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河南省郑州市2019届高三第一次（1月）质量预测数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数的实部和虚部相等，则实数a的值为A. 1B.C.D.【答案】C【解析】解：复数的实部和虚部相等，，解得．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】D【解析】解：集合，，，．故选：D．先分别求出集合M，N，由此能求出和．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知矩形ABCD中，，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，设，则，，由得：，，由几何概型可得：阴矩故选：B．建立以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴，y轴的直角坐标系得：，，，设，则，，由得：，由其几何意义和几何概型可得解本题考查了向量的数量积运算及几何概型，属中档题4.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为偶函数，不符合题意；对于B，，其定义域为，有，为奇函数，设，在上为减函数，而为增函数，则在上为减函数，不符合题意；对于C，，有，为奇函数，且，在R上为增函数，符合题意；对于D，，其定义域为R，，为奇函数，设，，t在R上为减函数，而为增函数，则在R上为减函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及上的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5.在中，三边长分别为a，，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设最小角为，故对应的边长为a，则，解得．最小角的余弦值为，．．故选：A．设最小角为，故对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．6.如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意及图，，又，，所以，，又，所以，解得，，故选：C．由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题难度较低，7.已知双曲线C：的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：上一点，则的最小值为A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】解：由题意可得，即，渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，焦点为，，，由双曲线的定义可得，由圆E：可得，半径，，连接，交双曲线于M，圆于N，可得取得最小值，且为，则则的最小值为．故选：B．求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．8.已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到偶函数的图象，则函数的一个单调递减区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：，所以：将函数的图象向左平移后，得到是偶函数，故：，解得：，由于：，所以：当时．则，令：，解得：，当时，单调递减区间为：，由于，故选：B．首先利用函数的图象确定函数的关系式，进一步求出函数的单调区间，再根据所求的区间的子集关系确定结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为：，设中间的圆锥展开面的圆心角为n，所以：，解得：，所以圆锥的展开面的面积为，所以：中间的圆锥的表面积为，同理得：下面的圆锥的表面积为，所以总面积为：，故选：A．首先把三视图进行复原，进一步求出各个几何体的表面积，最后确定总面积．本题考查的知识要点：三视图的应用，主要考查几何体的体积公式的应用和运算能力的应用，属于中档题．10.已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形，，点M，N分别是边，上动点，若直线平面，点Q为线段MN的中点，则Q 点的轨迹为A. 双曲线的一支一部分B. 圆弧一部分C. 线段去掉一个端点D. 抛物线的一部分【答案】C【解析】解：如图当N与C重合，M与重合时，平面，MN的中点为O；当N与重合，M与A重合时，平面，MN的中点为H；一般情况，如平面平面，可得点M，N，取MN的中点D，作于E，于F，易知，E为KR中点，且D在OH上，故选：C．画出图形，利用直线与平面平行以及垂直关系，然后推出Q点的轨迹为线段．本题考查直线与平面的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11.物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】解：设，，由抛物线定义，得，在梯形ABPQ中，．由余弦定理得，配方得，，又，得到．，即的最小值为1．故选：B．设，，连接AF、由抛物线定义得，由余弦定理可得，进而根据基本不等式，求得的取值范围，从而得到本题答案．本题考查抛物线的简单性质的应用，利用抛物线的定义和余弦定理求的最值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．12.已知函数，设，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为A. 31B. 32C. 33D. 34【答案】D【解析】解：，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可．画出的图象如下图：当时，；当时，．即y轴左侧的图象在下面，y轴右侧的图象在上面，，，，，平移，由图可知：当时，2，，符合题意；时，1，，符合题意；时，，符合题意；时，，符合题意；整数a的值为，，，，，，，，，，，，，，0，1，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故选：D．由，画出函数图象，等价于当时，；当时，，平移，符合条件的整数根，除零外有三个即可，由此能求出满足条件的整数a的个数．本题考查不等式的整数解的个数的求示，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知的展开式的各项系数和为64，则展开式中的系数为______【答案】20【解析】解：令，可得的展开式的各项系数和为，，故的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为，故答案为：20．先利用二项式系数的性质求得，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，3，求出r的值，即可求得展开式中的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知变量x，y满足，则的取值范围是______【答案】【解析】解：由变量x，y满足作出可行域如图：，解得，的几何意义为可行域内动点与定点连线的斜率．，．的取值范围是．故答案为：．由约束条件作出可行域，再由的几何意义求解得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.《中国诗词大会》第三季亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春长沙》与《清平乐六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有______种用数字作答．【答案】144【解析】解：《沁园春长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐六盘山》，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共种选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共种排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以即可，即六场的排法有种故答案为：144．由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共种，相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A与F不相邻排序，共种排法，定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以即可，本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．16.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：函数是偶函数；对任意的，都有函数在区间上单调递减；函数的值域是；其中判断正确的序号是______．【答案】【解析】解：当，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，函数的周期是4．因此最终构成图象如下：，根据图象的对称性可知函数是偶函数，故正确；，由图象即分析可知函数的周期是4．即，即，故正确；，函数在区间上单调递增，故错误；，由图象可得的值域为，故错误；，根据积分的几何意义可知，故正确．故答案为：．根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列为等比数列，首项，数列满足，且．求数列的通项公式Ⅱ令，求数列的前n项和．【答案】解：数列为等比数列，首项，公比设为q，数列满足，且，即有，，即，即有，，则；Ⅱ，，前n项和．【解析】设等比数列的公比为q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，可得所求通项公式；Ⅱ，，运用分组求和和裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.已知四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为，点F在PC上移动．Ⅰ证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面平面PAD．Ⅱ求点F恰为PC的中点时，二面角的余弦值．【答案】证明：Ⅰ四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，，，，平面PAD，点F在PC上移动，平面AEF，无论点F在PC上如何移动，都有平面平面PAD．解：Ⅱ直线EM与平面PAD所成角的正弦值为，点F恰为PC的中点时，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，，则0，，1，，，平面PAD的法向量0，，，解得，1，，0，，0，，0，，，，，，设平面ACF的法向量y，，则，取，得，设平面AEF的法向量y，，则，取，得2，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而平面PAD，由此能证明无论点F在PC上如何移动，都有平面平面PAD．Ⅱ以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布数据资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．Ⅰ若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；Ⅱ如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在内．郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】解：Ⅰ设重度污染区AQI的平均值为x，则，解得；Ⅱ月份仅有一天AQI在内，则AQI小于180的天数为18天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为；由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算，，，，的分布列为：数学期望为．【解析】Ⅰ设重度污染区AQI的平均值为x，利用加权平均数求出x的值；Ⅱ由题意知11月份AQI小于180的天数，计算所求的概率即可；由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题．20.设M点为圆C：上的动点，点M在x轴上的投影为动点P满足，动点P的轨迹为E．Ⅰ求E的方程；Ⅱ设E的左顶点为D，若直线l：与曲线E交于两点A，B不是左右顶点，且满足，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】解：Ⅰ设，，则，，，，，，代入圆的方程得，，即，故动点P的轨迹为E的方程为：；Ⅱ证明：由Ⅰ知，，，，设，，由消去y得：，，，，由得：，即，由得：，把代入并整理得：，得：，即或，故直线l的方程为，或，当直线l的方程为时，l过定点；当直线l的方程为时，l过定点，这与A，B不是左顶点矛盾．故直线l的方程为，过定点【解析】Ⅰ设，，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；由向量条件结合矩形对角线相等可得DA，DB垂直，斜率之积为，再联立直线与椭圆方程，得根于系数关系，逐步求解得证．此题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大．21.已知函数．当时，取得极值，求a的值并判断是极大值点还是极小值点；Ⅱ当函数有两个极值点，，且时，总有成立，求t的取值范围．【答案】解：，，当时，取得极值，，解得，此时，，，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，故是极大值点；当函数在内有两个极值点，且时，则在上有两个不等正根．，．，，，，，可得．成立，即，即，即，即，且时，．时，即．，时，在上为增函数，且，时，，不合题意舍去．时，同不合题意舍去．时，时，解得，，在内函数为减函数，且，可得：时，．时，，成立．时，，分子中的二次函数对称轴，开口向下，且函数值，即，则时，，为增函数，，，故舍去．综上可得：t的取值范围是．【解析】Ⅰ求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；Ⅱ求出函数极值点，问题转化为，根据时，时，即，通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知曲线：，A是曲线上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转得到点B，设点B的轨迹方程为曲线．Ⅰ求曲线，的极坐标方程；Ⅱ射线与曲线，分别交于P，Q两点，定点，求的面积．【答案】1解：Ⅰ知曲线：，整理得：，转换为极坐标方程为：，A是曲线上的动点，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转得到点B，设点B的轨迹方程为曲线．所以得到的直角坐标方程为：，转换为极坐标方程为：．Ⅱ由于射线与曲线，分别交于P，Q两点，则：，，所以：，，所以：．【解析】Ⅰ直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换和图象的旋转问题求出结果．Ⅱ利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．23.已知函数．Ⅰ当时，解不等式；Ⅱ若对任意，不等式都成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ时，，故或或，解得：或，故不等式的解集是；Ⅱ若对任意，不等式都成立，则恒成立，故时，恒成立，故，解得：，时，，解得：，综上，．【解析】Ⅰ代入a的值，得到关于x的不等式组，解出即可；Ⅱ问题转化为恒成立，故时，恒成立，时，，求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
2019年1月河南省郑州市高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数的实部和虚部相等，则实数的值为A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a的值．【详解】∵复数的实部和虚部相等，∴，解得a．故选：C．2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∪N和M∩N．【详解】∵集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，∴M∪N＝{x|﹣3≤x≤4}，M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}．故选：D．3.已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图建立以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴，y轴的直角坐标系得各点坐标，设M（x，y），则（﹣x，﹣y），（4﹣x，﹣y），由•0得：（x﹣2）2+y2≥4，由其几何意义和几何概型可得解.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）设M（x，y），则（﹣x，﹣y），（4﹣x，﹣y），由•0得：（x﹣2）2+y2≥4，由几何概型可得：p1，故选：B．4.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及上的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝|sin x|，为偶函数，不符合题意；。
2019年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数的实部和虚部相等，则实数的值为A. 1B. -1C.D.【答案】C2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】D3.已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是A. B. C. D.【答案】B4.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是A. B.C. D.【答案】C5.在中，三边长分别为，，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为A. B. C. D.【答案】A6.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为A. B. C. D.【答案】C7.已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B8.已知函数的图像相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图像向左平移后得到偶函数的图像，则函数的一个单调递减区间为A. B. C. D.【答案】B9.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B.C. D.【答案】A10.已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形，，点，分别是边，上动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹为A. 双曲线的一支（一部分）B. 圆弧（一部分）C. 线段（去掉一个端点）D. 抛物线的一部分【答案】C11.抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为A. B. 1 C. D. 2【答案】B12.已知函数设，若中有且仅有4个元素，则满足条件的整数的个数为A. 31B. 32C. 33D. 34【答案】D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的展开式的各项系数和为64，则展开式中的系数为__________．【答案】2014.已知变量，满足则的取值范围是__________．【答案】15.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）【答案】14416.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数的值域是；⑤.其中判断正确的序号是__________．【答案】①②⑤三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列为等比数列，首项，数列满足，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）设等比数列的公比为q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，可得所求通项公式；（Ⅱ）b n＝log2a n＝log24n＝2n，∁n a n4n4n，运用分组求和和裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】（Ⅰ）由和得，∴.设等比数列的公比为，∵∴，计算得出∴（Ⅱ）由（1）得，设数列的前项和为，则设数列的前项和为，则，∴【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥PA，AE⊥AD，从而AE⊥平面PAD，由此能证明无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD．（Ⅱ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C ﹣AF﹣E的余弦值．【详解】（Ⅰ）连接∵底面为菱形，，∴是正三角形，∵是中点，∴又，∴∵平面，平面，∴，又∴平面，又平面∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵平面，∴就是与平面所成的角，在中，，即，设，则，得，又，设，则，所以，从而，∴，则，，，，，，，所以，，，设是平面一个法向量，则取，得又平面，∴是平面的一个法向量，∴∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的的平均值为依据，播报我市的空气质量.（Ⅰ）若某日播报的为118，已知轻度污染区的平均值为74，中度污染区的平均值为114，求重度污染区的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中的分布，11月份仅有一天在内.①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的为标准，如果小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到不小于180的天数为，求的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）172（Ⅱ）①②见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，利用加权平均数求出x的值；（Ⅱ）①由题意知11月份AQI小于180的天数，计算所求的概率即可；②由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（Ⅰ）设重度污染区的平均值为，则，解得.即重度污染区平均值为172.（Ⅱ）①由题意知，在内的天数为1，由图可知，在内的天数为17天，故11月份小于180的天数为，又，则该学校去进行社会实践活动的概率为.②由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，则的分布列为数学期望.【点睛】本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题．20.设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为. （Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；（2）由向量条件结合矩形对角线相等可得DA，DB垂直，斜率之积为﹣1，再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证．【详解】（Ⅰ）设点，，由题意可知∵，∴，即，又点在圆上∴代入得即轨迹的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，联立得即，∴又∵∴即即∴∴解得，，且均满足即当时，的方程为，直线恒过，与已知矛盾；当，的方程为，直线恒过所以，直线过定点，定点坐标为.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，注意向量条件的转化，考查了运算能力，难度较大．21.已知函数.（Ⅰ）当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数有两个极值点，，且时，总有成立，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ），为极大值点（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为[2lnx1]＞0，根据0＜x1＜1时，0.1＜x1＜2时，0．即h（x）＝2lnx（0＜x＜2），通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围即可．【详解】（Ⅰ），，则从而，所以时，，为增函数；时，，为减函数，所以为极大值点.（Ⅱ）函数的定义域为，有两个极值点，，则在上有两个不等的正实根，所以，由可得从而问题转化为在，且时成立.即证成立.即证即证亦即证. ①令则1)当时，，则在上为增函数且，①式在上不成立.2)当时，若，即时，，所以在上为减函数且，、在区间及上同号，故①式成立.若，即时，的对称轴，令，则时，，不合题意.综上可知：满足题意.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.【答案】（1）：，：（2）【解析】【分析】（1）利用，即可得出答案。
2020届郑州市高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|2}A x Z x =∈≤，2{|1}B y y x ==-，则A B ⋂的子集个数为（）A.4 B.8 C.16D.322.复数2iz i+=在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）A.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份B.年接待游客量逐年增加C.月接待游客量逐月增加D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4.定义在R 上的函数1()(23x m f x -=-为偶函數，21(log )2a f =，131(())2b f =，()c f m =，则A.c a b <<B.a c b <<C .a b c<< D.b a c<<5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A.165B.185C.10D.3256.已知向量a 与b 夹角为3π，且||1a = ，2a b -=||b =A. B.C.1D.327.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于A.5B.4C.3D.28.函数()21·cos 21x x f x x +=-的图象大致是（）A.B.C. D.9.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种A.60B.90C.120D.15010.已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||MN =A.163B.83C.2D.311.已知三棱锥P ABC -内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆，球O 的表面积为16π，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为 A.157B.155C.2D.1012.221,1()log (1),1x x f x x x ⎧+<=⎨->⎩,32515()244g x x x m =-++，若(())y f g x m =-有9个零点，则m 的取值范围是A.(0,1) B.(0,3)C.5(1,3D.5(,3)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线2e 21x y x x =-+在点（0,1）处的切线方程为________.14.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆，圆A 与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若32OM ON =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为___________.16.已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈均有122n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,18,6,2,6,11,30a a a a ∈---，则1a 的所有可能取值的集合是___________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知∆ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设222(sin sin )()sin R A B a c C -=-.（1）求角B ；（2）若b =12，c =8，求sin A 的值18.已知三棱锥M-ABC 中，MA=MB=MC=AC=AB=BC=2，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且23BN BC = .（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N-AM-C 的正弦值.19.已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的离心率为2，且过点(1,0)C .（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点1(,0)3-的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有||2||AB CM =.20.水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p （0<p <1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验.化验次数的期望值越小，则方案越"优".（1）若3p =，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率；（2）①若3p =，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优"？②若“方案三”比“方案四"更“优”，求p 的取值范围.21.已知函数()ln xe f x x x x=--.（1）求()f x 的最大值；（2）若1()()1xf x x e bx x++-≥恒成立，求实数b 的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P 3(1,)2，其参数方程cos x a y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值.23.已知函数()121f x x x m =--++.（1）当m=0,求不等式()f x m >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，求m 的取值范围.。
郑州市2019年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150 分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．1．若复数122ai i＋－（a ∈R ）的实部和虚部相等，则实数a 的值为 A ．1 B ．－1 C ．16 D ．－16 2．已知集合M ＝{x ｜－3≤x ＜4}，N ＝{x ｜x 2－2x －8≤0}，则A ．M ∪N ＝RB ．M ∪N ＝{x ｜－3≤x ＜4}C ．M ∩N ＝{x ｜－2≤x ≤4}D ．M ∩N ＝{x ｜－2≤x ＜4}3．已知矩形ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，现向矩形ABCD 内随机投掷质点M ，则满足 MB ·MC ≥0的概率是A ．4πB ．4π4－C ．2π D ．24π－ 4．下列函数既是奇函数，又在[－1，1]上单调递增的是 A ．f （x ）＝｜sinx ｜ B ．f （x ）＝lne x e x －＋C ．f （x ）＝12（x e －x e －） D ．f （x ）＝ln x ） 5．在△ABC 中，三边长分别为a ，a ＋2，a ＋4，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面 积为A B ．154 C D 6．如图，在△ABC 中，AN ＝23NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝t AB ＋13AC ，则实数t 的值为A ．23B ．25C ．16D ．347．已知双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，实轴长为6，渐近线方程为y ＝13±x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2＋（y ）2＝1上一点，则｜MN ｜＋｜MF 2｜的最小值为A ．8B ．9C ．10D ．118．已知函数f （x ）＝sin （ωx ＋θ）（ω＞0，－2π≤θ≤2π）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数f （x ）的图象向左平移6π后得到偶函数g （x ）的图象，则函数f （x ）的一个单调递减区间为A ．[－3π，6π]B ．[4π，712π]C ．[0，3π]D ．[2π，56π] 9．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．＋（32＋＋B ．＋（16＋＋）πC ．＋（32＋＋）πD ．＋（16＋＋10．已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中的底面为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，点M ，N 分别是边AB 1，A 1C 上动点，若直线MN ∥平面BCC 1B 1，点Q 为线段MN 的中点，则点Q 的轨迹为A ．双曲线的一支（一部分）B ．圆弧（一部分）C ．线段（去掉一个端点）D ．抛物线的一部分11．抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则ABCD 的最小值为AB ．1 CD ．2 12．已知函数f （x ）＝23236040x x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋，≥，－－3＋，＜，设A ＝{x ∈Z ｜x （f （x ）－a ）≥0}，若A 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a 的个数为A ．31B ．32C ．33D ．34第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知21()n x x＋的展开式的各项系数和为64，则展开式中x 3的系数为___________． 14．已知变量x ，y 满足240260x y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≤，≥，＋－≤，则z ＝13x y ＋－的取值范围是__________________． 15．《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有_________种．（用数字作答）16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是y ＝f （x ），则对函数y ＝f （x ）有下列判断：①函数y ＝f （x ）是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f （x ＋2）＝f （x －2）；③函数y ＝f （x ）在区间[2，3]上单调递减；④函数y ＝f （x ）的值域是[0，1]；⑤20()f x dx ⎰＝12π＋．其中判断正确的序号是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（本小题满分12分）已知数列{n a }为等比数列，首项a 1＝4，数列{n b }满足n b ＝2log n a ，且b 1＋b 2＋b 3＝12．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）令n c ＝14·n n b b ＋＋n a ，求数列{n c }的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）已知四棱锥中P —ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD所成角的正弦值为5，点F 在PC 上移动．（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C —AF —E 的余弦值．19．（本小题满分12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2．5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170，180）内．①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）设M 点为圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N ．动点P 满足2PN＝MN ，动点P 的轨迹为E ．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足｜DA ＋DB ｜＝｜DA －DB ｜，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝x 2－8x ＋alnx （a ∈R ）．（Ⅰ）当x ＝1时，f （x ）取得极值，求a 的值并判断x ＝1是极大值点还是极小值点； （Ⅱ）当函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且x 1≠1时，总有11ln a x x 1－＞t （4＋3x 1－21x ）成立，求t 的取值范围．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1：x 2＋（y －3）2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2．（Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝56（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M （－4，0），求△MPQ 的面积．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜3x －2a ｜＋｜2x －2｜（a ∈R ）．（Ⅰ）当a ＝12时，解不等式f （x ）＞6； （Ⅱ）若对任意0x ∈R ，不等式f （0x ）＋30x ＞4＋｜20x －2｜都成立，求a 的取值范围．。
2018-2019学年河南省部分省示范性高中高三1月份联考数学试题（理）试题一、单选题1．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用复数的除法运算，化简复数z，从而得到的共轭复数.【详解】因为，所以.故选：C【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先化简集合A，B，利用交集的概念及运算得到结果即可.【详解】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力.因为，，所以.故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力.3．（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用二倍角余弦公式即可得到结果.【详解】.故选：C【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力.4．已知向量，，若，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意先确定m，n的值，进而由夹角公式得到结果.【详解】因为，，且，所以，所以，，则，即与的夹角为.故选：C【点睛】本题考查平面向量的线性运算以及夹角问题，考查运算求解能力.5．设满足约束条件，则的最小值为（）A．3 B．-3 C．-6 D．6【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，取得最小值，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．某三棱锥的三视图如图所示，在三视图中所对应的点分别为，则二面角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图还原该几何体，作，垂足为，连接，易知就是二面角的平面角.【详解】三棱锥如图所示，作，垂足为，连接，易知就是二面角的平面角.因为平面，，，，所以，，所以，从而.故选：D【点睛】本题考查三视图以及二面角的余弦值，考察空间想象能力和运算求解能力.7．某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查.现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（）A．416 B．432 C．448 D．464【答案】A【解析】设第组抽到的号码是，则构成以80为公差的等差数列，利用等差数列性质可得第6组抽到的号码.【详解】设第组抽到的号码是，则构成以80为公差的等差数列，所以，，所以，解得，所以.故选：A【点睛】本题考查随机抽样的知识，考查数据处理能力和应用意识.8．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为（为弦长，为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长，，质点随机投入此圆中，则质点落在该弓形内的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用圆中弓形面积为,可求得弓形的面积，根据勾股定理求得圆的半径，可得圆的面积，由勾股定理可得结果.【详解】由圆中弓形面积为可知：弓形的面积.设圆的半径为，则，解得，所以圆的面积，所以质点落在弓形内的概率为,故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.9．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意可知下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，把高度比转化为体积比.【详解】由于时间刚好是5分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的，所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分，所以，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查几何体的体积问题的应用，考察空间想象能力和运算求解能力.10．已知函数的图象经过点和，则函数的图象的对称轴方程可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知即，又，，从而得到，进而得到值，求出对称轴方程即可.【详解】由题意得，，，得，故.因为，，所以，从而，得，因为，故，所以，令，得，取，得.故选：A【点睛】本题考查三角函数图象的性质，考查推理论证能力.11．已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于不同的，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设直线，代入，得，利用韦达定理表示，结合即可得到直线斜率的取值范围.【详解】设直线，代入，得，因为直线与椭圆交于不同的，两点，所以，解得且.设，，则，，，因为为钝角，所以，解得，.综上所述：.故选：B【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的斜率，考查运算求解能力.12．已知函数，的解集为，若在上的值域与函数在上的值域相同，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用导数知识明确在上的值域，令，则，，要使的值域为，则即可.【详解】因为，定义域为，所以，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，即的值域为.令，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，要使的值域为，则，所以，所以的范围是.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和值域问题，考查推理论证能力和创新意识.二、填空题13．已知双曲线的其中一条渐近线的倾斜角是，则该双曲线的离心率__________．【答案】【解析】由题意可得,又，从而得到结果.【详解】由，得，所以.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力.14．已知，则__________．【答案】【解析】利用赋值法，分别令即可得到结果.【详解】令可得；令，可得，所以.故答案为：0【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力.15．已知函数是奇函数，，则__________．【答案】【解析】由是奇函数可得，确定a值，进而根据分段函数可得结果.【详解】因为函数是奇函数，所以，解得.所以，.故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力.16．在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的取值范围是__________．【答案】【解析】利用余弦定理可得，再利用正弦定理可得，限制角C的范围，利用正弦函数的图像与性质即可得到结果.【详解】由题意得，故，，由正弦定理，得，所以，，所以.因为，所以，从而，所以，从而，即.故答案为：【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，考查转化与化归的数学思想.三、解答题17．已知等差数列的公差，其中是方程的两根，数列的前项和为，且满足.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，若不等式对任意都成立，求整数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据题意可得，，得到，从而得到数列的通项公式，由可得，进而得到的通项公式；（2）由（1）得，，利用错位相减法可得，根据的变化趋势得到结果.【详解】解：（1）易得方程的两根为-1和7，因为，所以，.所以，所以.当时，由，得；当时，可得，两式相减得，即.所以.（2）由（1）得，，所以，，两式相减得，，，所以.当时，；当时，；当时，因为，所以.所以的最大值为，从而，得，所以整数的最小值为-4.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18．2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示年龄在内的人数，求的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时，求的值.【答案】（1）分布列见解析；；（2）7.【解析】（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在内的人数，可得的可能取值为0，1，2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望；（2）设年龄在内的人数为，则，设,可得若，则，；若，则，，从而可得结果.【详解】（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数为人，年龄在内的人数为人，年龄在内的人数为人.所以的可能取值为0，1，2，所以，，，所以的分布列为.（2）设在抽取的20名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，所以，所以.设，若，则，；若，则，.所以当时，最大，即当最大时，.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19．如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接交于点，连接，由矩形的性质，结合三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）先证明，分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）连接交于点，连接，因为四边形是矩形，所以点是的中点，又点为的中点，所以是的中位线，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）由，，，可得，分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，所以，，，设直线与平面所成角为，平面的法向量为，则，即，令，得，所以.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量法，属于中档题. 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，，且.（1）求抛物线的方程；（2）圆与抛物线顺次交于四点，所在的直线过焦点，线段是圆的直径，，求直线的方程..【答案】（1）；（2）或..【解析】(1)将代入抛物线的方程，得，结合抛物线定义可得值；（2）由题设知与坐标轴不垂直，可设，代入，得.利用韦达定理可得的中点为及，的方程为，代入，并整理得.利用韦达定理可得的中点为及，结合勾股定理即可得到结果.【详解】解：（1）将代入抛物线的方程，得，所以，因为，所以，整理得，解得或，当时，，满足；当时，，，所以抛物线的方程为.（2）由题设知与坐标轴不垂直，可设，代入，得.设，，则，，故的中点为，.又因为，所以的斜率为，过的中点，所以的方程为，即.将上式代入，并整理得.设，，则，，故的中点为，.因为是直径，所以垂直平分，所以四点在同一个圆上等价于，所以，即，化简得，解得或，所以或.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查中点，垂直及弦长的利用，属于中档题. 21．已知，函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】(1)的定义域为，.对a分类讨论，解不等式即可得到的单调性；（2）利用（1）中的单调性转化为研究函数的最值问题.【详解】解：（1）的定义域为，.①当时，，令，得；令，得，所以在上单调递增，上单调递减.②当时，，当，即时，因为，所以在上单调递增；当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增；当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减，要使有两个零点，只要，所以.（因为当时，，当时，）下面我们讨论当时的情形：当，即时，在上单调递增，不可能有两个零点；当，即时，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；因为，，所以，没有两个零点；当时，即时，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，没有两个零点.综上所述：当时，有两个零点.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）判断曲线，是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，消去参数，即可得到曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可得到曲线的直角坐标方程；（2）由（1），将代入曲线，求得，，在由曲线，两交点间的距离公式，即可求解。
河南省郑州市第一中学2019届高三上学期诊断测试数学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{A x y ==，集合(){}2lg 1,B y y x y Z ==+∈，则A B 中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.42.已知i 为虚数单位，且复数z 满足()22aiz a R i+=∈+，若z 为实数，则实数a 的值为（ ） A.4B.3C.2D.13.已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ） A.[]1,2B.[]3,5C.[]1,1-D.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得函数图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ） A.4x π=B.1912x π=C.1312x π=D.6x π= 5.已知焦点在x 轴上，渐近线方程为34y x =±的双曲线的离心率和曲线()222104x y b b +=>的离心率之积为1，则b 的值为（ ） A.65B.103C.65D.1036.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.0B.12C.1-D.32-7.下列说法正确的个数为（ ）①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件； ②命题“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“x R ∃∈，sin 1x >”； ③“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； ④已知直线a ，b 和平面α，若a α⊥，b α，则a b ⊥.A.1B.2C.3D.48.已知直线10ax by ++=与圆221x y +=相切，则a b ab ++的最大值为（ ）A.1B.1-12D.19.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ） A.2B.3C.72D.5210.“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（ ） A.2B.3C.4D.511.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.1235π B.1243π C.1534πD.1615π 12.已知函数()21lg ,10,102,0x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪--≤⎩若11,11,a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩则方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦有五个不同根的概率为（ ） A.13B.38C.25D.112第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线y x =与抛物线2y x =围成的区域面积为1n ，则()112nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为__________.14.已知x ，y 满足约束条件0,20,220,x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩且目标函数(),0z ax by a b =+>的最大值为4，则42a b +的最小值为__________.15.已知直线22y x =-与抛物线28y x =交于A ，B 两点，抛物线的焦点为F ，则FA FB ⋅的值为__________.16.已知数列{}n a 中，12a =，()11n n n n a a a +-=+，*n N ∈，若对于任意的[]2,2a ∈-，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则t 的取值范围为__________. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）若函数()()()()1cos cos 2f x x x x ωϕωϕωϕ⎤=++++-⎦，其中0ω>，02πϕ<<，函数()f x 的图象与直线y t =相切，切点的横坐标依次组成公差为π的等差数列，且()f x 为偶函数.Ⅰ.试确定函数()f x 的解析式与t 的值；Ⅱ.在ABC ∆中，三边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且满足122C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ABC ∆的面积为12c ，试求ab 的最小值.18.（本小题满分12分）某相关部门推出了环境执法的评价与环境质量的评价系统，每项评价只有满意和不满意两个选项，市民可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息，发现对环境质量满意的占60%，对执法力度满意的占75%，其中对环境质量与执法力度都满意的维80人. Ⅰ.是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为环境质量与执法力度有关？Ⅱ.为了改进工作作风，从抽取的200位市民中对执法力度不满意的再抽取3位进行家访征求意见，用ξ表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数，求ξ的分布列与期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，ABCD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒.EA FC ，且FC ⊥平面ABCD ，2FC =，1AE =，点M 为EF 上任意一点.Ⅰ.求证：AM BC ⊥；Ⅱ.点M 在线段EF 上运动（包括两端点），若平面MAB 与平面FBC 所成的锐二面角为60︒，试确定点M的位置.20.（本小题满分12分）已知动圆C 与圆2220x y x ++=外切，与圆222240x y x +--=内切. Ⅰ.试求动圆圆心C 的轨迹方程；Ⅱ.过定点()0,2P 且斜率为()0k k ≠的直线l 与（Ⅰ）中轨迹交于不同的两点M ，N ，试判断在x 轴上是否存在点(),0A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 2f x a x a x x =-++. Ⅰ.求函数()f x 的单调区间；Ⅱ.若对于任意[]4,10a ∈，1x ，[]21,2x ∈，恒有()()121212f x f x x x x x λ-≤-成立，试求λ的取值范围. 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1,1x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-. Ⅰ.写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；Ⅱ.已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求AB . 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()322f x x x =-+-，()g x x a a x =-++. Ⅰ.解不等式()10f x >；Ⅱ.若对于任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =，试求a 的取值范围.数学（理科）参考答案13.16014.3+15.11-16.(][),22,-∞-+∞17.解析（Ⅰ）()()()()()21cos cos 222f x x x x x ωϕωϕωϕωϕ=++++-=+ ()()()1cos 221122cos 22sin 222226x x x x ωϕπωϕωϕωϕ++⎛⎫+-=+++=++ ⎪⎝⎭，由函数()f x 的图象与直线y t =相切可得1t =±.()f x 为偶函数，()262k k Z ππϕπ∴+=+∈，()26k k Z ππϕ∴=+∈，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 6πϕ∴=，由题意可知22ππω=，1ω∴=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数()cos2f x x =，122C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1cos 2C ∴=-，又()0,C π∈，23C π∴=112sin sin 223ABC S ab C ab π∆===，3c ab ∴=，根据余弦定理可得()222232cos3ab a b ab π=+-， 222292a b a b ab ab ab ∴=++≥+，13ab ∴≥，当且仅当a b =时，取等号，故ab 的最小值为13.18.解析Ⅰ.对环境质量满意的为20060%120⨯=人，对执法力度满意的为20075%150⨯=人，对环境质量与执法力度都满意的为80人，列出22⨯的列联表如下：所以()222008010407010010.82815050120809K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为环境质量与执法力度有关.Ⅱ.随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()3403502470490C P C ξ===；()12104035039198C C P C ξ===； ()2110403509298C C P C ξ===；()31035033490C P C ξ===， ξ∴的分布列为()012349098984905E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.解析Ⅰ.证明：AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒，2AB ∴=，连接AC ，在ABC ∆中，222222cos6021221AC AB BC AB BC =+-⋅︒=+-⨯⨯cos 603⨯︒=，222AB AC BC ∴=+，BC AC ∴⊥， FC ⊥平面ABCD ，FC BC ∴⊥，又AC FC C =，BC ∴⊥平面AEFC ，AM ⊂平面AEFC ，BC AM ∴⊥.Ⅱ.以C 为坐标原点，分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B ，()0,0,0C ，()0,0,2F，)E，()AB =，设(),,M x y z ，()01FM FE λλ=≤≤， 则()),,21x y z λ-=-，x ∴=，0y =，2z λ=-，故),0,2Mλ-，()32AM λ∴=--，设平面ABM 的法向量为()111,,m x y z =，则)()11112100,00,x z m Am m AB y λλ⎧-+-=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩即)1111,12y z x λλ⎧=⎪⎨-=⎪-⎩令11x =，可得1y =)112z λλ-=-，)12m λλ⎛⎫-∴= ⎪ ⎪-⎝⎭.易知平面FBC 的一个法向量为()1,0,0n =，1cos 602m nm n⋅∴︒===， 1λ∴=.∴点M 与点E 重合.20.解析Ⅰ.由2220x y x ++=得()2211x y ++=，由222240x y x +--=得()22125x y -+=，设动圆C 的半径为R ，两圆的圆心分别为()11,0F -，()21,0F ，则11CF R =+，25CF R =-，126CF CF ∴+=，根据椭圆的定义可知点C 的轨迹为以1F ，2F 为焦点的椭圆，1c ∴=，3a =，222918b a c ∴=-=-=，∴动圆圆C 的轨迹方程为22198x y +=.Ⅱ.存在，直线l 的方程为2y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的中点为()00,E x y .假设存在点(),0A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE MN ⊥， 由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，1223698k x x k +=+，021898k x k -∴=+，00216298y kx k =+=+， AE MN ⊥，1AE k k ∴=-，即221601981898k k k m k -+=---+，2228989k m k k k --∴==++， 当0k >时，89k k +≥=0m ≤<； 当0k <时，89k k +≤-0m ∴<≤因此，存在点(),0A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数m的取值范围为20,⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 21.解析Ⅰ.函数的定义域为()0,+∞，()()()()()2222122x a x a x a x af x a x x x x-++--'=-++==， 当0a ≤时，函数在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 当02a <<时，函数在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当2a =时，函数在()0,+∞上单调递增； 当2a >时，函数在()0,1，,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. Ⅱ.()()121212f x f x x x x x λ-≤-恒成立，即()()121211f x f x x x λ-≤-恒成立， 不妨设21x x >，因为当[]4,10a ∈时，()f x 在[]1,2上单调递减，则()()121211f x f x x x λ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，可得()()1212f x f x x x λλ-≤-，设()()()2ln 2g x f x a x a x x xxλλ=-=-++-，∴对于任意的[]4,10a ∈，1x ，[]21,2x ∈，21x x >，()()12g x g x ≤恒成立，()()g x f x xλ∴=-在[]1,2上单调递增，()()()()322212202x a x x a x ax g x x x xλλ---+++'=+=≥在[]1,2x ∈上恒成立， ()32220x a x ax λ∴-+++≥在[]1,2x ∈上恒成立，即()232220a x x x x λ-++-+≥在[]1,2x ∈上恒成立，当[]1,2x ∈时，20x x -+≤，∴只需()23210220x x x x λ-++-+≥在[]1,2x ∈上恒成立，即32212100x x x λ-++≥在[]1,2x ∈上恒成立，设()3221210h x x x x λ=-++，则()()22624106214h x x x x '=-+=--，在[]1,2x ∈上，()0h x '<，()h x ∴在[]1,2上单调递减，()2120h λ∴=-+≥，12λ∴≥，故实数λ的取值范围为[)12,+∞.22.解析Ⅰ.把直线l的参数方程化为普通方程为)11y x =-+，cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴直线lcos sin 10θρθ-=.由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =.Ⅱ.直线l 的倾斜角为3π， ∴直线l '的倾斜角也为3π，又直线l '过点()2,0M ，∴直线l '的参数方程为12,2x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数）， 将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A 、B 对应的参数分别为1t '，2t '. 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=，123AB t t ''∴=-===23.解析Ⅰ.当1x <时，()()3223510f x x x x =---=-+>，解得53x <-； 当13x ≤≤时，()()322110f x x x x =-+-=+>，解得9x >，不符合题意； 当3x >时，()3223510f x x x x =-+-=->，解得5x >， 所以原不等式的解集为53x x ⎧<-⎨⎩或}5x >. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()35,1,1,13,35,3,x x f x x x x x -+<⎧⎪=+≤≤⎨⎪->⎩根据函数的图象可知，当1x =时，()f x 取得最小值，且()12f =， 易知()()2g x x a a x x a x a a =-++≥--+=，对于任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =，22a ∴≤，11a ∴-≤≤，a ∴的取值范围为[]1,1-.。
河南省郑州市2019届高三第一次（1月）质量预测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数的实部和虚部相等，则实数的值为A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a的值．【详解】∵复数的实部和虚部相等，∴，解得a．故选：C．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∪N和M∩N．【详解】∵集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，∴M∪N＝{x|﹣3≤x≤4}，M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图建立以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴，y轴的直角坐标系得各点坐标，设M（x，y），则（﹣x，﹣y），（4﹣x，﹣y），由•0得：（x﹣2）2+y2≥4，由其几何意义和几何概型可得解.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）设M（x，y），则（﹣x，﹣y），（4﹣x，﹣y），由•0得：（x﹣2）2+y2≥4，由几何概型可得：p1，故选：B．【点睛】本题考查了向量的数量积运算及几何概型，属于中档题4.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及上的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝|sin x|，为偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝ln，其定义域为（﹣e，e），有f（﹣x）＝ln ln f（x），为奇函数，设t1，在（﹣e，e）上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f（x）＝ln在（﹣e，e）上为减函数，不符合题意；对于C，f（x）（e x﹣e﹣x），有f（﹣x）（e﹣x﹣e x）（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且f′（x）（e x+e﹣x）＞0，在R上为增函数，符合题意；对于D，f（x）＝ln（x），其定义域为R，f（﹣x）＝ln（x）＝﹣ln（x）＝﹣f（x），为奇函数，设t x，y＝lnt，t在R上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f（x）＝ln（x）在R上为减函数，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5.在中，三边长分别为，，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．【详解】设最小角为α，故α对应的边长为a，则cosα，解得a＝3．∵最小角α的余弦值为，∴．∴．故选：A．【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．6.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t的值.【详解】由题意及图，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故选：C．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.7.已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，计算可得所求最小值．【详解】由题意可得2a＝6，即a＝3，渐近线方程为y＝±x，即有，即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，焦点为F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，由圆E：x2+（y）2＝1可得E（0，），半径r＝1，|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|4，则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．8.已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到偶函数的图象，则函数的一个单调递减区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由对称中心之间的距离为可得三角函数的周期，从而可求得的值，利用经过平移变换后得到的函数是偶函数求得的值，从而根据正弦函数的单调性可得结果．【详解】因为函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以，可得，将函数的图象向左平移后，得到是偶函数，所以，解得，由于，所以当时．则，令，解得，当时，单调递减区间为，由于，所以是函数的一个单调递减区间，故选B．【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性和单调性的应，以及三角函数图象的平移变换规律，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，由求得增区间. 9.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先把三视图进行复原，进一步求出各个几何体的表面积，最后确定总面积．【详解】根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为：，设中间的圆锥展开面的圆心角为n，所以：，解得：n，所以圆锥的展开面的面积为S，所以：中间的圆锥的表面积为，同理得：下面的圆锥的表面积为，所以总面积为：S，故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，主要考查几何体的体积公式的应用和运算能力的应用，属于中档题．10.已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形，，点分别是边，上动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹为A. 双曲线的一支一部分B. 圆弧一部分C. 线段去掉一个端点D. 抛物线的一部分【答案】C【解析】【分析】画出图形，利用直线与平面平行以及垂直关系，然后得出Q点的轨迹为线段．【详解】如图作平面PQRK∥平面BCC1B1，可得到点M，N为平面PQRK与边，的交点，取MN的中点D，由对称性可知，在梯形NQRM中，D到底面ABC的距离DF始终为三棱柱高的一半，故Q落在到底面ABC距离为三棱柱高的一半的平面上，且与底面ABC平行.又D在底面的投影F始终在底面BC的高线AE上，即Q落在过底面BC的高线且与底面垂直的平面上，所以Q在两个面的交线上，又只能落在柱体内，故为线段OH，又直线平面，所以去掉O点，故选C.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11.物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|CD|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到答案．【详解】设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2得到|AB|（a+b）＝|CD|．∴1，即的最小值为1．故选：B．【点睛】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．12.已知函数，设，若中有且仅有4个元素，则满足条件的整数的个数为A. 31B. 32C. 33D. 34【答案】D【解析】【分析】因为画出函数图象，等价于当时，；当时，，即轴左侧的图象在下面，轴右侧的图象在上面，平移，符合条件的整数根，除零外有三个即可.【详解】因为，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可，画出的函数图象如图所示，当时，；当时，，即轴左侧的图象在下面，轴右侧的图象在上面，，，，，平移，由图可知，当时，,符合题意；时，,符合题意；时，,符合题意；时，,符合题意整数的值为及，共个，故选D.【点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知的展开式的各项系数和为64，则展开式中的系数为______【答案】20【解析】【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．【详解】令x＝1，可得（）n的展开式的各项系数和为2n＝64，∴n＝6，故（）n＝（）6的展开式的通项公式为T r+1•x3r﹣6，令3r﹣6＝3，可得r＝3，故展开式中x3的系数为20，故答案为：20．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知变量满足，则的取值范围是______【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由z的几何意义求解得答案．【详解】由变量x，y满足作出可行域如图：A（2，3），解得B（，），z的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．∵k DA4，k DB13．∴z的取值范围是[﹣13，﹣4]．故答案为：[﹣13，﹣4]．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）【答案】144【解析】【分析】由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A与F不相邻排序，共72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以即可，【详解】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共72（种）排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种）故答案为：144．【点睛】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．16.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数的值域是；⑤.其中判断正确的序号是__________．【答案】①②⑤【解析】【分析】根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．【详解】当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，故③错误；④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dxπ•（）21×1π×12，故⑤正确．故答案为：①②⑤．【点睛】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列为等比数列，首项，数列满足，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）设等比数列的公比为q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，可得所求通项公式；（Ⅱ）b n＝log2a n＝log24n＝2n，∁n a n4n4n，运用分组求和和裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】（Ⅰ）由和得，∴.设等比数列的公比为，∵∴，计算得出∴（Ⅱ）由（1）得，设数列的前项和为，则设数列的前项和为，则，∴【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥PA，AE⊥AD，从而AE⊥平面PAD，由此能证明无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD．（Ⅱ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【详解】（Ⅰ）连接∵底面为菱形，，∴是正三角形，∵是中点，∴又，∴∵平面，平面，∴，又∴平面，又平面∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵平面，∴就是与平面所成的角，在中，，即，设，则，得，又，设，则，所以，从而，∴，则，，，，，，，所以，，，设是平面一个法向量，则取，得又平面，∴是平面的一个法向量，∴∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的的平均值为依据，播报我市的空气质量.（Ⅰ）若某日播报的为118，已知轻度污染区的平均值为74，中度污染区的平均值为114，求重度污染区的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中的分布，11月份仅有一天在内.①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的为标准，如果小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到不小于180的天数为，求的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）172（Ⅱ）①②见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，利用加权平均数求出x的值；（Ⅱ）①由题意知11月份AQI小于180的天数，计算所求的概率即可；②由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（Ⅰ）设重度污染区的平均值为，则，解得.即重度污染区平均值为172.（Ⅱ）①由题意知，在内的天数为1，由图可知，在内的天数为17天，故11月份小于180的天数为，又，则该学校去进行社会实践活动的概率为.②由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，则的分布列为数学期望.【点睛】本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题．20.设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；（2）由向量条件结合矩形对角线相等可得DA，DB垂直，斜率之积为﹣1，再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证．【详解】（Ⅰ）设点，，由题意可知∵，∴，即，又点在圆上∴代入得即轨迹的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，联立得即，∴又∵∴即即∴∴解得，，且均满足即当时，的方程为，直线恒过，与已知矛盾；当，的方程为，直线恒过所以，直线过定点，定点坐标为.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，注意向量条件的转化，考查了运算能力，难度较大．21.已知函数．Ⅰ当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；Ⅱ当函数有两个极值点，，且时，总有成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ），为极大值点（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为[2lnx1]＞0，根据0＜x1＜1时，0.1＜x1＜2时，0．即h（x）＝2lnx（0＜x＜2），通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围即可．【详解】（Ⅰ），，则从而，所以时，，为增函数；时，，为减函数，所以为极大值点.（Ⅱ）函数的定义域为，有两个极值点，，则在上有两个不等的正实根，所以，由可得从而问题转化为在，且时成立.即证成立.即证即证亦即证. ①令则1)当时，，则在上为增函数且，①式在上不成立.2)当时，若，即时，，所以在上为减函数且，、在区间及上同号，故①式成立.若，即时，的对称轴，令，则时，，不合题意.综上可知：满足题意.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线. （Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.【答案】（1）：，：（2）【解析】【分析】（1）利用，即可得出答案。
河南郑州2019高三上第一次质量检测-数学（理）理科数学第I 卷【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1.假设集合},2,1,0{x A =，A B A x B =⋃=},,1{2，那么满足条件的实数x 的个数有 A 、个B 2个C 、3个D 4个2.假设复数i z -=2，那么zz 10+等于 A.i -2 B.i +2 C.i 24+ D.i 36+3.直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ，那么b a +2的值等于 A.2B 、1-C 、D 、2-4.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰截机起降飞行训练中，有5架歼15-飞机预备着舰假如甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法 A.12B.18C.24D.485.执行如下图的程序框图，假设输入2=x ，那么输出y 的值为 A 、5B.9C.14D.416.图中阴影部分的面积S 是h 的函数(H h ≤≤0)，那么该函数的大致图象是7.双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的离心率为3，那么双曲线的渐近线方程为 A.x y 22±= B.x y 2±= C.x y 2±= D.x y 21±=8.把70个面包分5份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的61是较小的两份之和，问最小的份为A.2B.8C.14D.209.在三棱锥BCD A -中，侧棱AD AC AB ,,两两垂直，ADB ACD ABC ∆∆∆,,的面积分别为26,23,22，那么该三棱锥外接球的表面积为 A.π2 B.π6 C.π64 D.π2410.设函数x x x f cos sin )(+=，把)(x f 的图象按向量)0)(0,(>=m m a 平移后的图象恰好为函数)('x f y =的图象，那么m 的最小值为A.4πB.3πC.2πD.32π 11.抛物线y x 42=上有一条长为6的动弦AB ，那么AB 中点到x 轴的最短距离为A.43B.23C.D.2 12.设函数xx x f 1)(-=，对任意),1[+∞∈x ,⋅<+0)(2)2(x mf mx f 恒成立，那么实数m 的取值范围是A.)21,(--∞B.)0,21(-C.)21,21(-D.)21,0( 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数12()2aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为 A ．1 B ．-1 C ．16 D ．16- 2.已知集合{|34}M x x =-≤<，2{|280}N x x x =--≤，则 A ．M N R = B ．{|34}M N x x =-≤< C ．{|24}MN x x =-≤≤ D ．{|24}MN x x =-≤<3.已知矩形ABCD 中，24BC AB ==，现向矩形ABCD 内随机投掷质点M ，则满足0MB MC ⋅≥的概率是 A ．4π B ．44π- C ．2π D ．24π-4.下列函数既是奇函数，又在[1,1]-上单调递增的是 A ．()|sin |f x x = B ．()ln e xf x e x-=+ C.1()()2x xf x e e -=- D ．2()ln(1f x x x =+） 5.在ABC ∆中，三边长分别为a ，2a +，4a +，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为A ．154213435346.如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为A ．23 B ．25 C.16 D ．347.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(6)1E x y +=上一点，则2||||MN MF +的最小值为 A ．8 B ．9 C.10 D ．11 8.已知函数()sin()(0,)22f x x ππωθωθ=+>-≤≤的图像相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数()f x 的图像向左平移6π后得到偶函数()g x 的图像，则函数()f x 的一个单调递减区间为 A ．[,]86ππ-B ．7[,]412ππ C. [0,]3π D ．5[,]26ππ9.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．(32162165)π+B ．162(16162165)π+C.(32322325)π+ D ．162(16322325)π+10.已知直三棱柱111ABC A B C -中的底面为等腰直角三角形，AB AC ⊥，点M ，N 分别是边1AB ，1AC 上动点，若直线MN ∥平面11BCC B ，点Q 为线段MN 的中点，则点Q 的轨迹为 A ．双曲线的一支（一部分） B ．圆弧（一部分） C. 线段（去掉一个端点） D ．抛物线的一部分11.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=︒，过弦AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则||||AB CD 的最小值为A ．1 C.233D ．2 12.已知函数23236,0,()34,0,x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩设{|(())0}A x Z x f x a =∈-≥，若1A 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a 的个数为A ．31B ．32 C.33 D ．34第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知21()nx x+的展开式的各项系数和为64，则展开式中3x 的系数为 ．14.已知变量x ，y 满足240,2,60,x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则13y z x +=-的取值范围是 ．15.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有 种．（用数字作答） 16.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点.设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④函数()y f x =的值域是[0,1]；⑤21()2f x dx π+=⎰.其中判断正确的序号是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知数列{}n a 为等比数列，首项14a =，数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令14n n n n c a b b +=+⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. 已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动.（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值.19. 2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布 2.5PM 数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量.（Ⅰ）若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQI 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170,180)内.①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.20. 设M 点为圆22:4C x y +=上的动点，点M 在x 轴上的投影为N ，动点P 满足23PN MN =，动点P 的轨迹为E . （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设E 的左顶点为D ，若直线:l y kx m =+与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足||||DA DB DA DB +=-，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.21. 已知函数2()8ln ()f x x x a x a R =-+∈.（Ⅰ）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （Ⅱ）当函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且11x ≠时，总有21111ln (43)1a x t x x x >+--成立，求t 的取值范围.选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线221:(3)9C x y +-=，A 是曲线1C 上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C . （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线5(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点，定点(4,0)M -，求MPQ ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|32||22|()f x x a x a R =-+-∈. （Ⅰ）当12a =时，解不等式()6f x >； （Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式000()34|22|f x x x +>+-都成立，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDBCA 6-10: CBBAC 11、12：BD二、填空题13. 20 14.[13,4]-- 15.144 16. ①②⑤三、解答题17. 解（Ⅰ）由2log n n b a =和12312b b b ++=得2123log ()12a a a =，∴121232a a a =.设等比数列{}n a 的公比为q ，∵14a =∴2631212344422a a a q q q =⋅⋅=⋅=， 计算得出4q =∴1444n n n a -=⋅= （Ⅱ）由（1）得2log 42n n b n ==，414422(1)(1)n n n c n n n n =+=+⋅++1141n n n =-++ 设数列1{}(1)n n +的前n 项和为n A ，则1111112231n A n n =-+-++-+1nn =+ 设数列{4}n的前n 项和为n B ，则4444(41)143n nn B -⋅==--， ∴4(41)13n n n S n =+-+ 18.（Ⅰ）证明：连接AC∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒， ∴ABC ∆是正三角形， ∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥ 又AD BC ∥，∴AE AD ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥，又PAAE A =∴AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∵AE ⊥平面PAD ，∴AME ∠就是EM 与平面PAD 所成的角，在Rt AME ∆中，sin 5AME ∠=2AE AM =， 设2AB a =，则AE，得AM ， 又2AD AB a ==，设2PA b =，则(0,,)M a b ， 所以222AM a b a +=， 从而b a =，∴2PA AD a ==，则(0,0,0)A ，(3,,0)B a a -，(3,,0)C a a ，(0,2,0)D a ，(0,0,2)P a ，,0,0)E ，3(,,)22a aF a ， 所以(3,0,0)AE a =，3(,,)22a aAF a =，(3,3,0)BD a a =-， 设(,,)n x y z 是平面AEF 一个法向量，则00n AE n AF ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩303022ax ax ay az ⎧=⎪++=⎪⎩取z a =，得(0,2,)n a a =- 又BD ⊥平面ACF ，∴(3,3,0)BD a a =-是平面ACF 的一个法向量，∴cos ,||||n BDn BD n BD ⋅==⋅215523a a=⋅∴二面角C AF E --的余弦值为155.19.（Ⅰ）设重度污染区AQI 的平均值为x ，则742114521199x ⨯+⨯+=⨯，解得172x =.即重度污染区AQI 平均值为172.（Ⅱ）①由题意知，AQI 在[170,180)内的天数为1，由图可知，AQI 在[50,170)内的天数为17天，故11月份AQI 小于180的天数为11718+=， 又183305=，则该学校去进行社会实践活动的概率为35. ②由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且301812330204(0)1015C C P X C ===，211812330459(1)1015C C P X C ===， 121812330297(2)1015C C P X C ===，03181233011(3)203C C P X C ===， 则X 的分布列为数学期望EX =204459297110123101510151015203⨯+⨯+⨯+⨯65=. 20. 解：（Ⅰ）设点00(,)M x y ，(,)P x y ，由题意可知0(,0)N x ∵23PN MN =，∴002(,)3(0,)x x y y --=-， 即0x x =，03y y =又点M 在圆22:4C x y +=上 ∴22004x y +=代入得22143x y += 即轨迹E 的方程为22143x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）可知(2,0)D -，设11(,)A x y ，22(,)B x y联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=222(8)4(34)(412)mk k m ∆=-+-2216(1239)0k m =-+>即22340k m +->，1,2x = ∴122834mk x x k -+=+ 21224(3)34m x x k -=+又1212()()y y kx m kx m =++221212()k x x mk x x m =+++22231234m k k-=+ ∵||||DA DB DA DB +=- ∴DA DB ⊥ 即0DA DB ⋅= 即1122(2,)(2,)x y x y +⋅+1212122()40x x x x y y =++++=∴222222412831224343434m mk m k k k k ---++++++0= ∴2271640m mk k -+= 解得12m k =，227m k =，且均满足即22340k m +-> 当12m k =时，l 的方程为2(2)y kx k k x =+=+，直线恒过(2,0)-，与已知矛盾； 当227m k =，l 的方程为22()77y kx k k x =+=+，直线恒过2(,0)7- 所以，直线l 过定点，定点坐标为2(,0)7-. 21. 解析：（Ⅰ）2'28()(0)x x af x x x-+=>，'(1)0f =，则6a = 从而'2(1)(3)()(0)x x f x x x--=>，所以(0,1)x ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数；(1,3)x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数，所以1x =为极大值点.（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，有两个极值点1x ，212()x x x <，则2()280t x x x a =-+=在(0,)+∞上有两个不等的正实根，所以08a <<， 由12121242x x a x x x x +=⎧⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩可得111022(4)x a x x <<⎧⎨=-⎩从而问题转化为在102x <<，且11x ≠时21111ln (43)1a x t x x x >+--成立. 即证21111112(4)ln (43)1x x x t x x x ->+--成立. 即证11112ln (1)1x x t x x >+- 即证11112ln (1)01x x t x x -+>- 亦即证 211111(1)[2ln ]01x t x x x x -+>-. ① 令2(1)()2ln (02)t x h x x x x -=+<<则2'22()(02)tx x t h x x x ++=<< 1).当0t ≥时，'()0h x >，则()h x 在(0,2)上为增函数且(1)0h =，①式在(1,2)上不成立.2).当0t <时，244t ∆=-若0∆≤，即1t ≤-时，'()0h x ≤，所以()h x 在(0,2)上为减函数且(1)0h =， 111x x -、2111(1)2ln t x x x -+在区间(0,1)及(1,2)上同号，故①式成立. 若0∆>，即10t -<<时，22y tx x t =++的对称轴11x t=->， 令1min(,2)a t =-，则1x a <<时，()0h x >，不合题意.综上可知：1t ≤-满足题意.22.（Ⅰ）曲线221:(3)9C x y +-=，把公式cos sin x y ραρα=⎧⎨=⎩代入可得： 曲线1C 的极坐标方程为6sin ρα=.设(,)B ρϕ，则(,)2A πρϕ-，则有6sin()6cos 2πρϕϕ=-=-. 所以，曲线2C 的极坐标方程为6cos ρϕ=-.（Ⅱ）M 到射线56πθ=的距离为54sin 26d π==， 射线56πθ=与曲线1C 交点5(3,)6P π， 射线56πθ=与曲线2C交点5)6Q π∴||3PQ =故1||32S PQ d =⨯⨯=23.（Ⅰ）当12a =时，不等式()6f x >可化为|31||22|6x x -+->， 当13x <时，不等式即13226x x -+->，∴35x <- 当113x ≤≤时，不等式即31226x x -+->，∴x φ∈ 当1x >时，不等式即31226x x -+->，∴95x >综上所述不等式的解集为39{|}55x x x <->或；（Ⅱ）不等式000(}34|22|f x x x +>+-可化为00|32|34x a x -+> 令()|32|3g x x a x =-+=262,322,3a x a x a a x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩， 所以函数()g x 最小值为2a ，根据题意可得24a >，即2a >，所以a 的取值范围为(2,)+∞.。
你永远是最棒的2019 年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1.C 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B8.B9.A10.C11.B12.D二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 20； 14.[-13,-4]； 15.144； 16.①②⑤.三、解答题（共 70 分） 17.解（Ⅰ）由blogn a 和 1bb122a a a，b得 log12 2n231 2 3a 1 a a2 3212.------------------------------------2分设等比数列1a 的公比为 q ， a4na 1 a a 44q4q2q2 ，263122 3计算得出 q4 -------------------------------------4 分a 441 4nnn--------------------------------------------------------------------------------------6 分 （Ⅱ）由（1）得b nlog 2 4n 2n ，4111 c 444n n nnn n n n 1n n2 2 1 1--------------------------------7 分1设数列的前 n 项和为nn1A ，则nA n 1 12 12 131n1 n 1 n n 1-----9 分设数列4 4n444 的前n 项和为n B ，则 4 1B n ，--------------------------------11 分n n1 4 3n 4S n4 1n n1 3--------------------------------------------------------------------------------------12 分18. （Ⅰ）证明：连接AC底面ABCD 为菱形，ABC 60 ，ABC 是正三角形，E 是BC 中点，AE BC又AD // BC ，AE ADPA 平面A B C D，AE 平面A B C D，PA AE ,又PAAE 平面PAD ，又AE 平面AEF自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的平面 AEF平面PAD. ………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得， AE , AD , AP 两两垂直，以 AE , AD , AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ……………………5分 AE 平面 PAD ，AME 就是 EM 与平面 PAD 所成的角，15在 Rt D AME 中，sin AME，即5AE AM 6 2，设 AB 2a ，则 AE 3a ，得 AM 2a ，又 AD AB2a ，设 PA = 2b ，则 M (0,a ,b ) ，所以AM = a 2+ b 2= 2a ，从而b = a ，PA AD 2a ，……………………7分则 A (0, 0, 0), B ( 3a ,- a ,0) ，C ( 3a ,a , 0), D (0, 2a ,0) ， P (0, 0, 2a ) ，3a a E ( 3a ,0,0), F( , ,a ),2 23a a所以 ( 3a ,0,0), AF ( , ,a )AE， BD( 3a ,3a ,0)，…………8分2 2设 n(x , y , z )是平面 AEF 的一个法向量，则n nAE AF 0 03ax 3ax 20 ay 2 az 0取 z a ，得 n (0,2a ,a ) ………………9分 又 BD平面 ACF ，BD ( 3a ,3a ,0)是平面 ACF 的一个法向量， ……10分cosn 6a15 BD 2n , BD……………………11分5 5a 2 3an BD……………………12分15二面角C AF E 的余弦值为.519.（Ⅰ）设重度污染区 AQI 的平均值为x,则 74×2+114×5+2x=118×9,解得x=172.即重度污染区 AQI 平均值为 172.-----------------------------------------------------------2 分自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的（Ⅱ）①由题意知,AQI 在[170,180)内的天数为 1,由图可知,AQI 在[50,170)内的天数为 17 天,故 11 月份 AQI 小于 180 的天数为 1+17=18,又18,则该学校去进行社会实践活动的概率为 3 30 53 5.---------------------------------5 分②由题意知,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,且P (X =0)=C C30 18 12C3 30204 1015,P (X =1)= C C 2 11812C3 30459 1015,P (X =2)=C C1 2 1812C3 30297 1015,P (X =3)= C C 0 31812C3 3011 203, 则 X 的分布列为-------------------------------------------------------------10分 X123P204 1015 459 1015 297 1015 11203204459 297 116数学期望 EX =+1 +2 +3.----------------------------------12 分1015 1015 1015 203 520.解：（Ⅰ）设点 Mx ，P x , y，由题意可知,00 , yN x2PN 3MN ，2 x 0x ,y3 0,y ，------------------------------------------------2 分20 ，y y3即x x 0又点M 在为圆C : x2 y2 4上x y2 42x2 2y 代入得 14 3自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的xy22即轨迹 E 的方程为 143-------------------------------------------------------------------4 分（2）由（1）可知 D 2,0，设A ，x 1, y2, yB x12y kx联立 2 y2x 4 3m 1得3 48 43k 2 x mkxm22mk2kmkm84 3 44121612392222即 3 4k 2 m 20 ，8 m9 mk16 12k3 22x1, 2 3 422kxxx x28mk 4m3 13 4213 4222k k---------------------------------------------------7 分3m12k2又y y kx kx m k x x mkm 2 x x m21 3 42 1 21 2 1 22k 2---------------8 分DA DB 即DA DB 0 DA DB DA DB即2,2, 2 4 0 x1yx yx x xx yy1 2 2 1 2 1 2 1 24m2 3 124k228mk34k243m212k234k2m mk k ------------------------------------------------------------------------10 分7 2 16 42 02解得m 1 2k ，m2k ，且均满足即3 4 0k 2 m27当m 2k1时，l 的方程为y kx 2k k x 2，直线恒过 2,0，与已知矛盾；自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的2 222,0 当m2k ，l 的方程为yx ，直线恒过kx k k77 7 72 ,0所以，直线l 过定点，定点坐标为7.------------------------------------------------------------12 分21.解析：（Ⅰ）2x 8x a2，，则f (x) (x 0) f (1)= 0 a 6x（21）（3）x x从而f (x) (x 0)，所以x （0,1）时，f (x) 0, f (x)为增函数；xx（1,3）时，f x < f x 为减函数，所以x 为极大值点.-----------------------------------4 分( ) 0, ( ) =1（Ⅱ）函数f x 的定义域为0，+，有两个极值点x x x x ，则t x x x a 在0，+上有两不等的正实根，所以0 a 8，1, 2 1 2 ( ) 2 82由x x41 2a0 x1x x 可得1 22 a 2x (4 x )1 1 x x1 2a ln x从而问题转化为在t 4 3x x 成立.----------------------6分x ，且x 1时12 1 111 1 x12x (4 x )ln x即证1 1 1 t 4 3x x21 x 111成立.2x ln x即证t x 11 11 x 1112x ln x即证1 1 t x 1 0即证1 x 11亦即证t x 12x11 2ln x 01x x11 1. ①t x 2 1令h(x ) 2ln x (0 x 2) 则xtx 2x t2h' (x ) (0 x 2)x21).当t 0时，h (x ) 0,则h(x)在(0, 2)上为增函数且h (1) 0 , ①式在(1, 2) 上不成立.'2).当t 0时，=4 4t2若0，即t 1时，h (x ) 0,所以h(x)在(0, 2)上为减函数且h (1) 0，'自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的t x12x1、1在区间 ，及，2上同号， 故①式成立.2ln x 01 11xx11121若 0，即-1 t 0时，y=tx2x t 的对称轴x1,t1令 a则1 x a 时，hx不合题意.min,2 , ( ) 0,t综上可知：t1满足题意.x C ：3 9x 2y,把公式222.（Ⅰ）曲线1yc os sin代入可得：C 的极坐标方程为6sin ． 曲线1A，则有6 c os设 B,，则6．,sin2 2C 的极坐标方程为6 c os ．-----------------------------------5分 所以，曲线255（Ⅱ）M到射线的距离为 d4sin2 ，6655与曲线C 交点 射线 P3,,166 55与曲线C 交点射线Q 3 3,2661PQ3故33 33 3SPQ d2---------------------10分23（Ⅰ）当1a 时，不等式 fx 6 可化为 3x 1 2x26， 2当1x 时，不等式即13x 2 2x6,x33 51x 时，不等式即3x 1 2 2x 6,x当13自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的当 x 1时，不等式即3x 1 2x 26，x9 5综上所述不等式的解集为3 9x x 或x； -------------------------------5分55f x（Ⅱ）不等式34 2 2 0xx可化为 3x 0 2 a 3x42a6x 2a , x3g x 3x 2 a3x, 令2a2a , x3所以函数 gx最小值为2a ， 根据题意可得 2 a 4 ，即 a 2，所以 a 的取值范围为2,.——————----—10分自信是迈向成功的第一步。
河南省郑州市第一中学2019届高三上学期诊断测试数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{A x y ==，集合(){}2lg 1,B y y x y Z ==+∈，则A B 中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.42.已知i 为虚数单位，且复数z 满足()22aiz a R i+=∈+，若z 为实数，则实数a 的值为（ ） A.4B.3C.2D.13.已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ） A.[]1,2B.[]3,5C.[]1,1-D.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得函数图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ） A.4x π=B.1912x π=C.1312x π=D.6x π= 5.已知焦点在x 轴上，渐近线方程为34y x =±的双曲线的离心率和曲线()222104x y b b +=>的离心率之积为1，则b 的值为（ ） A.65B.103C.65D.1036.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.0B.12C.1-D.32-7.下列说法正确的个数为（ ）①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件； ②命题“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“x R ∃∈，sin 1x >”； ③“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； ④已知直线a ，b 和平面α，若a α⊥，b α ，则a b ⊥. A.1B.2C.3D.48.已知直线10ax by ++=与圆221x y +=相切，则a b ab ++的最大值为（ ）A.1B.1-12D.19.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ） A.2B.3C.72D.5210.“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（ ） A.2B.3C.4D.511.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.1235π B.1243π C.1534πD.1615π 12.已知函数()21lg ,10,102,0x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪--≤⎩若11,11,a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩则方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦有五个不同根的概率为（ ） A.13B.38C.25D.112第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线y x =与抛物线2y x =围成的区域面积为1n ，则()112nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为__________.14.已知x ，y 满足约束条件0,20,220,x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩且目标函数(),0z ax by a b =+>的最大值为4，则42a b +的最小值为__________.15.已知直线22y x =-与抛物线28y x =交于A ，B 两点，抛物线的焦点为F ，则FA FB ⋅的值为__________.16.已知数列{}n a 中，12a =，()11n n n n a a a +-=+，*n N ∈，若对于任意的[]2,2a ∈-，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则t 的取值范围为__________. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）若函数()()()()1cos cos 2f x x x x ωϕωϕωϕ⎤=++++-⎦，其中0ω>，02πϕ<<，函数()f x 的图象与直线y t =相切，切点的横坐标依次组成公差为π的等差数列，且()f x 为偶函数.Ⅰ.试确定函数()f x 的解析式与t 的值；Ⅱ.在ABC ∆中，三边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且满足122C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ABC ∆，试求ab 的最小值.18.（本小题满分12分）某相关部门推出了环境执法的评价与环境质量的评价系统，每项评价只有满意和不满意两个选项，市民可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息，发现对环境质量满意的占60%，对执法力度满意的占75%，其中对环境质量与执法力度都满意的维80人. Ⅰ.是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为环境质量与执法力度有关？Ⅱ.为了改进工作作风，从抽取的200位市民中对执法力度不满意的再抽取3位进行家访征求意见，用ξ表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数，求ξ的分布列与期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒.EA FC ，且FC ⊥平面ABCD ，2FC =，1AE =，点M 为EF 上任意一点.Ⅰ.求证：AM BC ⊥；Ⅱ.点M 在线段EF 上运动（包括两端点），若平面MAB 与平面FBC 所成的锐二面角为60︒，试确定点M 的位置.20.（本小题满分12分）已知动圆C 与圆2220x y x ++=外切，与圆222240x y x +--=内切. Ⅰ.试求动圆圆心C 的轨迹方程；Ⅱ.过定点()0,2P 且斜率为()0k k ≠的直线l 与（Ⅰ）中轨迹交于不同的两点M ，N ，试判断在x 轴上是否存在点(),0A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 2f x a x a x x =-++. Ⅰ.求函数()f x 的单调区间；Ⅱ.若对于任意[]4,10a ∈，1x ，[]21,2x ∈，恒有()()121212f x f x x x x x λ-≤-成立，试求λ的取值范围. 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1,1x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-. Ⅰ.写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；Ⅱ.已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求AB . 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()322f x x x =-+-，()g x x a a x =-++. Ⅰ.解不等式()10f x >；Ⅱ.若对于任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =，试求a 的取值范围.数学（理科）参考答案13.16014.3+15.11-16.(][),22,-∞-+∞17.解析（Ⅰ）()()()()()21cos cos 222f x x x x x ωϕωϕωϕωϕ=++++-=+ ()()()1cos 221122cos 22sin 222226x x x x ωϕπωϕωϕωϕ++⎛⎫+-=+++=++ ⎪⎝⎭，由函数()f x 的图象与直线y t =相切可得1t =±.()f x 为偶函数，()262k k Z ππϕπ∴+=+∈，()26k k Z ππϕ∴=+∈，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 6πϕ∴=，由题意可知22ππω=，1ω∴=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数()cos2f x x =，122C f ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 1cos 2C ∴=-，又()0,C π∈，23C π∴=112sin sin 223ABC S ab C ab π∆=== ，3c ab ∴=，根据余弦定理可得()222232cos3ab a b ab π=+-， 222292a b a b ab ab ab ∴=++≥+，13ab ∴≥，当且仅当a b =时，取等号，故ab 的最小值为13.18.解析Ⅰ.对环境质量满意的为20060%120⨯=人，对执法力度满意的为20075%150⨯=人，对环境质量与执法力度都满意的为80人，列出22⨯的列联表如下：所以()222008010407010010.82815050120809K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为环境质量与执法力度有关.Ⅱ.随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()3403502470490C P C ξ===；()12104035039198C C P C ξ===； ()2110403509298C C P C ξ===；()31035033490C P C ξ===， ξ∴的分布列为()012349098984905E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.解析Ⅰ.证明：AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒，2AB ∴=， 连接AC ，在ABC ∆中，222222cos6021221AC AB BC AB BC =+-⋅︒=+-⨯⨯cos 603⨯︒=，222AB AC BC ∴=+，BC AC ∴⊥，FC ⊥ 平面ABCD ，FC BC ∴⊥，又AC FC C = ， BC ∴⊥平面AEFC ，AM ⊂ 平面AEFC ，BC AM ∴⊥.Ⅱ.以C 为坐标原点，分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B ，()0,0,0C ，()0,0,2F ，)E，()AB =，设(),,M x y z ，()01FM FE λλ=≤≤，则()),,21x y z λ-=-，x ∴=，0y =，2z λ=-，故),0,2Mλ-，)2AM λ∴=-- ，设平面ABM 的法向量为()111,,m x y z =，则)()11112100,00,x z m Am m AB y λλ⎧-+-=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩即)1111,12y z x λλ⎧=⎪⎨-=⎪-⎩令11x =，可得1y =)112z λλ-=-，)12m λλ⎛⎫-∴= ⎪ ⎪-⎝⎭.易知平面FBC 的一个法向量为()1,0,0n =，1cos 602m nm n⋅∴︒===， 1λ∴=.∴点M 与点E 重合.20.解析Ⅰ.由2220x y x ++=得()2211x y ++=，由222240x y x +--=得()22125x y -+=，设动圆C 的半径为R ，两圆的圆心分别为()11,0F -，()21,0F ，则11CF R =+，25CF R =-，126CF CF ∴+=，根据椭圆的定义可知点C 的轨迹为以1F ，2F 为焦点的椭圆，1c ∴=，3a =，222918b a c ∴=-=-=，∴动圆圆C 的轨迹方程为22198x y +=.Ⅱ.存在，直线l 的方程为2y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的中点为()00,E x y .假设存在点(),0A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE MN ⊥， 由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，1223698k x x k +=+，021898k x k -∴=+，00216298y kx k =+=+， AE MN ⊥ ，1AE k k ∴=-，即221601981898k k k m k -+=---+，2228989k m k k k --∴==++， 当0k >时，89k k +≥=0m ≤<； 当0k <时，89k k +≤-0m ∴<≤因此，存在点(),0A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数m的取值范围为⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦. 21.解析Ⅰ.函数的定义域为()0,+∞，()()()()()2222122x a x a x a x af x a x x x x-++--'=-++==， 当0a ≤时，函数在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 当02a <<时，函数在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当2a =时，函数在()0,+∞上单调递增； 当2a >时，函数在()0,1，,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. Ⅱ.()()121212f x f x x x x x λ-≤-恒成立，即()()121211f x f x x x λ-≤-恒成立， 不妨设21x x >，因为当[]4,10a ∈时，()f x 在[]1,2上单调递减，则()()121211f x f x x x λ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，可得()()1212f x f x x x λλ-≤-，设()()()2ln 2g x f x a x a x x xxλλ=-=-++-，∴对于任意的[]4,10a ∈，1x ，[]21,2x ∈，21x x >，()()12g x g x ≤恒成立，()()g x f x xλ∴=-在[]1,2上单调递增，()()()()322212202x a x x a x ax g x x x xλλ---+++'=+=≥在[]1,2x ∈上恒成立， ()32220x a x ax λ∴-+++≥在[]1,2x ∈上恒成立，即()232220a x x x x λ-++-+≥在[]1,2x ∈上恒成立，当[]1,2x ∈时，20x x -+≤，∴只需()23210220x x x x λ-++-+≥在[]1,2x ∈上恒成立，即32212100x x x λ-++≥在[]1,2x ∈上恒成立，设()3221210h x x x x λ=-++，则()()22624106214h x x x x '=-+=--，在[]1,2x ∈上，()0h x '<，()h x ∴在[]1,2上单调递减，()2120h λ∴=-+≥，12λ∴≥，故实数λ的取值范围为[)12,+∞.22.解析Ⅰ.把直线l的参数方程化为普通方程为)11y x =-+，cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴直线lcos sin 10θρθ-=.由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =.Ⅱ.直线l 的倾斜角为3π， ∴直线l '的倾斜角也为3π，又直线l '过点()2,0M ，∴直线l '的参数方程为12,2x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数）， 将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A 、B 对应的参数分别为1t '，2t '. 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=，123AB t t ''∴=-===23.解析Ⅰ.当1x <时，()()3223510f x x x x =---=-+>，解得53x <-； 当13x ≤≤时，()()322110f x x x x =-+-=+>，解得9x >，不符合题意； 当3x >时，()3223510f x x x x =-+-=->，解得5x >， 所以原不等式的解集为53x x ⎧<-⎨⎩或}5x >. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()35,1,1,13,35,3,x x f x x x x x -+<⎧⎪=+≤≤⎨⎪->⎩根据函数的图象可知，当1x =时，()f x 取得最小值，且()12f =， 易知()()2g x x a a x x a x a a =-++≥--+=，对于任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =，22a ∴≤，11a ∴-≤≤，a ∴的取值范围为[]1,1-.。
