24.1.4 圆周角教案
一、内容和内容解析
《圆周角》是人教版九年级上册第二十四章第一节第四次课的内容. 从知识结构来看，这部分内容是圆中角度问题的进一步探索，它揭示了同弧（或等弧）所对的圆周角之间，以及圆周角与圆心角之间的数量关系，是后续学习圆的有关性质的基础；就思想方法而言，本节课带领学生经历猜想、探索、验证和推理论证圆周角定理的过程，给学生带来“转化与化归思想”、“由特殊到一般思想”、“分类讨论思想”更深一层的体验.
本节教学重点是：（1）掌握圆周角的定义；（2）发现并证明圆周角定理及其推论. 二、目标和目标解析
1．理解圆周角的定义，会在具体情景中辨别圆周角；
2．经历操作、观察、猜想、论证等数学活动，探究圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力；
3．在证明圆周角与圆心角的过程中，通过引导学生巧添辅助线将问题进行转化，让学生进一步体验“转化与化归思想”，发展学生的逻辑思维能力，以及用几何言语表达的能力，积累数学活动经验；
4．运用圆周角定理解决实际问题，激发学生的好奇心和求知欲；
5．在团队合作的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心.
三、教学问题诊断分析
1．教师教学中应该注意的问题：
（1）引导学生将“证明同弧所对的圆周角相等”转化为“先探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系”，这是需要技巧的，教师语言的启发性不容忽视。
（2）证明定理需要考虑三种情形，如何利用现有的教学条件让学生能直观地感受到圆周角与圆心之间不同的位置关系？
（3）圆周角定理第二、三种情形的证明，对部分学生来说难度较大，怎样引导学生添加合理的辅助线，转化为熟悉的第一种模型，是本节课必须突破的一个难点；
（4）探究圆周角性质是重点也是难点，如果过分强调知识的获得和急于将解法告知学生，那必将冲淡数学思想和方法的渗透，对培养学生的思维品质极为不利.
2．学生将会遇到的困难：
圆周角定理的证明，要经历一个以特殊情形为突破点，在此基础上推向一般情形的复杂
过程，初中学生在这个方面明显薄弱。而分清楚不同类型圆周角的本身，对初学者来说就有一定的难度。因此，没有教师采用多种手段进行适时引领，要想让学生完成自主探究几乎是做不到的。
四、教学支持条件分析
1．学生事先准备圆形硬纸片和测量工具，用于进行动手操作，猜想同弧所对的圆周角间的关系.
2．利用“几何画板”软件进行动态演示，让学生直观的感受圆心与圆周角不同的位置关系，同时用实现大量数据验证定理的正确性，弥补其他教学方式在动态感和数据感方面的不足，激发学生探究科学世界的热情.
3．利用PPT课件补充学生的折纸情况，把静止图象变为动态画面，变复杂为简单，变抽象为具体.
4．通过实物投影仪展示学生的解题过程，增强了教学的直观性和实效性.
五、教学过程设计
（一）复习回顾，引入新知
1．圆周角定义的引入
问题1：上节课我们学习了圆心角，哪位同学来说一说：什么是圆心角？
问题2：请同学们看看图中的∠ABC与我们所说的圆心角有什么不同？
它的顶点在哪里？
在学生观察得出∠ABC的特点后，教师引入课题：“圆周角”.
设计意图：对比圆心角引入圆周角，直观快捷，并有效地渗透类比的思想. 2．圆周角的辨析
判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
O
A C
B
设计意图：通过图形的辨析，让学生更容易理解圆周角概念的本质.
（二）合作交流，探究新知
1．探究同弧所对的圆周角的关系 问题1：通过前面的学习，我们已经知道：等弧所对的圆心角相等。那么，同弧所对的无数
个圆周角或等弧所对的圆周角之间又有什么关系？
要求学生在课前准备的圆上作出同弧或等弧所对的两个圆周角，并探究它们之间的关系.
在肯定学生的方法之后，老师借助几何画板进行展示，让学生发现他们的结论具有一般性.
设计意图: 让学生带着“解决问题”的目的去主动操作，在实践中积极建构对新知识的理解.
问题2：刚才我们发现弧AB 所对的这两个不同的圆周角是相等的，
那么我们能证明这个结论吗？
问题3：我们回忆一下证明角相等的方法有哪些？
问题4：虽然弧AB 所对的圆周角有很多个不确定的，但是我们能否找到一个与弧AB 有关
而又唯一确定的角呢？
问题5：当一条弧确定了，它所对的圆心角的大小是否就确定了呢？
老师带领学生一起作出弧AB 所对的圆心角∠AOB ，并提问：
问题6：我们知道当弧不变时，圆心角的大小不变，而我们需要证明同弧所对圆周角的大小
也不变，我们是否可以从探究圆周角与圆心角的关系入手呢？ 设计意图: 通过一连串具有启发性的提问，引导学生将问题转化为“探究同弧所对的圆心角与圆周角的关系”，给学生渗透“转化与化归思想”.
2．探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系
学生猜想出结论后，老师用几何画板进行演示，先利用《几何画板》的度量功能，量出∠AOB 、∠ACB 的大小，接着利用计算机功能，计算∠ACB 和∠AOB 的比值，发现：∠ACB ：∠AOB=1：2.
O A B D
C
再改变弧AB 的长度时，让学生感受这两个角的大小都在变，但比值不变.接下来引导学生进行推理证明.
问题1：请大家仔细观察这个动态演示，当我改变点C 的位置的时候，圆心与圆周角的位
置也在发生变化，你认为大体分为哪几种情形呢？
问题2：其中哪种情形具有特殊性？你认为特殊性在哪？（要求学生上台用鼠标拖动点C
找到这一特殊情形）
问题3：在这种情形下如何证明我们的结论？
O C
B A O
C B A O C
B A
∵OB=OC ∴∠B=∠C
又∵∠AOB 是△OBC 的一个外角
∴∠AOB=∠B+∠C ∴∠AOB=2∠ACB
问题4：刚才证明的结论具有一般性吗？还需要证明哪些情形？怎么证？
问题5：如果能够把这两种情况化成第一种情形就好了。你们能够想出办法吗？
逐步引导学生通过作一条直径将问题转化为第一种情形。
通过这三种情形的证明得到
圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
再根据“同弧或等弧所对的圆心角相等”，不难得出
圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
在得出结论后，教师引导学生及时进行总结。
设计意图:利用几何画板的度量、计算功能，让学生感知同弧所对的圆周角与圆心角的大小关系；几何画板的动画操作非常直观地展示了图形的不同类别，帮助学生迅速准确分类.
用“如果能化成第一种情形就好了”一语道出“转化思想”，问题迎刃而解。
