高中数学22直线的方程222直线方程的几种形式自我小测新人教B版必修2

直线的点斜式方程导学案学习目标与重难点：1、情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学过程：温故而知新：自学（回忆、看书、讨论等）填空：2、已知直线的倾斜角为45°，则直线的斜率k = 若直线的倾斜角为α（α≠90°），则直线的斜率k =3、已知直线过点A（0，6），B（－3，0），则直线的斜率k =4、已知直线过点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则直线的斜率k =5、已知直线过点A（1，4），B（－3，2），则直线的斜率k =思考与讨论：在平面直角坐标系内，给定一条直线l经过的一个点A（x0,y0）和斜率k，若直线l上有一不同于点A的动点P（x,y），把你会想到的关系表示出来。

新知碰面，加深理解：由此我们得到过点A（x0,y0），斜率为k的直线方程是提示：由过定点A（x0,y0）和斜率k确定的直线的方程叫直线的，简称。

探究：1、若直线l方程是y=3x－1，（1）请检验点（2，4）在直线l上吗？答：（2）请检验点（2，5）在直线l上吗？答：（3）已知点（－1，－4）在直线上，其坐标满足直线l方程y=3x－1吗？答：（是，否）归纳：1、检验点是不是在直线上的方法是：2、凡是在直线上的点，其坐标都满足直线的方程吗？答：（是，否）3、凡是坐标满足直线的方程的的点都在直线上吗？答：（是，否）题型探究学会应用：例1、若直线l过点A（－2，3），斜率为3，求直线l的点斜式方程，并画出直线l。

变式练习：1、已知直线l的倾斜角为45°，且过点A（3，－2），则直线l的方程为；若点A在直线l上，且已知A点的横坐标为0，则A点的纵坐标为；若点B在直线上，且B点的纵坐标为－1，则B点的横坐标为。

例2、若直线过点（0，b）,斜率为k，求直线的方程。

变式练习：2、若直线过点（0，5），斜率为2，则直线的方程为3、若直线过点（0，－2），斜率为5，则直线的方程为提示：1、把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距（或叫纵截距），因此由直线l在y轴上的截距b和斜率k确定的直线的方程叫直线的，简称。

2.2.2直线方程的几种形式(一)一、教材分析直线的方程这部分内容是解析几何的基础知识，是培养学生几何学习能力的好的开端。

本章内容开始从代数的角度去研究平面的点线关系，是一个新的领域。

对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，影响着对后来学习圆锥曲线的理解。

所以，直线部分的学习起到良好的过渡作用。

二、学情分析1学生学习本课内容的基础在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，来推导方程的基本形式。

2学生学习本课内容的能力具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。

具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。

3学生学习本课内容的心理直线的方程是高中几何学的开端，学生容易接受且充满好奇与兴趣。

方程推导环环相扣，具有一定的整体性，极易使学生在学习的过程中，增加求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。

三、教学目标1、知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的四种形式求直线方程。

2、过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程。

3、情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

四、教学重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程、斜截式方程。

（2）难点：直线的四种方程方程的应用。

五、学法指导本节主要学习直线方程的四种形式，应理解并记忆公式的内容，特别要搞清各个公式的适用范围：点斜式和斜截式需要斜率存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与两坐标轴垂直和过原点的直线，故在运用时要灵活选择公式，不丢解不漏解。

六、教学方法：合作探究式学生刚刚学习完直线的倾斜角与斜率的概念，对此知识的深刻理解和严谨性的把握上还可能考虑不周全。

课时目标掌握直线方程的两点式、截距式、一般式及各种方程之间的互化．的图象可能是( )直线在，轴上的截距分别为，，且＜，排除，，，故选.．若∈，直线－－－＝恒过一个定点，则这个定点的坐标为( )．(，－) ．(－)．(－) ．(，－)答案：解析：＋＝(－)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(，－)．．已知直线：－－＝，：－＋＝(≠，≠)，则它们的图象为( )答案：解析：考虑直线与坐标轴的交点．二、填空题(每个分，共分)．已知直线过(，－)和(－)，则直线的方程为．答案：＋－＝解析：因为直线过点(，－)和(－)，由两点式方程，得＝，即＝，可化为＋－＝.．已知直线与两坐标轴相交且被两轴截得的线段的中点是()，则此直线的方程为．答案：＋－＝解析：设直线与轴的交点为()，与轴的交点为(，)，则由已知得：＝，＝，即＝，＝，所以所求直线的方程为＋＝，即＋－＝.．已知≠，直线＋－＝过点(－)，则此直线的斜率为．答案：解析：因为直线＋－＝过点(－)，所以－＋－＝，得＝－，所以直线方程为－＋－＝.又≠，所以≠，所以直线方程－＋－＝可化为－＋－＝，即＝＋，故此直线的斜率为.三、解答题．(分)求过点()，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程．解：设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，当＝时，直线过原点()，所以由直线方程的两点式，可得直线的方程为＝，可化为－＝.当≠时，可设直线的截距式方程为＋＝.又直线过点()，将其代入，得＋＝，解得＝，此时直线的方程为＋＝，可化为＋－＝.所以所求直线的方程为－＝或＋－＝.．(分)三角形的顶点分别是(－)，(，－)，()，求这个三角形三边所在直线的方程．解：∵直线过(－)，(，－)两点，由直线方程的两点式，得直线的方程为＝，可化为＋＋＝.∵直线过(，－)，()两点，由直线方程的两点式，得直线的方程为＝，可化为＋－＝.∵直线过(－)，()两点，由直线方程的两点式，得直线的方程为＝，可化为－＋＝.能力提升．(分)若两点(，)和(，)的坐标，分别满足－＋＝和－＋＝，则经过这两点的直线方程为．答案：－＋＝解析：因为两点确定一条直线，所以由题意可知所求直线方程为－＋＝.．(分)一条直线从点()出发，经过轴反射，通过点(－)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．。

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式典题精讲例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A、B、C三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式.∵ｋAB==2，k AC==2,∴ｋAB=k AC.∴A、B、C三点共线.证法二:利用直线方程.设AB:y=kx+b，则∴∴直线AB的方程为y=2x-3.当x=4时，y=2×４-3=5，故点C(4，5)在AB上.∴A、B、C三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a的值等于_______________.思路解析:因为k AB=，k BC=，又因为三点A、B、C共线，所以k AB=k BC，即=，解得a=4.答案:4例2 设过定点A的直线l1的倾斜角为α.现将直线l1绕点A按逆时针方向旋转45°得到直线l2,设直线l2的倾斜角为β,请用α表示β的值.思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得图2-2-(1,2)-1当0°≤α＜135°时,β=α+45°；当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°．黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练 2 如图2-2-(1,2)-2，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥ｌ2，求l1、l2的斜率.图2-2-(1,2)-2解：l1的斜率k1=tanα1=tan30°＝，∵ｌ2的倾斜角α2=90°+30°=120°，∴ｌ2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°＝.例3设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，若直线在x轴上的截距是-3，试确定m的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件.解：令y=0，由题意得由①式，得m≠３且m≠-1.由②式，得3m2-4m-15=0，解得m=3或m=.因为m≠3，所以m=.绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m2-2m-3≠０的解是m≠３且m≠-1；而方程3m2-4m-15=0的解是m=3或m=.变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则( )图2-2-(1,2)-3A.若c＞0，则a＞0，b＞0B.若c＞0，则a＜0，b＞0C.若c＜0，则a＞0，b＜0D.若c＜0，则a＞0，b＞0思路解析：∵直线ax+by+c=0的斜率k=＜0，∴ab＞0.又∵直线在x轴、y轴上的截距分别为与，∴＞0，＞0.∴ac＜0，bc＜0.若c＞0，则a＜0，b＜0；若c＜0，则a＞0，b＞0.选D.答案:D例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x、y轴上的截距.思路分析：按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x的取值即为直线在x轴上的截距;令x=0,则y 的取值即为直线在y轴上的截距.解:令y=0,则x=,于是直线在x轴上的截距为；令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y轴上的截距为；当k=时,直线在y轴上的截距不存在.黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=的情形而造成错解.事实上，当k=时，分式无意义，此时的直线在y轴上的截距不存在.变式训练4一条直线经过点M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____________.思路解析：设直线在两轴上的截距均为 a.若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0；若a≠0,则同上可求得直线方程为x+y=5.答案:3x-2y=0或x+y=5问题探究问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点P1与P2关于点M对称，则点M是P1、P2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点P1与P2关于直线l对称，则直线l是线段P1P2的中垂线，它应同时满足两个条件，即P1、P2的中点在直线l上，且P1P2的连线与l垂直，也就是说，P1P2的中点坐标满足直线l的方程，且P1P2连线的斜率与直线l的斜率互为倒数.曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下：(1)点P(x0,y0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0);(2)点P(a,b)不在直线l：Ax+By+C=0上，P关于直线l的对称点为P′(x,y)的求法：因为PP′中点M()在l上,PP′⊥l,所以由方程组可解出P′(x0,y0).(3)几种特殊对称：点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x、y以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗? 导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.直线系y=kx+b中，若b为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k为常数，它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f1(x,y)+λｆ2(x,y)=0的形式，再解方程组求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.探究：几种常见的直线系：(1)过定点的直线系直线y=kx+b(其中k为参数，b为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y轴(即x=0).经过定点M(x0，y0)的直线系y-y0=k(x-x0)(k为参数)，它表示经过定点(x0，y0)的直线系，但不包括平行于y轴的那一条(即x=x0).(2)已知斜率的直线系y=kx+b(k为常数，b为参数)，它表示斜率为k的平行直线系.若已知直线l：Ax+By+C=0，与l平行的直线系为Ax+By+m=0(m为参数,且m≠C).若已知直线l：Ax+By+C=0，与l垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n为参数).(3)经过两条直线交点的直线系经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2：A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m、n为参数，m2+n2≠0).当m=1，n=0时，方程即为l1的方程；当m=0，n=1时，方程即为l2的方程.上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为实数).但是，方程中不包括直线l2，这个形式的直线系方程在解题中常见.。

2.2.2 直线方程的几种形式直线方程的几种形式思考：直线的点斜式、斜截式、两点式，截距式方程均能化为一般式方程吗？ [提示] 是．1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式B[由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B.] 2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.]3．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0D[由直线的两点式方程，得y－23－2＝x－34－3，化简得x－y－1＝0.]4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为________．A2＋B2≠0[由二元一次方程表示直线的条件知A、B至少有一个不为零即A2＋B2≠0.]【例1】求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．[解](1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率k PQ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．求直线的点斜式方程的方法步骤1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x －x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．1．(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．(2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(3)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝13x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程是________．(1)y－5＝x－2(2)x＝－5(3)y＋3＝3(x－2)[(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.(3)因为直线y＝13x的斜率为13，所以倾斜角为30°.所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为 3.所以所求直线方程为y＋3＝3(x－2)．](1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2.[思路探究]确定直线的斜率k―→确定直线在y轴上的截距b―→得方程y＝kx＋b[解](1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．2．(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；(2)求过点A(6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程；(3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．[解](1)易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为y＝－x－2.(2)由于直线的斜率k＝－43，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－43(x－6)，化成斜截式为y＝－43x＋4.(3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)．(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．[思路探究](1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．[解](1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，∴由两点式得y－(－4) (－2)－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 所在直线的方程为2x ＋5y ＋10＝0. (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)， 则x 0＝5＋02＝52， y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3，又BC 边上的中线经过点A (－3,2)． ∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.1．由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程． 2．求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．3．求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．[解]设直线的两截距都是a，则有①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝3 2，∴l：3x－2y＝0；②当a≠0时，直线设为xa＋ya＝1，即x＋y＝a，把P(2,3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？[提示]都可以，原因如下：(1)直线和y轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角α≠π2，直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．(2)直线和y轴平行(包含重合)时：此时倾斜角a＝π2，直线的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？[提示] 能表示一条直线，原因如下：当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A B x －C B ，它表示过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－C B ，斜率为－A B 的直线．当B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋C ＝0.即x ＝－CA ，它表示与y 轴平行或重合的一条直线．【例4】 设直线l 的方程为(a －1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．若直线l 不过第三象限，则a 的取值范围为________．[思路探究] 含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解．[1，＋∞) [把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，a ＋2≥0，解得a ≥1.所以a 的取值范围为[1，＋∞)．]1．例题中若将方程改为“x ＋(a －1)y －2－a ＝0(a ∈R )”，其他条件不变，又如何求解？[1，＋∞) [(1)当a －1＝0，即a ＝1时，直线为x ＝3，该直线不过第三象限，符合．(2)当a －1≠0，即a ≠1时，直线化为斜截式方程为y ＝11－ax －2＋a 1－a，因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零． 即⎩⎪⎨⎪⎧11－a ≤0，－2＋a1－a ≥0，解得a ＞1.由(1)(2)可知a ≥1.]2．若例题中的方程不变，当a 取何值时，直线不过第二象限？(－∞，－2] [把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y 轴上的截距小于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，a ＋2≤0，解得a ≤－2.所以a 的取值范围为(－∞，－2]．]直线恒过定点的求解策略1．将方程化为点斜式，求得定点的坐标．2．将方程变形，把x ，y 作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x ，y 的值，即为直线过的定点．1．本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方程并能在几种形式间相互转化．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求点斜式方程与斜截式方程的方法． (2)求截距式方程与两点式方程的方法． (3)求一般式方程的方法．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线y －3＝m (x ＋1)恒过定点(－1,3)． ( )(2)直线y ＝2x ＋3在y 轴上的截距为3. ( ) (3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ [提示] (1)由点斜式方程的形式知正确． (2)由斜截式方程的形式知正确．(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误． (4)正确．2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A ．3x 4－y2＝1 B ．x 13－y 12＝4C ．3x 4－y －2＝1D ．x 43＋y －2＝1D [求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．]3．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________； (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. (1)x ＝2 (2)－2 [(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y－1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2.]4．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值：(1)直线l 的斜率为－1.(2)直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0.[解](1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－2k－3x＋2.由题意得－2k－3＝－1，解得k＝5.(2)直线l的方程可化为xk－3＋y2＝1.由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.- 11 -。

2.2.2 直线方程的几种形式(二)一、基础过关1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( ) A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠02．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )A．－2 B．2 C．－3 D．33．若AC<0，BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．经过点P(4,2)且在x，y轴上的截距相等的直线有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条5．直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，所有直线都通过定点______________．6．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.8．已知直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程，并将直线的方程化为一般式．二、能力提升9．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )10．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足( ) A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝011．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．12．已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7,3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x 轴上．(1)求顶点C的坐标；(2)求直线MN的方程．三、探究与拓展13．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求证：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围．答案1．D 2.D 3.C 4.B 5．(3,1) 6．－4157．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－12－－1，即2x ＋y －3＝0.(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.8．解 由题意知直线不过原点，且与两坐标轴都相交，可设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵直线l 过点P (－5，－4)， ∴－5a ＋－4b＝1，即4a ＋5b ＝－ab .又12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.故所求直线l 的方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1.即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0. 9．C 10．D 11．x －y ＋1＝012．解 (1)设M (0，m )，N (n,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋x A ＝2x M y C ＋y A ＝2y M，⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋x B ＝2x Ny C ＋y B ＝2y N，∴x C ＝0－5＝－5，y C ＝0－3＝－3，∴点C 的坐标为(－5，－3)．(2)∵2m ＝y C ＋y A ＝－3＋(－2)＝－5，故m ＝－52.2n ＝x C ＋x B ＝－5＋7＝2，故n ＝1. ∴直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.13．(1)证明 直线l 的方程可变形为k (x ＋2)＝y －1.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.所以无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解 当k ＝0时，直线l 为y ＝1，符合条件，当k ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不过经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧k >0，－1＋2k k ≤01＋2k ≥0，解得k >0.综上可知，k 的取值范围是k ≥0.。

课时目标掌握由直线上一点和斜率导出直线方程的方法．．＋＝(－) ．－＝(＋)．－＝(＋) ．＋＝(－)答案：解析：＝°＝，则点斜式方程为－＝(＋)．二、填空题(每个分，共分)．斜率为，与轴交点的横坐标为－的直线的点斜式方程为．答案：－＝[－(－)]解析：由直线与轴交点的横坐标为－，得直线过点(－)．又斜率为，所以所求直线的点斜式方程为－＝[－(－)]．.直线－＋＝在轴上的截距为．答案：解析：直线的斜截式方程为＝＋，所以在轴上的截距为.．直线＝＋＋恒过一定点，则此点是．答案：(－)解析：把直线方程化为点斜式－＝(＋)．显然当＝－时＝，即直线恒过定点(－)．三、解答题．(分)已知直线过点(－)，且其倾斜角与直线－＝－(－)的倾斜角相等，求直线的方程．解：由于直线的倾斜角与直线－＝－(－)的倾斜角相等，所以直线的斜率与直线－＝－(－)的斜率相等．又直线－＝－(－)的斜率为－，故所求直线的方程为－＝(－)·[－(－)]，可化为＋－＝.．(分)已知直线与直线：＝＋在轴上有相同的截距，且的斜率与的斜率互为相反数，求直线的方程．解：由题意，知直线在轴上的截距为，其斜率为－，故直线的方程为＝－＋.能力提升．(分)设直线的方程为(－－)＋(＋－)＝－，根据下列条件分别求的值．()经过定点(，－)；()在轴上的截距为；()与轴平行；()与轴平行．解：()点在直线上，即(，－)适合方程(－－)＋(＋－)＝－，把(，－)代入，得(－－)－(＋－)＝－，解得＝.()令＝，得＝，由题意知＝，解得＝－或.()与轴平行，则有(\\(－－≠，＋－＝，))解得＝.()与轴平行，则有(\\(－－＝，＋－≠，))解得＝.．(分)已知所求直线的斜率是直线＝－＋的斜率的－倍，且分别满足下列条件：()经过点(，－)，求该直线方程；()在轴上的截距是－，求该直线的方程．解：∵直线方程为＝－＋，∴＝－.根据题意知：所求直线的斜率′＝－×＝.()∵直线过点(，－)，∴所求直线方程为＋＝(－)，即－－＝.()∵直线在轴上的截距为－，∴所求直线方程为＝－，即－－＝.。

2.2.2 直线方程的几种形式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.过点A(-2，1)且与x轴垂直的直线的方程是( )A.x=-2B.y=1C.x=1D.y=-2解析：过点(x0,y0)与x轴垂直的直线的方程是x=x0，所以所求直线的方程为x=-2.答案：A2.已知直线l过点P(3,2),且斜率为,则下列点不在直线l上的是( )A.(8,-2)B.(4,-3)C.(-2,6)D.(-7,10)解法一：由斜率公式k=(x1≠ｘ2)，知选项A、C及D中的点与点P确定的直线斜率都为.解法二：由点斜式方程，可得直线l的方程为y-2= (x-3),即4x+5y-22=0.分别将A、B、C、D中的点代入方程,可知点(4,-3)不在直线上.答案：B3.过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为____________.解：过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的两点式方程，代入点P(3,2)和点Q(4,7)，求得直线方程为，整理得5x-y-13=0.答案：5x-y-13=010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a的图象正确的是( )图2-2-2解析：结合四个图象,a在两方程中分别表示斜率和纵截距,它们的符号应一致.逐一判断知A、B、D均错,只有C正确.答案：C2.下列命题中：①=k表示过定点P(x0,y0)且斜率为k的直线;②直线y=kx+b和y轴交于B点,O是原点,那么b=|OB|;③一条直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,那么该直线的方程为=1;④方程(x1-x2)(y-y1)+(y2-y1)(x-x1)=0表示过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点的直线.其中错误命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析：①不是点斜式,因为它不包含点(x0,y0)；②b≠|OB|,b是点B的纵坐标,可正、可负、可零；③当a=b=0时,直线方程不能写成=1；④正确,这是两点式的变形形式,其可以表示过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的所有直线.答案：D3.直线y=x+1上一点P的横坐标是3,把已知直线绕点P按逆时针方向旋转90°后所得的直线方程是_______________.解析：可先求出P点的坐标再求出旋转后直线的倾斜角和斜率.把x=3代入方程y=x+1中得y=4,即P(3,4),因为直线y=x+1的倾斜角为45°,再将其绕点P 按逆时针方向旋转90°后得直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率为-1.由点斜式得直线方程y-4=-(x-3),即x+y-7=0.答案：x+y-7=04.已知直线过点P(0,1)，并与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分，求直线l的方程.解：∵点A、B分别在直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0上，∴可设A(a,),B(b,8-2b).∵AB中点是P，有∴B(4,0).由两点式得l:x+4y-4=0.5.直线l经过点A(2,1)和点B(a,2),求直线l的方程.解：①当a=2时,直线的斜率不存在,直线上每点的横坐标都为2,所以直线方程为x=2;②当a≠２时,直线的斜率为k=,直线的点斜式方程为y-1=(x-2),化成一般式为x+(2-a)y-4+a=0.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若ac<0,bc>0，那么直线ax+by+c=0必不过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由条件ac＜0,bc＞0知ab＜0,而原方程可化为y=,由于,所以直线过第一、三、四象限,不过第二象限.答案：B2.对于直线ax+y-a=0(a≠0),以下说法正确的是( )A.恒过定点,且斜率与纵截距相等B.恒过定点,且横截距恒为定值C.恒过定点,且与x轴平行的直线D.恒过定点,且与x轴垂直的直线解析：将直线ax+y-a=0化为点斜式方程为y-0=-a(x-1)，由此可得直线过定点(1,0),横截距为定值 1.答案：B3.过点(3,-4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )A.x+y+1=0B.4x-3y=0C.4x+3y=0D.4x+3y=0或x+y+1=0解析：(1)当直线过原点时，可得y=；(2)当直线不过原点时，可设x+y=a，即得x+y+1=0.答案：D4.已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的位置如图2-2-3所示，则( )图2-2-3A.b>0,d<0,a<cB.b>0,d<0,a>cC.b<0,d>0,a>cD.b<0,d>0,a<c解析：由已知直线表达式，得l1:y=，由图象知答案：C5.过点P(3，2)的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析：此题画图分析会比较简单直观，符合条件的直线有如图所示两种情况.若直线经过一、二、四象限，此时三角形面积一定大于长与宽分别为3与2的距形的面积，即大于6，不符合条件.另外，此题还可能通过方程的根求解，过程如下：设直线方程y-2=k(x-3)与两坐标轴交点分别为A(0,2-3k)、B(,0),∵Ｓ△=6,∴|2-3k|·｜|=6.∴(3k-2)2=±6k，即9k2-12k+4=±6k.9k2-18k+4=0或9k2-6k+4=0，∴k=或无解.∴k=1±为所求.答案：B6.过点P(2,1)，以为斜率的直线方程为____________.解：依题意得y-1=(x-2)，整理得.答案：7.设A(0,3),B(3,3),C(2,0),直线x=m将△ABC面积两等分,则m的值为___________.解：设直线x=m交AB和AC分别于D、E两点,由S△ABC=得S△ADE=,又AC的方程是=1,E在AC上,可求得E(m,),则|DE|=＞0,所以·m·=,解得m=.答案:38.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.解：解方程组所以,l1与l2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1.所以所求直线方程为y=x.另解：求直线交点，求解直线方程也可应用两点式,即y=x.9.已知三角形的三个顶点A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线所在的直线方程.解：过B(3，-3)、C(0，2)的两点式方程为，整理得BC边所在直线方程为5x+3y-6=0.由中点坐标公式可得BC边中点M坐标为(，).过A(-5，0)、M(，)的直线方程为,即x+13y+5=0.10.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.(1)经过定点P(2,-1)；(2)在y轴上截距为6；(3)与y轴平行；(4)与x轴平行.解:(1)点P在直线l上,即P(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把P(2,-1)代入，得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=.(2)令x=0,得y=,由题意知=6,解得m=或0.(3)与y轴平行，则有解得m=.(4)与x轴平行，则有解得m=3.11.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证：不论a为何值时,直线l总经过第一象限；(2)为使直线不过第二象限,求a的取值范围.(1)证明:直线l可化为,所以l的斜率为a且过定点A(),而A()在第一象限,所以l恒过第一象限.(2)解：如图,若直线不过第二象限,则直线必位于直线OA和AB之间,这时直线l的倾斜角大于OA的倾斜角且小于，l的斜率大于直线OA的斜率,因为k OA==3,所以直线l 的斜率a＞3.。

一、教学目标1.知识与技能：（1）理解直线方程的两点式、截距式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的两点式、截距式公式求直线方程；（3）体会直线的截距式方程的几何意义。

2.过程与方法：通过让学生体会直线的点斜式方程与两点式方程的关系，培养学生的只是的相互联系性。

学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3.情感态度与价值观：再根据截距的图象性质进一步培养学生的数形结合的思想，渗透数学中普遍存在的相互关系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、学情分析本节课是在学习直线的点斜式方程的基础上，引导学生根据除了已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径外探讨已知两个点来求直线的方程。

在求直线的方程中，直线方程的点斜式使最基本的，而直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。

在推导直线方程的两点式时，根据直线方程的点斜式这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据已知的两点猜想得到的条件求出直线的方程。

在应用直线两点式方程及截距式方程应注意满足的条件。

三、重点难点教学重点：直线的两点式和截距式方程，两点间的中点公式。

教学难点：直线的两点式方程和截距式方程的推导及应用；两种形式方程表示直线的局限性。

四、教学过程问题1：什么是直线的倾斜角？范围如何？什么是直线的斜率？直线的倾斜角与斜率有何关系？什么样的直线没有斜率？在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？问题2：直线的点斜式方程是？问题3：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,)b，求直线l的方程.新知1：直线l与y轴交点(0,)b的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。

直线=+叫做直线的斜截式方程.y kx b注意：截距b就是函数图象与y轴交点的纵坐标。

问题4：斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论。

五、合作探究例1 直线过点(1,2)-，且斜率为-1，求直线l的点斜式和斜截式方程，并画出直线l.例2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：（1），在y轴上的距截是－2；（2）斜角是0135，在y轴上的距截是0。

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式知识梳理1.直线的倾斜角和斜率 (1)倾斜角α:当直线l 与x 轴相交时，x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和l 重合时所转过的最小角,即为α；当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α=0，故α的取值范围是0≤α＜π. (2)斜率k:k=tanα，当α=0时，k=0；当0＜α＜2π时，k ＞0；当α=2π时，k 不存在；当α＞2π时，k ＜０.(3)两点斜率公式——直线方向坐标化:已知直线上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则直线的斜率k=1212x x y y --(x 1≠x 2).直线方程都是关于x 、y 的一次方程，关于x 、y 的一次方程都表示直线，选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的特殊方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线). 平行于x 轴的直线方程为y=a;平行于y 轴的直线方程为x=b(平行于y 轴的直线的斜率不存在); 过原点的直线方程为y=kx; x 轴的方程是y=0;y 轴的方程是x=0(y 轴的斜率不存在). 知识导学要学好本节内容，应突破已知直线的斜率求直线倾斜角的难点,主要在于对直线倾斜角范围的认识,特别是斜率为负值且不是特殊角的情况,要注意钝角和负角的区别.根据直线的斜率取值范围求倾斜角的取值范围也是本节的难点,特别是斜率既有负值又有正值的情况是比较容易混淆的,这类问题可以结合正切函数的图象写出结果.根据实际问题认清直线方程的五种形式各有自己的特点,解题时作出灵活选择与判断.实际上,我们用的最多的还是点斜式和斜截式的方程,在设出这些方程的时候一定要根据实际的图形来判断斜率不存在的情况,在使用截距式方程时还要讨论过原点的情况,特别是在问题中出现“在两坐标轴上的截距(或者截距的绝对值)相等”这一类的问题. 已知斜率的范围求倾斜角的范围的记忆口诀:斜率有正负,图象来定位. 疑难突破1.方程y=kx+b(k≠0)能表示所有直线吗？剖析:方程y=kx+b(k≠0)是直线方程的一种形式——斜截式，由于直线按斜率分类可以分为两类：一类是存在斜率的直线，另一类是不存在斜率的直线.故方程y=kx+b(k≠0)只能表示斜率存在的直线，而斜率不存在的直线用方程y=kx+b(k≠0)是不能表示的.所以方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线.由方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线，我们可以得出一般性的结论：平面直角坐标系中，凡是根据直线的斜率推导出来的直线方程都不能表示所有的直线.如：点斜式、斜截式、两点式、截距式都不能表示所有直线.2.在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中有三个不同参数A 、B 、C,为什么可由两个独立条件确定一条直线？剖析:根据等式的基本性质：在等式两边同时乘以(或除以)一个非零的数(或式子)，等式仍然成立.由于在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中已经给出了一个已知条件“A、B 不同时为零”，所以从形式上看有三个不同参数，而实际上我们可以把它转化成只含有两个不同参数的方程，即在方程Ax+By+C=0的两边同时除以A(或B)，则原方程可转化为x+A B y+A C =0(或B A x+y+BC=0),也就是说，在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中,形式上尽管有三个不同参数A 、B 、C,但却可由其中的两个独立条件确定一条直线. 根据条件“A、B 不同时为零”进行分类讨论：(1)当A=0，B≠0时，方程Ax+By+C=0即为By+C=0，也就是y=-BC，这是一条与x 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定.(2)当B=0，A≠0时，方程Ax+By+C=0即为Ax+C=0，也就是x=-AC，这是一条与y 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定. (3)当A≠0且B≠0时，方程Ax+By+C=0可转化为x+A B y+A C =0(或B A x+y+BC=0),即原方程可转化为只含有两个待定系数的方程.当然可以由两个独立条件确定.3.利用斜率相等你可以得到哪些结论？ 剖析:斜率公式的应用非常广泛，在利用斜率公式时应注意：(1)直线的倾斜角和斜率是直线本身的属性，它们重视与三角函数的渗透和对字母参数的讨论;(2)斜率与倾斜角是数与形的有机结合.不同的两条直线斜率相等时,它们的倾斜角也相等，所以这两条直线平行.在三点两两相连确定的直线中，如果经过同一点的两直线斜率相等，则这三点共线. 4.研究直线的方程的基础是什么？在学习直线的斜率公式k=1212x x y y --(x 1≠x 2)时需要注意什么？剖析:斜率公式表明直线对于x 轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，因而使用比较方便.斜率(公式)是研究直线方程的各种形式的基础，必须熟记并灵活运用.斜率公式与选取两点的顺序与位置无关.当x 1≠x 2,即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立；当x 1=x 2时，倾斜角α=2，而没有斜率，故斜率公式不成立.。

自我小测1．直线的斜率为4，且直线不通过第一象限，则直线的方程可3能是（）．A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0表示的直线可能是（）．2．方程y＝ax＋1a3．方程Ax＋By＋C＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有（)．A．A·B＞0 B．A·B＜0C．A＞0且B＜0 D．A＞0或B＞04．经过点A（－2,2）且与x轴、y轴围成的面积为1的直线方程是（）．A．2x＋y＋2＝0B．x＋2y＋2＝0或2x＋y－2＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝05．直线221x ya b-=在y轴上的截距是( )．A．｜b| B．－b2C．b2D．±b6．经过点（－1,2)且在x轴上的截距为－3的直线方程为__________．7．经过点A(1,2）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共几条？并求出其直线方程．8．已知直线l：y＝－2x＋6与点A(1，－1)，经过点A作直线m，与直线l相交于点B，且|AB|＝5，求直线m的方程．9.在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次排列，且O、P、Q三点的坐标分别是O(0，0）、P(1，t）、Q(1－2t，2＋t）,其中t(0,＋∞）．(1)求顶点R的坐标;（2）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t)．参考答案1. 答案：B解析：可用排除法．2. 答案:B解析:讨论a 的正负及纵截距即可．3。

答案：B4. 答案：D解析：设直线方程为1,x y a b +=则221,11,2a b ab -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,1a b =⎧⎨=⎩或1,2,a b =-⎧⎨=-⎩代入整理即可．5. 答案：B6. 答案：x －y ＋3＝07. 解：设直线在x 轴、y 轴上截距分别为a ，b ，则|a ｜＝|b ｜,即a ＝±b .若a ＝b ＝0，则直线方程为y ＝kx .∵直线过A (1,2)，∴直线方程为y ＝2x 。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学2-2直线的方程2-2-2直线方程的几种形式自我小测新人教B版必修2______年______月______日____________________部门自我小测1．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝－x －2C ．y ＝x ＋2D ．y ＝x －2 2．如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列命题中：①＝k 表示过定点P(x0，y0)且斜率为k 的直线；y y x x -- ②直线y ＝kx ＋b 和y 轴交于点B ，O 是原点，那么b ＝|OB|； ③一条直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，那么该直线的方程为＋＝1；x a yb④方程(x1－x2)(y －y1)＋(y2－y1)(x －x1)＝0表示过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点的直线．其中错误命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．直线l1：y ＝kx ＋b 和直线l2：＋＝1(k≠0，b≠0)在同一坐标系中的大致图形可以为下列中的( )x k yb5．过点A(1,4)且在x 轴、y 轴上的截距的绝对值相等的直线条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若点P(x ，y)在直线x ＋y ＝12上运动，则＋的最小值为( )21x +216y +A．＋ B．＋ C．13 D．1＋3721321374107．直线y＝x＋1上一点P的横坐标是3，把已知直线绕点P按逆时针方向旋转90°后所得的直线方程是__________．8．已知直线l过点P(－2,3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点．若P点恰为线段AB的中点，则直线l的方程为__________．9．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B 两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为________．10．直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程．11．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．(1)直线经过定点P(2，－1)；(2)直线在y轴上的截距为6；(3)直线与y轴平行；(4)直线与x轴平行．12．某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下表：运输工具途中速度(km/h)途中费用(元/km)装卸时间(h)装卸费用(元)汽车5082 1 000火车10044 2 000 若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为300元/h，A，B两地之间的距离为x km．(1)设采用汽车与火车运输的总费用分别为f(x)与g(x)，求f(x)与g(x)；(2)试根据A，B两地之间的距离x的大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小)．(注：总费用＝途中费用＋装卸费用＋损耗费用)参考答案1．答案：A2．解析：方法一：因为B≠0，所以直线方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－．AB C B因为AC<0，BC<0，所以A，B同号，从而有－<0，－>0．AB C B所以直线的斜率为负，在y轴上的截距为正．从而知直线不通过第三象限．方法二：因为A，B，C均不为零，将直线方程化为＋＝1，由已知得直线在两坐标轴上的截距均为正，易知直线不通过第三象限．xCA-yCB-方法三：令A＝B＝1，C＝－1，则A，B，C符合题意，直线方程化为x＋y＝1，由截距式易知答案．答案：C3．解析：①不是点斜式，因为它不包含点(x0，y0)；②b≠|OB|，b是点B的纵坐标，可正、可负、可为零；③当a＝b＝0时，直线方程不能写成＋＝1；④正确，这是两点式的变形形式，其可以表示过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的所有直线．x a yb答案：D4．解析：直线l2的方程为y ＝－x ＋b ，故l1，l2在y 轴上的截距相等，排除选项C ；选项A 中，由l2知k<0，但l1中k>0，排除选项A ；选项B 中，由l2知k>0，但l1中k<0，排除选项B ；只有选项D 正确．b k答案：D5．解析：当直线经过原点时，横截距、纵截距都为0，符合题意．当直线不经过原点时，设直线方程为＋＝1，由题意得解得或x a y b141,,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩3,3a b =-⎧⎨=⎩5,5.a b =⎧⎨=⎩ 综合可知，符合题意的直线共有3条． 答案：C6．解析：因为点P(x ，y)在直线x ＋y ＝12上，所以y ＝12－x ．所以＋＝＋21x +216y +21x +＝＋．22(0)(01)x -++22(12)(04)x -+-上式可以看成是两个距离的和，一个是点P(x,0)与点A(0，－1)的距离；另一个是点P(x,0)与点B(12,4)的距离，原题即求两个距离和的最小值问题，而动点P 为x 轴上的一点，如图所示，由几何知识可知，当A ，P ，B 三点共线时，|PA|＋|PB|最小．此时，(|PA|＋|PB|)min ＝|AB|＝＝13．2212(41)++ 答案：C7．解析：可先求出点P 的坐标再求出旋转后直线的倾斜角和斜率．由点斜式写出方程．把x ＝3代入方程y ＝x ＋1中得y ＝4，即P(3,4)，因为直线y ＝x ＋1的倾斜角为45°，则将其绕点P 按逆时针方向旋转90°后所得直线的倾斜角为135°，所以所求直线的斜率为－1．由点斜式得直线方程为y －4＝－(x －3)，即x ＋y －7＝0． 答案：x ＋y －7＝0 8．答案：3x －2y ＋12＝09．解析：设直线l 的方程为＋＝1，由已知a>2，b>1．x a yb因为直线l 过点P(2,1)，所以＋＝1．故b ＝．2a 1b 2aa -S△OAB＝a·b＝a·＝·＝·(a>2)．12122a a -1222a a -122112a a -令＝t ，则t∈．1a 10,2⎛⎫⎪⎝⎭S△OAB＝·．12212t t -10,2t ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结合二次函数的性质可知，当t ＝时S△OAB 取到最小值，且最小值为4．14答案：410．解：设所求直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，x a yb因为点P(3,2)在直线上，所以+＝1．①3a 2b又因为直线与坐标轴围成的三角形面积为12，所以ab ＝12．②12由①②可得6,4.a b =⎧⎨=⎩所以所求的直线方程为＋＝1，6x 4y即2x ＋3y －12＝0．11．解：(1)由于点P 在直线l 上，即点P 的坐标(2，－1)适合方程(m2－2m －3)x ＋(2m2＋m －1)y ＝2m －6， 把点P 的坐标(2，－1)代入方程，得 2(m2－2m －3)－(2m2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝．17(2)令x ＝0，得y ＝，根据题意可知＝6，解得m ＝－或0．22621m m m -+-22621m m m -+-13(3)直线与y 轴平行，则有22230,210,m m m m ⎧--≠⎪⎨+-=⎪⎩解得m ＝．12(4)直线与x 轴平行，则有22230,210,m m m m ⎧--=⎪⎨+-≠⎪⎩解得m ＝3．12．解：(1)由题意可知，用汽车运输的总费用为f(x)＝8x ＋1 000＋·300250x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝14x ＋1 600(x>0)，用火车运输的总费用为g(x)＝4x ＋2 000＋·300＝7x ＋3 200(x>0)．4100x ⎛⎫+⎪⎝⎭(2)由f(x)<g(x)得x<；16007由f(x)＝g(x)得x ＝；16007由f(x)>g(x)得x>．16007因此，当A ，B 两地之间的距离小于 km 时，采用汽车运输好；16007当A ，B 两地之间的距离等于 km 时，采用汽车运输与采用火车运输一样；16007当A ，B 两地之间的距离大于 km 时，采用火车运输好．16007。