北京市西城区2013—2014学年度高三第一学期期末数学(理)试题

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin 3A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,) （C ）(0,4)（D ）(8,)侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）2 x3ya321258zE FCB A已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p，16q ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 1设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ， 所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则CAB AB AB ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A ，()P B p .所以()()()()P C P AB P AB P AB ……………… 5分111(1)222p pp1122p . ……………… 6分 因为114()225P C p ， 所以35p. ……………… 7分 又因为113p q ，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. …………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分 因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k )8)(8(32)(102212121--++-=x x k x x k x kx 0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ， 所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ） （A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ） （A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则 BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值． 17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 81240 32 8元件B7 18 40296（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值． 20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S nn ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6；12 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）21cos2B B =-，所以 2cos 2sin B B B =． ………………3分 因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan B = ………………5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得 2cos21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=， 即 1sin(2)62B π+=． ………………3分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=． ………………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin AC BCB A =， ………………7分所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分因为 512C A B π=π--=，………………9分 所以 5sin sinsin()1246C πππ==+=，………………11分 所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C +=⋅=． ………………13分 解法二：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BCB A =，………………7分 所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分 根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，………………9分 化简为 2220AB AB --=，解得 1AB =………………11分 所以 △ABC 的面积13sin 22S AB BC B =⋅=． ………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分 设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ．………………12分所以 |||cos ,|||||⋅==〈〉n v n v n v ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以 )1,0,3(-=，)0,4,4(-=．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(．………………12分所以|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分 （Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:X 90 45 30 15-P35 320 15 120………………8分3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=．………………9分 （ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =． ………………11分 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=．………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x ，2x =()f x 和()f x '的情况如下：)故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立， 故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分 则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤． 所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-． ………………5分 （Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则 221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ， 整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． ………………13分 由（Ⅰ）得 122k k =，为定值． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．1- 1- 1- 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ， ，9()r A ，1()c A ，2()c A ， ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ． 一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅ 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅ 也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅ ； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅ ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．11 下面考虑1()r A ，2()r A ， ，()n r A ，1()c A ，2()c A ， ，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -， 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n = ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l An =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ．即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤ ，其余1ij a =．所以 12()()()1k r A r A r A ====- ，12()()()1k c A c A c A ====- ．所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -= ． (13)。

北京市第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4 （B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1- （B ）i -（C ）1（D ）i6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b << （D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116- （B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．侧(左)视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.甲组 乙组 891a822 F B CEAHD18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合A=x x+1<3,x∈R，B=0,1,2，则A∩B= A. x0<x<2B. x−4<x<2C. 0,1,2D. 0,12. 已知复数z满足z=2i1+i，那么z的虚部为______A. −1B. −iC. 1D. i3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos A+B=13，则c= ______A. 4B.C. 3D.4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为______A. 34B. 45C. 56D. 15. 已知圆C：x+12+y−12=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是______A. y=x+2−B. y=x+12C. y=x−2+D. y=x+1−6. 若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足______A. a2>b2B. 1a <1bC. 0<a<bD. 0<b<a7. 定义域为R的函数f x满足f x+1=2f x，且当x∈0,1时，f x=x2−x，则当x∈−2,−1时，f x的最小值为______A. −116B. −18C. −14D. 08. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为23，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈1,5时，函数y=f x的值域为______A. 26,66B. 26,18C. 36,18D. 36,66二、填空题（共6小题；共30分）9. 在平面直角坐标系xOy中，点A1,3，B−2,k，若向量OA⊥AB，则实数k= ______．10. 若等差数列a n满足a1=12，a4+a6=5，则公差d= ______；a2+a4+a6+⋯+a20= ______．11. 已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12. 甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______．（用数字作答）13. 如图，B，C为圆O上的两个点，P为CB延长线上一点，PA为圆O的切线，A为切点．若PA=2，BC=3，则PB= ______；ACAB= ______．14. 在平面直角坐标系xOy中，记不等式组x+y≥0,x−y≤0,x2+y2≤2所表示的平面区域为D．在映射T：u=x+y,v=x−y的作用下，区域D内的点x,y对应的象为点u,v．（1）在映射T的作用下，点2,0的原象是______；（2）由点u,v所形成的平面区域的面积为______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=3cosωx，g x=sin ωx−π3ω>0，且g x的最小正周期为π．（1）若fα=62，α∈−π,π，求α的值；（2）求函数y=f x+g x的单调增区间．16. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；（2）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（3）当a=2时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；（3）求二面角H−BD−C的大小．18. 已知函数f x=x+a e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f x的单调区间；（2）当a<1时，试确定函数g x=f x−a−x2的零点个数，并说明理由．19. 已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为1,1，直线AB的斜率为k，O为坐标原点．（1）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；（2）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求 OD 的最小值．20. 设无穷等比数列a n的公比为q，且a n>0n∈N∗，a n表示不超过实数a n的最大整数（如2.5=2），记b n=a n，数列a n的前n项和为S n，数列b n的前n项和为T n．（1）若a1=4，q=12，求T n；（2）若对于任意不超过2014的正整数n，都有T n=2n+1，证明：2312012<q<1．（3）证明：S n=T n n=1,2,3,⋯的充分必要条件为a1∈N∗，q∈N∗．答案第一部分1. D2. C3. D4. B5. A6. C7. A8. D第二部分9. 410. 12；5511. 2312. 2413. 1；214. 1,1；π第三部分15. （1）因为g x=sin ωx−π3ω>0的最小正周期为π，所以2πω=π，解得ω=2．由fα=62，得3cos2α=62，即cos2α=22，所以2α=2kπ±π4，k∈Z．因为α∈−π,π，所以α∈ −7π8,−π8,π8,7π8．（2）y=f x+g x=3cos2x+sin2x−π3=3cos2x+sin2x cosπ3−cos2x sinπ3 =12sin2x+32cos2x=sin2x+π3,由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12．所以函数y=f x+g x的单调增区间为 kπ−5π12,π+π12k∈Z．16. （1）依题意，得1388+92+92=1390+91+90+a，解得a=1．（2）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，依题意a=0,1,2,⋯,9，共有10种可能．由（1）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当a=2,3,4,⋯,9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P A=810=45．（3）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：88,90，88,91，88,92，92,90，92,91，92,92，92,90，92,91，92,92，则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0，1，2，3，4．因此P X=0=29，P X=1=29，P X=2=13，P X=3=19，P X=4=19．所以随机变量X的分布列为：X01234P2929131919所以X的数学期望E X=0×29+1×29+2×13+3×19+4×19=53．17. （1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，所以ED⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以ED⊥AC．因为ED∩BD=D，所以AC⊥平面BDEF．（2）设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON．因为四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，所以ON∥ED．又因为ED⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD，由AC⊥BD，得OB,OC,ON两两垂直．O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，BF=3，所以A 0,−3,0，B1,0,0，D−1,0,0，E−1,0,3，F1,0,3，C 0,3,0，H12,32,32．因为AC⊥平面BDEF，所以平面BDEF的法向量AC=0,23,0．设直线DH与平面BDEF所成角为α，由DH=32,32,32，得sinα=cos DH,AC=DH⋅ACDH AC=32×0+32×23+32×021×23=77,所以直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为77．（3）由（2），得BH= −12,32,32，DB=2,0,0．设平面BDH的法向量为n=x1,y1,z1，所以n⋅BH=0,n⋅DB=0,即−x1+3y1+3z1=0,2x1=0,令z1=1，得n=0,−3,1．由 ED ⊥平面ABCD ，得平面 BCD 的法向量为 ED= 0,0,−3 ，则cos n ,ED =n ⋅EDn ED=0×0+ − 3 ×0+1× −3 2×3=−12.由图可知二面角 H −BD −C 为锐角，所以二面角 H −BD −C 的大小为 60∘． 18. （1） 因为 f x = x +a e x ，x ∈R ， 所以 fʹ x = x +a +1 e x ． 令 fʹ x =0，得 x =−a −1．当 x 变化时，f x 和 fʹ x 的变化情况如下：x−∞,−a −1 −a −1 −a −1,+∞ fʹ x −0+f x ↘↗故 f x 的单调减区间为 −∞,−a −1 ；单调增区间为 −a −1,+∞ ． （2） 结论：函数 g x 有且仅有一个零点．理由如下： 由 g x =f x −a −x 2=0，得方程 x e x−a =x 2， 显然 x =0 为此方程的一个实数解． 所以 x =0 是函数 g x 的一个零点． 当 x ≠0 时，方程可化简为 e x−a =x ．设函数 F x =e x−a −x ，则 Fʹ x =e x−a −1，令 Fʹ x =0，得 x =a ． 当 x 变化时，F x 和 Fʹ x 的变化情况如下：x−∞,a a a ,+∞Fʹ x−0+F x ↘↗即 F x 的单调增区间为 a ,+∞ ；单调减区间为 −∞,a ．所以 F x 的最小值 F x min =F a =1−a ． 因为 a <1，所以 F x min =F a =1−a >0， 所以对于任意 x ∈R ，F x >0， 因此方程 e x−a =x 无实数解．所以当 x ≠0 时，函数 g x 不存在零点． 综上，函数 g x 有且仅有一个零点． 19. （1） 抛物线 y =x 2 的焦点为 0,14 ． 由题意，得直线 AB 的方程为 y −1=k x −1 ，令 x =0，得 y =1−k ，即直线 AB 与 y 轴相交于点 0,1−k ． 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方， 所以 1−k >14，解得 k <34．（2） 由题意，设 B x 1,x 12 ，C x 2,x 22 ，D x 3,y 3 ，联立方程 y −1=k x −1 ,y =x 2, 消去 y ，得x 2−kx +k −1=0，由韦达定理，得 1+x 1=k ，所以 x 1=k −1． 同理，得 AC 的方程为 y −1=−1k x −1 ，x 2=−1k −1． 对函数 y =x 2 求导，得 yʹ=2x ，所以抛物线y=x2在点B处的切线斜率为2x1，所以切线BD的方程为y−x12=2x1x−x1，即y=2x1x−x12．同理，抛物线y=x2在点C处的切线CD的方程为y=2x2x−x22．联立两条切线的方程y=2x1x−x12,y=2x2x−x22,解得x3=x1+x22=12k−1k−2，y3=x1x2=1k−k，所以点D的坐标为12 k−1k−2,1k−k ．因此点D在定直线2x+y+2=0上．因为点O到直线2x+y+2=0的距离d=22+12=255,所以 OD ≥255，当且仅当点D的坐标为−45,−25时等号成立．由y3=1k −k=−25，得k=1±265，验证知符合题意．所以当k=1±265时， OD 有最小值255．20. （1）由等比数列a n的a1=4，q=12，得a1=4，a2=2，a3=1，且当n>3时，0<a n<1．所以b1=4，b2=2，b3=1，且当n>3时，b n=a n=0．即T n=4,n=1, 6,n=2, 7,n≥3.（2）因为T n=2n+1n≤2014，所以b1=T1=3，b n=T n−T n−1=22≤n≤2014．因为b n=a n，所以a1∈3,4，a n∈2,32≤n≤2014．由q=a2a1，得q<1．因为a2014=a2q2012∈2,3，所以q2012≥2a2>23，所以23<q2012<1，即231<q<1．（3）（充分性）因为a1∈N∗，q∈N∗，所以a n=a1q n−1∈N∗，所以b n=a n=a n对一切正整数n都成立．因为S n=a1+a2+⋯+a n，T n=b1+b2+⋯+b n，所以S n=T n．（必要性）因为对于任意的n∈N∗，S n=T n，当n=1时，由a1=S1，b1=T1，得a1=b1；当n≥2时，由a n=S n−S n−1，b n=T n−T n−1，得a n=b n．所以对一切正整数n都有a n=b n．由b n∈Z，a n>0，得对一切正整数n都有a n∈N∗，所以公比q=a2a1为正有理数．假设q∉N∗，令q=pr，其中p,r∈N∗，r>1，且p与r的最大公约数为1．因为a1是一个整数，所以必然存在一个整数k k∈N，使得a1能被r k整除，而不能被r k+1整除．又因为a k+2=a1q k+1=a1p k+1，且p与r的最大公约数为1．r所以a k+2∉Z，这与a n∈N∗（n∈N∗）矛盾．所以q∈N∗．因此a1∈N∗，q∈N∗．。

北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，则 ______A. B.C. D.2. 在复平面内，复数的对应点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的方程是______A. B. C. D.4. 执行如图所示的程序框图．若输出，则框图中①处可以填入______A. B. C. D.5. 已知函数，其中为常数．那么“ ”是“ 为奇函数”的______A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知，是非负数，且满足．那么的取值范围是______A. B. C. D.7. 某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是______A. B. C. D.8. 将正整数，，，，，，随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是______A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知向量，，那么 ______．10. 如图，中，，，．以为直径的圆交于点，则______； ______．11. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则______．12. 已知椭圆的两个焦点是，，点在该椭圆上．若，则的面积是______．13. 已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．14. 已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：①；②；③．其中，具有性质的函数的序号是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在中，已知．（1）求角的值；（2）若，，求的面积．16. 如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为棱的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值．17. 生产，两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件元件（1）试分别估计元件，元件为正品的概率；（2）生产一件元件，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元；生产一件元件，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元．在（1）的前提下，（i）记为生产件元件和件元件所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（ii）求生产件元件所获得的利润不少于元的概率．18. 已知函数，其中．（1）求的单调区间；（2）设．若，使，求的取值范围．19. 如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，．（1）求的值；（2）记直线的斜率为，直线的斜率为．证明：为定值．20. 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．（1）请写出一个，使得；（2）是否存在，使得 ?说明理由；（3）给定正整数，对于所有的，求的取值集合．答案第一部分1. D2. B3. A4. C5. C6. B7. C8. B第二部分9.10. ；11.12.13. ；14. ①③第三部分15. （1）解法一：因为，所以．因为，所以，从而，所以．解法二：依题意得，所以，即．因为，所以，所以，所以．（2）解法一：因为，，根据正弦定理得，所以．因为，所以，所以的面积．解法二：因为，，根据正弦定理得，所以．根据余弦定理得，化简为，解得．所以的面积为．16. （1）如图，连接，与相交于点，连接．为正方形，所以为中点．因为为棱中点．所以．因为平面，平面，所以直线 平面．（2）因为平面，所以．因为四边形为正方形，所以，而，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（3）解法一：如图，在平面内过作直线．因为平面平面，所以平面．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．，则，，，，．所以，．设平面的法向量为，则有所以取，得．易知平面的法向量为．所以，，由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．解法二：如图，取中点，中点，连接，．为正方形，所以．由（2）可得平面．因为，所以．由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，．所以，．设平面的法向量为，则有所以取，得．易知平面的法向量为．所以，，由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．17. （1）元件为正品的概率约为．元件为正品的概率约为．（2）（i）随机变量的所有取值为，，，．；；；．所以，随机变量的分布列为：．（ii）设生产的件元件中正品有件，则次品有件．依题意，得，解得．所以，或．设“生产件元件所获得的利润不少于元”为事件，则．18. （1）（i）当时，．故的单调减区间为，；无单调增区间．（ii）当时，．令，得，．和的情况如下：极小值极大值故的单调减区间为，；单调增区间为．（iii）当时，的定义域为．因为在上恒成立，故的单调减区间为，，；无单调增区间．（2）因为，，所以等价于，其中．设，在区间上的最大值为．则“ ，使得”等价于．所以，的取值范围是．19. （1）依题意，设直线的方程为．将其代入，消去，整理得．从而．（2）设，．则．设直线的方程为，将其代入，消去，整理得．所以．同理可得．故．由（1）得，为定值．20. （1）答案不唯一，如图所示数表符合要求．（2）不存在，使得．证明如下：假设存在，使得．因为，，所以，，，，，，，这个数中有个，个．令．一方面，由于这个数中有个，个，从而另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为），也表示，从而相矛盾，从而不存在，使得．（3）记这个实数之积为．一方面，从“行”的角度看，有；另一方面，从“列”的角度看，有．从而有注意到．下面考虑，，，，，，，中的个数：由知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，所以．对数表：，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．依此类推，将数表中的由变为，得到数表．即数表满足：，其余．所以，．所以．由的任意性知，的取值集合为．。

北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷高三数学(理科) 2013．1本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时间120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（A ）1(0,)2（B ）（－1，1）（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）（－∝，－1）∪（0，+∞） 2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1ρθ= （B ）sin ρθ=（C ）cos 1ρθ=（D ）cos ρθ=4．执行如图所示的程序框图．若输出S =15，则框图中①处可以填入 （A ）k ＜2 （B ）k ＜3 （C ）k ＜4 （D ）k ＜5 5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“b =0”是“()f x 为奇函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6．已知a ，b 是正数，且满足2＜a +2b ＜4，那么a 2+b 2的取值范围是 （A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）（1，16）（D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是 （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知向量a =（1，3），b =（―2，1），c =（3，2）．若向量c 与向量k a +b 共线，则实数k =________．10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD =________；CD =________．11．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ．若a 1=1，a 3=4，S k =63，则k =________．12．已知椭圆22142x y +=的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△PF 1F 2的面积是________．13．已知函数()sin(2)6f x x π=+，其中[,]6x a π∈-．当3a π=时，()f x 的值域是________；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是________．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数c ＞0，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数： ①()2x f x =；②()sin f x x =；③3()f x x x =-． 其中，具有性质P 的函数的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若BC =2，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A =PD ，P A ⊥平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB ∥平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面P AD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角E —AC —B 的余弦值． 17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（i ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ii ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设b ＞0．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ．过点P （2，0）的直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ． （Ⅰ）求y 1y 2的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2． 证明：12k k 为定值． 20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n ×n 个实数组成的n 行n 列的数表，其中a ij （i ，j =1，2，3，…，n ）表示位于第i 行第j 列的实数，且a ij ∈{1，―1}．记S （n ，n ）为所有这样的数表构成的集合．对于A ∈S （n ，n ），记r i （A ）为A 的第i 行各数之和，c j （A ）为A 的第j 列各数之积．令1()()nj j l A c A ==∑．（Ⅰ）请写出一个A ∈S （4，4），使得l （A ）=0； （Ⅱ）是否存在A ∈S （9，9），使得l （A ）=0？说明理由； （Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的A ∈S （n ，n ），求l （A ）的取值集合．北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)参考答案及评分标准 2013．1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．D 2．B 3．A 4．C 5．C 6．B 7．C 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．－1 10．165，12511．6 1213．1[,1]2-，[,]62ππ14．①③ 注：10、13题第一问2分，第二问3分；14题结论完全才给分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分准给分． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解法一：因为 s i n 21c o s 2B B =-，所以 2s i nc o s2s i n B B B =．………… 3分因为0＜B ＜π，所以sin B ＞0，从而 t a n B = ………… 5分 所以 3B π=．………… 6分解法二：依题意得s i n 2c o s 21B B +=， 所以 2s i n (2)16B π+=，即 1s i n (2)62Bπ+=．………… 3分因为 0＜B ＜π，所以 132666B πππ<+<， 所以 5266B ππ+=． ………… 5分 所以 3B π=．………… 6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，3B π=，根据正弦定理得 s i n s i n A C B CB A =， ………… 7分所以 s i n s i n B C BAC A⋅==．………… 8分因为 512C A B ππ=--=， ………… 9分所以 5s i n s i n s i n (1246C πππ==+ ………… 11分所以△ABC 的面积 1s i n 2S AC BC C =⋅=． ………… 13分解法二：因为 4A π=，3B π=，根据正弦定理得 s i n s i n A C B CB A =， ………… 7分所以 s i n s i n B C BAC A⋅==．………… 8分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，…… 9分化简为 2220A B A B --=，解得 1AB =………… 11分所以△ABC 的面积 1s i n 2S AC BC B =⋅=． ………… 13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ． 因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点． 因为E 为棱PD 中点． 所以 PD ∥EO ． ………… 3分 因为 PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ， 所以直线PB ∥平面EAC ． ………… 4分 （Ⅱ）证明：因为P A ⊥平面PDC ，所以P A ⊥CD ． ………… 5分 因为四边形ABCD 为正方形，所以AD ⊥CD ， 所以CD ⊥平面P AD ． ………… 7分 所以平面P AD ⊥平面ABCD ． ………… 8分 （Ⅲ）解法一：在平面P AD 内过D 作直线Dz ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由Dz ，DA ，DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ．… 9分设AB =4，则D （0，0，0），A （4，0，0），B （4，4，0），C （0，4，0）， P （2，0，2），E （1，0，1）． 所以 (3,0,1)EA =-，(4,4,0)AC =-．设平面EAC 的法向量为n =（x ，y ，z ），则有00EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ．所以 30440x z x y -=⎧⎨-+=⎩．取x =1，得n =（1，1，3）．………… 11分 易知平面ABCD 的法向量为v =（0，0，1）． ………… 12分 所以||c o s ,|11|||||⋅〈〉==n v n v n v ．………… 13分由图可知二面角E —AC —B 的平面角是钝角， 所以二面角E —AC —B的余弦值为． ………… 14分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连接PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以MN ∥CD ． 由（Ⅱ）可得MN ⊥平面P AD ． 因为P A =PD ，所以PM ⊥AD ．由MP ，MA ，MN 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz ．9分设AB =4，则A （2，0，0），B （2，4，0），C （―2，4，0）， D （―2，0，0），P （0，0，2），E （―1，0，1）．所以 (3,0,1)EA =-，(4,4,0)AC =-．设平面EAC 的法向量为n =（x ，y ，z ），则有00EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ．所以30440x z x y -=⎧⎨-+=⎩．取x =1，得n =（1，1，3）．………… 11分 易知平面ABCD 的法向量为v =（0，0，1）． ………… 12分 所以||c o s ,||||||⋅〈〉==n v n v n v ．………… 13分由图可知二面角E —AC —B 的平面角是钝角， 所以二面角E —AC —B的余弦值为． ………… 14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=．………… 1分 元件B 为正品的概率约为4029631004++=．………… 2分 （Ⅱ）解：（i ）随机变量X 的所有取值为90，48，30，－15．………… 3分433(90)545P X ==⨯=；133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545p X ==⨯=；111(15)5420P X =-=⨯=． ………… 7分………… 8分 3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………… 9分（ii ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5－n 件． 依题意，得 50n ―10(5―n )≥140，解得196n ≥． 所以 n=4，或 n=5． ………… 11分 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………… 13分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：①当b =0时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为（－∞，0），（0，+∞）；无单调增区间． … 1分②当b ＞0时，222'()()b x f x x b -=+．………… 3分令'()0f x =，得 1x 2x = ()f x 和'()f x 的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………… 5分③当b ＜0时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222'()0()b x f x x b -=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞； 无单调增区间．………… 7分（Ⅱ）解：因为b ＞0，13[,]44x ∈，所以()1f x ≥等价于2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈．………… 9分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =． … 11分则“13[,]44x ∃∈，使得2b x x ≤-+”等价于14b ≤． 所以，b 的取值范围是1(0,]4．………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为x =my +2．………… 1分 将其代入y 2=4x ，消去x ，整理得 y 2―4my ―8=0． ………… 4分 从而 y 1y 2=―8． ………… 5分（Ⅱ）证明：设M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）．则 2212343411212342341212344444y y y y y y k x x y y y y k x x y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． …… 7分 设直线AM 的方程为x =ny +1，将其代入y 2=4x ，消去x ， 整理得 y 2―4ny ―4=0． ………… 9分 所以 y 1y 3=―4． ………… 10分 同理可得y 2y 4=―4． ………… 11分 故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． ………… 13分 由（Ⅰ）得122k k =，为定值． ………… 14分20．（本小题满分13分）………… 3分 （Ⅱ）解：不存在A ∈S （9，9），使得l （A ）=0．………… 4分证明如下：假设存在A ∈S （9，9），使得l （A ）=0．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈-（19i ≤≤，19j ≤≤）， 所以1()r A ，2()r A ，…，9()r A ，1()c A ，2()c A ，…，9()c A这18个数有9个1，9个－1．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．一方面，由于这18个数中有9个1，9个―1，从而M =(―1)9=―1． ① 另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅也表示m ， 从而 M =m 2=1． ②①、②相矛盾，从而不存在A ∈S （9，9），使得l （A ）=0． …… 8分 （Ⅲ）解：记这n 2个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有 12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅；另一方面，从“列”的角度看，有 12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅． 从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅． ③ … 10分 注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈-（1i n ≤≤，1j n ≤≤）． 下面考虑1()r A ，2()r A ，…，()n r A ，1()c A ，2()c A ，…，()n c A 中 －1的个数：由③知，上述2n 个实数中，－1的个数一定为偶数，该偶数记为2k （0≤k ≤n ）；则1的个数为2n ―2k ，所以 ()(1)21(22)2(l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………… 12分对数表A 0：a ij =1（i ，j =1，2，3，…，n ），显然0()2l A n =．将数表A 0中的A 11由1变为―1，得到数表A 1，显然1()24l A n =-． 将数表A 1中的A 22由1变为―1，得到数表A 2，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为―1，得到数表k A ．即数表k A 满足：a 11=a 22=…=a kk =－1（1≤k ≤n ），其余a ij =1．所以12()()()1k r A r A r A ====-，12()()()1k c A c A c A ====-．所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-． 由k 的任意性知，l （A ）的取值集合为 {2(2)|0,1,2,,}n k k n -=． ………… 13分。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学 2014.1（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号 一 二三本卷总分1718 19 20 21 22 分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．圆2221x y y ++=的半径为( ) A. 1B.2C. 2D. 42．双曲线1922=-y x 的实轴长为( ) A. 4B. 3C. 2D. 13．若(,1,3)x =-a ，(2,,6)y =b ，且//a b ，则( ) A. 1,2x y ==- B. 1,2x y == C. 1,22x y ==- D. 1,2x y =-=-4．命题“x ∀∈R ,20x ≥”的否定为( ) A. x ∀∈R ，20x < B. x ∀∈R ，20x ≤ C. x ∃∈R ，20x ≥D. x ∃∈R ，20x <5． “n m =”是“方程122=+ny mx 表示圆”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6．关于直线,a b 以及平面,M N ,下列命题中正确的是( )A. 若//a M ，//b M ，则//a bB. 若//a M ，b a ⊥，则b M ⊥C. 若b M ⊂，且a b ⊥，则a M ⊥D. 若a M ⊥，//a N ，则M N ⊥7．已知12,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，8AB =，则22AF BF +=( ) A. 2B. 10C. 12D. 148．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ） A. 8B. 6C. 4D.839．已知平面内两个定点(1,0),(1,0)A B -，过动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN BN =⋅，则动点M 的轨迹是（ ）A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10. 已知正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F ，G 分别 是线段B B 1，AB 和1A C 上的动点，观察直线CE 与F D 1，CE 与1DG ．给出下列结论：①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1D F ⊥CE ； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得⊥CE F D 1； ③对于任意给定的点E ，存在点G ，使得1D G ⊥CE ； ④对于任意给定的点G ，存在点E ，使得⊥CE 1D G ．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 已知抛物线的准线为1-=x ，则其标准方程为_______.12. 命题“若x y >，则x y >”的否命题是：__________________.222俯视图侧视图正视图F DA BC A 1B 1C 1D 1E G13. 双曲线221412x y -=的离心率为_______；渐近线方程为_______.14. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.15. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是边长为1的正方形，1D B 与平面ABCD 所成的角为45， 则棱1AA 的长为_______；二面角1B DD C --的 大小为_______.16. 已知M 为椭圆22143x y +=上一点，N 为椭圆长轴上一点，O 为坐标原点. 给出下列结论：① 存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形； ② ②不存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形；③存在点,M N ，使得90OMN ∠=；④不存在点,M N ，使得90OMN ∠=. 其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面PAD ； （Ⅱ）求证：MN AB ⊥.18.（本小题满分13分）已知圆C 经过坐标原点O 和点(2,2)，且圆心在x 轴上.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点(1,2)，且l 与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.ABCDNPMD ABCA 1B 1C 1D 119.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC CB CC ===，E 是AB 中点.（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A CE ；（Ⅱ）求直线11A C 与平面1A CE 所成角的正弦值.20.（本小题满分14分）如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，CD AB //，BC AB ⊥，ABE ∆为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点．（Ⅰ）求证：AB ⊥DE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在ABE ∆内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ，如果存在，求PQ 的长；如果不存在，说明理由． BECDP·ABCA 1B 1C 1E21.（本小题满分13分）已知抛物线2:12C y x =，点(1,0)M -，过M 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标等于2，求直线l 的斜率； （Ⅱ）设点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点.22.（本小题满分14分）已知,,A B C 为椭圆22:22W x y +=上的三个点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若,A C 所在的直线方程为1y x =+，求AC 的长；（Ⅱ）设P 为线段OB 上一点，且3OB OP =，当AC 中点恰为点P 时，判断OAC ∆的面积是否为常数，并说明理由.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.C8.C9.D 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. x y 42= 12. 若x y ≤，则x y ≤. 13. 2，3y x =±14. π:2 15. 2,45 16. ①④注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出①或④得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.17. 证明：（Ⅰ）取PD 中点Q ，连结AQ,NQ .因为 N 是PC 中点， 所以 1//2NQ DC . ………………2分 又M 是AB 中点，1//2AM DC , 所以 //AM NQ ，四边形AQNM 是平行四边形. ………4分 所以 //MN AQ . ………………5分 因为 MN Ë平面PAD ，AQ Ì平面PAD ， 所以 //MN 平面PAD . ………………7分（Ⅱ）因为 PA ^平面ABCD ,所以 PA AB ^. ………………8分又 ABCD 是矩形，所以 AB AD ^. ………………9分 所以 AB ^平面PAD , ………………10分 所以 AB AQ ^. ………………11分 又 //AQ MN ,所以 AB MN ^. ………………13分18. 解：（Ⅰ）设圆C 的圆心坐标为(,0)a ，ABCDNPM Q依题意，有22(2)2a a =-+， ………………2分即2248a a a =-+，解得2a =， ………………4分 所以圆C 的方程为22(2)4x y -+=. ………………6分 （Ⅱ）依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1， ………………8分所以直线1x =符合题意. ………………9分 另，设直线l 方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， 则2211k k +=+， ………………11分解得34k =-， ………………12分 所以直线l 的方程为32(1)4y x -=--，即34110x y +-=. ………………13分综上，直线l 的方程为10x -=或34110x y +-=. 19.（Ⅰ）证明:因为111ABC A B C -是直三棱柱， 所以11CC AC ,CC BC ^^，又90ACB?o，即AC BC ^. ………………2分 如图所示，建立空间直角坐标系C xyz -.(200)A ,,,1(022)B ,,,(110)E ,,,1(202)A ,,， 所以 1=(222)AB ,,-uuu r ，=(110)CE ,,uur ， 1=(202)CA ,,uuu r. ………………4分 又因为 10AB CE ?uuu r uur ，110AB CA ?uuu r uuu r， ………………6分 所以 1AB CE ^，11AB CA ^，1AB ^平面1ACE . ………………7分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，1=(222)AB ,,-uuu r是平面1ACE 的法向量， ………………9分 11==(200)C A CA ,,uuu r uu r， ………………10分则 111111111cos C A AB C A ,AB C A AB ×狁=uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuu u r uuu r 33=. ………………12分 设直线11A C 与平面1ACE 所成的角为q ， 则111sin =cos C A ,AB 狁uuu u r uuu rq 33=. 所以直线11A C 与平面1ACE 所成角的正弦值为33. ………………13分 20. （Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结OD,OE ， ………………1分 A BC A 1B 1C 1E x y z因为△ABE 是正三角形，所以AB OE ^. 因为 四边形ABCD 是直角梯形，12DC AB =，AB //CD ， 所以 四边形OBCD 是平行四边形，OD //BC ， 又 AB BC ^，所以 AB OD ^. 所以 AB ^平面ODE ，………………3分 所以 AB DE ^. ………………4分 （Ⅱ）解：因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB OE ^，所以OE ^平面ABCD ，所以 OE OD ⊥. ………………5分 如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系.则 (100)A ,,，(100)B ,,-，(001)D ,,，(101)C ,,-，(030)E ,,.所以 =(101)AD ,,-uuu r ,=(031)DE ,,-uuu r， ………………6分设平面ADE 的法向量为1n 111=()x ,y ,z ，则1100DE ADìï?ïíï?ïïîuuu r uuu r n n 1111300y z x z ìï-=ïÛíï-+=ïî， ………………7分 令11z =，则11x =,133y =.所以1n 3=(11)3,,. ………………8分 同理求得平面BCE 的法向量为2n =(310),,-， ………………9分设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cos θ1212×=n n n n 77=.所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. ………………10分 （Ⅲ）解：设22(0)Q x ,y ,，因为131()222P ,,-， 所以22131()222PQ x ,y ,=+--uu u r ，=(100)CD ,,uu u r ,=(031)DE ,,-uuu r . 依题意00PQ CD PQ DEìï?ïíï?ïïîuu u r uu u ruu u r uuu r，， 即22102313()022x ,y ,ìïï+=ïïïíïï-+=ïïïî………………11分 A B E CDP·yxz O解得 212x =-，233y =. ………………12分符合点Q 在三角形ABE 内的条件. ………………13分 所以，存在点13(0)23Q ,,-，使PQ ^平面CDE ，此时33PQ =.…………14分 21.解：（Ⅰ）设过点(1,0)M -的直线方程为(1)y k x =+，由 2(1),12,y k x y x =+⎧⎨=⎩ 得2222(212)0k x k x k +-+=. ………………2分因为 20k ≠，且2242(212)4144480k k k ∆=--=->，所以，(3,0)(0,3)k ∈- . ………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122122k x x k -+=，121x x =. ………………5分 因为线段AB 中点的横坐标等于2，所以2122622x x k k+-==， ………………6分 解得2k =±，符合题意. ………………7分 （Ⅱ）依题意11(,)A x y '-，直线212221:()y y A B y y x x x x +'-=--， ………………8分又 21112y x =，22212y x =， 所以 222112()y x x y y y =-+-， ………………9分12212112y y x y y y y =--- ………………10分因为 221212144144y y x x ==， 且12,y y 同号，所以1212y y =， ………………11分 所以 2112(1)y x y y =--， ………………12分所以，直线A B '恒过定点(1,0). ………………13分22. 解：（Ⅰ）由2222,1x y y x ⎧+=⎨=+⎩ 得2340x x +=，解得0x =或43x =-， ………………2分 所以,A C 两点的坐标为(0,1)和41(,)33--， ………………4分所以423AC =. ………………5分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则(2,0)B ， 因为3OB OP =，P 在线段OB 上，所以2(,0)3P ，求得423AC =，……6分 所以OAC ∆的面积等于4224=23391⨯⨯. ………………7分 ②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ，由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=， ………………8分 122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+， 所以，AC 的中点P 的坐标为222(,)2121km mk k -++， ………………9分所以2263(,)2121km mB k k -++，代入椭圆方程，化简得22219k m +=. ……………10分 计算 AC 2212121()4kx x x x =++-22222212121k k m k ++-=+…………11分281=9k m+. ………………12分因为点O 到AC 的距离O AC d -=21m k+. ………………13分所以，OAC ∆的面积2OAC O AC S AC d ∆-1=⋅228142991m k m k 1+=⨯⋅=+. 综上，OAC ∆面积为常数49. ………………14分。

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北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2013.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．
1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ）
（A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1
(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）(,1)(0,)-∞-+∞ 【答案】D
【解析】1
{|(21)(1)0}{
2B x x x x x x =-+>=><-或，所以{0
1}A B x x x =><- 或，即(,1)(0,)-∞-+∞ ，选D. 2．在复平面内，复数5i
2i -的对应点位于（ ）
（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限
【答案】B 【解析】55(2)5(2)122(2)(2)5i
i i i i i i i i ++===-+-+-,，对应的点的坐标为(1,2)-，所以在第二象限，选B.
3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π
，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）
（A ）sin 1=ρθ（B
）sin =
ρθ（C ）cos 1=ρθ（D
）cos =ρθ
【答案】A 【解析】先将极坐标化成直角坐标表示，(2,)6P π
转化为
点cos 2cos sin 2sin 166x y π
π
ρθρθ======，
即)，
过点且平行于。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高一数学 2014.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知[0,2)∈πα，且角α与角π6-终边相同，则=α（ ） （A ）11π6（B ）7π6 （C ）5π6（D ）π62．若sin 0<α，且cos 0>α，则角α是（ ） （A ）第一象限的角 （B ）第二象限的角 （C ）第三象限的角（D ）第四象限的角3．已知向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，那么向量122+e e 的坐标是（ ） （A ）(1,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)--（D ）(1,2)4．若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan =α（ ）（A （B ） （C ）2- （D ）12-5．已知正方形ABCD 的边长为1，则AB AC ⋅=（ ）（A ）2（B ）1（C（D ）26．在平面直角坐标系xOy 中，函数sin y x =的图象（ ） （A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称（D ）关于点(,0)2π对称7．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则向量AD =（ ）（A ）1122AB AC +（B ）AB AC +（C ）1122AB AC -（D ）AB AC -8．已知函数1()cos 22f x x x =+，则()12f π=（ ）（A ）2 （B （C ）1（D9．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（ ） （A ）120︒（B ）90︒（C ）60︒（D ）30︒10．已知函数()sin cos f x x x =ωω在区间[,]63ππ-上单调递增，则正数ω的最大值是（ ） （A ）32（B ）43（C ）34 （D ）23二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin()3π-=______. 12. 若1cos 2=-α，且(0,)∈πα，则α=______. 13. 已知向量(1,3)=a ，(2,)k =-b ．若向量a 与b 共线，则实数k =_____. 14. 若tan 2=α，且32π∈(π,)α，则sin()2π+=α______. 15. 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.若(1)2f -=，则(3)f =_____.16. 已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ．若π,3〈〉=a b ，则c o s ()-=αβ_____.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知3tan 4=-α. （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求2sin 3cos 3sin 2cos --αααα的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()(sin 2cos 2)1f x x x =++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若[,]124x ππ∈，求()f x 的最大值与最小值．19.（本小题满分12分）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，O 为其中心，,M N 分别是,BC DE 上的动点，且BM DN = .（Ⅰ）若,M N 分别是,BC DE 的中点，求OM ON ⋅的值；（Ⅱ）求OM ON ⋅的取值范围.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合2{|430}A x x x =-+>，{|02}B x x =<≤，那么A B = _____. 2. 已知2log 3a =，3log 2b =，21log 3c =.将,,a b c 按从小到大排列为_____. 3. 函数()121()2xf x x =-的零点个数为_____.4. 若函数2()2f x x x =-在区间(,)a +∞上是增函数，则a 的取值范围是_____.5. 给定数集A .若对于任意,a b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合.给出如下三个结论：① 集合{4,2,0,2,4}A =--为闭集合； ② 集合{|2,}A n n k k ==∈Z 为闭集合； ③ 若集合12,A A 为闭集合，则12A A 为闭集合. 其中，全部正确结论的序号是_____.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6.（本小题满分10分）已知函数21()x f x x-=.（Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：()f x 在(0,)+∞上为增函数.7.（本小题满分10分）已知函数()log (2)1a f x x =+-，其中1a >.（Ⅰ）若()f x 在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 的图象不经过第二象限，求a 的取值范围.8.（本小题满分10分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）解不等式()3f x <；（Ⅱ）设0a >，求()f x 在区间[0,]a 上的最大值.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2014.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A ；2. D ；3. D ；4. C ；5. B ；6. C ；7.A ；8. A ；9. B ； 10. C . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 12. 32π； 13.6-； 14.5-15.2； 16. 12. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 3tan 4=-α， 所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 7=-. 【 6分】（Ⅱ）解：因为3tan 4=-α， 所以2sin 3cos 2tan 33sin 2cos 3tan 2--=--αααααα 【 9分】 1817=. 【12分】18.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：2()(sin 2cos 2)1f x x x =++22sin 22sin 2cos 2cos 21x x x x =+⋅++ 【 2分】 sin 42x =+．【 4分】因为 242T ππ==， 所以()f x 的最小正周期是2π． 【 6分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，()sin 42f x x =+．因为124x ππ≤≤， 所以 43x π≤≤π， 【 8分】所以 0sin 41x ≤≤，所以 2sin 423x ≤+≤． 【10分】 所以，当8x π=时，()f x 取得最大值3；当4x π=时，()f x 取得最小值2．【12分】19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，O 为其中心，且,M N 分别是,BC DE 的中点，所以 2OM ON == ，120MON ︒∠=， 【 2分】所以 3cos1208OM ON OM ON ︒⋅==- . 【 4分】（Ⅱ）解：因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，O 为其中心，BM DN =，所以 △DON ≌△BOM . 【 6分】所以 OM ON =，且DON BOM ∠=∠，即 OM ON = ，且120MON ︒∠=. 【 8分】所以 21cos1202OM ON OM ON ON ︒⋅==- . 【10分】当点N 重合于点D 或E 时，ON 取得最大值1，OM ON ⋅取得最小值12-；【11分】当点N 是DE 的中点时，ON 取得最小值2，OM ON⋅取得最大值38-.【12分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{|01}x x <<；2.c b a <<；3. 1；4. [1,)+∞；5.②. 二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：由已知，函数()f x 的定义域为{0}D x x =∈≠R . 【 1分】设x D ∈，则x D -∈，22()11()()x x f x f x x x----==-=--. 【 3分】所以函数()f x 为奇函数. 【 4分】 （Ⅱ）证明：设12,x x 是(0,)+∞上的两个任意实数，且12x x <，则210x x x ∆=->.2221212111()()x x y f x f x x x --∆=-=- 【 6分】22122121121212(1)(1)()(1)x x x x x x x x x x x x ----+==. 【 8分】因为 120x x <<， 所以 120x x >，210x x ->，1210x x +>，所以 0y ∆>， 【 9分】 所以 ()f x 在(0,)+∞上是增函数. 【10分】7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：函数()log (2)1a f x x =+-的定义域是(2,)-+∞. 【 1分】因为 1a >，所以 ()log (2)1a f x x =+-是[0,1]上的增函数. 【 2分】 所以 ()f x 在[0,1]上的最大值是(1)log 31a f =-；最小值是(0)log 21a f =-.【 4分】 依题意，得 log 31(log 21)a a -=--， 【 5分】 解得a =【 6分】（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()log (2)1a f x x =+-是(2,)-+∞上的增函数. 【 7分】在()f x 的解析式中，令0x =，得(0)log 21a f =-， 所以，()f x 的图象与y 轴交于点(0,log 21)a -. 【 8分】 依题意，得(0)log 210a f =-≤， 【 9分】 解得 2a ≥. 【10分】8.（本小题满分10分） （Ⅰ）解：原不等式可化为22230x x x ≥⎧⎨--<⎩，，（1） 或22230.x x x <⎧⎨-+>⎩，（2） 【 1分】解不等式组（1），得 23x ≤<；解不等式组（2），得2x <. 【 3分】 所以原不等式的解集为{|3}x x <. 【 4分】（Ⅱ）解：222,2,()|2|2, 2.x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩ 【 5分】① 当01a <<时，()f x 是[0,]a 上的增函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-+. 【 6分】 ② 当12a ≤≤时，()f x 在[0,1]上是增函数，在[1,]a 上是减函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =. 【 7分】③ 当2a >时，令()(1)(2)10f a f a a -=-->，解得1a >. 所以，当21a <≤此时()(1)f a f ≤，()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =；当1a >时，此时()(1)f a f >，()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-.【 9分】 记()f x 在区间[0,]a 上的最大值为()g a ，所以222,01,()1,112,1a a a g a a a a a ⎧-+<<⎪⎪=≤≤+⎨⎪->+⎪⎩ 【10分】。

高三数学（理科） 2012.1【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。

所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。

如选择题1，2,3，4，9,10；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题6,7.11.（4）深入探究2011高考试题，精选合适的试题进行改编；如填空题9,12.（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如填空题14和解答题20等；（ 6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

如20题。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．复数i1i =+（ ） （A ）1i 22+（B ）1i 22-（C ）1i 22-+（D ）1i 22--【答案】A 【解析】i i(1-i)1,1i (1i)(1-i)2i+==∴++选A. 2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）（A ）2cos ρθ=（B ）2sin ρθ=（C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-【答案】B【解析】222220(1)1,x y y x y +-=⇒+-=该方程表示圆心为（0,1）半径为1的圆，如图，在圆上任取一点(,),M ρθ则2sin ,2sin .OM θρθ=∴=3．已知向量(3,1)=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足，则c 可以是（ ） （A ）(3,1)-（B ）(1,3)--（C ）(3,1)--（D ）(1,3)-xyMO【答案】D【解析】(3,1)= ，a (0,2)=-b ，2(3,3)3(1,3)(1,3).k ∴+=-=--=∴-可以为a b c,c4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15- 【答案】C【解析】执行程序框图可得：1,1;2,3;3,6;4,10;5,i S i S i S i S i ==-====-=== 程序结束，输出10.S =5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4]（B ）[1,5]（C ）4[,4]5（D ）4[,5]5【答案】D【解析】作出不等式组所表示的平面区域，因原点到直线22=0x y +-的最短距离为220022,52+1⨯+-=此时可得22x y +的最小值为4;5点（1,2）到原点的距离最大为5,此时可得22x y +的最大值为5,故选D 。

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ） （A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i 2i-的对应点位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．10．如图，R t △A B C 中，90ACB ︒∠=，3A C =，4B C =．以A C 为直径的圆交AB 于点D ，则 BD = ；C D =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______． 12．已知椭圆22142xy+=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12P F F 的面积是______． 13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2B C =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面P A D ⊥平面A B C D ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线A F ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线M N 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()nniji j l A r A cA ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6；12 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③． 注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解法一21cos 2B B =-， 所以 2cos 2sin B B B =．……………3分因为 0B <<π， 所以 sin 0B >， 从而 tan B =5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得2cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=，即 1sin(2)62B π+=． (3)分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=．…………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得sin sin A C B C BA=， ………7分所以 sin sin B C B A C A⋅==． ………………8分因为 512C A B π=π--=， ………………9分所以 5sin sin sin()12464C πππ+==+=， ………………11分所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C +=⋅=．………………13分解法二：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin A C B C B A=， ………………7分所以 sin sin B C B A C A⋅==． ………………8分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分 化简为 2220AB AB --=，解得 1AB =+………………11分所以 △ABC 的面积1sin 22S AB BC B =⋅=………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． …………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ， 所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥， 所以⊥CD 平面PAD ． ……7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线D z AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以D z ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分 设4A B =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ． 由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分 元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=；411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:………………8分3311904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =．………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． (1)分② 当0b >时，222()()b xf x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x =2x =()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b xf x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈．……9分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤．所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-．………………5分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分设直线A M 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． ………………13分由（Ⅰ）得 122k k =，为定值． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ， ，9()r A ，1()c A ，2()c A ， ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-． 令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅ 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅ 也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅ ； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅ ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ， ，()n r A ，1()c A ，2()c A ， ，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -， 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n = ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤ ，其余1ij a =． 所以 12()()()1k r A r A r A ====- ，12()()()1k c A c A c A ====- ． 所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -= ．……………13分。

2014西城区高三（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}，则集合A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1]C．（1，2） D．[1，2）2．（5分）已知复数z满足z=，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（）A．4 B．C．3 D．4．（5分）执行如图的程序框图，输出的S等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知圆C：（x+1）2+（y﹣1）2=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）A．y=x+2﹣B．y=x C．y=x﹣2D．y=x+16．（5分）若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足（）A．a2＞b2B．C．0＜a＜b D．0＜b＜a7．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．08．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，3），B（﹣2，k），若向量，则实数k=．10．（5分）若等差数列{a n}满足a1=，a4+a6=5，则公差d=；a2+a4+a6+…+a20=．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为．12．（5分）甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是．（用数字作答）13．（5分）如图，B，C为圆O上的两个点，P为CB延长线上一点，PA为圆O的切线，A为切点．若PA=2，BC=3，则PB=；=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，记不等式组所表示的平面区域为D．在映射T：的作用下，区域D内的点（x，y）对应的象为点（u，v）．（1）在映射T的作用下，点（2，0）的原象是；（2）由点（u，v）所形成的平面区域的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=cosωx，g（x）=sin（ωx﹣）ω＞0），且g（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）若f（α）=，α∈[﹣π，π]，求α的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）+g（x）的单调增区间．16．（13分）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．18．（13分）已知函数f（x）=（x+a）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＜1时，试确定函数g（x）=f（x﹣a）﹣x2的零点个数，并说明理由．19．（14分）已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k，O为坐标原点．（Ⅰ）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．20．（13分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，且a n＞0（n∈N*），[a n]表示不超过实数a n的最大整数（如[2.5]=2），记b n=[a n]，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（Ⅰ）若a1=4，q=，求T n；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n，都有T n=2n+1，证明：（）＜q＜1．（Ⅲ）证明：S n=T n（n=1，2，3，…）的充分必要条件为：a1∈N*，q∈N*．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵A={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1≤x＜2}=[1，2）．故选D2．【解答】z===1+i，∴z的虚部为1．故选：C．3．【解答】∵cos（A+B）=，∴cosC=﹣，在△ABC中，a=3，b=2，cosC=﹣，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣=17，∴c=．故选：D．4．【解答】根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+n=2第2次循环：S=+n=3…第4次循环：S═++…+n=5此时，n=5输出S=1﹣=故选B．5．【解答】由题意，M为直线y=﹣x与圆的一个交点，代入圆的方程可得：（x+1）2+（﹣x﹣1）2=1．∵劣弧的中点为M，∴x=，∴，∵过点M的圆C的切线的斜率为1，∴过点M的圆C的切线方程是y﹣1+=x﹣+1，即y=x+2﹣．故选A．6．【解答】由题意，曲线ax2+by2=1可化为．∵曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，∴，∴b＞a＞0．故选C．7．【解答】当x∈[﹣2，﹣1]时，x+2∈[0，1]，∴f（x+2）=（x+2）2﹣（x+2）=x2+3x+2，又f（x+1）=2f（x），∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=2f（x+1）=4f（x），∴4f（x）=x2+3x+2（﹣2≤x≤﹣1），∴f（x）=（x2+3x+2）=﹣（﹣2≤x≤﹣1），∴当x=﹣时，f（x）取得最小值﹣．故选：A．8．【解答】∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y min=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y max=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵=（1，3），=（﹣2，k）﹣（1，3）=（﹣3，k﹣3），向量，∴=（1，3）•（﹣3，k﹣3）=﹣3+3（k﹣3）=0，解得k=4．故答案为：4．10．【解答】等差数列{a n}满足a1=，a4+a6=5=2a5，∴a5=，∴=+4d，则公差d=．∴a2+a4+a6+…+a20=10（a1+d）+×2d=10×1+45=55，故答案为：，55．11．【解答】由正三棱柱的侧视图可知该三棱柱是平放着的三棱柱，如图：其中三棱柱的棱长为2，则三棱柱的正视图为矩形ABCD，其中AB=2，AD为正三角形的高，即AD=，∴此三棱柱正（主）视图的面积为2×，故答案为：2．12．【解答】由题意知本题需要分步来解，第一步甲大学生选实习公司，有=6种方法，第二步乙大学生选实习公司，有=4种方法，由乘法原理得：两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法有6×4=24种．故答案是24．13．【解答】∵PA是圆O的切线，PBC是割线，∴PA2=PB•PC，∵PA=2、BC=3，∴22=PB•（PB+3），解得PB=1（舍负）．∵PA切圆O于点A，∴∠BAP=∠C，又∵∠APB=∠CPA，∴△CPA∽△APB，可得==2．故答案为：1，214．【解答】不等式组所表示的平面区域D如图，（1）由，解得：．∴在映射T的作用下，点（2，0）的原象是（1，1）．（2）由，得．代入不等式组，得．可行域如图，∴点（u，v）所形成的平面区域的面积为．故答案为：（1）（1，1）；（2）π．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）解：因为g（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期π，∴，解得ω=2，由f（α）=，得=，即，∴2，k∈Z，∵α∈[﹣π，π]，∴α∈{}；（Ⅱ）函数y=f（x）+g（x）=+=+sin2xcos﹣cos2xsin=sin2x+cos2x=sin（2x+），由，解得kπ﹣，所以函数y=f（x）+g（x）的单调增区间为[kπ﹣]，k∈Z．16．【解答】（Ⅰ）由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得，解得a=1；（Ⅱ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，a的取值有：0，1，2，…，9共有10种可能．由（Ⅰ）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，∴当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P（A）=；（Ⅲ）设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）”为事件B，当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）．∴事件B的结果有7种，它们是：（88，90），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）．∴两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）的概率P（B）=．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，∴ON∥ED，∵ED⊥平面ABCD，∴ON⊥平面ABCD，由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，∴A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），E（﹣1，0，3），F（1，0，3），C（0，，0），H（，，）∵AC⊥平面BDEF，∴平面BDEF的法向量=（0，2，0）．设直线DH与平面BDEF所成角为α，∵=（，，），∴sinα=|cos＜，＞|=||=，∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得=（﹣，，），=（2，0，0）．设平面BDH的法向量为=（x，y，z），则令z=1，得=（0，﹣，1）由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为=（0，0，﹣3），则cos＜，＞==﹣，由图可知二面角H﹣BD﹣C为锐角，∴二面角H﹣BD﹣C的大小为60°．18．【解答】（Ⅰ）因为f（x）=（x+a）e x，x∈R，所以f′（x）=（x+a+1）e x．令f′（x）=0，得x=﹣a﹣1．当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：故f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣a﹣1）；单调增区间为（﹣a﹣1，+∞）．（Ⅱ）结论：函数g（x）有且仅有一个零点．理由如下：由g（x）=f（x﹣a）﹣x2，得方程xe x﹣a=x2，显然x=0为此方程的一个实数解．所以x=0是函数g（x）的一个零点．当x≠0时，方程可化简为e x﹣a=x．设函数F（x）=e x﹣a﹣x，则F′（x）=e x﹣a﹣1，令F′（x）=0，得x=a．当x变化时，F（x）和F′（x）的变化情况如下：即F（x）的单调增区间为（a，+∞）；单调减区间为（﹣∞，a）．所以F（x）的最小值F（x）min=F（a）=1﹣a．因为a＜1，所以F（x）min=F（a）=1﹣a＞0，所以对于任意x∈R，F（x）＞0，因此方程e x﹣a=x无实数解．所以当x≠0时，函数g（x）不存在零点．综上，函数g（x）有且仅有一个零点．19．【解答】（Ⅰ）抛物线y=x2的焦点为（0，）．…（1分）由题意，得直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣1），…（2分）令x=0，得y=1﹣k，即直线AB与y轴相交于点（0，1﹣k）．…（3分）∵抛物线W的焦点在直线AB的下方，∴1﹣k＞，解得k＜．…（5分）（Ⅱ）设B（x1，x12），C（x2，x22），则∵A（1，1）且AB⊥AC，∴即（x1+x2）+x1•x2=﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又∵y′=2x，∴B、C处的切线的斜率为k1=2x1，k2=2x2，∴B、C处的切线方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1）和y﹣x22=2x2（x﹣x2），联立解得D（，x1•x2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设x1x2=t，由（x1+x2）+x1•x2=﹣2得=﹣1﹣，∴|OD|2=（﹣1﹣）2+t2=t2+t+1﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当t=﹣时，|OD|2min=，∴|OD|min=﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．【解答】（Ⅰ）解：∵等比数列{a n}中，a1=4，q=，∴a1=4，a2=2，a3=1，且当n＞3时，0＜a n＜1．…（1分）∵b n=[a n]，∴b1=4，b2=2，b3=1，且当n＞3时，b n=[a n]=0．…（2分）∴T n=．…（3分）（Ⅱ）证明：∵T n=2n+1（n≤2014），∴b1=T1=3，b n=T n﹣T n﹣1=2，（2≤n≤2014）．…（4分）∵b n=[a n]，∴a1∈[3，4），a n∈[2，3），（2≤n≤2014）．…（5分）由q=，得q＜1．…（6分）∵∈[2，3），∴，∴，即（）＜q＜1．…（8分）（Ⅲ）证明：（充分性）∵a1∈N*，q∈N*，∴∈N*，∴b n=[a n]=a n对一切正整数n都成立．∴S n=a1+a2+…+a n，T n=b1+b2+…+b n，∴S n=T n．…（9分）（必要性）∵对于任意的n∈N*，S n=T n，当n=1时，由a1=S1，b1=T1，得a1=b1；当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，b n=T n﹣T n﹣1，得a n=b n．对一切正整数n都有a n=b n．由，a n＞0，得对一切正整数n都有，…（10分）公比q=为正有理数．…（11分）假设q不属于N*，令q=，其中p，r∈，r≠1，且p与r的最大公约数为1．∵a1是一个有限整数，∴必然存在一个整数k（k∈N），使得a1能被r k整除，而不能被r k+1整除．又∵，且p与r的最大公约数为1．不属于Z，这与（n∈N*）矛盾．∴a k+2∴q∈N*．∴．…（13分）。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高一数学 2014.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．若sin 0<α，且cos 0>α，则角α是（ ） （A ）第一象限的角 （B ）第二象限的角 （C ）第三象限的角（D ）第四象限的角2．已知向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，那么122|+=|e e （ ）（A ）1（B（C ）2（D3．若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan =α（ ）（A （B ） （C ）2- （D ）12-4．已知正方形ABCD 的边长为1，则AB AC ⋅=（ ）（A （B ）1（C（D ）25．在平面直角坐标系xOy 中，函数2sin()6y x π=-的图象（ ） （A ）关于直线6x π=对称 （B ）关于直线6x π=-对称 （C ）关于点(,0)6π对称（D ）关于点(,0)6π-对称 6．已知非零向量,OA OB 不共线，且13BM BA =，则向量OM =（ ） （A ）1233OA OB +（B ）2133OA OB +（C ）1233OA OB - （D ）1433OA OB -7．已知函数1()cos 2f x x x =+，则()12f π=（ ）（A （B （C ）1（D8．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（ ） （A ）120︒（B ）90︒（C ）60︒（D ）30︒9．已知函数()sin cos f x x x =ωω在区间[,]63ππ-上单调递增，则正数ω的最大值是（ ） （A ）32（B ）43（C ）34 （D ）2310．已知函数()cos(sin )f x x =，则下列结论中正确的是（ ） （A ）()f x 的定义域是[1,1]- （B ）()f x 的值域是[1,1]- （C ）()f x 是奇函数（D ）()f x 是周期为π的函数二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin()6π-=______.12. 若sin =α，且(0,)∈πα，则α=______. 13. 已知向量(1,3)=a ，(2,)k =-b ．若向量a 与b 共线，则实数k =_____. 14. 若tan 2=α，且32π∈(π,)α，则sin()2π+=α______. 15. 已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ．若π,3〈〉=a b ，则cos()-=αβ_____. 16. 定义在R 上的非常值函数()f x 同时满足下述两个条件：① 对于任意的x ∈R ，都有2()()3f x f x π+=； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()66f x f x ππ-=+.则其解析式可以是()f x =_____.（写出一个满足条件的解析式即可）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知3tan 4=-α. （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求2sin 3cos 3sin 2cos --αααα的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 22cos 2f x x x x =+⋅． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若[,]84x ππ∈，求()f x 的最大值与最小值．19.（本小题满分12分）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1.,M N 分别是,BC DE 上的动点，且满足BM DN =.（Ⅰ）若,M N 分别是,BC DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （Ⅱ）求AM AN ⋅的取值范围.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合2{|430}A x x x =-+>，{|02}B x x =<≤，那么A B =_____.2. 已知2log 3a =，32b =，21log 3c =.将,,a b c 按从小到大排列为_____. 3. 若函数2()2f x x x =-在区间(,)a +∞上是增函数，则a 的取值范围是_____. 4. 函数12()|21|xf x x =--的零点个数为_____.5. 给定数集A .若对于任意,a b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合.给出如下四个结论：① 集合{4,2,0,2,4}A =--为闭集合； ② 集合{|3,}A n n k k ==∈Z 为闭集合； ③ 若集合12,A A 为闭集合，则12A A 为闭集合；④ 若集合12,A A 为闭集合，且1A R Ø，2A R Ø，则存在c ∈R ，使得12()c A A ∉.其中，全部正确结论的序号是_____.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6.（本小题满分10分）已知函数()log (2)1a f x x =+-，其中1a >.（Ⅰ）若()f x 在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 的图象不经过第二象限，求a 的取值范围.7.（本小题满分10分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）解不等式()3f x <；（Ⅱ）设0a >，求()f x 在区间[0,]a 上的最大值.8.（本小题满分10分）设函数()f x ，()g x 的定义域分别为f g D D ，，且f g D D Ø.若对于任意f x D ∈，都有()()g x f x =，则称()g x 为()f x 在g D 上的一个延拓函数.给定2() 1 (01)f x x x =-<≤. （Ⅰ）若()h x 是()f x 在[1,1]-上的延拓函数，且()h x 为奇函数，求()h x 的解析式； （Ⅱ）设()g x 为()f x 在(0,)+∞上的任意一个延拓函数，且()g x y x=是(0,)+∞上的单调函数.（ⅰ）判断函数()g x y x=在(0,1]上的单调性，并加以证明； （ⅱ）设0s >，0t >，证明：()()()g s t g s g t +>+.北京市西城区2013 —2014学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2014.1A卷[必修模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D；2.D；3.C；4.B；5.C；6.A；7.A；8.B；9.C；10.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12-；12.3π，或32π；13.6-；14.15.12；16.sin3x等（答案不唯一）.注：12题，得出一个正确的结论得2分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为3 tan4=-α，所以πtan tanπ4tan()π41tan tan4--=+⋅ααα【3分】7=-. 【6分】（Ⅱ）解：因为3 tan4=-α，所以2sin3cos2tan33sin2cos3tan2--=--αααααα【9分】1817=. 【12分】18.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：1cos 4()2cos 22xf x x x -=+⋅1cos 442x x -=+ 【 2分】1sin(4)62x π=-+． 【 4分】因为 242T ππ==，所以()f x 的最小正周期是2π． 【 6分】（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，1()sin(4)62f x x π=-+．因为 84x ππ≤≤，所以 54366x πππ≤-≤， 【 8分】所以 1sin(4)126x π≤-≤， 【 9分】所以 131sin(4)622x π≤-+≤． 【10分】所以，当6x π=时，()f x 取得最大值32；当4x π=时，()f x 取得最小值1．【12分】19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系. 【 1分】因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且,M N 分别是,BC DE 的中点，所以 5(4M ，1(2N ， 【 3分】 所以 5311848AM AN ⋅=+=. 【 4分】 （Ⅱ）解：设BM DN t ==，则[0,1]t ∈.【 5分】所以(1)2t M +，(1N t -. 【 7分】所以3(1)(1)22t AM AN t t ⋅=+⋅-+2112t t ++=-213(1)22t =--+ 【10分】当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1； 【11分】 当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32. 【12分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{|01}x x <<；2.c b a <<；3. [1,)+∞；4. 2；5.②④. 注：5题，选出一个正确的序号得2分，有错选不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：函数()log (2)1a f x x =+-的定义域是(2,)-+∞. 【 1分】因为 1a >，所以 ()log (2)1a f x x =+-是[0,1]上的增函数. 【 2分】 所以 ()f x 在[0,1]上的最大值是(1)log 31a f =-；最小值是(0)log 21a f =-. 【 4分】 依题意，得 log 31(log 21)a a -=--， 【 5分】解得 a =【 6分】（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()log (2)1a f x x =+-是(2,)-+∞上的增函数. 【 7分】在()f x 的解析式中，令0x =，得(0)log 21a f =-， 所以，()f x 的图象与y 轴交于点(0,log 21)a -. 【 8分】 依题意，得(0)log 210a f =-≤， 【 9分】解得 2a ≥. 【10分】7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：原不等式可化为22230x x x ≥⎧⎨--<⎩，， （1） 或22230.x x x <⎧⎨-+>⎩，（2） 【 1分】解不等式组（1），得 23x ≤<；解不等式组（2），得2x <. 【 3分】 所以原不等式的解集为{|3}x x <. 【 4分】（Ⅱ）解：222,2,()|2|2, 2.x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩ 【 5分】① 当01a <<时，()f x 是[0,]a 上的增函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-+. 【 6分】 ② 当12a ≤≤时，()f x 在[0,1]上是增函数，在[1,]a 上是减函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =. 【 7分】③ 当2a >时，令()(1)(2)10f a f a a -=-->，解得1a >+. 所以，当21a <≤+时，此时()(1)f a f ≤，()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =；当1a >时，此时()(1)f a f >，()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-.【 9分】 记()f x 在区间[0,]a 上的最大值为()g a ，所以222,01,()1,112,1a a a g a a a a a ⎧-+<<⎪⎪=≤≤⎨⎪->+⎪⎩【10分】8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0x =时，由()h x 为奇函数，得(0)0h =. 【 1分】任取[1 0)x ∈-，，则(01]x -∈，，由()h x 为奇函数，得22()()[()1]1h x h x x x =--=---=-+， 【 2分】所以()h x 的解析式为221,01,()0,0,1,10.x x h x x x x ⎧-<≤⎪==⎨⎪-+-≤<⎩【 3分】（Ⅱ）解：（ⅰ）函数()g x y x=是(0,1]上的增函数. 【 4分】 证明如下：因为()g x 为()f x 在(0,)+∞上的一个延拓函数， 所以当(01]x ∈，时，2()()1g x f x x ==-. 记()()1()g x f x k x x x x x===-，其中(0,1]x ∈. 任取12,(0,1]x x ∈，且12x x <，则210x x x ∆=->， 因为211221212112()(1)11()()()0x x x x y k x k x x x x x x x -+∆=-=---=>， 所以函数()g x y x=是(0,1]上的增函数. 【 6分】 （ⅱ）由()g x y x = 是(0,)+∞上的单调函数，且(0,1]x ∈时，()g x y x =是增函数，从而得到函数()g x y x= 是(0,)+∞上的增函数. 【 7分】因为 0s >，0t >， 所以 s t s +>，s t t +>， 所以()()g s t g s s t s+>+， 即 ()()()s g s t s t g s ⋅+>+⋅. 【 8分】 同理可得：()()()t g s t s t g t ⋅+>+⋅.将上述两个不等式相加，并除以s t +，即得 ()()()g s t g s g t +>+. 【10分】。

北京市西城区2014年高三一模试卷数 学（理科） 2014.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U A B =ð（ ）（A ）(,2]-∞（B ）(,1]-∞（C ）(2,)+∞（D ）[2,)+∞2. 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（ ） （A ）2（B ）12（C ）114（D ）114-3．在极坐标系中，过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ=（B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为（ ） （A ）4 （B ）16 （C ）256 （D ）3log 165．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ） （A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x6． “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 10. 若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.12．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：○1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ○2 (0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；○3 (0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．8. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）（A ） 4个 （B ）6个 （C ）10个 （D ）14个BADC. PD CP15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b 的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==.（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ； （Ⅱ）求证：1B C // 平面1BED ；（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3，求线段1D E 的长度. 18．（本小题满分13分）1已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足108d -<<； （Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个(3)m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1231122m m c c c c -++++-≤.北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2014.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．25-10．8 4x =-11． 12．(3,5) 13．4814．○2,○3注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==， ……………… 3分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为 cos =B ，(0,π)∈B ，所以 sin B ==. ………………7分 由正弦定理sin sin =a bA B ， ………………9分 得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分 因为 222b c a bc +=+，所以 2250--=c c ，解得 1=±c 因为 0>c ，所以 1=c . ………………11分故△ABC 的面积1sin 2S bc A == ………………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =. ……………… 2分 （Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. ……………… 4分 所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为4． ……………… 6分 （Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3. ……………… 7分由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=， ……… 8分 从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验， 所以033127(0)C (1)464P X ==⨯-=， 1231127(1)C (1)4464P X ==⨯⨯-=， 2213119(2)C ()(1)4464P X ==⨯-=， 33311(3)C ()464P X ==⨯=. ……………… 11分 所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望2727913()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分（注：写出1(3,)4XB ，3311()C ()(1)44k kk P X k -==-，0,1,2,3k =. 请酌情给分）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形，所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥， 又因为 1=CDCC C ，所以 BC ⊥平面11DCC D ， ………………2分 因为 1D E ⊂平面11DCC D ，所以1BC D E ⊥. ………………4分（Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形. 连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C . ..................6分 又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF 平面1BED ， 所以 1//B C 平面1BED . (8)（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥， 又因为 1D E CD ⊥，BCCD C =，所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴 如图建立空间直角坐标系，设1D E a =，则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G . 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ， 因为1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==，由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩ 令1x =，得(1,1,0)=-n . ………………11分 设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ， 因为1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =，得(0,,1)a =-m . ………………12分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3， 1得||π|cos ,|cos 3⋅<>===m n m n m n ， ………………13分 解得1a =. ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >， ……………… 2分所以 (1)1f '=， 又因为(1)0f =， 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. ……………… 4分（Ⅱ）解：先考察函数2()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，配方得2()(1)2g x x =---， ……………… 5分所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-.……………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1a ≤. ……………… 8分 以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象， 则 ()ln 1h x x '=+，令()ln 10h x x '=+=，解得1e=x . ……………… 9分 随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：即函数()h x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，且min 11()()e e==-h x h . ……… 11分 因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1e≥a . ……………… 12分因为 12e->-（即min max ()()h x g x >）， 所以a 的取值范围为1,e[1]. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . ……………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ……………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. ……………… 5分 （Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……………… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*） ……………… 8分由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ……………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k mk-+==+-， ………………10分 解得2k =±. ……………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ……………… 12分 即12||3||mx x k-==， 解得m =. ……………… 13分验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y x =±，或25y x =-±. ……………… 14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列12，13，16； ……………… 2分 （Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥， 所以 210d b b =-<. ……………… 3分 若 11b = ，由{}n b 为{}n a 的一个5项子列，得212b ≤， 所以 2111122d b b =--=-≤. 因为 514b b d =+，50b >，所以 515411d b b b =-=->-，即14d >-. 这与12d -≤矛盾. 所以 11b ≠.所以 112b ≤， ……………… 6分 因为 514b b d =+，50b >， 所以 51511422d b b b =-->-≥，即18d >-，综上，得108d -<<. ……………… 7分 （Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++.因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. 设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）. 当1K =时，因为 112q L =≤，北京市西城区2014届高三一模试卷-数学理-Word 版内含答案11 / 11 所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++ 211111()()222≤-++++m ， 112()2-=-m ， 所以 112312()2m m c c c c -++++-≤. ……………… 10分 当1K ≠时， 因为 11111m m m m K c c qa L ---==⨯是{}n a 中的项，且,K L 互质， 所以 1*()-=⨯∈m a K M M N ，所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++ 1232111111()----=++++m m m m M K K L K L L . 因为 2L ≥，*K M ∈N ，， 所以 21112311111()()2()2222m m m c c c c --++++++++=-≤. 综上， 1231122m m c c c c -++++-≤. ……………… 13分。

2012-2013北京西城高三毕业班第一学期期末数学测试卷及答案北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ）（A ）1(0,)2 （B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i 2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin 3=ρθ（C ）cos 1=ρθ （D ）cos 3=ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中①处可以填入（ ）（A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =， 4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D，则BD =；CD =______．11．设等比数列{}na 的各项均为正数，其前n 项和为nS ．若11a=，34a=，63kS=，则k =______．12．已知椭圆22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x xx=-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 321cos 2B B=-．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PDPA =，⊥PA 平面PDC ，E为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]元件A 8 12 40 32 8 元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率； （Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x x b =+，其中b ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24yx=的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ， 22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ． （Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ija (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ija∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()ir A 为A 的第i 行各数之积，()jc A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni ji j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =；（Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由； （Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6；122；13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解法一321cos 2B B=-，所以 223cos 2sin B B B=．………………3分因为 0B <<π， 所以sin 0B >，从而 tan 3B =，………………5分所以 π3B =．………………6分解法二： 依题意得 32cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=， 即1sin(2)62B π+=．………………3分因为 0B <<π， 所以132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=．………………5分所以 π3B =．………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得sin sin AC BCB A=， ………………7分所以 sin 6sin BC BAC A⋅==．………………8分因为 512C A B π=π--=，………………9分所以562sin sinsin()12464C πππ==+=， ………………11分所以 △ABC的面积133sin 22S AC BC C =⋅=．………………13分解法二：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得sin sin AC BCB A=， …y z OEPCBADx ……………7分所以 sin 6sin BC BAC A⋅==．………………8分根据余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅， (9)分化简为2220AB AB --=，解得 13AB = ………………11分 所以△ABC的面积133sin 22S AB BC B =⋅=．………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．因为 E 为棱PD 中点． 所以EOPB //． (3)分因为⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． (4)分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC，所以CDPA ⊥．………………5分 因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥， 所以⊥CD 平面PAD．………………7分所以平面PAD⊥平面ABCD． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C PE ．所以)1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分zNMOE P CBAD x 易知平面ABCD的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以||311|cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ．………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角BAC E --的余弦值为11113-． ………………14分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN．因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以PM AD ． 由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzM -．………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以)1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分 易知平面ABCD的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以||311|cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ．………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角BAC E --的余弦值为11113-．………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分 元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=；111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:X 90 4530 15- P3532015120……………8分3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件.依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以4n =，或5n =．………………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分②当b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x b =，2x b =- ()f x 和()f x '的情况如下：x(,)b -∞-b- (,)b b -b(,)b +∞()f x ' -0 +-()f x↘↗↘故()f x 的单调减区间为(,)b -∞，(,)b +∞；单调增区间为(,)b b ．……………5分③ 当b <时，()f x 的定义域为{|}D x x b =∈≠-R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,b -∞-，(,)b b --，,)b -+∞；无单调增区间．……………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈， 所以()1f x ≥ 等价于2b x x≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分 设2()g x xx=-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x≤-+”等价于14b ≤． 所以，b的取值范围是1(0,]4．………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：依题意，设直线AB的方程为2x my =+． ………………1分 将其代入24y x=，消去x，整理得2480y my --=． ………………4分从而128y y =-．………………5分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x=，消去x ，整理得2440y ny --=． ………………9分所以134y y =-． (10)分同理可得244y y =-．………………11分 故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+．………………13分由（Ⅰ）得122k k =，为定值． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．1- 1- 1- 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1………………3分（Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． (4)分证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}ir A ∈-，(){1,1}jc A ∈-(19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ，，9()r A ，1()c A ，2()c A ，，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-． 令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅也表示m ， 从而21M m==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅． ③ ………………10分注意到(){1,1}ir A ∈-，(){1,1}jc A ∈-(1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ，，()nr A ，1()c A ，2()c A ，，()nc A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -，所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分对数表0A ：1ija=(,1,2,3,,)i j n =，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-．将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-．依此类推，将数表1k A -中的kka 由1变为1-，得到数表kA ．即数表kA 满足：11221(1)kk aa a k n ====-≤≤，其余1ij a =． 所以12()()()1k r A r A r A ====-，12()()()1k c A c A c A ====-．所以()2[(1)()]24kl A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=．……………13分。