立体几何中的求角问题
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立体几何中的角度问题攻略新东方孟祥飞异面直线角:采用平移法,或者向量线面角:(1)当射影线好找时采用定义法,(2)当射影线不好找时建议采用向量法,但是等体积法也是不错的选择二面角:(1)当二面角的二面为双等腰图形或者全等对称或者二面交线垂线相对好平移的情况,采用定义法即可(2)当二面交线垂线不好平移(主要原因为计算量太大)建议直接采用向量法,但是三垂线法也是不错的选择,可以减少平移运算。
(3)三垂线法也会出现射影线不好找的情况,此时可以采用等体积转化。
S 中,E,F为中点,求异面直线BE,SF所称角度例题:1.正四面体ABCSEA CFB异面直线角的求法只需记住平移和向量即可,但是有些小题考查可能不好建系,所以需要大家对平移好好掌握,而平移其实就是构建辅助线,辅助线的构造基本和证明线面平行时的构造相同,即平行四边形构造和中位线构造,相对而言中位线可能够难想一点,中位线构造常常出现在三棱锥中。
SEPA CPF和SF所成平面角即所求FBSE这样的构建也是不错的选择EQ 和EB 所成角为所求A CQF B求三边套余弦定理即可,令正四面体边长为2,则EB=3,EQ=23,QB=27 所以32323247343cos =⨯⨯-+=QEB 此题还可以采用五坐标向量法来求解,2.三棱锥A BCD -,且,,,)(,>=<+===AC EF f DFCFBE AE λλλαβαλλ>=<BD EF ,λβ,求)(λf 的单调性 A EQB DFC此题的方法也为平移转化,由于是三棱锥,所以采用中位线(等比例线)方式平移,如图,不难发现,其实题目设计成求和角单调性,由于内角和为定值π,其实就是求角EQF 的单调性,而角EQF 为棱AC 和BD 之间角,是为定值的3.正方体1111D C B A ABCD -,E 是1BC 中点,求DE 与ABCD 所成角。
D 1 C 1 A 1 B 1 ED C Q A B线面角在求解时,我们觉得可能难度略大于异面直线,但是同学们注意其实把方法掌握,一样是很简单的,因为立体几何的特点是规律性非常强!我们看此题,线面角的定义是射影和斜线的成角,所以我们要先找DE 直线的射影,不难发现DE 的射影即为DQ ,所以所求线面角的平面角即为∠EDQ ,只需求解直角三角形EDQ 即可求出线面角的三角函数值。
空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现,也是历年来高考命题者的热点,几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是:0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
空间角的计算思想主要是转化:即把空间角转化为平面角,把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是:一找、二证、三求解,手段上可采用:几何法(正余弦定理)和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角:例1如右下图,在长方体1111ABCD A B C D -中,已知4AB =,3AD =,12AA =。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点,且1EB FB ==。
求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。
思路一:本题易于建立空间直角坐标系,把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角,用向量法求解。
思路二:平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。
转化为平面角,放到三角形中,用几何法求解。
(图1)解法一:以A 为原点,1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有 D 1(0,3,2)、E (3,0,0)、F (4,1,0)、C 1(4,3,2),于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β,则:112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二:延长BA 至点E 1,使AE 1=1,连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF , 有D 1C 1//E 1E , D 1C 1=E 1E ,则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。
则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。
立体角计算公式立体角,又称夹角、内角、拱角,是指在立体空间内三条曲线汇合成的一种特殊的角,它体现了空间几何学的概念。
它的计算通常使用三角函数和立体几何的相关参数。
立体角的计算都是围绕着一个拱角内三个平面之间的夹角来完成的。
基本计算公式二维平面立体角的计算公式如下:夹角=sin-1[(b x c)/(|b||c|)]其中,b和c是向量,|b|和|c|分别是b和c的模长,x表示叉乘。
三维平面立体角的计算公式如下:夹角=cos-1[(a x b)c/(|a||b||c|)]其中,a、b和c是向量,|a|、|b|和|c|分别是a、b和c的模长,x和表示叉乘和点乘。
立体几何计算公式立体几何的计算公式可以用来表示立体角的特性,以此来计算夹角的大小。
1.体积公式:V=abc其中,a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长,V表示立体角的体积。
2.表面积公式:S=ab+bc+ca其中,a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长,S表示立体角的表面积。
3.距离公式:D=√(a+b+c)其中,a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长,D表示立体角的距离。
4.角平分公式:α/β/γ=a/b/c其中,α、β和γ是各角的大小,a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长。
5.体积中垂线公式:V=abc sin其中,V表示立体角的体积,a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长,α表示立体角的内角大小。
立体角的应用立体角计算公式广泛应用于几何学、机械工程、电子学等领域,它可以用来计算空间坐标系的定位,构建复杂的几何体,也可用来测量空间距离、角度、体积等。
比如,在机械结构设计中,立体角的计算公式可以用来计算连接的螺栓的角度、位置和大小,为准备安装和维护机械设备提供依据。
在电子工程中,立体角的计算公式也可以用来计算电子元件之间的位置、距离和角度,这些参数对正确构建电子系统非常重要。
总结立体角是一种有三条曲线汇合而成的特殊角,它体现了空间几何学的概念。
立体几何求夹角方法总结立体几何体现了空间中物体的立体形态,它的重要性在于能够帮助人们更好地理解三维物体,并求出它们之间的夹角,这在数学、物理等领域都有着广泛的应用。
本文将总结出常见的几何求夹角方法,供读者参考。
方法一:向量求夹角向量是几何学中的常用概念,它由矢量和标量组成。
可以通过计算两个向量之间的夹角,得到它们之间的几何夹角。
具体做法如下:1. 求出待求夹角的两个向量;2. 根据向量的标准公式求出它们的数量积;3. 分别计算出两个向量的长度;4. 将数量积和长度带入余弦定理求出夹角。
方法二:平面法线求夹角在三维空间中,可以通过平面的法线向量来计算两个平面之间的夹角。
具体做法如下:1. 求出待求夹角的两个平面的法线向量;2. 根据向量的标准公式求出它们的数量积;3. 分别计算出两个平面的法线向量的长度;4. 将数量积和长度带入余弦定理求出夹角。
方法三:点法线求夹角与平面法线类似,我们也可以通过点和法线向量计算两个平面之间的夹角。
具体做法如下:1. 求出待求夹角的两个平面的任意一点坐标和两个平面的法线向量;2. 根据向量的标准公式求出它们的数量积;3. 分别计算出两个平面的法线向量的长度;4. 将数量积和长度带入余弦定理求出夹角。
方法四:球面三角学法求夹角该方法适用于计算球面上两个点或两个平面之间的夹角,方法稍微复杂。
具体做法如下:1. 求出待求夹角的两个点或平面的经纬度坐标;2. 根据球面三角学公式求出两个点之间的夹角或两个平面之间的夹角;3. 将弧度转化为角度,得到最终的夹角。
综上所述,立体几何求夹角的方法有计算向量之间的夹角、平面法线之间的夹角、点法线之间的夹角和球面三角学法求夹角。
每种方法都有其适用范围和计算步骤,要根据实际情况选择合适的方法进行计算。
立体几何中的向量方法求夹角1.确定两个向量假设有两个向量A和B,它们的坐标分别为(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)。
2.计算向量的点积向量的点积是两个向量各个对应坐标分量的乘积之和,可以用以下公式表示:A·B=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂3.计算向量的模向量的模是向量的长度,可以用以下公式表示:A,=√(x₁²+y₁²+z₁²)B,=√(x₂²+y₂²+z₂²)4.计算夹角的余弦值夹角的余弦值可以通过点积和模的关系计算得到,用以下公式表示:cosθ = (A·B) / (,A,,B,)5.计算夹角夹角的弧度可以通过余弦值计算得到,用以下公式表示:θ = arccos(cosθ)6.将弧度转换为度数为了方便阅读和理解,可以将弧度转换为角度,用以下公式表示:α=θ*180°/π以上就是利用向量方法求解立体几何中夹角的具体步骤。
下面通过一个例子来说明向量方法求解立体几何中夹角的应用。
例题:给定两个向量A(2,3,-1)和B(1,-2,4),求它们之间的夹角。
解答:首先计算向量A和向量B的点积:A·B=2*1+3*(-2)+(-1)*4=2-6-4=-8然后计算向量A和向量B的模:A,=√(2²+3²+(-1)²)=√(4+9+1)=√14B,=√(1²+(-2)²+4²)=√(1+4+16)=√21接下来计算夹角的余弦值:cosθ = (A·B) / (,A,,B,) = -8 / (√14 * √21)然后计算夹角:θ = arccos(cosθ)最后将弧度转换为角度:α=θ*180°/π通过以上计算,可以得到向量A和向量B之间夹角的大小。
立体几何之求角一、知识点归纳1、 两条异面直线所成的角θ的范围是 ,当θ= 时,这两条异面直线互相垂直。
异面直线所成角的求法:(1)平移(做平行线)其中一条或两条直线,使之同在某一三角形中,通过解三角形求出所求的角。
(2)利用向量夹角来求:设异面直线b a ,的方向向量为,,则直线b a ,的夹角θ由公式||||cos b a ⋅=θ2、 斜线AO 与它在平面α内的射影AB 所成的角1θ叫做 。
设AC是α内的一条直线,AO 与AC 所成的角为θ,AB 与AC 所成的角为θ2,则θ1、θ2、θ的余弦值关系是________________.3、平面的斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中__________. 如果直线和平面垂直,那么就说_______________. 如果直线和平面平行或在平面内,那么说______________.4、直线和平面所成的角的范围为_____________.5、斜线和所交平面所成的角的范围为__________.6、直线与平面所成的角(设为θ)(1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的_____________所成的________________,叫做这条直线和这个平面所成的角。
(2)当一条直线__________于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和平面___________或_________时,规定它们所成的角为________________.(3)填写下表:在直线与平面所成的角的定义中体现_________和___________数学思想.(4)斜线和平面所成的角的最小性:斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的_____________来定义的,其中一条直线就是斜线本身,另一条直线就是斜线在平面上的___________________.在平面内经过斜足的直线有无数条,;它们和斜线都组成相交的两条直线,为什么选中射影和斜线这两条相交直线,用它们所成的____________来定义斜线和平面所成的角呢?原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中,它是_____________.对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的,它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”,根据线面所成的角的定义,有结论:斜线和平面所成的角,是这条斜线的角的定义,有结论:斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中__________________.线面角的求法:(1)做出线面角,找出此角所在的三角形,通过解三角形求出此角。
立体几何求角、距离的解法考点一、空间中的夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角,直线与平面所成的角和二面角,要理解各种角的概念定义和取值范围,其范围依次为(0°,90°]、[0°,90°]和[0°,180°]。
(1)两条异面直线所成的角求法:○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然后通过解三角形去求得;○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得,但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π,向量所成的角范围是],0[π,如果求出的是钝角,要注意转化成相应的锐角(2)直线和平面所成的角 求法:“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。
除特殊位置外,主要是指平面的斜线与平面所成的角,根据定义采用“射影转化法”(3)二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手,所以作二面角的平面角就成为解题的关键。
通常的作法有:(Ⅰ)定义法;(Ⅱ)利用三垂线定理或逆定理;(Ⅲ)自空间一点作棱垂直的垂面,截二面角得两条射线所成的角,俗称垂面法.此外,当作二面角的平面角有困难时,可用射影面积法解之,cos =SS ',其中S 为斜面面积,S ′为射影面积, 为斜面与射影面所成的二面角例题1:已知边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 、O 1是上下底面正方形的中心,求二面角O 1-BC-O 的大小。
2:已知边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 为A 1D 1、C 11的中点,求平面EFCA 与底面ABCD 所成的二面角。
点评:利用平面角定义法中特殊位置的线段。
3:已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
解:设AC 与BD 交于E ,CD 1与C 1D 交于F ,连EF 是所求二面角B-EF-C 的棱,连A 1C ,易证A 1C ⊥平面BDC 1,垂足为H ,取AD 1中点O ,连OC 交EF 于G ,连GH 。
立 体 几 何 中 的 求 角 问 题
集美中学数学组 刘 海 江
一、记一记,填一填,这些知识你掌握了吗?
1、 两条异面直线所成的角θ的范围是 ,当θ= 时,这两条异
面直线互相垂直。
☆异面直线所成角的求法:
(1)平移(做平行线)其中一条或两条直线,使之同在某一三角形中,通过解三角形
求出所求的角。
(2)利用向量夹角来求:设异面直线b a ,的方向向量为b a ,,则直线b a ,的夹角θ由
公式cos =θ,
2、 斜线AO 与它在平面α内的射影AB 所成的角1θ叫做 。
设AC
是α内的一条直线,AO 与AC 所成的角为θ,AB 与AC 所成的角为θ
2
,则θ1、
θ2
、
θ的余弦值关系是________________.
3、平面的斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中
__________. 如果直线和平面垂直,那么就说_______________. 如果直线和平面平行
或在平面内,那么说______________.
4、直线和平面所成的角的范围为_____________.
5、斜线和所交平面所成的角的范围为__________.
6、直线与平面所成的角(设为θ)
(1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的_____________
所成的________________,叫做这条直线和这个平面所成的角。
(2)当一条直线__________于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和平面
___________或_________时,规定它们所成的角为________________. (3)填写下表:
在直线与平面所成的角的定义中体现_________和___________数学思想.
(4)斜线和平面所成的角的最小性:斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的_____________来定义的,其中一条直线就是斜线本身,另一条直线就是斜线在平面上的___________________.在平面内经过斜足的直线有无数条,;它们和斜线都组成相交的两条直线,为什么选中射影和斜线这两条相交直线,用它们所成的____________来定
义斜线和平面所成的角呢?原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中,它是_____________.对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的,它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”,根据线面所成的角的定义,有结论:斜线和平面所成的角,是这条斜线的角的定义,有结论:斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中__________________.
☆线面角的求法:
(1)做出线面角,找出此角所在的三角形,通过解三角形求出此角。
(2) 斜线AO 与平面α所成的角θ可由n (sin =
θ是平面
α的法向量)
7、从一条直线出发的两个_________ _叫做二面角,这条直线叫做
____________.这两半平面叫做____________.棱为l ,两个面分别为α,β的二面角记为___________.
8、一个平面垂直于二面角的棱l ,且与两个半平面的交线分别是射线OA 、OB ,则A O
B ∠叫做_____________.二面角的范围是___________.平面角是直角的二面角叫做______________,相交成直二面角的两个平面叫做________________.
二面角的平面角的做法常用三垂线定理来做,要结合图形深刻理解,灵活运用。
☆面面角的求法:
(1)做出二面角的平面角,将其纳入某个三角形,通过解三角形求出所求的角。
(2)利用向量:二面角α—l —β的棱l 上有A ,B 两点,AC βα⊂⊂BD ,且
l BD l AC ⊥⊥,,则BD AC ,所成的角θ即为二面角的大小。
由公式
便可求出;
(3)利用法向量:设平面α,β的法向量分别是21,n n ,则21,n n ,所成角的大小是二面角或二面角的补角的大小。
由公式 可求。
二、练一练,写一写,这些题目你能独立完成吗? 选择题
1、 一条直线与一个直二面角的两个面所成的角为21,θθ。
那么必有 [ ]
A 、2
21πθθ≤
+ B 、2
21πθθ≥
+ C 、 2
21πθθ≠
+ D 、21θθ+的大小不确定。
2、将长方体截去一角,截痕三角形为 [ ]
A 、直角三角形
B 、锐角三角形
C 、钝角三角形
D 、以上情况均有可能。
3、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1 ,则侧棱与底面所成的角是 [ ]
A 、75
B 、60
C 、45
D 、30
4、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1,底面ABC ∆中CA=CB=1,
90=∠BCA ,棱AA 1=2,
M,N分别是A
1B
1
、AA
1
的中点,则BN的长是[ ]
A、3 B 、3 C 、4 D、5
填空题
5、已知一个点到二面角的两个面的距离分别是a和a
2,到棱的距离是2a,求这个二面角的大小(设点P在二面角的内部)为。
6、正方体ABCD—A
1B
1
C
1
D
1
,则平面A
1
BD与平面C
1
BD的夹角的余弦值为。
7、过正方形ABCD的顶点A,引PA⊥平面ABCD,若PA=PB,则平面ABP和平面CDP
所成的二面角的大小。
8、正方体ABCD—A
1B
1
C
1
D
1
中,则二面角B—A
1
C—A的大小。
解答题
9、在四面体A—BCD中,AB=CD=3,E和F分别是AD、BC上的点,
且A E:ED=BF:FC=1:2,已知EF=7,求异面直线AB与CD所成的角。
10、AO是平面α的斜线,O 是斜足,AB⊥α于B,OD是α内不与OB重合的直线,
θ
θ
θ=
∠
=
∠
=
∠AOD
BOD
AOB,
,
2
1。
求证:
2
1
cos
cos
cosθ
θ
θ=
11、正三棱柱ABC—A
1B
1
C
1
的底面边长为a,侧棱长为a
2。
(1)建立适当坐标系,写出A、B、A
1、C
1
的坐标;
(2)求AC
1与侧面ABB
1
A
1
所成的角。
12、 在棱长为a 的正方体OABC —O 'A 'B 'C '中,E ,F 分别是棱AB ,BC 上的动点,且
AE=BF ,试判断A 'F ,C 'E 的位置关系。
13、已知二面角a —l —β为120 ,A ,B ,6||,,,,,=⊥⊂⊥⊂∈AB l BD BD l AC AC l βα |AC|=2, |BD|=4, 求:(1)C 、D 两点间的距离;
(2)求CD 与AB 所成角的大小;
(3)CD 与平面β所成角的大小。
14 、ABCD 是直角梯形,0
90=∠=∠BAD ABC ,SA ⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=1,AD=2
1,
(1)求SC 与AB 所成的角;
(2) 求SC 与平面ASD 所成角的大小;
(3) 求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的大小; (4) 求点C 到平面SBD 的距离。