大连市高等数学竞赛试题B答案

大连市第二十三届高等数学竞赛试卷学校答案（B）一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，总计10分）1. nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→11lim = e^2 .2. 30tan sin limx x xx →-= 1/2 .3. 0lim x x x +→= 1 .4. 2cos lim xx t dtx→⎰= 1 .5. 若221lim 2,2x x ax bx x →--=+-则(,)(4,5).a b =-二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin)(3x x xx x f 求)(x f '.解 当0≠x 时，xx x f 1sin )(3=为一初等函数，这时;1cos 1sin 311cos 1sin3)(2232xx x x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='（6分） 当0=x 时，由于),0(01sinlim )(lim 30f xx x f x x ≠==→→（8分） 阅卷阅卷题号一二三四五六七八九十总分分数二、 三、（本题8分）求函数2221()11x x f x x x-=+-的间断点，并判断类型.解：0,1,1x x x ===-为间断点。

（3分）当0x =时，由于2001lim ()lim 1,1||x x x x f x x x ++→→+==+而2001lim ()lim 1,1||x x x x f x x x --→→+==-+ 所以0x =是跳跃间断点。

（5分） 当1x =时，由于2111lim ()lim 1,1||x x x x f x x x →→+==+所以1x =是可去间断点。

（7分） 当1x =-时， 而1lim (),x f x →-=∞所以1x =-是无穷间断点。

（8分）考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共四 页 第 1页阅卷学校姓名四、（本题10分）曲线)0(316>=xxy上哪一点处的法线在y轴上的截距最小？解设631xy=在),(yx处的法线方程为)(xXkyY-=-，因为52xy='，所以521xk-=，法线方程为)(215xXxyY--=-，（4分）整理后为64545312121212xxXxxxXyY++-=+-=，法线在y轴上的截距为643121xxb+=。

学 校姓 名大连市第十九届高等数学竞赛试卷（A ）一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）1． 已知tan 2x y =，则dy =tan 22ln 2sec x xdx2．2202x x dx -=⎰2π 3． 21cos x t y t⎧=+⎨=⎩，则22d y d x =3sin cos __________4t t t t - 4． 设111()24x xef x e+=+，则0x =为()f x 的__________跳跃型间断点5． 函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定，则()y y x =的驻点为____(1,1)______6． 幂级数0n n n a x ∞=∑在2x =-处条件收敛，则此级数的收敛半径为_____2_____7． 已知22:14y L x +=，逆时针方向，则224Lxdy ydxx y -=+⎰_____4_____π 8． 曲线2x y e -=的凸区间为22_____(,)_____22-9． 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线只有_____2_____条10．22203()xxdx f x y dy +⎰⎰化为极坐标系下的先对ρ后对θ的二次积分为2sec 304()d f d πθπθρρρ-⎰⎰考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 三 页 第 1 页阅卷人得 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 分 数二、（本题8分）已知301()sin 21lim21x x f x x e →+-=-，求0lim ()x f x →.解：因为301()sin 21lim21xx f x x e →+-=-， 又 30lim(1)0x x e →-=，所以0lim(1()sin 21)0x f x x →+-=,0lim ()sin 20x f x x →=，……………………2分从而3001()sin 21()sin 22limlim 123x x x f x x f x xe x→→+-==-⨯，…………………………4分 又0sin 2lim12x xx→=，所以0lim ()6x f x →=…………………………………………………………..…2分三、（本题9分）设()f x 在区间(,)-∞+∞内可导。

学校姓名大连市第二十一届高等数学竞赛试卷（数学专业）考试时间：150分钟，满分100分题号一二三四五六七分数一、（15分）求顶点为(1,2,3)A，轴与平面:220x y zπ++=垂直，且过点(6,5,5)B的圆锥面方程。

解：轴线的方程为：123221x y z---==————3分过点(6,5,5)B且垂直于轴的平面为：2(6)2(5)(5)0x y z-+-+-=即2227x y z++=————5分该平面与轴的交点为(5,6,5)，与点(6,5,5)的距离为2，———— 7分因此圆锥面的准线为222(5)(6)(5)22227x y zx y z⎧-+-+-=⎨++=⎩————9分对锥面上任一点(,,)x y z，过该点与顶点的母线为123123X Y Zx y z---==---————11分它与准线的交点设为000(,,)X Y Z，即存在参数t，使得1(1)2(2)3(3)X x tY y tZ z t=+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩————13分将其代入准线方程，并消去t得22286861431527676360366307290x y z xy xz yz x y z++---+++-+=————15分阅卷人得分二、（10分）设(),()f x g x 是[,]a b 上的正值连续函数，求证：存在(,)a b ξ∈，使得()()1()()baf g f x dxg x dxξξξξ-=⎰⎰。

证明： 令()()()xb x axF x e f t dt g t dt -=⎰⎰，则易知有()0,()0F a F b ==， ————5分由Rolle 中值定理知，存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即 ————7分()()()()()()()0b b aae f t dt g t dt f g t dt g f t dt ξξξξξξξ--+-=⎰⎰⎰⎰。

————9分化简即得结论。

大连市高等数学竞赛试题B答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，计10分）1. n ⎭⎝∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x xx→-= 1/2 . 3. 0lim x x x +→= 1 . 4. 2cos lim xx t dtx→⎰= 1 .5.若221lim 2,2x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin)(3x x xx x f 求)(x f '.解 当0≠x 时，xx x f 1sin )(3=为一初等函数，这时;1cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232xx x x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='（6分） 当0=x 时，由于),0(01sin lim )(lim 300f xx x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。

（10分）解：0,1,1x x x ===-为间断点。

（3分） 当0x =时，由于00lim ()lim 1,1||x x x f x x x ++→→==+而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。

（5分） 当1x =时，由于11lim ()lim 1,1||x x x f x x x →→==+所以1x =是可去间断点。

（7分） 当1x =-时， 而1lim (),x f x →-=∞所以1x =-是无穷间断点。

（8分）考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页第 1页曲线)0(316>=x x y 上哪一点处的法线在y 轴上的截距最小？ 3在),(y x 处的法线方程为 )(x X k y Y -=-，因为52x y ='，所以521x k -=，法线方程为 )(215x X x y Y --=-，（4分）整理后为 64545312121212x x X x x x X y Y ++-=+-=，法线在y 轴上的截距为 643121x x b +=。

大连市第三届大学生高等数学竞赛试题1.（10分）求2.（10分）设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足f(1)-2,求证在（0，1）内至少存在一点，使得f＇()= —。

3.（10分）设函数f(x)具有一阶、二阶导数，f(0)=f(1)=0,且证明：4.（10分）求函f(x)= 在[0，2]上的最大值与最小值。

5.（10分）设函数f(x)在区间（0，1）上可微，且0＜f＇(ｘ)≤１，f(0)=0证明6.（10分）已知f(t)=(tg(tg(tg,求f＇（１）。

7.（10分）试求的和函数，并计算8.（10分）一均质链条挂在一个无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边垂下8米，另一边垂下10米，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9.（10分）设f(x)=a1sin(x)+a2sin2x+…+a n sinnx,且|f(x)|≤｜sinx｜求证：| a1+a2+…+a n|≤１10.（10分）设半径为R的球的球心在半径为a的定球面上，问R为何值时，夹在定球内部的表面积最大，并求出最大的表面积的值。

大连市第四届大学生高等数学竞赛试题1、设x=g(y)为y=f(x)的反函数，求。

2、设f(x)在（+）上有连续导函数，求其中L是从点A（3，）到点B(1,2)的直线段。

3、设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，求证在（a,b）内存在,使得=（b-a）f()+(b-a) 。

4、设f(x)= 定义A(x)=令A= A(1)+ A()+…+ A()+…,试证：＜Ａ＜１５、设f(x)在（+）上有三阶连续导数，且等式f(x+h)=f(x)+hf’(x+)(0<<1)中，与h无关，则f(x)必为一个一次函数或二次函数。

6、函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,试证由g(x)=所定义的g(x)有一阶连续导数。

7、若函数f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)=f(1), ||≤１，试证：｜｜≤在［０，１］上成立。

大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）学校一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，总计10分）1. n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim = e^2 .2. 30tan sin limx x xx→-= 1/2 . 3. 0lim xx x +→= 1 . 4. 2cos lim xx t dtx→⎰= 1 .5. 若221lim 2,2x x ax bx x →--=+-则(,)(4,5).a b =-二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin)(3x x xx x f 求)(x f '. 解 当0≠x 时，xx x f 1sin )(3=为一初等函数，这时;1cos 1sin 311cos 1sin3)(2232xx x x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='（6分） 当0=x 时，由于),0(01sinlim )(lim 30f xx x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。

（10分）阅卷人得 分阅卷人 得 分题 号 一二三四五六七八九十总分分 数二、 三、（本题8分）求函数2221()11x x f x x x -=+-的间断点，并判断类型. 解：0,1,1x x x ===-为间断点。

（3分）当0x =时，由于2001lim ()lim 1,1||x x x x f x x x ++→→+==+而2001lim ()lim 1,1||x x x x f x x x --→→+==-+ 所以0x =是跳跃间断点。

（5分） 当1x =时，由于2111lim ()lim 1,1||x x x x f x x x →→+==+所以1x =是可去间断点。

（7分） 当1x =-时， 而1lim(),x f x →-=∞所以1x =-是无穷间断点。

（8分）考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页阅卷人 得 分学校姓名四、（本题10分）曲线)0(316>=xxy上哪一点处的法线在y轴上的截距最小？解设631xy=在),(yx处的法线方程为)(xXkyY-=-，因为52xy='，所以521xk-=，法线方程为)(215xXxyY--=-，（4分）整理后为64545312121212xxXxxxXyY++-=+-=，法线在y轴上的截距为643121xxb+=。

2014年大连大学高等数学竞赛经文类试题一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1、设()y y x =由2xy x y =+确定，则0|x dy ==2、曲线2cos31x y e xy e ++=+在点(0,1)处的切线方程为3、若0()lim11cos x f x x →=-且20()x f t dt ⎰是n x 的同阶无穷小，则n = 4、设sin x x为()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰5、曲线1sin y x x=+的渐近线方程为6、函数2ln ()23xf x x x =+-的第一类可去型间断点为7、设()f x 是连续函数且1201()()1f x x f t dt x=++⎰，则()f x = 8、sin 0limln cos x xx e e x x→-= 9、221limnn i in i→∞==+∑ 10、设曲线()y f x =与2y x x =+在点(0,0)相切，则lim n →∞= 二、（本题8分）求极限1212((1))lim1ln(1)x tx t e t dt x x→+∞--+⎰三、（本题10分）设111n n x n e n -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，其中n 为正整数，求lim n n x →∞。

四、（本题9分）已知极限2014lim 0(1)n n c n n αα→∞=≠--，试求α以及c 。

五、（本题9分）已知曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-，求222(1)li mln co s x t x t x e f e e d t I x x→+-=⎰六、（本题8分）设函数()y f x =由方程32260y xy x y +++=确定，求()f x 的极值。

七、（本题10分）设函数()f x 的原函数为sin xx，求不定积分'(2)xf x dx ⎰。

八、（本题8分）设函数1()F x t x t dt =-⎰，求'()F x 。

学 校姓 名大连市第十九届高等数学竞赛试卷（A ）一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）1． 已知tan 2x y =，则dy =tan 22ln 2sec x xdx2．2202x x dx -=⎰2π 3． 21cos x t y t⎧=+⎨=⎩，则22d y d x =3sin cos __________4t t t t - 4． 设111()24x xef x e+=+，则0x =为()f x 的__________跳跃型间断点5． 函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定，则()y y x =的驻点为____(1,1)______6． 幂级数0n n n a x ∞=∑在2x =-处条件收敛，则此级数的收敛半径为_____2_____7． 已知22:14y L x +=，逆时针方向，则224Lxdy ydxx y -=+⎰_____4_____π 8． 曲线2x y e -=的凸区间为22_____(,)_____22-9． 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线只有_____2_____条10．22203()xxdx f x y dy +⎰⎰化为极坐标系下的先对ρ后对θ的二次积分为2sec 304()d f d πθπθρρρ-⎰⎰考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 三 页 第 1 页阅卷人得 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 分 数二、（本题8分）已知301()sin 21lim21x x f x x e →+-=-，求0lim ()x f x →.解：因为301()sin 21lim21xx f x x e →+-=-， 又 30lim(1)0x x e →-=，所以0lim(1()sin 21)0x f x x →+-=,0lim ()sin 20x f x x →=，……………………2分从而3001()sin 21()sin 22limlim 123x x x f x x f x xe x→→+-==-⨯，…………………………4分 又0sin 2lim12x xx→=，所以0lim ()6x f x →=…………………………………………………………..…2分三、（本题9分）设()f x 在区间(,)-∞+∞内可导。

⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+=53421:t z t y t x L ， ⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=-=178124:t z t y t x M ， 求与此二直线相切的直径最小的球面方程.解： 容易验证L 和M 既不平行, 也不相交，故为异面直线. -------2分有唯一的公垂线PQ , 垂足P 在L 上, Q 在M 上. -----------------1分 以PQ 为直径的球面即为所求的与L 和M 相切的直径最小的球面. ----2分 记向量)5,4,1(=, )3,2,1(-=, )17,8,12(-=, )1,1,4(-=,则L 和M 分别表示为 u t a + 和 v t b +. ----------------------2分 有常数p , q 使得 u p a P +=, v q b Q +=. 此时u p v q a b PQ -+-=. -----1分PQ 与L 和M 都垂直, 则该向量与u , v 的内积都是零, 即()0=⋅-+-u u p v q a b , ()0=⋅-+-v u p v q a b , -----------------1分或⎩⎨⎧=+-=+44184114q p q p , 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=251657251782q p ， -----------------2分 线段PQ 的中点为()⎪⎭⎫⎝⎛-=+++5028525,502791,50291521v q b u p a , ------------1分 半径的平方为 ()()1004147412=-+-⋅-+-u p v q a b u p v q a b . ------------1分所求球面方程为()()()22221472518525502791502915502⋅=-+-++z y x . ------------2分二、（12分）函数()xf满足()()211xxfxf+-=',+∞<<∞-x.试证: 极限()x fx+∞→lim都存在.证：分三种情况讨论.情形1. 0)(≥'xf, +∞<<∞-x.此时)(xf递增, 1)(≤xf, 故有上界, 因此()xfx+∞→lim存在. --------2分情形2. 0)(≤'xf, +∞<<∞-x.此时)(xf递减, 1)(≥xf, 故有下界,因此()xfx+∞→lim存在. --------2分情形3. )(xf'变号.此时有实数a, b使得0)(<'af, 0)(>'bf. ---------------------- 2分不妨设ba<. 因函数()xf连续, 有],[bac∈,使得()c f为()xf在该区间上的最小值. ---------------------- 1分注意0)(<'af和0)(>'bf表明在a点右侧)()(afxf<,在b点左侧)()(bfxf<,因此),(bac∈是一个极小值点, 满足0)(='cf, 即1)(=cf. -------------- 2分但0)(>'bf蕴涵1)(<bf.这与()c f为()xf在],[ba上的最小值矛盾. ---------------------- 1分这一矛盾表明, 情形3不可能出现. 即()xfx+∞→lim总是存在. ----------- 2分三、（13分）（13分）设,0,10>≤<ba试证数项级数()∑∞=1nlogsinannb发散.证:任给正整数N，取正整数p使得Ne bp>π2，------------- 2分再取正整数M，使得bbpeM621ππ+<-, bbpeM62ππ+≥. ------------2分此时NM>,bbpbbpbbbpbbbpbb eeeeeM652626462162114122πππππππππ++++=⋅<⋅<⎪⎪⎫⎛+⋅<. --------2分对正整数]2,[1M M n b∈, ]652,62[log ππππ++∈p p n b , ()216sin log sin =≥πn b . --------2分 注意1,10≥≤<x a 时x x a 11≥, ⎰+≥11n n a a xdx n , ---------2分()⎰⎰∑∑=≥≥≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=MMMMa M Ma M Mabbb b bx dx x dx n n n b 1111222n 2n 2log 212121121log sin . ---------2分 根据Cauchy 收敛准则, 级数 ()∑∞=1n log sin an n b 发散. -----------1分四（13分）、设二元函数 ),(y x f 一阶偏导数处处存在, 且在单位圆盘}1:,≤+=y x y x D 上满足 1),(≤y x f . 试证: 存在 D y x ∈),(00使得 16),(),(200200≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y y x f x y x f . 证：考虑函数)(2),(),(22y x y x f y x g ++=. -----4分在单位圆周上, 1),(≥y x g . -----1分 若),(y x g 在 D 上为常数, 则偏导数处处为零,在)0,0(处0)0,0()0,0(=∂∂=∂∂x g x f ，0)0,0()0,0(=∂∂=∂∂yg y f ， 显然满足所求证的不等式. -----2分 若),(y x g 在 D 上不是常数, 则由于1)0,0()0,0(≤=f g , ),(y x g 必定在单位圆盘内部某点),(00y x 处达到极小值. -----3分 此处000004),(),(0x x y x f x y x g +∂∂=∂∂=, 000004),(),(0y yy x f y y x g +∂∂=∂∂=, -----2分 因此()1616),(),(2020200200≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y x y y x f x y x f . -----1分五、（12分）计算曲面积分()⎰⎰++SdSzyx532cos,其中S是中心在原点的单位球面.解：在以单位向量⎪⎭⎫⎝⎛=385,383,382w为法向量的平面上取两个正交的单位向量u, v, 使得u, v, w构成右手系. ----------------------- 2分对任意向量()z yxr,,=, 令u⋅=, v⋅=, w⋅=,则()()z yxwvu,,,,→是一个正交变换，将单位球面映射到单位球面, ----- 2分其Jacobian行列式()()1,,,,=∂∂wvuzyx. ------------------------------ 1分此时我们有wzyx38532=++. ---------------------- 1分取球面S的参数表示为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=wwwvwuθθsin1cos122, 其中11≤≤-w, )2,0[πθ∈,于是θcos12wwwu--=∂∂, θsin12wwwv--=∂∂, 1=∂∂ww,θθsin12wu--=∂∂, θθcos12wv-=∂∂, 0=∂∂θw, -------------------- 2分222211wwwwvwuE-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=,=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=θθθwwwvwvuwuF,22221wwvuG-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=θθθ, -------------------- 1分由此得到θθdwddwdFEGdS=-=2-------------------- 1分()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==++SSdwwddSwdSzyx11238cos38cos532cosπθ ----------- 1分38sin384π=.-------------------- 1分六、（15分） 设三次多项式 r qx px x +++23 的根都是正实数, 试证明: 这些根恰好构成一个三角形三内角的余弦值的充要条件是1222=--r q p .证：先证必要性. 设A , B , C 是某一个三角形的三内角, a , b , c 分别是相对的边长, 则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c C a A c b Bc C b a cos cos cos cos cos cos ，-------------------- 3分这是关于的三元齐次方程组, 因其有非零解, 故01cos cos cos 1cos cos cos 1=------A BA C BC .-------------------- 2分即 1c o s c o s c o s2c o s c o s c o s 222=+++C B A C B A . (1) ------------ 1分若方程 023=+++r qx px x 的解是A cos, B cos , C cos , 则由多项式根与系数的关系,C B A p cos cos cos ++=- ,A C CB B A q cos cos cos cos cos cos ++= ,CB A r cos cos cos =- ,-------------------- 2分代入(1)式即得1222=--r q p . (2)------------------ 1分现在证明充分性. 假设 (2) 式成立, r qx px x +++23 的根1x , 2x , 3x 都是正实数. 则12321232221=+++x x x x x x . (3)------------------ 1分由此可见每个根都落在开区间()1,0内, 故有唯一的一组锐角A , B , C 使得A x cos 1=,B x cos 2=,C x cos 3=.代入(3) 得 CB C B A A 222cos cos 1cos cos cos 2cos --=+,------------------ 1分 左边配方得CB C B A 222sin sin )cos cos (cos =+,------------------ 1分 开方取正根得CB C B A sin sin cos cos cos =+, ------------------ 1分 从而)cos()cos(cos cos sin sin cos C B C B C B C B A --=+-=-=π,------------------ 1分注意A 和C B --π都在),0(π内，因此 π=++C B A , 证毕.------------------ 1分七、（20分） 设A , B 都是n 阶实对称矩阵. ()M Tr 表示矩阵M 的迹.(1) (12分)试证明：()()22B A Tr ABAB Tr ≤. (2) (8分)给出等号成立的充要条件.证：(1) 取正交矩阵T 使得AT T A '=~为对角矩阵. -------------------- 则()()()B A B A Tr ABABT T Tr ABAB Tr ~~~~='= ， -------------------- 1()()()222222~~B A Tr T B A T Tr B A Tr ='= . --------------------记 ()n n ij a A ⨯=~, ()n n ij b BT T B ⨯='=~ . -------------------- 因 B ~是对称矩阵, -------------------- 1()∑==n j i jiijjj iib b a a B A B A Tr 1,~~~~∑∑≤<≤=+=nj i ij jj ii ni iiii b a a ba 121222 , -----------------()()∑∑∑≤<≤==++==nj i ij jj iini iiii nj i ijii b a aba b a B A Tr 12221221,2222~~ , --------------------于是()()()()02~~~~~~122122222≤--=--=-∑∑≤<≤≤<≤nj i ij jj ii nj i ij jj ii jj iib a ab a a aa B A Tr B A B A Tr .------(2) 等号成立则()0122=-∑≤<≤nj i ij jj ii b a a, 即()0=-ij jj iib a a, n j i ≤≤,1. --------------------注意A ~为对角矩阵,()n n ij ii n n n k kj ik b a b a B A ⨯⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑1~~ , ()n n jj ij nn nk kj ik a b a b A B ⨯⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑1~~ , -----因此 ()0=-ijjj ii b a a 蕴涵 A B B A ~~~~=, 随之BA AB =. ----------------- 2另一方面, BA AB= 时 ()()()22B A Tr AABB Tr ABAB Tr ==. -----------总之, 等号成立的充要条件是: A 与B 交换. --------------------。