浅谈定义域及其求法和应用

值域和定义域的求法在数学中，函数是一个非常重要的概念。

函数的值域和定义域是函数中的两个重要概念。

值域指的是函数的所有可能输出值的集合，而定义域则指的是函数的所有可能输入值的集合。

在解决函数的问题时，我们需要了解如何求出函数的值域和定义域。

一、定义域的求法定义域是函数的输入值的集合。

定义域的求法主要有以下几种： 1. 显式定义法如果函数的定义是显式的，那么其定义域也是显式的。

例如，函数f(x) = x + 2的定义域为所有实数。

2. 分段定义法如果函数在不同的区间内有不同的定义，那么其定义域就是所有区间的交集。

例如，函数f(x) = {x，x<0；x+1，x>=0}的定义域为(-∞,0)∪[0,∞)。

3. 根式定义法如果函数中存在根式，那么其定义域要满足根式中的表达式大于等于0。

例如，函数f(x) = √(x-1)的定义域为[x,∞)。

4. 分式定义法如果函数中存在分式，那么其定义域要满足分母不为0。

例如，函数f(x) = 1/(x-1)的定义域为(-∞,1)∪(1,∞)。

5. 对数定义法如果函数中存在对数，那么其定义域要满足对数中的表达式大于0。

例如，函数f(x) = log(x-1)的定义域为(1,∞)。

二、值域的求法值域是函数的输出值的集合。

值域的求法主要有以下几种：1. 图像法通过作出函数的图像，可以直观地看出函数的值域。

例如，函数f(x) = x^2的图像为开口向上的抛物线，其值域为[0,∞)。

2. 导数法如果函数在某一区间内单调递增或单调递减，那么其值域就是该区间的端点对应的函数值的集合。

例如，函数f(x) = x^2在区间[0,1]内单调递增，其值域为[0,1]。

3. 最值法如果函数在某一区间内存在最大值或最小值，那么其值域就是最大值或最小值对应的函数值的集合。

例如，函数f(x) = -x^2+2x在区间[0,1]内的最大值为f(1)=1，其值域为(-∞,1]。

4. 解析法有些函数可以通过解析的方法求出其值域。

常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。

定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。

在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。

下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。

一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。

2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。

3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。

4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。

5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。

6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。

7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。

二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。

2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。

例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。

3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。

4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。

5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。

函数的定义域与值域函数是数学中一个重要的概念，它描述了一种特定的对应关系。

在函数的定义中，有两个关键概念，即定义域和值域。

定义域是指函数中自变量的取值范围，而值域则是函数中因变量的取值范围。

本文将详细介绍函数的定义域与值域，并探讨它们在数学问题中的应用。

一、定义域的概念及求解方法在函数中，定义域指的是自变量的取值范围，即函数可以接受哪些输入。

为了确定一个函数的定义域，需要考虑自变量的限制条件。

常见的限制条件包括分式的分母不能为零，指数函数中指数不能为负数等。

下面以几个具体的例子来说明如何求解函数的定义域。

例1：求解函数f(x) = √(4-x) 的定义域。

由于根号内不能出现负数，所以要求 4-x ≥ 0。

解这个不等式，有 x ≤ 4。

因此，函数 f(x) 的定义域为x ≤ 4。

例2：求解函数 g(x) = 1/(x-2) 的定义域。

分式的分母不能为零，所以要求 x-2 ≠ 0。

解这个不等式，可得x ≠ 2。

因此，函数 g(x) 的定义域为x ≠ 2。

通过以上例子，可以看出求解定义域的方法是根据函数的特点，找出限制自变量的条件，并求解相应的不等式。

二、值域的概念及求解方法在函数中，值域指的是函数的因变量的取值范围，即函数可以得到哪些输出。

确定一个函数的值域，需要根据函数的性质来进行推导和分析。

下面以几个具体的例子来说明如何求解函数的值域。

例3：求解函数 h(x) = x^2 的值域。

对于任意实数 x，都有x^2 ≥ 0。

因此，函数 h(x) 的值域为y ≥ 0，即非负实数集。

例4：求解函数k(x) = √x 的值域。

由于根号函数的特点，要使得 k(x) 存在，需要x ≥ 0。

另外，根号函数的值永远大于等于零。

因此，函数 k(x) 的值域为y ≥ 0，即非负实数集。

通过以上例子，可以发现求解值域的方法是根据函数的性质，直接分析函数表达式得到。

三、定义域与值域的应用1. 函数的性质分析：通过确定函数的定义域和值域，可以深入了解函数的性质。

函数的定义域和常见求解方法函数的定义域（domain）是指函数能够接受的实际输入值的集合。

换句话说，定义域是使函数有意义的所有可能的输入值的集合。

在数学中，函数一般表示为f(x)，其中x是函数的自变量，而f(x)则是自变量x所对应的函数值。

常见的函数定义域包括实数域（-∞,+∞），有理数集，整数集，自然数集，以及其他特定的定义域，如正数集，三角函数等。

在确定函数的定义域时，我们需要注意以下几点：1.分式函数的定义域：分式函数的定义域由分母不等于零的值所构成。

我们需要找出使分母不等于零的x的值，将这些值作为定义域的一部分。

2.平方根函数的定义域：平方根函数的定义域要求被开方数非负，即要求根号内的数大于等于零。

3.对数函数的定义域：对数函数的定义域要求底数大于零，并且对数函数的参数值必须大于零。

常见的函数求解方法包括图像法、方程法、函数变量代换法、函数性质法等。

1.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来找出函数的解。

我们将函数的图像与坐标系结合起来，寻找函数与x轴的交点，即函数的解。

2.方程法：方程法是通过将函数等式转化为方程的形式，然后通过解方程来找出函数的解。

在方程法中，我们可以使用各种方法来解方程，如因式分解法、配方法、根号消去法等。

3.函数变量代换法：函数变量代换法是通过引入新的变量来转化函数，从而简化函数的形式。

通过选择适当的变量代换，我们可以将原函数转化为更简单的函数，进而求解出函数的解。

4.函数性质法：函数性质法是通过利用函数的性质来求解函数的解。

例如，通过函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，我们可以得到函数的一些特殊解。

在实际问题中，常常需要综合运用以上多种方法来求解函数的解。

根据具体的函数形式和问题的要求，选择最合适的方法进行求解。

同时，在进行函数求解时，我们也需要注意函数定义域的范围，以保证求解出的函数解在定义域内有效。

函数的定义域和常见求解方法一、函数的定义域在一般的函数定义中，常见的定义域包括实数、有理数和整数等。

例如，函数$f(x)=\sqrt{x}$的定义域为非负实数集合即$[0,+\infty)$，因为负数的平方根是没有意义的。

又如，函数$g(x)=\dfrac{1}{x}$的定义域为除0以外的所有实数，即$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，因为0不能作为除数。

当给定一个复合函数时，可以通过多个函数的定义域的交集得到整个函数的定义域。

例如，对于函数$h(x)=\sqrt{\log(x)}$，先看到内层函数$\log(x)$的定义域是正实数，而外层函数$\sqrt{x}$的定义域是非负实数。

所以整个函数$h(x)$的定义域即正实数集合$[0,+\infty)$。

二、常见的求解方法1.方程求解法方程求解法是指通过解方程的方式求解函数的取值范围。

常见的方程求解法包括代数法和计算法。

代数法是通过对方程进行变形或利用数学性质来求解，而计算法是通过运算符和数值的计算来求解。

举例来说，对于函数$f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}$，要求函数的定义域，需要解方程$(x-3)^2\neq 0$。

通过解这个方程，可以得到$x \neq 3$，即函数的定义域为整个实数集合除去32.不等式求解法不等式求解法是通过对不等式进行变形或运算，得出函数的定义域。

常见的不等式求解法包括分段法和绝对值法。

对于分段函数，可以对每一段函数的定义域进行求解，然后将这些定义域的并集作为整个函数的定义域。

对于函数$f(x) = \sqrt{a-x}$，当$a>x$时，根式内部大于等于0，所以函数的定义域为$(-\infty, a]$。

3.图像法图像法是通过观察函数的图像来确定函数的定义域。

对于一元函数，可以通过绘制函数的图像来判断函数在何种区间内有定义。

例如，为了求解函数$f(x) = \sqrt{x^2-4}$的定义域，可以考虑到根式内部的取值不能小于0。

函数的定义域与值域研究函数的定义域和值域解决函数问题在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。

函数的定义域和值域是研究函数的重要方面，它们帮助我们了解函数的性质和行为。

本文将深入探讨函数的定义域和值域，并介绍如何解决与函数相关的问题。

一、函数的定义域函数的定义域是指能够输入到函数中的所有实数的集合。

简单来说，定义域就是使函数有意义的输入值的范围。

对于实数函数，通常定义域是实数集（所有实数的集合）或实数集的一个子集。

定义域的确定需要考虑函数的性质和限制条件。

例如，对于有理函数，需要排除使分母为零的输入值。

对于平方根函数，需要确保被开方的数不为负数。

对于对数函数，需要确保底数为正数且不等于1。

在有些情况下，定义域可以是无穷集合，如幂函数、指数函数等。

确定定义域是解决函数问题的重要步骤之一。

举例来说，考虑函数f(x) = 1/x。

这是一个有理函数，而有理函数的定义域为除去使分母为零的值。

因此，定义域为所有实数集合中除了0的部分，即(-∞, 0) U (0, +∞)。

二、函数的值域函数的值域是指函数输出的所有可能值构成的集合。

可以理解为将定义域中的元素通过函数映射后得到的结果的集合。

值域可以是实数集、自然数集、整数集等等，具体取决于函数的性质和定义域。

确定函数的值域需要分析函数的图像或者使用相关的数学工具。

对于一些简单的函数，可以通过观察函数的图像得到值域。

对于复杂的函数，可能需要使用微积分、极限等概念来求解。

在一些特殊情况下，函数的值域可以是一个特定的子集，如函数f(x) = x^2，其值域为非负实数集[0, +∞)。

三、解决函数问题函数的定义域和值域对于解决函数问题非常重要。

通过了解函数的定义域，我们可以确定函数的输入范围，排除无效的输入值。

通过研究函数的值域，我们可以找到函数的最大值、最小值，从而解决最优化问题。

函数的定义域和值域还可以帮助我们画出函数的图像，分析函数的性质和行为。

函数的定义域与值域的求解函数的定义域与值域是数学中一个重要的概念，它们对于研究函数的性质和应用具有重要的作用。

本文将介绍函数的定义域与值域的概念，并介绍如何求解函数的定义域和值域。

一、函数的定义域函数的定义域是指函数所有可能的输入值的集合。

对于实函数，定义域一般是实数集，但也可以是某一部分实数集。

在确定函数的定义域时，需要考虑函数的基本性质和限制条件。

例如，对于一个简单的一元实函数f(x)，如果f(x)在实数集上有定义，那么函数的定义域就是整个实数集R。

但是，在某些情况下，函数的定义域可能受到限制。

比如，函数f(x) = √x在定义域时要求x≥0，因为负数的平方根在实数范围内没有定义。

所以，函数f(x) = √x的定义域为[0, +∞)。

在求解函数的定义域时，需要注意以下几个方面：1. 分式函数的定义域：对于分式函数，需要注意分母不能为零。

所以，在确定定义域时，需要将分母为零的情况排除。

例如，对于函数f(x) = 1/(x-1)，分母x-1不能为零，所以定义域为R-{1}。

2. 幂函数、指数函数和对数函数的定义域：幂函数的底数不能为负数或零，指数函数的底数不能为零且指数必须是实数，对数函数的底数不能为零且取对数的数必须是正数。

在求解这些函数的定义域时，需要根据这些限制条件进行判断。

3. 复合函数的定义域：对于复合函数，需要保证内层函数的定义域在外层函数的定义域范围内。

如果内层函数的定义域超出了外层函数的定义域，则需要调整定义域范围。

二、函数的值域函数的值域是指函数所有可能的输出值的集合。

对于实函数，值域一般是实数集，但也可以是某一部分实数集。

在求解函数的值域时，需要根据函数的性质来判断。

例如，对于函数f(x) = x^2，可以发现无论x取何值，函数的值都大于等于0。

所以，函数f(x)的值域为[0, +∞)。

在求解函数的值域时，需要注意以下几个方面：1. 幂函数、指数函数和对数函数的值域：根据幂函数、指数函数和对数函数的基本性质，可以确定它们的值域。

浅谈求函数的定义域的常用方法函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。

因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。

下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。

一，已知函数解析式求函数的定义域如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。

主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2k ππ+， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。

例题一 求下列函数的定义域：（1） y=（1x -—2）0+㏒（x —2）x 2 （2）y=lgtanx+2116x -解：（1）欲使函数有意义，须满足1x -—2≠0 x —1≥0x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞）x ≠0（2） 由已知须满足tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2k ππ+ （k ∈z ） x ≠2k ππ+ -4﹤x ﹤4 16—x 2﹥0∴ 函数的定义域为（-π，2π-）∪（0，2π）∪（π，4） 二，复合函数求定义域求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。

最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。

多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。

例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。

函数定义域值域求法总结函数的定义域（Domain）和值域（Range）是函数的基本性质之一，它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。

在数学中，定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。

本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法，并提供一些示例。

一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则：根据函数的定义和规则，确定函数所能接受的变量范围。

例如，对于一个有理函数（Rational Function） f(x) = 1/(x-2)，由于分母不能为零，所以定义域为除去 x=2 的所有实数。

2. 图像法：绘制函数的图像，观察函数在整个定义域上是否有意义。

一般来说，如果函数在一些点处没有定义或出现断点，则这个点不属于定义域。

例如，对于一个分段函数（Piecewise Function）f(x) = ，x，其图像是一条 V 型曲线，因此定义域为所有实数。

3.非负实数法：有些函数定义域存在特定的限制，负数、零或者正数。

例如，对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3)，它的定义域要求x-3≥0，即x≥34. 根式定义域法：对于一些函数，如开方函数、对数函数，可以通过求解不等式来确定函数的定义域。

例如，对于对数函数 f(x) = log(x)，由于 log 函数的定义域要求 x > 0，所以它的定义域为所有正实数。

5.分式的定义域法：对于一个分式函数，要求分母不为零。

因此，可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。

例如，对于一个分式函数f(x)=2/(x+1)，由于分母要求不等于零，所以定义域为除去x=-1的所有实数。

二、函数值域的求法方法1. 观察法：通过观察函数的定义和规则，或者通过观察函数的图像，推测函数的值域。

例如，对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，那么函数的值域是 (−∞, f(v)]，其中 f(v) 是顶点的纵坐标。

浅谈定义域及其求法和应用高中数学凡是涉及函数的问题，均要考虑其定义域，可见定义域作为函数三要素之一是多么的关键，而定义域的求法及对函数知识的应用却不易掌握，所以下面将对其进行小结，希望能对大家有所帮助。

一、定义域的概念与表示函数y＝f(x)的定义域是指其自变量x的取值范围，并用集合或区间表示，且不能为空集。

二、定义域的求法及应用函数的定义域是函数三要素中的关键，其求法本身及对函数知识的应用也是非常重要的，现对其求法归纳总结如下：（一）求具体函数的定义域（1）含分式的函数例1、求函数f(x)=的定义域解：要使函数有意义，则x+1≠0，即x≠-1。

故该函数的定义域为{x|x≠-1}。

点评：在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后再求函数的定义域，如本题，若先约分后求函数的定义域，则会使定义域的范围扩大，变为所有实数。

（2）含偶次根式的函数例2、求函数y＝（a为不等于0的常数）的定义域。

解：要使函数有意义，则ax-3≥0，所以当a＞0时，原函数的定义域为[，＋∞）；当a＜0时，原函数的定义域为（－∞，]。

点评：（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域。

（3）含对数的函数例3、函数的定义域为__________。

分析：对数式的真数大于零。

解：依题意知：即解之，得∴函数的定义域为点评：对数式的真数为，本来需要考虑分母，但由于已包含的情况，因此不再列出。

（4）复合型函数例4、求下列函数的定义域：(1)y= （2）y＝＋解：（1）要使y=有意义，须满足解得∴y=的定义域为(—∞，0)∪(0，1]。

（2）要使函数有意义，则所以原函数的定义域为{x|x≥，且x≠}。

点评：若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现。

练习：求函数y＝＋的定义域。

（二）求抽象函数的定义域例5、(1)已知(x)的定义域为（0，1），求(2x-1)的定义域。

函数的定义域的求法及应用函数的定义域是函数部分的重要概念，定义域的求法本身及对函数知识的应用非常关键，现归纳总结供同学们参考．一． 求具体函数的定义域例1 求下列函数的定义域．（1）f (x )=11x + ( 2 ) y解析：具体函数的定义域必须结合具体函数对定义域的要求，要全面考虑各个条件．（1） 要使函数有意义，须满足 10x +≠ ∴1x ≠- ∴1()1f x x =+的定义域为{}|R 1x x x ∈≠且 （2） 要使y有意义，须满足1010x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩ 解得10x x ≤≠且 ∴y的定义域为(—∞，0)∪(0，1]． 二． 求抽象函数的定义域例2 （1）已知f (x )的定义域为 [ 1 , 2 ] , 求f (2x -1)的定义域．（2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1 , 2 ]，求f (x )的定义域．（3）已知f (x )的定义域为[0，1]，求函数y =f (x ＋a )+f (x －a )（其中0＜a ＜12)的定义域 解析：对于抽象函数的定义域，必须在透彻理解函数f (x )的定义域的概念的基础上，灵活运用．（1）∵f (x )的定义域为 [ 1 , 2 ]∴12x ≤≤ ∴ 1212x -≤≤ ∴312x ≤≤ ∴f (2x -1)的定义域为 [ 1 ,312x ≤≤]． （2）设t =2x -1 ∵f (2x -1) 的定义域为 [ 1 , 2 ]∴12x ≤≤ ∴1≤2x -1≤3即：1≤t ≤3∴f (x )的定义域为[ 1 ,3 ]（3）∵f (x )的定义域为[0，1] ∴0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩∵0＜a ＜12在数轴上观察得a≤x≤1-a∴f(x)的定义域为[a,1-a]思考：若a∈R,如何求f(x)的定义域?三．函数定义域在实际问题中的应用在解决函数实际应用题时，要考虑结合实际问题，挖掘函数的定义域，切不可忽视定义域的条件限制作用．例3 用长为L的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数关系式及其定义域．。

定义域的解题思路摘要：一、定义域的概念1.定义域的定义2.函数与定义域的关系二、定义域的求解方法1.观察函数表达式2.使用代数方法3.利用函数的性质三、定义域的实际应用1.函数图像分析2.实际问题解决正文：定义域是数学中一个非常重要的概念，它涉及到函数的定义和性质。

在解决与定义域相关的问题时，我们需要掌握一定的解题思路和方法。

首先，我们需要了解定义域的概念。

定义域是指函数中自变量可以取值的范围。

简单来说，就是使函数表达式有意义的输入值的集合。

在求解定义域时，我们需要关注函数表达式中的约束条件，从而确定自变量可以取值的范围。

其次，我们需要掌握求解定义域的方法。

通常有以下几种方法：1.观察函数表达式：通过观察函数表达式，我们可以直接得出定义域。

例如，对于函数f(x) = √(x^2 + 1)，我们可以发现x^2 + 1 >= 0，所以定义域为实数集R。

2.使用代数方法：在某些情况下，我们需要利用代数方法来求解定义域。

例如，对于函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们需要解方程3x^2 - 2x + 1 = 0，从而得出x 的取值范围，进而确定定义域。

3.利用函数的性质：在求解定义域时，我们可以利用函数的性质，如奇偶性、周期性等。

例如，对于函数f(x) = |x|，由于|x|是偶函数，所以定义域为实数集R。

最后，我们需要了解定义域在实际问题中的应用。

在解决实际问题时，我们需要根据问题的具体背景和条件，分析函数的定义域，从而得出正确的结论。

例如，在物理、化学等自然科学领域，定义域往往与实际问题中的变量和约束条件密切相关。

总之，定义域是数学中一个非常重要的概念，掌握求解定义域的方法和实际应用对于解决数学问题具有重要意义。

函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它在实际问题中起到了非常重要的作用。

而函数的定义域与值域是函数的两个重要属性，它们决定了函数的输入与输出的范围。

本文将详细讨论函数的定义域与值域的概念、计算方法以及应用。

一、函数的定义域函数的定义域指的是函数中所有可能的输入值所构成的集合。

通俗地说，定义域就是函数的自变量（输入）的取值范围。

对于一元函数，我们可以通过分析函数的解析式来确定其定义域。

例如，对于函数f(x) = √(x + 1)，我们可以发现根号下的被开方数必须大于等于0，所以函数的定义域为x ≥ -1。

对于多元函数，定义域的确定更为复杂，需要考虑各个自变量之间的约束关系。

以二元函数f(x, y) = √(x + y)为例，需要满足x + y ≥ 0，因此定义域为x + y ≥ 0的平面区域。

二、函数的值域函数的值域指的是函数中所有可能的输出值所构成的集合。

通俗地说，值域就是函数的因变量（输出）的取值范围。

对于简单的函数来说，我们可以通过分析函数的图像来确定其值域。

例如，对于函数f(x) = x²，我们可以发现函数的图像是一个开口向上的抛物线，因此它的值域为y ≥ 0的区间。

对于复杂的函数，我们通常需要借助数学工具来计算其值域。

例如，对于函数f(x) = 1 / x，在无穷大、无穷小附近的值都可以取得，因此其值域为除了0以外的所有实数。

三、定义域与值域的应用函数的定义域与值域在实际问题中具有广泛的应用，下面以几个具体例子说明其用途。

1. 对于自然科学中的物理问题，函数的定义域和值域可以帮助我们确定问题的合理范围和可能结果。

例如，对于自由落体运动的位移函数，定义域可以告诉我们物体下落的时间范围，值域可以告诉我们物体的落地位置范围。

2. 在经济学中，函数的定义域和值域可以帮助我们理解和分析经济问题。

例如，对于需求曲线和供给曲线，定义域可以表示价格的取值范围，值域可以表示商品的数量范围。

函数定义域的求法函数定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。

在数学中，函数定义域是一个非常重要的概念，它的定义能帮助我们更好地理解和解决函数的问题。

本文将讨论函数定义域的求法以及定义域的特殊情况。

一、定义域的求法1、定义域的求法主要有三种：(1)式定义域。

即函数的变量可取的值集合是函数定义中定义明确的，在这种情况下，定义域就是函数定义中列出的取值范围。

例如：函数 f(x)=2x+3定义域为全体实数。

(2)式定义域。

此时函数的变量可取的值集合不能从函数定义中直接获取，它是由函数的不等式约束所决定的，即需要将函数的不等式解出取值范围，这就是函数的定义域。

例如：函数 f(x)=2x-3>0定义域为x>3/2。

(3)合定义域。

当函数中既有显式定义域又有隐式定义域时，这种定义域叫做混合定义域。

例如：函数 f(x)=2x-3，其定义域为x>3/2 且 x∈R，即混合定义域。

2、定义域特殊情况特殊情况一：当函数定义域为全体实数时，即f(x):R→R，其定义域为R。

特殊情况二：当函数定义域为实数正部分时，即f(x):R+→R+，其定义域为R+。

特殊情况三：当函数定义域为实数负部分时，即f(x):R-→R-，其定义域为R-。

二、定义域的示例下面给出三个定义域的示例：例1：f(x)=x+1，其定义域为R；例2：f(x)=2x+2，其定义域为R；例3：f(x)=√(x-1)，其定义域为x≥1。

三、结论从上面的内容可以看出，定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。

定义域的求法主要有显式定义域、隐式定义域和混合定义域，它们对理解和解决函数的问题有重要意义。

浅谈函数定义域的求法雅安市田家炳中学 张有全一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。

③由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。

例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π，③ 由②解得4x 4<<- ④由③和④求公共部分，得π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。

（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。

解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。

（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

浅谈函数定义域的求法在高考试题中,我们经常遇到一些求函数定义域的考题,它们大致可以分两大类:一、已知函数的解析式，求定义域。

方法：分式的分母不为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数函数的真数必须大于零；指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；某些三角函数存在条件。

例1 求函数f(x)=lg(x+1)1-1x的定义域。

解：由题意可知x+1>01-1x≠0x≠0x>-1x≠1x≠0所以函数的定义域为{x｜x>-1且x≠0,1}点评：本题主要考查对数函数和分式有意义的条件。

例2 求函数f(x)=-x2-4x+5lg sinx的定义域。

解：由题意可知-x2-4x+5≥0sinx>0sinx≠1-5≤x≤12kπx≠2kπ+π2所以函数的定义域为{x｜-5≤x点评本题主要考查偶次根式、对数函数和分式有意义的条件。

二、已知函数y=f［g(x)］的定义域，求函数y=f［φ(x)］的定义域。

方法：(1) 定义域是指自变量的取值范围；(2) 内函数g(x)和φ(x)的函数值域相同。

例1 已知函数y=f(x+2)的定义域为［-1,2］，求函数y=f(3-2x)的定义域。

解：因为函数y=f(x+2)的定义域为［-1,2］，所以-1≤x≤2；则有1≤x+2≤4，由题意可知1≤3-2x≤4解得-12≤x≤1即：函数的定义域为x/-12≤x≤1点评：本题主要考查对复合函数定义域的理解，特别是两者之间的联系，即内函数g(x)和φ(x)的函数值域相同。

例2 若函数y=f(1-x)的定义域为［0,1］，则函数y=f(ax+b)(其中a≠0)的定义域为［-1,4］，求实数a,b的值。

解：因为函数y=f(1-x)的定义域为［0,1］，所以0≤x≤1则有0≤1-x≤1 由题意可知0≤ax+b≤1可得-b≤ax≤1-b当时a>0时，则有-ba≤x≤1-ba，所以-ba=-1,1-ba=4，解得；a=b=15;当时a-ba=4，解得a=-15a=45即:a=b=15或a=-15b=45点评：本题不但考查对复合函数定义域的理解，还考查对含参不等式的分类讨论能力，当不等式两边同时除以或乘以一个非零的实数时，一定要对它的正负号要非常清楚，否则必须要分类讨论。

浅谈函数定义域的常见解法函数的定义域是函数的基础，几乎所有函数相关的问题我们都必须先考虑定义域情况。

若忽视定义域，则所得问题的解就有可能出错。

所以，函数定义域在函数这章内容里具有举足轻重的作用，下面我们看下函数定义域的常见解法。

一．具体函数解析式给出的函数定义域解法当函数的解析式给出时，我们求函数定义域就是求使式子有意义的自变量的取值范围解:注：常见的使式子有意义的约束条件：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1（5）某个数的零次幂时，该数不等于零二．当函数的解析式没有给出（即抽象函数）时，函数定义域的求法。

例2（1）若函数f(x)的定义域为[1，4]，则函数f(x+2)的定义域为______.（2）若函数y=f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是______。

[][][][][]201x 2f y 2x 031x 2141-x f 41x -13x 2321x f 2212x f 2x 142x 12x f 41)(1，）的定义域为：（即函数，）的定义域为：（函数，）的定义域为（函数）（，）的定义域为：（函数即：）中有（在函数，的定义域为函数）解：（-=≤≤∴≤-≤-∴∴≤+≤∴≤≤-∴-+-+∴≤≤-≤+≤+∴ x f 注：（1）若函数f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域应由不等式a ≤g(x)≤b 解出即得。

（2） 已知f[g(x)]的定义域为D ，则f(x)的定义域为g(x)在D 上值域。

三．函数的建立是在实际问题中0(1).x y x =++求函数的定义域16403010x x x ⎧->⎪+>⎨⎪+≠⎩由231x x x <⎧⎪>-⎨⎪≠-⎩32 1.x x -<<≠-即且321}.x x x -<<≠-故所求函数的定义域为{|且若函数的建立是在实际问题中的，则其定义域要考虑到实际问题有意义例3 用长为l 的铁丝弯成下部的矩形，上部分为半圆的框架（如图），若矩形的底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 的函数，写出的定义域注：在本题中，边长x 根据实际问题就必须保证大于零以上就是求函数定义域的一些常见解法，当然，在实际问题中可能会遇到更复杂的情况，遇到更复杂情况时，用化归思想将其转换为简单的上面情况就可。