4.6.2 角的比较与运算 zhang

有一天学生张靓和王帅各带了一把折扇(状态如下), 下面是他们的一段对话: 张:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一 些. 王:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
F 同学们,你们有办法帮 他们进行判断吗? A
C
B
D
E
怎样比较∠ABC和∠DEF的大小?
度量法
用量角器分别测量出两个角的度数, 通过度数大小来判断两个角的大小.
A
两重一同
B C E
D
F
比较∠ABC 和 ∠DEF的大小 把∠DEF移动，使它的顶点E和∠ABC的顶 点B重合，一边EF和BC重合，另一边ED和BA落 D 在BC的同旁。
A
B （ ）
（ ） C
E
F
ED落在∠ABC的外部，则∠DEF＞∠ABC。
例如： 比较∠ABC
和 ∠DEF的大小
把∠DEF移动，使它的顶点E和 ∠ABC的顶点B重合，一边EF和BC重合， 另一边ED和BA落在BC的同旁。
E
A
O
∴∠EOF=∠EOC+∠COF 1∠AOC+ 1∠COB = 2 2 1 = 2（∠AOC+∠COB) =90°
如图，OC平分∠AOD,∠BOD=2∠AOB.若∠AOD=114°， 求∠BOC的度数？ 解：∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=114° B A C ∠BOD=2∠AOB 1 ∴∠AOB= 3 ∠AOD=38° O D ∵OC平分∠AOD ∴∠AOC= 1 ∠AOD=57° 2 （角平分线的定义） ∴∠BOC=∠AOC－∠AOB =57°－38° =19°
A
思考：下图中共有几个 角？它们有什么关系？
C
O 完成下列问题： ∠AOB ∠AOC ∠BOC 1、图中共有＿＿个角，它们分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3 ∠AOC ∠BOC 2、∠AOB＝＿＿＿＿+＿＿＿＿＿ ∠AOB ∠BOC 3、∠AOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿ ∠AOB ∠AOC 4、∠BOC＝＿＿＿＿－＿＿＿＿＿
借助一副三角尺，大家都能画出哪些度 数的角？
75°
C D
( 1 )
( 2 )
DAB =
ACB =
DAC+
DCB –
CAB
DCA
A
B
C
从一个角的顶点出发， 把这个角分成相等的两 个角的射线叫做这个角 O 的角平分线。
B A
或
OB 平分 AOC （ 已知 ） 1 AOB = BOC = 2 AOC AOC=2 AOB=2 BOC（ 角平分线的定义 ）
7 30 55 0.5 237.5
则时针与分针夹角的度数为：
330 237.5 92.5
如图2所示，当时间为7：15时，计算时针与分 针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。 解：时针走过的角度为：
7 30 15 0.5 217.5
分针走过的角度为：
类似地：还有角的三等分线
D C
如图
B
3 2 ⌒
O

A
OB、OC是∠AOD的三等分线
角的加减运算:
56°34’+21°51’=________
180°-52°31’=________
77°42’+34°45’=________
'
108°-(34°54’+21°33’)=_____ 108°18’-56°23’=________
回到开始的问题,张靓和王帅同学的对话中 说的折扇的大小和长短能判断角的大小吗?
结论:角的两边张开越大，角就越大,与 所画边的长短无关.
已知∠AOB,用圆规、尺子画一个相等的角 B′ B 。 D′ D
O A C C′ A′ O′ 1.画射线O’A’; 2.以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于C,交OB 于D； 3.以O’为圆心，以OC长为半径画弧，交O’A’于C’； 4.以点C’为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于 D’； 5.经过点D’画射线O’B’ ∠B′O ′A ′即为所画的角。
B
1、如图，用〝=〞或 〝>〞或 〝<〞填空 A (1)AOC ____ AOB BOC ; B (2)AOC ____ AOB; (3)BOD BOC ____ COD; (4)AOD ___ AOC BOD; O
= >
<
=
C
D
(5)如果AOB COD, 那么AOC ___ BOD.
《时针与分针的夹角 》
1、时针或分针走一圈=360°
360 30 2、时针每一小时= 12
360 3、时针每分钟： 0.5 / 分钟 12 60
360 4、分针： 6 / 分钟 60
想一想：
若时钟由２点３０分走到２点５５ 分，问时针、分针各转过多大的角度？
如图1所示，当时间为7：55时，计算时针与分 针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。 解：分针走过的角度为： 55×6°＝330° 时针走过的角度为：
15 6 90
则时针与分针夹角的度数为：
217.5 90 127.5
同类练习：
按图1填空： 1） ∠D0B 2） ∠C0B ＞ ＜ ∠BOC ∠AOC ＝ ∠AOC ∠AOD ∠BOC ＝∠A0B ∠B0D
D C O 图1 B A
3） ∠DOC＋∠COB 4）∠A0B＋∠BOC＝ 5）∠A0C＋∠COD＝ 6）∠B0D－∠COD＝ 7）∠A0D－ ∠BOD
A D B （ ） （ ） C
E
F
ED落在∠ABC的内部，则∠DEF＜∠ABC
例如：比较∠ABC
和 ∠DEF的大小
把∠DEF移动，使它的顶点E和 ∠ABC的顶点B重合，一边EF和BC重合， 另一边ED和BA落在BC的同旁。
A（ ） D
B （ ）
（ ） C
E
F
ED与BA重合，则∠DEF ＝∠ABC。
角的倍分计算：
(1)25 36 12 4
0 ' "
（2） 24 6 109
0 '
' 34 034 ' ，∠BOC＝ 21051， 1、若上图中∠AOC＝
则∠AOB＝______
Ａ
Ｃ
Ｏ
Ｂ
2、 如图，∠AOC和∠BOD都是直角。
若∠DOC=28°，说出∠AOB的度数。
D A
C
B O
已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分 ∠COB,求∠EOF的大小？ C 解：∵ OE平分 ∠ AOC，OF平分 ∠COB(已知) 1 ∴∠ AOE=∠ EOC= 2∠AOC, F （ ∠ COF= ∠ FOB= 1 ∠COB 角平分线的定义） 2 ∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180° B （平角的定义）
=
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC ∠BOD＝∠COD + ∠BOC
3、请你试用一对三角尺根据刚才学过的角的和差 知识拼出所有的特殊角。
30°
45° 60°
特殊角有：15°、30°、45°、60°、 75°、90°，105°、120°、135°、 150°、165° 它们分别是15°的倍数。
实践活动：
A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方 向是（ ） （A）南偏东60°（B）南偏西60° （C）南偏东30° （D）南偏西30°
北 北
B
1 2 A
东
东
一、复习：线段的比较方法
1.从“形”出发，利用线段移动叠合的方法 A B A C
2.以“数” 出发，通过度量长度进行数值大小比较。
有趣的故事
问题：
已知射线OC是∠AOB的角平分线， 你能写出图中各角的关系吗？
1∠AOB ∠AOC=∠COB = 2
Ａ Ｃ
∠AOB=2∠AOC=2∠COB
OC是∠AOB的二等分线
Ｏ
Ｂ
A E
AD是 BAD
BAC的平分线 = CAD
（ 角平分线的定义 ） ABC = 2 ABE ABC
B
D
C
BE
平分
（ 角平分线的定义 ）
90
A
90
D
180 O B 0 180 O E 0
C
F
∠ABC=60°
∠DEF=30°
∴ ∠ABC>∠DEF
叠合法(从“形”出发） 移动一个角使它的顶点和一条边与另一个角的 顶点和一边重合,而其余的边在重合边的同侧,通 过不重合两边的位置来判断两个角的大小.
（1）已知 ∠ ABC与 ∠ DEF 如图：