广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三第3周综合练习卷数学文试题 Word版含答案

广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试（5）文科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}3,4,5M =，{}1,2,5N =，则集合{}1,2可以表示为（ ） A ．MN B ．()U M N ð C ．()UMN ð D ．()()UUM N 痧2、已知向量()3,4a =，若5a λ=，则实数λ的值为（ ）A ．15B ．1C ．15± D ．1±3、若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（ ） A ．91 B ．91.5 C ．92 D ．92.54、已知i 为虚数单位，复数z a bi =+（a ，R b ∈）的虚部b 记作()m z I ，则1m 1i ⎛⎫I =⎪+⎝⎭（ ）A ．12-B ．1-C ．12D ．15、设抛物线C :24y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 6、已知C ∆AB 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且s i n s i n 2abB A=，则co s B 的值是（ ） AB ．12 C． D ．12-7、已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值是（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．2008、若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40280x y x y x m ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．(],1-∞-D ．(),1-∞- 9、已知某锥体的正视图和侧视图如图，则该锥体的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知圆O 的圆心为坐标原点，半径为1，直线:l y kx t =+（k 为常数，0t ≠）与圆O 相交于M ，N 两点，记∆MON 的面积为S ，则函数()S f t =的奇偶性是（ ） A ．偶函数 B ．奇函数C ．既不是偶函数也不是奇函数D ．奇偶性与k 的取值有关 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题）11、函数()()ln 2f x x =-的定义域是 ．12、已知e 为自然对数的底数，则曲线2x y e =在点()1,2e 处的切线斜率是 ． 13、已知函数()11f x x =+，点O 为坐标原点，点()(),n n f n A （n *∈N ），向量()0,1i =，n θ是向量n OA 与i 的夹角，则201512122015cos cos cos sin sin sin θθθθθθ++⋅⋅⋅+的值是 ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x y O 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin cos sin x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩（θ为参数）和2x ty t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标是 ．15、（几何证明选讲选做题）如图，C B 是圆O 的一条弦，延长C B 至点E ，使得C 2C 2B =E =，过E 作圆O 的切线，A为切点，C ∠BA 的平分线D A 交C B 于点D ，则D E 的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0ω>，0A >，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）的部分图象如图所示，其中点P 是图象的一个最高点．()1求函数()f x 的解析式；()2已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭且5sin 13α=，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭． 17、（本小题满分12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计．先将800人按001，002，⋅⋅⋅，800进行编号；()1如果从第9行第6列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号； （下面摘取了第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 ()2抽取出100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向， 纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如： 表中数学成绩为良好的共有2018442++= 人．若在该样本中，数学成绩优秀率是30%， 求a ，b 的值；()3在地理成绩为及格的学生中，已知10a ≥，8b ≥，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率． 18、（本小题满分14分）如图，三棱柱111C C AB -A B 中，侧棱垂直底面，C C A ⊥B ，D 是棱1AA 的中点，12C 2C 2a AA =A =B =（0a >）．()1证明：1C D ⊥平面DC B ； ()2求三棱锥1C C D -B 的体积．19、（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，14与()21n a +的等比中项．()1求证：数列{}n a 是等差数列；()2若11b a =，且123n n b b -=+（2n ≥），求数列{}n b 的通项公式； ()3在()2的条件下，若3nn n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20、（本小题满分14分）已知椭圆1C :22221x y a b +=的离心率为2e =，且与双曲线2C :222211x y b b -=+有共同焦点． ()1求椭圆1C 的标准方程；()2在椭圆1C 落在第一象限的图象上任取一点作1C 的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；()3设椭圆1C 的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆1C 上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若C 点满足C AB ⊥B ，D//C A O ，连结C A 交D E 于点P ，求证：D P =PE ．21、（本小题满分14分）已知函数()324f x x ax =-+-（R a ∈），()f x '是()f x 的导函数．()1当2a =时，对于任意的[]1,1m ∈-，[]1,1n ∈-，求()()f m f n '+的最小值；()2若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（一）必做题（11～13题）11、()2,+∞ 12、2e 13、20152016（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、4π⎫⎪⎭ 15三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、解：()1由函数最大值为2 ，得A=2…………1分由图可得周期4[()]126T πππ=--=…………2分由2ππω=，得2ω= …………3分 又2,122k k Z ππωϕπ⋅+=+∈，及(0,)2πϕ∈…………4分得3πϕ=…………5分()2sin(2)3f x x π∴=+…………6分()2由,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5sin 13α=，得12cos 13α==-…………8分()2sin(2)2(sin cos cos sin )22333f ααπππαα∴=⋅+=+…………10分=…………12分 17、解：()1依题意，最先检测的3个人的编号依次为234，297，560………3分()2由3.010097=++a，得14=a …………5分 ∵100654182097=++++++++b a∴17=b …………7分()3由题意，知31=+b a ，且10a ≥，8b ≥∴满足条件的),(b a 有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17）， （15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10）， （22，9），（23，8）共14组，且每组出现的可能性相同. ……9分 其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组 …………11分∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为73146= ………12分18、()1证明：依题意，BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，AC∩CC 1=C 所以BC ⊥平面ACC 1A 1……3分C 1D ⊂平面ACC 1A 1 所以BC ⊥C 1D ……4分 A 1C 1=A 1D=AD=AC 所以411π=∠=∠ADC DC A ……5分所以21π=∠DC C ，C 1D ⊥DC ……6分 因为B D∩C D=C 所以C 1D ⊥平面BDC ……7分()2解：三棱锥C-BC 1D 即三棱锥C 1-BCD 由()1知BC ⊥CD ……8分所以△BCD 的面积22221a CD BC S =⨯⨯=……10分 由()1知，C 1D 是三棱锥C 1-BCD 底面BDC 上的高其体积D C S Sh V 13131⨯⨯==……12分 323122231a a a =⨯⨯=……14分19、()1证明：221(1)4n a =+即21(1)4n n S a =+…………1分当1n =时，2111(1)4a a =+，∴11a = …………2分当2n ≥时，2111(1)4n n S a --=+∴221111(22)4n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-即11()(2)0n n n n a a a a --+--= …………4分 ∵0n a > ∴ 12n n a a --=∴数列{}n a 是等差数列 …………5分()2解：由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+ …………6分∴数列{3}n b +是以2为公比的等比数列 …………7分 ∴ 111113(3)2(3)22n n n n b b a --++=+=+=∴ 123n n b +=- …………8分()312132n n n n a n c b +-==+ …………9分 ∴2341135212222n n n T +-=++++ ①…………10分 两边同乘以12得345211352122222n n n T +-=++++ ②…………11分①-②得234512112222212222222n n n n T ++-=+++++-…………12分23411111111212222222n n n n T -+-=++++++-1111121323(1)22222n n n n n -++-+=+--=-…………14分 20、()1解：由e =c a =2234c a =22234a b a -∴=224a b ∴=①………………………2分 又2221c b =+即22221a b b -=+②联立①②解得：224,1a b ==∴椭圆1C 的方程为：2214x y +=……………………3分()2解：与椭圆1C 相切于第一象限内的一点，∴直线的斜率必存在且为负设直线的方程为：y kx m =+(0)k <联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理可得： 22212104k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭③，………………4分根据题意可得方程③只有一实根，()222124()(1)04km k m ∆∴=-+-=整理可得：2241m k =+④………………6分直线与两坐标轴的交点分别为(),0,0,m m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭且0k <………………7分∴与坐标轴围成的三角形的面积212m S k =⋅-⑤，………………8分 ④代入⑤可得：()1222S k k =-+≥-（当且仅当12k =-时取等号）…………9分 ()3证明：由()1得(2,0),(2,0)A B -，设000(,)(,0)D x y E x ∴，AB BC ⊥，∴可设1(2,)C y ，∴001(2,),(2,)AD x y OC y =+= 由//AD OC 可得：010(2)2x y y +=即01022y y x =+…………11分 ∴直线AC 的方程为：002242y x y x +=+整理得：()0022(2)y y x x =++点P 在DE 上，令0x x =代入直线AC 的方程可得：02y y =，…………13分 即点P 的坐标为00,2y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴P 为DE 的中点∴PD PE =…………14分21、解：()1由题意知.43)(',42)(223x x x f x x x f +-=-+-=令.340,0)('或得==x x f …………2分当x 在[-1，1]上变化时，)(),('x f x f 随x 的变化情况如下表：)(],1,1[m f m -∈∴对于的最小值为,4)0(-=f …………4分 x x x f 43)('2+-= 的对称轴为32=x ，且抛物线开口向下, )('],1,1[n f n -∈∴对于的最小值为.7)1('-=-f …………5分)(')(n f m f +∴的最小值为-11.…………6分()2)32(3)('a x x x f --= ①若0)(',0,0<>≤x f x a 时当,[)+∞∴,0)(在x f 上单调递减， 又.4)(,0,4)0(-<>-=x f x f 时则当.0)(,0,000>>≤∴x f x a 使不存在时当 …………9分 ②若,0)(',320,0><<>x f a x a 时则当当.0)(',32<>x f a x 时 从而⎥⎦⎤ ⎝⎛32,0)(在x f 上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32a 上单调递减，494278)32()(),0(33max-+-==+∞∈∴a a a f x f x 时，当…………12分 根据题意，.3,27,0427433>>>-a a a 解得即综上，a 的取值范围是).,3(+∞ …………14分(或由02004,0)(,0x x a x f x +>>>得,用两种方法可解)。

汕头市2015届高三教学质量监控测评文科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共5小题, 考生作答４小题，每小题5分,共20分. 11. 24 12.3 13. 8 14.225 15. 34三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.解：【答案】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d .由题意知⎩⎨⎧=+++=+12323111d a d a d a ……2分（每式1分） 解得,2,11==d a …… 4分（每式1分） ∴12-=n a n (n N *∈) ……6分 (2)由题意知, n a n n b 2122==+ (n N *∈), …… 7分n n T 26422222++++=41)41(4--=n …… 10分)14(34-=n…… 12分 17.解(1)当x =6时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习次数是:6,7,8,11, …… 1分 所以平均数为8411876_=+++=x …… 2分方差为27])811()88()87()86[(4122222=-+-+-+-=s …… 5分 （列式2分，答案1分）(2)甲组中学习次数大于7的同学有3名，记为A 1,A 2,A 3,他们去图书馆学习次数 依次为9,11,12;乙组中学习次数大于7的同学有2名，记为B 1,B 2,他们去图书馆学习次数依次 为8,11; …… 6分从学习次数大于7的学生中选两名学生,所有可能的结果有10个,它们是:A 1A 2,A 1A 3,A 1B 1,A 1B 2,A 2A 3,A 2B 1,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2,B 1B 2 ……8分 用事件C 表示:“选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20”这一事件,则C 中的结果有4个,它们是:A 1B 2,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2, …… 10分故根据古典概型，选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率为52104)(==C P …… 12分 18. 解：（1）)21,1()32cos ,1(-==→πa ，…… 1分25)21(1||22=-+=→a …… 2分（2）)32sin(22cos 32sin )(π-=-=x x x x f …… 3分)sin(2]3)322(2sin[2)322(παππαπα+=-+=+f ……4分 56sin 2=-=α 53sin -=∴α，…… 5分因此，)22sin(2]3)125(2sin[2)125(παππαπα+=-+=+f ……6分 α2cos 2=……７分 )sin 21(22α-=…… 8分2514])53(21[22=-⨯-=…… 9分（3） ]2,0[π∈x ∴]32,3[32πππ-∈-x …… 10分 ∴ ]1,23[)32sin(-∈-πx …… 12分 ∴]2,3[)(-∈x f ，…… 13分即)(x f 的值域是]2,3[-．…… 14分 19． 解：（1）因为四边形ABEF 为矩形，所以⊂BE BE AF ,//平面BCE ，⊄AF 平面BCE ， 所以//AF 平面BCE ．…… 3分（２）过C 作AB CM ⊥，垂足为M ， 因为,DC AD ⊥所以四边形ADCM 为矩形．所以2==MB AM ，又因为4,2==AB AD 所以22=AC ，2=CM ，22=BC所以222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥；…… 5分因为AF ⊥平面ABCD ，,//BE AF 所以BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，……7分EC又因为⊂BE 平面BCE ，⊂BC 平面BCE ，B BC BE =⋂ 所以⊥AC 平面BCE ． ……9分（３）因为AF ⊥平面ABCD ，所以CM AF ⊥，…… 10分又因为AB CM ⊥，⊂AF 平面ABEF ，⊂AB 平面ABEF ，A AB AF =⋂ 所以⊥CM 平面ABEF ．…… 12分824261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--CM EF BE CM S V V BEF BEF C BCF E …13分 3824261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=∆CM EF BE CM S BEF F…14分 20.解:（1）∵函数321()3g x x ax =+的导函数为2()2f x x ax =+，……1分由于在1x =处的切线平行于20x y -=， ∴122a += 解出：12a =…… 2分 即x x x f +=2)(…… 3分（2）)(212n n n a a S +=)(21,112111a a S a n +===，得11=a 或01=a （舍去）…… 4分,2≥n )(211211---+=n n n a a S)]()[(2112121----+-=-n n n n n n a a a a S S ，…… 5分即有)()(21212---+-=n n n n n a a a a a0)1)((11=--+--n n n n a a a a …… 6分 因为0>n a ，故11=--n n a a …… 7分所以数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列， n n a n =-+=)1(1 ……8分 (3) ∵)1(1+=+n n n b b b∴n n n n n b b b b b +-=+=+111)1(111，…… 9分 即有11111+-=+n n n b b b …10分 ∴,1111211b b b -=+,1111322b b b -=+,1111433b b b -=+．．．，,11111+-=+n n n b b b ∴113221211211...111111...1111++-=-++-+-=++++++=n n n n n b b b b b b b b b b T …11分 2<…… 12分而当2n ≥时, 2121111111...1111b b b b b T n n+++≥++++++=…13分121267432>=+=∴211...1111121<++++++<nb b b …14分21.解：（1）当0a =时，()()22121212ln ,(0).x f x x f x x x x x x-'=+=-=>……2分 （求导1分、标出定义域1分） 由()221x f x x -'=>,解得12x >. ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是增函数. ……………………… 3分 ∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极大值.………… 4分 （2）()()()()2222221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--'=-+==>. …6分①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；………7分②当2a =-时，()f x 在()0,+∞上是减函数；………………………8分 ③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.9分（3）当32a -<<-时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是减函数，…10分 ∴()()()()()1221342ln 33f x f x f f a a -≤-=-+-. ……………… 11分 由()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立， ∴()()()12maxln 32ln 3m a f x f x +->- ………………… 12分即()()2ln 32ln 342ln 33m a a a +->-+-对任意32a -<<-恒成立， 即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立， …………… 13分 由于当32a -<<-时，132384339a -<-+<-，∴133m ≤-. …………… 14分。

高三文科数学综合练习卷（2）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}U 2,1,0,1,2=--，{}1,2A =，{}2,1,2B =--，则()UAB =ð（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2D ．{}1 2、已知i 为虚数单位，复数()2z i i =-的模z =（ ）A ．1 BCD ．3 3、下列函数中，既是奇函数又在()0,+∞单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．x y e = C ．1y x -= D ．ln y x = 4、如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 5、在“某中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是（ ） A ．5和1.6 B ．85和1.6 C ．85和0.4 D ．5和0.46、在C ∆AB 中，若60∠A =，45∠B =，C B =C A =（ ） ABC． D．7、已知向量()1,a x =，(),3b x =，若//a b ，则a =（ ）A ．1 BC ．4D ．2 8、已知x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =-的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 9、设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若αβ⊥，//l α，则lβ⊥C ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ 10、下列命题中是假命题的个数是（ ） ①α∃，R β∈，使()cos cos sin αβαβ+=+ ②0a ∀>，函数()2ln ln f x x x a =+-有零点③若a ，b 是两个非零向量，则“a b a b +=-”是“a b ⊥”的充要条件 ④若函数()21x f x =-，则1x ∃，[]20,1x ∈且12x x <，使得()()12f x f x >A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题）11、函数()2lg 23y x x =+-的定义域是 ．（结果用区间表示）12、如图，已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，过抛物线的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，F 3A =，则p = ；直线AB 的斜率等于 ．13、已知各项不为零的等差数列{}n a 满足23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则59b b = ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知直线l 的方程为()c o s s i n 1ρθθ+=，点Q 的坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点Q 到l 的距离d 是 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形CD AB 中，:1:2AE EB =，F ∆AE 的面积为12cm ，则平行四边形CD AB 的面积是 2cm ．三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()cos f x x x =+（R x ∈）．()1求56f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；()2求()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 的值．17、（本小题满分12分）2014年春节期间，高速公路车辆剧增．高速公路管理测控中心在一特定位置从七座以下小型汽车中按先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆进行电子测速调查，将它们的车速（km /h ）分成六段[)80,85，[)85,90，[)90,95，[)95,100，[)100,105，[)105,110后得到如图的频率分布直方图．()1测控中心在采样中，用到的是什么抽样方法？并估计这40辆车车速的平均数；()2从车速在[)85,90的车辆80,90的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[)数的概率．参考数据：⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.0219.4高三文科数学综合练习卷（2）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B B C D C D B 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、()(),31,-∞-+∞ 12、4- 13、16（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）1415、24三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、解：()1 ()x x x f cos sin 3+= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 2πx …………………2分6sin26sin 267sin 2365sin 265πππππππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴f …………………4分1-= ………………………………………………………6分()222ππ≤≤-x6536πππ≤+≤-∴x …………………7分 13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当23ππ=+x 时，即6π=x 时，()2max =x f …………………10分 而当63ππ-=+x 时，即2π-=x 时，()1min -=x f …………………12分17、解：()1根据“某段高速公路的车速（km /h ）分成六段”，符合系统抽样的原理，故此调查公司在采样中，用到的是系统抽样方法．（注意每间隔50辆就抽取一辆这一条件）…………………3分 平均数的估计值为：(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯19.4597=⨯=…………………6分()2从图中可知，车速在[80,85)的车辆数为10.015402m =⨯⨯=（辆），分别记为12,B B ；车速在[85,90)车辆数为20.025404m =⨯⨯=（辆），分别记为1234,,,A A A A ，从这6辆车中随机抽取两辆共有15种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，2324(,),(,)A A A A ，2122(,),(,)A B A B ，3431(,),(,)A A A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B …………………9分抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数1213(,),(,),A A A A 14(,),A A 2324(,),(,)A A A A34(,)A A 共6种，…………………11分 故所求的概率62()155P A ==…………………12分。

广东省汕头市澄海凤翔中学2014－2015学年度高三第一学期第二次阶段考试文科数学试题参考公式：锥体的体积公式1V 3Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式1221ˆni ii nii x y n x yb xn x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，ˆˆay bx =-． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1、设集合{}U 1,2,3,4=，{}1,2A =，{}2,4B =，则()U A B =ð（ ） A ．{}1,4 B ．{}1,3,4 C ．{}2 D ．{}32、复数2534i-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、已知向量()1,2a =-，(),1b m =-，且//a b ，则实数m 的值是（ ）A ．2- B ．12- C ．12D ．2 4、已知实数x ，y 满足01y x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．3- B ．2- C ．1- D ．0 5、已知函数()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则12f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦是（ ）AB．2C ．12D ．12-6、设a ，R b ∈，则“()20a b a ->”是“a b >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件7、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//m n ，//m α，则//n αB ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥C ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αD ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥8、执行如图所示的程序框图，输出的S =（ ） A ．2013 B ．2014 C ．1 D ．29、已知双曲线221x y m n-=（0m >，0n >）的离心率为2，有一个焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则mn 的值是（ ）A ．4B ．12C ．16D ．4810、在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0k =，1，2，3，4．给出如下三个结论： ①[]20133∈；②[]22-∈；③[][][][][]01234Z =．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题）11、在C ∆AB 中，若3b =，1c =，1cos 3A =，则a = ．12、一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的概率是 ．13、若两个正实数x ，y 满足211x y+=，则2x y +的最小值是 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点23,3π⎛⎫⎪⎝⎭到直线cos 1ρθ=的距离是 ．15、（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，PB 、DP 是圆O 的切线，切点为B 、C ，CD 30∠A =，则CCP =A ． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16、（本小题满分12分）已知函数()22sin cos 2cos 1f x x x x =+-，R x ∈．()1求函数()f x 的最大值；。

2015年广东省汕头市澄海凤翔中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}则m＝（）A．0B．3C．4D．3或43．（5分）已知向量＝（1，﹣cosθ），＝（1，2cosθ），且⊥，则cos2θ等于（）A．﹣1B．0C．D．4．（5分）经过圆x2﹣2x+y2＝0的圆心且与直线x+2y＝0平行的直线方程是（）A．x+2y﹣1＝0B．x﹣2y﹣2＝0C．x﹣2y+1＝0D．x+2y+2＝05．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．66．（5分）在△ABC中，∠A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为（）A．1B．C．2D．37．（5分）已知一个几何体的三视图及其大小如图，这个几何体的体积V＝（）A．12πB．16πC．18πD．64π8．（5分）函数f（x）＝|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0B．1C．2D．39．（5分）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7则下列判断正确的是（）A．甲射击的平均成绩比乙好B．乙射击的平均成绩比甲好C．甲比乙的射击成绩稳定D．乙比甲的射击成绩稳定10．（5分）设向量，定义一运算：⊗（b1，b2）＝（a1b1，a2b2）．已知，点Q在y ＝f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y＝f（x）的最大值及最小正周期分别是（）A．B．C．2，πD．2，4π二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知函数f（x）＝，则f（0）＝．12．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1＝1，前三项之和S3＝9，则{a n}的通项a n＝．13．（5分）如图，是一程序框图，则输出结果为K＝，S＝（说明，M＝N是赋值语句，也可以写成M←N，或M：＝N）二、选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图所示，⊙O的割线P AB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心O，已知P A＝6，AB＝，PO＝12，则⊙O的半径是．【坐标系与参数方程选做题】15．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，直线被圆ρ＝2sinθ截得的弦的长是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象过点（，1）．（1）求φ的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2﹣c2＝ab，，求sin B．17．（12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）．＝120g/km．经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为乙（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？（2）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，D、E、F分别是PC、AC、BC的中点．（1）证明：平面DEF∥平面P AB；（2）证明：AB⊥PC；（3）若AB＝2PC＝，求三棱锥P﹣ABC的体积．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线x+y﹣2＝0上，n∈N*．（1）证明数列{a n}为等比数列，并求出其通项；（2）设f（n）＝log a n，记b n＝a n+1•f（n+1），求数列{b n}的前n项和T n．20．（14分）已知点A（2，1）在抛物线E：x2＝ay上，直线l1：y＝kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y＝﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|＝2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．2015年广东省汕头市澄海凤翔中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．【解答】解：＝．故选：A．2．（5分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}则m＝（）A．0B．3C．4D．3或4【解答】解：∵A＝{1，2，m}，B＝{3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，∴m＝3或m＝4，故选：D．3．（5分）已知向量＝（1，﹣cosθ），＝（1，2cosθ），且⊥，则cos2θ等于（）A．﹣1B．0C．D．【解答】解：由向量数量积的性质可知，＝1﹣2cos2θ＝0即﹣cos2θ＝0∴cos2θ＝0故选：B．4．（5分）经过圆x2﹣2x+y2＝0的圆心且与直线x+2y＝0平行的直线方程是（）A．x+2y﹣1＝0B．x﹣2y﹣2＝0C．x﹣2y+1＝0D．x+2y+2＝0【解答】解：因为圆x2﹣2x+y2＝0的圆心为（1，0），与直线x+2y＝0平行的直线的斜率为：﹣．所以经过圆x2﹣2x+y2＝0的圆心且与直线x+2y＝0平行的直线方程是：y＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣1＝0．故选：A．5．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．C．5D．6【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）设z＝F（x，y）＝2x﹣y，将直线l：z＝2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值＝F（2，﹣1）＝5∴z最大值故选：C．6．（5分）在△ABC中，∠A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为（）A．1B．C．2D．3＝＝＝，解得b＝1．【解答】解：由S△ABC∴AC＝b＝1．故选：A．7．（5分）已知一个几何体的三视图及其大小如图，这个几何体的体积V＝（）A．12πB．16πC．18πD．64π【解答】解：由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是圆柱，上面是圆锥的简单几何体．圆柱底面直径为4，高为3，圆锥高为3，体积为：V＝S•h+S•h＝•π•22•3+π•22•3＝16πcm3．故选：B．8．（5分）函数f（x）＝|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx＝0的根．令y1＝|x﹣2|，y2＝lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选：C．9．（5分）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7则下列判断正确的是（）A．甲射击的平均成绩比乙好B．乙射击的平均成绩比甲好C．甲比乙的射击成绩稳定D．乙比甲的射击成绩稳定＝（7+8+…+4）＝7，【解答】解：∵x甲x乙＝（9+5+…+7）＝7．2＝[（7﹣7）2+…+（4﹣7）2]＝4，∴s甲s乙2＝[（9﹣7）2+…+（7﹣7）2]＝1.2．∴甲乙射击的平均成绩一样，乙比甲的射击成绩稳定．故选：D．10．（5分）设向量，定义一运算：⊗（b1，b2）＝（a1b1，a2b2）．已知，点Q在y ＝f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y＝f（x）的最大值及最小正周期分别是（）A．B．C．2，πD．2，4π【解答】解：由题意可得＝（，2sin x 1），故点Q的坐标为（，2sin x1），由点Q在y＝f（x）的图象上运动可得，消掉x1可得y＝2sin2x，即y＝f（x）＝2sin2x故可知最大值及最小正周期分别是2，π，故选：C．二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知函数f（x）＝，则f（0）＝1．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（0）＝30＝1故答案为：112．（5分）已知等差数列{a n}的首项a1＝1，前三项之和S3＝9，则{a n}的通项a n＝2n﹣1．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S3＝a1+（a1+d）+（a1+2d）＝9，即3a1+3d＝9，所以a1+d＝3，因为a1＝1，所以1+d＝3，则d＝2．所以，a n＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．故答案为2n﹣1．13．（5分）如图，是一程序框图，则输出结果为K＝11，S＝（说明，M＝N是赋值语句，也可以写成M←N，或M：＝N）【解答】解：根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S＝0+，K＝3第2次循环：S＝+，K＝5第3次循环：S＝++，K＝7第4次循环：S＝++…+，K＝9第5次循环：S＝++…++，K＝11此时，K＞10输出K＝11，S＝++…++＝．故答案为：11，．二、选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图所示，⊙O的割线P AB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心O，已知P A＝6，AB＝，PO＝12，则⊙O的半径是8．【解答】解：已知：⊙O的割线P AB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心O，根据割线定理：P A•PB＝PC•PD设⊙O的半径为R，把P A＝6，AB＝，PO＝12，代入割线定理得：6（6+）＝（12﹣R）（12+R）求得：R＝8故答案为：8【坐标系与参数方程选做题】15．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，直线被圆ρ＝2sinθ截得的弦的长是．【解答】解：直线即y＝x，圆ρ＝2sinθ化为直角坐标方程为x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线的距离d＝＝，故弦长为2＝，故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象过点（，1）．（1）求φ的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2﹣c2＝ab，，求sin B．【解答】解：（1）由得：，∵0＜φ＜π，∴，故，∴；（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴，∵0＜C＜π，∴，由（1）知：，∴，∵0＜A＜π∴，∵∴．17．（12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）．＝120g/km．经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为乙（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？（2）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．【解答】解：（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）．设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）∴．答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7；（2）由题可知，，∴，解得x＝120．又，∴，∴，∵，∴乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，D、E、F分别是PC、AC、BC的中点．（1）证明：平面DEF∥平面P AB；（2）证明：AB⊥PC；（3）若AB＝2PC＝，求三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF∥AB．∵AB⊂平面P AB，EF⊄平面P AB，∴EF∥平面P AB，同理DF∥平面P AB．∵EF∩DF＝F且EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，∴平面DEF∥平面P AB．（2）证明：取AB的中点G，连结PG、CG，∵△P AB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴PG⊥AB，CG⊥AB，∵PG∩CG＝G，且PG⊂平面PCG，CG⊂平面PCG，∴AB⊥平面PCG．∵PC⊂平面PCG，∴AB⊥PC；（3）解：在等腰直角三角形P AB中，，G是斜边AB的中点，∴，同理．∵，∴△PCG是等边三角形，∴．∵AB⊥平面PCG，∴．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线x+y﹣2＝0上，n∈N*．（1）证明数列{a n}为等比数列，并求出其通项；（2）设f（n）＝log a n，记b n＝a n+1•f（n+1），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】证明：（1）∵点（a n，S n）在直线x+y﹣2＝0上，n∈N*．∴a n+S n﹣2＝0，当n＝1时，2a1﹣2＝0，解得a1＝1．当n≥2时，a n+S n﹣2＝0，a n﹣1+S n﹣1﹣2＝0，+a n＝0，∴＝．∴a n﹣a n﹣1∴数列{a n}为等比数列，首项为1，公比为．∴a n＝＝．（2）解：f（n）＝log a n＝n﹣1．∴b n＝a n+1•f（n+1）＝＝，∴数列{b n}的前n项和T n＝+…+，＝++…++，两式相减可得：＝+…+﹣＝﹣＝，∴T n＝．20．（14分）已知点A（2，1）在抛物线E：x2＝ay上，直线l1：y＝kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y＝﹣1于点S，T．（1）求a的值；（2）若|ST|＝2，求直线l1的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．【解答】解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x2＝ay上，∴a＝4．…（1分）（2）由（1）得抛物线E的方程为x2＝4y．设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意，，y＝kx+1代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4＝0，解得．∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．…（2分）直线AB的斜率，故直线AB的方程为．…（3分）令y＝﹣1，得，∴点S的坐标为．…（4分）同理可得点T的坐标为．…（5分）∴＝．…（6分）∵，∴．由，得20k2＝16k2+16，解得k＝2，或k＝﹣2，…（7分）∴直线l1的方程为y＝2x+1，或y＝﹣2x+1．…（9分）（3）设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1），则＝．…（10分）而|ST|2＝，…（11分）∴以线段ST为直径的圆的方程为＝．展开得．…（12分）令x＝0，得（y+1）2＝4，解得y＝1或y＝﹣3．…（13分）∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分）21．（14分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．【解答】解：（1）依题意得g（x）＝lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）＝1+2a+b ＝0，∴b＝﹣2a﹣1．（2）由（1）得＝．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a＝0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）＝0得x＝1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a＝0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证，令（t＞1），即证（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）＝0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1），即．证法二：依题意得，令h（x）＝lnx﹣kx，则，由h'（x）＝0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）＝h（x2），∴，即．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减，∴当x2＞x1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h（x）＝x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）＝0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）＝x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）＝0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．。

高三文科数学综合练习卷（3）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,4,5N =，则N M =ð（ ）A ．{}2,3,4B ．{}0,2,3,4,5C ．{}0,5D ．{}3,5 2、为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔是（ ）A ．9 B ．8 C ．10 D ．7 3、在正项等比数列{}n a 中，有154a a =，则3a 的值是（ ）A ．2±B ．2-C ．2D ．44、已知复数z 满足()12i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 5、下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A ．x y e -=B ．y x =C ．ln y x =D ．1y x=-6、如图为某几何体的三视图，则其体积是（ ）A ．2B ．4C ．43 D ．237、设a ，R b ∈，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8、对任意的[]2,1x ∈-时，不等式220x x a +-≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],3-∞C ．[)0,+∞D ．[)3,+∞9、若将一个质点随机投入如图所示的长方形CD AB 中，其中2AB =，C 1B =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6πD ．8π 10、设点()0,1x M ，若在圆:O 221x y +=上存在点N ，使得30∠OMN =，则0x 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,2- D．33⎡-⎢⎣⎦二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题）11、不等式组280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域的面积是 ．12、在C ∆AB 中，1a =，2b =，1cos C 2=，则c = ． 13、若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线10x y -+=，则点P 的坐标是 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）的普通方程是 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图，已知AB ，C B 是圆O 的两 条弦，C AO ⊥B，AB，C B =O 的半径等于 ．三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=A + ⎪⎝⎭，R x ∈，且512f π⎛⎫=⎪⎝⎭． ()1求A 的值；()2若角θ的终边与单位圆交于点34,55⎛⎫P ⎪⎝⎭，求512f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17、（本小题满分12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的4次预赛成绩记录如下：甲82847995乙95758090()1从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；()2①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差；②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？高三文科数学综合练习卷（3）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CACDBDBDBA二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题）11、11 1213、()1,0（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、340x y --= 15、32三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、解：()1553sin sin 121234f ππππ⎛⎫⎛⎫=A +=A =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴32A ==……………4分 ()2由题意可知4sin 5θ=，3cos 5θ=由()1得：()3sin()3f x x π=+……6分553()3sin()3sin()121234f ππππθθθ∴-=-+=-333sin cos 3cos sin 44ππθθ=-…………………………………………………10分=……………………………………………………………………………12分 17、解：()1记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到成绩为y ，用数对(),x y 表示基本事件：()()()()()()()()()()()()()()()()82,95,82,75,82,80,82,90,84,95,84,75,84,80,84,90,79,95,79,75,79,80,79,90,95,95,95,75,95,80,95,90,基本事件总数16n = ……………………3分 记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A 包含的基本事件： ()()()()()()()()82,75,82,80,84,75,84,80,79,75,95,75,95,80,95,90,……………………4分事件A 包含的基本事件数8m =，所以()81162m P A n === ……………………5分所以甲的成绩比乙高的概率为12………………6分 ()2①182847995854x -=+++=甲（），1(95758090)854x -=+++=乙………………7分222221[(7985)(8285)(8485)(9585)]36.54S =-+-+-+-=甲 ………………9分222221[(7585)(8085)(9085)(9585)]62.54S =-+-+-+-=乙 ……………11分②22,x x s s --=<乙甲乙甲∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适…………12分。

广东省汕头市澄海凤翔中学2015高考模拟考试（一）数学文试卷注意：本卷满分150分，考试时间120分钟. 答案应填（涂）在答题卷相应的位置上，否则无效. 考试结束后，试卷自己带回保存，只交答题卷. 参考公式：1. 锥体的体积公式1V 3Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 2. 球的体积公式34V R 3π=，其中R 为球的半径.一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. ） 1. 设为虚数单位，则复数34ii +=（ ） A. 43i --B. 43i -+C. 43i +D. 43i -2. 设集合{}U 1,2,3,4,5,6=，{}1,3,5M =，则U M =ð（ ） A. {}2,4,6B. {}1,3,5C. {}1,2,4D. U3. 若向量()1,2AB =，()C 3,4B =，则C A =（ ） A. ()4,6B. ()4,6--C. ()2,2--D. ()2,24. 下列函数为偶函数的是（ ） A. sin y x =B. 3y x =C. x y e =D. ln y =5. 已知变量x ，y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A. 3B. 1C. 5-D. 6-6. 在C ∆AB 中，若60∠A =，45∠B =，C B =，则C A =（ ）A. B.7. 某几何体得三视图如图所示，它的体积为（ ）A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π8. 在平面直角坐标系x y O 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于（ ）A. B.D. 19. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为（ ） A. 105 B. 16 C. 15D. 110. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2nn ⎧⎫∈Z ⎨⎬⎩⎭中，则a b =（ ）A. 52B. 32C. 1D. 12二. 填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. ） （一）必做题（11～13题）11. 函数y =的定义域为 . 12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = .13. 由正整数组成的一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于，则这组数据为 . （从小到大排列） （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 .15. （几何证明选讲选做题）如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦C A 上的点，D ∠PBA =∠BA . 若D m A =，C n A =，则AB = . 三. 解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明. 演算步骤或推理过程. ）16. （本小题满分12分）已知函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，R x ∈.()1求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； ()2设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，29325f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，53621213f βπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值.17. （本小题满分12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：()1由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？()2若全小区节能意识强的人共有350人，则估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？()3按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再在这5人中任取2人，求恰有人年龄在20至50岁的概率.18. （本小题满分14分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 是矩形，PA ⊥平面CD AB ，D 1PA =A =，AB =，点F 是D P 的中点，点E 是边DC 上的任意一点.()1当点E 为DC 边的中点时，证明：F//E 平面C PA ； ()2证明：无论点E 在DC 边的何处，都有F F A ⊥E ； ()3求三棱锥F B -A E 的体积.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，121n n a S +=+，n *∈N .()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设31log n n b a +=，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：914n≤T <.20. （本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点12⎫P ⎪⎪⎭，离心率为，动点()2,t M （0t >）. ()1求椭圆的标准方程；()2求以OM（O 为坐标原点）为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程； ()3设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值.21. （本小题满分14分）已知函数()321232a f x x x x =-+-（R a ∈）.()1当3a =时，求函数()f x 的单调区间；()2若对于任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a '<-成立，求实数a 的取值范围；()3若过点10,3⎛⎫-⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围.参考答案一. 选择题（一）必做题11. [)()1,00,-+∞ 12. 1413. 1，1，3，3 （二）选做题14. ()2,1 三. 解答题：16. 解：()133sin 23sin 3cos 4432332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………3分 ()2()2293sin 23sin 3sin 323235f παπαππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴3sin 5α=………………………………5分55363sin 23sin 3cos 2122123213f βπβπππββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴12cos 13β=-………………………………7分 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭………………………………8分∴4cos 5α===，5sin 13β===………………10分 ∴()4123563cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭…………………12分 17. 解：()1因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，549与4636相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关……3分 ()2年龄大于50岁的有2803504536=⨯（人）……6分（列式2分，结果1分）()3抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的有95145⨯=人…………7分 年龄大于50岁的有4人………………8分记这5人分别为1234,,,,A B B B B ，从这5人中任取2人，有10种，分别是{}1,A B ，{}{}{}{}{}{}{}{}{}234121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B B B B B B B B B B B B B ………10分设A 表示事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20岁至50岁”，则A 中的基本事件有{}{}{}{}1234,,,,,,,A B A B A B A B 共4种…………………11分 故所求概率为42()105P A ==……………………12分 18. ()1证明：E 、F 分别为、PD 的中点∴//EF PC …………………1分EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC∴//EF 平面PAC (3)分()2证明：PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD∴PA CD ⊥…………………4分ABCD 是矩形∴CD AD ⊥ (5)分ADAP A =，D A ⊂平面D PA ，PA ⊂平面D PA∴CD ⊥平面PAD …………………6分又AF ⊂平面PAD∴AF CD ⊥ (7)分又PA AD =，点F 是PD 中点∴AF PD⊥…………………8分CD PD D=，CD⊂平面CDP，DP⊂平面CDP∴AF⊥平面PCD…………………9分EF⊂平面PCD∴AF EF⊥…………………10分()3解：作//FG PA交AD于G，则FG⊥平面ABCD，且12FG=………………11分又ABES =…………………12分∴13B AEF F AEB ABEV V S FG--===∴三棱锥B AFE-14分19. ()1解：由题意得112121(2)n n n na S a S n+-=+=+≥，…………………………1分两式相减得1112)23(2)n n n n n n na a S S a a a n+-+-=-=⇒=≥（…………………2分所以当2n≥时，{}n a是以3为公比的等比数列因为21121213a S a=+=+=，213aa=所以，13nnaa+=，对任意正整数成立∴{}na是首项为，公比为3的等比数列…………………………………5分∴13nna-=…………………………………6分()2证明：由()1知13nna-=，313log log3nn nb a n+===111()33nnnnb nna--==⋅……………………………………………………………………7分2311111123()4()()3333nnT n-=+⨯+⨯+⨯++⨯①23111111112()3()(1)()()333333n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯②①-②得2312111111()()()()333333n n n T n -=+++++-⨯………………………9分 11()13()1313nn n -=-⨯-………………………………………………………10分 所以9931()()4423n n T n =-+……………………………………………………11分 因为931()()0423n n +>，所以99319()()44234n n T n =-+<………………………12分 又因为1103n n n n T T ++-=>，所以数列{}n T 单调递增，所以min 1()1n T T == 所以914n T≤<……………………………………………………14分 20. 解：（1）由题意得ca=① 因为椭圆经过点1,)2P 221()21b+=② 又222a b c =+③由①②③解得22a =，221b c ==…………………………………………………3分所以椭圆的方程为2212x y +=…………………………………………………4分()2以OM 为直径的圆的圆心为(1,)2t，半径r =故圆的方程为222(1)()124t t x y -+-=+ (5)分因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2所以圆心到直线3450x y --=的距离2td ===………………7分所以|325|52t t--=，即2|22|5t t += 故445t t +=，或445t t +=- 解得4t =，或49t =- 又0t >，故4t =所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=………………………………………9分()3方法一：过点F 作OM 的垂线，垂足设为K直线OM 的方程为2ty x =，直线FN 的方程为2(1)y x t=--由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得244x t =+，故2242(,)44t K t t ++…………………………11分∴||OK ==||OM =12分又2||||||2ON OK OM =⋅==||ON ∴=所以线段ON…………………………………………………14分 方法二：设00(,)N x y ，则00(1,)FN x y =-，(2,)OM t =00(2,)MN x y t =--，00(,)ON x y =FN OM ⊥∴002(1)0x ty -+=∴0022x ty +=…………………………………………………11分又MN ON ⊥∴0000(2)()0x x y y t -+-=∴22000022x y x ty +=+=∴2||ON x ==14分 21. 解：()1当3a =时，()3213232f x x x x =-+-，得()2'32f x x x =-+-…1分 因为()()()2'3212f x x x x x =-+-=---所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为()1,2，单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞………4分 ()2方法1：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+- 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立即对于任意[)1,x ∈+∞都有222(1)x ax a -+-<-成立即对于任意[)1,x ∈+∞都有220x ax a -+>成立，…………6分 令()22h x x ax a =-+，要使对任意[)1,x ∈+∞都有()0h x >成立必须满足0∆<或()0,1,210.a h ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎩………………………………………………8分 即280a a -<或280,1,210.a a a a ⎧-≥⎪⎪≤⎨⎪+>⎪⎩………………………………9分 所以实数a 的取值范围为()1,8-………………………10分 方法2：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+- 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立所以问题转化为，对于任意[)1,x ∈+∞都有[]max '()2(1)f x a <-………6分因为()22224a a f x x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭，其图象开口向下，对称轴为2a x = ①当12a <时，即2a <时，()'f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max ''13f x f a ==-，由()321a a -<-，得1a >-，此时12a -<<………7分 ②当12a ≥时，即2a ≥时，()'f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 所以()2max ''224a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 由()22214a a -<-，得08a <<，此时28a ≤<……8分 综上①②可得，实数a 的取值范围为()1,8-……………10分 ()3设点321,232a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象上的切点 则过点P 的切线的斜率为()2'2k f t t at ==-+-所以过点P 的切线方程为()()32212232a y t t t t at x t +-+=-+--………11分 因为点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭在切线上 所以()()32211220332a t t t t at t -+-+=-+--，即322110323t at -+=……………12分 若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线 则方程322110323t at -+=有三个不同的实数解……………13分令()32211323g t t at =-+，则函数()y g t =与轴有三个不同的交点 令()220g t t at '=-=，解得0t =或2a t =因为()103g =，3112243a g a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以必须31102243a g a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，即2a >所以实数a的取值范围为()2,+∞……………14分。

2015届广东省汕头市澄海凤翔中学高三理科高考模拟考试数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知1+b i2=2i b∈R，i是虚数单位），则b= ______A. 2B. 1C. ±1D. 1或22. 已知向量a=x,2，b=1,1，若 a+b⊥b，则x= ______A. 2B. 4C. −4D. −23. 已知等比数列a n的各项均为正数，且公比q≠1，若a2、12a3、a1成等差数列，则公比q= ______A. 1+32或1−32B. 1+32C. 1+52或1−52D. 1+524. 设p:x∈x y=lg x−1，q:x∈x 2−x<1，则p是q的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 抛物线8y−x2=0的焦点F到直线l:x−y−1=0的距离是______A. 522B. 2 C. 22D. 3226. 若f x是奇函数，且x0是y=f x+e x的一个零点，则−x0一定是下列哪个函数的零点______A. y=f−x e x−1B. y=f x e−x+1C. y=e x f x−1D. y=e x f x+17. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______A. πB. 2πC. 8π3D. 10π38. 由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量a i i=1,2,3,⋅⋅⋅,n,⋅⋅⋅，按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．a1a2a3a4a5a6a7a8a9⋯⋯⋯⋯⋯规则是：对于∀n∈N∗，第 n 行共有 2n −1 个向量，若第 n 行第 k 个向量为 a m ，则 a m = k ,n 0<k ≤n n ,2n −k n <k ≤2n −1 ，例如 a 1 = 1,1 ，a 2 = 1,2 ，a 3 = 2,2 ，a 4 = 2,1 ，⋅⋅⋅，依次类推，则 a 2015 = A. 44,11 B. 44,10C. 45,11D. 45,10二、填空题（共7小题；共35分） 9. 2lg5−lg 14= ______．10. 不等式 x +2 + x −1 ≤3 的解集是 ______．11. 某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均值为 10，方差为 2，则 x −y 的值为 ______．12. 展开 a +b +c 6，合并同类项后，含 ab 2c 3 项的系数是______．13. 已知实数 x ，y 满足条件 x −y +2≥0,3x −y −2≤0,x ≥0,y ≥0,，若目标函数 z =ax +by a >0,b >0 的最大值为6，则 ab 的最大值是 ______．14. 极坐标方程分别为 ρ=cos θ 与 ρ=sin θ 的两个圆的圆心距为______．15. 如图，从圆 O 外一点 P 作圆 O 的割线 PAB ，PCD ．AB 是圆 O 的直径，若 PA =4，PC =5，CD =3，则 ∠CBD = ______．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知函数 f x =Asin ωx +φ A >0,ω>0, φ <π2的部分图象如图所示．（1）求函数 f x 的解析式； （2）若 f θ2+π6 =1，θ∈ 0,π2 ，求 cos θ−π4 ．17. 某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是 0,100 ，样本数据分组为 0,20 ， 20,40 ， 40,60 ， 60,80 ， 80,100 ．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于60分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）现有6名上学路上时间小于40分钟的新生，其中2人上学路上时间小于20分钟．从这6人中任选2人，设这2人中上学路上时间小于20分钟人数为X，求X的分布列和数学期望．18. 如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+2，过A作AE⊥CD，垂足为E，F、G分别是CE、AD的中点．现将△ADE沿AE折起，使二面角D−AE−C的平面角为135∘．（1）求证：平面DCE⊥平面ABCE（2）求直线FG与平面DCE所成角的正弦值．19. 设等比数列a n的前n项和为S n，已知a n+1=2S n+2n∈N∗．（1）求数列a n的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求证：1 d1+1d2+⋅⋅⋅+1d n<1516n∈N∗．20. 如图所示，已知A，B，C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心O，AC⋅BC=0，BC=2AC．（1）求椭圆E的方程；（2）在椭圆E上是否存在点Q，使得QB2− QA2=2 ?若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由；（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作⊙O:x2+y2=43的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：13m2+1n2为定值．21. 已知函数f x=ln x+1a−ax，其中a∈R且a≠0．（1）讨论f x的单调性；（2）若不等式f x<ax恒成立，求实数a的取值范围；（3）若方程f x=0存在两个异号实根x1，x2，求证：x1+x2>0．答案第一部分 1. B 2. C 3. D 4. A 5. D6. C7. A8. C第二部分 9. 210. −2,1 11. 4 12. 60 13. 98 14. 22 15. 30∘ 第三部分16. （1） 由图象知 A =2． f x 的最小正周期 T =4×5π12−π6=π，故 ω=2πT=2．将点 π6,2 代入 f x 的解析式得 sin π3+φ =1，又 φ <π2， 所以 φ=π6，故函数 f x 的解析式为 f x =2sin 2x +π6 ．（2） f x =2sin 2x +π6．f θ2+π6 =2sin 2 θ2+π6 +π6 =2sin θ+π2 =2cos θ=1． 所以 cos θ=12，又 θ∈ 0,π2 ，所以 sin θ=32． 所以 cos θ−π4 =cos θcos π4+sin θsin π4= 6+ 24． 17. （1） 由直方图可得：20×x +0.0125×20+0.0065×20+0.003×2×20=1，所以 x =0.025． （2） 新生上学所需时间不少于 60 分钟的频率为：0.003×2×20=0.12． 因为 1000×0.12=120，所以 1000 名新生中有 120 名学生可以申请住宿． （3） X 的可能取值为 0，1，2． P X =0 =C 20⋅C 42C 62=25，P X =1 =C 21⋅C 41C 62=815，P X =2 =C 22⋅C 4C 62=115．所以 X 的分布列为：X12P25815115EX =25×0+815×1+115×2=23．18. （1） 因为 DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，DE ∩CE =E ， 所以 AE ⊥平面CDE ， 因为 AE ⊂平面ABCE ， 所以平面 DCE ⊥平面ABCE ． （2） 方法一：以 E 为原点，EA 、 EC 分别为 x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以 ∠DEC 是二面角 D −AE −C 的平面角，即 ∠DEC =135∘， 因为 AB =1，BC =2，CD =1+ 2，所以 A 2,0,0 ，B 2,1,0 ，C 0,1,0 ，E 0,0,0 ，D 0,−1,1 ， 因为 F 、 G 分别是 CE 、 AD 的中点， 所以 F 0,12,0 ，G 1,−12,12，所以 FG= 1,−1,12 ，AE = −2,0,0 ． 由（1）知 AE是平面 DCE 的法向量， 设直线 FG 与平面 DCE 所成角为 α 0≤α≤π2 ，则sin α= FG ⋅AEFG ⋅ AE = −232×2 =23.故求直线 FG 与平面 DCE 所成角的正弦值为 23． 方法二：作 GH ∥AE ，与 DE 相交于 H ，连接 FH ，AE ⊥平面CDE ，所以 GH ⊥平面CDE ，∠GFH 是直线 FG 与平面 DCE 所成角，G 是 AD 的中点，GH 是 △ADE 的中位线，GH =1，EH = 22． 因为 DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以 ∠DEC 是二面角 D −AE −C 的平面角，即 ∠DEC =135∘，在 △EFH 中，由余弦定理得，FH 2=EF 2+EH 2−2×EF ×EH ×cos ∠FEH =14+12−2×12× 22× −22=54.又 GH ⊥平面CDE ，所以 GH ⊥FH ，在 Rt △GFH 中，GF = GH 2+FH 2=32． 所以直线 FG 与平面 DCE 所成角的正弦值为 sin ∠GFH =GH GF=23．19. （1） 设等比数列 a n 的首项为 a 1，公比为 q ， 因为 a n +1=2S n +2，a n =2S n−1+2 n ≥2 ， 所以 a n +1−a n =2 S n −S n−1 =2a n ，即a n +1a n=3 n ≥2 ，当 n =1，得 a 2=2a 1+2，即 3a 1=2a 1+2， 解得 a 1=2，a n =a 1⋅q n−1，即 a n =2×3n−1． （2） a n +1=a n + n +1 d n ，则 d n =4×3n −1n +1，1d n=n +14×3n −1，因为1d 1+1d 2+⋯+1d n=14 23+33+43+⋯+n +13，设 T n =23+33+43+⋯+n +13①， 则 13T n =23+33+43+⋯+n +13②；①−②得：23T n=2+13+13+13+⋯+13−n +13=2+13 1− 13n −1 1−13−n +13n=2+12 1− 13n−1 −n +13.因为 T n =154−32 12⋅3n −1+n +13n<154．所以 1d 1+1d 2+⋯+1d n<14⋅154=1516．20. （1） 依题意知：椭圆的长半轴长 a =2，则 A 2,0 ， 设椭圆 E 的方程为x 24+y 2b =1，由椭圆的对称性知 OC = OB ，又因为 AC⋅BC =0， BC =2 AC ． 所以 AC ⊥BC ， OC = AC ，所以 △AOC 为等腰直角三角形， 所以点 C 的坐标为 1,1 ，点 B 的坐标为 −1,−1 ， 将 C 的坐标 1,1 代入椭圆方程得 b 2=43． 所以所求的椭圆 E 的方程为 x 24+3y 24=1．（2） 设在椭圆 E 上存在点 Q ，使得 QB 2− QA 2=2，设 Q x 0,y 0 ，则 QB 2− QA 2=x 0+1 2+ y 0+1 2− x 0−2 2−y 02=6x 0+2y 0−2=2，即 3x 0+y 0−2=0①，又因为点 Q 在椭圆 E 上，所以 x 02+3y 02−4=0②，由 ①式得 y 0=2−3x 0 代入 ②式并整理得：7x 02−9x 0+2=0③，因为方程③的根的判别式为 Δ=81−56=25>0，所以方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点 Q 存在且有两个． （3） 设点 P x 1,y 1 ，由 M 、 N 是 ⊙O 的切点知，OM ⊥MP ，ON ⊥NP ， 所以 O 、 M 、 P 、 N 四点在同一圆上， OP ，则圆心为 x 12,y 12 ，其方程为 x −x 122+ y −y 122=x 12+y 124．即 x 2+y 2−xx 1−yy 1=0④，即点 M 、 N 满足方程 ④，又点 M 、 N 都在 ⊙O 上， 所以 M 、 N 坐标也满足方程 ⊙O :x 2+y 2=43，⑤ ⑤−④得直线 MN 的方程为 xx 1+yy 1=43， 令 y =0 得 m =43x 1，令 x =0 得 n =43y 1，所以 x 1=43m，y 1=43n 又点 P 在椭圆 E 上，所以 43m 2+3 43n 2=4，即 13m 2+1n 2=34 为定值． 21. （1） f x 的定义域为 −1a,+∞ ，其导数 fʹ x =1x +1a−a =−a 2x ax +1，①当 a <0 时，fʹ x >0，函数在 −1a ,+∞ 上是增函数．②当 a >0 时，在区间 −1a ,0 上，fʹ x >0，在区间 0,+∞ 上，fʹ x <0．所以 f x 在 −1a ,0 是增函数，在 0,+∞ 是减函数．（2）当a<0时，则x取适当的数能使f x≥ax，比如取x=e−1a ，能使f e−1a=1−a e−1a =2−a e>0>a e−1=a e−1a，所以a<0不合题意．当a>0时，令 x=ax−f x，则 x=2ax−ln x+1a，问题化为求 x>0恒成立时a的取值范围．由于 ʹx=2a−1x+1a =2a x+12ax+1a.所以在区间 −1a,−12a上， ʹx<0；在区间 −12a,+∞ 上，ʹx>0．所以 x在 −1a ,−12a上单调递减，在 −12a,+∞ 上单调递增，所以 x的最小值为−12a ，所以只需 −12a>0．即2a⋅ −12a −ln −12a+1a>0，所以ln12a<−1，所以a>e2．（3）由于f x=0存在两个异号根x1，x2，不妨设x1<0，因为−1a<x1<0，所以a>0．构造函数：g x=f−x−f x −1a <x<0，所以g x=ln1a−x −ln x+1a+2ax，gʹx=1 x−1−1x+1+2a=2ax2x2−12<0，所以函数g x在区间 −1a,0上为减函数．因为−1a<x1<0，则g x1>g0=0，于是f−x1−f x1>0，又f x1=0，f−x1>0=f x2，由f x在0,+∞上为减函数可知x2>−x1，即x1+x2>0．。

高三文科数学综合练习卷（3）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,4,5N =，则N M =ð（ ）A ．{}2,3,4B ．{}0,2,3,4,5C ．{}0,5D ．{}3,5 2、为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔是（ ）A ．9B ．8C ．10D ．7 3、在正项等比数列{}n a 中，有154a a =，则3a 的值是（ ）A ．2±B ．2-C ．2D ．4 4、已知复数z 满足()12i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 5、下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A ．xy e -= B ．y x = C ．ln y x = D ．1y x=- 6、如图为某几何体的三视图，则其体积是（ ） A ．2 B ．4 C ．43 D ．237、设a ，R b ∈，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8、对任意的[]2,1x ∈-时，不等式220x x a +-≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],3-∞C ．[)0,+∞D ．[)3,+∞ 9、若将一个质点随机投入如图所示的长方形CD AB 中，其中2AB =，C 1B =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6πD ．8π 10、设点()0,1x M ，若在圆:O 221x y +=上存在点N ，使得30∠OMN =o，则0x 的取值范围是（ ）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,2- D ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题）11、不等式组280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域的面积是 ．12、在C ∆AB 中，1a =，2b =，1cosC 2=，则c = ． 13、若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线10x y -+=，则点P 的坐标是 ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）的普通方程是 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图，已知AB ，C B 是圆O 的两 条弦，C AO ⊥B ，3AB =，C 22B =，则圆O 的半径等于 ．三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=A +⎪⎝⎭，R x ∈，且53212f π⎛⎫=⎪⎝⎭． ()1求A 的值；()2若角θ的终边与单位圆交于点34,55⎛⎫P ⎪⎝⎭，求512f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17、（本小题满分12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的4次预赛成绩记录如下：甲82847995乙95758090()1从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；()2①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差；②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？高三文科数学综合练习卷（3）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CACDBDBDBA二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题）11、11 12、()1,0 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14、340x y --= 15、32三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、解：()1553sin sin 121234f ππππ⎛⎫⎛⎫=A +=A =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴32A ==……………4分 ()2由题意可知4sin 5θ=，3cos 5θ=由()1得：()3sin()3f x x π=+……6分553()3sin()3sin()121234f ππππθθθ∴-=-+=- 333sin cos 3cos sin 44ππθθ=-…………………………………………………10分10=……………………………………………………………………………12分 17、解：()1记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到成绩为y ，用数对(),x y 表示基本事件：()()()()()()()()()()()()()()()()82,95,82,75,82,80,82,90,84,95,84,75,84,80,84,90,79,95,79,75,79,80,79,90,95,95,95,75,95,80,95,90,基本事件总数16n = ……………………3分 记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A 包含的基本事件：()()()()()()()()82,75,82,80,84,75,84,80,79,75,95,75,95,80,95,90, ……………………4分事件A 包含的基本事件数8m =，所以()81162m P A n === ……………………5分 所以甲的成绩比乙高的概率为12………………6分 ()2①182847995854x -=+++=甲（），1(95758090)854x -=+++=乙………………7分 222221[(7985)(8285)(8485)(9585)]36.54S =-+-+-+-=甲 ………………9分222221[(7585)(8085)(9085)(9585)]62.54S =-+-+-+-=乙 ……………11分②22,x x s s --=<Q 乙甲乙甲 ∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适…………12分。

广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试（1）理科数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知()212bi i +=（R b ∈，i 是虚数单位），则b =（ ）A ．2B ．1C ．1±D ．1或2 2、已知向量(),2a x =，()1,1b =，若()a b b +⊥，则x =（ ）A ．2B ．4C ．4-D ．2-3、已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列，则公比q =（ ）A B C ．12+ D ．124、设:p (){}lg 1x x y x ∈=-，:q {}21x x x -∈<，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5、抛物线280y x -=的焦点F 到直线:l 10x y --=的距离是（ ）A B C D 6、若()f x 是奇函数，且0x 是()x y f x e =+的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）A ．()1x y f x e =--B ．()1x y f x e -=+C ．()1x y e f x =-D ．()1x y e f x =+ 7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．πB ．2πC ．83π D ．103π8、由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量i a （1i =，2，3，⋅⋅⋅，n ，⋅⋅⋅），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．规则是：对于n *∀∈N ，第n 行共有21n -个向量，若第n 行第k 个向量为m a ，则()()()(),0,221m k n k n a n n k n k n <≤⎧⎪=⎨-<≤-⎪⎩，例如()11,1a =，()21,2a =，()32,2a =，()42,1a =，⋅⋅⋅，依次类推，则2015a =（ ）A ．()44,11B ．()44,10C ．()45,11D ．()45,10 二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（9～13题）9、12lg5lg 4-= ．10、不等式213x x ++-≤的解集是 ．11、某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均值为10，方差为2，则x y -的值为 ． 12、展开()6a b c ++，合并同类项后，含23ab c 项的系数是 ．13、已知实数x ，y 满足条件2032000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为6，则ab 的最大值是 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为 ．15、（几何证明选讲选做题）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、CD P ．AB 是圆O 的直径，若4PA =，C 5P =，CD 3=，则C D ∠B = ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示．()1求函数()f x 的解析式； ()2若126f θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17、（本小题满分12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．()1求直方图中x 的值；()2如果上学路上所需时间不少于60分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿；()3现有6名上学路上时间小于40分钟的新生，其中2人上学路上时间小于20分钟．从这6人中任选2人，设这2人中上学路上时间小于20分钟人数为X ，求X 的分布列和数学期望．18、（本小题满分如图，直角梯形CD AB 中，//CD AB ，C AB ⊥B ，1AB =，C 2B =，CD 1=A 作CD AE ⊥，垂足为E ．F 、G 分别是C E 、D A 的中点．现将D ∆A E 沿AE 折起，使二面角D C -AE-的平面角为135． ()1求证：平面DC E ⊥平面C AB E ；()2求直线FG 与平面DC E 所成角的正弦值．19、（本小题满分14分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122n n a S +=+（n *∈N ）．()1求数列{}n a 的通项公式；()2在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求证：121111516n d d d ++⋅⋅⋅+<（n *∈N ）．20、（本小题满分14分）如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，C B 过椭圆的中心O ，C C 0A ⋅B =，C 2C B =A ．()1求椭圆E 的方程；()2在椭圆E 上是否存在点Q ，使得22Q Q 2B -A =？若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由；()3过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作:O 2243x y +=的两条切线，切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，证明：22113m n+为定值．21、（本小题满分14分）已知函数()1ln f x x ax a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中R a ∈且0a ≠．()1讨论()f x 的单调性；()2若不等式()f x ax <恒成立，求实数a 的取值范围；()3若方程()0f x =存在两个异号实根1x ，2x ，求证：120x x +>．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（一）必做题（9～13题）9、2 10、[]2,1- 11、4 12、60 13、98（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）14 15、30三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、解：()1由图象知2A =()f x 的最小正周期54()126T πππ=⨯-=，故22Tπω== ……3分 将点(,2)6π代入()f x 的解析式得sin()13πϕ+=，又||2πϕ<，∴6πϕ=，故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+……………6分 ()2()2sin(2)6f x x π=+2sin 2()2sin 2cos 1262662f θπθπππθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭……8分1cos 0sin 222πθθθ⎛⎫∴=∈=⎪⎝⎭又，所以 …………10分cos cos cos sin sin 4444πππθθθ⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭…………12分 17、解：()1由直方图可得：200.0125200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯= 所以0.025x =.……………………………2分()2新生上学所需时间不少于60分钟的频率为：0.0032200.12⨯⨯= (4)分因为10000.12120⨯=所以1000名新生中有120名学生可以申请住宿………………6分()3X 的可能取值为0，1，2. …………………………………7分0224262(0)5C C P X C ⋅===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，2024261(2)15C C P X C ⋅===……10分 所以X 的分布列为：11分2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=………………………………12分18、()1证明：DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，,DE CE E DE CE CDE =⊂，平面∴ AE ⊥平面CDE ……3分AE ⊂平面ABCE∴平面⊥DCE 平面ABCE ……5分()2（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系……6分DE ⊥AE ，CE ⊥AE∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135……7分1=AB ，2=BC ，21+=CD ，∴A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，1-，1） ……9分F 、G 分别是CE 、AD 的中点 ∴F 1002（，，），G 11122-（，，）……10分 ∴FG =1112-(，，)，AE =(2,0,0)-……11分由()1知AE 是平面DCE 的法向量……12分 设直线FG 与平面DCE 所成角02παα≤≤（），则22sin ||||33||||22FG AE FG AE α⋅-===⋅⨯故求直线FG 与平面DCE 所成角的正弦值为23……14分（列式1分，计算1分） （方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ……6分 由()1知AE ⊥平面CDE所以⊥GH 平面CDE ，GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角……7分G 是AD 的中点，GH 是ADE ∆的中位线，1=GH ，22=EH ……8分 因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE所以DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135…9分在EFH ∆中，由余弦定理得，FEHEH EF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 222211152(422224=+-⨯⨯-=（或25=FH ）……11分（列式1分，计算1分） ⊥GH 平面CDE 所以FH GH ⊥在GFH Rt ∆中，2322=+=FH GH GF ……13分 所以直线FG 与平面DCE 所成角的正弦值为32sin ==∠GF GH GFH ……14分 19、()1解：设等比数列}a {n 的首项为1a ，公比为q ，………………1分2S 2a n 1n +=+，2S 2a 1n n +=-（2n ≥）………………2分 ∴)S S (2a a 1n n n 1n -+-=-=n a 2 即3a an1n =+(2n ≥)………3分 当1n =,得2a 2a 12+=，即2a 2a 311+=，解得：2a 1=……………4分 1n 1n 1n 32q a a --⋅=⋅=………5分 即123n n a -=⨯.………6分()2证明：1(1)n n n a a n d +=++，则1431n n d n -⨯=+，11143n n n d -+=⨯………8分 =+⋅⋅⋅++n 21d 1d 1d 1)31n 343332(411n 20-++⋅⋅⋅++………9分 设=n T 1n 2031n 343332-++⋅⋅⋅++① 则31=n T n 22131n 343332++⋅⋅⋅++②………10分①-②得：32=n T 2+n 1n 3231n 31313131+-+⋅⋅⋅++-=2+n 1n 31n 311])31(1[31+----=………12分)31n 321(23415T n1n n ++⋅-=-415<………13分 161541541d 1d 1d 1n 21=⋅<+⋅⋅⋅++………14分20、()1解：依题意知：椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0)，设椭圆E 的方程为14222=+by x -----------------------2分由椭圆的对称性知|OC |＝|OB | 又∵0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC | ∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形，∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ，---------------------4分 将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b ∴所求的椭圆E 的方程为143422=+y x ----------------------------------------------5分()2解：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB ||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即00320x y +-=，--------①-------------------------------------------------7分又∵点Q 在椭圆E 上，∴2200340x y +-=，-----------------② 由①式得0023y x =-代入②式并整理得：207920x x -+=，-----③ ∵方程③的根判别式8156250∆=-=>，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个---------9分()3证明：设点11P(x ,y )，由M 、N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥,∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，-------------------------------------10分且圆的直径为OP,则圆心为1122x y (,)，其方程为22221111224x y x y (x )(y )+-+-=---11分即22110x y x x y y +--=-----④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在O 上， ∴M 、N 坐标也满足方程2243O :x y +=----------⑤ ⑤-④得直线MN 的方程为1143x x y y +=----12分 令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =--------13分∴114433x ,y m n==，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334m n +==定值.-----------------------------------14分 21、()1解：()f x 的定义域为),1(+∞-a. 其导数2'()a xf x a ax x a=-=-++111 (2)分①当0a <时,'()0f x >,函数在),1(+∞-a上是增函数;②当0a >时,在区间(,)a-10上,'()0f x >;在区间(0,+∞)上,'()0f x <． 所以,()f x 在(,)a-10是增函数,在(0,+∞)是减函数. ……………………………4分()2解：当0a <时, 则x 取适当的数能使()f x ax ≥，比如取1x e a=-， 能使11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a-=--=->-=->, 所以0a <不合题意…6分当0a >时，令()()h x ax f x =-,则1()2ln()h x ax x a =-+问题化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围.由于'12()12()211a x a h x a x x aa+=-=++ ∴在区间(,)a a--112上,0)('<x h ;在区间),21(+∞-a 上,0)('>x h . …………8分()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a->即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2ea ∴>……………………………10分()3证明：由于()0f x =存在两个异号根12,x x ，不妨设10x <，因为110x a -<<,所以0a >………………………………………………………………………………11分构造函数:()()()g x f x f x =--(10x a-<<) 11()ln()ln()2g x x x axa a ∴=--++2'22112()20111ax g x a x x x a a a=-+=<-+- 所以函数)(x g 在区间1(,0)a-上为减函数.110x a-<<,则1()(0)0g x g >=, 于是()()f x f x -->110,又1()0f x =,()0()f x f x ->=12,由()f x 在,)+∞（0上为减函数可知21x x >-.即120x x +>……………………………………………14分。

午练（三）——函数与导数1、函数()()lg 1f x x =-的定义域是（ C ）A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．(]1,2D ．()1,+∞2、已知函数()()()3020x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（ B ） A ．12B ．2C ．1D ．1-3、下列函数为偶函数的是（ D ）A ．()1f x x =-B ．()3f x x x =+C ．()22x x f x -=-D ．()22x x f x -=+ 4、下列函数中，定义域是R 且为减函数的是（ A ）A ．x y e -=B ．y x =C ．ln y x =D ．y x =5、函数()f x 的定义域为R ，且满足()()4f x f x +=，若()0.59f =，则()8.5f =（ B ）A ．9-B ．9C ．3-D ．0 6、设函数()f x 为偶函数，且当[)0,2x ∈时，()2sin f x x =，当[)2,x ∈+∞时，()2log f x x =，则()43f f π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ D ）A ．2B ．1 C ．3 D2 7、已知函数()()()()32212x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，则()1f - 8- ． 8、若定义在()21,log a -上的函数()y f x =是偶函数，则实数a 2 ． 9、定义在R 上的函数()f x 在区间[]1,4上单调递减，且()()f x f x -=，则下列不等式成立的是（ A ） A ．(ff > B ．()()13f f -< C ．()()3.14f f π-> D ．()()23f f -<10、函数()f x =的定义域是 (],2-∞ ． 11、函数()2log f x x=C ） A ．(]0,1 B ．[)0,+∞ C ．()0,1D ．()()0,11,+∞12、下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递减的是（ C ） A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+D ．lg y x = 13、函数22y x x =-的定义域是{}0,1,2,3，则其值域是（ A ）A ．{}1,0,3-B ．{}0,1,2,3C ．{}13y y -≤≤D ．{}03y y ≤≤14、定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2log 4,012,0x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨--->⎪⎩，则()3f 的值是（ D ）A ．1-B ．2C ．1D ．2-15、已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+，则()1f -=（ D ）A ．1-B ．2C ．1D ．2-16、若()()1232,2log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2f f ⎡⎤⎣⎦的值是 2 ． 17、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15f =-，则()5f = 5- ．18、函数()f x = A ） A ．(]3,0- B ．(]3,1- C ．()(],33,0-∞-- D ．()(],33,1-∞--19、下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ A ）A ．()lg 2y x =+B ．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x =+20、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()3log 1f x x =+，则()2f -=（ A ）A ．1-B ．3-C ．1D ．321、设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-=⎪⎝⎭（ A ）A ．12-B ．14-C ．14D ．1222、已知函数()533f x ax bx cx =-+-，()37f -=，则()3f 的值是（ B ）A ．13 B ．13- C ．7 D ．7- 23、函数()f x =的定义域是 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ．（用区间表示） 24、设()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x25、下列函数中，在区间()0,+∞上为减函数的是（ C ） A ．()2x f x = B ．()()21f x x =-- C ．()1f x x=D ．()()ln 1f x x =+。

凤翔中学2014－2015学年度第三次阶段考试高三级理科数学试卷注意：本卷满分150分，考试时间120分钟．答案应填（涂）在答题卷相应的位置上，否则无效．考试结束后，试卷自己带回保存，只交答题卷． 参考公式：台体的体积公式()121V 3S S h =+，其中1S 、2S 分别是台体的上、下底面积，h 表示台体的高．用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式1221ˆni ii nii x y n x yb xn x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，ˆˆay bx =-． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1、设集合{}220,R x x x x M =+=∈，{}220,R x x x x N =-=∈，则MN =（ ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2- 2、定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3、若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A ．()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2 4、已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35 310 110则X 的数学期望()E X =（ ）A ．32 B ．2 C ．52D ．3 5、某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．143 C ．163D ．6 6、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥7、已知函数()()()()21020x ax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．()2,+∞B ．(]2,3C ．(],3-∞D ．()2,3 8、设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,n X =⋅⋅⋅．令集合(){},,,,,,,S x y z x y z x y z y z x z x y =∈X <<<<<<且三条件恰有一个成立．若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∉ 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. ） （一）必做题（9～13题）9、不等式220x x +-<的解集是____________．10、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =_______．11、执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输 出s 的值为____________．12、在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=___．13、给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，令点集()(){}00,D ,,,D x y x yx y z x y T =∈∈Z =+是在上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定__________条不同的直线． （二）选做题：（第14、15题为选做题，考生只能选做一题．）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的方程是22x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值是 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长C B 到D 使C CD B =，过C 作圆O 的切线交D A 于E ．若6AB =，D 2E =，则C B = ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16、（本小题满分12分）已知函数()2f x x x =+，R x ∈．()1求()f x 的最大值和最小正周期；()2若282f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限角，求sin 2α． 17、（本小题满分12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x （个） 2 3 4 5 加工的时间y （小时）2.5 3 4 4.5()1在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；()2求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并在坐标系中画出回归直线； ()3试预测加工10个零件需要多少时间？18、（本小题满分14分）如图，直三棱柱111C C AB -A B 中，C C A ⊥B ，C C 1A =B =，棱12AA =，M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点．()1求证：1C N ⊥平面C B N ；()2求直线1C B 与平面1C MN 所成角θ的正弦值．19、（本小题满分14分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，都有612n n S a =-，记12log n n b a =．()1求1a ，2a 的值；()2求数列{}n b 的通项公式； ()3令()()22121n n n c n b +=+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的n *∈N ，都有564n T <．20、（本小题满分14分）已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >），1F 、2F 分别是它的左、右焦点，()1,0A -是其左顶点，且双曲线的离心率为2e =．设过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P 、Q 两点，其中点P 位于第一象限内．()1求双曲线的方程；()2若直线AP 、Q A 分别与直线12x =交于M 、N 两点，求证：22F F M ⊥N ；()3是否存在常数λ，使得22F F λ∠P A =∠PA 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分14分）已知关于x 的函数()3213f x x bx cx bc =-+++，其导函数 为()f x '．记函数()()g x f x '=在区间[]1,1-上的最大值为M ．()1如果函数()f x 在1x =处有极值43-，试确定b 、c 的值； ()2若1b >，证明：对任意的c ，都有2M >；()3若k M ≥对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值．凤翔中学2014－2015学年度第一学期第三次阶段考试高三理科数学试卷参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCCABDBB二、填空题 （一）必做题9、{}21x x -<< 10、1- 11、7 12、20 13、6 （二）选做题14、2 15、三、解答题16、解：()1()2222cos sin 2sin cos 244f x x x x x ππ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………………………4分∴()f x 的最大值为2……5分 最小正周期为22T ππ== ………6分 ()2由()1知：()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭∴2sin 28f απα⎛⎫-==⎪⎝⎭即sin α=………………………8分 α是第二象限角∴cos α===10分∴sin 22sin cos 2ααα⎛=== ⎝………12分 17、解：()1散点图如下图．……3分18、()1证明：1111====C A NA AN CA ，⊥1AA 底面411π=∠=∠NC A ANC ……1分21π=∠CNC ，NC N C ⊥1……2分∵CB CA ⊥，1CC BC ⊥，C CC AC =1 ∴⊥BC 平面11C CAA ……3分 N C BC 1⊥……4分 又∵C NC BC =∴⊥N C 1平面BCN ……6分()2（方法一）以C 为原点，CA 、CB 、CC 1在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0 , 0 , 0(C 、)2 , 0 , 0(1C 、)2 , 1 , 0(1B ……7分)2 , 21, 21(M 、)1 , 0 , 1(N ……8分111( , , 0)22C M =、1(1 , 0 , 1)C N =-、1(0 , 1 , 2)C B =……10分设平面MN C 1的一个法向为( , , )n a b c =，则11 0n C n C ⎧⋅M =⎪⎨⋅N =⎪⎩……11分即⎩⎨⎧=-=+00c a b a ，取(1 , 1 , 1)n =-……12分所以111| |sin |cos , || |||n C n C n C θ⋅B =<B >=B ……13分1515=……14分 （方法二）2211==AB AN N A M A ，21π=∠=∠M NA BAN ，M NA BAN 1~∆∆……7分 ∴MN A BNA 1∠=∠，2π=∠MNB ，MN BN ⊥……8分由()1知N C BN 1⊥，N MN N C = 1∴⊥BN 平面MN C 1……9分延长B B 1到2B ，延长C C 1到2C ，使222==CC BB ，连接2BC 、2NC ……10分 在2NBC ∆中，3=BN ，52=BC ，102=NC ……11分∴22222222cos BC BN NC BC BN NBC ⨯-+=∠……12分1515-=……13分 ∵BN 是平面MN C 1的法向量，由所作知C B BC 12//，从而22πθ-∠=NBC∴1515cos sin 2=∠-=NBC θ……14分 19、()1解：由11612S a =-得：11612a a =-解得118a =…………1分 由22612S a =-得：()122612a a a +=- 解得2132a =…………3分 ()2解：由612n n S a =- ……①当2n ≥时，有11612n n S a --=- ……②…………4分①－②得：114n n a a -=…………5分 ∴数列{}n a 是首项118a =，公比14q =的等比数列…………6分12111111842n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫∴==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…………7分2111221log log 212n n n b a n +⎛⎫∴===+ ⎪⎝⎭…………8分()3证明：由()2有22221111(2)(2)16(2)n n c n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦…………10分 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦……………12分 ])2n (1)1n (1211[161222+-+-+=…………13分 645)211(1612=+<…………14分 20、()1解：由题可知：1a =…………1分2 2ce c a==∴=…………2分 222 a b c b +=∴=∴双曲线C 的方程为：2213y x -=…………3分 ()2证明：设直线l 的方程为：2=+x ty ，另设：()()1122,,、P x y Q x y()2222131129032⎧-=⎪⇒-++=⎨⎪=+⎩y x t y ty x ty …………4分 1212221293131-∴+==--，t y y y y t t …………5分 又直线AP 的方程为()1111=++y y x x ，代入12=x ()1131221⎛⎫⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭，y M x …………6分 同理，直线AQ 的方程为()2211=++y y x x ，代入12=x ()2231221⎛⎫⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭，y N x ………7分()()1222123333 221221⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，-，，-y y MF NF x x ()()()()()12121222212121212999999441144334439∴⋅=+=+=+++++⎡⎤+++⎣⎦y y y y y y MF NF x x ty ty t y y t y y 2222999993109124444393131⨯-=+=-=-⎛⎫⨯+⨯+ ⎪--⎝⎭t t t t t t22∴⊥MF NF …………9分()3解：当直线l 的方程为2=x 时，解得()23,P易知此时2∆AF P 为等腰直角三角形，其中2224ππ∠=∠=，AF P PAF即222∠=∠AF P PAF ，也即：=2λ…………10分 下证：222∠=∠AF P PAF 对直线l 存在斜率的情形也成立()()1112122222221111221221211111⨯+∠+∠====-∠-+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭tan tan tan PAPAy y x PAF k x PAF PAF k x yy x …………11分()222211111 313-=⇒=-y x y x()()()()()()1111122211111212122122131++∴∠===--+--+--tan y x y x y PAF x x x x x …………12分 2122122∴∠=-=-=∠-tan tan PF y AF P k PAF x …………13分 ∴结合正切函数在022πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,上的图像可知，222∠=∠AF P PAF …………14分 21、()1解：∵2()2f x x bx c '=-++由()f x 在1x =处有极值43-，可得(1)12014(1)33f b c f b c bc '=-++=⎧⎪⎨=-+++=-⎪⎩解得，11b c =⎧⎨=-⎩或13b c =-⎧⎨=⎩…………………2分若1b =，1c =-，则22()21(1)0f x x x x '=-+-=--≤，此时函数()f x 没有极值…3分 若1b =-，3c =，则2()23(1)(1)f x x x x x '=--+=-+- 此时当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：∴ 当1x =时，()f x 有极大值3-故1b =-，3c =即为所求………………4分()2证法一：222()()2()g x f x x bx c x b b c '==-++=--++当1b >时，函数()y f x '=的对称轴x b =位于区间[1,1]-之外∴()f x '在区间[1,1]-上的最值在两端点处取得，故M 应是(1)g -和(1)g 中较大的一个 ∴2M ≥(1)(1)121244g g b c b c b +-=-+++--+≥>，即2M > …………8分 证法二（反证法）：因为1b >，所以函数()y f x '=的对称轴x b =位于区间[1,1]-之外 ∴()f x '在区间[1,1]-上的最值在两端点处取得，故M 应是(1)g -和(1)g 中较大的一个假设2M ≤，则(1)122(1)122g b c g b c ⎧-=--+≤⎪⎨=-++≤⎪⎩………………6分将上述两式相加得: 4121244b c b c b ≥--++-++≥>，得44>，产生矛盾 ∴2M > …………………………8分()3解：22()()()g x f x x b b c '==--++()i 当1b >时，由()2可知2M> ………………9分()ii 当1b ≤时，函数()y f x '=的对称轴x b =位于区间[1,1]-之内此时{}max (1),(1),()M g g g b =-，由(1)(1)4f f b ''--=，有2()(1)(1)0f b f b ''-±=±≥①若10b -≤≤，则()1(1)()f f f b '''≤-≤，则{}(1)max (1),()g g g b -≤ 于是{}11max(1),()((1)())((1)())22M f f b f f b f f b ''''''=≥+≥- 211(1)22b =-≥ …………………………11分 ②若01b <≤，则()1(1)()f f f b '''-≤≤，则{}(1)max (1),()g g g b ≤- 于是{}11max (1),()((1)())((1)())22M f f b f f b f f b ''''''=-≥-+≥--211(1)22b =+≥…………………………13分综上可知，对任意的b 、c 都有12M ≥ 而当0b =，12c =时，21()2g x x =-+在区间[1,1]-上的最大值12M = 故M k ≥对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为12…………………………14分。

高三文科数学限时测试（11）一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设全集{}U 1,2,3,4=，集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，则()U A B =ð（ ）A ．{}2,4B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．∅2、执行如图所示的程序框图，则输出的i =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83、已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60，则2a b -=（ ）AB ．C D ．34、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108B ．180C ．72D ．1445、已知1cos 3ϕ=-（0ϕπ<<），则sin 2ϕ=（ ） A．9B ．9-C ．9D ．9- 二、填空题（本大题共4小题，考生作答3小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（6、7题）6、变量x 、y 满足线性约束条件222200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值是 ． 7、定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()3log 10120x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨--->⎪⎩，则()2014f = ．（二）选做题（8、9题，考生只能从中选做一题） 8、（几何证明选讲选做题）如图，O 和'O 相交于A ，B两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D 两点，连结D B 、C B ，已知C 3B =，D 4B =，则AB =_________．9、（坐标系与参数方程选做题）已知点P 是曲线C:4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，2πθπ≤≤）上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为4π，则点P 的直角坐标是 ． 三、解答题（本大题共2小题，共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）10、（本小题满分12分）前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：()1指出这组数据的众数和中位数； ()2若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，若幸福度低于7.5分，则称该人的幸福度为“不幸福”．现从这16人中感到“极幸福”和“不幸福”的调查人里随机选取2人，求恰有1人是“极幸福”的概率．11、（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S 14与()21n a +的等比中项．()1求证：数列{}n a 是等差数列；()2若11b a =，且123n n b b -=+（2n ≥），求数列{}n b 的通项公式；()3在()2的条件下，若3n n n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．。