2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1学案：第2讲 章末分层突破 Word版含解析

庖丁巧解牛知识·巧学一、弦切角1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.2.弦切角的特点：(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切.误区警示弦切角定义中的三个条件缺一不可.图2-4-2各图中的角都不是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.图2-4-23.如图2-4-3所示，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部.图2-4-3二、弦切角定理1.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.2.定理的证明：由于弦切角可分为三类，即图2-4-3所示的情况，所以在证明定理时分三种情况加以讨论：当弦切角一边通过圆心时〔图2-4-4（1）〕，显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角；当圆心O在∠CAB外时〔图2-4-4（2）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC；当圆心O在∠CAB内时〔图2-4-4（3）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.图2-4-43.在证明弦切角定理的过程中，我们从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程，要学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.知识拓展由弦切角定理，可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等，我们把这一结论称为弦切角定理的推论，它也是角的变换的依据.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.问题·探究问题到目前为止，对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、弦切角，它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系，这三种角在证明题和计算题中经常用到，它们是几何综合题中不可缺少的知识点.它们相互之间有哪些联系和区别？如何把握这些联系和区别？思路:从理解圆心角、圆周角、弦切角的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系入手思考.探究:圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系，对于我们在圆中的计算、证明，起着举足轻重的作用，将这些知识总结对比列表如下，你可以在比较中把握其异同点，从而快速、准确地应用于解决问题.名称圆心角圆周角弦切角定义顶点在圆心的角顶点在圆上；两边和圆相交顶点在圆上；一边和圆相交；另一边和圆相切图形有关定理①圆心角的度数等于它所对的弧的度数②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半弦切角等于它所夹弧所对的圆周角有关推论四者关系定理的推论圆周角定理推论①、②、③弦切角定理的推论角与弧的关系∠AOB的度数=的度数∠ACB的度数=21的度∠ACB的度数=21的度典题·热题例1如图2-4-5，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB 与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长.J图2-4-5思路分析：∠BAE为弦切角，于是∠BAE=∠C，再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度数，进而解直角三角形即可.解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE.又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°.2.则有BE=1，AB=3，BC=3，AC=3深化升华本题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型，求解此类题时，要注意弦切角在角的转换中的作用，本题正是由于这一条件，沟通了角之间的数量关系.例2如图2-4-6，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.图2-4-6思路分析：连结DF，构造弦切角，于是∠FDC=∠DAC，根据AD是△ABC中∠BAC的平分线,得∠BAD=∠DAC，而∠BAD与∠EFD对着同一段弧，所以相等，由此建立∠EFD与∠FDC的相等关系，根据内错角相等，可以断定两直线平行.证明：连结DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC=∠DAC.∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC.方法归纳证明两条直线平行的方法有：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行等.证题时可以根据图形与已知合理选择.本题由于有切线，所以考虑弦切角和它所对的圆周角.例3如图2-4-7，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E.图2-4-7（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6 cm，BC=4 cm，求AE的长.思路分析：第（1）问中的全等已经具备了AB=AC，再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系；对于（2），则利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程获得AE的长.（1）证明：∵XY 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2. ∵BD ∥XY ，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∵∠3=∠4，∴∠2=∠4.∵∠ABD=∠ACD ，又∵AB=AC ，∴△ABE ≌△ACD.（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB ，∴△BCE ∽△ACB. ∴CBCEAC BC. ∴AC·CE=BC 2，即AC·(AC-AE)=BC 2. ∵AB=AC=6，BC=4，∴6(6-AE)=16. ∴AE=310（cm ）. 深化升华 本题利用平行线、弦切角、圆周角等进行了角的转换，利用相似建立方程求线段的长度，综合应用时，必须非常熟悉图形中的各个量，盯准要求的数值，向图形和已知索取条件.。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线章末分层冲破学案北师大版选修4-1[自我校对]①相切②相交③抛物能④双曲线球的截面的半径为R，圆的半径为r，则有r2＋OO′2＝R2.已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC ＝CA＝2，求球面面积.【出色点拨】设过A，B，C三点截面圆的圆心为OO′，则OO′⊥平面ABC，且OO′＝1 2R，由△ABC为等边三角形，易知O′为△ABC的中心，在O′A＝33AB＝233.在Rt△OO′A中，由勾股定理得出R ，从而求出球面面积.【规范解答】 如图，过A ，B ，C 三点截面圆的圆心为O ′，连接AO ′，OO ′，AO ，则OO ′⊥平面ABC ，∴OO ′⊥AO ′.在△ABC 中，∵AB ＝BC ＝CA ＝2， ∴△ABC 为边长是2的正三角形， ∴AO ′＝33AB ＝233. 设球的半径为R ，则AO ＝R ，OO ′＝12R .在Rt△AO ′O 中，由勾股定理得AO 2＝AO ′2＋OO ′2，即R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2，∴R ＝43， 从而球面的面积为S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝649π.[再练一题]1.(全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ­ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )【导学号：】π π ππ【解析】 如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O ­ABC ＝V C ­AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ­ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ­ABC 最大为13×12R 2×R ＝36， ∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C. 【答案】 C圆柱、圆锥的截面.设圆锥的底面半径为2，高为3，求： (1)内接正方体的棱长；(2)内切球的表面积.【出色点拨】 作出圆锥的轴截面，利用平面几何的知识求解.【规范解答】 (1)过正方体的一极点作圆锥的一个轴截面，如图所示.设正方体的棱长为a ，则O ′C ′＝22a ，O ′O ＝a . 由△VO ′C ′∽△VOF ， ∴VO ′∶VO ＝O ′C ′∶OF ， 即(3－a )∶3＝22a ∶2，∴a ＝182－24. (2)作圆锥的一个轴截面，如图，设内切球的半径为R ，则VB ＝22＋32＝13. ∵BO 为∠ABV 的平分线， ∴VO ∶OD ＝VB ∶BD ， 即(3－R )∶R ＝13∶2， 解得R ＝23(13－2)，∴S 球＝4πR 2＝4π×49(13－2)2＝169(17－413)π. [再练一题]2.如图2­1，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积为( )图2­1π π ππ【解析】 由已知圆柱底面半径r ＝2. 即直径为4.设截面与圆柱母线成α角，则sin α＝45，∴cos α＝35.∴几何体的最长母线长为2＋2cos α＝2＋5×35＝5.用一个一样的几何体补在上面，可得一个底半径r ＝2，高为7的圆柱，其体积为V ＝π×22×7＝28π.∴所求几何体的体积为12V＝14π.【答案】C圆锥曲线的几何性质如图2­2，设动点P 到点A (－1,0)和B (1,0)的距离别离为d 1和d 2，∠APB ＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d 1d 2sin 2θ＝λ.证明：动点P 的轨迹C 为双曲线.图2­2【出色点拨】 在△PAB 中由余弦定理可得|d 1－d 2|＝21－λ∵0<λ<1，|c |－λ<1,0<1－λ<1，∴|d 1－d 2|<2＝|AB |，由双曲线的概念知动点P 的轨迹是A ，B 为核心的双曲线.【规范解答】 在△PAB 中，|AB |＝2， 则22＝d 21＋d 22－2d 1d 2cos 2θ， 4＝(d 1－d 2)2＋4d 1d 2sin 2θ， 即|d 1－d 2|＝4－4d 1d 2sin 2θ ＝21－λ＜2(常数)，∴点P 的轨迹C 是以A ，B 为核心，实轴长为2a ＝21－λ的双曲线. [再练一题]3.已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为12，则Dandelin 球的半径是__________.【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2c＝4c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.∴b ＝a 2－c 2＝3，∴Dandelin 球的半径为 3.【答案】 3转化与化归的思想在研究平面与圆柱面或圆锥面的截线性质时，往往借助Dandelin双球——内切于圆柱面的球.此时，几何体的结构较为复杂.因此在处置这种问题时，可作圆柱面或圆锥面的轴截面(过轴的截面)，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决.即立体问题平面化.在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球，两球的球心距离为13，若作一个平面这两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆.求此椭圆的长轴长.【出色点拨】作出圆柱面的轴截面，借助Dandelin双球的性质，转化为平面几何知识求解.【规范解答】如图为圆柱面的轴截面图.AB为与两球O1和O2相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB过圆柱的几何中心O.∵OO1⊥OD，O1C⊥OA，∴∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，∴Rt△OO1C≌Rt△AOD，∴OA＝OO1，∴AB＝2AO＝2OO1＝O1O2＝13.∵AB即为椭圆的长轴，∴椭圆的长轴长为13.[再练一题]4.如图2­3所示，圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C 的最短距离为( )图2­3cmπ2＋4 cmcmcm【解析】如图是圆柱的侧面展开图，则AC长为圆柱面上从A到C的最短距离.设圆柱的底面半径为r ， 则r ＝52.∴底面圆周长l ＝2πr ＝5π， ∴AB ＝52π.AD ＝BC ＝5，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝ 52π2＋52＝52π2＋4(cm). 【答案】 B1.(全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右极点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )【解析】 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ， 3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.故选D. 【答案】 D2.(全国卷Ⅰ)直线l 通过椭圆的一个极点和一个核心，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )【导学号：】【解析】 不妨设直线l 通过椭圆的一个极点B (0，b )和一个核心F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.【答案】 B3.(浙江高考)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右核心别离为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________.【解析】 ∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右核心别离为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8.【答案】 (27，8)4.(江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为五、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们从头制作成整体积与高均维持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______.【解析】 设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7. 【答案】 7。

2017~2018学年人教A版高中数学选修4-1全册学案汇编目录第一讲相似三角形的判定及有关性质 (1)一平行线等分线段定理 (1)二行线分线段成比例定理 (10)三．相似三角形的判定1 (20)四．相似三角形的性质2 (28)五角三角形的射影定理 (37)六本讲高考热点解读与高频考点例析 (44)第二讲直线与园的位置关系 (48)一圆周角定理 (48)二圆内接四边形的性质与判定定理 (57)三圆的切线的性质及判定定理 (67)四弦切角的性质 (79)五与圆有关的比例线段 (88)六本讲高考热点解读与高频考点例析 (98)第三讲圆锥曲线性质的探讨 (103)第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理1．平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)用符号语言表述：已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′(如图)，如果AB＝BC，那么A′B′＝B′C′.(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线，它是由三条或三条以上的平行线组成的．(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的推论(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．(2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．推论既可用来平分已知线段，也可用来证明线段的倍数问题．l2∥l3∥l4，l，l′分别交l1，l2，l3，l4如图，已知直线l于A，B，C，D和A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD.求证：A1B1＝B1C1＝C1D1.直接利用平行线等分线段定理即可．∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝BC，∴A1B1＝B1C1.∵直线l2∥l3∥l4，且BC＝CD，∴B1C1＝C1D1，∴A1B1＝B1C1＝C1D1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．1．如图，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BE等于( )A．9 B．10 C．11 D．12解析：选A 过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BE＝9.2．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′.求证：A′D′＝B′C′.证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于O点，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′.同理，O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′.E.求证：AG＝2DE.AF＝FC，GF∥EC→AG＝GE→△BDG≌△CDE→AG＝2DE在△AEC 中， ∵AF ＝FC ，GF ∥EC ， ∴AG ＝GE . ∵CE ∥FB ，∴∠GBD ＝∠ECD ，∠BGD ＝∠E . 又BD ＝DC ， ∴△BDG ≌△CDE . 故DG ＝DE ，即GE ＝2DE ， ∴AG ＝2DE .此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．3.如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE 平行于AB 交BC 于E ，AD ＝6，求BE 的长．解：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以OA ＝OC ，BC ＝AD . 因为AB ∥DC ，OE ∥AB ， 所以DC ∥OE ∥AB . 因为AD ＝6，所以BE ＝EC ＝12BC ＝12AD ＝3.4．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F .求证：AF ＝13AC .证明：如图，过D 作DG ∥BF 交AC 于点G . 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DG ∥BF ，∴G 为CF 的中点，即CG ＝GF . 在△ADG 中，E 是AD 的中点，EF ∥DG ，∴F 是AG 的中点，即AF ＝FG . ∴AF ＝13AC .求证：AM ＝BM .解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． 过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E .∵AD ∥BC ，∴AD ∥EM ∥BC . 又∵M 是CD 的中点， ∴E 是AB 的中点． ∵∠ABC ＝90°， ∴ME 垂直平分AB . ∴AM ＝BM .有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．5．若将本例中“M 是CD 的中点”与“AM ＝BM ”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．解：结论成立．证明如下：过点M 作ME ⊥AB 于点E ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB .∵ME ⊥AB ， ∴ME ∥BC ∥AD . ∵AM ＝BM ，且ME ⊥AB ， ∴E 为AB 的中点， ∴M 为CD 的中点．6．如图所示，E ，F 是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，过AB 的中点M 作MN ∥BC ，分别交EF ，CD 于点P ，N ，则EP ＝12________，CD ＝2________＝2________＝2________＝2________.答案：EF DN NC AM MB课时跟踪检测(一)一、选择题1．在梯形ABCD 中，M ，N 分别是腰AB 与腰CD 的中点，且AD ＝2，BC ＝4，则MN 等于( ) A ．2.5B ．3C ．3.5D ．不确定解析：选B 由梯形中位线定理知选B.2．如图，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝13BD ，那么FC 是BF 的( )A.53倍 B.43倍 C.32倍 D.23倍解析：选A ∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点， 即BF ＝FD . 又DC ＝13BD ，∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .3．梯形的中位线长为15 cm ，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：选A 如图，设MP ∶PN ＝2∶3，则MP ＝6 cm ，PN ＝9 cm. ∵MN 为梯形ABCD 的中位线，在△BAD 中，MP 为其中位线， ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm.4．梯形的一腰长为10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为 ( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2解析：选D 如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ， ∴AD ＋BC ＝2³12＝24(cm)．∴梯形的面积S ＝12(AD ＋BC )²AE ＝12³5³24＝60 (cm 2)．二、填空题5．如图，在AD 两旁作AB ∥CD 且AB ＝CD ，A 1，A 2为AB 的两个三等分点，C 1，C 2为CD 的两个三等分点，连接A 1C ，A 2C 1，BC 2，则把AD 分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．解析：如图，过A 作直线AM 平行于A1C ，过D 作直线DN 平行于BC 2，由AB ∥CD ，A 1，A 2为AB 的两个三等分点，C 1，C 2为CD 的两个三等分点，可得四边形A 1CC 1A 2，四边形A 2C 1C 2B 为平行四边形，所以A 1C∥A 2C 1∥C 2B ，所以AM ∥A 1C ∥A 2C 1∥C 2B ∥DN ，因为AA 1＝A 1A 2＝A 2B ＝CC 1＝C 1C 2＝C 2D ，由平行线等分线段定理知，A 1C ，A 2C 1，BC 2把AD 分成四条线段的长度相等．答案：相等6．如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝______；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析：由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得F 为AD 的中点． 由EG ∥AC ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F ，D 是AC 的三等分点， 则AC ＝3EG ＝6 cm.由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5 cm.答案：6 cm 5 cm7．如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于点P ，DN ∥CP .若AB ＝6 cm ，则AP ＝________；若PM ＝1 cm ，则PC ＝________.解析：由AD ⊥BC ，AB ＝AC ，知BD ＝CD ， 又DN ∥CP ， ∴BN ＝NP ，又AM ＝MD ，PM ∥DN ，知AP ＝PN ， ∴AP ＝13AB ＝2 cm.易知PM ＝12DN ，DN ＝12PC ，∴PC ＝4PM ＝4 cm. 答案：2 cm 4 cm 三、解答题8．已知△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 的三等分点(BE >CE )，AE ，CD 交于点F . 求证：F 是CD 的中点． 证明：如图，过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，在△ABE 中，∵AD ＝BD ，DG ∥AE ， ∴BG ＝GE .∵E 是BC 的三等分点， ∴BG ＝GE ＝EC .在△CDG 中，∵GE ＝CE ，DG ∥EF ， ∴DF ＝CF ， 即F 是CD 的中点．9.如图，在等腰梯形中，AB ∥CD ，AD ＝12 cm ，AC 交梯形中位线EG 于点F ，若EF ＝4 cm ，FG ＝10 cm.求此梯形的面积．解：作高DM ，CN ， 则四边形DMNC 为矩形．∵EG 是梯形ABCD 的中位线， ∴EG ∥DC ∥AB . ∴F 是AC 的中点．∴DC ＝2EF ＝8，AB ＝2FG ＝20，MN ＝DC ＝8.在Rt △ADM 和Rt △BCN 中，AD ＝BC ，∠DAM ＝∠CBN ，∠AMD ＝∠BNC ，∴△ADM ≌△BCN . ∴AM ＝BN ＝12(20－8)＝6.∴DM ＝AD 2－AM 2＝122－62＝6 3. ∴S 梯形＝EG ²DM ＝14³63＝84 3 (cm 2)．10.已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，四边形ABDE 是平行四边形，AD的延长线交EC 于F .求证：EF ＝FC .证明：法一：如图，连接BE 交AF 于点O . ∵四边形ABDE 是平行四边形，∴BO ＝OE . 又∵AF ∥BC ， ∴EF ＝FC . 法二：如图，延长ED 交BC 于点H .∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AB ∥ED ，AB ∥DH ，AB ＝ED .又∵AF ∥BC ，∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图，延长EA交CB的延长线于点M. ∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥EA，AE＝BD.又∵AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM＝BD.∴AM＝AE.∴EF＝FC.二行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． (2)图形语言：如图l 1∥l 2∥l 3， 则有：AB BC ＝DE EF，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF DF. 变式有：AB DE ＝BC EF ，AB DE ＝AC DF ，BC EF ＝ACDF.“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段，如图中AB 和DE ；而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条线段的比．2．平行线分线段成比例定理的推论(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)图形语言：如图l 1∥l 2∥l 3，则有：AD AB ＝AE AC ，AD DB ＝AE EC ，DB AB ＝CEAC.3．平行线分线段成比例定理的作用平行线分线段成比例定理及推论是研究相似三角形的理论基础，它可以判定线段成比例．另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条线段的比，来得出正确结论．合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比值或证明线段间倍数关系．交AB 于点E ，DF 的延长线交BC 于点H ，DE 的延长线交CB 的延长线于点G .求证：BC ＝GH .可找出两个基本图形：△ABC 和△DHG ，EF 是这两个图形的截线． ∵FE ∥BC ， ∴EF BC ＝AE AB ，EF GH ＝DFDH.∵AD ∥EF ∥BH ，∴AE AB ＝DFDH.∴EF BC ＝EF GH.∴BC ＝GH .在利用平行线证明或计算时，常常根据已知条件将复杂的图形进行分解，从中找出基本图形，“借图解题”．1．已知：如图所示，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝mn .求证：DE DF ＝mm ＋n.证明：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴AB BC ＝DE EF ＝m n . ∴EF DE ＝n m，则EF ＋DE DE ＝n ＋mm， 即DF DE ＝m ＋n m .∴DE DF ＝mm ＋n.2.如图，已知AE ∥CF ∥DG ，AB ∶BC ∶CD ＝1∶2∶3，CF ＝12 cm ，求AE ，DG 的长．解：∵AE ∥CF ，∴AE CF ＝ABBC.∴AE ＝AB BC²CF .∵AB ∶BC ＝1∶2，CF ＝12 cm ， ∴AE ＝12³12＝6 (cm)．∵CF ∥DG ， ∴BC BD ＝CF DG.∵BC CD ＝23， ∴BC BD ＝25. ∴DG ＝BD BC ²CF ＝52³12＝30(cm).求证：AB AC ＝EG FH.由题目中的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理，寻求与AB AC ，EG FH均相等的公共比例式．∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB AC ＝DE DF. 又∵EG ∥FH ，∴EG FH ＝DE DF. ∴AB AC ＝EG FH.在此题中，DE DF 是AB AC 与EGFH的公共比，公共比大多是两个或两个以上的比例式都具有的一个公共比，通常是两个图形中公共边的比．当要证的结论不是比例式(通常是等积式)时，常转化为比例式来突破题设的条件，其中公共比是常用的转化方法．3．已知：如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连接AE交CD 于点F ，FG ∥AD 交DE 于点G .求证：FC ＝FG .证明：在正方形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴FC AB ＝EF AE. ∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EFAE.∴FC AB ＝FG AD. ∵AB ＝AD . ∴FC ＝FG .4．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，DE 交AC 于点G ，交BC 于点F .求证：(1)DG 2＝GE ²GF ； (2)CF CB ＝ABAE.证明：(1)∵CD ∥AE ， ∴DG GE ＝CG AG. 又∵AD ∥CF ， ∴GF DG ＝CG AG .∴DG GE ＝GF DG，即DG 2＝GE ²GF . (2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝DFDE.又∵CD ∥BE ，∴CF CB ＝DF DE. ∴CF CB ＝AB AE.点F ，求证：AC BC ＝AFDF.由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或其推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证．作EH ∥AB 交AC 于点H ，则AC AH ＝BC BE ，∴AC BC ＝AHBE.同理，AF AH ＝DF DE，∴AF DF ＝AHDE.∵△BDC 为直角三角形，且E 为BC 边中点，∴BE ＝CE ＝DE .∴AH BE ＝AH DE .∴AC BC ＝AFDF.证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究．有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．5．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且EF ∥BC ，若AE EB ＝23，AD ＝8 cm ，BC ＝18 cm ，求EF 的长．解：作AG ∥DC 分别交BC ，EF 于G ，H ，∴AD ＝HF ＝GC ＝8 cm.BG ＝18－8＝10(cm)． ∵AE EB ＝23， ∴AE AB ＝25. ∴EH BG ＝AE AB ＝25. ∴EH ＝25³BG ＝25³10＝4(cm)．∴EF ＝EH ＋HF ＝4＋8＝12(cm)．6.如图所示，已知△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于点F ，求EF FC ＋AFFD的值．解：过点D 作DG ∥AB 交EC 于点G ， 则DG BE ＝CD BC ＝CG EC ＝13，而AE BE ＝13，即AE BE ＝DG BE， 所以AE ＝DG .从而有AF ＝DF ，EF ＝FG ＝CG ， 故EF FC ＋AF FD ＝EF 2EF ＋AFAF＝12＋1＝32. 课时跟踪检测(二)一、选择题1.如图所示，DE ∥AB ，DF ∥BC ，下列结论中不．正确的是( ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BFABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DFBC解析：选D ∵DF ∥EB ，DE ∥FB ， ∴四边形DEBF 为平行四边形． ∴DE ＝BF ，DF ＝EB . ∴AD DC ＝AF FB ＝AFDE，A 正确．CE CB ＝DE AB ＝BFAB，B 正确． CD AD ＝CE EB ＝CEDF，C 正确． 2．已知线段a ，m ，n 且ax ＝mn ，求作x ，图中作法正确的是( )解析：选C 因为ax ＝mn ，所以a m ＝nx，故选C.3.如图，在△ACE 中，B ，D 分别在AC ，AE 上，下列推理不．正确的是( )A ．BD ∥CE ⇒AB AC ＝BD CE B ．BD ∥CE ⇒AD AE ＝BD CE C ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝AD DED ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝BD CE解析：选D 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A 、B 、C 都是正确的，D 项是错误的．4．如图，将一块边长为12的正方形纸ABCD 的顶点A ，折叠至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM 和MQ 的比是()A ．5∶12B ．5∶13C ．5∶19D ．5∶21解析：选C 如图，作MN ∥AD 交DC 于N ， ∴DN NE ＝AM ME.又∵AM ＝ME ，∴DN ＝NE ＝12DE ＝52.∴NC ＝NE ＋EC ＝52＋7＝192.∵PD ∥MN ∥QC ， ∴PM MQ ＝DN NC ＝52192＝519. 二、填空题5．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝________.解析：∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝DE BC ＝EFBF.∵BF ∶EF ＝3∶2， ∴AC ∶AE ＝3∶2. 答案：3∶26.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于点F ，则BF FC＝________.解析：过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M .∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM . ∵点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF . ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.答案：127．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ∶AB ∶BC ＝3∶4∶6，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，AE ∶AB ＝DF ∶DC ＝1∶3.若四边形ABCD 的周长为1，则四边形AEFD 的周长为________．解析：因为在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ∶AB ∶BC ＝3∶4∶6，所以可设AD ＝3k ，AB ＝4k ，BC ＝6k ， 作DG ⊥BC 交BC 于点G ，交EF 于点H ， 则DG ＝4k ，GC ＝3k ，所以DC ＝16k 2＋9k 2＝5k ， 因为四边形ABCD 的周长为1，所以3k ＋4k ＋6k ＋5k ＝1，所以k ＝118，因为E ，F 分别是AB ，CD 上的点，AE ∶AB ＝DF ∶DC ＝1∶3，所以AE ＝4k 3，DF ＝5k3，取BE ，CF 的中点M ，N ，令EF ＝x ，MN ＝y ，则由梯形中位线得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3k ＋y ，2y ＝x ＋6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，y ＝5k ，即EF ＝4k .所以四边形AEFD 的周长是3k ＋4k 3＋4k ＋5k 3＝10k ＝10³118＝59.答案：59三、解答题8.如图，B 在AC 上，D 在BE 上，且AB ∶BC ＝2∶1，ED ∶DB ＝2∶1，求AD ∶DF .解：过点D 作DG ∥AC 交FC 于点G ，则DG BC ＝ED EB ＝23，所以DG ＝23BC ，又BC ＝13AC ，所以DG ＝29AC ，所以DF AF ＝DG AC ＝29，所以DF ＝29AF ，从而AD ＝79AF ，故AD ∶DF ＝7∶2.9.如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过O 作AB 的平行线，与AD ，BC 分别交于E ，F ，与CD 的延长线交于K .求证：KO 2＝KE ²KF .证明：延长CK ，BA ，设它们交于点H . 因为KO ∥HB ， 所以KO HB ＝DK DH ，KE HA ＝DKDH .所以KO HB ＝KE HA，即KO KE ＝HB HA. 因为KF ∥HB ， 同理可得KF KO ＝HBHA.所以KO KE ＝KF KO，即KO 2＝KE ²KF .10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .(1)求证：EO ＝OF ； (2)求EO AD ＋EO BC的值； (3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.解：(1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ， ∴EF ∥AD ∥BC . ∵EF ∥BC ，∴EO BC ＝AE AB ，OF BC ＝DFDC.∵EF ∥AD ∥BC ， ∴AE AB ＝DF DC . ∴EO BC ＝OF BC. ∴EO ＝OF . (2)∵EO ∥AD ， ∴EO AD ＝BE BA. 由(1)知EO BC ＝AEAB，∴EO AD ＋EO BC ＝BE BA ＋AE AB ＝BE ＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知EO AD ＋EOBC＝1，∴2EO AD ＋2EOBC＝2.又EF ＝2EO ，∴EF AD ＋EF BC＝2. ∴1AD ＋1BC ＝2EF.三．相似三角形的判定11．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．△ABC∽△BCD.已知AB ＝AC ，∠A ＝36°，所以∠ABC ＝∠C ＝72°，而BD 是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.∵∠A ＝36°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°. 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝36°. ∴∠A ＝∠CBD .又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BCD .判定两三角形相似，可按下面顺序进行： (1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1.如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使△ABE 和△ACD 相似的是( )A ．∠B ＝∠C B ．∠ADC ＝∠AEB C ．BE ＝CD ，AB ＝ACD ．AD ∶AC ＝AE ∶AB解析：选C 在选项A 、B 的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似，在D 项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等．故选项A 、B 、D 都能推出两三角形相似．在C 项的条件下推不出两三角形相似．2．如图，在四边形ABCD 中，AEEB ＝AF FD ，BG GC ＝DHHC，EH ，FG 相交于点O .求证：△OEF ∽△OHG . 证明：如图，连接BD .∵AE EB ＝AF FD， ∴EF ∥BD . 又∵BG GC ＝DH HC， ∴GH ∥BD . ∴EF ∥GH .∴∠EFO ＝∠HGO ，∠OHG ＝∠OEF .∴△OEF ∽△OHG .3.如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC ＝1∶4，求证：AE EF ＝ADEC.证明：设正方形ABCD 的边长为4a ， 则AD ＝BC ＝4a ，DE ＝EC ＝2a . 因为CF ∶BC ＝1∶4，所以CF ＝a ，所以AD EC ＝4a 2a ＝2，DE CF ＝2aa＝2，所以AD EC ＝DE CF.又因为∠D ＝∠C ＝90°， 所以△ADE ∽△ECF . 所以AE EF ＝AD EC.如图，D 为△AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H ，连接GH .求证：GH ∥AB .根据此图形的特点可先证比例式GE DE ＝EHEB成立，再证△EGH ∽△EDB ，由相似三角形的定义得∠EHG ＝∠EBD 即可．∵DE ∥BC ， ∴GE FC ＝AG AF ＝DG FB ，即GE DG ＝CFFB.又∵DF ∥AC ，∴EH HB ＝CFFB. ∴GE DG ＝EH HB .∴GE ED ＝EHEB.又∠GEH ＝∠DEB ，∴△EGH ∽△EDB . ∴∠EHG ＝∠EBD . ∴GH ∥AB .不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系．4.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连接CF 交AD 于点E .(1)求证：△CDE ∽△FAE ；(2)当E 是AD 的中点，且BC ＝2CD 时，求证：∠F ＝∠BCF . 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD .又∵点F 在BA 的延长线上， ∴∠DCF ＝∠F ，∠D ＝∠FAE . ∴△CDE ∽△FAE . (2)∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE .由△CDE ∽△FAE ，得CD FA ＝DE AE. ∴CD ＝FA . ∴AB ＝CD ＝AF . ∴BF ＝2CD .又∵BC ＝2CD ，∴BC ＝BF . ∴∠F ＝∠BCF .5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，点E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F .求证：AB AC ＝DF AF.证明：∵E 是Rt △ADC 斜边AC 上的中点，∴AE ＝EC ＝ED . ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF .又∵AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠C . ∴∠BAD ＝∠BDF .又∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF ， ∴DB AD ＝DF AF.又在Rt △ABD 与Rt △CBA 中，AB AC ＝DBAD， ∴AB AC ＝DF AF.课时跟踪检测(三)一、选择题1．如图所示，点E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对解析：选B 有3对，因为∠ABC ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠EAD ，所以△ABE ∽△FDA ， 因为∠ABC ＝∠DCE ，∠E 为公共角， 所以△BAE ∽△CFE .因为∠AFD ＝∠EFC ，∠DAF ＝∠AEC ， 所以△ADF ∽△ECF .2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝ADBC B.AD CD ＝AC BCC ．AC 2＝CD ²CB D ．CD 2＝AC ²AB解析：选C ∠C ＝∠C ，只有AC CD ＝CB AC，即AC 2＝CD ²CB 时，才能使△ACD ∽△BCA . 4．如图，在等边三角形ABC 中，E 为AB 的中点，点D 在AC 上，使得AD AC ＝13，则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD解析：选B 因为∠A ＝∠C ，BC AE ＝CDAD＝2，所以△AED ∽△CBD . 二、填空题5．如图所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，那么CD ＝________.解析：∵∠BAC ＝∠ADC ， 又∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△DAC . ∴AC CD ＝BC AC.又∵AC ＝8，BC ＝16. ∴CD ＝4. 答案：46．如图所示，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3，AC ＝4，则AD ＝________，BD ＝________.解析：由题设可求得AB ＝5， ∵Rt △ABC ∽Rt △ACD ，∴AB AC ＝AC AD .∴AD ＝AC 2AB ＝165. 又∵Rt △ABC ∽Rt △CBD ，∴AB CB ＝BC BD .∴BD ＝BC 2AB ＝95. 答案：165 957．已知在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 与AD 交于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若CF ＝4，BC ＝5，则DF ＝________.解析：连接AF .∵EF ⊥AD ，AE ＝ED ， ∴AF ＝DF ， ∠FAD ＝∠FDA .又∵∠FAD ＝∠DAC ＋∠CAF ， ∠FDA ＝∠BAD ＋∠B ， 且∠DAC ＝∠BAD ，∴∠CAF ＝∠B .而∠CFA ＝∠AFB ， ∴△AFC ∽△BFA . ∴AF CF ＝BF AF.∴AF 2＝CF ²BF ＝4³(4＋5)＝36. ∴AF ＝6，即DF ＝6. 答案：6 三、解答题8.如图，D 在AB 上，且DE ∥BC 交AC 于点E ，F 在AD 上，且AD 2＝AF ²AB .求证：△AEF ∽△ACD . 证明：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC. ∵AD 2＝AF ²AB ，∴AD AB ＝AF AD. ∴AE AC ＝AF AD.又∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACD .9.如图，直线EF 交AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ²CD ＝DE ²AC .求证：AE ²CE ＝DE ²EF . 证明：∵AB ²CD ＝DE ²AC ∴AB DE ＝AC CD. ∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴△ACB ∽△DCE . ∴∠A ＝∠D .又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC . ∴AE DE ＝EF CE. ∴AE ²CE ＝DE ²EF .10.如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，∠AFE ＝∠B ，AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8.(1)求AC 的长；(2)求CD 2BC2的值．解：(1)∵EF ∥CD ， ∴AE AD ＝AF AC.∵AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8， ∴66＋3＝8AC. ∴AC ＝12.(2)∵EF ∥DC ，∴∠AFE ＝∠ACD ， 又∠AFE ＝∠B ，∴∠ACD ＝∠B . 又∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC . ∴CD BC ＝AD AC ＝6＋312＝34.∴CD 2BC 2＝916.四．相似三角形的性质21．相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．△ABC 2，S △AEF ＝4 cm 2，求sin A 的值．由题目条件证明△AEC ∽△AFB ，得AE ∶AF ＝AC ∶AB ，由此推知△AEF ∽△ACB ，进而求出线段EC 与AC 的比值．∵CE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ， ∴∠AEC ＝∠AFB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB . ∴AE AF ＝AC AB.又∵∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝S △AEF S △ACB ＝436. ∴AE AC ＝26＝13. 设AE ＝k ，则AC ＝3k ， ∴EC ＝22k .∴sin A ＝EC AC ＝223.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．1．如图，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F .若AD ＝3，AB ＝5，求：(1)AG AF的值；(2)△ADE 与△ABC 的周长之比； (3)△ADE 与△ABC 的面积之比． 解：(1)在△ADE 与△ABC 中， 因为∠ADE ＝∠B ，∠BAD 为公共角， 所以△ADE ∽△ABC ，所以AG AF ＝AB AD ＝53. (2)△ADE 与△ABC 的周长之比等于它们的相似比， 即AD ∶AB ＝3∶5.(3)△ADE 与△ABC 的面积之比等于它们相似比的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝925.2.如图，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝2∶3.(1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)若S △AEF ＝8，求S △CDF .解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD 且AB ＝CD .∵AE EB ＝23， ∴AE AE ＋EB ＝22＋3，即AE AB ＝25. ∴AE CD ＝25. 又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF ，∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5.(2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25，又S△AEF＝8，∴S△CDF＝50.DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m，它们之间的距离为30 m，小张身高为1.6 m．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．如图，设小张与教学楼的距离至少应有x m，才能看到水塔．连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于点G，交AB于点H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形．∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG.∴AH∶DG＝FH∶FG.即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)，解得x＝55.2(m)．故小张与教学楼的距离至少应有55.2 m才能看到水塔．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．3．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC ∽△ADE .∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∴∠ACB ＝∠AED ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ADE . (2)由(1)得△ABC ∽△ADE ，∴AC AE ＝BCDE. ∵AC ＝2 m ，AE ＝2＋18＝20 m ，BC ＝1.6 m. ∴220＝1.6DE，∴DE ＝16 m. 答：古塔的高度为16 m.4．有一块三角形铁片ABC ，已知最长边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，高AD 交GH 于K ，设矩形的宽为x cm ，则长为2x cm.由HG ∥BC ，得△AHG ∽△ABC .得AK ∶AD ＝HG ∶BC ，所以(8－x )∶8＝2x ∶12，即x ＝247(cm)．则S 矩形EFGH ＝2x 2＝1 15249(cm 2)．如图(2)，矩形的宽MN 在BC 上，类似地可求得S 矩形MNPQ ＝18(cm 2)． 即加工成的铁片的面积为1 15249 cm 2或18 cm 2.课时跟踪检测(四)一、选择题1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：选D 由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC ，∴AD DB ＝AE EC ＝12.∴DB ＝4³2＝8(cm)．2.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，AE 交对角线BD 于点G ，且△BEG 的面积是1 cm 2，则▱ABCD 的面积为( )A ．8 cm 2B ．10 cm 2C ．12 cm 2D ．14 cm 2解析：选C 因为AD ∥BC ，所以△BEG ∽△DAG ，因为BE ＝EC ，所以BE BC ＝BE DA ＝12.所以S △BEG S △DAG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BE DA 2＝14， 即S △DAG ＝4S △BEG ＝4(cm 2)． 又因为AD ∥BC ，所以AG EG ＝DABE＝2，所以S △BAG S △BEG ＝AGEG＝2， 所以S △BAG ＝2S △BEG ＝2(cm 2)，所以S △ABD ＝S △BAG ＋S △DAG ＝2＋4＝6(cm 2)， 所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2³6＝12(cm 2)．3．如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：选D ∵△CBF ∽△CDE ， ∴BF DE ＝CB CD. ∴BF ＝DE ²CB CD ＝3³610＝1.8. 4．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，DC ＝80，那么EF 的值是( )A ．10B ．12C ．16D ．18解析：选C ∵AB ∥EF ∥CD ， ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14.∴EF AB ＝EC AC ＝45. ∴EF ＝45AB ＝45³20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F, 则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析：由CD ∥AE ，得△CDF ∽△AEF ， 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案：36．如图，在△ABC 中有一个矩形EFGH ，其顶点E ，F 分别在AC ，AB 上，G ，H 在BC 上，若EF ＝2FG ，BC ＝20，△ABC 的高AD ＝10，则FG ＝________.解析：设FG ＝x ，因为EF ＝2FG ，所以EF ＝2x . 因为EF ∥BC ，所以△AFE ∽△ABC ，所以AM AD ＝EF BC ，即10－x 10＝2x 20，解得x ＝5，即FG ＝5. 答案：57．如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S矩形ABCD＝40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5，则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ， 所以△ABE ∽△DBA . 所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5， 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm ，DB ＝5k cm ， 则AD ＝2k cm. 因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2，所以k ²2k ＝40，所以k ＝25(cm)． 所以BD ＝5k ＝10 (cm)，AD ＝45(cm)． 又因为S △ABD ＝12BD ²AE ＝20，所以12²10²AE ＝20.所以AE ＝4(cm)． 答案：4 cm 三、解答题8．如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 是AC 上的点，BE ，CD 交于点M .若AC ＝3AE ，求∠EMC 的度数．解：如图，作EF ⊥BC 于点F ， 设AB ＝AC ＝3，则AD ＝32，BC ＝32，CE ＝2，EF ＝FC ＝ 2.∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC ，∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ，∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.9.如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，。

[对应学生用书]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．．(湖南高考)如图，已知，是⊙的两条弦，⊥，＝，＝，则⊙的半径等于．解析：设，的交点为，由已知可得为的中点，则在直角三角形中，＝＝，设圆的半径为，延长交圆于点，由圆的相交弦定理可知·＝·，即()＝－，解得＝.答案：.(新课标全国卷Ⅱ)如图，是⊙外一点，是切线，为切点，割线与⊙相交于点，，＝，为的中点，的延长线交⊙于点.证明：()＝；()·＝.证明：()连接，.由题设知＝，故∠＝∠.因为∠＝∠＋∠，∠＝∠＋∠，∠＝∠，所以∠＝∠，从而＝.因此＝.()由切割线定理得＝·.因为＝＝，所以＝，＝.由相交弦定理得·＝·，所以·＝.．(新课标全国卷Ⅱ)如图，为△外接圆的切线，的延长线交直线于点，，分别为弦与弦上的点，且·＝·，，，，四点共圆．()证明：是△外接圆的直径；()若＝＝，求过，，，四点的圆的面积与△外接圆面积的比值.解：()证明：因为为△外接圆的切线，所以∠＝∠，由题设知＝，故△∽△，所以∠＝∠.因为，，，四点共圆，所以∠＝∠，故∠＝∠＝°.所以∠＝°，因此是△外接圆的直径．()连接，因为∠＝°，所以过，，，四点的圆的直径为.由＝，有＝.又＝·＝，所以＝＋＝.而＝·＝，故过，，，四点的圆的面积与△外接圆面积的比值为.[对应学生用书]内接四边形的判定和性质．[例]已知四边形为平行四边形，过点和点的圆与、分别交于、.求证：、、、四点共圆．[证明]连接，因为四边形为平行四边形，所以∠＋∠＝°.因为四边形内接于圆，。

章末分层突破
[自我校对]
①圆心角定理
②圆内接四边形性质定理
③圆的切线
④弦切角定理
⑤相交弦定理
⑥切线长定理
的计算与证明通常涉及这四类角，因此圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化，借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决．
(·湖南高考)如图-，在⊙中，相交于点的两弦，的中点分别是，，直线与直线相交于点，证明：
图-
()∠＋∠＝°；
()·＝·.
【精彩点拨】()在四边形中，由⊥，⊥证明∠＋∠＝°；
()四边形的对角互补，，，，四点共圆，利用割线定理证明．
【规范解答】()如图所示，因为，分别是弦，的中点，所以⊥，⊥，即∠＝°，∠＝°，
因此∠＋∠＝°.
又四边形的内角和等于°，
故∠＋∠＝°.
()由()知，，，，四点共圆，
故由割线定理即得·＝·.
[再练一题]
．如图-所示，，是⊙的两条切线，，是切点，，是⊙上两点，如果∠＝°，∠＝°，求∠.【导学号：】
图-
【解】法一：∵，是⊙的切线，∴＝.
又∠＝°，∴∠＝＝°.
∵∠＝°，∴∠＝°－°－°＝°.。

[对应学生用书P35]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．1．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r －1，解得r ＝32.答案：322.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.证明：(1)连接AB ，AC .由题设知P A ＝PD ，故∠P AD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ，∠DCA ＝∠P AB ， 所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC . 因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝2PB 2.3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝ 90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径． (2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE . 由BD ＝BE ，有CE ＝DC . 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.[对应学生用书P35]接四边形的判定和性质．[例1]已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证：C、D、E、F四点共圆．[证明]连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．[例2]如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()A．120°B．136°C．144°D．150°[解析]由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，∠ECD＝72°.又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°.[答案] C要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．[例3] 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，点P 是圆外一点，P A 切⊙O 于点A ，且P A ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)已知P A ＝3，BC ＝1，求⊙O 的半径．[解] (1)证明：如图，连接OB . ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA . ∵P A ＝PB ，∴∠P AB ＝∠PBA . ∴∠OAB ＋∠P AB ＝ ∠OBA ＋∠PBA ， 即∠P AO ＝∠PBO .又∵P A 是⊙O 的切线，∴∠P AO ＝90°. ∴∠PBO ＝90°.∴OB ⊥PB .又OB 是⊙O 半径，∴PB 是⊙O 的切线． (2)连接OP ，交AB 于点D .如图．∵P A ＝PB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． ∵OA ＝OB ，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上． ∴OP 垂直平分线段AB . ∴∠P AO ＝∠PDA ＝90°.又∵∠APO ＝∠OP A ，∴△APO ∽△DP A . ∴AP DP ＝POP A.∴AP 2＝PO ·DP . 又∵OD ＝12BC ＝12，∴PO (PO －OD )＝AP 2.即PO 2－12PO ＝(3)2，解得PO ＝2.在Rt △APO 中，OA ＝PO 2－P A 2＝1，即⊙O 的半径为1.圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．[例4]如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．[解]设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB，因为CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE＝6 3.[例5]△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是⊙O的切线交AC于M(如图)．求证：DC2＝AC·CM.[证明]连接AD、OD.∵AB是直径，∴AD⊥BC.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.又AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC.∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM.则DM⊥AC，DC2＝AC·CM.[对应学生用书P43] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有( ) A ．2个锐角和2个钝角 B ．1个锐角和3个钝角 C ．1个钝角和3个锐角D ．都是锐角或都是钝角解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角．答案：A2.如图，在⊙O 中，弦AB 长等于半径，E 为BA 延长线上一点，∠DAE ＝80°，则∠ACD 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．45°D ．30°解析：∠BCD ＝∠DAE ＝80°， 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12AC ，∴∠ACB ＝30°.∴∠ACD ＝80°－30°＝50°. 答案：B3．如图所示，在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB .则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析：作OC ⊥AB 于C ，则BC ＝3，在Rt △BOC 中cos ∠B ＝BO OB ＝32.∴∠B ＝30°.∴∠BOC ＝60°.∴∠AOB ＝120°. 答案：C4.如图，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( )A.2143B.289 C.273D.809解析：过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，则DH ＝12CD ，由相交弦定理知， AE ·BE ＝CE ·DE .设CE ＝4x ，则DE ＝9x ， ∴4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23，∴OH ＝OD 2－DH 2＝52－(133)2＝2143.答案：A5.如图，P A 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，且PB ＝BC ，P A ＝32，那么BC 的长为( )A. 3 B ．2 3 C ．3D ．3 3解析：根据切割线定理P A 2＝PB ·PC ， 所以(32)2＝2PB 2.所以PB ＝3＝BC . 答案：C6．两个同心圆的半径分别为3 cm 和6 cm ，作大圆的弦MN ＝6 3 cm ，则MN 与小圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解析：作OA ⊥MN 于A .连接OM .则MA ＝12MN ＝3 3.在Rt △OMA 中， OA ＝OM 2－AM 2＝3(cm)．∴MN 与小圆相切． 答案：A7.如图，P AB ，PDC 是⊙O 的割线，连接AD ，BC ，若PD ∶PB ＝1∶4，AD ＝2，则BC 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：由四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形可得∠P AD ＝∠C ，∠PDA ＝∠B . ∴△P AD ∽△PCB .∴PD PB ＝AD CB ＝14.又AD ＝2，∴BC ＝8. 答案：D8．已知⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，若P A ＝8 cm ，PB ＝18 cm ，则CD 的长的最小值为( )A ．25 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．12 cm解析：设CD ＝a cm ，CD 被P 分成的两段中一段长x cm ，另一段长为(a －x ) cm.则x (a －x )＝8×18，即8×18≤(x ＋a －x 2)2＝14a 2.所以a 2≥576＝242，即a ≥24.当且仅当x ＝a －x ，即x ＝12a ＝12时等号成立．所以CD 的长的最小值为24 cm. 答案：B9．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC 、BC ，AB ＝10，tan ∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( )A.252πB.252π－24 C ．24D.252π＋24 解析：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°， ∵tan ∠BAC ＝34，∴sin ∠BAC ＝35.又∵sin ∠BAC ＝BCAB ，AB ＝10，∴BC ＝35×10＝6.AC ＝43×BC ＝43×6＝8，∴S 阴影＝S 半圆－S △ABC ＝12×π×52－12×8×6＝252π－24. 答案：B10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以A 为圆心、AC 为半径的圆交AB 于F ，交BA 的延长线于E ，CD ⊥AB 于D ，给出四个等式：①BC 2＝BF ·BA ；②CD 2＝AD ·AB ； ③CD 2＝DF ·DE ；④BF ·BE ＝BD ·BA . 其中能够成立的有( ) A ．0个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①②不正确，由相交弦定理知③正确， 又由BC 2＝BE ·BF ，BC 2＝BD ·BA ， 得BE ·BF ＝BD ·BA ，故④正确． 答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝120°，OB ＝1，则∠BAD ＝________，∠BCD ＝________，BCD 的长＝________.解析：∠BAD ＝∠12BOD ＝60°，∠BCD ＝180°－∠BAD ＝120°， 由圆的半径OB ＝1，∠BOD ＝2π3，∴BCD 的长为2π3.答案：60°120°2π312．(陕西高考)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.答案：513.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC，BC，AB分别与⊙O切于点D，E，F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半径为2，则BC＝________.解析：如图所示，分别连接OD，OE，OF.∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，OD⊥AC，∴四边形OECD是正方形．设BF＝x，则BE＝x.∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2，∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10，∴BC＝12.答案：1214．如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC＝________.解析：∵CE为⊙O的切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，得EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理得EB2＋BC2＝EC2.∴42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案：3三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD ，求证：(1)l 是⊙O 的切线；(2)PB 平分∠ABD .证明：(1)连接OP ，因为AC ⊥l ，BD ⊥l ，所以AC ∥BD .又OA ＝OB ，PC ＝PD ，所以OP ∥BD ，从而OP ⊥l .因为P 在⊙O 上，所以l 是⊙O 的切线．(2)连接AP ，因为l 是⊙O 的切线，所以∠BPD ＝∠BAP .又∠BPD ＋∠PBD ＝90°，∠BAP ＋∠PBA ＝90°，所以∠PBA ＝∠PBD ，即PB 平分∠ABD .16．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ；(2)AC ＝AE .证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD， 即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD， 即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，AC ＝AE .17.(本小题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F .(1)证明：A ，E ，F ，M 四点共圆；(2)证明：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.证明：(1)连接AM ，则∠AMB ＝90°.∵AB ⊥CD ，∴∠AEF ＝90°.∴∠AMB ＋∠AEF ＝180°，即A ，E ，F ，M 四点共圆．(2)连接CB ，由A ，E ，F ，M 四点共圆，得BF ·BM ＝BE ·BA .在Rt △ACB 中，BC 2＝BE ·BA ，AC 2＋CB 2＝AB 2，∴AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.18．(辽宁高考)(本小题满分14分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径．由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. 由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.。

高二数学选修4-1学案五和圆有关的比例线段班级姓名学号教学目标：1．理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；2．掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．教学重点：正确理解相交弦定理及其推论．切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．教学难点：定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系教学活动：一．复习导入：1．证明：已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P．求证：PA·PB＝PC·PD．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．从一般到特殊，发现结论．对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直思考：（1）若AB是直径，并且AB⊥CD于P．根据相交弦定理，能得到什么结论?推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．（2）若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：PC2＝PA·PB；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB二．范例讲解一例1：已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长．根据题意列出方程并求出相应的解．例2 ：已知：线段a，b．求作：线段c，使c2＝ab．分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可作出以线段a十b 为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．作法：口述作法．三．课堂练习一练习1：如图，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．（变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是多少?）练习2：如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO 的长．练习3 ：如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C．求证：PC2＝PA·PB分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，想到延长CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB．又根据条件OP⊥PC．易证得PC＝PD问题得证．探究：1、相交弦定理是两弦相交于圆内一点．如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？2、当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点时，猜想：由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？3、用语言表达上述结论．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）四．范例讲解二例1 ：已知：⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米，PO=10.9厘米，求⊙O的半径．（分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD 又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．）例2：如图7-90，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E．AB=12，AO=15，AD=8．求：两圆的半径．五．课堂练习二1、P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B、C，且PB=BC．OA=7，PA=2，求PC的长．2、已知：如图7-92，⊙O和⊙O′都经过A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q、M，交AB 的延长线于N．求证：PN2=NM·NQ．六．课堂反思：观察图形，要证的数量关系中，线段属于不同的两圆，NP是⊙O的切线，NMQ是⊙O′的割线，能够把这两条线联系在一起的是两圆的公共割线NBA．具备了在两圆中运用切割线定理及其推论的条件．例：如图7-93，四边形ABCD内接于⊙O，AB长7cm，CD=10cm，AD∶BC=1∶2，延长BA、CD相交于E，从E引圆的切线EF．求EF的长．分析：此题中EF是⊙O的切线，由切割线定理：EF2=ED·EC=EA·EB，故要求EF的长，须知ED或EA的长，而四边形ABCD内接于⊙O，可EB长为2x，应用割线定理，可求得x，于是EF可求．证明：四边形ABCD内接于⊙O△EAD∽△ECB EB=2xx(x+10)=(2x-7)·2xx=8EF2=8×(8+10)EF=12答：EF长为12cm．高二数学选修4-1学案六和圆有关的比例线段·习题课班级姓名学号教学目标：1．理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；2．掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．教学重点：正确理解相交弦定理及其推论．切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．教学难点：定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系教学活动：一．切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

讲末复习1．平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交)直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰．(2)中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2．平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例．推论1的逆定理：如果一条直线截三角形两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(2)三角形内角平分线定理定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段比等于夹这个角的两边比．3．相似三角形的判定(1)相似三角形的概念定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．对应边的比值称为相似比．(2)预备定理定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．利用本定理可以证明相似三角形的判定定理．(3)相似三角形判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么，这两个三角形相似．即：两对应边成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即：三边对应成比例，两三角形相似．(4)直角三角形相似的判定定理定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它们相似．定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么它们相似．4．相似三角形的性质性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例．性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比．性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方．性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理(1)射影的概念从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正射影，简称射影．一般地，一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的点在某条直线上的射影集合，称这个点集在这条直线上的射影．如一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直线上的射影间的线段．(2)直角三角形射影定理和逆定理定理：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．题型一平行线分线段成比例定理由平行线就能得到比例线段，此类题型一般有两种，一是求线段长，一般用比例式建立方程求解；二是证明线段成比例，一般是找中间比进行代换证明，而找中间比的常见方法就是作平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式．例1如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD.求证：1AC＋1BD＝1 EF.证明∵AC∥EF∥BD，∴EFAC＝BFAB，EFBD＝AFAB.∴EFAC＋EFBD＝AF＋BFAB＝ABAB＝1，即1AC＋1BD＝1EF.跟踪演练1如图所示，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE等于()A．9B．10C．11D．12答案 A解析过点O作一条与CD平行的直线，然后结合平行线等分线段定理即可解得BE＝9.题型二相似三角形的判定相似三角形的判定定理和性质定理是证明三角形相似、线段长成比例及求线段长度的重要依据，熟练地掌握并巧妙地运用，几何证明及计算问题会迎刃而解．例2如图所示，已知△ABC为正三角形，D、E分别是边AC、BC上的点(不在顶点)．∠BDE＝60°.(1)求证：△DEC∽△BDA；(2)若正三角形ABC的边长为6，并设DC＝x，BE＝y.试求出y与x的函数关系式，并求BE最短时，△BDE的面积．(1)证明∵∠BDE＝60°，∴∠ADB＝60°＋∠DBC，∠DEC＝60°＋∠DBC，∴∠ADB＝∠DEC，又∵∠A ＝∠C ＝60°，∴△DEC ∽△BDA . (2)解 ∵△DEC ∽△BDA ，∴DC BA ＝EC DA. ∴x 6＝6－y 6－x ，即y ＝16x 2－x ＋6 (0<x <6)． 配方得y ＝16(x －3)2＋92， ∴当x ＝3时，y 最小＝92， 即D 为AC 的中点时，BE 最短，其长度为92. 在△BDE 中，BE 边上的高为34×6＝323. ∴S △BDE ＝12×92×323＝2738. 跟踪演练2 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE的长．解 ∵DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，∴EB ＝EC .∴∠B ＝∠ECB .∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACB .∴△ABC ∽△FCD .作AM ⊥BC ，垂足为M .∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，∴S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又∵S △FCD ＝5， ∴S △ABC ＝12BC ×AM ＝20. 又BC ＝10，∴AM ＝4.∵DE ∥AM ，∴DE AM ＝BD BM. 又∵AD ＝AC ，∴DM ＝12DC ＝52. ∴DE ＝BD BM ×AM ＝55＋52×4＝83. 题型三 射影定理的应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，其逆定理也成立，在几何证明及计算中，建立条件与结论之间的关系是解题的关键，若能很好地掌握并灵活地运用，常常取得事半功倍的效果． 例3 如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F 、G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE .证明 因为CD 垂直平分AB ，所以△ACD 和△BDE 均为直角三角形，并且AD ＝BD .又因为DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，所以AF ·AC ＝AD 2，BG ·BE ＝DB 2，因为AD 2＝DB 2，所以AF ·AC ＝BG ·BE .跟踪演练3 如图，已知∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，两直角三角形相似？解 (1)当AC BC ＝BC BD时， ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°，∴△ABC ∽△CDB ，∴当a b ＝b BD ，即BD ＝b 2a时，△ABC ∽△CDB . (2)当AC BC ＝AB BD时，∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， ∴△ABC ∽△BDC .又AB ＝AC 2－BC 2＝a 2－b 2，∴当a b ＝a 2－b 2BD ，即BD ＝b a 2－b 2a 时， △ABC ∽△BDC .由(1)(2)可知：当BD ＝b 2a或BD ＝b a 2－b 2a时， 上述两个直角三角形相似．1.复习本讲时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即可达到高考的要求，该部分的复习以基础知识、基本方法为主，掌握好解决问题的基本技能即可．2．从近两年高考试题可以看出，高考主要以能力提升的形式考查平行线截割定理和相似三角形判定定理的应用，难度不大．另外相似三角形的判定定理易和圆周角定理、圆内接四边形的性质与判定定理、弦切角等有关知识有机结合，这是高考的重点和热点，要引起高度的重视．。

高中数学第2讲证明不等式的基本方法章末分层突破学案新人教A版选修[自我校对]①作差法②综合法③执果索因④放缩法⑤间接证明比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系、其主要步骤是：作差恒等变形判断差值的符号结论、其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号、设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab 2、【规范解答】3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(a－b)(3a2－2b2)、∵a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b2≥2a2－2b2≥0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立、[再练一题]1、若a＝，b＝，c＝，则()A、a＜b＜cB、c＜b＜aC、c＜a＜bD、b＜a＜c【解析】a与b比较：a＝＝，b＝＝、∵9＞8，∴b＞a，b与c比较：b＝＝，c＝＝、∵35＞53，∴b＞c，a与c比较：a＝＝，c＝、∵32＞25，a＞c，∴b＞a＞c，故选C、【答案】C综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手、因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用、已知实数x，y，z不全为零，求证：＋＋＞(x＋y＋z)、【规范解答】因为＝≥ ＝≥x＋，同理可证：≥y＋，≥z＋、由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：＋＋＞＋＋＝(x＋y＋z)，所以有＋＋＞(x＋y＋z)、[再练一题]2、设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10、求证：logac＋logbc≥4lg c、【导学号：】【证明】由于a＞1，b＞1，故要证明logac＋logbc≥4lg c，只要证明＋≥4lg c、又c＞1，故lg c＞0，所以只要证＋≥4，即≥4、因ab＝10，故lg a＋lg b＝1，只要证明≥4、(*)由a＞1，b＞1，故lg a＞0，lg b＞0，所以0＜lg alg b≤＝＝，即(*)式成立、所以，原不等式logac＋logbc≥4lg c得证、反证法证明不等式若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明；若要证明不等式两边差异较大时，可考虑用放缩法进行过渡从而达到证明目的、若a，b，c，x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x ＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0、【规范解答】设a，b，c都不大于0，则a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，由题设知，a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0、[再练一题]3、如图21，已知在△ABC中，∠CAB＞90，D是BC的中点，求证：AD＜BC、图21【证明】假设AD≥BC、(1)若AD＝BC，由平面几何定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”，知∠A＝90，与题设矛盾，所以AD≠BC、(2)若AD＞BC，因为BD＝DC＝BC，所以在△ABD中，AD＞BD，从而∠B＞∠BAD、同理∠C＞∠CAD、所以∠B＋∠C＞∠BAD＋∠CAD，即∠B＋∠C＞∠A、因为∠B＋∠C＝180－∠A，所以180－∠A＞∠A，即∠A＜90，与已知矛盾，故AD＞BC不成立、由(1)(2)知AD＜BC成立、用放缩法证明不等式在证明不等式时，有时需要舍去或添加一些项，使不等式的一边放大或缩小，然后利用不等式的传递性，达到证明的目的、运用放缩法证明的关键是放缩要适当，既不能太大，也不能太小、已知a，b，c为三角形的三条边，求证：，，也可以构成一个三角形、【规范解答】设f(x)＝，x∈(0，＋∞)、设0<x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数、∵a，b，c为三角形的三条边，于是a＋b>c，∴<＝＋<＋，即<＋，同理<＋，<＋，∴以，，为边可以构成一个三角形、[再练一题]4、已知|x|＜，|y|＜，|z|＜，求证：|x＋2y－3z|＜ε、【证明】∵|x|＜，|y|＜，|z|＜，∴|x＋2y－3z|＝|1＋2y＋(－3z)|≤|x|＋|2y|＋|－3z|＝|x|＋2|y|＋3|z|＜＋2＋3＝ε、∴原不等式成立、1、(xx湖南高考)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为()A、B、2C、2D、4【解析】由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a ＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2、【答案】 C2、(xx重庆高考)设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________、【解析】令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a ＝，b＝、∴tmax＝＝3、【答案】33、(xx江苏高考)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列、(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由、【解】(1)证明：因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1,2,3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列、(2)不存在，理由如下：令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)、假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4、令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4，化简得t3＋2t2－2＝0(*)，且t2＝t＋1、将t2＝t＋1代入(*)式，得t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－、显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列、(3)不存在，理由如下：假设存在a1，d 及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列，则a(a1＋2d)n＋2k＝(a1＋d)2(n＋k)，且(a1＋d)n＋k(a1＋3d)n＋3k＝(a1＋2d)2(n＋2k)，分别在两个等式的两边同除以a及a，并令t＝，则(1＋2t)n＋2k＝(1＋t)2(n＋k)，且(1＋t)n＋k(1＋3t)n＋3k＝(1＋2t)2(n＋2k)、将上述两个等式两边取对数，得(n＋2k)ln(1＋2t)＝2(n＋k)ln(1＋t)，且(n＋k)ln(1＋t)＋(n＋3k)ln(1＋3t)＝2(n＋2k)ln(1＋2t)、化简得2k[ln(1＋2t)－ln(1＋t)]＝n[2ln(1＋t)－ln(1＋2t)]，且3k[ln(1＋3t)－ln(1＋t)]＝n[3ln(1＋t)－ln(1＋3t)]、再将这两式相除，化简得ln(1＋3t)ln(1＋2t)＋3ln(1＋2t)ln(1＋t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)、(**)令g(t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)－ln(1＋3t)ln(1＋2t)－3ln(1＋2t)ln(1＋t)，则g′(t)＝、令φ(t)＝(1＋3t)2ln(1＋3t)－3(1＋2t)2ln(1＋2t)＋3(1＋t)2ln(1＋t)，则φ′(t)＝6[(1＋3t)ln(1＋3t)－2(1＋2t)ln(1＋2t)＋(1＋t)ln(1＋t)]、令φ1(t)＝φ′(t)，则φ′1(t)＝6[3ln(1＋3t)－4ln(1＋2t)＋ln(1＋t)]、令φ2(t)＝φ′1(t)，则φ′2(t)＝＞0、由g(0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t)＞0，知φ2(t)，φ1(t)，φ(t)，g(t)在和(0，＋∞)上均单调、故g(t)只有唯一零点t＝0，即方程(**)只有唯一解t＝0，故假设不成立、所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列、4、(xx湖南高考)已知a>0，函数f(x)＝eaxsin x(x∈[0，＋∞))、记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点、证明：(1)数列{f(xn)}是等比数列；(2)若a≥，则对一切n∈N*，xn<|f(xn)|恒成立、【证明】(1)f′(x)＝aeaxsin x＋eaxcos x＝eax(asin x＋cos x)＝eaxsin(x＋φ)、其中tan φ＝，0<φ<、令f′(x)＝0，由x≥0得x＋φ＝mπ，即x＝mπ－φ，m∈N*、对k∈N，若2kπ<x＋φ<(2k＋1)π，即2kπ－φ<x<(2k＋1)π－φ，则f′(x)>0；若(2k＋1)π<x＋φ<(2k＋2)π，即(2k＋1)π－φ<x<(2k＋2)π－φ，则f′(x)<0、因此，在区间((m－1)π，mπ－φ)与(mπ－φ，mπ)上，f′(x)的符号总相反、于是当x＝mπ－φ(m∈N*)时，f(x)取得极值，所以xn＝nπ－φ(n∈N*)、此时，f(xn)＝ea(nπ－φ)sin(nπ－φ)＝(－1)n＋1ea(nπ－φ)sin φ、易知f(xn)≠0，而＝＝－eaπ是常数，故数列{f(xn)}是首项为f(x1)＝ea(π－φ)sin φ，公比为－eaπ的等比数列、(2)由(1)知，sin φ＝，于是对一切n∈N*，xn<|f(xn)|恒成立，即nπ－φ<ea(nπ－φ)恒成立，等价于<(*)恒成立(因为a>0)、设g(t)＝(t>0)，则g′(t)＝、令g′(t)＝0得t＝1、当0<t<1时，g′(t)<0，所以g(t)在区间(0,1)上单调递减；当t>1时，g′(t)>0，所以g(t)在区间(1，＋∞)上单调递增、从而当t＝1时，函数g(t)取得最小值g(1)＝e、因此，要使(*)式恒成立，只需<g(1)＝e，即只需a>、而当a＝时，由tan φ＝＝>且0<φ<知，<φ<、于是π－φ<<，且当n≥2时，nπ－φ≥2π－φ>>、因此对一切n∈N*，axn＝≠1，所以g(axn)>g(1)＝e＝、故(*)式亦恒成立、综上所述，若a≥，则对一切n∈N*，xn<|f(xn)|恒成立、章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知a，b，c，d都是正数，且bc＞ad，则，，，中最大的是()A、C、D、【解析】因为a，b，c，d均是正数且bc＞ad，所以有＞、①又－＝＝＞0，∴＞，②－＝＝＞0，∴＞、③由①②③知最大，故选D、【答案】 D2、已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝1，则下列不等式中恒成立的是()【导学号：】A、xy＞yzB、xz＞yzC、x|y|＞z|y|D、xy＞xz【解析】法一特殊值法：令x＝2，y＝0，z＝－1，可排除A，B，C，故选D、法二3z＜x＋y＋z＜3x，∴x＞＞z，由x＞0，y＞z，得xy＞xz、故D正确、【答案】 D3、对于x∈[0,1]的任意值，不等式ax＋2b＞0恒成立，则代数式a＋3b的值(A、恒为正值B、恒为非负值C、恒为负值D、不确定【解析】依题意2b＞0，∴b＞0，且a＋2b＞0，∴a＋2b＋b＞0，即a ＋3b恒为正值、【答案】 A4、已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是()A、an＞an＋1B、an＜an＋1C、an＝an＋1D、与n的取值有关【解析】an＋1－an＝－＝、∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N＋，∴an＋1－an＞0，因此an＋1＞an、【答案】 B5、若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是()A、18B、6C、2D、【解析】3a＋3b≥2＝2＝23＝6，选B、【答案】 B6、设a＝lg2－lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系是()A、a＜bB、a＞bC、a＝bD、a≤b【解析】a＝lg2－lg5＝lg ＜0、又x＜0，知0＜ex＜1，即0＜b＜1，∴a＜b、【答案】 A7、若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝()A、B、2C、6D、2或6【解析】∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6，∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2、【答案】 B8、设a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，c＝2x2y2(x，y∈R＋)，则下列结论中不正确的是()A、a最大B、b最小C、c最小D、a，b，c可以相等【解析】因为b＝x3y＋xy3≥2＝2x2y2＝c，故B错，应选B、【答案】 B9、要使－＜成立，a，b应满足的条件是()A、ab＜0且a＞bB、ab＞0且a＞bC、ab＜0且a＜bD、ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b【解析】－＜⇔(－)3＜a－b⇔3＜3⇔ab(a－b)＞0、当ab＞0时，a＞b；当ab＜0时，a＜b、【答案】 D10、已知x＝a＋(a＞2)，y＝ (b＜0)，则x，y之间的大小关系是()A、x＞yB、x＜yC、x＝yD、不能确定【解析】因为x＝a－2＋＋2≥2＋2＝4(a＞2)、又b2－2＞－2(b＜0)，即y＝＜－2＝4，所以x＞y、【答案】 A11、若a>0，b>0，则p＝(ab)，q＝abba的大小关系是()A、p≥qB、p≤qC、p>qD、p<q【解析】＝＝ab＝、若a≥b>0，则≥1，a－b≥0，从而≥1，得p≥q；若b≥a>0，则0<≤1，a－b≤0，从而≥1，得p≥q、综上所述，p≥q、【答案】 A12、在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则角B适合的条件是()A、0＜B≤B、0＜B≤C、0＜B≤D、＜B＜π【解析】由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c，∴cos B＝＝，＝＝－≥、当且仅当a＝b＝c时，等号成立、∴cos B的最小值为、又y ＝cos B在上是减函数，∴0＜B≤、【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分、请把答案填在题中横线上)13、用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________、【解析】“三角形中最多只有一个内角是钝角”的对立事件是“三角形中内角有2个钝角或3个全是钝角”，故应填三角形中至少有两个内角是钝角、【答案】三角形中至少有两个内角是钝角14、若实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b(a≠b)，则mx＋ny的最大值为________、【导学号：】【解析】设m＝cos α，n＝sin α，x＝cos β，y＝sin β，则mx＋ny＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)、当cos(α－β)＝1时，mx＋ny取得最大值、【答案】15、用分析法证明：若a，b，m都是正数，且a＜b，则＞、完成下列证明过程：∵b＋m＞0，b＞0，∴要证原不等式成立，只需证明b(a＋m)＞a(b＋m)，即只需证明________、∵m＞0，∴只需证明b＞a，由已知显然成立、∴原不等式成立、【解析】b(a＋m)＞a(b＋m)与bm＞am等价，因此欲证b(a＋m)＞a(b＋m)成立，只需证明bm＞am即可、【答案】bm＞am16、已知a，b，c，d∈R＋，且S＝＋＋＋，则S的取值范围是________、【解析】由放缩法，得＜＜；＜＜；＜＜；＜＜、以上四个不等式相加，得1＜S＜2、【答案】(1,2)三、解答题(本大题共6小题，共70分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、(本小题满分10分)已知m＞0，a，b∈R，求证：≤、【证明】∵m＞0，∴1＋m＞0、所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证、18、(本小题满分12分)实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数、【证明】假设a，b，c，d都是非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，这与已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，∴a，b，c，d中至少有一个是负数、19、(本小题满分12分)设a，b，c是不全相等的正实数、求证：lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c、【证明】法一要证：lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c，只需证lg ＞lg(abc)，只需证＞abc、∵≥＞0，≥＞0，≥＞0，∴≥abc＞0成立、∵a，b，c为不全相等的正数，∴上式中等号不成立、∴原不等式成立、法二∵a，b，c∈{正实数}，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0、又∵a，b，c为不全相等的实数，∴＞abc，∴lg＞lg(abc)，即lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c、20、(本小题满分12分)若0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1、【证明】假设三数能同时大于1，即(2－a)b＞1，(2－b)c＞1，(2－c)a＞1、那么≥＞1，同理＞1，＞1，三式相加＞3，即3＞3、上式显然是错误的，∴该假设不成立、∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时都大于1、21、(本小题满分12分)求证：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)、【导学号：】【证明】∵＝＞＝2(－)，k∈N＋，∴1＋＋＋…＋＞2[(－1)＋(－)＋…＋(－)]＝2(－1)、又＝＜＝2(－)，k∈N＋，∴1＋＋＋…＋＜1＋2[(－1)＋(－)＋…＋(－)]＝1＋2(－1)＝2－1＜2、∴2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)、22、(本小题满分12分)等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn、等比数列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{b}是公比为64的等比数列、(1)求an与bn；(2)证明：＋＋…＋＜、【解】(1)设{an}的公差为d(d∈N)，{bn}的公比为q，则an＝3＋(n －1)d，bn＝qn－1、依题意由①知，q＝64＝2，③由②知，q为正有理数，所以d为6的因子1,2,3,6中之一，因此由②③知，d＝2，q＝8、故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1、(2)证明：Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，则＝＝、∴＋＋＋…＋＝＝＜＝、。

章末分层突破
[自我校对]
①平行线等分线段定理
②平行线分线段成比例定理
③判定定理
④相似三角形的性质
⑤直角三角形的射影定理
法．解决这类问题一般可分为三步：
(1)把等积式化为比例式，从而确定相关的两个三角形相似．
(2)确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或者竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形.
(3)设法找到证明这两个三角形相似的条件．
如图1-1，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边的垂直平分线EM和AB，CA的延长线分别交于D，E，连接AM.
图1-1 求证：AM2＝DM·EM.
【规范解答】∵∠BAC＝90°，
M是BC的中点，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠C.
∵EM⊥BC，
∴∠E＋∠C＝90°.
又∵∠BAM＋∠MAC＝90°，
∴∠E＝∠BAM.
∵∠EMA＝∠AMD，
∴△AMD∽△EMA，
∴AM
DM＝EM AM，
∴AM2＝DM·EM.
[再练一题]
1．如图1-2，在△ABC中，DE∥BC，DH∥GC.求证：EG∥BH.
图1-2
【证明】∵DE∥BC，。

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第3讲圆锥曲线性质的探讨章末分层突破[自我校对]①椭圆②椭圆③抛物线④双曲线平行射影与正射影的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．已知△ABC的边BC在平面α内,A在平面α上的射影为A′（A′不在边BC上）．当∠BAC＝60°时,AB,AC与平面α所成的角分别是30°和45°，求cos∠BA′C.【精彩点拨】点在平面上的射影仍然是点，解决此题的关键是正确找出点A′，找出AB,AC与α所成的角,再结合余弦定理求解．【规范解答】由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°。

设AA′＝1,则A′B＝错误!,A′C＝1，AC＝错误!，AB＝2，∴BC＝错误!＝错误!，cos∠BA′C＝错误!＝错误!。

[再练一题]1．设四面体ABCD各棱长均相等,E，F分别为AC，AD的中点，如图3。

1，则△BEF在该四面体的平面ABC上的射影是下列中的（）图3.1【解析】由于BE＝BF，所以△BEF为等腰三角形，故F点在平面ABC上的正射影不在AC 上而在△ABC内部，又由于EF与CD平行,而CD与平面ABC不垂直，所以F点在平面ABC上的正射影不在直线BE上，从而只有B图形成立．【答案】B平面与圆柱面的截线定义判定曲线的形状．平面与圆柱面的截线其实质是切线长定理在空间中的推广（从球外一点引球的切线，切线长都相等）．如图3。

参数方程章末分层突破参数方程—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—曲线的参数方程—⎪⎪⎪—参数方程的概念— ①—参数方程与普通方程的互化— ② —⎪⎪⎪—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程— ③ —参数t 的几何意义及应用—渐开线与摆线—⎪⎪⎪⎪—渐开线的参数方程—摆线的参数方程[自我校对] ①圆的参数方程 ②圆锥曲线的参数方程 ③直线的参数方程点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x＋y 的最大值和最小值．【规范解答】 ∵椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．故设动点P (3cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)． 因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos φ＋cos π3sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，∴当φ＝π6时，S 取得最大值2；当φ＝7π6时，S 取得最小值－2.[再练一题]1．一直线经过P (1,1)点，倾斜角为α，它与椭圆x 24＋y 2＝1相交于P 1、P 2两点．当α取何值时，|PP 1|·|PP 2|有最值，并求出最值．【解】 设直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入椭圆方程得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(2cos α＋8sin α)t ＋1＝0. ∵Δ＝(2cos α＋8sin α)2－4(cos 2α＋4sin 2α)＞0， ∴tan α＜－23，或tan α＞0.|PP 1|·|PP 2|＝t 1·t 2＝1cos 2α＋4sin 2α， ＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋4sin 2α＝1＋tan 2α1＋4tan 2α ＝14＋34＋16tan 2α， tan 2α→＋∞时，(|PP 1|·|PP 2|)min ＝14，此时α＝π2，|PP 1|·|PP 2|无最大值.在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点，(1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长．【规范解答】 将直线l 的参数方程代入圆的方程， 得⎝⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0.(1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1·t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.(2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上，则 |P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3. [再练一题]2．已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.【导学号：91060030】【解】 因为实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，所以点(x ，y )可视为圆(x －1)2＋(y－1)2＝9上的点，于是可利用圆的参数方程来求解．设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2＝11＋6(sin θ＋cos θ) ＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.因为－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1， 所以11－62≤x 2＋y 2≤11＋62， 所以x 2＋y 2的最大值为11＋62， 最小值为11－6 2.沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围．如图2­1，已知直线l 过点P (2，0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：图2­1(1)P 、M 两点间的距离|PM |； (2)线段AB 的长|AB |.【规范解答】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线的倾斜角为α，tan α＝43，sin α＝45，cos α＝35，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t y ＝45t(t 为参数)．∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0， 则Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0. 设这个二次方程的两个根分别为t 1、t 2， 由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得 |PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)|AB |＝|t 2－t 1| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝5873，因此线段AB 的长为5873.[再练一题]3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)， 设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ， y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)， 因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. (2)由直角坐标与极坐标关系得 直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知，点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆， 因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为 |0－0＋1|12＋－2＝12＝22，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程 (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0,4)的直线的斜率k 为参数．【规范解答】 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16， 于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ.∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ， 因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)设M (x ，y )是曲线4x 2＋y 2＝16上异于A 的任一点，则y －4x＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2，易知A (0,4)也适合此方程．另有一点⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4，∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2－164＋k2(k 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.[再练一题]4．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ＋1，y ＝t 2－1(t 为参数)化为普通方程．【解】 由x ＝35t ＋1得t ＝53(x －1)，代入y ＝t 2－1，得y ＝259(x －1)2－1，即为所求普通方程．1．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．【解析】 由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2得x ＋y ＝－2.方法一：由⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，得y 2＝8x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．方法二：把⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t代入x ＋y ＋2＝0得t 2＋22t ＋2＝0，解得t ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．【答案】 (2，－4)2．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝______.【解析】 由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t，得y 2－x 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫22，322，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，故|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.【答案】 2 53．(2015·重庆高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t ，得x －y ＋2＝0，则ρcos θ－ρsin θ＋2＝0.由ρ2cos 2θ＝4得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4. ∴ρcos θ＝－2，ρsin θ＝0.∴θ＝π，ρ＝2. ∴直线l 与曲线C 的交点的极坐标为A (2，π)． 【答案】 (2，π)4．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.【导学号：91060031】【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)(方法1)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tanα.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904， 整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.(方法2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.章末综合测评(二) 参数方程 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A ．(－1,2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3,2)【解析】 直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， 因此点(－3,2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 【答案】 D2．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2,23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A.π3 B.23π C.43π D.53π 【解析】 ∵点Q (－2,23)在圆上，∴⎩⎨⎧－2＝4cos θ，23＝4sin θ且0≤θ<2π，∴θ＝23π.【答案】 B3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)的斜率为( )A ．2B ．－2 C.32D ．－32【解析】 直线的普通方程为2x ＋y －8＝0， ∴斜率k ＝－2. 【答案】 B4．已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6【解析】 当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92，∴k OA ＝tan α＝y x＝－3，且0≤α<π，因此α＝2π3.【答案】 C5．已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【解析】 设线段AB 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12sin θ，3x －2y ＝－12cos θ.∴(3x ＋2y )2＋(3x －2y )2＝144， 整理得x 28＋y 218＝1，表示椭圆．【答案】 C6．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74 B.73 C.72D.75【解析】 椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝74.故选A.【答案】 A7．(2016·汕头月考)已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意易知圆的圆心M (1,2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|3×1－4×2－5|32＋42＝2. 【答案】 B8．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4C.π3或2π3D ．－π6或－5π6【解析】 直线的普通方程为y ＝tan α·x ，圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，由于直线与圆相切，则|4tan α|tan 2x ＋1＝2. ∴tan α＝±33，∴α＝π6或5π6.故选A. 【答案】 A9．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )【导学号：91060032】A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2) 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*) 将y ＝x －b 代入(*)，化简得 2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0， 解得2－2<b <2＋ 2. 【答案】 D10．实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的最大值是( ) A ．2 B ．4 C.92D ．5【解析】 由3x 2＋2y 2＝6x ，得3(x －1)2＋2y 2＝3，令x ＝1＋cos θ，y ＝62sin θ，代入x 2＋y 2，得 x 2＋y 2＝(1＋cos θ)2＋32sin 2θ＝－12(cos θ－2)2＋92，∴当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max＝4.【答案】 B11．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12D ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 【解析】 由y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ 得x 2－1＝sin θ， ∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D. 【答案】 D12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋ 3【解析】 将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ′y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′、t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________．【解析】 化参数方程为普通方程，得y 2－x 2＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 【答案】 x ±y ＝014．(2016·东莞模拟)在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线极坐标方程为________．【解析】 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线是过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化为极坐标方程ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.【答案】 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1或ρcos θ＋3ρsin θ＝115．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －2可化为y ＝(x －2)2，射线θ＝π4可化为y ＝x (x ≥0)，联立这两个方程得：x 2－5x ＋4＝0，点A ，B 的横坐标就是此方程的根，线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52 16．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．【解析】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m .又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，则得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63. 【答案】63三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ<2π)，平方得x 2＋y 2＝4， ∴圆心O (0,0)，半径r ＝2.(2)当θ＝5π3时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－3，∴点M 的坐标为(1，－3)．18．(本小题满分12分)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围．【解】 (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1即x 216＋y 29＝1.(2)2x ＋y ＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ由tan θ＝83确定，∴2x ＋y ∈[－73，73]，∴2x ＋y 的取值范围是[－73，73]．19．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【解】 (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得x 2＋y 2＝16，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t 代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋33t －9＝0. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝37.20．(本小题满分12分)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．21．(本小题满分12分)(2016·昆明调研)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．【解】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C ：x 2＋y 2＝4x . (2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝α＋cos α2－16>0，t 1＋t 2＝－α＋cos α，t 1·t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，t 1<0，t 2<0.而|PM |＋|PN | ＝＋t 1cos α－2＋＋t 1sin α－2＋＋t 2cos α－2＋＋t 2sin α－2＝|t 1|＋|t 2|＝－t 1－t 2＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，所以|PM |＋|PN |的取值范围为(4,42]．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2 B 1的面积．【解】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为x ′＋2xx ′－x2＝25.。

平行线分线段成比例定理教学目的：1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。

教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。

教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。

教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。

教学过程：（一）旧知识的复习利用投影仪提出下列各题使学生解答。

1．求出下列各式中的x ：y 。

（1）3x =5y ； （2）x=y 32； （3）3：2=γ：χ； （4）3：χ=5：γ。

2．已知γχχγχ+=求,27。

3．已知zy x z y x z -+++==32,432求γχ。

其中第1题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。

（二）新知识的教学1．提出问题，使学生思考。

在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1的？而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图1（若E 是AB 中点，EF//BC ，交AC 于F 点，则AF=FC ）使学生观察，并予以分析而得出11==FC AF EB AE ，并指出此定理也可谓：如果E 是△ABC 的AB 边上一点，且11=EB AE ，EF//BC 交AC 于F 点，那么11==FC AE EB AE 。

2．引导学生探索与讨论。

就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但EB AE 不等于11，譬如EB AE =32时，FCAF 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。

而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行证明。