高中数学3.1.2弧度制同步练习湘教版必修2【含答案】

2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.1 弧度制与任意角3.1.2 弧度制学案湘教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.1 弧度制与任意角3.1.2 弧度制学案湘教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.1 弧度制与任意角3.1.2 弧度制学案湘教版必修2的全部内容。

3。

1.2 弧度制[学习目标］ 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换。

2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3。

掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．［知识链接]1．初中几何研究过角的度量,当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答规定周角的错误!做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答l＝错误!,S＝错误!.［预习导引］1．弧度制（1)定义：单位圆上长度为1的圆弧所对的圆心角取为度量的单位，称为弧度，这样的单位制称为弧度制．（2）任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3）角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么，角α的弧度数的绝对值是｜α｜＝错误!. 2．角度制与弧度制的换算（1）角度化弧度弧度化角度360°＝2π2π＝360°180°＝ππ＝180°1°＝错误!≈0。

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

3.1.2 弧度制双基达标(限时20分钟) 1．下列命题中，假命题是 ( )．A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与 圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 是假命题．A 、B 、C 均为真命题．答案 D2．－115π弧度化为角度 是 ()． A ．－370° B ．－396° C ．－410° D ．－426°解析 －115π＝－115×180°＝－396°.答案 B3．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形的面积为 ( )．A ．2R 2B ．2 C.12R 2 D ．R 2解析 由题意可知扇形的弧长为2R .于是S 扇形＝12·R ·2R ＝R 2.故选D.答案 D4．圆弧长度等于其内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为________．解析 设圆的半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，由1弧度的角的定 义可得x ＝3r r ＝3，即所求圆心角的弧度数是 3.答案 35．若2π＜α＜4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝________．解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π.答案 73π或103π 6．已知扇形OAB ，OA ＝160 cm ，＝240 cm ，求：(1)∠AOB 的弧度数；(2)扇形OAB 的面积．解 (1)|α|＝l r ＝32； (2)S ＝12|α|·r 2＝19 200(cm 2)． 综合提高 (限时25分钟)7．集合A ＝{α|α＝k π－π2，k ∈Z }与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是 ( )．A ．A ＝BB ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对 答案 A8．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其圆心角的弧度数是( )． A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或5 解析 设扇形半径为r ，圆心角为x ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋xr ＝6，12xr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，x ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，x ＝1. 答案 A9．半径为12 cm ，弧长为8π cm 的弧，其所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为________．解析 圆心角α＝8π12＝2π3， ∴α＝2k π＋2π3，k ∈Z . 答案 {α|α＝2k π＋2π3，k ∈Z } 10．在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的速度旋转，则经过5秒后点P 转过的弧长是________cm.解析 如图，连接OP 且延长到圆上点A ，CD ＝6 cm ，OD ＝5 cm 易知OP ＝4 cm ；A 、P 两点角速度相同，故5秒后P 点转过的角度为25弧度，从而P 转过的弧长为25×4＝100(cm)．答案 10011．已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解 设这个扇形的半径为R cm ，弧长为l cm ，圆心角为α(α＞0)．(1)由已知，⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝8，12lR ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧R 1＝3，l 1＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝1，l 2＝6.由α＝l R 可得α＝23或6. (2)扇形的面积S ＝12lR ＝12(8－2R )R ＝－(R －2)2＋4(0＜R ＜4)． 当且仅当R ＝2 cm 时，S 取得最大值4 cm 2，这时，l ＝8－2R ＝4(cm)．可求出：α＝l R ＝2.又∵0＜2＜π，∴|AB |＝2R sin α2＝4sin 1(cm)． 12．(创新拓展)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪x ＝n π2 ⎭⎪⎬⎪⎫ －π3，n ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝ρπ2＋π6，ρ∈Z ，试确定M 、N 、P 之间满足的 关系．解 法一 集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ； N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2m π2－π3或x ＝2m ＋12π－π3，m ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π－π3或x ＝m π＋π6m ∈Z . P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝ρπ2＋π6，ρ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2m 2π＋π6或x ＝2m －12π＋π6，m ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6或x ＝m π－π3，m ∈Z . 所以M N ＝P .法二 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝6m ＋16π，m ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3·（2m ）＋16π，m ∈Z ；N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3n －26π，n ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3m ＋16π，m ∈Z ；P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝ρπ2＋π6，ρ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3ρ＋16π，ρ∈Z＝N .所以M N ＝P .。

第五章三角函数《5.1.2弧度制》教学设计【教材分析】本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。

通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。

另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。

【教学目标与核心素养】【教学重难点】1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。

【教学过程】键。

注:常规写法①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，不必写成小数．②用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数.③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:630π+︒。

填写下列表中特殊角的弧度数或度数。

角度 00 300600120135270弧度4π2π65πππ23. 角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，任意角的集合实数集R例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）2R 21S 2αα==）（R l lR21S 3=）（。

（其中R 是扇形的半径，l 是弧长，为圆心角（)20παα<<，S 是扇形的面积）。

三、达标检测【教学反思】由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。

学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。

第5章 第一节 课时2 弧度制一、单选题1．下列说法中，错误的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1︒的角是周角的1,1rad 360的角是周角的12πC ．1rad 的角比1︒的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 【答案】D【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可. 【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，1︒的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π，故A 、B 正确； 1rad 的角是180()57.301π︒︒︒≈>，故C 正确； 无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D 错误. 故选：D2．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A ．π3B ．π6C ．-π3D ．-π6【答案】B【分析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为6π． 【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转π6弧度.故选B.【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题． 3．下列转化结果正确的是（ ） A ．60°化成弧度是rad 6πB ．rad 12π化成角度是30°C ．1°化成弧度是180radD ．1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭︒ 【答案】D【分析】根据弧度制与角度制的互化：1801rad π=即可求解.【详解】对于A ，60°化成弧度是rad 3π，故A 不正确；对于B ，rad 12π化成角度是11801512⨯︒=︒，故B 不正确； 对于C ，1°化成弧度是rad 180π，故C 不正确；对于D ，1rad 化成角度是180π⎛⎫ ⎪⎝⎭︒，故D 正确．故选：D ．4．下列各角中，终边相同的角是( )A ．23π和240︒B ．5π-和314︒ C ．79π-和299πD ．3和3︒【答案】C【分析】通过角度与弧度的互化，逐一分析四个选项得答案． 【详解】解：对于A 选项，42403π︒=，不合题意； 对于B 选项，365π-=-︒，314(36)350︒--︒=︒，不合题意；对于C 选项，297()499πππ--=，符合题意； 对于D 选项，3357.3171.9≈⨯︒=︒，171.93168.9︒-︒=︒，不合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查角度制与弧度制的互化，考查终边相同角的概念，属于基础题． 5．若扇形的弧长是3cm π，面积是26cm π，则该扇形圆心角的弧度数θ=（ ） A ．3πB ．4π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】利用扇形的弧长公式与面积公式可求得θ的值.【详解】由题意得，设扇形的半径为r cm ，则扇形的面积为1362S r ππ=⨯=，解得4r cm =，所以343r ππθ==. 故选：D.6．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为（ ） A ．2 B ．1C ．21sin 1D ．21cos 1【答案】C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】因为扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2， 故扇形所在圆的半径1sin1r =， 扇形的面积为221sin 1122sin 11⎛⎫=⎪⎝⎭⨯⨯， 故选：C ．7．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为 A ．2πB ．3π CD【答案】C【详解】试题分析：设圆内接正方形的边长为a，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为l rα== C. 【解析】弧长公式.8．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ） A ．1250- B ．1750- C ．2100- D ．3500-【答案】B【分析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果.【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=， 由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.二、填空题9．若三角形三内角之比为3:4:5，则三内角的弧度数分别是______．【答案】5,,4312πππ【分析】由三角形的内角和为π，根据三角形三内角之比为3:4:5，利用弧度制的表示，即可求解.【详解】由题意，可知三角形的内角和为π，又由三角形三内角之比为3:4:5， 所以三内角的弧度数分别是34,34543453ππππ⨯=⨯=++++，5534512ππ⨯=++，故答案为5,,4312πππ.【点睛】本题主要考查了弧度制的表示，以及三角形的内角和定理的应用，其中解答中熟记弧度制的表示是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10．已知扇形AOB 的面积为43π，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______． 【答案】2【分析】利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】21203π︒=，扇形AOB 的面积为43π， 所以2241123223r r ππα==⨯，解得2r =． 故答案为：211．在Rt PBO 中，90PBO ∠=，以O 为圆心､OB 为半径作圆弧交OP 于A 点.若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=___________.【答案】2【解析】用,OB α求出扇形面积和直角三角形面积可得．【详解】如图，tan PB OB α=，211tan 22POB S OB PB OB α=⨯⨯=△，S 扇形AOB212OB α=，由题意2211212tan 2OB OB αα⋅=，所以tan 2αα=． 故答案为：2．三、解答题12．已知()1,4k k k θπ=π+-⋅∈Z ，试判断角θ的终边所在的象限．【答案】第一象限或第二象限【分析】分k 为奇数和k 为偶数，两种情况讨论，根据终边相同角的表示，即可求解，得到答案.【详解】由题意，当k 为奇数时，设21k n =+，则()213(21)12,44n n n n πθπ+π=+π+-⋅=+∈Z ， 此时θ与34π的终边相同，所以θ的终边位于第二象限； 当k 为偶数时，设2k n =，则()2212,44nn n n πθππ=π+-⋅=+∈Z ， 此时θ与4π的终边相同，所以θ的终边位于第一象限， 综上可得，角θ的终边所在的象限为第一象限或第二象限.【点睛】本题主要考查了终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．已知角2025α=︒.（1）将角α改写成2k βπ+(k Z ∈，02βπ≤<)的形式，并指出角α是第几象限的角； （2）在区间[)5,0π-上找出与角α终边相同的角. 【答案】（1）5104παπ=+，是第三象限角；（2）19113,,444πππ---．【分析】（1）先把度数改写弧度，再改写成2k βπ+形式，并确定所在象限； （2）解不等式520k πβπ-≤+<可得结论． 【详解】（1）2025α=︒=45520251018044ππππ⨯==+，54π是第三象限角，∴α是第三象限角．（2）由55204k πππ-≤+<得25588k -<<-，因为k Z ∈，∴3,2,1k =---，对应角依次为19113,,444πππ---． 【点睛】本题考查终边相同的角，解题关键是把解写出2,k k Z πβ+∈或360k β⋅︒+，k Z ∈形式，考查角度与弧度的互化．属于基础题． 14．如图，已知圆O 的半径r 为10，弦AB 的长为10．(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求圆心角α所对应的弧长l 及阴影部分的面积S ． 【答案】(1)3πα=(2)103l π=；3503S π⎛= ⎝⎭【分析】（1）根据AOB 为等边三角形，可得3πα=，即可求解.（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解. 【详解】(1)由于圆O 的半径r 为10，弦AB 的长为10， 所以AOB 为等边三角形，3AOB π∠=，所以3πα=．(2)因为3πα=，所以103l r πα=⋅=， 111050102233AOB S lr ππ==⨯⨯=扇．又110532532AOB S =⨯⨯△所以5032535033AO B B AO S S S ππ⎛-=-= ⎝=⎭扇△． 15．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿． （1）当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；（2）当小轮的转速是120r /min 时，大轮上每1s 转过的弧长是60cm π ，求大轮的半径． 【答案】（1）32π； （2）20cm . 【分析】（1）设大轮的半径为R ，小轮的半径为r ，求得43R r =，再利用弧长公式，即可求解.（2）由（1）和小轮的转速为120r /min ，求得小轮转动1s 的的弧长为3R π，利用弧长公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿 设大轮的半径为R ，小轮的半径为r ，则260245R r ππ=，即43R r =，即43R r =，当小轮转动一周时，设大轮转动的弧度数为α，则2R r απ=， 即423r r απ⨯=，解得32πα=，即大轮转动的弧度数为32π.（2）由（1）知，大轮的半径为R ，小轮的半径为r ，且43R r =， 因为小轮的转速为120r /min ，当小轮转动1s时，小轮转过的弧度数为1202460ππ⨯=， 其转过的弧长为34434r R R πππ=⨯=，又由大轮上每1s转过的弧长是60π ，所以360R ππ=，解得20R cm =. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的实际应用，其中解答中正确理解题意，合理利用扇形的弧长公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16．在一块顶角为23π、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB 中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．（1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； （2）比较两种方案中的扇形面积的大小． 【答案】（1）23π-； （2）3π，3π. 【分析】（1）根据题意，求得方案一和方案二对应的圆心角和半径，利用弧长公式，即可求解；（2）由（1）中的扇形的圆心角和半径，利用扇形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，顶角为23π、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB 中裁剪扇形， 方案一：可得1,26OAD R π∠==，所以扇形的周长为1112224633C R R πππ=+⨯=⨯+=+；方案二：可得22,13MON R π∠==，所以扇形的周长为222222212633C R R πππ=+⨯=⨯+=+，所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值122(4)(2)2333C C πππ-=+-+=-.（2）由（1），根据扇形的面积公式，可得方案一：扇形面积为221111122263S R ππα==⨯⨯=；方案二：扇形面积为2222211212233S R ππα==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．已知扇形的圆心角为α，半径为r ．（1）若扇形的周长是定值C （0C >），求扇形的最大面积及此时α的值； （2）若扇形的面积是定值S （0S >），求扇形的最小周长及此时α的值．【答案】（1）2α=，面积最大值为216C ； （2）2α=，周长的最大值为【分析】（1）由扇形的周长是定值C ，求得2l C r =-，再由扇形的面积公式，结合二次函数的性质和弧长公式，即可求解. （2）由扇形的面积是定值S ，求得2Sl r=，再由扇形的弧长公式和本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意知，扇形的圆心角为α，半径为r ，设扇形的弧长弧长为l ， 若扇形的周长是定值C （0C >），则2r l C +=，即2l C r =-， 又由扇形的面积为222111(2)()222416C C S lr C r r r Cr r ==-=-+=--+，当4C r =时，扇形的面积取得最大值，此时最大值为216C ，此时22C l C r =-=，又由扇形的弧长公式，可得24C Cα=⨯，解得2α=. （2）由扇形的圆心角为α，半径为r ，设扇形的弧长弧长为l ，若扇形的面积是定值S （0S >），则12S lr =，即2Sl r =，又由扇形的弧长公式，可得扇形的周长为222S C r l r r =+=+≥=当且仅当22Sr r=时，即r =时，等号成立，此时l==α2α=. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。

数学：3.1《弧度制》同步测试（湘教版必修2）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各组角中，终边相同的角是A.2πk 与k π+2π(k ∈Z) B.k π±3π与3πk (k ∈Z) C.(2k +1)π与(4k ±1)π (k ∈Z)D.k π+6π与2k π±6π(k ∈Z) 2.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） A. α+β=πB. α－β=2πC. α－β=（2k +1）πD. α+β=(2k +1)π3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 A.3π B.32π C.3D.24.在半径为10 cm 的圆中，34π的圆心角所对弧长为 A.340π B.320π C.3200πD.3400π 5.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 A.3π B.－3πC.6π D.－6π 6.圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是 A.2πcm 2B.23πcm 2 C.πcm 2D.3π cm 2二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分.把答案填在题中横线上） 7.4弧度角的终边在第 象限.8.－1223πrad 化为角度应为 . 9.设α,β满足－2π＜α＜β＜2π，则α－β的范围是 . 10.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.11.若角α的终边与58π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与4α角的终边相同的角是 .三、解答题（本大题共3小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12.（8分）1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.13.（10分）已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？14.（10分）如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.参考答案一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.B 6.B 二、7.三 8.－345° 9.－π＜α－β＜0 10.3111.52π109π 57π 1019π 三、12.解：由已知可得r =21sin 1,∴l=r ·α=21sin 1S 扇=21l ·r =21·r 2·α=21·21sin12=21sin21213.解：∵l =20－2r∴S =21lr =21 (20－2r )·r =－r 2+10r=－(r －5)2+25∴当半径r =5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2 此时，α=rl =55220⨯-=2(rad) 14.解：A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π 14分钟后回到原位，∴14θ=2k π, θ=72πk ，且2π＜θ＜43π， ∴θ=74π或75π。

北师大版（2019）高一数学必修第二册《1.3 弧度制》同步练习一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）7π6弧度等于()A. 120°B. 150°C. 210°D. 240°2.（5分）π6弧度等于()A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°3.（5分）下列各角中，与1840°角终边相同的角是()A. 40°B. 220°C. 320°D. −400°4.（5分）已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角α的弧度数为()A. 2√2B. √2C. √22D. √245.（5分）下面与角23π3终边相同的角是()A. 43π B. π3C. 5π3D. 2π36.（5分）40°角的弧度数为()A. 40B. 2π9C. 4π9D. 7200π7.（5分）若将钟表拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是()A. π3B. −π3C. π6D. −π68.（5分）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形，设弧AD长度是l1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若l1l2=2，则S1S2=()A. 1B. 2C. 3D. 49.（5分）已知扇形OAB的圆心角为4rad，面积为8，则该扇形的周长为()A. 12B. 10C. 8√2D. 4√210.（5分）若角θ满足sinθ<0，tanθ<0，则角θ是()A. 第三象限角B. 第四象限角C. 第三象限角或第四象限角D. 第二象限角或第四象限角11.（5分）已知扇形的圆心角为π12，面积为π6，则扇形的弧长等于( )A. π4 B. 23π C. π6 D. π3 12.（5分）下列各角中，与60°角终边相同的角是()A. −300°B. −60°C. 150°D. 240°二 、填空题（本大题共4小题，共20分）13.（5分）已知扇形的周长为6，圆心角为1rad ，则该扇形的面积为 ______.14.（5分）如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB 为120°，半径长为6，则阴影部分的面积是_______。

人教B 版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》同步练习卷（1）一、单选题1. 下列选项中，错误的是（ ）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12π C.根据弧度的定义，180度一定等于π弧度D.不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关2. 225∘化为弧度是（ ）A. B. C. D.3. ＝（ ）A.85∘B.80∘C.75∘D.70∘4. 若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5. 已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为( ) A.4cm 2 B.6cm 2C.8cm 2D.10cm 2二、填空题填表弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位．现已知一个扇形的半径为2米，圆心角为α，圆心角所对的弧长为4米，则角α的弧度数为________．你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了1小时，则分针转过的角的弧度数是________．三、解答题已知一个扇形的周长为定值a，求其面积的最大值，并求此时圆心角α的大小．自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一圈时，小链轮转过的角度是多少？合多少弧度？一、单选题如图所示，扇形OAB中，弦AB的长等于半径，则弦AB所对的圆心角的弧度数α满足（）A.α>1B.α＝1C.α<1D.以上都不是如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45∘，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若，则图中阴影部分的面积为（）A.π+1B.π+2C.2π+2D.4π+1《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为()（参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且2l＝12−r，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A. B.或2 C.1 D.或1矩形纸片ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm．将其按图(1)的方法分割，并按图(2)的方法焊接成扇形；按图(3)的方法将宽BC2等分，把图(3)中的每个小矩形按图(1)分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图(4)的方法将宽BC3等分，把图(4)中的每个小矩形按图(1)分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；…；依次将宽BCn等分，每个小矩形按图(1)分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（）A.小于π2B.等于π2C.大于π2D.大于1.8二、填空题走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于________．已知两角的和为1弧度，且两角的差为1∘，则这两个角的弧度数分别是________．若扇形的圆心角为π，则扇形的内切圆的面积与形面积之比为________．3三、解答题园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r米圆心角为θ（弧度）的扇形景观水池，其中O为扇形AOB的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元．（1）当r和θ分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值；（2）若要求步道长为105米，则可设计出水池最大面积是多少．，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若CD=如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB=2π3̂的长及其弦AB所围成的弓形ACB的面积．a，求ACB参考答案与试题解析人教B版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》同步练习卷（1）一、单选题1.【答案】D【考点】弧度制的应用【解析】直接利用弧度制与角度制的定义，判断即可．【解答】解：“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，判断正确；一度的角是周角的1，360，满足两种角的度量定义，正确；一弧度的角是周角的12π根据弧度的定义，180度一定等于π弧度，满足两种角的度量关系，正确；不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关，不正确；故选D．2.【答案】B【考点】弧度制【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】弧度制【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】三角形的形状判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】扇形面积公式【解析】设扇形的半径为r(cm)，列方程求出r的值，再计算扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为rcm，则弧长为l=αr=4r，周长为C=l+2r=4r+2r=6r=12，解得：r=2cm，则此扇形的面积为S=12lr=12×4×2×2=8(cm2).故选C.二、填空题【答案】45∘,90∘,180∘,360∘,0,,,,,【考点】弧度制【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】2【考点】弧长公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】−2π【考点】弧长公式弧度制【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】解：设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为a−2r，所以S=12(a−2r)r=−(r−a4)2+a216．故当r=a4且α=2时，扇形面积最大为a216．【考点】扇形面积公式【解析】设扇形的弧长，然后，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可．【解答】解：设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为a−2r，所以S=12(a−2r)r=−(r−a4)2+a216．故当r=a4且α=2时，扇形面积最大为a216．【答案】因为大链轮转过一周时，大链轮转48齿，故小链轮转周，一周为360∘，故小链轮转过的角度为×360∘＝864∘．又一周为2π弧度，故小链轮转过的角度为×2π＝8.8π（弧度）．【考点】弧度制【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答一、单选题【答案】A【考点】弧长公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】B【考点】与圆有关的比例线段【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】B【考点】弧长公式【解析】由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．【解答】解：由题得：弓所在的弧长为：l=π4+π4+π8=5π8，所以其所对的圆心角α=5π854=π2，所以两手之间的距离d=2R sinπ4=√2×1.25≈1.768（米）．故选B.【答案】D【考点】扇形面积公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8＝16，那么圆心角＝16×180÷π÷10≈92∘，即可得出结论．【解答】将宽BC n等分，当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8＝16，那么圆心角＝16×180÷π÷10≈92∘，因此n无限大时，大扇形的圆心角应该大于90∘．二、填空题【答案】【考点】弧长公式弧度制【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】1 2+π360；12−π360【考点】弧度制【解析】设这两个角的弧度数分别是α，β．则α+β=1，α−β=π180．解出即可．【解答】解：设这两个角的弧度数分别是α，β，不妨设α>β．则α+β=1，α−β=π180．解得α=12+π360，β=12−π360．故答案分别为：12+π360；12−π360．【答案】2:3【考点】扇形面积公式【解析】确定扇形的内切圆的半径，分别计算扇形的内切圆面积与扇形的面积，即可得到结论．【解答】∵扇形的圆心角是π3，设其半径为R，∴S扇形=12lR=πR26，∵扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，∴几何知识，r+2r＝R，所以内切圆的半径为R3，∴S圆形=πR29，∴扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为πR29:πR26=2:3．三、解答题【答案】由题意，扇形的弧长AB为l＝θr，扇形的面积为，由题意；化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗)；又，所以θr2+10≤1200；设，t>5，则+10t≤1200，解得−60≤t≤40，所以当θr＝3r＝40时，面积；由题意，θr+2r＝105，解得θ＝−2<3π；把θr＝105−2r代入(∗)可得(105−2r)r+4×105≤1200，化简得2r2−105r+675≥7，解得r≤或r≥45，又S＝θr2＝(105−2r)r＝−r2+r＝-+，当r≤时，θ＝−5＝12>2π，与θ<2π不符，所以S(θ)在[45, +∞)上单调减，当r＝45时，S取得最大值为337.6平方米，此时．试卷第11页，总11页【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】解：圆心角∠AOB =2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为D ，则∠OAD =π6，设半径为R ，CD =a ，则OD =R −a ，有OD OA=12=R−a R，解得R =2a ，从而OD =a ，AD =√32R =√3a ，AB =2√3a ．故ACB̂的长l =α（圆心角弧度数）×r （半径）=2π3×2a =4aπ3．故弓形ACB 的面积=S 扇形AOB −S △AOB =2π3×π×R 22π−12×AB ×OD =4πa 23−12×2√3a ×a =4π−3√33a 2． 【考点】 弧度制的应用 【解析】先求出∠OAD =π6，设半径为R ，CD =a ，则OD =R −a ，可求得R =2a ，从而OD =a ，AD =√3a ，AB =2√3a ，从而可求ACB̂的长，弓形ACB 的面积． 【解答】解：圆心角∠AOB =2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为D ，则∠OAD =π6，设半径为R ，CD =a ，则OD =R −a ，有ODOA =12=R−a R，解得R =2a ，从而OD =a ，AD =√32R =√3a ，AB =2√3a ．故ACB̂的长l =α（圆心角弧度数）×r （半径）=2π3×2a =4aπ3．故弓形ACB 的面积=S 扇形AOB −S △AOB =2π3×π×R 22π−12×AB ×OD =4πa 23−12×2√3a ×a =4π−3√33a 2．。

弧度制 测试卷一、单选题1．已知扇形AOB 的圆心角23AOB π∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为（ ） A ．2π3B ．2πC ．3πD ．6π2．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．154B ．415C ．158D ．1203．已知扇形的周长为6cm ，半径是2cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．下列叙述正确的是（ ） A ．零度角是最小的角B ．三角形的内角不可能是轴线角C ．不论是用角度制还是用弧度制度量一个扇形对应的圆心角，都与扇形半径的大小无关D ．终边相同的角的弧度数一定相等5．在Rt POB 中，90PBO ∠=︒，以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于点A ，若弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则（ ）A ．tan αα=B ．tan 2αα=C ．sin 2cos αα=D ．2sin cos αα=6．设圆O 的半径为2，点P 为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD （实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合，点B 在圆周上）.现将正方形ABCD 沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为（ ）A ．(122π-B ．(22πC ．4πD ．232π⎛+ ⎝⎭7．已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．2D ．148．下面关于弧度的说法，错误的是（ ） A ．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数 B ．一个角的角度数为n ，弧度数为α，则180n απ=. C 323π D ．航海罗盘半径为10cm ，将圆周32等分，每一份的弧长为5cm 16π. 二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ） A ．第二象限的角必大于第一象限的角 B ．角度72-︒化为弧度是2π5-C ．150-︒是第二象限的角D ．25216,46744,118744'''-︒︒︒是终边相同的角10．下列转化结果正确的是（ ） A ．60°化成弧度是3π B ．－103π化成度是－660° C ．－150°化成弧度是－76πD ．12π化成度是15°11．如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）A ．经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为3π＋3 B ．经过12πs 后，扇形AOB 的弧长为712πC ．经过6πs 后，扇形AOB 的面积为3πD ．经过59πs 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇12．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则下列说法中正确的有（ ） A ．扇形的半径为2 B ．扇形的半径为1 C ．圆心角的弧度数是1 D ．圆心角的弧度数是2三、填空题13．已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角（正角）的弧度数是__________. 14．半径为1，圆心角为1弧度的扇形的面积为__________．15．用一根长度为2023米的铁丝围成一个扇形，则当扇形面积最大时，圆心角的弧度数为____________．16．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB 和弦AB 所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为2，圆心角为23π，则此弧田的面积为__________．四、解答题17．一个扇形所在圆的半径为6，该扇形的周长为16. (1)求该扇形圆心角的弧度数；(2)求该扇形的面积.18．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度 (1)780︒ (2)1560-︒ (3)67.5︒ (4)103π- (5)12π (6)74π19．如图，点,,A B C 是圆O 上的点.(1)若4AB =，6ACB π∠=，求劣弧AB 的长；(2)已知扇形AOB 的周长为8，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.20．已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . (1)若100,2r α=︒=，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．21．已知某半径小于π的扇形OAB ，其周长是62π+，面积是3π. (1)求该扇形的圆心角的弧度数；(2)求该扇形中所含弓形面积（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）.22．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）参考答案1．C【分析】先求得扇形的半径，进而求得扇形的面积. 【详解】扇形的半径为2π32π3r ==， 所以扇形的面积为212π33π23⨯⨯=.故选：C 2．A【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据212S R α=求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为8R =步， 3081202S ⨯==（平方步）， 设扇形的圆心角为α，则212S R α=，即1151206424αα=⨯⇒=．故选：A 3．A【分析】由题意可列关于扇形的圆心角的方程，解之即可.【详解】设扇形的圆心角为α rad ，半径为R cm ，则262R R R α+=⎧⎨=⎩，解得α＝1． 故选：A ． 4．C【分析】根据已有知识点代入对比分析，找到反例即可证明A ，B ，D 错误，从而确定正确答案.【详解】对于A ，因为有负角，故本选项错误； 对于B ，90是轴线角，所以本选项错误；对于C ，180180nrl n r r παπ=== ，所以角度值转换为弧度制直接代入公式计算即可，与半径无关，用角度衡量圆心角也不需要半径，因此该选项正确； 对于D ，终边相等可能相差360的整数倍，该选项错误.故选：C. 5．B【分析】分析题意，首先设出扇形的半径，表示出扇形的面积和直角三角形的面积，列方程即可求得.【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r α.直角三角形POB 中，tan PB r α=，△POB 的面积为21tan 2r α⋅⋅.由题意得22112tan 22r r αα⨯=⋅⋅，所以tan 2αα=.故选：B 6．B【分析】作出示意图，分析可知当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈，共12次，计算出点A 每次滚动时点A 所走过的路程，即可得解.【详解】由图可知，圆O 的半径为2r =，正方形ABCD 的边长为2a =，以正方形的边为弦所对的圆心角为3π，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示， 当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈，共12次， 设第i 次滚动时，点A 的路程为i m ，则163m AB ππ=⨯=，226m AC π=⨯=， 363m AD ππ=⨯=，40m =，因此，点A 所走过的路程为()(1234322m m m m π+++=. 故选：B. 7．B【分析】扇形的圆心角的弧度数为α,半径为R ,弧长为l ,面积为S ,由面积公式和弧长公式可得到关于l 和R 的方程,进而得到答案.【详解】由扇形的面积公式得:12S lR =,因为扇形的半径长为2,面积为8，则1822l =⨯⨯所以扇形的弧长8l =. 设扇形的圆心角的弧度数为α,由扇形的弧长公式得:||l R α=，且2R =即82α=，解得4α=，所以扇形的圆心角的弧度数是4. 故选：B. 8．D【分析】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项. 【详解】A.根据弧度数定义可知A 正确； B.根据弧度与角度的转化关系，可知B 正确；C.120，即弧度数为23π，故C 正确；D.圆周长为220cm r ππ=，32等分后，每一份弧长为5cm 8π，故D 错误. 故选：D 9．BD【分析】A 选项，举出反例； B 选项，根据π180=︒化角度为弧度； C 选项，150-︒位于第三象限； D 选项，三个角度均与10744'︒终边相同.【详解】如120,390αβ=︒=︒，α位于第二象限，β位于第一象限， 故第二象限的角不一定大于第一象限的角，A 错误； 角度72-︒化为弧度是722ππ1805-=-，B 正确； 150-︒是第三象限的角，C 错误；2521636010744''-︒=-︒+︒，4674436010744''︒=︒+︒，118744*********''︒=︒⨯+︒，故是终边相同的角，D 正确； 故选：BD 10．AD【分析】根据角度制和弧度制互化公式进行逐一判断即可. 【详解】因为603rad π︒=，所以选项A 正确；因为106003rad π-=-︒，所以选项B 不正确； 因为51506rad π-︒=-，所以选项C 不正确； 因为1512rad π=︒，所以选项D 正确，故选：AD 11．ABD【分析】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.【详解】经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为33π+，故A 正确； 经过12π s 后，AOB ∠=721231212ππππ++⨯=，故扇形AOB 的弧长为7711212ππ⨯=，故B 正确；经过6π s 后，526366AOB ππππ∠=++⨯=，故扇形AOB 的面积为215512612S ππ=⨯⨯=，故C不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则12()23t ππ+=+，解得59t π=(s)，故D 正确.故选：ABD. 12．AC【分析】运用扇形的弧长公式：l ＝αr 和面积公式S 12=lr ，解方程可得圆心角和半径． 【详解】解：设扇形的半径为r ，圆心角为α，周长为c ，面积为S ，弧长为l ， 可得S 12=αr 2＝2，c ＝l +2r ＝αr +2r ＝6， 解得r ＝2，α＝1， 故选：AC ． 13．1【分析】根据扇形的面积公式，即可求出答案.【详解】设扇形的圆心角（正角）弧度数为α，则由题意得21222r αα==，得1α=.故答案为：1 14．12##0.5【分析】根据扇形面积公式即可得到答案.【详解】半径为1，圆心角为1弧度的扇形的面积为2211111222S r α==⨯⨯=.故答案为：12. 15．2【分析】设该扇形所在圆的半径为r ，扇形圆心角为α，根据题中条件以及扇形面积公式，表示出扇形面积，结合基本不等式，即可求解.【详解】设该扇形所在圆的半径为r ，扇形圆心角为α， 由题意可得，22023r r α+=，则20232r α=+ 所以扇形面积为22222112023202320231422224424S r αααααααα⎛⎫==⋅⋅=⋅=⋅ ⎪+++⎝⎭++2220232023216≤=， 当且仅当4αα=，即2α=时，等号成立，所以当扇形面积最大时，圆心角的弧度数为2. 故答案为：2 16．43π【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答.【详解】依题意，等腰AOB底边2(cos )6AB OA π==sin 16h OA π==，则AOB 的面积为11122AB h ⋅=⨯= 而扇形的面积为21242233ππ⨯⨯=，则有阴影部分的面积为43π所以此弧田的面积为43π故答案为：43π17．(1)23(2)12【分析】（1）计算出扇形的弧长，可求得扇形的圆心角的弧度数； （2）利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】（1）解：由题意可知，该扇形的弧长为16264l =-⨯=，故该扇形圆心角的弧度数为4263α==. （2）解：由题意可知，该扇形的面积为1S 46122=⨯⨯=. 18．(1)133π弧度 (2)263-π弧度 (3)38π弧度 (4)600-︒(5)15︒(6)315︒【分析】利用π弧度180=︒即可得出，即角度化弧度乘以180π，弧度化角度乘以180π，需注意单位为度．(1) 解：780780180π︒=⨯弧度133π=弧度， (2) 解：156********π-︒=-⨯弧度263π=-弧度， (3) 解：67.567.5180π︒=弧度38π=弧度． (4) 解：103π-弧度101806003=-⨯︒=-︒， (5) 解：12π弧度1801512︒==︒， (6) 解：74π弧度71803154=⨯︒=︒． 19．(1)43π (2)2【分析】（1）由圆心角为3π可知AOB 为等边三角形，由扇形弧长公式可求得结果； （2）设圆O 的半径为r ，扇形AOB 的弧长为l ，圆心角为α，可知28r l ； 方法一：由12S l r =⋅，利用基本不等式可知当24r l ==时，S 取得最大值，由l rα=可求得结果； 方法二：由12S l r =⋅，将S 表示成关于r 的二次函数的形式，根据二次函数性质可确定最大值点，由此可得,r l ，由l rα=可求得结果. 【详解】（1）6ACB π∠=，23AOB ACB π∴∠=∠=，又OA OB =，AOB ∴为等边三角形，4OA AB ∴==，则劣弧AB 的长为433OA ππ⋅=. （2）设圆O 的半径为r ，扇形AOB 的弧长为l ，圆心角为α，扇形AOB 的周长为8，28r l ∴+=， 方法一：扇形面积21112242442r l S l r l r +⎛⎫=⋅=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当24r l ==时取等号）， ∴当扇形面积取得最大值时，圆心角2l r α.方法二：扇形面积()()22118242422S l r r r r r r =⋅=-⋅=-+=--+， 则当2r =时，S 取得最大值，此时824l r =-=，∴当扇形面积取得最大值时，圆心角2l r α. 20．(1)10π9(2)最大值为25；2α=【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；（2）由题意可知扇形的面积为()()21120252522S lr r r r ==-⋅=--+，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解【详解】（1）因为π5π1001001809α=︒=⨯=， 所以扇形的面积为21115π10π422299S lr r α===⨯⨯=； （2）由题意可知：220l r +=，即202l r =-，所以扇形的面积为()()21120252522S lr r r r ==-⋅=--+， 当=5r 时，扇形面积的最大值为25，此时202510l =-⨯=，1025l r α=== 21．(1)23π (2)933π【解析】（1）由题意，扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R ，该扇形弧长为R α，则： 扇形的周长R α+2R =62π+，扇形的面积S =132R R R αππ⋅⋅=<，， 解得2,33R απ== 故圆心角弧度数为23π． （2） 所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为3sin62R π=，底为2cos 336R π= S 三角形面积=13933322⨯= 可得：S 弓形面积=S 扇形-S 三角形面积=3π-93故S 弓形面积=3π-9322．（1）222,36k k k ππαπαπ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （2）223k k παπαπ⎧<<+⎨⎩或222,Z 3k k k ππαππ⎫+<<+∈⎬⎭. 【分析】由图①可知，以OA 为终边的角为6π+2kπ(k ∈Z )；以OB 为终边的角为23π-+2kπ(k ∈Z )，由此可求出阴影部分内的角的集合； 由图②可知，以OA 为终边的角为3π+2kπ(k ∈Z )；以OB 为终边的角为23π+2kπ(k ∈Z ). 不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，由阴影部分内的角的集合为12M M .【详解】如题图①，以OA 为终边的角为6π+2kπ(k ∈Z )；以OB 为终边的角为23π-+2kπ(k ∈Z )， 所以阴影部分内的角的集合为 222,36k k k ππαπαπ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 如题图②，以OA 为终边的角为3π+2kπ(k ∈Z )；以OB 为终边的角为23π+2kπ(k ∈Z ). 不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1=22,3k a k k παππ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，M 2=222,3k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z . 所以阴影部分内的角的集合为12223M M k k παπαπ⎧⋃=<<+⎨⎩或222,Z 3k k k ππαππ⎫+<<+∈⎬⎭.。

【精挑】5.1.2弧度制作业练习一．单项选择1．一个圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知一个扇形的圆心角为，半径为3.则它的弧长为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．与 B ．与C ．与D ．与4．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）A ．2B ．C ．D ．5．在范围内，与角终边相同的角是（ ） A ． B ．C ．D ．6．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（ ）.A ．B ．C ．D ．7．下列说法正确的是（ ）l 303π2π23ππ56π53π23π52π2πk ∈Z 2k πk π2k ππ+4k ππ±6k ππ+26k ππ±2k π2k ππ±2sin12sin14sin10~360︒︒80-︒80︒100︒240︒280︒120︒40cm 20cm 2cm 4003π400π800π7200πA ．终边相同的角一定相等B ．是第二象限角C ．若角，的终边关于轴对称，则D ．若扇形的面积为，半径为2，则扇形的圆心角为8．已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ） A ． B ． C ． D ．9．角弧度，则所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．已知圆的半径为，则圆心角所对的弧长为（ ）A ．B ．C ．D ．11．扇形圆心角为，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3 B ．2:3 C ．4:3 D ．4:912．某扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则它的面积是（ ） A ． B ． C ． D ．13．已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ） A ．B ．C ．D ．14．已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为（ ） A ． B ． C ． D ．15．已知扇形的周长是，扇形面积为，扇形的圆心角的弧度数是（ ）831-︒αβx 360αβ+=︒35π310π38π316π38π34π32π–2α=απ60︒3π23π23π223π3π6066π3π12π9π316π316π38π34π32π28248164cm 21cm12A．2 B．1 C．D．3参考答案与试题解析1．【答案】D【解析】利用已知条件得到底面圆的半径，再利用求圆心角的公式代入即可得出结果. 详解：设半径为，由母线长为，母线与轴的夹角为，得：，则底面圆的周长为：，所以该圆锥侧面展开图的圆心角大小为：.故选：D.【点睛】本题主要考查了弧长公式.属于较易题. 2．【答案】C【解析】直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果.详解：由扇形弧长公式得：本题正确选项：【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题. 3．【答案】B【解析】利用终边相同的角的概念，对选项进行分析即可解得.详解：A 不是终边相同的角，终边在x 轴的正半轴上，终边在x 轴轴上； B 是终边相同的角；C 不是终边相同的角终边落在直线上， 终边落在两条射线上；D 不是终边相同的角，终边落在坐标轴上，终边落在y 轴上. 故选：B【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，属于简单题目，解题时可以应用排除法，对k 取值进r l 301sin 302r r l l ︒=⇒=r l 2π=πllπαπ==55362L r ππα==⨯=C 2k πk π6k ππ+3y x =26k ππ±,03y x x =≥,0y x x =≥2k π2k ππ±行比较验证. 4．【答案】D【解析】连接圆心与弦的中点，则以弦心距．弦长的一半．半径长为长度的线段构成一个直角三角形，解直角三角形可得.详解：设扇形的半径为，如图．由，得，所以．故选：D 【点睛】本题考查弧度制下有关弧长问题. 其解题策略：(1)明确弧度制下弧长公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．(2)分析题目已知哪些量．要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解． 5．【答案】D【解析】与角终边相同的角的集合是:,,再代计算即可.详解：与角终边相同的角的集合是:,, 当时,,在范围内,与角终边相同的角是,故选:D.r 2sin1=r 2=sin1r 242sin1sin1l r α==⨯=80-︒{|36080k αα=⋅︒-︒}k Z ∈1k =80-︒{|36080k αα=⋅︒-︒}k Z ∈1k =280α=∴0~360︒︒80-︒280︒【点睛】本题考查终边相同的角的求法,考查运算求解能力,属于基础题. 6．【答案】B【解析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料. 详解：解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为.故选：B.【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题. 7．【答案】D【解析】A ：通过举特例进行判断即可；B ：把角化为内终边相同的角，进行判断即可；C ：通过举特例进行判断即可；D ：根据扇形的面积公式，结合弧长公式进行判断即可.详解：A ：两个角的终边相同，但是这两个角不相等，故本说法错误；B ：，而，所以是第三象限角，故本说法错误；C ：当时，两个角的终边关于轴对称，而，故本说法错误；D ：设扇形的弧长为，因为扇形的面积为，半径为2，所以有，因此扇形的圆心角为. 故选：D【点睛】本题考查了扇形的面积公式．弧长公式，考查了终边相同角的性质，考查了角的位置，考查了已知两个角终边的对称性求两角的关系问题，属于基础题. 8．【答案】C【解析】根据扇形的面积公式，代入相应值即可.详解：由得，所以， 故选：C.【点睛】1212404020204002323πππ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=831-︒0~360︒︒1,361︒︒8313360249︒︒-︒=-⨯+180249270︒︒︒<<831-︒1,1αβ︒︒==-x 0360αβ+=︒≠︒l 35π3132525l l ππ=⨯⇒=3210l π=212S r α=212S r α=231182πα=⨯⨯34πα=本题考查扇形的面积公式，若扇形的圆心角为（弧度制）且为正值，半径为r ，弧长为，周长为，面积为，则，，.9．【答案】C【解析】先确定角所在的范围，然后判断所在的象限.详解：角弧度，，∴α在第三象限， 故选:C.【点睛】此题考查在弧度制下判断角的范围，属于基础题. 10．【答案】C【解析】化为弧度制为，由弧长公式有，选C. 11．【答案】B【解析】详解：如图，设内切圆半径为r ，则r ＝，∴S 圆＝π·2＝，S 扇＝a 2·＝，∴＝.12．【答案】A【解析】由题得所以它的面积是故选A.13．【答案】B【解析】 设扇形的圆心角为，所以扇形的面积为， 解得，故选B.αl C S l r α=2C r l =+21122S lr r α==α–2α=2(,)2ππ-∈--603π233l r ππαπ==⨯=3a3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭29a π123π26a πS S 圆扇2322111166.22223S lr r r r πααπ==⋅==⨯⨯=6π.α2211312216S R παα==⨯=38πα=14．【答案】B【解析】求出扇形的半径和弧长，利用扇形的面积公式可求出该扇形的面积.详解：设该扇形的半径为，弧长为，则，且，所以有， 所以，该扇形的面积为.故选：B.【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答的关键就是求出扇形的半径，考查计算能力，属于基础题. 15．【答案】A【解析】设扇形的半径为，弧长为，根据题意有，解得，代入公式求解.详解：设扇形的半径为，弧长为，则，解得，，所以.故选：A 【点睛】本题主要考查弧度制公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.r l 2lr =28l r +=42l r =⎧⎨=⎩142S lr ==r l 24112r l rl +=⎧⎪⎨=⎪⎩r l r l 24112r l rl +=⎧⎪⎨=⎪⎩1r =2l =2lrα。

§3 弧度制 3．1 弧度概念 3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练知识点一 弧度制与角度制1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径长D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12 ；(4)－11π5.知识点二 用弧度制表示角3．把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为( )A ．－3π－π6B ．－4π＋150°C ．－3π－30° D．－4π＋5π64．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.知识点三 扇形的弧长与面积的计算5．已知扇形的半径为10 cm ，圆心角为165°，则扇形的弧长为( )A ．10π cm B．11π cm C ．55π6 cm D ．28π3cm6．某扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为6，则它的面积是( ) A ．6π B ．3π C．12π D ．9π 7．已知扇形的圆心角为α，α>0，半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求该弧所在的弓形的面积． (2)若扇形的周长为20 cm ，则当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？关键能力综合练一、选择题1．(易错题)亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为( )A ．π3B ．－π3C ．5π3D ．－5π32．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4 －8π B．74 π－8πC ．π4 －10π D．74π－10π3．若α＝－2π3＋k π，k ∈Z ，则α终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限4．若扇形的周长是16，圆心角是360π度，则扇形的面积是( )A ．16B ．32C ．8D ．64 5．下列结论错误的是( )A ．67°30′化成弧度是3π8radB ．－10π3rad 化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－7π6radD ．π12rad 化成度是15° 二、填空题6．已知α＝1 690°，把α写成2k π＋β(其中k ∈Z ，β∈[0，2π))的形式为________________，θ与α的终边相同，且θ∈(－4π，－2π)，则θ＝________．7．(探究题)已知2k π＋2π3 <α<2k π＋5π6 (k ∈Z )，则α2为第________象限角．8．折扇(如图1)是我国传统文化的延续，已有四千年左右的历史．图2为其结构简化图，在扇面ABCD 中，延长DA ，CB 交于点O ，已知OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则该扇面ABCD 的面积为________ cm 2.三、解答题9．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5 rad ，β2＝－π3rad.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自是第几象限角；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边分别相同的所有角．学科素养升级练1.(多选题)已知某扇形的圆心角为π10，半径为5，则( )A ．该扇形的弧长为π2B ．该扇形的弧长为π4C ．该扇形的面积为5π2D ．该扇形的面积为5π42．(学科素养——数学运算)在一块顶角为2π3，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； (2)比较两种方案中的扇形面积的大小．§3 弧度制 3．1 弧度概念3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练1．答案：D解析：由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，而长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，选项D 的说法错误，很明显选项A 、B 、C 的说法正确．故选D.2．解析：(1)20°＝20×π180 ＝π9 .(2)－15°＝－15×π180 ＝－π12；(3)7π12 ＝7π12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝105°；(4)－11π5 ＝－11π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－396°.3．答案：D解析：－570°＝－2×360°＋150°，而150°＝150×π180 ＝5π6，所以－570°可化为－4π＋5π6.故选D.4．解析：(1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴角－1 500°与角5π3终边相同，是第四象限角．(2)23π6 ＝2π＋11π6 ，∴角23π6 与角11π6终边相同，是第四象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴角－4与角2π－4终边相同，是第二象限角． 5．答案：C解析：∵165°＝π180 ×165＝11π12 ，∴扇形的弧长l ＝11π12 ×10＝55π6(cm).故选C.6．答案：A解析：60°＝60×π180 ＝π3 rad ，扇形面积S ＝12 ×π3×62＝6π.故选A.7．解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S .∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴S ＝12 ×π3 ×102－34 ×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253 cm 2. (2)设扇形的弧长为l ，则l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R (0<R <10).∴扇形的面积S ＝12 lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ，∴当R ＝5 cm 时，S 有最大值25 cm 2， 此时，l ＝10 cm ，α＝l R＝2 rad. ∴当α＝2 rad 时，扇形的面积最大．关键能力综合练1．答案：B解析：因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为－16 ×2π＝－13π.故选B.2．答案：D解析：∵－1 485°＝－5×360°＋315°，2π rad＝360°，315°＝74π rad.∴－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.故选D.3．答案：B解析：∵－2π3 角的终边在第三象限，则反向延长其终边在第一象限，故α＝－2π3＋k π，k ∈Z 在一、三象限．故选B.4．答案：A解析：因为360π度等于2弧度，所以扇形的弧长l ＝2r ，因为扇形的周长是16，所以l ＋2r ＝16，所以r ＝4，l ＝8.因此扇形的面积是12 lr ＝12×8×4＝16.故选A.5．答案：C解析：对于A ，67°30′＝67.5×π180 ＝3π8 ，结论正确；对于B ，－10π3＝(－10π3 )×180°π ＝－600°，结论正确；对于C ，－150°＝－150×π180 ＝－5π6，结论错误；对于D ，π12 ＝π12 ×180°π＝15°，结论正确．故选C.6．答案：4×2π＋25π18 －47π18解析：α＝1 690°＝1 440°＋250°＝8π＋25π18，所以α＝4×2π＋25π18.依题意，有θ＝2k π＋25π18(k ∈Z )，由θ∈(－4π，－2π)，得－4π<2k π＋25π18 <－2π.又k ∈Z ，所以k ＝－2，所以θ＝－47π18.7．答案：一或三解析：由已知，得k π＋π3 <α2 <k π＋5π12 (k ∈Z )，当k 为偶数时，α2 为第一象限角，当k 为奇数时，α2 为第三象限角，故α2为第一或三象限角．8．答案：800解析：因为OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则弧AB 的长度为20 cm ，则该扇面ABCD 的面积为S ＝S 扇形OCD －S 扇形OAB ＝12 ×60×30－12 ×10×20＝800 cm 2.9．解析：(1)α1＝－570°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－570×π180 rad ＝－19π6 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2×2π＋5π6 rad ，α2＝750°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫750×π180 rad ＝25π6 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π＋π6 rad ， ∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．(2)β1＝3π5 rad ＝3π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝108°，与108°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝108°＋k ·360°，k ∈Z }． S 中适合－720°<β<0°的元素是108°－2×360°＝－612°，108°－1×360°＝－252°，∴在－720°～0°之间与β1终边相同的角为－612°和－252°.β2＝－π3rad ＝－π3 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－60°，与－60°角终边相同的角的集合T ＝{β|β＝－60°＋k ·360°，k ∈Z }．T 中适合－720°<β<0°的元素是－60°－1×360°＝－420°， ∴在－720°～0°之间与β2终边相同的角为－420°.学科素养升级练1．答案：AD解析：由题意得该扇形的弧长为π10 ×5＝π2 ，面积为12 ×π2 ×5＝5π4，故A ，D 正确，B ，C 错误．故选AD.2．解析：(1)∵△OAB 是顶角为2π3、腰长为2的等腰三角形，∴∠A ＝∠B ＝π6，OM ＝ON ＝1.方案一中扇形的周长L 1＝2＋2＋2×π6 ＝4＋π3 ，方案二中扇形的周长L 2＝1＋1＋1×2π3 ＝2＋2π3，∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|(4＋π3 )－(2＋2π3 )|＝2－π3.(2)方案一中扇形的面积S 1＝12 ×π6 ×22＝π3 ，方案二中扇形的面积S 2＝12 ×2π3 ×12＝π3，∴S 1＝S 2，即两种方案中扇形的面积相等．。

1．下列四个命题中是假命题的是（ ）A ．存在这样的α和β的值使得cos （α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值使得cos （α＋β)＝cos αcos β＋sin αsinβC ．对于任意的α和β有cos （α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值使得cos （α＋β）≠cos αcos β－sin αsinβ2．已知θ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos θ＝35，则πcos 6θ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 （ ）A 334- B 334+ C 334- D 33．化简sin （x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y ）cos(x －y )的结果是( ） A ．sin 2x B ．cos 2y C ．－cos 2x D ．－cos 2y4．已知在△ABC 中,满足tan A tan B ＞1,则这个三角形一定是（ ）A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 5．已知sin(α－β）＝1010，α－β是第一象限角，tan β＝12，β是第三象限角，则cos α等于( )A B ． C D ．6．化简5πcos 2x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________。

7．已知cos x ＋cos y ＝12，sin x －sin y ＝13，则cos （x ＋y ）＝__________.8．已知锐角α，β满足cos α＝35,cos （α＋β）＝513-，则cos β＝__________.9．已知π4tan 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，α为锐角，求cos α的值．10．已知1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且π2＜α＜π,0＜β＜π2，求cos 2αβ+的值．参考答案1。

答案:B解析：当α＝2k π,β＝2k π(k ∈Z ）时，cos （α＋β）＝cos αcos β＋sinαsin β，故A 对，B 错；由和角余弦公式易知C,D 均对．2。

3．1.2 弧度制1．弧度与弧度制用单位圆中的弧长来度量所对圆心角的大小，单位圆上长度为1的圆弧所对的圆心角取为度量的单位，称作弧度，这样的单位制称为弧度制．2．角度与弧度的换算公式 1弧度＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57°18′， 周角＝360°＝2π弧度， 1°＝π180弧度≈0.017_45弧度． 3．角度制以周角的1360作为度量单位，称为“度”；弧度制以周角的12π作为度量单位，称为“弧度”．1．下列说法不正确的是( )A ．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是圆周长的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角C ．根据弧度的定义，知180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小都与圆的半径长短有关[提示] 不论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小都与圆的半径长短无关．选D. 2．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．[提示] 4在角度制下，弧长公式与扇形面积公式分别是l ＝n πr 180，S ＝n πr 2360，根据角度制与弧度制的互换，能否用圆心角的弧度数表示弧长与扇形面积呢？扇形的弧长及面积公式设圆的半径为r ，圆心角α的角度数为n ，弧度数为x ，1．半径为12 cm ，弧长为8π cm 的圆弧，其所对的圆心角为α，则α为________． [提示]2π32．已知扇形的圆心角为2π5，半径等于20 cm.则扇形的面积为________ cm 2.[提示] 80π[例1] (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.[思路点拨] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． [边听边记] (1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18. (4)－855°＝－855×π180＝－19π4.1．将下列各角度与弧度互化：(1)22.5°＝__________；(2)－72°＝__________；(3)15°＝__________；(4)－7π6＝__________； (5)3π5＝__________；(6)5π12＝__________. 答案：(1)π8 (2)－2π5 (3)π12 (4)－210° (5)108°(6)75°[例2] 已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积． [思路点拨] (1)将圆心角化为弧度数；(2)求出扇形的半径或弧长；(3)代入面积公式． [边听边记] 设扇形的半径为r ，面积为S ， 由已知，扇形的圆心角为80×π180＝4π9， ∴扇形的弧长为4π9r .由已知，4π9r ＋2r ＝8π9＋4，∴r ＝2，∴S ＝12·4π9r 2＝8π9.故扇形的面积是8π9.将本例条件变为“已知2 rad 的圆心角所对的弦长为2”，求这个扇形的面积．解：如图，已知∠AOB ＝2 rad ，AB ＝2. 取AB 的中点C ，连接OC ，则OC ⊥AB ，在Rt △ACO 中，AC ＝12AB ＝1，∠AOC ＝12∠AOB ＝1 rad.∵sin ∠AOC ＝AC AO ，∴AO ＝1sin 1为圆半径，∴S ＝1sin 21.[例3] 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路点拨] 正确使用扇形弧长公式及面积公式．[边听边记] 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad).2．已知扇形AOB 的周长为10 cm ，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ， 由l ＋2r ＝10得l ＝10－2r ，S ＝12lr ＝12(10－2r )·r ＝5r －r 2＝－⎝⎛⎭⎫r －522＋254，0＜r ＜5. 当r ＝52时，S 取得最大值254，这时l ＝10－2×52＝5，∴θ＝l r ＝552＝2.故该扇形的面积的最大值为254cm 2，及取得最大值时圆心角为2 rad ，弧长为5 cm.1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：由角度制和弧度制的定义，知A 、B 、C 说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D 说法错误．答案：D2．－300°化为弧度是( ) A ．－4π3 B ．－5π3 C ．－7π4D ．－7π6解析：∵1°＝π180 rad ，∴－300°＝－300×π180 rad ＝－5π3rad. 答案：B 3.3π4对应的角度是( ) A ．75° B ．125° C ．135° D ．155°答案：C4．一扇形的圆心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为__________． 解析：∵|α|＝2，l ＝4，∴r ＝l |α|＝42＝2，∴S ＝12lr ＝12×4×2＝4.答案：45．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则该扇形的周长为________ cm. 解析：因为1°＝π180 rad ，所以54°＝π180×54＝3π10， 则扇形的弧长l ＝αr ＝3π10×20＝6π(cm)， 故扇形的周长为(40＋6π)cm. 答案：40＋6π6．用弧度制表示第二象限角的集合，并判断－10π3是不是第二象限角．解：在0～2π范围内，第二象限角α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. ∴终边落在第二象限的所有角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z .而－10π3＝－4π＋2π3∈⎝⎛⎭⎫－4π＋π2，－4π＋π， ∴－10π3是第二象限角．弧度制与角度制有何异同点？使用时注意什么？都是角的度量方法，但使用了不同的标准，角度制是利用了圆周的1360为1度，而弧度制是利用了长度等于半径的圆弧所对的圆心角为1弧度．使用时“度”不能省略，“弧度”二字可省略不写，另外两者不能混用，要避免如2k π＋30°或k ·360°＋π3这样的错误形式．一、选择题1．若圆的半径为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍解析：∵l ＝|α|R ，∴|α|＝l R ，当R ，l 均变为原来的2倍时，|α|不变．而S ＝12|α|R 2中，∵α不变，∴S 变为原来的4倍． 答案：B2.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转π2，则从动轮N 逆时针旋转( )A.π8B.π4C.π2D ．π解析：设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等， 所以1502×π2＝3002×θ，解得θ＝π4，选B.答案：B3．若β＝－1 rad ，则β的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：∵1 rad ≈57°18′，∴－1 rad ≈－57°18′， ∴β的终边在第四象限． 答案：D4．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} 解析：如图，所以P ∩Q ＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}． 答案：B 二、填空题5．－22π3角的终边在第________象限．解析：∵－22π3＝2π3－8π，2π3的终边在第二象限．∴－22π3的终边在第二象限．答案：二6．若角θ的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是__________．解析：∵θ＝8π5＋2k π(k ∈Z)，∴θ4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．当k ＝0时，θ4＝2π5；k ＝1时，θ4＝9π10；k ＝2时，θ4＝7π5；k ＝3时，θ4＝19π10.答案：2π5 或 9π10 或 7π5 或 19π10三、解答题7．已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm ，求扇形的面积．解：扇形的圆心角为75×π180＝5π12，扇形半径为15 cm ， 扇形面积S ＝12|α|r 2＝12×5π12×152＝3758π(cm 2)．8.如图，已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小； (2)求α所对的弧的长度l 及阴影部分的面积S . 解：(1)由于圆O 的半径为10，弦AB 的长为10， 所以△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝π3，所以α＝π3.(2)因为α＝π3，所以l ＝α·r ＝10π3.S 扇＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12×10×53＝253，所以S ＝S 扇－S △AOB ＝50π3－253＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.。

习题课 三角恒等变换的应用A 级必备知识基础练1.下列各式与tan α相等的是( ) A.√1-cos2α1+cos2αB.sinα1+cosα C.sinα1-cos2αD.1-cos2αsin2α2.化简(sin α2+cos α2)2+2sin 2(π4−α2)得( )A.2+sin αB.2+√2sin(α-π4)C.2D.2+√2sin(α+π4)3.函数f(x)=sin(2x-π4)-2√2sin 2x 的最小正周期是 .4.化简:sin4x 1+cos4x·cos2x 1+cos2x·cosx1+cosx= . 5.已知函数f(x)=4cos 4x -2cos2x -1sin(π4+x)sin(π4-x).(1)求f (-11π12)的值;(2)当x ∈[0,π4)时,求函数g(x)=12f(x)+sin 2x 的最大值和最小值.B 级关键能力提升练6.已知α满足sin α=13,则cos(π4+α)cos(π4-α)=( )A.718B.2518C.-718D.-25187.已知函数f(x)=sin 2x+2√3sin xcos x-cos 2x,x ∈R,则( ) A.f(x)的最大值为1B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C.f(x)的最小正周期为π2D.直线x=π3为f(x)图象的一条对称轴8.设a=2sin 13°cos 13°,b=2tan13°1+tan 213°,c=√1-cos50°2,则有( )A.c<a<bB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b9.已知函数f(x)=sin x+λcos x 的图象的一个对称中心是点(π3,0),则函数g(x)=λsin xcos x+sin 2x 的图象的一条对称轴是直线( ) A.x=5π6B.x=4π3C.x=π3D.x=-π310.(多选题)以下函数在区间(0,π2)上单调递增的有 ( )A.y=sin x+cos xB.y=sin x-cos xC.y=sin xcos xD.y=sinx cosx11.(多选题)设函数f(x)=sin(2x+π4)+cos(2x+π4),则f(x)( )A.是偶函数B.在区间(0,π2)单调递减C.最大值为2D.其图象关于直线x=π2对称12.已知cos θ=-725,θ∈(π,2π),则sinθ2+cosθ2的值为.13.化简:tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= .14.已知函数f(x)=4tan xsin(π2-x)cos(x-π3)-√3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间[-π4,π4]上的单调性.C级学科素养创新练15.如图,某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道(Rt△EFG,E是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口E是AB的中点,F,G分别落在AD,BC上,且AB=20m,AD=10√3 m,设∠GEB=θ.(1)试将污水管道的长度l表示成θ的函数,并写出定义域.(2)当θ为何值时,污水净化效果最好?请求此时管道的长度.习题课 三角恒等变换的应用1.D1-cos2αsin2α=2sin 2α2sinαcosα=sinαcosα=tanα.2.C 原式=1+2sin α2cos α2+1-cos[2(π4−α2)]=2+sinα-cos(π2-α)=2+sinα-sinα=2.3.πf(x)=√22sin2x-√22cos2x-√2(1-cos2x)=√22sin2x+√22cos2x-√2=sin(2x+π4)-√2,所以T=2π2=π.4.tan x 2 原式=2sin2xcos2x 2cos 22x·cos2x 1+cos2x·cosx 1+cosx=sin2x 1+cos2x·cosx 1+cosx=2sinxcosx 2cos 2x·cosx 1+cosx=sinx1+cosx=tan x 2.5.解(1)f(x)=(1+cos2x )2-2cos2x -1sin(π4+x)sin(π4-x)=cos 22xsin(π4+x)cos(π4+x)=2cos 22xsin(π2+2x)=2cos 22x cos2x=2cos2x,所以f (-11π12)=2cos (-11π6)=2cos π6=√3.(2)g(x)=cos2x+sin2x=√2sin (2x +π4).因为x ∈[0,π4),所以2x+π4∈[π4,3π4),所以当ax =√2, 当in =1.6.A cos (π4+α)cos (π4-α)=cos[π2-(π4-α)]·cos (π4-α)=sin(π4-α)cos(π4-α)=12sin(π2-2α)=12cos2α=12(1-2sin 2α)=12(1-2×19)=718,故选A. 7.D 函数f(x)=sin 2x+2√3sinxcosx-cos 2x=√3sin2x-cos2x=2(√32sin2x-12cos2x)=2sin(2x-π6),可得f(x)的最大值为2,最小正周期为T=2π2=π,故A,C 错误;由f(x)=0,可得2x-π6=kπ,k∈Z,即x=kπ2+π12,k ∈Z,可得f(x)在(0,π)内的零点为π12,7π12,故B 错误;由f(π3)=2sin(2π3−π6)=2,可得直线x=π3为f(x)图象的一条对称轴,故D 正确.故选D. 8.A 因为a=2sin13°cos13°=sin26°,b=2tan13°1+tan 213°=tan26°,c=√1-cos50°2=sin25°,且正弦函数y=sinx 在区间[0,π2]上单调递增,所以a>c;在区间[0,π2]上tanα>sinα,所以b>a,所以c<a<b,故选A.9.D 因为函数f(x)=sinx+λcosx 的图象的一个对称中心是点(π3,0),所以f (π3)=0,即sin π3+λcos π3=0,解得λ=-√3,故g(x)=-√3sinxcosx+sin 2x,整理得g(x)=-sin (2x +π6)+12,所以对称轴直线方程为2x+π6=kπ+π2(k ∈Z),当k=-1时,一条对称轴是直线x=-π3.10.BD 对于A 选项,y=sinx+cosx=√2sin(x+π4),当x ∈(0,π2)时,x+π4∈(π4,3π4),所以函数在区间(0,π2)上不单调;对于B 选项,y=sinx-cosx=√2sin(x-π4),当x ∈(0,π2)时,x-π4∈(-π4,π4),所以函数在区间(0,π2)上单调递增;对于C 选项,y=sinxcosx=12sin2x,当x ∈(0,π2)时,2x ∈(0,π),所以函数在区间(0,π2)上不单调;对于D 选项,当x ∈(0,π2)时,y=sinxcosx=tanx,所以函数在区间(0,π2)上单调递增.11.ABD f(x)=sin(2x+π4)+cos(2x+π4)=√2sin(2x+π4+π4)=√2cos2x.f(-x)=√2cos(-2x)=√2cos2x=f(x),故f(x)是偶函数,A 正确;∵x ∈(0,π2),所以2x ∈(0,π),因此f(x)在区间(0,π2)上单调递减,B 正确;f(x)=√2cos2x 的最大值为√2,C 不正确;当x=π2时,f(x)=√2cos(2×π2)=-√2,因此当x=π2时,函数有最小值,因此函数图象关于直线x=π2对称,D 正确.12.15因为θ∈(π,2π),所以θ2∈(π2,π).所以sin θ2=√1-cosθ2=45,cos θ2=-√1+cosθ2=-35.所以sin θ2+cos θ2=15.13.-1 原式=sin70°cos70°·cos10°·(√3sin20°cos20°-1)=sin70°cos70°·cos10°·√3sin20°-cos20°cos20°=sin70°cos70°·cos10°·2sin (-10°)cos20°=-sin70°cos70°·sin20°cos20°=-1.14.解(1)f(x)的定义域为{x |x ≠π2+kπ,k ∈Z}.f(x)=4tanxcosxcos (x -π3)−√3=4sinxcos (x -π3)−√3=4sinx (12cosx +√32sinx)−√3=2sinxcosx+2√3sin 2x-√3 =sin2x+√3(1-cos2x)-√3 =sin2x-√3cos2x=2sin (2x -π3).所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sinz 的单调递增区间是[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z.由-π2+2kπ≤2x -π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=[-π4,π4],B={x|-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z},易知A∩B=[-π12,π4].所以,当x ∈[-π4,π4]时,f(x)在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间[-π4,-π12]上单调递减.15.解(1)由题意,∠GEB=θ,∠GEF=90°, 则∠AEF=90°-θ.∵E 是AB 的中点,AB=20m,AD=10√3m. ∴EG=10cosθ,EF=10cos (90°-θ)=10sinθ.∴FG=√EG 2+EF 2=10cosθsinθ.则l=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ,定义域θ∈[π6,π3].(2)由(1)可知,l=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ,θ∈[π6,π3].化简可得l=10(sinθ+cosθ)+10sinθcosθ.令t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4). ∵θ∈[π6,π3],∴θ+π4∈[5π12,7π12], 可得sin(θ+π4)∈[√6+√24,1],则t ∈[√3+12,√2]. 可得sinθcosθ=t 2-12,且t≠1, 那么l=10+10tt 2-12=20(1+t )t 2-1=20t -1.当t=√3+12时,l 取得最大值为20(1+√3).此时t=√2sin(θ+π4)=√3+12,即θ+π4=5π12或7π12,∴θ=π6或π3.故当θ=π6或π3时,污水净化效果最好,此时管道的长度为20(1+√3)m.。