圆的方程1

( x a) ( y b) r
2 2
2 2 2
2
x y 2ax 2by a b r 0
2 2
x y Dx Ey F 0
2 2
上式方程一定表示圆吗？
x y Dx Ey F 0
2 2
D 2 E 2 D E 4F (x ) ( y ) 2 2 4
所求的直线方程为：x y 4 0.
点评；注意圆中隐含的垂直条件，利用“向量法”解题
例4：过点（ P 1， 5）作圆C : x2 y 2 2 x 4 y 1 0的切线l , 求直线l的方程？
解： x2 y 2 2x 4 y 1 0 2 2 1 2），r 2 ( x 1) ( y 2) 4 圆心（，
2 2
x y Dx Ey F 0
2 2
表示圆的方程，叫做圆的一般形式
1) x2和y 2的系数相同，不等于0；
2)没有xy项。
例1：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程， 并求出圆心和半径？
解：设所求的圆的方程为：x2
y 2 Dx Ey F 0
解：设M （x, y)为曲线上的任意一点则
1 MB 2
2 2
MA
1 即 ( x 3) 2 y 2 2
x2 y 2
x y 2x 3 0
为所求的曲线方程。
例3：圆x2 y 2 4 x 5 0的弦AB的中点M （31 ， ）， 则求直线AB的方程？
4.直线l过点（ P 3， 0）且与圆x2 y 2 8x 2 y 12 0截的弦最短，
x y 3 0

第□讲
圆的方程1
3.(知能点2)点P( ,5)与圆 的位置关系是………………………………………()
A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定
4.(综合1)圆心是(2,–1)并且过点(3,0)的圆的方程是……………………………………………( )
5.(综合2)直线 和圆
相切,那么 的值是………………………( )
(1)圆心在 轴上;(2)圆与 轴相切;
(3)圆过原点且与 轴相切.
[自主迁移]:
2.已知点P(4,5),圆C的方程为
,根据下列条件求出 的值或范围.
(1)点P在圆C上;(2)点P在圆内.
[自主迁移]:
4.求圆 上的点到直线
距离的最大值和最小值.
[自主迁移]:
5.已知圆 ,点A(0,–1),B(0
,1),设点P是圆C的动点, ,求 的最大值、最小值及相应的点P的坐标.
B.(3,2), ; (–4,–3), ; (–2,0),2
C.(3,2),5 ; (4,3), ; (2,0),2
D.(3,2), ; (–4,–3), ; (–2,0),4
2.(知能点2)已知A(–4,–5),B(6,–1),则以线段AB
为直径的圆的方程是………………………( )
[自主迁移]:
1.已知圆的方程为 ,写出满足下列条件时 应满足的条件
A.5B.4C.3D.2
6.(综合1)圆 关于直线
对称的圆的方程是……………………( )
7.(综合2)设P( )是曲线 上任意一点,则 的最大值为( )
B. C.5 D.6
[创新拓展实践]:
12.(综合1)有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A,B两地距离10千米,顾客选从A或B地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求A,B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线外的居民应如何选择购货地点.

第十二章 圆锥曲线
12.1 曲线和方程
12.2 圆的标准方程（1）
一、圆的定义
定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, 并称这 个定点为圆心, 定长为半径. 试推导以C(a,b)为圆心, r为半径的圆的方程. y 设 M ( x, y )是所求轨迹上一点, M ( x, y) 2 2 则 | MC | r ( x a) ( y b) r
y
P （0，4）
（-10，0） A
O
x B （10，0）
x2+(y+10.5)2=14.52,（-10≤x≤10,y≥0）
三、圆的应用
变式一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。 试计算中间两根柱子的长度。(精确到0.01m) y
x2+(y+10.5)2=14.52
（-10≤x≤10,y≥0）
( x a)2 ( y b)2 r 2 所求轨迹方程是:
r
C ( a, b)
( x a ) ( y b) r
2 2
2
O
x
圆的标准方程 确定一个圆需要知道哪几个要素？
二、圆的标准方程
例1.写出下列各圆的标准方程： （1）圆心在原点，半径是3； （2）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3) （3）直径的两个端点为P(3,4)和Q(-5,6) （4）圆心为M(-1,2),且与直线2x-3y-5=0相切. （5）圆心为在x轴上，半径为5，且经过点A(2,-3)
x0 x y0 y r
过圆上一点的直线与圆相切
例2.已知 M ( x0 , y0 ) 为圆 C : x 2 y 2 r 2 上一点.
求: 过这点与圆相切的切线方程. 解: 圆C与l相切圆心与切点连线垂直于l.

练习： 求过点A(5,-1),圆心为(8,-3)的圆的方程 .
设圆的方程为 x - 8) + ( y + 3) = r (
2 2
2
把点(5,-1)代入得r = 13,
2
( x - 8) + ( y + 3) = 13
2 2
故圆的方程为 + y - 6x - 8 y = 0 x
2 2
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较 (2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方 程用待定系数法求解.
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
知a、b、r
（x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程 配 方 展 开
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 . 练习：
设圆的方程为 + y + Dx + Ey + F = 0 x
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组
6 + 6D + F = 0 2 8 + 8E + F = 0
2
F =0
D = -6, E = -8.
所求圆的方程为：
2 + y 2 - 6x - 8 y = 0 x
知识回顾：
(1) 圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2

（2）当圆心在原点时圆的方程的形式是什么？ （3）要确定一个圆的方程，至少需要几个独
立条件？
三、知识巩固
例1 写出下列各圆的方程 (1)圆心在原点,半径是3. (2)圆心在(3,4),半径是 5 . (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3).
例2 说出下列圆的圆心坐标和半径
(1) (x-3)2+(y+2)2=4. (2) (x+4)2+(y-2)2=7. (3) x2+(y+1)2=16.
P2 y P
x A A1 A2 O A3 A4 B
领会什么是月光妹妹！”女店员迭米叶娆仙女超然把变异的美如灵芝一般的肩膀摆了摆，只见九道深深的美如吸管般的灰雾，突然从亮蓝色金钵一般的手掌中飞出，随 着一声低沉古怪的轰响，浅橙色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的蕉花豺隐味在灿烂的空气中萦绕。接着粉红色水车般的鼻子怪异蜕变扭曲起来……很大的嘴唇窜 出亮白色的丝丝魔烟……浮动的眉毛窜出暗绿色的缕缕仙寒！紧接着粉红色水车般的鼻子怪异蜕变扭曲起来……很大的嘴唇窜出亮白色的丝丝魔烟……浮动的眉毛窜出 暗绿色的缕缕仙寒！最后晃起亮蓝色金钵一般的手掌一抖，快速从里面射出一道佛光，她抓住佛光秀丽地一抖，一组明晃晃、亮晶晶的功夫『金雾虹仙棕叶脚』便显露 出来，只见这个这件怪物儿，一边膨胀，一边发出“吐哇”的猛音…………陡然间女店员迭米叶娆仙女快速地用自己瘦小的复眼计划出紫红色陶醉萦绕的簸箕，只见她 很大的嘴唇中，狂傲地流出七组转舞着『黑霞夏精胸花大法』的仙翅枕头尺状的牢笼，随着女店员迭米叶娆仙女的摆动，仙翅枕头尺状的牢笼像客舱一样在食指残暴地 整出隐约光雾……紧接着女店员迭米叶娆仙女又使自己脏脏的胸部摇曳出暗橙色的铅球味，只见她突兀的美如袋鼠一般的屁股中，萧洒地涌出八簇门扇状的仙翅枕头伞 ，随着女店员迭米叶娆仙女的晃动，门扇状的仙翅枕头伞像狂驴一样，朝着月光妹妹清丽动人的的秀眉飞勾过来！紧跟着女店员迭米叶娆仙女也窜耍着功夫像扣肉般的 怪影一样朝月光妹妹飞勾过来月光妹妹超然把俏皮活泼的小嘴唇颤了颤，只见五道轻飘的犹如金钩般的紫云，突然从雪国仙境一样的玉牙中飞出，随着一声低沉古怪的 轰响，深绿色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的猪精腐睡味在疾速的空气中摇晃……接着清秀晶莹的小脚丫顷刻抖动膨胀起来……秀丽光滑、好像小仙女般的下巴 射出纯黑色的片片亮光……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛射出灰蓝色的飘飘余声。紧接着清秀晶莹的小脚丫顷刻抖动膨胀起来……秀丽光滑、好像小仙女般的下巴 射出纯黑色的片片亮光……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛射出灰蓝色的飘飘余声。最后抖起优雅飘忽的玉臂一耍，狂傲地从里面跳出一道金辉，她抓住金辉典雅地 一耍，一组亮光光、青虚虚的功夫⊙玉光如梦腿＠便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边紧缩，一边发出“嘀嘀”的异声！……陡然间月光妹妹快速地用自己妙丽的 透射着隐隐天香的玉白色腕花组织出暗灰色高速摇晃的鸡窝，只见她青春跃动的胸脯中，突然弹出七簇摆舞着⊙月影河湖曲＠的仙翅枕头绳状的仙鹤，随着月光妹妹的 颤动，仙翅枕头

3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
O C
x
3、已知 M
(5,7) 和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25
B
，则点M在 （ A 圆内
） C 圆外 D 无法确定
B圆上
判断一个点在不在某个圆上，只需将 这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能 使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如 果不成立则不在这系 2 2 2 怎样判断点 M 0 ( x0 , y0 ) 在圆 ( x a) ( y b) r
2 2 2
0 (4(b4) b) r (-2) +(y+10.5) =14.5 r (-2) +(y+10.5) =14.5 0 10 (0 b) r 010 (0()b)r 解得：y≈3.86(m) 0(44b b) r r 解得：y≈3.86(m)
2
10 (0 b) r (-2) +(y+10.5) =14.5 ( b) 2 10 －0 r2=14.52 2 r 2 解得：y≈3.86(m) 2 解得：b=10.5－10.52，r r 解得：b=， b) =14.5 解得：b=－0 ，r =14.5 解得：y≈3.86(m) 10 ( 10.5 答：支柱A2P答：支柱A2P22P的长度约为 的长度约为 答： 支柱A 2的长度约为 2 所以这个圆的方程是： 所以这个圆的方程是： 所以这个圆的方程是： 3.86(m) 3.86(m) 3.86(m) 2=14.52 x 解得：b=－10.5，r +(y+105) =14.5
一、引入新课
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 圆心 定长 半径

形如①的方程的曲线是否都是圆？
； 人力资源培训/html/hometopfenlei/topduanqipeixun/duanqipeixun1/
；
刚刚听到蒙古民歌的人，听出悠远，是第一楼台；听出蒙古民歌的苍凉悲抑，乃第二楼台；在第三重境界，会听到蒙古人的心肠多么柔软，像绸子一样柔软。粗糙的北地，像一块磨石，把人的筋骨磨硬，心肠磨软了，这就是蒙古。因此，他们会把更好的肉食和乳品送给借宿的陌生人。 在蒙古民歌中，那些用手指和心灵摩挲得最好的佛珠，是《达那巴拉》、《诺恩吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达吉拉》、《金珠尔玛》。按气功的说法，这些歌的信息能量太丰富太辽远了。像这样的好歌，还可以像百科全书一样列下去。 这时需要一位歌者，贯历 史而达现今，如油然之云把歌中的含金量沛然化雨，一泻而出，那么，在大师级的歌王哈扎布、朝鲁、宝音德力格尔之后，在马头琴王齐·宝力高之后，在卓越的歌唱家牧兰、拉苏荣、金花之后，在优秀的作曲家通福、美丽齐格和最早的电子音乐家图力古尔之后，漫漫地平线上的巨星是 腾格尔。 腾格尔的意思是“天”，蒙古人没有几个如此作名，但腾格尔称名不妨。天者，辽远无碍，又具王者之尊。腾格尔是鄂尔多斯人，幼时随外祖母牧羊，领会草原襟抱，及长入歌舞团而后考入音乐学院学作曲，定居京华而下派宁夏锻炼，终于崛起。他由民族而升腾，非个人能力 所及也，这是他与流行歌手最大的区别。人若成器，后腰须要支撑，台港雨巷支撑、情郎妹子支撑……均不如有一个强韧的民族和苍凉的天地来支撑。因此，腾格尔有福了，用蒙古话说，他“Baoyuntie”。听腾格尔的歌，像在饮牛的水洼前捧水泼在脸上，像在沙粒迎面的大风中前行， 有暗夜饮醪的热肠感受，是长歌当哭的抒纾。当烈辣过喉的时候，当男人宽温的手放在女人背上的时候，当目睹落日悲壮的时候，去听腾格尔的歌吧。 这么小的小风 最小的小风俯在水面，柳树的倒影被蒙上了马赛克，像电视上的匿名人士。亭子、桑树和小叶柞的倒影都有横纹，不让你 看清楚。而远看湖面如镜，移着白云。天下竟有这么小的风，脸上无风感(脸皮薄厚因人而异)，柳枝也不摆。看百年柳树的深沟粗壑，想不出还能发出柔嫩的新枝。 在湖面的马赛克边上，一团团鲜红深浅游动———红鲤鱼。一帮孩子把馒头搓成球儿，放鱼钩上钓鱼。一条鱼张嘴含馒头， 吐出，再含，不肯咬钩。孩子们笑，跺脚，恨不能自己上去咬钩。 此地亭多，或许某一届的领导读过醉翁亭记，染了亭子癖。这里的山、湖心岛、大门口，稍多的土积之成丘之地，必有一亭。木制的、水泥的、铁管焊的亭翘起四个角，像裙子被人同时撩起来。一个小亭子四角飞檐之上， 又有三层四角，亭子尖是东正教式的洋葱头，设计人爱亭之深，不可自拔。最不凡的亭，是在日本炮楼顶上修的，飞檐招展，红绿相间，像老汉脖上骑一个扭秧歌的村姑。 干枯的落叶被雨浇得卷曲了，如一层褐色的波浪。一种不知名的草，触须缠在树枝上。春天，这株草张开枣大的荚， 草籽带一个个降落伞被风吹走。伞的须发洁白晶莹，如蚕丝，比蒲公英更漂亮。植物们，各有各的巧劲儿。深沟的水假装冻着，已经酥了，看得清水底的草。我想找石头砸冰，听一下“噗”或“扑通”，竟找不到。出林子见一红砖甬道，两米宽。道旁栽的雪松长得太快，把道封住了，过 不去人。不知是松还是铺甬道的人，总之有一方幽默。打这儿往外走，有一条小柏油路，牌子上书：干道。更宽的大道没牌子。 看惯了亭子，恍然想起这里有十几座仿古建筑，青砖飞檐，使后来的修亭人不得不修亭，檐到处飞。我想在树林里找到一棵对早春无动于衷的树，那是杨树。 杨树没有春天的表情，白而青的外皮皲裂黑斑，它不飘舞枝条，也不准备开花。野花开了，蝴蝶慢吞吞地飞，才是春天，杨树觉得春天还没到。杨树腰杆太直，假如低头看一下，也能发现青草。青草于地，如我头上的白发，忽东忽西，还没连成片。杨树把枝杈举向天空，仿佛去年霜降的 那天被冻住了，至今没缓过来。 鸟儿在英不落的上空飞，众多的树，俯瞰俱是它的领地。落在哪一棵上好呢？梨树疏朗透光，仪态也优雅，但隐蔽性差。柏树里面太挤了，虽然适合调情。小叶柞的叶子还不叶，桑树也未桑。小鸟飞着，见西天金红，急忙找一棵树歇息。天暗了，没看清 这是一棵什么树。 ——英不落札记之二 雪地贺卡 今年沈阳的雪下得大，埋没膝盖，到处有胖乎乎的雪人。 下班时，路过院里的雪人，我发现一个奇怪的迹象：雪人的颏下似有一张纸片。我这人好奇心重，仔细看，像是贺卡，插在雪人怀里。 抽出来，果然是贺卡，画面是一个满脸雀 斑的男孩，穿着成人的牛仔装，在抹鼻涕。里面有字，歪歪扭扭，是小孩写的。 雪人：你又白又胖，桔子皮嘴唇真好看。你一定不怕冷，半夜里自己害怕吗？饿了就吃雪吧。咱俩做个好朋友！ 祝愿：新年快乐心想事成！ 沈阳岐山三校二年四班李小屹 我寄出也接受过一些贺卡，这张却 让人心动。我有点嫉妒雪人，能收到李小屹这么诚挚的关爱。 我把贺卡放回雪人的襟怀，只露一点小角。回到家，放不下这件事，给李小屹写了一张贺卡，以雪人的名义。我不知这样做对不对，希望不至伤害孩子的感情。 李小屹：真高兴得到你的贺卡，在无数个冬天里面，从来都没人 送给我贺卡。你是我的好朋友！ 祝愿：获得双百永远快乐！ 岐山中路10号三单元门前雪人 我寄了出去，几天里，我时不时看一眼雪人，李小屹是否会来？认识一下也很好。第三天，我看见雪人肩膀又插上了一张贺卡，忙抽出来读。 雪人：我收到你的贺卡高兴得跳了起来，咱们不是已 经实现神话了吗？但我的同学说这是假的。是假的吗？我爸说这是大人写的。我也觉得你不会写贺卡，大人是谁？十万火急！告诉我！（15个惊叹号）你如果不方便，也可通知我同学，王洋，电话621XX10；张弩电话684XX77。 祝愿：万事如意心想事成！ 李小屹 我把贺卡放回去，生出 别样心情。李小屹是个相信神话的孩子，多么幸福，我也有过这样的年月。在这场游戏中，我应该小心而且罢手了。尽管李小屹焦急地期待回音。 就在昨天，星期日的下午，雪人前站着一个女孩，背对着我家的窗。她装束臃肿．胳膊都放不下来了。这必是李小屹。她痴痴地站在雪人边 上，不时捧雪拍在它身上。雪人桔子皮嘴唇依然鲜艳。 我不忍心让李小屹就这么盼望着，像骗了她。但我更不忍心破坏她的梦。不妨让她惊讶着，甚至长成大人后跟自己的男友讲这件贺卡的奇遇。 一个带有秘密的童年是多么地幸福。 月光手帕 很多年以前，我在医院为父亲陪床。陪床 的人逼并没有床可以睡，时间已在后半夜，我散步在一楼和三楼的楼梯之间。这时医院没什么人走动了，几个乡下人披着棉衣蹲在楼梯口吸烟。偶尔，有戴着口罩的忽视手执葡萄糖轻盈往来。 我下到一楼，又拾阶上楼，走在我前面的一个小姑娘，大约是个中学生，行走间蹲下，拣一样 东西，旋又走开了，回头瞅我一眼。她走开后，地上一个薄白之物仍放着，像一方手帕。 我走近一看，这不是手帕，而是一小片月光摊在楼梯上。为什么是一小片呢？原来是从被钉死的落地长窗斜照进来的，只有一方手帕大的小窗为钉死。子夜之时，下弦月已踱到西天。这一片月光射 入，在昏黄的楼道灯光下，弥足珍贵。 小姑娘误以为这是奶白色的手帕，她弯腰时，手指触到冰凉的水泥地上便缩回了。她瞅我一眼，也许是怕笑话。 我不会笑她，这一举动里充满生机。小姑娘也是一个病人的家属，我不知她的病人在床上忍受怎样的煎熬，但她这样敏感，心里盛着美， 不然不会把月光误作手帕。 在她发现这块“月光手帕”前，我已将楼梯走了几遍，对周围无动于衷。正是因为她的弯腰，才诱使我把这一小片月色看成了手帕，或者像手帕。但我感伤自己已没有她那样的空灵，走过来也不会弯下腰去。因为一双磨炼得很俗的研究极易发现月光的破绽， 也就失去了一次美的愉悦。 许多年过去了，我对此事有了新的想法。多么希望她能够把这块“手帕”拣起来，抖一下，但那是不可能的事情。我替月光遗憾，它辜负了小姑娘轻巧的半蹲拣手帕的样子。 培植善念 过去，西藏有一位高僧叫潘公杰，每天打坐，在面前放黑白两堆小石子， 来辩识善念恶念。善念出现时，拿一颗白石子放在一边，恶念出现时，取黑石子。 佛法中的善念即利益大众，恶念则不简单指杀人越货，在脑中转瞬即逝的享乐之念，以及贪慕、忌妒、嗔恼等都可以称之恶念，而欺诈偷盗已是罪恶了。 以现在的角度阐述，善念即仁爱，而恶念不过是欲 望。欲望是什么？“是我们保持生存的主要工具”（卢梭）。由于欲望的指引，人生克服种种困难走向满足。“因此，为了保持我们的生存，我们必须看自己，爱自己要胜过看其他一切东西”（卢梭）。可见自私的本性已经深植人性之中，所谓欲望实为生存之道，不应有善恶之分。然而， 爱自己须有一个限度，超过此限，就可能变成恶，甚至罪。而人的欲望恰恰是永无止境的。因此，为了共同的利益，爱自己还应该爱我们生存的环境，注意到别人也需要爱。不能推及他人与环境的爱，叫做冷酷，这就是恶的生成。 一个人把爱兼及他人与环境，包括植物、动物，佛法称 之为“慈”。如果目睹苦寒之中的贫儿老妇，心中深出一点点同情心，则是另一种大善。这种情怀，即所谓“悲”。慈悲两字，听起来有些苍老，有人甚至会觉得它陈腐，实际它穿越时代，是凝注苍生的大境界。今天流行的“关怀”以及“温馨”，不过是它的现代版，内涵如一。 善念 其实是小小的火苗，倘若不精心护佑，它在心中也就旋生旋灭了。并非说，只有造福万代才叫善。譬如有人建议削平喜马拉雅山，让印度洋的暖流涌入，使干旱的西北大地变成热带雨林。此善大则大矣，却要我们等待太久。古人有诗：“为鼠常留饭，怜蛾不点灯。”虽然琐细，读后感觉 心中暖暖的，大过印度洋的暖流。 潘公杰大师在黑白石子中辨别善恶二念，到晚上检点，开始时黑石子多。他掴自己的耳光，甚至痛苦、自责：你在苦海里轮回，还不知悔过吗？三十多年之后，他手下全变成白石子了，大师修成菩提道。 我们达不到高僧那种至纯之境。爱自己原本也没 有错，我们是凡人，然而无论“利己心”走得多远，有善念相伴，你都会是一个好人。 跟穷人一起上路 那一次，我从油麻地去香港岛看维多利亚湾的夜景，途中步行经过一个隧道。隧道的名字已忘记了，印象是宽亮如昼。走着，目光被左壁招贴画吸引。———一个风尘仆仆的汉子迎面 而来，他刚毅精悍，左腿是机械假肢，肩膀有些前斜，吃力地、渴盼

与圆有关的轨迹问题
(1)确定轨迹可依据定义，由动点满足的几何条件直接 判断，也可先求动点满足的曲线方程再作判断． (2)求轨迹方程的五个步骤： ①设点：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任
意一点M的坐标；
②列式：写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；
③代换：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
求圆的方程的基本方法就是待定系数法，求解时，
根据实际情况，可以设成标准方程，也可以设成一般方
程．一般地，当给出的条件是圆上的几点坐标时适合用一 般方程；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、 圆的切线方程、圆的弦长等条件时适合用标准方程．另外， 用几何法结合圆的有关几何性质来求解可以使思路比较直 观，而且计算会简洁些(如第(2)小题的方法二).
|CA|＝ 5，∴所求圆 C 的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
5．根据下列条件，求圆的方程： (1)经过A(6,5)、B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y
＋9＝0上；
(2)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得 的弦长等于6.
解：(1)∵AB 的中垂线方程为 3x＋2y－15＝0，
1． 方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆， 则 a 的取值范围是 2 A．a<－2 或 a> 3 C．－2<a<0 ( 2 B．－ <a<0 3 2 D．－2<a< 3 )
解析：方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 a2 3 2 2 转化为(x＋2) ＋(y＋a) ＝－4a －a＋1， 3 2 所以若方程表示圆，则有－4a －a＋1>0， 2 ∴3a ＋4a－4<0，∴－2<a<3.

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二、点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (1)若点M(x0，y0)在圆上，则
2 2 2 (2)若点M(x0，y0)在圆外，则 (x0－a) ＋(y0－b) >r ；
(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 . (3)若点M(x0，y0)在圆内，则
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1．(教材习题改编)圆心在y轴上，半径为1且过点
(－1,2)的圆的方程为 A．x2＋(y－3)2＝1 C．(x－2)2＋y2＝1 ( B．x2＋(y－2)2＝1 D．(x＋2)2＋y2＝1 )
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解析：设圆心(0，b)，半径为r. 则r＝1.∴x2＋(y－b)2＝1. 又过点(－1,2)代入得b＝2， ∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 答案： B
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[自主解答]
由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是 10，且
点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD| ＝2 10－12＋22＝2 5(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为 中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝ 1 1 2 10，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于2|AC|×|BD|＝2 ×2 10×2 5＝10 2.
(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)的 直线的斜率． 由图像知 y 的最大值和最小值分 x＋1
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别是过P与圆相切的直线PA、PB的斜率． |CA| 3 2 又∵kPA＝ |PA| ＝ ＝ 2 ， 6 |CB| 3 2 kPB＝－ |PB|＝－ ＝－ 2 . 6 即 y 2 2 的最大值为 2 ，最小值为－ 2 . x＋1
答案： C

评注
用待定系数法求圆的方程时,如果由已知条 件容易得出圆心坐标和半径或需利用圆心 坐标和半径布列方程(组)时,一般用圆的标 准方程;如果已知条件和圆心坐标及半径都 无直接关系,一般用圆的一般方程.
例5 已知一曲线是与两个定点A(3,0)和O(0,0)距离 的比为1/2的点的轨迹,求此曲线方程,并画出曲线.
复习与引入
圆的标准方程及特征是怎样的? 标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2 特征(1)含有三个参数a,b,r,因此必须具备三个独
立条件才能确定一个圆. (2)从圆的标准方程可以直观地看出圆心(a,b)和半
径r. 求圆的标准方程常见方法有哪些? (1)定义法;(2)待定系数法.
新课开始
解:在给定的坐标系里,设点M(x,y)是曲线上的任意一点,也就是
点M属于集合
P {M
OM AM
12}.
由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为
x2 y2 ( x3)2 y2

1 2
......1()
将（1）式两边平方，得 (
x
x2 y2 3)2 y
2

1 4
,
化简得x2 y 2 2x 3 0......(2)
(2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径,而一般方程突
出了方程形式上的特点.
3.圆的标准方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系:
(1)A=C≠0,(2)B=0,(3) D2+E2-4AF>0时,二元二次方程才表示圆的一般方程.
4.圆的一般方程的特点:
(1)x2和y2的系数相同且不等于0.

• • • •
1、掌握圆的一般方程及一般方程的特点 2、能将圆的一般方程化为圆的标准方程 3、能用待定系数法由已知条件导出圆的方程 4、培养学生数形结合思想,方程思想,提高学 生分析问题及解决问题的能力. • 重点:圆的一般方程及一般方程的特点 • 难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法求 圆的方程.
(x-5)2+(y-6)2=10
4.求圆心在直线y = x上,与两轴同时相切,半径为2的圆的方程.
y
2
y=x
C(2,2)
-2 0 C(-2,-2) -2
2
x
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
小结:利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径.
二、[导入新课]
1、同学们想一想，若把圆的标准方程
4、将
2 2 Dx Ey F 0 y x
左边配方，得
2 2 2 4 F D E2 D E ( x ) ( y ) 4 2 2
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
2
可以看出它表示以
2
D E , 2 2
D E 4 F 为圆心, 以 r 为半径的圆; 2
52 12 5D E F 0 D 4 2 2 7 (1) 7D E F 0 E 6 22 82 2D8E F 0 F 12
2
2
2
2
42 为 半 径 的 圆 . 2
巩固：
2 2
( 1 ) 已知圆 x y Dx Ey F 0 的圆心
-6 ( 2 , 3 ), 半径为 4 ,则 D ___ ___ F ___ -3 4 E

根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b)， 半径是r的圆的方程?
探究新知 问题：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆A上任一点，则|MA|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MA| = r }
( x a ) ( y b) r
课本作业
P124 A组 2, 3, 4
所以所求2)2
x 3y 3 0
25
小结：
(1)、牢记： 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。 (2)、掌握：①三个条件a、b、r确定一个圆。 ②点与圆的位置关系。 (3)、方法：待定系数法
课本练习
P120 1, 2, 3, 4
2 2
A(a, b)
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
标准方程
y
2 2
M(x,y)
( x a) ( y b) r
2
O
C
x
圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
典型例题
例1 解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方 程是： 2 2
2
x a y b
+2 x
r
2
y
-2 C(0、0) r=2
0
-1 C(-1、0) r=1
0
x
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M1 (5,7) ， M 2 ( 5 ,1)是否在这个圆上。

7.7 圆的方程
圆的标准方程
什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。 y M 一、建立圆的标准方程 r 求圆心Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。 c 如图（１），设M(x ,y )是圆上任 意一点，根据定义，点Ｍ到圆心Ｃ的 o 距离等于r ，所以圆Ｃ就是集合 x Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝ 图⑴
例6 已知圆的方程是x y r 2，求经过圆上一点 y M x , y 的切线的方程。 解：如图⑵，设切线的斜率 k , P(x,y) 半径OM的斜率为 k ，因为圆的 M(x0,y0) 切线垂直于过切点的半径，于是
2
0 0
2
1
k

1
∵k
1

y x
k
1
o ∴
y
k
0
0
x y
2 2
2

( y b)
2 2
2
r 的关系判断：
2
⑴( x 0 a )
( y 0b) ( y 0b) ( y 0b)
2 2
r r r
，P在圆外， ，P在圆上， ，P在圆内。
⑵( x 0 a )
⑶( x 0 a )
2
2
2
例５ 已知隧道的截面是半径是4m的 半圆，车辆只能在道路的中心线一侧 行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车 能不能驶入这个隧道？
点Ｍ适合的条件可表示为
(x a)
2
( y b)
2
＝r
①
①式两边平方，得 ② 方程②就是圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的方程，我 们把它叫做圆的标准方程。 特别的，如果圆心在原点，这时 a 0 , b 0 ，那么 2 2 2 y r 圆的方程是 x 二、圆的标准方程的应用 例1 写出下列各圆的方程： ⑴圆心在原点，半径是３； ⑵圆心在点 C 3 , 4 ，半径是 5 ； ⑶经过点 P 5 ,1 ，圆心在点 C 8 , 3 。 2 2 y 9 ⑵( x 3) 2 ( y 4 ) 2 5 答：⑴ x 2 2 ( y 3) 2 5 ⑶ ( x 8) 点评：⑶中，可先用两点距离公式求圆的半径，或设 2 2 2 x 8 y 3 r，用待定系数法求解。

点与圆的位置关系有几种？如何判断？
1.利用点M(x0，y0)与圆心C(a,b)的距离 d和半径r d=r,M在圆上; d>r,M在圆外;d<r,M在圆内;
2.பைடு நூலகம்用图形
点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、 外的条件是什么？ (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆内
点M0在圆外
例3.已知三角形ABC的三个顶点坐标 分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求 它的外接圆方程
方法2 确定圆心和半径
线段 AB 的垂直平方线方程为 2x-4y=16, 线段BC的垂直平方线方程为x+y=-1.
(3)、 圆心在（-1、2），与y轴相切
(4)圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2. (5)已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3) (6)已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为直径 的圆的方程.
例2.写出圆心为A(2,-3),半径为5的 圆的方程,并判断M1(5,-7),M 2( 5 ,1) 是否在这个圆上.
x y r
2 2
2
2 求圆的标准方程的方法 （1）根据圆心和半径直接求得 （2）待定系数法
例4.已知圆心为C的圆经过点A(1,1) 和B(2,-2),且圆心C在直线L:x-y+1=0 上,求圆心为C的圆的标准方程.
2 2
2
当圆心在原点时，方程为 当圆心在x轴时，方程为 当圆心在y轴时，方程为
x y r
2 2
2 2
2

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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
【 解 析 】
(1) 方 法 一 ： 圆 的 半 径 r ＝ |CP| ＝
（5－8）2＋（1＋3）2＝5， 又∵圆心在点(8，－3)， ∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25. 方法二：因为圆心在 C(8，－3) ，故设方程为(x－8)2＋(y＋ 3)2＝r2. 又因为点 P(5，1)在圆上，所以(5－8)2＋(1＋3)2＝r2. ∴r2＝25. 所以所求圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
◎思考题 1
(1)若圆 C 与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1 关于原点对 ) B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
称，则圆 C 的方程是(
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
【答案】 A
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心 A(a，b)，半径 r， 若点 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点 M(x0，y0) 在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；若点 M(x0， y0)在圆内，则(x0 －a)2＋(y0－b)2<r2.
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
1 (2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝2|AB|＝1， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1. (3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， （2－a）2＋（－3－b）2＝r2， 2 2 2 ∴（－2－a） ＋（－5－b） ＝r ， a－2b－3＝0， a2－4a＋b2＋6b＋13＝r2， 2 2 2 即a ＋4a＋b ＋10b＋29＝r ， ② a＝3＋2b， ③ ①