勾股定理例题

勾股定理是初中数学中的基本定理，常用于解决与直角三角形相关的问题。

以下是一些典型的勾股定理例题：
例题一：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，斜边的长度平方等于两个直角边的长度平方之和。

即斜边的长度x²= 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度x = √25 = 5cm。

例题二：已知一边长为5cm的直角三角形的斜边长度为13cm，求另一条直角边的长度。

解答：根据勾股定理，斜边的长度平方等于两个直角边的长度平方之和。

即5² + x² = 13²，即x² = 169 - 25 = 144，所以直角边的长度x = √144 = 12cm。

例题三：已知一条直角边长为8cm，另一条直角边长x cm，且斜边的长度为10cm，求直角边的长度x。

解答：根据勾股定理，斜边的长度平方等于两个直角边的长度平方之和。

即x² + 8² = 10²，即x² + 64 = 100，即x² = 100 - 64 = 36，所以直角边的长度x = √36 = 6cm。

这些例题都是基于勾股定理的基本原理进行求解的。

通过掌握勾股定理的应用，可以帮助我们解决一些与直角三角形相关的数学问题。

其中√指代根号。

勾股定理练习题及答案问题一：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解答一：根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

设斜边的长度为c，则有：c^2 = 3^2 + 4^2c^2 = 9 + 16c^2 = 25取平方根得到c = 5cm。

所以，斜边的长度为5cm。

问题二：已知直角三角形的斜边长度为10cm，一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。

解答二：设另一条直角边的长度为a。

根据勾股定理，可得：a^2 + 6^2 = 10^2a^2 + 36 = 100a^2 = 100 - 36a^2 = 64取平方根得到a = 8cm。

所以，另一条直角边的长度为8cm。

问题三：已知直角三角形的一条直角边的长度为5cm，另一条直角边的长度为12cm，求斜边的长度。

解答三：设斜边的长度为c。

根据勾股定理，可得：c^2 = 5^2 + 12^2c^2 = 25 + 144c^2 = 169取平方根得到c = 13cm。

所以，斜边的长度为13cm。

问题四：已知直角三角形的斜边长度为15cm，一条直角边的长度为9cm，求另一条直角边的长度。

解答四：设另一条直角边的长度为a。

根据勾股定理，可得：a^2 + 9^2 = 15^2a^2 + 81 = 225a^2 = 225 - 81a^2 = 144取平方根得到a = 12cm。

所以，另一条直角边的长度为12cm。

问题五：已知直角三角形的一条直角边的长度为7cm，另一条直角边的长度为24cm，求斜边的长度。

解答五：设斜边的长度为c。

根据勾股定理，可得：c^2 = 7^2 + 24^2c^2 = 49 + 576c^2 = 625取平方根得到c = 25cm。

所以，斜边的长度为25cm。

以上是五道勾股定理练习题及答案的解答过程。

通过这些练习题，我们可以加深对勾股定理的理解，熟练掌握如何在已知条件下求解三角形的边长。

勾股定理在几何学和实际应用中都有广泛的应用，是数学中的重要概念之一。

1FE DAB CA B C D EG F F 典型例题：一、利用勾股定理解决实际问题 例题：水中芦苇 梯子滑动1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？3、如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 在线巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私A 艇通知反走私艇B 时，A 和C 两艇的距离是20海里，A 、B 两艇的距离是12海里，反走私艇B 测得距离C 是16海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？二、关于翻折问题1、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG.2、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.3、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．4、如图，一张矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。

现将其折叠，使点D 与点B 重合。

求折叠后BE 的长和折痕EF 的长。

1. 如图，一架云梯AC 长为25m ，斜靠在一竖直的墙CO 上，这时梯子底端A 离墙的距离AO 是7m ，如果梯子的顶端C 沿墙下滑了4m ，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？AC AO OC OD OC CD BOD BOD OB BD OD OB AB OB OA ︒=-=-==∴=-=-=∠==-=-==∴=-=-=22222222222575762424420902520225151578由勾股定理得：OC 正数在中，由勾股定理得：正数2.如图，受台风麦莎影响，一棵高18米的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6 m 处，这棵树折断后有多高？ ()(),,,-A C B D C D A O C A O C A B A C B C A B C A B x A C x A B B C A C x x x ====∠=︒+==∠︒+=+=-=∴222222254901861861888 由题意知：在中，由题意知：在中，A B C =90设为则为由勾股定理得:解得这棵树折断后米()(),,,-A C B D C D A O C A O C A B A C B C A B C A B x A C x A B B C A C x x x ====∠=︒+==∠︒+=+=-=∴222222254901861861888 由题意知：在中，由题意知：在中，A B C =90设为则为由勾股定理得:解得这棵树折断后米3.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH ．如图所示，点D 在离厂门中线0.8米处，且CD ⊥ＡＢ， 与地面交于H ． 解：OC ＝1米 (大门宽度一半)， OD ＝0.8米 （卡车宽度一半） 在Rt △ OCD 中，由勾股定理得： CD ＝＝＝０.６米，C Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．4.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为多少？解：∵△ADC 是直角三角形∴AC ²=AD ²+DC ²=4²+3²=5²（注：这是在用勾股定理） ∵AC ²+BC ²=5²+12²=169 AB ²=13²=169 ∴AC ²+BC ²=AB ²∴△ABC 是直角三角形（注：这是在用勾股定理的逆定理） ∴S 地=S △ABC -S △ADC =24243251222=⨯-⨯=⋅-⋅AD CD BC AC （米2） 5.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，先将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD解：在Rt △ABC中，AB ²=AC ²+BC ²=6²+8²=100=10² ∴AB=10（cm ） ∵AE=AC=6cm ， ∴EB=4cm ∵∠AED=∠C=90° ∴∠DEB=90°∴△DEB 是直角三角形 ∴DE ²+EB ²=DB ² 设CD=xcm ，则DE=CD=xcm ，DB=（8-x ）cm ∴x ²+4²=(8-x)² 解得x=3，所以，CD=3cmA B C(),,,C M B C A B A MA C x AB A M x AC M A C M A C C MA Mx x x =⨯=====+∠=︒+=+=+=+=∴2222221105121905112121131213 如图，由题意知设为则在中，由勾股定理得：解得：水深尺，芦苇长尺6.如图所示，将长方形纸片ABCD 的一边AD 向下折叠，点D 落在BC 边的F 处。

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1.在Rt△ABC中,∠C=90°(1)已知a=6, c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求 a. 思绪点拨:写解的进程中,必定要先写上在哪个直角三角形中,留意勾股定理的变形运用. 解析：(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=(2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=(3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=触类旁通【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是若干?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是 4. 类型二：勾股定理的结构运用 2.如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.思绪点拨：由前提,想到结构含角的直角三角形,为此作于D,则有,,再由勾股定理盘算出AD.DC的长,进而求出BC的长. 解析：作于D,则因, ∴（的两个锐角互余）∴（在中,假如一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理,在中,. 依据勾股定理,在中,. ∴.触类旁通【变式1】如图,已知：,,于P. 求证：.解析：贯穿连接BM,依据勾股定理,在中,. 而在中,则依据勾股定理有. ∴又∵（已知）, ∴. 在中,依据勾股定理有, ∴. 【变式2】已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求：四边形ABCD的面积.剖析：若何结构直角三角形是解本题的症结,可以贯穿连接AC,或延伸AB.DC交于F,或延伸AD.BC交于点E,依据本题给定的角应选后两种,进一步依据本题给定的边选第三种较为简略. 解析：延伸AD.BC交于 E.∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==.∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==. ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的现实运用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3.如图所示,在一次夏令营运动中,小明从营地A点动身,沿北偏东60°偏向走了到达B点,然后再沿北偏西30°偏向走了500m到达目标地C点. （1）求A.C两点之间的距离.（2）肯定目标地C在营地A的什么偏向.解析：（1）过B点作BE//AD∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°即△ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m,AB=由勾股定理可得：所以（2）在Rt△ABC中, ∵BC=500m,AC=1000m ∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的偏向触类旁通【变式】一辆装满货色的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门外形如图的某工场,问这辆卡车可否经由过程该工场的厂门?【答案】因为厂门宽度是否足够卡车经由过程,只要看当卡车位于厂门正中央时其高度是否小于CH．如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥ＡＢ, 与地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半), OD＝0.8米（卡车宽度一半）在Rt△OCD中,由勾股定理得：CD＝＝＝０.６米, CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．是以高度上有0.4米的余量,所以卡车能经由过程厂门．（二）用勾股定理求最短问题4.国度电力总公司为了改良农村用电电费过高的近况,今朝正在全国各地农村进行电网改革,某地有四个村庄A.B.C.D,且正好位于一个正方形的四个极点,现筹划在四个村庄结合架设一条线路,他们设计了四种架设筹划,如图实线部分．请你关心盘算一下,哪种架设筹划最省电线．思绪点拨：解答本题的思绪是：最省电线就是线路长最短,经由过程运用勾股定理盘算线路长,然落后行比较,得出结论．解析：设正方形的边长为1,则图（1）.图（2）中的总线路长分离为AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝ 3 图（3）中,在Rt△ABC中同理∴图（3）中的路线长为图（4）中,延伸EF交BC于H,则FH ⊥BC,BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝3＞ 2.828>2.732 ∴图（4）的衔接线路最短,即图（4）的架设筹划最省电线．触类旁通【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短旅程．解：如图,在Rt△ＡＢＣ中,ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm,依据勾股定理得（提问：勾股定理）∴ AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．答：最短旅程约为１０．７７cm．类型四：运用勾股定理作长为的线段5.作长为..的线段.思绪点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,相似地可作.作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB,使AB为斜边;（2）以AB为一条直角边,作另一向角边为1的直角.斜边为;（3）按序如许做下去,最后做到直角三角形,如许斜边...的长度就是....触类旁通【变式】在数轴上表示的点.解析：可以把看作是直角三角形的斜边,,为了有利于绘图让其他双方的长为整数,而10又是9和1这两个完整平方数的和,得别的双方分离是3和1.作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为.类型五：逆命题与勾股定理逆定理6.写出下列原命题的逆命题并断定是否准确1．原命题：猫有四只脚．（准确）2．原命题：对顶角相等（准确）3．原命题：线段垂直等分线上的点,到这条线段两头距离相等．（准确）4．原命题：角等分线上的点,到这个角的双方距离相等．（准确）思绪点拨：控制原命题与逆命题的关系.解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不准确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不准确）3. 逆命题：到线段两头距离相等的点,在这条线段的垂直等分线上．•（准确）4. 逆命题：到角双方距离相等的点,在这个角的等分线上．（准确）总结升华：本题是为了进修勾股定理的逆命题做预备.7.假如ΔABC的三边分离为a.b.c,且知足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,断定ΔABC的外形.思绪点拨：要断定ΔABC的外形,须要找到a.b.c的关系,而标题中只有前提a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该前提入手,解决问题.解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0.∴ a=3,b=4,c=5.∵ 32+42=52,∴ a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形.总结升华：勾股定理的逆定理是经由过程数目关系来研讨图形的地位关系的,在证实中也常要用到.触类旁通【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.【答案】：贯穿连接AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）【变式2】已知:△ABC的三边分离为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),断定△ABC是否为直角三角形.剖析:本题是运用勾股定理的的逆定理, 只要证实:a2+b2=c2即可证实：所以△ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB.请问FE与DE是否垂直?请解释.【答案】答：DE⊥EF.证实：设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.衔接DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2.∴ DF2=EF2+DE2,∴ FE⊥DE.经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法 1.若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.思绪点拨：在直角三角形中知道双方的比值和第三边的长度,求面积,可以先经由过程比值设未知数,再依据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积.解析：设此直角三角形两直角边分离是3x,4x,依据题意得：（3x）2+（4x）2＝202化简得x2＝16; ∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96 总结升华：直角三角形边的有关盘算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程（组）求解. 触类旁通【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积.【答案】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于 D 则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）∴BD＝ 1 在直角三角形ABD中,AB2＝AD2+BD2,即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝ 3 ∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为 a.【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积. 【答案】设此直角三角形两直角边长分离是x,y,依据题意得：由（1）得：x+y＝7, （x+y）2＝49,x2+2xy+y2＝49 (3) (3)－(2),得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）【变式3】若直角三角形的三边长分离是n+1,n+2,n+3,求n. 思绪点拨：起首要肯定斜边（最长的边）长n+3,然后运用勾股定理列方程求解. 解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2化简得：n2＝ 4 ∴n＝±2,但当n＝－2时,n+1＝－1<0,∴n＝ 2 总结升华：留意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在标题没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情形下,起首要先肯定斜边,直角边. 【变式4】以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是（）A.8,15,17 B.4,5,6 C.5,8,10 D.8,39,40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行断定, 对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来断定. 例如：对于选择D, ∵82≠（40+39）×（40－39）, ∴以8,39,40为边长不能构成直角三角形. 同理可以断定其它选项.【答案】：A【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.解：贯穿连接AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36类型二：勾股定理的运用2.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m.假设拖沓机行驶时,四周100m以内会受到噪音的影响,那么拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶时,黉舍是否会受到噪声影响？请解释来由,假如受影响,已知拖沓机的速度为18km/h,那么黉舍受影响的时光为若干秒？思绪点拨：（1）要断定拖沓机的噪音是否影响黉舍A,本质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并盘算其长度.（2）请求出黉舍受影响的时光,本质是请求拖沓机对黉舍A的影响所行驶的旅程.是以必须找到拖沓机行至哪一点开端影响黉舍,行至哪一点后停止影响黉舍. 解析：作AB⊥MN,垂足为 B. 在RtΔABP中,∵∠ABP＝90°,∠APB＝30°, AP＝160,∴AB＝AP＝80. （在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半）∵点A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响. 如图,假设拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶到点C处黉舍开端受到影响,那么AC＝100(m), 由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60.同理,拖沓机行驶到点D处黉舍开端离开影响,那么,AD＝100(m),BD＝60(m), ∴CD＝120(m). 拖沓机行驶的速度为: 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s.答：拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶时,黉舍会受到噪声影响,黉舍受影响的时光为24秒. 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很主要的办法,若图形缺乏直角前提,则可以经由过程作关心垂线的办法,结构直角三角形以便运用勾股定理.触类旁通【变式1】如图黉舍有一块长方形花圃,有少少数工资了避开拐角而走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m）,却踩伤了花卉.解析：他们本来走的路为3+4＝7(m) 设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7－5＝2(m) 又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路.【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,如许的三角形称为单位正三角形. （1）直接写出单位正三角形的高与面积. （2）图中的平行四边形ABCD含有若干个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是若干？（3）求出图中线段AC的长（可作关心线）.【答案】（1）单位正三角形的高为,面积是. （2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,是以其面积. （3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示）,则在Rt△ACK中,,,故类型三：数学思惟办法（一）转化的思惟办法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,结构直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．3.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E.F分离是AB.AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长.思绪点拨：现已知BE.CF,请求EF,但这三条线段不在统一三角形中,所以症结是线段的转化,依据直角三角形的特点,三角形的中线有特别的性质,不妨先衔接AD．解：衔接AD．因为∠BAC=90°,AB=AC．又因为AD为△ABC的中线, 所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中,依据勾股定理得：,所以EF=13.总结升华：此题考核了等腰直角三角形的性质及勾股定理等常识.经由过程此题,我们可以懂得：当已知的线段和所求的线段不在统一三角形中时,应经由过程恰当的转化把它们放在统一向角三角形中求解.（二）方程的思惟办法4.如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求..的值.思绪点拨：由,再找出.的关系即可求出和的值. 解：在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°, 则,由勾股定理,得. 因为,所以,,,. 总结升华：在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半. 触类旁通：【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长. 解：因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF. 因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°, 在Rt△ABF中,AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,所以.所以. 设,则. 在Rt△ECF中,,即,解得.即EF的长为5cm.。

勾股定理常见习题考点一：勾股定理1） 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

题型一：直接考查勾股定理 例１. 在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.题型三：利用勾股定理求线段长度——例题：如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.题型四：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242c mB 、36 2c mC 、482c mD 、602c m考点二：勾股定理的逆定理 题型一：勾股数的应用（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6B. 2，3，4C. 11，12，13D. 8，15，17（2）若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）A 、2∶3∶4B 、3∶4∶6C 、5∶12∶13D 、4∶6∶7 题型二：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 （1）下面的三角形中：①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3； ③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5；④△ABC 中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A ． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 考点三：勾股定理的应用 题型一：面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ）A. 13B. 26C. 47D. 94 题型二：求长度问题在一棵树10m 高的B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处；•另外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？CBABCDE题型三：最短路程问题（1）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A 要爬到顶点B ，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。

勾股定理复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。

它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。

它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、知识结构：三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。

类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC 的长.1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、450a 元 B 、225a 元C 、150a 元D 、300a 元举一反三【变式1】如图，已知：，，于P . 求证：.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD 的面积。

150°20m30m类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（二）用勾股定理求最短问题4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段。

作法：如图所示举一反三【变式】在数轴上表示的点。

解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

经典例题透析(一)类型一：勾股定理的直接用法1:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.3如图，已知：，，于P. 求证：.4已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

（二）用勾股定理求最短问题如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段。

举一反三【变式】在数轴上表示的点。

经典例题透析(二)类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

勾股定理经典例题（含答案）勾股定理经典例题类型⼀：勾股定理的直接⽤法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，⼀定要先写上在哪个直⾓三⾓形中，注意勾股定理的变形使⽤。

举⼀反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型⼆：勾股定理的构造应⽤2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.1、某市在旧城改造中，计划在市内⼀块如图所⽰的三⾓形空地上种植草⽪以美化环境，已知这种草⽪每平⽅⽶售价a元，则购买这种草⽪⾄少需要（）A、450a元B、225a 元C、150a元D、300a元举⼀反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.150°20m 30m【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的⾯积。

类型三：勾股定理的实际应⽤（⼀）⽤勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所⽰，在⼀次夏令营活动中，⼩明从营地A点出发，沿北偏东60°⽅向⾛了到达B 点，然后再沿北偏西30°⽅向⾛了500m到达⽬的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定⽬的地C在营地A的什么⽅向。

举⼀反三【变式】⼀辆装满货物的卡车，其外形⾼2.5⽶，宽1.6⽶，要开进⼚门形状如图的某⼯⼚，问这辆卡车能否通过该⼯⼚的⼚门?（⼆）⽤勾股定理求最短问题4、如图，⼀圆柱体的底⾯周长为20cm，⾼ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底⾯的直径．⼀只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧⾯爬⾏到点C，试求出爬⾏的最短路程．类型四：利⽤勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段。

作法：如图所⽰举⼀反三【变式】在数轴上表⽰的点。

解析：可以把看作是直⾓三⾓形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，⽽10⼜是9和1这两个完全平⽅数的和，得另外两边分别是3和1。

勾股定理典型例题11.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，40 2.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）（A ）1、2、3 （B ）2223,4,5 （C ）1,2,3 （D ）3,4,53.在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且2()()a b a b c +-=，则（ ）（A ）A ∠为直角 （B ）C ∠为直角 （C ）B ∠为直角 （D ）不是直角三角形4.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草。

5.已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为 .6.现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ） A ．30厘米 B ．40厘米 C ．50厘米 D ．以上都不对7.图中字母A 所在的正方形的面积是 ．8.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是64cm 2，则最大的正方形的边长为 cm ．9.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m 处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 ( )m ．第8题图第9题图10.如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=．11,如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm12.长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．13.如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.14.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

勾股定理的例题
勾股定理是一个基本的几何定理,它的内容是:在一个直角三角形中,直角边的平方之和等于斜边的平方。

下面是一些勾股定理的例题:
1. 一个直角三角形的两条直角边长度分别为3和4,求斜边的长度。

2. 一个三角形的三条边长度分别为5、6、7,如果三角形的面积为12,请计算这个三角形的面积。

3. 一个正方形的边长为6,它的对角线长度为12,求这个正方形的面积。

4. 一个三角形的两条边长度分别为4和5,如果三角形的周长为10,请判断这个三角形是否是直角三角形。

5. 在一个直角三角形中,已知两个直角边长度,求斜边的长度。

下面是一些解决勾股定理例题的技巧:
1. 在直角三角形中,要判断一个公式是否适合,只需要比较直角边的长度是否等于斜边的长度即可。

如果两个直角边的长度相等,那么这个公式就是适合这个直角三角形的。

2. 如果已知两个直角边的长度,但是不知道斜边的长度,可以利用勾股定理的逆定理来解决这个问题,即可以通过已知的两个直角边长计算出斜边的长度。

3. 在解决勾股定理问题时,一定要注意三角形的面积,因为三角形的面积可以转化为直角三角形的面积,而直角三角形的面积公式是
与勾股定理相关的。

1.基础应用题目：在一个直角三角形中，已知直角边a为3，直角边b为4，求斜边c的长度。

答案：根据勾股定理，c² = a² + b²，所以c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，从而c = 5。

2.逆应用题目：已知直角三角形的斜边c为5，一条直角边a为3，求另一条直角边b的长度。

答案：根据勾股定理，b² = c² - a²，所以b² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16，从而b = 4。

3.实际应用题目：一个直角三角形的两条直角边分别是6米和8米，一个正方形的一边与这个直角三角形的斜边重合，求这个正方形的面积。

答案：首先，根据勾股定理求出斜边长度c，c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100，所以c = 10。

正方形的面积为边长的平方，即10² = 100平方米。

4.比较大小题目：比较两个数的大小：√17和4。

答案：考虑直角边为1和4的直角三角形，斜边c满足c² = 1² + 4² = 17，所以c = √17。

显然，斜边c（即√17）大于直角边4。

5.多解问题题目：一个直角三角形的周长为12，其中一条直角边长为3，求另外两边的长。

答案：设另一条直角边为a，斜边为b。

根据勾股定理，a² + 3² = b²。

同时，根据周长信息，a + 3 + b = 12，即a + b = 9。

解这两个方程，得到两组解：a = 4, b = 5 和a = 5, b = 4。

6.非整数边长问题题目：在直角三角形中，已知直角边a为√3，直角边b为√4，求斜边c的长度。

答案：根据勾股定理，c² = a² + b²，所以c² = (√3)² + (√4)² = 3 + 4 = 7，从而c = √7。

八年级数学勾股定理30道必做题（含答案和解析）1、如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a ，b ，c. A ，B ，N ，E ，F 五点在同一直线上，则c ＝ ．（用含有a ，b 的代数式表示）．答案：√a 2+b 2.解析：由三个正方形如图的摆放.∵四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形. ∴∠CNB ＋∠ENH ＝90°.又∵∠CNB ＋∠NCB ＝90°，∠ENH ＋∠EHN ＝90°. ∴∠CNB ＝∠EHN ，∠NCB ＝∠ENH. 在△CBN 和△NEH 中：{∠BNC =∠EHNNC =HN ∠NCB =∠HNE .∴△CBN ≌△NEH （ASA ）. ∴HE ＝BN.在Rt △CBN 中，BC 2＋BN 2＝CN 2.又已知三个正方形的边长分别为a ，b ，c. 则有a 2＋b 2＝c 2. ∴c =√a 2+b 2．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理. 四边形——正方形——正方形的性质.2、在Rt △ABC 中，斜边长BC ＝3，AB 2＋AC 2＋BC 2的值为（ ）． A.9 B.18 C.6 D. 无法计算答案：B.解析：在Rt△ABC中，斜边长BC＝3.BC2＝AB2＋AC2＝9.∴AB2＋AC2＋BC2＝9＋9＝18．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.3、三角形三边长分别为① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．其中能构成直角三角形的有．答案：①②③④⑤⑥.解析：① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．全都能构成直角三角形．考点：三角形——直角三角形——勾股数.4、已知点A（3,5），B（-1，1）那么线段AB的长度为（）．A.4B.3√2C.4√2D.5答案：C.解析：已知A（3,5）和B（-1，1），由两点间的距离公式可知AB=√(3+1)2+(5−1)2=4√2．考点：函数——平面直角坐标系——坐标与距离.5、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为，斜边上的高为．答案：1．5√2.2．5.解析：等腰三角形的三边关系为1∶1∶√2.因为等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为5√2.斜边上的高，即为斜边的中线，为斜边的一半，长为5．考点：三角形——直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.6、若正方形的周长为40，则其对角线长为（）．A.100B.20√2C.10√2D.10答案：C.解析：正方形边长为10，根据勾股定理得对角线长为10√2．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AC的长是（）．A.2B.√32C.√3D.√3+2答案：C.解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.8、等边三角形的边长为4，则它的面积是．答案：4√3 .解析：等边三角形的面积=√34×42=4√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.9、已知一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，则此三角形斜边是__________，斜边上的高为__________．A.5；125B.6；145C.6；125D.5；145答案：A.解析：略.考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.直角三角形——勾股定理.10、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它的斜边上的高为．答案：6013.解析：设斜边的长为c，斜边上的高为h.∵直角三角形的两直角边长分别为5和12.∴c=√52+122=13.∴5×12＝13h，解得h＝60．13考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.11、如图所示，小明同学在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两端点B，C点的仰角分别为60°和30°，则条幅的高度BC为米（结果可以保留根号）．答案：4√3.=2√3，BC=BD−CD=4√3．解析：依题可知，BC=6√3，CD=√3考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.三角形——锐角三角函数——解直角三角形.12、一张直角三角形的纸片，按图所示折叠，使两个锐角的顶点A，B重合，若∠B＝30°，AC＝√3，则DC的长为．答案：1.解析：由题知∠DAE＝∠B＝30°.∴∠DAC＝90°－∠B－∠DAE＝30°．AC=1．∴在Rt△ADC中，DC=√33考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.13、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，D是AB延长线上一点且∠CDB＝45°．求DB与DC的长．答案：证明见解析．解析：过C作CE⊥AB于E.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4.∴BC＝2，∠ABC＝60°.∴∠BCE＝30°.∴BE＝1，CE＝√3.在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠CDB＝45°.∴∠ECD＝45°.∴DE＝CE＝√3.∴CD＝√CE2+DE2=√6.∴BD＝√3－1．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.14、如图，数轴上有两个Rt△OAB，Rt△OCD，OA，OC是斜边，且OB＝1，AB＝1，CD＝1，OD＝2，分别以O为圆心，OA，OC为半径画弧交x轴于E，F，则E，F分别对应的数是.答案：−√2，√5.解析：在Rt△OAB中，OA＝√OB2+AB2=√2.∴OE＝√2.∴点E对应的数为−√2．在Rt△OCD中，OC＝√OD2+CD2=√5.∴OF＝√5.∴点F对应的数为√5．考点：数——有理数——数轴.三角形——直角三角形——勾股定理.15、在△ABC中，三条边的长分别为AB＝√5，BC＝√10，AC＝√13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格，其中每个小正方形的边长为1，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样就不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为√2a，√13a，√17a(a>0).请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上．（3）若△ABC中有两边的长分别为√2a,√10a(a>0).且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上．.答案:（1）72a2.（2）52（3）4a或2√2a.解析:（1）△ABC的面积为72．（2）△ABC的面积为52a2.（3）图中三角形为符合题意的三角形．第三边的长度为4a或2√2a.考点：函数——平面直角坐标系——坐标与面积.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.16、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝5，c＝4，则S△ABC＝．答案：94.解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2＋b2＝c2．又有(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∴(a＋b)2－c2＝2ab.∴S△ABC＝12ab=94．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.17、已知Rt△ABC的周长为2+√6，其中斜边AB＝2，则这个三角形的面积为．答案：12.解析：在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b．由勾股定理得a2＋b2＝4．由题意得a ＋b ＋2＝2＋√6. ∴a ＋b ＝√6. ∴ab =(a+b)2−(a 2+b 2)2=6−42=1．∴s =12ab =12．考点：式——整式——完全平方公式.三角形——直角三角形——勾股定理.18、在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为 ． 答案：132cm. 解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.19、如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求水深是多少？答案：水深为1.5米．解析：设水深AC 为x 米．则红莲的长是(x ＋1)米．在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴(x ＋1)2＝x 2＋4． 解得x ＝1.5． 答：水深为1.5米．考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的应用.20、如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA ⊥AB ，AD ＝1，BD ＝√17，则BC 的长为 ．.答案：178解析：在Rt△ABD中，由勾股定理可知，AD＝1，BD＝√17，AB＝4．设BC＝BD＝x，AC＝4－x..由勾股定理可知12＋(4－x)2＝x2，解得x＝178考点：三角形——直角三角形——勾股定理.21、如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于．答案：6.解析：∵AB＝10，EF＝2.∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4.∴四个直角三角形的面积和为100－4＝96.ab=96.设AE＝a，DE＝b，即4×12∴2ab＝96，a2＋b2＝100．∴a＋b＝14.∵a－b＝2.解得a＝8，b＝6.∴AE＝8，DE＝6.∴AH＝8－2＝6．考点：方程与不等式——二元一次方程组——解二元一次方程组.三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.22、在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，则AB边的长是．答案：13或√119.解析：若AC＝5，BC＝12都是直角边，则AB＝13．若BC＝12是斜边，则AB＝√122−52=√119．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.23、等腰三角形的一边长为12，另一边长是10，则其面积为．答案：48或5√119.解析：作出底边上的高AD.当AB＝AC＝12，BC＝10时，BD＝5.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√119．∴S=12BC×AD=12×10×√119=5√119．当AB＝AC＝10，BC＝12时，BD＝6.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√102−62=8．∴S=12BC×AD＝48.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.24、在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2．答案：66或126.解析：如图所示，分如下两种情况：由勾股定理可得，B1H＝B2H＝5，CH＝16．∴CB1＝21，CB2＝11.∴△ABC的面积为66或126cm2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.25、下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）．A.3，4，5B.1，1，√2C.5，12，13D.4，6，8答案：D.解析：∵32＋42＝52，∴选项A正确.∵12＋12＝(√2)2，∴选项B正确.∵52＋122＝132，∴选项C正确.∵42＋62≠82，∴选项D错误．考点：三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.26、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如果三边长满足b2－a2＝c2，那么△ABC中互余的一对角是．答案：∠A和∠C.解析：∵b2－a2＝c2.∴b2＝a2＋c2.∴△ABC为直角三角形，且∠B＝90°.∴∠A＋∠C＝90°．考点：几何初步——角——余角和补角.三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.27、如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD．求证：△AEF 是直角三角形．答案：证明见解析．解析：如图所示，延长FE交AB的延长线于点G.∵∠C＝∠GBE＝90°，CE＝BE，∠1＝∠2．∴△CEF≌△BEG．∴EF＝EG，CF＝BG．设正方形ABCD的边长为a，则CF＝14a，DF＝34a．在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AF2＝AD2＋DF2＝a2+(34a)2=2516a2．∴AF=54a，BG=14a．∴AG=54a.∴AF＝AG．∵EF＝EG.∴AE⊥FG．∴∠AEF＝90°．∴△AEF是直角三角形.考点：三角形——全等三角形——全等三角形的应用.三角形——等腰三角形——等腰三角形的性质.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.28、如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．答案：四边形ABCD的面积为1＋√5．解析：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.∴AC＝√AB2+BC2=√5．在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋4＝9＝AD2.∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD＝12AB×BC+12AC×CD=12×1×2+12×√5×2=1+√5.故四边形ABCD的面积为1＋√5．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.29、在△ABC中，点D为BC的中点，点M，N分别为AB，AC上的点，且MD⊥ND．（1）若∠A＝90°，以线段BM，MN，CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形？（2）如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2，求证AD2=14(AB2+AC2)．答案：（1）能，该三角形是直角三角形．（2）证明见解析．解析：（1）略.（2）延长ND至E，使DE＝DN，连接EB，EM，MN．因为DE＝DN，DB＝DC，∠BDE＝∠CDN，则△BDE≌△CDN．从而BE＝CN，∠DBE＝∠C．而DE＝DN，∠MDN＝90°，故ME＝MN.因此DM2＋DN2＝MN2＝ME2.即BM2＋BE2＝ME2，则∠MBE＝90°.即∠MBD＋∠DBE＝90°．因为∠DBE＝∠C，故∠MBD＋∠C＝90°．则∠BAC＝90°．AD为Rt△ABC斜边BC上的中线.BC．故AD＝12(AB2+AC2)．由此可得AD2=14考点：三角形——全等三角形——全等三角形常用辅助线——倍长中线.三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理.30、阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP’C，连接PP’，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．（1）图1中∠APB的度数等于．（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2√2，PB＝1，PD＝√17，则∠APB的度数等于，正方形的边长为．（3）如图，在正六边形ABCDEF内有一点，且PA＝2，PB＝1，PF＝√13，则∠APB的度数等于，正六边形的边长为（并写出解答过程）．答案:（1）150°.（2）1．135°.2．√13.（3）1．120°.2．√7.解析：（1）∵△ABC为正三角形，PA＝P’A.∴△AP P’为正三角形.∴∠A P’P＝60°，P’P＝AP＝3.∵P’C＝PB＝4，PC2＝P’P2＋P’C2.∴∠PP’C＝90°.∴∠APB＝∠AP’C＝150°.（2）1．135°；2．√13.（3）图4中∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为√7．将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F，连接P’P．过点A作AN⊥P’P，过点A作AH⊥FP’于点H．∵△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F.∴∠PAP’＝120°，P’A＝PA＝2，P’F＝PB＝1.∴∠AP’P＝30°．在Rt△ANP’中，P’A＝2AN＝2.∴P’N＝√3．∴PP’＝2√3．在△FPP’中，PF＝√13，PP’＝2√3，P’F＝2．∴PF2＝P’F2＋P’P2.∴∠FP’P＝90°．∴∠APB＝∠FP’A＝∠FP’P＋∠AP’P＝120°.∴∠HP’A＝60°．在Rt△HP’A中，AP’＝2, ∠P’AH＝30°．∴HP’＝1．在Rt△HFA中，FA2＝FH2＋HA2.∴FA＝√FH2+HA2=√7.考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.几何变换——图形的旋转——旋转全等.。

初二勾股定理经典例题例题1：在直角三角形中，斜边长为10，一直角边长为6，则另一直角边的长为 _______．解释：根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和。

设另一直角边长为$x$，则有$10^2 = 6^2 + x^2$，解得$x = 8$。

例题2：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕边AC旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 _______．解释：由于△ABC是直角三角形，且AC为直角边，BC为斜边。

根据勾股定理，$AB^2 = AC^2 + BC^2$，解得斜边AB=5。

旋转后的圆锥侧面积是$π\times AB \times BC$，计算得$4\pi \times 5 = 20\pi$。

例题3：在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB边上的中线长为_______．解释：利用勾股定理在直角三角形中求斜边上的中线长度。

已知直角三角形的两直角边为AC和BC，斜边为AB。

根据勾股定理有$AB^2 = AC^2 +BC^2$，解得斜边AB的长度为10。

再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以中线长度为$\frac{10}{2} = 5$。

例题4：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB边上的高为 _______．解释：利用三角形的面积公式和勾股定理求解。

已知直角三角形的两直角边为AC和BC，斜边为AB。

根据勾股定理有$AB^2 = AC^2 + BC^2$，解得斜边AB的长度为5。

再根据三角形的面积公式有$\frac{1}{2} \times AC\times BC = \frac{1}{2} \times AB \times h$（h为高），解得高h为$\frac{12}{5}$。

例题5：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则AC的长为 _______．解释：已知直角三角形ABC的两直角边BC和斜边AB的长度。

勾股定理和勾股定理逆定理经典例题题型一：直接考查勾股定理 例1 在△ABC 中,∠C=90° 1已知AC=6,BC=8,求AB 的长； 2已知AB=17,AC=15,求BC 的长.题型二：利用勾股定理测量长度1、如果梯子的底端离建筑物9m,那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米2、如图,水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是0.5米,把芦苇拉倒岸边,它的顶端B 恰好落在D 点,求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用1、如图,正方形ABCD 中,E 是BC边的中点,F 是AB 上一点,且FB=41AB,那么△DEF 是直角三角形吗如果是,请说明理由.题型四：勾股定理在折叠问题中的应用 1、如图,已知在长方形ABCD 中点E,将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F,求CE 的长. 拓展延伸：求折痕的长及重叠部分的面积.ABC DABC A BDE F经典例题训练：1、如图,在高2米,坡角为,地毯的长至少需 米；2,2.5cm,高为,问吸管要做 cm ；3、已知：如图,△ABC 中,∠C=90°,点O 为△ABC 的三条角平分线的交点,OD ⊥BC,OE ⊥AC,OF ⊥AB,点D 、E 、F 分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O 到三边AB,AC 和BC 的距离分别等于 cm ；,距离则这棵树高 米；5、如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm,A 和B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 ；A BDE F第3题ABCD第4题第5题B1、如图,△ABC 中,∠BAC=45°,AD ⊥BC,BD=3,CD=2,求△ABC 的面积.2、 如图,△ABC 中,AD 是BC 边上的中线∠EDF=90°,DE 、F 分别交AB,AC 于点证：△ABC 为直角三角形.AC。