第1讲 坐标系与参数方程
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
热点一 极坐标与直角坐标的互化
直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ2＝x 2＋y 2
，tan θ＝y x (x ≠0).
例1 (2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)在极坐标系中，已知点A ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π2，
点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上．当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．
解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π2的直角坐标为
(0,2)，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0.
当线段AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点，
解⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝1.
所以点B 的直角坐标为(－1,1)． 所以点B 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，34π.
思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
跟踪演练1 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2
＋(y －2)2
＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R )，设C 2，C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．
解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝π4代入ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2
－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2， 所以|MN |＝ρ1－ρ2＝ 2.因为C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12×2×1×sin 45°＝1
2.
热点二 参数方程与普通方程的互化 1．直线的参数方程
过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．
2．圆的参数方程
圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，
0≤θ≤2π)． 3．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．
(2)抛物线y 2
＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2pt 2
，y ＝2pt (t 为参数)．
例2 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos θ，
y ＝sin θ (θ为参
数)，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t (t 为参数)．
(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；
(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 2
9
＋y 2
＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋4y －3＝0，x 29
＋y 2
＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，y ＝0
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－21
25，y ＝24
25，
从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2125，2425.
(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|
17
.
当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋9
17
.
由题设得
a ＋9
17
＝17，所以a ＝8；
当a <－4时，d 的最大值为
－a ＋1
17
. 由题设得－a ＋1
17＝17，所以a ＝－16.
综上，a ＝8或a ＝－16.
思维升华 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．
跟踪演练2 (2017届广西柳州市模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，
