河南省濮阳市2015届高三上学期期末摸底考试数学文试题 Word版含答案

2015年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|（x-1）（x+1）＞0}，则A∩B=（）A.（0，1）B.（1，2）C.（-∞，-1）∪（0，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）【答案】B【解析】解：由B中的不等式解得：x＞1或x＜-1，∴B=（-∞，-1）∪（1，+∞），∵A={x|0＜x＜2}=（0，2），∴A∩B=（1，2）．故选：B．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.在复平面内，复数的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：复数=，∴复数在复平面内对应的点为（1，-2），故复数的对应点位于第四象限．故选：D．利用复数的除法运算，将复数表示出来，根据复数的几何意义，即可得到答案．本题考查了复数的代数表示法以及几何意义，考查了复数的代数形式的乘法运算，解题时要认真审题．复数的几何意义是复数和复平面内的点是一一对应关系．属于基础题．3.如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（）A.D、E、FB.F、D、EC.E、F、DD.E、D、F【答案】【解析】解：第一个正方体已知A，B，C，第二个正方体已知A，C，D，第三个正方体已知B，C，E，且不同的面上写的字母各不相同，则可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F．故选D．本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到各个面上的字母，即可求得结果．本题考查了正方体相对两个面上的字母问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，本题是一个基础题．4.已知⊙M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线上S上，则圆心M到双曲线S的中心的距离为（）A.或B.或C.D.【答案】D【解析】解：∵⊙M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，∴圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，∴圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M的纵坐标为y M=±=±，∴点M到原点的距离|MO|==．故选：D．根据，⊙M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，可得圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，从而可得圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M 的纵坐标，即可求出圆心M到双曲线S的中心的距离．本题考查了双曲线的标准方程，双曲线与圆的交汇问题，考查学生的计算能力，属于中档题．5.将函数y=sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合，则m+n的最小值为（）A. B. C.π D.【答案】C【解析】解：将函数y=sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位，得函数y=sin2（x+m）=sin（2x+2m），∵其图象与的图象重合，故m=（k∈Z），当k=0时，m取得最小值为；将函数y=sin2x（x∈R）的图象向右平移n（n＞0）个单位，得到函数y=sin2（x-n）=sin （2x-2n），∵其图象与的图象重合，∴sin（2x-2n）=sin（2x+），∴-2n=，故n=-，当k=-1时，n取得最小值为，∴m+n的最小值为π，故选C．求出函数y=sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数的图象重合，可分别得关于m，n的方程，解之即可．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，准确把握图象的平移变换规律是解决问题的关键所在．6.已知等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，则=（）A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1【答案】D【解析】解：∵等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，∴两式相除可得公比q=，∴a1=2，∴a n==，S n==4（1-），∴=2n-1，故选：D．利用等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，求出q=，a1=2，可得a n、S n，即可得出结论．本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，确定数列的首项与公比是关键．7.执行如图所示的程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与A. B. C. D.【答案】B【解析】解：依题意，不等式组表示的平面区域的面积等于1，不等式组表示的平面区域的面积等于，因此所求的概率等于．故选：B．依题意，满足不等式组的x，y可以输出数对，读懂框图的功能即可计算概率．本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．8.曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），则双曲线的c=，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，令x=c，代入双曲线方程得，y2=b2（-1）=，解得，y=，则|MN|=，令x=，代入抛物线方程可得，y2=p2，即y=±p，则|MN|=2p，则2p=，即有b2=2ac=c2-a2，即有e2-2e-1=0，解得，e=1+．故选：D．求出抛物线的焦点，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，分别令x=c，x=，求得弦长，得到a，b，c的方程，再由离心率公式解方程即可得到．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．9.如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H有几条不同的旅游路线可走（）A.15B.16C.17D.18C【解析】解：要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来…这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算法：A至B、C、D的路数记在B、C、D圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在F、E、G圆圈内，最后F、E、G各个路数之和，即得至H的总路数如下图所示，易得有17条不同的线路；故选C．根据分布图，要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来…这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去；则可以这样作图，A至B、C、D的路数记在B、C、D圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在F、E、G圆圈内，最后F、E、G各个路数之和，即得至H的总路数，即可得答案．本题考查分步计数原理的运用，解题时注意分析的方法，最好不要一一列举，如必须列举时，注意按一定的次序，做到不重不漏．10.若函数f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，则函数y=f （x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．A.①B.②C.③D.③④【答案】D【解析】解：因为函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，即导函数要么图象无增减性，要么是在直线x=两侧单调性相反；对于①，由图得，在a处切线斜率最小，在b处切线斜率最大，故导函数图象不关于直线x=对称，故①不成立；对于②，由图得，在a处切线斜率最大，在b处切线斜率最小，故导函数图象不关于直线x=对称，故②不成立；对于③，由图得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数图象关于直线x=对称，故③成立；对于④，由图得，原函数有一对称中心，在直线x=与原函数图象的交点处，故导函所以，满足要求的有③④．故选：D．对于①②，直接由图象得出在a处与b处切线斜率不相等，即可排除答案；对于③，原函数为一次函数，其导函数为常数函数即可知道其满足要求；对于④，先由图象找到对称中心即可判断其成立本题主要考查函数的单调性与其导函数之间的关系．做这一类型题目，要注意运用课本定义，是对课本知识的考查，属于基础题，但也是易错题．11.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】解：设则====（）∴，∴故选A．设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．12.定义在R上的函数y=f（x）在（-∞，a）上是增函数，且函数y=f（x+a）是偶函数，当x1＜a，x2＞a，且丨x1-a丨＜丨x2-a丨时，有（）A.f（x1）＞f（x2）B.f（x1）≥f（x2）C.f（x1）＜f（x2）D.f（x1）≤f（x2）【答案】A【解析】解：∵y=f（x+a）是偶函数，∴有f（-x+a）=f（x+a）∴f（x）关于x=a对称∵偶函数在（-∞，a）上是增函数，∴在（a，+∞）上是减函数∵x1＜a，x2＞a，丨x1-a丨＜丨x2-a丨，∴去掉绝对值得a-x1＜x2-a，即2a-x1＜x2，且2a-x1＞a，x2＞a由（a，+∞）上是减函数知f（2a-x1）＞f（x2）∵f（x）关于x=a对称，∴f（2a-x1）=f（x1）故选A．根据y=f（x+a）是偶函数，可得f（-x+a）=f（x+a），根据x1＜a，x2＞a，丨x1-a丨＜丨x2-a丨，可得2a-x1＜x2，且2a-x1＞a，x2＞a，结合函数的单调性，即可得到结论．本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则= ______ ．【答案】【解析】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，∴sinα=-2cosα，tanα=-2．∴==，故答案为：．由题意可得sinα=-2cosα，tanα=-2，再利用两角和的正切公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．14.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是______ ．【答案】（1，）【解析】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得＜＜．故答案为：（1，）在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a的图象，观察求解．本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．15.在三棱锥C-ABD中（如图），△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为60°，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=；⑤四面体ABCD的外接球表面积为32π，其中真命题是______ ．【答案】①③⑤【解析】解：对于①，∵△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，∴CO⊥BD，AO⊥BD，AO∩OC=O，∴BD⊥平面AOC，∴AC⊥BD，因此①正确；对于②，假设CO⊥AD，又CO⊥BD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°矛盾，因此不正确；对于③，由△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，∴OC=OA，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°，∴△AOC为正三角形，因此③正确；对于④，AB=4，由①可得：AC=OA=2，AD=CD=4，∴cos∠ADC==≠，因此不正确；对于⑤，由①可得：四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，表面积S==32π，因此正确．综上可得：只有①③⑤正确．故答案为：①③⑤．①由△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，可得CO⊥BD，AO⊥BD，BD⊥平面AOC，即可判断出正误；②假设CO⊥AD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°矛盾，即可判断出正误；③由已知可得：OC=OA，而∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°，即可判断出△AOC为正三角形；④AB=4，由①可得：AC=OA=2，AD=CD=4，利用余弦定理可得cos∠ADC，即可判断出正误；⑤由①可得：四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，利用表面积公式即可判断出正误．本题考查了空间线面位置关系、二面角、等边三角形、余弦定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1-2n+1+1，n∈N*，且a1、a2+5、a3成等差数列．则a n= ______ ．【答案】3n-2n【解析】解：由，解得a1=1．由2S n=a n+1-2n+1+1，n∈N*，当n≥2时，可得，两式相减，可得，即，变形为，∴数列{}（n≥2）是一个以a2+4为首项，3为公比的等比数列．由2a1=a2-3可得，a2=5，∴数列{a n}的通项公式是．故答案为：．由于2S n=a n+1-2n+1+1，n∈N*，且a1、a2+5、a3成等差数列，可得，解得a1．由2S n=a n+1-2n+1+1，n∈N*，当n≥2时，可得，可得，变形为，l利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n-S n-1”求通项公式a n、变形转化为等比数列求通项公式的方法，考查了灵活的变形能力和推理能力，属于难题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；（Ⅱ）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ），即a（1+cos C）+c（1+cos A）=3b，由正弦定理得：sin A+sin A cos C+sin C+cos A sin C=3sin B，即sin A+sin C+sin（A+C）=3sin B，可得sin A+sin C=2sin B，由正弦定理可得，整理得：a+c=2b，故a，b，c为等差数列；（Ⅱ）由∠B=60°，b=4及余弦定理得：42=a2+c2-2accos60°，∴（a+c）2-3ac=16，又由（Ⅰ）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16，∴△ABC的面积S=acsin B=acsin60°=4；【解析】（Ⅰ）对其角A，B，C的对边分别为a，b，c，可得，利用倍角公式进行化简，再利用正弦定理进行证明；（Ⅱ）因为∠B=60°，b=4，利用余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，求出ac的值，利用三角形的面积的公式进行求解；此题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列的性质，是一道综合题，也是一道基础题；18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M-BQ-C大小为60°，并求出的值．【答案】（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（-2，，0），设（0＜λ＜1），则，，，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，，，（9分）∵二面角M-BQ-C大小为60°，∴=，解得，此时．（12分）【解析】（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：为ω）的关系式为：S=，，＜，＞，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=【答案】22；8；30；63；7；70；85；15【解析】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…（1分）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…（3分）∴P（A）=…．（4分）（2）根据以上数据得到如表：…．（8分）K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…．（10分）所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．（12分）（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．20.如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．【答案】解：（1）易求A（2，1），B（-2，1）．…（2分）设P（x0，y0），则．由，得，所以，即．故点Q（m，n）在定圆上．…（8分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．平方得，即．…（10分）因为直线MN的方程为（x2-x1）y-（y2-y1）x+x1y2-x2y1=0，所以O到直线MN的距离为，…（12分）所以△OMN的面积S=MN•l=|x1y2-x2y1|===．故△OMN的面积为定值1．…（16分）【解析】（1）设P的坐标，通过，推出m，n与P的坐标的关系，推出定圆的方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，得到x1，x2的关系．求出MN的距离以及O到直线MN的距离，然后证明△OMN的面积是否为定值．本题考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，考查转化思想计算能力．21.已知函数f（x）=x2，g（x）=elnx．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m，对x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m，对x∈（0，+∞）恒成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由．【答案】解：（I）由于函数f（x）=，g（x）=elnx，因此，F（x）=f（x）-g（x）=x2-elnx，则F′（x）=x-==，x∈（0，+∞），当0＜x＜时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上是减函数；当x＞时，F′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上是增函数；因此，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）．（II）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y-=k（x-），即y=kx+-k，由f（x）≥kx+-k对x∈R恒成立，则对x∈R恒成立，∴=4k2-8k+4e=e（k-）2≤0成立，因此k=，“分界线“的方程为：y=．下面证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立，设G（x）=elnx-x+，则G′（x）==，∴当0＜x＜时，G′（x）＞0，当x＞时，G′（x）＜0，当x=时，G（x）取得最大值0，则g（x）≤x对x∈（0，+∞）恒成立，故所求“分界线“的方程为：y=．【解析】（Ⅰ）在定义域内解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0可得函数的单调区间；（Ⅱ）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y-=k（x-），由f（x）≥kx+-k对x∈R恒成立，可求得k=，则“分界线“的方程为：y=．只需在证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立即可；本题考查利用导数研究函数的单调区间、最值及恒成立问题，考查转化思想，探究性题目往往先假设成立，再做一般性证明．22.如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．【答案】（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（5分）（Ⅱ）解：∵EG•EA=EB2，EG=1，GA=3，∴EB=2，又∵F为EB的三等分点且靠近E，∴，，又∵FG•FD=FE•FC=FB2，∴，CE=2．…．（10分）【解析】（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（Ⅱ）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．23.已知在直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．【答案】解：（I）根据直线l的参数方程为，（t为参数），消去t，得，故直线l的普通方程为：；依据曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0．结合互化公式，得到：曲线的直角坐标方程为（x-2）2+y2=1，---------------------------（4分）（II）设点P（2+cosθ，sinθ）（θ∈R），则所以d的取值范围是，．--------------------------（10分）【解析】（Ⅰ）直接根据直线的参数方程中，消去参数，即可得到其普通方程；再利用极坐标方程和直角坐标方程互化公式求解即可；（Ⅱ）首先设点P（2+cosθ，sinθ）（θ∈R），然后，构造距离关系式，然后，求解其范围即可．本题重点考查了参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x-1|．（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，证明f（ab）＞|a|f（）．【答案】解：（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6，可得|x-2|+|x+2|≥6．根据绝对值的意义可得|x-2|+|x+2|表示数轴上的x对应点到2、-2对应点的距离之和，而-3和3对应点到2、-2对应点的距离之和正好等于6，故不等式f（x-1）+f（x+3）≥6的解集为{（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，要证f（ab）＞|a|f（），只要证|ab-1|＞|b-a|，只要证（ab-1）2＞（b-a）2．而（ab-1）2-（b-a）2=a2•b2-a2-b2+1=（a2-1）（b2-1）＞0，故（ab-1）2＞（b-a）2成立．故要证的不等式f（ab）＞|a|f（）成立．【解析】（Ⅰ）解不等式可得|x-2|+|x+2|≥6，根据绝对值的意义，而-3和3对应点到2、-2对应点的距离之和正好等于6，从而求得不等式f（x-1）+f（x+3）≥6的解集．（Ⅱ）用分析法证明f（ab）＞|a|f（）成立．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，属于基础题．。

2015年河南省普通高中毕业班高考适应性测试文科数学试题参考答案及评分标准（13）1± （14）40 （15） 2 （16）( 三、解答题 (17) 解：（Ⅰ）由已知可得22282(1)q a a q q ++=⎧⎨+=+⎩，消去2a 得：2280q q +-=， 解得2q =或4q =-（舍），…………………………………………………………………………3分 24,2a d ∴==，从而12,2n n n a n b -==.…………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，则112()2n n c n -=.012111112()4()2(1)()2()2222n n n T n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+.① 121111112()4()2(1)()2()22222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+.② ①-②得01211111112()2()2()2()2()222222n n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅ 12[1()]122()1212n n n -=-⋅-14(42)()2n n =-+ 所以218(2n n T n -=-+..…………………………………………………………………………12分(18)解：（Ⅰ）由题意知，区域D 在圆内，如图所示．设“在圆C 内部或边界上任取一点，求点落在区域D 内”为事件A ，由于圆C 的面积为25π，而区域D 的面积为188322⨯⨯=，由几何概型概率计算公式可得,在圆C 内部或边界上任取一点，落在区域D 内的概率32().25P A =π…………………6分（Ⅱ）设“在圆C 内部或边界上任取一整点，整点落在区域D 内”为事件B ，由圆C 的对称性，第一象限内及x 轴正半轴上的整点有(4,1),(4,2),(4,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(5,0),(4,0),(3,0),(2,0),(1,0)共计20个，所以圆C 内部或边界上整点共计204181⨯+=个，其中落在区域D 内的整点在x 轴上方的有(3,1),(2,1),(1,1),(1,2),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)---- 共计16个，根据区域D 关于x 轴对称，故落在区域D 内的整点有162941⨯+=个，所以圆C 内部或边界上任取一整点，整点落在区域D 内的概率41().81P B =……………………………………………12分 (19)解：（Ⅰ）在图1中，6,3,90,60.AC BC ABC ACB ==∠=︒∴∠=︒ 因为CD 为ACB ∠的平分线，所以3023.B C D A D C D ∠=∠︒∴=…………………………2分4,30, 2.CE DCE DE =∠=︒∴=则222CD DE EC +=，所以90,.CDE DE DC ∠=︒⊥………………………………………………4分在图2中，又因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD 平面ACD CD =，DE ⊂平面ACD ， 所以DE ⊥平面B .……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）在图2中，作BH CD ⊥于H ，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD 平面ACD CD =， BH ⊂平面B C ，所以BH ⊥平面A C .……………………………………………………………8分 在图1中，由条件得19题图2 19题图13.2BH = …………………………………………………………………………9分 所以三棱锥A BDE -的体积111322sin12033222A BDEB ADE ADE V V S BH --∆==⋅=⨯⨯⨯︒⨯=……………………………………12分(20) 解：（Ⅰ）因为2(),ln x f x x=其定义域为(0,1)(1,).+∞ 2(2ln 1)(),(ln )x x f x x -'=由()0f x '>得()f x的单调递增区间为)+∞， 由()0f x '<得()f x的单调递减区间为………………………………………………6分（Ⅱ）函数()()g x tf x x =-在21[,1)(1,]e e 上有两个零点,等价于ln ()x h x x=与y t =在21[,1)(1,]e e 上有两个不同的交点.由21ln ()0x h x x -'=>得0x e <<，21ln ()0x h x x-'=<得x e >，所以当x e =时()y h x =有极大值,即最大值1().h e e= 又2212(),(),(1)0h e h e h e e =-==且220e e>>-，所以实数t 的取值范围为221[,)e e.……………12分 (21) 解：（Ⅰ）由椭圆定义知，48a =，即2a =. ……………………………………………………1分 由22||1F A =得，1a c -=，所以1c =，从而2223b a c =-=.………………………………………4分 故椭圆方程为22143x y +=.………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，故设其方程为(3)y k x =+，又设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y 由22(3),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)2436120.k x k x k +++-= 222223(24)4(34)(3612)00.5k k k k ∆=-⨯+->⇒<<由韦达定理得212224.34k x x k +=-+………………………………………………………………………7分 因为2(1,0)F ，由22AF F C λ=得111133331(1,)(1,),1,x y x y x y x y λλλ---=-∴=+=-. 代入椭圆方程得22111(1)()143x y λλ-+-+=，与2211143x y +=联立消去1y 得1532x λ-=. 同理可得2532x μ-=，所以12103()3.22x x λμ-++==- 所以2122243342k x x k +=-=-+，解之得213(0,)45k =∈，所以1.2k =± 所求直线方程为1(3)2y x =±+， 即 230,x y ++= 或230.x y -+=…………12分（22） 证明：（Ⅰ）连接CF ,OF ,因为AC 为直径，则CF AB ⊥，因为,O D 分别为,AC BC 的中点，所以OD ∥AB ，所以CF OD ⊥.因为OF OC =,则EOF EOC ∠=∠,且OD OD =，所以OCD ∆≌OFD ∆.所以90OCD OFD ∠=∠=.所以,O C D F 四点共圆. ……………………………………………………………………………5分（Ⅱ）设圆的半径为r ，因为OF FD ⊥，所以FD 是圆的切线，所以2(2)DF DE DE r =⋅+()DE DO r =⋅+ 1122DE DO DE r DE AB DE AC =⋅+⋅=⋅+⋅. 故22DF DE AB DE AC =⋅+⋅.………………………………………………………………10分23．解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=⎩ 消去参数t 得tan (1)y x α=+. 曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+，展开得2cos 2sin ρθθ=+，化为直角坐标方程得22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=.……………………………………………………5分（Ⅱ）因为圆C 的直角坐标方程22(1)(1)2x y -+-=，圆心为(1,1)，则圆心到直线tan (1)y x α=+的距离2d ===， 化简得27t a n 8t a n 10αα-+=，解之得t a n α=或1tan .7α=…………………………………10分 24．解：（Ⅰ）14114()(11)11411a b a b a b+=++++++++1144(5)411b a a b ++=++++19(5.44+=≥ 等号成立条件为14411b a a b ++=++，而2a b +=，所以15,.33a b ==…………………………………5分 （Ⅱ）由均值不等式得22222222222,2,2a b a a b a b b b a a b ab +++≥≥≥. 三式相加得2222222222222(1),a b a b a b ab ab ab a b ++++++≥= 所以2(a b ++≥……………………………………………………………………10分。

河南省濮阳市2015届高三上学期期末摸底考试文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}1,3,5B =，则A B =ð（ ）A ．{}1,3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．∅ 2、复数21i-的虚部是（ ） A ． B ．i - C ． D ．1-3、函数y = ）A ．{}1x x ≤B ．{}0x x ≥C ．{}10x x x ≥≤或D ．{}01x x ≤≤4、如图，在正方形C OAB 内任取一点，取到函数y x =的图象与x 轴正半轴之间（阴影部分）的点的概率等于（ ）A ．13B ．12C ．34 D ．455、已知双曲线C :222x y m -=（0m >），则双曲线C 的离心率等于（ ）A B C ．2 D ．126、若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 7、已知等比数列{}n a 中，1633a a +=，2532a a =，公比1q >，则38a a +=（ ）A ．66B ．132C ．64D ．1288、函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期是π，下面是函数()f x 对称轴的是（ ） A ．x π= B ．2x π=C ．4x π=D ．8x π=9、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．32C ．12 D ．3410、抛物线24y x =的焦点为F ，点(),x y P 为该抛物线上的动点，又已知点()2,2A 是一个定点，则F PA +P 的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．11、点A 、B 、C 、D 在同一球面上，D A ⊥平面C AB ，D C 5A =A =，3AB =，C 4B =，则该球的表面积为（ ）A ．252π B ． C ．50π D ．503π12、已知函数()x f x e x =+，()ln g x x x =+，()ln 1h x x =-的零点依次为a ，b ，c ，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a b c <<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、向量()3,4a =，(),2b x =，若a b a ⋅=，则实数x 的值为 ．14、已知一组数据1x ，2x ，3x 的方差为3，则数据123x +，223x +，323x +的方差是 ． 15、函数()212log 231y x x =-+的递减区间为 ．16、在C ∆AB 中，()sin C 2cos sin C B +=B ，则CA =AB． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，12a =，36a =．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 设()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18、（本小题满分12分）已知三棱柱111C C AB -A B 中，侧棱垂直于底面，5AB =，C 4A =，C 3B =，14AA =，点D 在AB 上．()I 若D 是AB 中点，求证：1C //A 平面1CD B ；()II 当D 15B =AB 时，求三棱锥1CD B -B 的体积． 19、（本小题满分12分）某普通高中高三年级共有360人，分三组进行体质测试，在三个组中男、女生人数如下表所示．已知在全体学生中随机抽取名，抽到第二、三组中女生的概率分别是0.15、I 求x ，y ，z 的值；()II 为了调查学生的课外活动时间，现从三个组中按1:60的比例抽取学生进行问卷调查，三个组被选取的人数分别是多少？()III 若从()II 中选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求参加访谈的两名学生“来自两个组”的概率．20、（本小题满分12分）已知椭圆E 长轴的端点为()3,0A -、()3,0B ，且椭圆上的点到焦点的最小距离是．()I 求椭圆E 的标准方程；()II O 为原点，P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，直线AP ，BP 分别交y 轴于M ，N ，问OM ⋅ON 是否为定值，说明理由．21、（本小题满分12分）已知()ln f x x x ax =-，()22g x x =--．()I 当0a =时，求函数()f x 的单调区间；()II 对一切()0,x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线D A E ，CFD ，CG E 都是O 的割线，已知C A =AB ． ()I 求证：FG//C A ；()II 若CG 1=，CD 4=．求D GFE的值． 23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C :2sin 2cos a ρθθ=（0a >），过点()2,4P --的直线的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（是参数），直线与曲线C 分别交于M 、N 两点．()I 写出曲线C 和直线的普通方程；()II 若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()214fx x x =+--．()I解不等式()0f x>；()II若()34+-≥对一切实数x均成立，求m的取值范围．f x x m河南省濮阳市2015届高三上学期期末摸底考试文科数学参考答案一、选择题：二、填空题13、-1 14、1215、()∞+，116、1三、解答题17、解:(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d由21=a 和6213=+=d a a ，解得2=d ……2分()(),212211n n d n a a n =-+=-+=∴即数列{}n a 的通项公式.2n a n = ……6分(Ⅱ))2(2+⋅=n n a n b =111)1(1)22(2+-=+=+n n n n n n ……8分 11113121211+=+-+⋅⋅⋅+-+-=n nn n S n ……12分 18、证明:(Ⅰ)证明:连结BC 1,交B 1C 于E ,连结DE . ∵ 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1,D 是AB 中点, ∴侧面BB 1C 1C 为矩形,DE 为△ABC 1的中位线 ∴ DE// AC 1. ---------------2分 ∵DE ⊂平面B 1CD , AC 1⊄平面B 1CD ,∴AC 1∥平面B 1CD . --------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)∵ AC ⊥BC ,34==BC AC ， ∴621=⋅=∆BC AC S ABC ,∵51=AB BD∴5651==∆∆ABC BCD S S -----------------------------------------------------------6分 又∵BCD BB 平面⊥1,41=BB -----------------------------------------------------8分∴=-1CDB B V 58456313111=⨯⨯=⋅=∆-BB S V BCD BCD B ---------------------------------12分 19、解:(Ⅰ)5415.0360=⨯=x ；361.0360=⨯=y ；246694365486360=----=-z ；-----------------------------------------------3分(Ⅱ)由题意知，三个组分别有180人、120人、60人,按60:1的比例各组被选的人数分别是3人、2人、1人 --------------6分(III)第一组选出的学生记为321A A A ，，；第二组选出的学生记为21B B ，；第三组选出的学生记为C.从这6名学生中随机选出两名学生的所有可能的基本事件有：21A A 、31A A 、11B A 、21B A 、C A 1、32A A 、12B A 、22B A 、C A 2、13B A 、23B A 、C A 3、21B B 、C B 1、C B 2共15个. -------------------------------------------------9分“来自两个组”的事件包括11B A 、21B A 、C A 1、12B A 、22B A 、C A 2、13B A 、23B A 、C A 3、C B 1、C B 2共11个，所以“来自两个组”的概率为1511=P ---------12分 20、解:（Ⅰ）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且3a =---------------2分 又12a c c -=⇒=，所以2225b a c =-=故椭圆E 的标准方程为22195x y +=． -------------------------------------5分（Ⅱ）设),(00y x P ，则22005945x y +=，且(3,0),(3,0)A B -又直线00:(3)3y PA y x x =++，直线00:(3)3y PB y x x =-- -----------------7分 令0x = ，得：000033(0,),(0,)33y y OM ON x x -==+- --------------------10分故 ⋅220022009545599y x x x --===--为定值. ------------------------------12分 21、解：（1）0=a 时，()x x x f ln =， ()1ln +='x x f ------------------------2分令()0='x f 得e x 1=，当ex 10<<时()0<'x f ，当e x 1>时()0>'x f -----------------------------------------------4分所以()x f 的单调递增区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e ,递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10， ------------6分 （2）对一切()+∞∈,0x ，()()x g x f ≥恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立. 也就是xx x a 2ln ++≤在()+∞∈,0x 恒成立. --------------------------------8分令()x x x x F 2ln ++= ，则()()()2222122211x x x x x x x x x F -+=-+=-+='-------10分 在()1,0上()0'<x F ，在()∞+，1上()0'>x F ，因此，()x F 在1=x 处取极小值，也是最小值，即()()31min ==F x F ，所以3≤a -------------------12分22、解:(Ⅰ)因为AB 为切线,AE 为割线,2AB AD AE =⋅,又因为AC AB =,所以2AD AE AC ⋅=.所以AD ACAC AE=,又因为EAC DAC ∠=∠, 所以ADC △∽ACE △,所以ADC ACE ∠=∠,又因为ADC EGF ∠=∠,所以EGF ACE ∠=∠,所以AC FG //------------------------------5分 (Ⅱ)由题意可得:F D E G ,,,四点共圆,CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,.CGF ∆∴∽CDE ∆. CG CDGF DE =∴. 又∵4,1==CD CG ,∴GFDE=4 ---------------------------------------------10分 23、解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为2:2,C y ax =直线的普通方程为20x y --= -------------------4分(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得()2116402t t a -++=,1212,328t t t t a ∴+==+，--------------------------------------------------------6分 又 |||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -===, 由题意知,21221212215)(||||t t t t t t t t =+⇒=-,代入得1=a ---------------------------------------------------10分24、解:(Ⅰ)当x 4≥时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0 得x >-5，所以x 4≥成立当421<≤-x 时,f (x )=2x +1+x -4=3x -3>0得x >1,所以1<x <4成立当21-<x 时f (x )=-x -5>0得x <-5所以x <-5成立，综上,原不等式的解集为{x |x >1或x <-5} -----------------------------------------5分 （Ⅱ）f (x )+43-x =|2x +1|+2|x -4|9|)82(12|=--+≥x x当时等号成立421≤≤-x所以m≤9 --------------------------------------------------------------------------10分。

试卷第1页，共8页绝密★启用前2015届河南省濮阳市高三上学期期末摸底考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：169分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数，，的零点依次为，，，则（ ） A ． B ．C ．D ．2、点、、、在同一球面上，平面，，，，则该球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第2页，共8页3、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．4、函数（）的最小正周期是，下面是函数对称轴的是（ ）A ．B ．C ．D ．5、已知等比数列中，，，公比，则（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知双曲线（），则双曲线的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．8、复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第3页，共8页9、已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．10、如图，在正方形内任取一点，取到函数的图象与轴正半轴之间（阴影部分）的点的概率等于（ ）A ．B ．C ．D ．11、若程序框图如图示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第4页，共8页12、抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知点是一个定点，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第5页，共8页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、在中，，则．14、函数的递减区间为 ．15、已知一组数据，，的方差为，则数据，，的方差是 ．16、向量，，若，则实数的值为 ．三、解答题（题型注释）17、（本小题满分12分）已知，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围．18、（本小题满分12分）已知椭圆长轴的端点为、，且椭圆上的点到焦点的最小距离是． （1）求椭圆的标准方程；（2）为原点，是椭圆上异于、的任意一点，直线，分别交轴于，，问是否为定值，说明理由．试卷第6页，共8页19、（本小题满分12分）某普通高中高三年级共有人，分三组进行体质测试，在三个组中男、女生人数如下表所示．已知在全体学生中随机抽取名，抽到第二、三组中女生的概率分别是、．（1）求，，的值；（2）为了调查学生的课外活动时间，现从三个组中按的比例抽取学生进行问卷调查，三个组被选取的人数分别是多少？（3）若从（2）中选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求参加访谈的两名学生“来自两个组”的概率．20、（本小题满分12分）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，点在上．（1）若是中点，求证：平面；（2）当时，求三棱锥的体积．试卷第7页，共8页21、（本小题满分12分）已知数列是等差数列，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，是的一条切线，切点为，直线，，都是的割线，已知．（1）求证：；（2）若，．求的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线（），过点的直线的参数方程为（是参数），直线与曲线分别交于、两点．（1）写出曲线和直线的普通方程；（2）若，，成等比数列，求的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数．试卷第8页，共8页（1）解不等式；（2）若对一切实数均成立，求的取值范围．参考答案1、D2、C3、C4、D5、B6、A7、D8、C9、B10、B11、A12、B13、14、15、16、17、（1）的单调递增区间,递减区间是;（2）.18、（1）;（2）为定值5.19、（1）；；;（2）180人、120人、60人;（3）.20、（1）见解析；（2）.21、（1）; （2）.22、（1）见解析；（2）4.23、（1）;（2）。

河南省濮阳市2015届高三上学期期末摸底考试文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}1,3,5B =，则A B =ð（ ）A ．{}1,3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．∅ 2、复数21i-的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-3、函数y = ）A ．{}1x x ≤ B ．{}0x x ≥ C ．{}10x x x ≥≤或 D ．{}01x x ≤≤ 4、如图，在正方形C OAB 内任取一点，取到函数y x =的图象与x 轴正半轴之间（阴影部分）的点的概率等于（ ） A ．13 B ．12C ．34 D ．455、已知双曲线C:222x y m -=（0m >），则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2 D ．126、若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．87、已知等比数列{}n a 中，1633a a +=，2532a a =，公比1q >，则38a a +=（ ）A ．66B ．132C ．64D ．128 8、函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期是π，下面是函数()f x 对称轴的是（ ）A ．x π=B ．2x π=C ．4x π=D ．8x π=9、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．32C ．12 D ．3410、抛物线24y x =的焦点为F ，点(),x y P 为该抛物线上的动点，又已知点()2,2A 是一个定点，则F PA +P 的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 11、点A 、B 、C 、D 在同一球面上，D A ⊥平面C AB ，D C 5A =A =，3AB =，C 4B =，则该球的表面积为（ ）A ．252π B ．3 C ．50π D ．503π12、已知函数()x f x e x =+，()ln g x x x =+，()ln 1h x x =-的零点依次为a ，b ，c ，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、向量()3,4a =，(),2b x =，若a b a ⋅=，则实数x 的值为 ．14、已知一组数据1x ，2x ，3x 的方差为3，则数据123x +，223x +，323x +的方差是 ． 15、函数()212log 231y x x =-+的递减区间为 ．16、在C ∆AB 中，()sin C 2cos sinC B+=B ，则CA =AB． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，12a =，36a =．()I 求数列{}n a 的通项公式； ()II 设()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18、（本小题满分12分）已知三棱柱111C C AB -A B 中，侧棱垂直于底面，5AB =，C 4A =，C 3B =，14AA =，点D 在AB 上．()I 若D 是AB 中点，求证：1C //A 平面1CD B ； ()II 当D 15B =AB 时，求三棱锥1CD B -B 的体积． 19、（本小题满分12分）某普通高中高三年级共有360人，分三组进行体质测试，在三个组中男、女生人数如下表所示．已知在全体学生中随机抽取1名，抽到第二、三组中女生的概率分I 求x ，y ，z 的值；()II 为了调查学生的课外活动时间，现从三个组中按1:60的比例抽取学生进行问卷调查，三个组被选取的人数分别是多少？()III 若从()II 中选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求参加访谈的两名学生“来自两个组”的概率．20、（本小题满分12分）已知椭圆E 长轴的端点为()3,0A -、()3,0B ，且椭圆上的点到焦点的最小距离是1．()I 求椭圆E 的标准方程；()II O 为原点，P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，直线AP ，BP 分别交y 轴于M ，N ，问OM ⋅ON 是否为定值，说明理由．21、（本小题满分12分）已知()ln f x x x ax =-，()22g x x =--．()I 当0a =时，求函数()f x 的单调区间；()II 对一切()0,x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线D A E ，CFD ，CG E 都是O 的割线，已知C A =AB ．()I 求证：FG//C A ； ()II 若CG 1=，CD 4=．求D GFE的值． 23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C:2s i n2c o s a ρθθ=（0a >），过点()2,4P --的直线l的参数方程为242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 是参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点． ()I 写出曲线C 和直线l 的普通方程；()II 若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()214f x x x =+--．()I 解不等式()0f x >；()II 若()34f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．河南省濮阳市2015届高三上学期期末摸底考试 文科数学参考答案 一、选择题：二、填空题13、-1 14、12 15、()∞+，116、1三、解答题17、解:(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d由21=a 和6213=+=d a a ，解得2=d ……2分()(),212211n n d n a a n =-+=-+=∴即数列{}n a 的通项公式.2n a n = ……6分(Ⅱ))2(2+⋅=n n a n b =111)1(1)22(2+-=+=+n n n n n n ……8分11113121211+=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n n S n ……12分 18、证明:(Ⅰ)证明:连结BC 1,交B 1C 于E ,连结DE .∵ 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1,D 是AB 中点, ∴侧面BB 1C 1C 为矩形,DE 为△ABC 1的中位线 ∴ DE// AC 1. ---------------2分 ∵DE ⊂平面B 1CD , AC 1⊄平面B 1CD ,∴AC 1∥平面B 1CD . --------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)∵ AC ⊥BC ,34==BC AC ， ∴621=⋅=∆BC AC S ABC ,∵51=AB BD ∴5651==∆∆ABC BCD S S-----------------------------------------------------------6分 又∵BCD BB 平面⊥1,41=BB -----------------------------------------------------8分∴=-1CDB B V 58456313111=⨯⨯=⋅=∆-BB S V BCD BCD B ---------------------------------12分19、解:(Ⅰ)5415.0360=⨯=x ；361.0360=⨯=y ；246694365486360=----=-z ；-----------------------------------------------3分(Ⅱ)由题意知，三个组分别有180人、120人、60人,按60:1的比例各组被选的人数分别是3人、2人、1人 --------------6分(III)第一组选出的学生记为321A A A ，，；第二组选出的学生记为21B B ，；第三组选出的学生记为C.从这6名学生中随机选出两名学生的所有可能的基本事件有：21A A 、31A A 、11B A 、21B A 、C A 1、32A A 、12B A 、22B A 、C A 2、13B A 、23B A 、C A 3、21B B 、C B 1、C B 2共15个. -------------------------------------------------9分“来自两个组”的事件包括11B A 、21B A 、C A 1、12B A 、22B A 、C A 2、13B A 、23B A 、C A 3、C B 1、C B 2共11个，所以“来自两个组”的概率为1511=P ---------12分 20、解:（Ⅰ）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且3a =---------------2分 又12a c c -=⇒=，所以2225b a c =-=故椭圆E 的标准方程为22195x y +=． -------------------------------------5分（Ⅱ）设),(00y x P ，则22005945x y +=，且(3,0),(3,0)A B - 又直线00:(3)3y PA y x x =++，直线00:(3)3y PB y x x =-- -----------------7分 令0x = ，得：000033(0,),(0,)33y y OM ON x x -==+- --------------------10分 故 ⋅220022009545599y x x x --===--为定值. ------------------------------12分21、解：（1）0=a 时，()x x x f ln =， ()1ln +='x x f ------------------------2分 令()0='x f 得e x 1=，当ex 10<<时()0<'x f ， 当ex 1>时()0>'x f -----------------------------------------------4分 所以()x f 的单调递增区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e ,递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10， ------------6分 （2）对一切()+∞∈,0x ，()()x g x f ≥恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立. 也就是xx x a 2ln ++≤在()+∞∈,0x 恒成立. --------------------------------8分 令()x x x x F 2ln ++= ，则()()()2222122211x x x x x x x x x F -+=-+=-+='-------10分 在()1,0上()0'<x F ，在()∞+，1上()0'>x F ，因此，()x F 在1=x 处取极小值，也是最小值，即()()31min ==F x F ，所以3≤a -------------------12分22、解:(Ⅰ)因为AB 为切线,AE 为割线,2AB AD AE =⋅,又因为AC AB =,所以2AD AE AC ⋅=.所以AD ACAC AE=,又因为EAC DAC ∠=∠, 所以ADC △∽ACE △,所以ADC ACE ∠=∠,又因为ADC EGF ∠=∠,所以EGF ACE ∠=∠,所以AC FG //------------------------------5分(Ⅱ)由题意可得:F D E G ,,,四点共圆,CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,.CGF ∆∴∽CDE ∆.CGCDGF DE =∴. 又∵4,1==CD CG ,∴GFDE =4---------------------------------------------10分23、解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为2:2,C y ax =直线的普通方程为20x y --= -------------------4分(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得()2116402t t a -++=,1212,328t t t t a∴+==+，--------------------------------------------------------6分 又|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -===,由题意知,21221212215)(||||t t t t t t t t =+⇒=-,代入得1=a ---------------------------------------------------10分 24、解:(Ⅰ)当x 4≥时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0 得x >-5，所以x 4≥成立 当421<≤-x 时,f (x )=2x +1+x -4=3x -3>0 得x >1,所以1<x <4成立 当21-<x 时f (x )=-x -5>0得x <-5所以x <-5成立， 综上,原不等式的解集为{x |x >1或x <-5} -----------------------------------------5分 （Ⅱ）f (x )+43-x =|2x +1|+2|x -4|9|)82(12|=--+≥x x 当时等号成立421≤≤-x所以m≤9 --------------------------------------------------------------------------10分。

洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（文A ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}1x x A =≤，{}220x x x B =-<，则A B =（ ）A ．(]0,1B ．[)1,2C ．()0,1D ．()0,2 2、在C ∆AB 中，“A >B ”是“sin sin A >B ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3、在等差数列{}n a 中，39627a a a +=-，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则11S =（ ）A ．18B ．99C ．198D ．297 4、一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π5、已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6、按如右程序框图，若输出结果为170，则判断框内应填入的条件为（ ）A ．5i ≥B ．7i ≥C ．9i ≥D ．11i ≥ 7、若平面向量()1,2a =-与b 的夹角是180，且35b =，则b 的坐标为（ ）A ．()3,6-B ．()3,6-C ．()6,3-D ．()6,3-8、已知点F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若∆ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2 C．(2,1+ D．(1,1 9、若直线:l 10ax by ++=（0a ≥，0b ≥）始终平分圆:M 224210x y x y ++++=的周长，则22223a b a b +--+的最小值为（ ）A ．45B ．95C ．2D ．9410、函数()sin x f x e x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．34πB ．3πC ．4πD ．6π11、在抛物线22y x =中，焦点到准线的距离为a ，若实数x ，y 满足100x y x y x a -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．1-B ．12C ．5D ．1 12、已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()23f -=-，若数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n nS a n n=+，则()()56f a f a +=（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、设i 是虚数单位，若复数()2ai i +的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为 ．14、已知()1,cos θA -，()sin ,1θB ，若OA +OB =OA -OB （O 为坐标原点），则锐角θ= ．15、若关于x 的不等式220ax x a -+<的解集为空集，则实数a 的取值范围为 ．16、C ∆AB 的内角为A ，B ，C ，点M 为C ∆AB 的重心，如果3sin sin sin C C 0A⋅MA +B⋅MB +⋅M =，则内角A 的大小为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设n n b a =-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18、（本小题满分12分）如图所示茎叶图记录了甲、乙两学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中用m （m ∈N ）表示．()1求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；()2当3m =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥平面CD AB ，底面CDAB 是菱形，点O 是对角线C A 与D B 的交点，M 是D P 的中点，且2AB =，D 60∠BA =． ()1求证：//OM 平面PAB ；()2求证：平面D PB ⊥平面C PA ；()3当三棱锥CD M -B PB 的长．20、（本小题满分12分）已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为2． ()1求椭圆的标准方程；()2设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，在线段F O 上是否存在点(),0m M ，使得Q MP =M ？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分12分）设函数()ln af x x x x=+，()323g x x x =--． ()1讨论函数()()f x h x x=的单调性； ()2如果对任意的s ，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的切线，B 为切点，D A E 是O 的割线，C 是O 外一点，且C AB =A ，连接D B ，BE ，CD ，C E ，CD 交O 于F ，C E 交O 于G ． ()1求证：CD D C BE⋅=B ⋅E ；()2求证：FG//C A ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，过点()2,0P 的直线l 的参数方程为2x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为229x y +=．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．()1求直线l 和圆C 的极坐标方程；()2设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求PA ⋅PB 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲()1设函数()52f x x x a =-+-，R x ∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；()2已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．洛阳市2014-2015学年高中三年级期末考试数 学 试 卷（文A ）参考答案一、选择题：13、2 14、4π 15、4⎫+∞⎪⎪⎣⎭16、6π三、解答题。

2015年河南省高考文科数学试题与答案（word 版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

若在试卷上作答，答题无效。

本试题相应的位置。

3. 考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}N n n x x A ∈-==,23|，集合{}14,12,10,8,6=B ,则集合B A ⋂中元素的个数为（A ）5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (2) 已知点A （0,1），B （3,2），向量()34--=，AC ，则向量=BC(A) (-7，-4) (B) (7,4) (C) (-1,4) (D) (1,4) （3）已知复数z 满足()i i z +=-11，则z=(A)i --2 (B) i +-2 (C) i -2 (D) i +2(4) 如果三个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这三个数为一组勾股数。

从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这三个数构成勾股数的概率为(A)103 (B) 51 (C) 101 (D) 201（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线C:x y 82=的焦点重合，A,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|=(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

-濮阳市一高高三数学周清二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为是正确的选项前面的代号填入答题卷相应的空格中。

1.设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 只可能是( ) A.φ或{1} B.{1} C.φ或{2} D.φ或{1}或{2}2.如果复数miim ++12是纯虚数，那么实数m 等于( )A.-1B.0C.0或1D.0或-13.已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：βα//，则p 是q 的( )A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件4.已知直线02 :=+-m y x l 按向量)3 2(-=，a 平移后得到的直线1l 与圆5)1()2(22=++-y x 相切，那么m 的值为( )A.9或－1B.5或－5C.－7或7D.3或135.在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是( )A.()1 1，-B.()2 0，C.)23 21(，- D. )21 23(，- 6.已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线与抛物线x y 42=的交点到抛物线焦点的距离为( )A.21B.21C.6D.47.若()m x x f ++=)cos(2ϕω，对任意实数t 都有)()4(t f t f -=+π，且1)8(-=πf ，则实数m 的值等于( )A.±1B.±3C.－3或1D.－1或38.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是( )9. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同的坐法种数是（ ）A.234B.346C.350D.36310. 若1)11(21lim =---→x bx a x ,则常数b a ,、的值为 （ ） A.4,2=-=b a ， B. 4,2-==b a ， C. 4,2-=-=b a ， D. 4,2==b a11.当x 、y 满足条件1<+y x 时，变量3-=y xu 的取值范围是( )A.)3 3(，-B.)3131(，- C.]31 31[，- D. )31 0(0) 31(，， - 12.如果数列{}n a 满足21=a ，12=a ，且1111++---=-n n n n n n a a a a a a (n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A.1021 B.921 C.101 D.51二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

高三数学试题（文）参考答案一、DDCAC BDCBB CD二、 13. 15 14. 相切 15.368三、17解：(Ⅰ) 2()()22f x a b a a a b =+⋅-=+⋅- 21sin 1cos 22x x x =+++-1cos 212222x x -=+-12cos 222x x =-sin(2)6x π=- ……………4分 所以22T ππ==， 值域为 ]1,1[- ………………6分 (Ⅱ) ()sin(2)16f A A π=-=.因为5(0,),2(,)2666A A ππππ∈-∈-，所以262A ππ-=，3A π=. …… ……8分由2222cos a b c bc A =+-，得211216242b b =+-⨯⨯，即2440b b -+=.解得2b = ………………10分故11sin 24sin 602322S bc A ==⨯⨯⨯= ………………12分18解：（1）分数在[50,60)的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知分数在[50,60)的频数为2， 所以全班人数为2508.02=，所以分数在[80.90)之间的人数为25-21=4人，对应的频率为16.0254=，所以[80,90)间矩形的高为0.16÷10=0.016 ……………4分 （2）记“至少有一份分数在[90,100]之间”为事件A ，将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6) ，共15个.其中至少有一份在[90,100]之间的基本事件为：(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6) ，共9个. ∴53159)(==A P ． …………8分（3）全班人数共25人，根据各分数段人数计算得各分数段的频率为：………10分所以估计这次测试的平均分为：550.08650.28750.4850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……12分19（1）证明：连BN ，过N 作1BB NM ⊥，垂足为M.N ABB C B 111面⊥ ，N ABB BN 1面⊂，BN C B ⊥∴11 ……………… 2分又BC=4，AB=4，BM=AN=4，AN BA ⊥244422=+=∴BN ，2444222121=+=+=M B NM N B81=BB ，21221BB BN N B =+∴，BN N B ⊥∴1 ……………… 4分 11111111111,B N B C B N B C N B N B C C B =⊂⊂ ，面面N B C BN 11面⊥∴ ……………… 6分（2）连接CN ，332442143131=⨯⨯⨯⨯=⋅⨯=∆-ABN ABN C S BC V , ……………… 8分 又N ABB C B 111平面⊥，所以平面⊥11C C B B 平面NABB 1，且平面 11C CBB 11BB N ABB =，1BB NM ⊥，CB C B NM 11平面⊂，∴ CB C B NM 11平面⊥， ……………………9分312884431311111=⨯⨯⨯=⋅⨯=-CB C B CB C B N S NM V 矩形 …………………11分 此几何体的体积3160312833211=+=+=--CB C B N ABN C V V V ……………………12分 20. 解：（1）由题设),0(313)(')(2>--=-=x xx m x x x f x g令0)(=x g ，得).0(213>+-=x x x m 设),0(31)(3≥+-=x x x x φ则),1)(1(1)('2+--=+-=x x x x φ当)1,0(∈x 时，)(,0)('x x φφ>在)1,0(上单调递增；当),1(+∞∈x 时，)(,0)('x x φφ<在),1(+∞上单调递减。

2014年高中三年级模拟考试文科数学参考答案及评分标准一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13) 2 (14) 48 (15) 31-(16) ()2,5--)5,2( 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分） 解：（1）设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则依题意有q>0,⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1341212124q d q d 解得d=2,q=2. ----------------------------------------3分 所以a n =2n-1, b n =2n-1 ----------------------------------------------------------5分((2)1212--=n n n n b a , S n =1+12212122322523---+-+++n n n n2S n =2+3+2523212232---+-++n n n n ，-----------------------------7分两式相减得：S n =2+2(122212)2121211----++++n n n =2+11123262122112112---+-=----⨯n n n n n -------------------------12分（18）（本小题满分12分）解：（1）依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++，解得 1a =. ………… 4分 （2）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能.由（1）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． …… 8分 （3）设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件B ， 当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学， 所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，事件B 的结果有7种，它们是：(88,90)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92).因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率7()9P B =……12分（19）（本小题满分12分） 证明：（1）∵SA ⊥底面ABCD ，∴SA CD ⊥又AD CD ⊥∴CD ⊥面SAD∴CD AM ⊥…………①…………………………3分又1SA AD ==，且M 是SD 的中点，∴AM SD ⊥……………………② 由①②得AM ⊥面SDC ∴AM SC ⊥ 又AN SC ⊥ ∴SC ⊥面AMN∴平面SAC ⊥平面AMN ……………………………………………………6分（2）∵M 是SD 的中点，∴S ACM D ACM M DAC V V V ---==……………………9分1111113232212S ACM ACD V S SA -∆∴=⋅=⋅⋅= …………12分）根据椭圆方程为．∵离心率为，∴=，a=；﹣=（﹣，（，(21)（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f '(x )＝－x e x ．当x ∈(－∞，0)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )的最大值为f (0)＝0．…5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x ＞0时，f (x )＜0，g (x )＜0＜1． …7分当－1＜x ＜0时，g (x )＜1等价于设f (x )＞x ． 设h (x )＝f (x )－x ，则h '(x )＝－x e x －1．当x ∈(－1，－0)时，0＜－x ＜1，0＜e x ＜1，则0＜－x e x ＜1， 从而当x ∈(－1，0)时，h '(x )＜0，h (x )在(－1，0)单调递减． 当－1＜x ＜0时，h (x )＞h (0)＝0，即g (x )＜1． 综上，总有g (x )＜1． …12分（22）（本小题满分10分）（Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ，所以180︒∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆.………………………………..5分（Ⅱ）因为2⋅=EG EA EB ，则2=EB ，又F 为EB 三等分，所以23=EF ，43=FB ，又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅，所以83=FC ，2=CE …………………….10分（23） （本小题满分10分）（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ；曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x ---------------------------4分 （II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd 所以d 的取值范围是]2235,2235[+-.--------------------------10分 （24.）（本小题满分10分）（I ）不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ ------------------------------5分（II ）要证)()(ab f a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ，从而原不等式成立.----------------------------------------10分。

中原名校2014-2015学年上期第一次摸底考试高三数学（文）试题编审：联谊会数学命题工作组 责任学校:济源一中 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I 卷选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。

）1．已知集合{=|M x y =，集合{}|,x N y y e x R ==∈（e 是自然对数的底数），则M N =A.{}|01x x <≤B. {}|01x x <<C.{}|01x x <<D. ∅ 2．己知a R ∈，则“a=±1”是“21(1)a a -+-i 为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．若sin tan 0a a >，且cos 0tan aa<，则角a 是 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．下列命题中正确的是A ．命题“x R ∃∈，使得210x -<”的否定是“x R ∀∈，均有210x ->”； B ．命题“若cos cos x y =，则x=y ”的逆否命题是真命题：C ．命题”若x=3，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠”； D ．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题．5．设0.10.144,log 0.1,0.4a b c ===，则A. a>b>c B ．b>a>c C ．a>c>b D. b>c>a6．一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三 角形，则该几何体的体积等于A ． B.C. D7若向量a 与b 的夹角为120，且1,2a b ==, c=a+b ，则有A ．c ⊥bB c ⊥ac ．c//b D. c ∥a8．执行如图所示的程序框图，若输出的n=5，则输入整数 p 的最大值是A ．7 B. 8 C ．15 D.169．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则∆POF 的面积为BC ．2 D. 310．己知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的 切线l 与直线3x- y+2=0平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的 前n 项和为n S ，则2014S 的值为 A.20142015 B.20122013 C.20132014 D. 2015201611.己知e 是自然对数的底数，函数()2xf x e x =+-的零点为a ，函数g(x)=lnx+x-2 的零点为b ，则下列不等式中成立的A,(1)()()f f a f b << B.()()(1)f a f b f << C.()(1)()f a f f b << D ．()(1)()f b f f a <<12.已知定义在R 上的函数f (x)满足(2)()f x f x +=-，当(]1,3x ∈-时，(](]1,1()(12),1,3x f x t x x ∈-=--∈⎪⎩，其中t>0，若方程()3x f x =恰有3个不同的实数根， 则f 的取值范围为A.4(0,)3 B.2(,2)3 C. 4(,3)3 D ．2(,)3+∞第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20井）13．已知实数x ，y 满足1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则22z x y =+的最小值是__________14．若直线y= kx -1与圆221x y +=相交于P 、Q 两点，且∠POQ =120（其中O 为原点），则k 的值为____． 15．定义行列式运算12121121a a b b a b a b =-，将函数sin 2cos 2()xxf x =的图象向左平移t(t>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为______.16．在∆ABC中，60,A BC ∠==D 是AB边上的一点，CD =，△CBD 的面积为1，则AC 边的长为_______. 三、解答题：（本丈题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数22()cos sin sin (0),()f x x x x x f x ωωωω=-+>的图象的两条相邻对称轴间的距离等于2π，在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c，若a = b+c=3，()1f A =，求∆ABC 的面积．18.（本小题满分12分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(I)求出表中M ，p 及图中a 的值；(II)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[)20,25内的概率 19（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点 (I)证明：11//BC ACD ； (Ⅱ)设12,AA AC CB AB ====1D ACE -的体积20．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S 21（本小题满分12分） 己知函数2(1)()a x f x x-=，其中a>0 (I)求函数()f x 的单调区间；(II)若直线x-y-l=0是曲线y=()f x 的切线，求实数a 的值；(In)设2()ln ()g x x x x f x =-，求g(x)在区间[]1,e 上的最大值（其中e 为自然对数的底数）【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

2015年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1. 已知集合A ＝{x|0<x <2}，B ＝{x|(x −1)(x +1)>0}，则A ∩B ＝（ ） A (0, 1) B (1, 2) C (−∞, −1)∪(0, +∞) D (−∞, −1)∪(1, +∞)2. 在复平面内，复数2+i i的对应点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A 、B 、C 对面的字母依次分别为（ ）A D 、E 、FB F 、D 、EC E 、F 、D DE 、D 、F 4. 已知⊙M 经过双曲线S:x 29−y 216=1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线上S 上，则圆心M 到双曲线S 的中心的距离为（ ） A 134或73B 154或83C 133D 1635. 将函数y =sin2x(x ∈R)的图象分别向左平移m(m >0)个单位，向右平移n(n >0)个单位，所得到的两个图象都与函数y =sin(2x +π6)的图象重合，则m +n 的最小值为（ ）A 2π3B 5π6C πD 4π36. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 3=52，且a 2+a 4=54，则Sn a n等于（ ）A 4n−1B 4n −1C 2n−1D 2n −17. 执行如图所示的程序框图，任意输入一次x(0≤x ≤1)与y(0≤y ≤1)，则能输出数对(x, y)的概率为（ ）A 14 B 12 C 23 D 348. 曲线C 1:y 2=2px(p >0)的焦点F 恰好是曲线C 2:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点，且曲线C 1与曲线C 2交点连线过点F ，则曲线C 2的离心率是（ ） A √2−1 B√2+12 C √6+√22D √2+19. 如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 有几条不同的旅游路线可走（ ）A 15B 16C 17D 1810. 若函数f(x)的导函数在区间(a, b)上的图象关于直线x =a+b 2对称，则函数y ＝f(x)在区间[a, b]上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．A ①B ②C ③D ③④11. 在△ABC 中，设M 是边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN →=λAB →+μAC →，则λ+μ的值为( )A 12 B 13 C 14 D 112. 定义在R 上的函数y ＝f(x)在(−∞, a)上是增函数，且函数y ＝f(x +a)是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1−a|<|x 2−a|时，有（ ）A f(x 1)>f(x 2)B f(x 1)≥f(x 2)C f(x 1)<f(x 2)D f(x 1)≤f(x 2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 若点P(cosα, sinα)在直线y ＝−2x 上，则tan(α+π4)=________．14. 直线y =1与曲线y =x 2−|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 15. 在三棱锥C −ABD 中（如图），△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，AB ＝4，二面角A −BD −C 的大小为60∘，并给出下面结论： ①AC ⊥BD ； ②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形； ④cos∠ADC =√32； ⑤四面体ABCD 的外接球表面积为32π，其中真命题是________．16. 设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n+1−2n+1+1，n∈N∗，且a1、a2+5、a3成等差数列．则a n＝________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2C2+ccos2A2=32b．(Ⅰ)求证：a、b、c成等差数列；(Ⅱ)若∠B＝60∘，b＝4，求△ABC的面积．18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60∘，Q为AD的中点．(Ⅰ)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(Ⅱ)若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M−BQ−C大小为60∘，并求出PMPC的值．19. 某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：S={0,0≤ω≤1004ω−400,100<ω≤3002000,ω>300，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)合计________________ 10020. 如图，已知椭圆C:x 24+y 2=1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成的两个顶点．（1）设P 是椭圆C 上任意一点，若OP →=mOA →+nOB →，求证：动点Q(m, n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，说明理由． 21. 已知函数f(x)=12x 2，g(x)=elnx ．(1)设函数F(x)=f(x)−g(x)，求F(x)的单调区间；(2)若存在常数k ，m ，使得f(x)≥kx +m ，对x ∈R 恒成立，且g(x)≤kx +m ，对x ∈(0, +∞)恒成立，则称直线y =kx +m 为函数f(x)与g(x)的“分界线”，试问：f(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由．二.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22. 如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE 分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F ． (Ⅰ)求证：C 、D 、G 、E 四点共圆．(Ⅱ)若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG ＝1，GA ＝3，求线段CE 的长．[选修4-4，坐标系与参数方程]23. 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3y =√3t ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+3＝0 (Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24. 已知函数f(x)＝|x−1|．(Ⅰ)解不等式f(x−1)+f(x+3)≥6；(Ⅱ)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，证明f(ab)>|a|f(ba)．2015年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. D3. D4. D5. C6. D7. B8. D9. C10. D11. A12. A13. −1314. (1, 54)15. ①③⑤16. 3n−2n17. （1）acos2C2+ccos2A2=32b，即a(1+cosC)+c(1+cosA)＝3b，由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC＝3sinB，即sinA+sinC+sin(A+C)＝3sinB，可得sinA+sinC＝2sinB，由正弦定理可得，整理得：a+c＝2b，故a，b，c为等差数列；（2）由∠B＝60∘，b＝4及余弦定理得：42＝a2+c2−2accos60∘，∴ (a+c)2−3ac＝16，又由(Ⅰ)知a+c＝2b，代入上式得4b2−3ac＝16，解得ac＝16，∴ △ABC的面积S=12acsinB=12acsin60∘＝4√3；18. （I ）证明：∵ PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴ PQ ⊥AD ， 又∵ 底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60∘，∴ BQ ⊥AD ， 又∵ PQ ∩BQ ＝Q ，∴ AD ⊥平面PQB ，又∵ AD ⊂平面PAD ，∴ 平面PQB ⊥平面PAD ． ( II)∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊥AD ， ∴ PQ ⊥平面ABCD ．以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q(0, 0, 0)，P(0, 0, √3)，B(0, √3, 0)，C(−2, √3, 0)， 设PM →=λPC →(0<λ<1)，则M(−2λ,√3λ,√3(1−λ))， 平面CBQ 的一个法向量是n 1→=(0, 0, 1)， 设平面MQB 的一个法向量为n 2→=(x, y, z)， 则{QM →⋅n 2→=−2λx +√3λy +√3(1−λ)z =0QB →⋅n 2→=√3λy =0 ， 取n 2→=(3−3λ2λ,0,√3)，∵ 二面角M −BQ −C 大小为60∘， ∴ 12=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=|√3|1×√(3−3λ2λ)2+3，解得λ=13，此时PM PC =13．19. 设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A 由200<S ≤600，得150<ω≤250，频数为39， ∴ P(A)=39100⋯．22,8,30,63,7,70,85,1520. 易求A(2, 1)，B(−2, 1)． 设P(x 0, y 0)，则x 024+y 02=1．由OP →=mOA →+nOB →，得{x 0=2(m −n)y 0=m +n，所以4(m−n)24+(m +n)2=1，即．故点Q(m, n)在定圆x 2+y 2=12上．设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则y1y2x1x2=−14．平方得x12x22=16y12y22=(4−x12)(4−x22)，即x12+x22=4．因为直线MN的方程为(x2−x1)y−(y2−y1)x+x1y2−x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d=1221√(x2−x1)2+(y2−y1)2，所以△OMN的面积S=12MN⋅l=12|x1y2−x2y1|=12√x12y22+x22y12−2x1x2y1y2=12√x12(1−x224)+x22(1−x124)+12x12x22=12√x12+x22=1．故△OMN的面积为定值1．21. 解：(1)由于函数f(x)=12x2，g(x)=elnx，因此，F(x)=f(x)−g(x)=12x2−elnx，则F′(x)=x−ex =x2−ex=(x−√e)(x+√e)x，x∈(0, +∞)，当0<x<√e时，F′(x)<0，∴ F(x)在(0, √e)上是减函数；当x>√e时，F′(x)>0，∴ F(x)在(√e, +∞)上是增函数；因此，函数F(x)的单调减区间是(0, √e)，单调增区间是(√e, +∞)．(2)存在.由(1)可知，当x=√e时，F(x)取得最小值F(√e)=0，则f(x)与g(x)的图象在x=√e处有公共点(√e, e2)．假设f(x)与g(x)存在“分界线”，则其必过点(√e, e2)．故设其方程为：y−e2=k(x−√e)，即y=kx+e2−k√e，由f(x)≥kx+e2−k√e对x∈R恒成立，则x2−2kx−e+2k√e≥0对x∈R恒成立，∴ Δ=4k2−4(2k√e−e)=4k2−8k√e+4e=e(k−√e)2≤0成立，因此k=√e，“分界线“的方程为：y=√ex−e2．下面证明g(x)≤√ex−e2对x∈(0, +∞)恒成立，设G(x)=elnx−√ex+e2，则G′(x)=ex−√e=√e(√e−x)x，∴ 当0<x<√e时，G′(x)>0，G(x)为增函数；当x>√e时，G′(x)<0，G(x)为减函数.当x=√e时，G(x)取得最大值0，则g(x)≤√ex−e2对x∈(0, +∞)恒成立，故所求“分界线“的方程为：y=√ex−e2．22. （1）证明：连接BD，则∠AGD＝∠ABD，∵ ∠ABD+∠DAB＝90∘，∠C+∠CAB＝90∘∴ ∠C＝∠AGD，∴ ∠C+∠DGE＝180∘，∴ C，E，G，D四点共圆．…..（2）∵ EG⋅EA＝EB2，EG＝1，GA＝3，∴ EB＝2，又∵ F为EB的三等分点且靠近E，∴ EF=23，FB=43，又∵ FG⋅FD＝FE⋅FC＝FB2，∴ FC=83，CE＝2．…．23. （I）将t＝x+3代入y=√3t，得直线l的普通方程为：√3x−y+3√3=0；曲线C的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+3＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程：(x−2)2+y2＝1−−−−−−−−−−−−−−−−−−(II)设点P(2+cosθ, sinθ)(θ∈R)，则d=|√3(2+cosθ)−sinθ+3√3|2=|2cos(θ+π6)+5√3|2所以d的取值范围是[5√3−22,5√3+22]．--------------------------------24. （1）解不等式f(x−1)+f(x+3)≥6，可得|x−2|+|x+2|≥6．根据绝对值的意义可得|x−2|+|x+2|表示数轴上的x对应点到2、−2对应点的距离之和，而−3和3对应点到2、−2对应点的距离之和正好等于6，故不等式f(x−1)+f(x+3)≥6的解集为{（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，要证f(ab)>|a|f(ba)，只要证|ab−1|>|b−a|，只要证(ab−1)2>(b−a)2．而(ab−1)2−(b−a)2＝a2⋅b2−a2−b2+1＝(a2−1)(b2−1)>0，故(ab−1)2>(b−a)2成立．故要证的不等式f(ab)>|a|f(ba)成立．。

河南省濮阳市数学高三上学期文数期末调研测试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·中山月考) 若集合，则（）A .B .C .D . ∅2. （1分）(2017·莆田模拟) 若复数z满足z2=﹣4，则| |=（）A .B . 3C .D . 53. （1分） (2019高三上·沈河月考) 已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（）A .B .C .D .4. （1分） (2018高二上·湖州月考) 双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .5. （1分）已知是不相等的正数，且，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （1分）设函数的定义域为，则函数和函数的图象关于（）A . 直线对称B . 直线对称C . 直线对称D . 直线对称7. （1分） (2017高一上·焦作期末) 已知α、β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是（）A . 若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βB . 若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l⊥αC . 若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nD . 若l⊥α且l⊥β，则α∥β8. （1分）函数的图像如图所示，为了得到的图像，则只需将的图像（）A . 向右平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向左平移个长度单位9. （1分） (2018高一上·临河期中) 已知，那么（）A . 1B . 0C . 3D . 210. （1分） (2016高一下·宜春期中) 设 =（1，﹣2）， =（m，1），如果向量 + 与2 ﹣平行，则• 等于（）A . ﹣B . ﹣2C . ﹣1D . 011. （1分）(2017·南充模拟) 一个多面体的三视图和直观图如图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF﹣BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为（）A .B .C .D .12. （1分）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（1），f （﹣3）的大小关系是（）A . f（1）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B . f（1）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C . f（1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D . f（1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·柳州月考) 曲线在处的切线的倾斜角为 ________．14. （1分）(2020·漳州模拟) 若实数，满足则的最大值是________．15. （1分）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________16. （1分）、是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，则△ 的面积为________.三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分） (2016高二上·温州期中) 已知数列{an}满足：a1=1，an+1= an+ （n∈N*）．（1）求最小的正实数M，使得对任意的n∈N*，恒有0＜an≤M．（2）求证：对任意的n∈N*，恒有≤an≤ ．18. （2分）将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上面的点数（Ⅰ）点数之和是5的概率；（Ⅱ）设a，b分别是将一枚骰子先后抛掷2次向上面的点数，求式子2a﹣b=1成立的概率．19. （2分）(2017·赤峰模拟) 已知长方形ABCD如图1中，AD= ，AB=2，E为AB中点，将△ADE沿DE 折起到△PDE，所得四棱锥P﹣BCDE如图2所示．（Ⅰ）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；（Ⅱ）当平面PDE⊥平面BCDE时，求三棱锥E﹣PCD的体积．20. （2分）已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，点为椭圆上的一个动点，△ 面积的最大值为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上不重合的四个点，与相交于点，求的取值范围.21. （2分） (2016高一上·苏州期中) 已知函数y=f（x）满足f（x﹣1）=2x+3a，且f（a）=7．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+x在[0，2]上最大值为2，求实数λ的值．22. （2分） (2018高二下·遵化期中) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线在以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为 .（Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线和曲线的交点为、，求 .23. （2分） (2016高二下·长春期中) 已知函数f（x）=|x+2|﹣|x+a|（1）当a=3时，解不等式f（x）≤ ；（2）若关于x的不等式f（x）≤a解集为R，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共14分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

河南省濮阳市高三上学期理数期末(一模)数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知A∩B=B，且A={x|}，若CAB={x|x+4<-x}，则集合B=（）A . {x|-2≤x<3}B . {x|-2<x<3}C . {x|-2<x≤3}D . {x|-2≤x≤3}2. （2分）(2017·鞍山模拟) 复数，且A+B=0，则m的值是（）A .B .C . ﹣D . 23. （2分）给定函数①y=，②y=，③y=|x+1|，④y=﹣2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A . ①②B . ②③C . ②④D . ③④4. （2分） (2019高二上·集宁期中) 已知等比数列的公比，则的值为（）A . 2B . 8C .D . 15. （2分） (2018高二下·遵化期中) 已知函数是上的增函数，则的取值范围（）A .B .C .D .6. （2分）α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（）A . α、β都平行于直线a、bB . α内有三个不共线点到β的距离相等C . b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD . a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β7. （2分）(2020·金堂模拟) 我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题，根据问题的条件绘制如图的程序框图，则输出的，分别是（）A . 12，23B . 23，12C . 13，22D . 22，138. （2分） (2020高三上·渭南期末) 2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（）①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2017·大同模拟) 已知O是坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为l1 ， l2 ，右焦点为F，以OF为直径的圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高三上·渭南期末) 唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A .B .C .D .11. （2分）函数y=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移后关于y轴对称，则满足此条件的φ值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·雅安期中) 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…其通项公式为 ________ ．14. （1分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足++3=0的面积为2015，则ABP的面积为________15. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 的展开式中，的系数是________.（用数字填写答案）16. （1分） (2017高二上·黑龙江月考) 已知球O的表面上四点A,B,C,D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2017·枣庄模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．18. （10分）(2018高一下·新乡期末) 已知的三个内角分别为，，，且.（1）求；（2）已知函数，若函数的定义域为，求函数的值域.19. （10分）(2017·仁寿模拟) 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．20. （10分）(2017·宁波模拟) 设函数f（x）=x2﹣ax﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）当a≥﹣1时，记f（x）的极小值为H，求H的最大值．21. （10分） (2019高二下·蕉岭月考) 已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率，左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（1）求椭圆M的方程；（2）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．22. （5分） (2017高二下·福州期末) 已知曲线C1：，（t为参数）曲线C2： +y2=4．（1）在同一平面直角坐标系中，将曲线C2上的点按坐标变换y′=yx，后得到曲线C′．求曲线C′的普通方程，并写出它的参数方程；（2）若C1上的点P对应的参数为t= ，Q为C′上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）的距离的最小值．23. （10分）(2015·河北模拟) 已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

河南濮阳一中2014-2015学年高三期中考试数学试题（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1i)2i z －＝，则z = ( )A ．1i －＋ B.1－－i C.1i ＋ D.1i －2．设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是 ( )A ．}{2a a ≤ B ．}{1a a ≤ C ．}{2a a ≥ D ． }{1a a ≥ 3．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥C ．若m αγ=，m n ∥，则αβ∥ D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59355,9a Sa S ==则 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≤+0,024y x y x y x ，则y x +2的最大值是（ ）A.7B.4C.2D.86．1e →、2e →是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke →→→=-，122CB e e →→→=+，123CD e e →→→=-，若D B A ,,三点共线，则k 的值是 （ ）A ．1B ．2C ． 1-D ． 2- 7．设0,0.a b >>3a 和3b 的等比中项，则11a b +的最小值为A 8B 4C 1D 148. 已知体积为3的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为( )A.31B.32 C ．1 D. 349. 下列说法错误．．的是 ( ) A ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若 0a ≠，则0ab ≠”B ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题.C ．若命题p ：2,10x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥；D ．“1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件； 10．直线023cos =++y x α的倾斜角的取值范围是（ ）A. ]65,2()2,6[ππππB. ),65[]6,0[πππC.]65,0[πD.]65,6[ππ11．函数()f x 在定义域R 上的导函数是()f x '，若()()2f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，()()10x f x '-<，设()0a f =、b f=、()2log 8c f =，则 ( )A ．a b c <<B ．a b c >>C ．a c b <<D ． c a b <<12．若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数3()log y f x x =-的零点个数是 ( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．直线x y =被圆4)2(22=-+y x 截得弦长为________。

高三年级摸底考试思想政治参考答案
2015．2
一 选择题
1-5 BACDD 6-10 ABDBB 11-15 CBBDD 16-20 DBBBD 21-24 CACD
二 非选择题
25．（1）第一 市场经济的健康发展，需要法律、道德的规范和引导。

每个经济活动参与者都必须尊法、守法用法，保证自己的经济活动符合法律规范。

（3分）第二 在我国的社会主义市场经济体制下，法制性是法治经济应有之义。

要充分发挥市场在资源配置中起决定性作用，顺政府和市场的关系，改变强政府弱市场的现象，释放市场活力。

（分）加强宏观调控是社会主义市场经济的内在要求。

经济、法律纠正政府过度干预的行为。

（分）诚实守信是市场经济正常运行必不可少的条件。

加强社会建设，防止诚信缺失，规范市场秩序。

（）。

2015年河南省普通高中高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A ={x|y =log 2x}，B ={x ∈Z||x|<3}，则A ∩B =( ) A (0, 3) B (−3, +∞) C {1} D {1, 2}2. 已知复数z 的共轭复数为z ¯，且z ¯=2i1+i ，则z 在复平面内的对应点在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3. 已知等边△ABC ，边长为1，则|3AB →+4BC →|等于（ ） A √37 B 5 C √13 D 74. 在区间(2kπ+π2, 2kπ+π)，k ∈Z 上存在零点的函数是（ ）A y =sin2xB y =cos2xC y =tan2xD y =sin 2x5. 已知命题p:∃x 0∈R ，使tanx 0=1，命题q:x 2−3x +2<0的解集是{x|1<x <2}，则以下结论正确的是（ ）A 命题“p 且q”是真命题B 命题“p 且q”是假命题C 命题“￢p 且q”是真命题D 命题“p 且￢q”是真命题 6. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为y =kx(k >0)，离心率e =√5k ，则双曲线方程为（ ） Ax 2a 2−y 24a 2=1 Bx 23b 2−y 2b 2=1 Cx 24b 2−y 2b 2=1 Dx 25b 2−y 2b 2=17.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为√32，且一个内角为60∘的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）A 2√3B 4√3C 8D 48. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 5>0”是“数列{S n }为递增数列”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 9. 根据如图所示的程序框图，输出的结果i =( )A 6B 7C 8D 910. 过点C(0, p)的直线与抛物线x 2=2py(p >0)相交于A ，B 两点，若点N 是点C 关于坐标原点的对称点，则△ANB 面积的最小值为（ ）A 2√2pB √2pC 2√2p 2D √2p 211. 已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +4n 的最小值为（ ） A 32B 53C 256D 不存在12. 在函数f(x)=alnx −(x −1)2的图象上，横坐标在区间(1, 2)内变化的点处的切线斜率均大于1，则实数a 的取值范围是（ ）A [1, +∞)B (1, +∞)C [6, +∞)D (6, +∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13. 平面上有两条相距2a 的平行线，把一枚半径为r(r <a)的硬币任意掷在两线之间，则硬币不与任何一条直线相碰的概率是________．14. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P(2, 3)，则tan(2α+π4)=________．15. 设D 是不等式组{x +2y ≤102x +y ≥3x ≤4y ≥1表示的平面区域，P(x, y)是D 中任一点，则|x +y −10|的最大值是________．16. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若Sn S 2n为常数，则称数列{a n }为和谐数列，若一个首项为1，公差为d(d ≠0)的等差数列为和谐数列，则该等差数列的公差d =________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω>0)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π2．（1）求函数f(x)在[0, π2]上的值域；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB +sinBsinC +cos2B =1，且f(C)=0，求三边长之比a:b:c ．18. 某中学研究性学习小组，为了研究高中文科学生的历史成绩是否与语文成绩有关系，在本校高三年级随机调查了50名文科学生，调查结果表明：在语文成绩优秀的25人中16人历史成绩优秀，另外9人历史成绩一般；在语文成绩一般的25人中有6人历史成绩优秀，另外19人历史成绩一般．（1）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为高中文科学生的历史成绩与语文成绩有关系；（2）将其中某5名语文成绩与历史成绩均优秀的学生分别编号为1，2，3，4，5，某5名语文成绩优秀但历史成绩一般的学生也分别编号为1，2，3，4，5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的2名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．参考数据：k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819. 如图，已知⊙O的直径为AB，点C为⊙O上异于A，B的一点，BC⊥VA，AC⊥VB．（1）求证：VC⊥平面ABC；（2）已知AC=1，VC=2，AB=3，点M为线段VB的中点，求两面角B−MA−C的正弦值．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4，且过点A(√2, √3)．（1）求椭圆C的方程和椭圆的离心率；（2）过点(4, 0)作直线l交椭圆C于P，Q两点，点S与P关于x轴对称，求证：直线SQ恒过定点并求出定点坐标．21. 已知函数f(x)=(x−a)2x(a为常数且a>0)．（1）确定f(x)的极值；（2）证明g(x)=f(x)−227a3恰有三个零点；（3）如果函数ℎ(x)=g(x+λa)的图象经过坐标平面四个象限，求实数λ的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于E，AE⊥CD，垂足为点E．（1）证明：DA平分∠BDE；（2）如果AB=4，AE=2，求对角线CA的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 两条曲线的极坐标方程分别为C1:ρ=1与C2:ρ=2cos(θ+π3)，它们相交于A，B两点．（1）写出曲线C1的参数方程和曲线C2的普通方程；（2）求线段AB的长．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知非零实数m使不等式|x−m|+|x+2m|≥|m||log2|m|对一切实数x恒成立．（1）求实数m的取值范围M；（2）如果a，b∈M，求证：|2a3+b4|<8．2015年河南省普通高中高考数学模拟试卷（文科）答案1. D2. D3. C4. B5. A6. C7. D8. B9. C10. C11. A12. C13. a−ra14. −71715. 816. 217. 解：（1）∵ 函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π2．∴ 12⋅2πω=π2，解得ω=2，即有f(x)=sin(2x−π3)，当0≤x≤π2时，−π3≤2x−π3≤2π3，故x=0时，f(x)min=−√32；当x=5π12时，f(x)max=1，故所求值域为：[−√32, 1]…6分（2）∵ sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴ sinB(sinA+sinC)=2sin2B，由sinB≠0，sinA+sinC=sinB，由正弦定理得：a+c=2b，∵ f(C)=0，∴ sin(2C−π3)=0，又0<C<π，即−π3<2C−π3<5π3，∴ C=π6或C=2π3．由余弦定理得：cosC=a 2+b2−c22ab=a2+b2−(2b−a)22ab=4a−3b2a．当C=π6时，4a−3b2a=√32．∴ (4−√3)a=3b，此时a:b:c=3：(4−√3)：(5−2√3)，当C=2π3时，4a−3b2a=−12，∴ 5a=3b，此时a:b:c=3:5:7．故所求三边之比为：3：(4−√3)：(5−2√3)或3:5:7．18. 解：（1）2×2列联表如下∴ 有99.5%的把握认为高中文科学生的历史成绩与语文成绩有关系．（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是5×5=25种结果，满足条件的事件是被选取的两名学生的编号之和为3的倍数，可以列举出共有(1, 2)(1, 5)(2, 4)(2, 1)(3, 3)(4, 2)(5, 1)(3, 3)(5, 4)共有9种结果，∴ 被选取的两名学生的编号之和为3的倍数的概率是925，被选取的两名学生的编号之和为4的倍数事件数是6，即(1, 3)，(2, 2)，(3, 1)，(3, 5)，(4, 4)，(5, 3)∴ 被选取的两名学生的编号之和为4的倍数的概率是625∴ 被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率925+625=35．19. （1）证明：∵ AB是⊙O的直径，∴ AC⊥BC，又∵ BC⊥VA，AC∩VA=A，∴ BC⊥平面VAC，∴ BC⊥VC，又∵ AC⊥VB且AC⊥BC，VB∩BC=B，∴ AC⊥平面VBC，∴ AC⊥VC，又∵ BC ∩AC =C ，∴ VC ⊥平面ABC ； （2）解：∵ BC ⊥VC ，VC ⊥平面ABC ， ∴ VC ⊥BC ，VC ⊥AC ，又AC ⊥BC ，∴ 以C 为原点，以CA 、CB 、CV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系C −xyz 如图，则A(1, 0, 0)，B(0, 2√2, 0)，V(0, 0, 2)，∴ M(0, √2, 1)， ∴ AM →=(−1, √2, 1)，AB →=(−1, 2√2, 0)，CA →=(1, 0, 0)， 设平面BMA 的法向量为m →=(x, y, z)， 由{m →⋅AM →=0˙，得{−x +√2y +z =0−x +2√2y =0，可取m →=(2√2, 1, √2)，设平面CMA 的法向量为n →=(x, y, z)，由{n →⋅AM →=0˙，得{−x +√2y +z =0−x =0，可取n →=(0, 1, −√2)，∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=√33=−√3333， ∴ 两面角B −MA −C 的正弦值为√3333)=4√6633． 20. 解：（1）根据题意，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为4，且过点A(√2, √3)，则有{a 2=b 2+42a 2+3b2=1，解可得{a 2=8b 2=4， 则c =√a 2−b 2=2，则e =ca =√22， 故所求椭圆的方程为x 28+y 24=1，其离心率为√22；（2）显然直线l 的斜率存在，故可以设l 的方程为y =k(x −4)， ∵ 点S 与P 关于x 轴对称，∴ x s =x p ，y s =−y p ， 联立方程{x 28+y 24=1y =k(x −4)，则可得(2k 2+1)x 2−16k 2x +32k 2−8=0，△=(−16k 2)2−4(2k 2+1)(32k 2−8)>0，解可得−√22<k <√22， 则x s +x Q =16k 22k 2+1，x s ⋅x Q =32k 2−82k 2+1，不妨设x s >x Q ，则x s −x Q =4√22k 2+1√1−2k 2，y s +y Q =k(x s +x Q −8)=−8k 2k 2+1，y s −y Q =k(x s −x Q )=k ⋅4√22k 2+1√1−2k 2， k SQ =y S −yQ x S−x Q=√2k√1−2k 2，记SQ 的中点为M ，则M(x S +x Q2, y S +y Q2)，即则M(8k 22k 2+1, −2√2k2k 2+1√1−2k 2)， SQ 的方程为y =√2k√1−2k 2−√2k √1−2k 2=√2k√1−2k 2−2)，即点(2, 0)在直线SQ 上，同理若x s <x p ，点(2, 0)在直线SQ 上， 综合可得：直线SQ 恒过定点(2, 0)． 21. 解：（1）f(x)=x 3−2ax 2+a 2x∴ f′(x)=3x 2−4ax +a 2=(3x −a)(x −a)∵ a >0时，a >a3，f(x)在(−∞, a3)和(a, +∞)上单调递增，在(a3, a)上单调递减，∴ 当a =a 3时，f(x)有极大值f(a3)=4a 327，当x =a 时，f(x)有极小值f(a)=0；（2）由（1）知g(x)=f(x)−227a 3在(−∞, a 3)和(a, +∞)上单调递增，在(a 3, a)上单调递减， 且g(a3)=227a 3>0，g(a)=−227a 3<0，又g(−a)=−11027a 3<0，g(2a)=5227a 3>0，∴ g(x)分别在区间(−∞, a3)，(a3, a)，(a, +∞)各有一个零点， ∴ g(x)=f(x)−227a 3恰有三个零点；（3）∵ g(x)=(x −a)2x −227a 3=(x −2a3)(x 2−43ax +a 29)∴ g(2a3)=0，g(0)=−227a 3于是{x 1+x 2=4a3x 1x 2=a29所以g(x)的图象给过坐标平面的第一三四象限， 由图象可知，ℎ(x)=g(x +λa)的图象经过坐标平面四个象限时当且仅当λa 满足x 1<λa <x 2，即(λa −x 1)(λa −x 2)<0∴ λ2a 2−a(x 1+x 2)λ+x 1x 2<0， ∴ λ2a 2−43a 2λ+a 29<0，∴ λ2−43λ+19<0，∴2−√33<λ<2+√33．22. （1）证明：∵ AE 是⊙O 的切线，∴ ∠DAE =∠ABD ， ∵ BD 是⊙O 的直径，∴ ∠BAD =90∘， ∴ ∠ABD +∠ADB =90∘， 又∠ADE +∠DAE =90∘， ∴ ∠ADB =∠ADE ． ∴ DA 平分∠BDE ．（2）解：由（1）可得：△ADE ∽△BDA ，∴ AEAD =ABBD ，∵ AB =4，AE =2，∴ BD =2AD ． ∴ ∠ABD =30∘． ∴ ∠DAE =30∘． ∴ DE =AEtan30∘=2√33． 由切割线定理可得：AE 2=DE ⋅CE ， ∴ 解得CD =4√33， 又AD =4√33，∠ADC =120∘，∴ 由余弦定理可得AC 2=(4√33)2+(4√33)2−2×4√33×4√33cos120∘=16，∴ AC =4．23. 解：（1）C 1:ρ=1的普通方程为x 2+y 2=1，其参数方程为{x =cosαy =sinα（α为参数）． C 2:ρ=2cos(θ+π3)，化为ρ2=2×12ρcosθ−2×√32ρsinθ， ∴ x 2+y 2=x −√3y ，即x 2+y 2−x +√3y =0．（2）联立{x 2+y 2=1x 2+y 2−x +√3y =0，解得{x =1y =0，{x =−12y =−√32． ∴ |AB|=12)√32)=√3．24. （1）解：由题意可令x =my ，则原不等式即为|my −m|+|my +2m|≥|m|log 2|m|， 即有|y −1|+|y +2|≥log 2|m|， 则(|y −1|+|y +2|)min ≥log 2|m|，由于|y −1|+|y +2|≥|(y −1)−(y +2)|=3， 即有(|y −1|+|y +2|)min =3， 则log 2|m|≤3，解得|m|≤8， 又m ≠0，则有实数m 的取值范围M =[−8, 0)∪(0, 8]； （2）证明：a ，b ∈[−8, 0)∪(0, 8]， 即有0<|a|≤8，0<|b|≤8， 则|2a 3+b 4|≤|2a 3|+|b4|≤(23+14)×8=223<8．。