于其所对的圆心角的度数的一半。
4.圆周角定理的应用（1）求圆弧的长度已知圆的半径r和圆周角B，求圆弧的长度l。
解：由圆周角的定义，可知圆周角的度数为B=l/r。
周角和圆心角的度数，发现了什么？你能得到什么猜想？
教师利用几何画板演示“圆周角定理”
活动二：
1观察你所画的图形，思考圆心与圆周角之间有几种位置关系？并画出来。
2当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？
3另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？
教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论,得出圆周角定理流后，请小组代表在白板上展示结果
小组交流，
4你能用所学的定理来证明下面的问题。
活动三
1如图，AB是⊙O的直径，请问：
∠C1、∠C2、∠C3的度数是。
2若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB 是。
由此你又能得出什么结论?
二、小试牛刀
白板展示练习题
三、归纳总结
通过这堂课的学习你有什么收获?知道了哪些新知识？学会了做在学案纸上写出证明过程，学生代表在白板上展示。
24.1.4 圆周角 教案 一、内容和内容解析 《圆周角》是人教版九年级上册第二十四章第一节第四次课的内容. 从知识结构来看，这部分内容是圆中角度问题的进一步探索，它揭示了同弧（或等弧）所对的圆周角之间，以及圆周角与圆心角之间的数量关系，是后续学习圆的有关性质的基础；就思想方法而言，本节课带领学生经历猜想、探索、验证和推理论证圆周角定理的过程，给学生带来“转化与化归思想”、“由特殊到一般思想”、“分类讨论思想”更深一层的体验. 本节教学重点是：（1）掌握圆周角的定义；（2）发现并证明圆周角定理及其推论. 二、目标和目标解析
1．理解圆周角的定义，会在具体情景中辨别圆周角； 2．经历操作、观察、猜想、论证等数学活动，探究圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力； 3．在证明圆周角与圆心角的过程中，通过引导学生巧添辅助线将问题进行转化，让学生进一步体验“转化与化归思想”，发展学生的逻辑思维能力，以及用几何言语表达的能力，积累数学活动经验； 4．运用圆周角定理解决实际问题，激发学生的好奇心和求知欲； 5．在团队合作的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心. 三、教学问题诊断分析
1．教师教学中应该注意的问题： （1）引导学生将“证明同弧所对的圆周角相等”转化为“先探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系”，这是需要技巧的，教师语言的启发性不容忽视。 （2）证明定理需要考虑三种情形，如何利用现有的教学条件让学生能直观地感受到圆周角与圆心之间不同的位置关系？ （3）圆周角定理第二、三种情形的证明，对部分学生来说难度较大，怎样引导学生添加合理的辅助线，转化为熟悉的第一种模型，是本节课必须突破的一个难点； （4）探究圆周角性质是重点也是难点，如果过分强调知识的获得和急于将解法告知学生，那必将冲淡数学思想和方法的渗透，对培养学生的思维品质极为不利. 2．学生将会遇到的困难： 圆周角定理的证明，要经历一个以特殊情形为突破点，在此基础上推向一般情形的复杂过程，初中学生在这个方面明显薄弱。而分清楚不同类型圆周角的本身，对初学者来说就有一定的难度。因此，没有教师采用多种手段进行适时引领，要想让学生完成自主探究几乎是做不到的。 四、教学支持条件分析
1．学生事先准备圆形硬纸片和测量工具，用于进行动手操作，猜想同弧所对的圆周角间的关系. 2．利用“几何画板”软件进行动态演示，让学生直观的感受圆心与圆周角不同的位置关系，同时用实现大量数据验证定理的正确性，弥补其他教学方式在动态感和数据感方面的不足，激发学生探究科学世界的热情. 3．利用PPT课件补充学生的折纸情况，把静止图象变为动态画面，变复杂为简单，变抽象为具体. 4．通过实物投影仪展示学生的解题过程，增强了教学的直观性和实效性. 五、教学过程设计
（一）复习回顾，引入新知
1．圆周角定义的引入 问题1：上节课我们学习了圆心角，哪位同学来说一说：什么是圆心角？ 问题2：请同学们看看图中的∠ABC与我们所说的圆心角有什么不同？ 它的顶点在哪里？ 在学生观察得出∠ABC的特点后，教师引入课题：“圆周角”. 设计意图：对比圆心角引入圆周角，直观快捷，并有效地渗透类比的思想. 2．圆周角的辨析 判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
OAC
B设计意图：通过图形的辨析，让学生更容易理解圆周角概念的本质. （二）合作交流，探究新知
1．探究同弧所对的圆周角的关系 问题1：通过前面的学习，我们已经知道：等弧所对的圆心角相等。那么，同弧所对的无数个圆周角或等弧所对的圆周角之间又有什么关系？ 要求学生在课前准备的圆上作出同弧或等弧所对的两个圆周角，并探究它们之间的关系. 在肯定学生的方法之后，老师借助几何画板进行展示，让学生发现他们的结论具有一般性. 设计意图: 让学生带着“解决问题”的目的去主动操作，在实践中积极建构对新知识的理解.
问题2：刚才我们发现弧AB所对的这两个不同的圆周角是相等的， 那么我们能证明这个结论吗？ 问题3：我们回忆一下证明角相等的方法有哪些？ 问题4：虽然弧AB所对的圆周角有很多个不确定的，但是我们能否找到一个与弧AB有关而又唯一确定的角呢？ 问题5：当一条弧确定了，它所对的圆心角的大小是否就确定了呢？ 老师带领学生一起作出弧AB所对的圆心角∠AOB，并提问： 问题6：我们知道当弧不变时，圆心角的大小不变，而我们需要证明同弧所对圆周角的大小也不变，我们是否可以从探究圆周角与圆心角的关系入手呢？ 设计意图: 通过一连串具有启发性的提问，引导学生将问题转化为“探究同弧所对的圆心角与圆周角的关系”，给学生渗透“转化与化归思想”. 2．探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系 学生猜想出结论后，老师用几何画板进行演示，先利用《几何画板》的度量功能，量出∠AOB、∠ACB的大小，接着利用计算机功能，计算∠ACB和∠AOB的比值，发现：∠ACB：∠AOB=1：2.
OABD
C再改变弧AB的长度时，让学生感受这两个角的大小都在变，但比值不变.接下来引导学生进行推理证明. 问题1：请大家仔细观察这个动态演示，当我改变点C的位置的时候，圆心与圆周角的位置也在发生变化，你认为大体分为哪几种情形呢？ 问题2：其中哪种情形具有特殊性？你认为特殊性在哪？（要求学生上台用鼠标拖动点C找到这一特殊情形） 问题3：在这种情形下如何证明我们的结论？
OC
BA O
C
BA OCBA ∵OB=OC ∴∠B=∠C 又∵∠AOB是△OBC的一个外角 ∴∠AOB=∠B+∠C ∴∠AOB=2∠ACB 问题4：刚才证明的结论具有一般性吗？还需要证明哪些情形？怎么证？ 问题5：如果能够把这两种情况化成第一种情形就好了。你们能够想出办法吗？ 逐步引导学生通过作一条直径将问题转化为第一种情形。 通过这三种情形的证明得到 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 再根据“同弧或等弧所对的圆心角相等”，不难得出 圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． 在得出结论后，教师引导学生及时进行总结。 设计意图:利用几何画板的度量、计算功能，让学生感知同弧所对的圆周角与圆心角的大小关系；几何画板的动画操作非常直观地展示了图形的不同类别，帮助学生迅速准确分类. 用“如果能化成第一种情形就好了”一语道出“转化思想”，问题迎刃而解。 3．探究圆周角定理的特殊情形 问题1：半圆或直径所对的圆周角是多少度？ 问题2：90°的圆周角所对的弦是什么？ 问题3：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？ 设计意图: 3个问题的提出，既是考查学生对定理的理解和应用．也是推论的引得和定理的引申，同时又把新学内容与过往所学紧密地联系起来，使学生很好地进行知识的迁移．
（三）课堂练习，夯实新知 1.如图，A、B、C是圆上的点，且∠C=70°，则∠AOB= ，∠OAB= ．
D
CE
B
A
O
BC
AO
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，A、B、C、D是圆上的点，∠1=70°，∠A= 40°，则∠D= ． 3.如图，∠A=50°，BD是⊙O的直径，则∠DBC等于（ ） A.70° B.60° C.40° D.30° 4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，求⊙O的半径． 设计意图：通过这4道题的练习，让学生体会在解决与圆有关的问题时，首先要牢牢抓住 图中出现的弧，找到同弧所对的圆周角或圆心角，再利用它们之间的关系解决问题．
（四）小结拓展，回味新知 1．今天，你学到了什么？ 2．今天，你发现了什么？ 教师将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求学生在组内交流后派代表发言。 设计意图：通过这个环节，提高了学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习过程，积累数学活动经验，感受自己的成长与进步，增强自信。
（五）联系实际，活用新知 一年一度的班级足球赛马上就要开始了。我们的拉拉队长“艾多思” 突然给同学们出了这样一个有关足球的趣题： 如图，足球场上，点B、C两点与球门门柱所在点A、D在同一个 圆周上，而点E在圆外，点F在圆内，当球员分别在B、C、E、F四个点 射门时，哪个点成功的可能性最大？为什么？你能用我们刚刚学到的数学 知识来解答吗？
DA
EFOBC 解决这个问题的关键在于比较∠B、∠C、∠E、∠F这四个角的大小。学生不难得出圆周角∠B与∠C是相等的，难点在于∠E、∠F的比较，这需要利用辅助线架起它们和圆周角的联系。我将这个难题丢给学生课外探讨。 设计意图：此问题的设计中，既考虑到知识的运用，又兼顾证题方法的回味，
还有知识的拓展延伸。足球场上的数学能激发学生课后探究的兴趣，让数学学习成了他们感受快乐、享受成功的活动.
六、目标检测设计 1．基础作业：教材88页第2、3题，教材89页第4、5题； 2．拓展作业： 已知：△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合）， （1）如果点P是弧BC的中点，求证：PB+PC=PA； （2）如果点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
设计意图：考虑到学生的个体差异，促使每一个学生都得到相应的发展。作业分两种，教材中的作业是对本节课的基本要求，目的是巩固与反馈；拓展作业是为了给学生留有课后思维发散的空间，调动他们学习的积极性，开阔他们的视野。 本节课我以问题为载体，体现学生主体地位；以发展思维过程为主线，发挥教师主导作用；以培养思维能力为目标，激发学生创新意识，贯彻先进教学理念。教师实现：巧妙设计、愉快教学。学生体验：我探究、我快乐、我思考、我成功!
