不等式选讲之不等式证明与数学归纳法考前冲刺专题练习(二)带答案人教版高中数学高考真题汇编

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z+++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分 二、解答题3．选修4-5：不等式选讲解不等式211x x +--≤.综上所述，不等式211x x +--≤的解集为(],0-∞. …………………………10分4．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a=++---，若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．5．已知非负实数x ，y ，z 满足41332222=+++++z y x z y x ，求z y x ++的最大值.6．已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）.（1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．7．若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值．8．设123a a a ，，均为正数，且123a a a m ++=，求证1231119.a a a m++≥ 【证明】因为123111()m a a a ++g 123123111()()a a a a a a =++++33123123111339a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=≥， 当且仅当1233m a a a ===时等号成立． 又因为1230m a a a =++>， 所以1231119.a a a m++≥ ……………10分 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 评卷人得分 一、填空题1．[]0,42． 评卷人得分 二、解答题3．含绝对值不等式的解法、分段函数4． 选修4—5：不等式选讲解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分 由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 5．6．（选修4－5：不等式选讲）（1）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ………………………………………………………5分 （2）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或 ∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………………………………………10分7．因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，所以，()()()()()211132323a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分 即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当32323a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． ………………10分8．。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.2．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z++≤++.评卷人得分 二、解答题3．【题文】[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．4．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a =++---，若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．5．若⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈32,21x ，证明2332321<-++++x x x6．已知x 、y 是正实数，求证：31132x y x y +++≥.7．已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）.（1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．8．设a ，b ，c 为正实数，求证：33311123abc a b c +++≥．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题 1．2 2．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z ++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z ++≤++…………10分 评卷人得分 二、解答题3．1()21+-=-+-x a x a a 21≤-+-x a a 1212(1)<++=+a a ．【结束】4． 选修4—5：不等式选讲解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分 由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．5．证明：由柯西不等式可得()()()()()2181232311112131231x x x x x x =++++-++≥+⋅++⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦…………………7分 又12,23x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以1232332x x x ++++-<.…………………10分 26．证：∵ x 、y 是正实数，∴112x y xy+≥.…………………………………(4分) ∴3322332x y x y xy xy++≥⋅⋅⋅=.………………………………(10分)7．（选修4－5：不等式选讲）（1）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ………………………………………………………5分 （2）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或 ∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………………………………………10分8．。

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《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；
2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z +++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +
++≥+. 评卷人
得分 二、解答题
3．选修4—5：不等式选讲
已知不等式222|2|23a x y z -++≤对满足1x y z ++=
的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z+++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分二、解答题3．(选修4-5：不等式选讲）设R x y ∈，，z ，且满足：222++z 1x y =，2314x y ++=z ，求证：3147x y z ++=.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.4．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数a ，b 满足a ≠b ，求证：4422a b ab a b +>+（）．5．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且2221,1a b c a b c ++=++=，求证：413a b <+<6．设*n ∈N ，求证：12(21)n n n n n C C C n +++-≤．7．已知实数,,x y z 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值；8．已知,,,a b x y R +∈且11a b >，x y >。

求证：x y x a y b >++本题三种方法：作差比较；分析法；或构造函数()x f x x a=+皆可。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．；2． 评卷人得分 二、解答题3． 解：设x y z R ∈，，，且满足：222x +y+z 1=，2314x y z ++=，求证： 3147x y z ++=. 证：222222214(23)(123)(x +y +z )14x y z =+≤+=++，∴123x y z ==，∴3,2z x y x ==，又2314x y z ++=， ∴123,,141414x y z ===，∴3147x y z ++=.…………………………………………10分 4． 选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分＝33()()a b a b --＝222()()a b a ab b -++ …………………… 4分 ＝2223()[()]24ba b a b -++． …………………… 6分 因为a ≠b ，所以a ，b 不同时为0，故223()024ba b ++>，2()0a b ->， 所以2223()[()]24b a b a b -++>，即有44a b a b a b+>+（）． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．因为a ＋b ＝1－c ，ab ＝222()()2a b a b +-+＝c 2－c ， ………………………3分所以a ，b 是方程x 2－(1－c )x ＋c 2－c ＝0的两个不等实根，则△＝(1－c )2－4(c 2－c )＞0，得－13＜c ＜1， ………………………5分 而(c －a )(c －b )＝c 2－(a ＋b )c ＋ab ＞0，即c 2－(1－c )c ＋c 2－c ＞0，得c ＜0，或c ＞23， …………………………8分 又因为a b c >>，所以0c <．所以－13＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜43． …………10分6．选修4－5：不等式选讲证明：由柯西不等式，得12212(C C C )(111)(C C C )n n n n n n n n +++++++++≤ …………………………………5分((11)1)(21)n n n n =+-=-． ∴12C C C (21)n n n n n n +++-≤．…………………………………………………10分7．略8．。

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高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.2．2 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______. 评卷人得分 二、解答题3．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1，求111a b c +++++的最大值．4．设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．5．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z++≥++.证明：因为x ，y ，z 都是为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥， 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z y z z x x y x y z ++++≥． ………10分 6．已知0,0,a b >>且21a b +=，求2224S ab a b =--的最大值．7．设0x y <<，求证：2222()()()()x y x y x y x y +->-+.8．已知,,,a b x y R +∈且11a b >，x y >。

求证：x y x a y b >++ 本题三种方法：作差比较；分析法；或构造函数()x f x x a=+皆可。

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《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz
+=
的最小值为________
2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人
得分 二、解答题
3．1 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222
1a b c b c a
++≥. 4．解不等式x |x －4|－3＜0．。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.2．2 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 评卷人得分 二、解答题3．已知0,0,a b >>且21a b +=，求2224S ab a b =--的最大值．4．设*n ∈N ，求证：12(21)n n n n n C C C n +++-≤．5．若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值．6．设实数,,x y z 满足26x y z ++=，求222x y z ++的最小值，并求此时,,x y z 的值．7．若2294 132y x y x +=+求，的最小值，并求相应的x 、y 的值。

8．已知a 、b 、c 为正数，且a ＋b ＋c ＝3，求313131a b c +++++的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．31472．[]0,4 评卷人得分二、解答题3．0,0,21,a b a b >>+= ∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-, ………………………………………………………………2分且1222a b ab =+≥，即24ab ≤，18ab ≤, ……………………………………………………5分 ∴2224S ab a b =--2(14)ab ab =--241ab ab =+-212-≤, 当且仅当11,42a b ==时，等号成立．…………………………………………………………………10分4．选修4－5：不等式选讲证明：由柯西不等式，得12212(C C C )(111)(C C C )n n n n n n n n +++++++++≤ …………………………………5分((11)1)(21)n n n n =+-=-． ∴12C C C (21)n n n n n n +++-≤．…………………………………………………10分5．因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，所以，()()()()()211132323a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分 即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当32323a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． ………………10分 6．解:∵2222222()(112)2)36x y z x y z ++++++=≥(, ………………………5分 ∴2226()x y z ++≥，当且仅当2z x y ==时取等号, ………………………8分 ∵26x y z ++=，∴1,1,2x y z ===．∴222x y z ++的最小值为6,此时1,1,2x y z ===．………………………10分7．（D ）解：由柯西不等式()()()132119422222=+≥++y x y x 219422≥+∴x x当且仅当 y x y x 321312=⋅=⋅即时取等号 …………………………………………8分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=6141 132,32y x y x y x 得 (10)分8．运用柯西不等式2(313131)a b c +++++2(131131131)a b c =⋅++⋅++⋅+ …………………2分 222222(111)[(31)(31)(31)]a b c ≤+++++++ ……………………………………8分＝3[3（a+b+c ）+3]=36 所以3131316a b c +++++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，故所求式子的最大值是6. ……………………………………………………………………………………10分。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z+++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分二、解答题3．选修4—5：不等式选讲已知不等式222|2|23a x y z -++≤对满足1x y z ++=的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4．（本小题满分10分，不等式选讲）已知：1a b c ++=，,,0a b c >．(1)求证：127abc ≤； (2)求证：2223a b c abc ++≥．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．选修4-5：不等式选讲 解不等式211x x +--≤.综上所述，不等式211x x +--≤的解集为(],0-∞. …………………………10分6．已知a ，b ，x ，y 均为正数，且1a ＞1b ，x ＞y.求证：x x ＋a ＞y y ＋b.7．已知非负实数x ，y ，z 满足41332222=+++++z y x z y x ，求z y x ++的最大值.8．(1)设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证ma a a 9111321≥++； （2）已知a,b 都是正数，x,y ∈R ，且a+b=1，求证：ax 2+by 2≥(ax+by)2.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．；2． 评卷人得分 二、解答题3． 略4． 证明：（1）33a b c abc ++≥⋅，而1a b c ++=127abc ⇒≤，当且仅当13a b c ===时取“=”. ………………5分 （2）柯西不等式222211()33a b c a b c ++≥++=，由（1）知313abc ≤ 2223a b c abc ∴++≥，当且仅当a b c ==时取“=”. ………………10分5．含绝对值不等式的解法、分段函数6．选修45：不等式选讲证明：∵ x x ＋a －y y ＋b ＝x （y ＋b ）－y （x ＋a ）（x ＋a ）（y ＋b ）＝bx －a y （x ＋a ）（y ＋b ）， 又b ＞a ＞0，x ＞y ＞0，∴ (x ＋a)(y ＋b)＞0，bx ＞ay ，即bx －ay ＞0， ∴ x x ＋a －y y ＋b ＞0，即x x ＋a ＞y y ＋b.(10分) 7．8．（1）因为321,,a a a 均为正数，所以，321111a a a ++)111)((1321321a a a a a a m ++++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=)()()(31133123321221a a a a a a a a a a a a m m m 9)2223(1=+++≥； 当且仅当3321m a a a ===时，等号成立. （2）ax 2+by 2=(ax 2+by 2)(a+b) =a 2x 2+b 2y 2+ab(x 2+y 2)≥a 2x 2+b 2y 2+2abxy=(ax+by)2.。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分一、填空题1．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______. 2．若,,x y z 为正实数，则222xy yzx y z+++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 评卷人得分二、解答题3．【题文】[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+． 4．选修4—5：不等式选讲 已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3． 证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|x a-+≥|．………………………………………… 8分又a ≥2，故21|a -|≥3． 所以|x a -+≥．…………………………………………………………………… 10分5．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c+++++≥．6．（汇编年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明); (II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.7．2 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.8．已知0,0,a b >>且21a b +=，求2224S ab a b =--的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．2 2． 评卷人得分二、解答题3．1()21+-=-+-x a x a a 21≤-+-x a a 1212(1)<++=+a a ．【结束】 4．5． （选修4-5：不等式选讲） 证法一：因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………………2分因为13111()abc a b c-++≥3，所以223111(()abc a b c-++)≥9 ．…………………………………5分故22222233111(()()a b c abc abc a b c-++++++)≥39．又32233()9()22763abc abc -+=≥，所以原不等式成立．…………………………………10分证法二：因为a b c ，，均为正数，由基本不等式得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥．所以2a b ++++≥．……………………………………………………………………2分 同理2211a b++++≥，…………………………………………………………………5分所以2222111333(63a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++++++++++)≥≥．所以原不等式成立．………………………………………………………………………………10分 6．解: .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(, |20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.7．8．0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-, ………………………………………………………………2分 且1222a b ab=+≥，即24ab ≤，18ab ≤, ……………………………………………………5分∴2224S ab a b =--2(14)ab ab =--241ab ab =+-212-≤,当且仅当11,42a b ==时，等号成立．…………………………………………………………………10分。