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庖丁巧解牛知识·巧学一、弦切角1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.2.弦切角的特点：(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切.误区警示弦切角定义中的三个条件缺一不可.图2-4-2各图中的角都不是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.图2-4-23.如图2-4-3所示，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部.图2-4-3二、弦切角定理1.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.2.定理的证明：由于弦切角可分为三类，即图2-4-3所示的情况，所以在证明定理时分三种情况加以讨论：当弦切角一边通过圆心时〔图2-4-4（1）〕，显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角；当圆心O在∠CAB外时〔图2-4-4（2）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC；当圆心O在∠CAB内时〔图2-4-4（3）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.图2-4-43.在证明弦切角定理的过程中，我们从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程，要学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.知识拓展由弦切角定理，可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等，我们把这一结论称为弦切角定理的推论，它也是角的变换的依据.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.问题·探究问题到目前为止，对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、弦切角，它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系，这三种角在证明题和计算题中经常用到，它们是几何综合题中不可缺少的知识点.它们相互之间有哪些联系和区别？如何把握这些联系和区别？思路:从理解圆心角、圆周角、弦切角的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系入手思考.探究:圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系，对于我们在圆中的计算、证明，起着举足轻重的作用，将这些知识总结对比列表如下，你可以在比较中把握其异同点，从而快速、准确地应用于解决问题.名称圆心角圆周角弦切角定义顶点在圆心的角顶点在圆上；两边和圆相交顶点在圆上；一边和圆相交；另一边和圆相切图形有关定理①圆心角的度数等于它所对的弧的度数②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半弦切角等于它所夹弧所对的圆周角有关推论四者关系定理的推论圆周角定理推论①、②、③弦切角定理的推论角与弧的关系∠AOB的度数=的度数∠ACB的度数=21的度∠ACB的度数=21的度典题·热题例1如图2-4-5，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB 与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长.J图2-4-5思路分析：∠BAE为弦切角，于是∠BAE=∠C，再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度数，进而解直角三角形即可.解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE.又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°.2.则有BE=1，AB=3，BC=3，AC=3深化升华本题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型，求解此类题时，要注意弦切角在角的转换中的作用，本题正是由于这一条件，沟通了角之间的数量关系.例2如图2-4-6，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.图2-4-6思路分析：连结DF，构造弦切角，于是∠FDC=∠DAC，根据AD是△ABC中∠BAC的平分线,得∠BAD=∠DAC，而∠BAD与∠EFD对着同一段弧，所以相等，由此建立∠EFD与∠FDC的相等关系，根据内错角相等，可以断定两直线平行.证明：连结DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC=∠DAC.∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC.方法归纳证明两条直线平行的方法有：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行等.证题时可以根据图形与已知合理选择.本题由于有切线，所以考虑弦切角和它所对的圆周角.例3如图2-4-7，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E.图2-4-7（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6 cm，BC=4 cm，求AE的长.思路分析：第（1）问中的全等已经具备了AB=AC，再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系；对于（2），则利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程获得AE的长.（1）证明：∵XY 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2. ∵BD ∥XY ，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∵∠3=∠4，∴∠2=∠4.∵∠ABD=∠ACD ，又∵AB=AC ，∴△ABE ≌△ACD.（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB ，∴△BCE ∽△ACB. ∴CBCEAC BC. ∴AC·CE=BC 2，即AC·(AC-AE)=BC 2. ∵AB=AC=6，BC=4，∴6(6-AE)=16. ∴AE=310（cm ）. 深化升华 本题利用平行线、弦切角、圆周角等进行了角的转换，利用相似建立方程求线段的长度，综合应用时，必须非常熟悉图形中的各个量，盯准要求的数值，向图形和已知索取条件.。
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线章末分层冲破学案北师大版选修4-1[自我校对]①相切②相交③抛物能④双曲线球的截面的半径为R，圆的半径为r，则有r2＋OO′2＝R2.已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC ＝CA＝2，求球面面积.【出色点拨】设过A，B，C三点截面圆的圆心为OO′，则OO′⊥平面ABC，且OO′＝1 2R，由△ABC为等边三角形，易知O′为△ABC的中心，在O′A＝33AB＝233.在Rt△OO′A中，由勾股定理得出R ，从而求出球面面积.【规范解答】 如图，过A ，B ，C 三点截面圆的圆心为O ′，连接AO ′，OO ′，AO ，则OO ′⊥平面ABC ，∴OO ′⊥AO ′.在△ABC 中，∵AB ＝BC ＝CA ＝2， ∴△ABC 为边长是2的正三角形， ∴AO ′＝33AB ＝233. 设球的半径为R ，则AO ＝R ，OO ′＝12R .在Rt△AO ′O 中，由勾股定理得AO 2＝AO ′2＋OO ′2，即R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2，∴R ＝43， 从而球面的面积为S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝649π.[再练一题]1.(全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )【导学号：】π π ππ【解析】 如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O ABC ＝V C AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ABC 最大为13×12R 2×R ＝36， ∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C. 【答案】 C圆柱、圆锥的截面.设圆锥的底面半径为2，高为3，求： (1)内接正方体的棱长；(2)内切球的表面积.【出色点拨】 作出圆锥的轴截面，利用平面几何的知识求解.【规范解答】 (1)过正方体的一极点作圆锥的一个轴截面，如图所示.设正方体的棱长为a ，则O ′C ′＝22a ，O ′O ＝a . 由△VO ′C ′∽△VOF ， ∴VO ′∶VO ＝O ′C ′∶OF ， 即(3－a )∶3＝22a ∶2，∴a ＝182－24. (2)作圆锥的一个轴截面，如图，设内切球的半径为R ，则VB ＝22＋32＝13. ∵BO 为∠ABV 的平分线， ∴VO ∶OD ＝VB ∶BD ， 即(3－R )∶R ＝13∶2， 解得R ＝23(13－2)，∴S 球＝4πR 2＝4π×49(13－2)2＝169(17－413)π. [再练一题]2.如图21，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积为( )图21π π ππ【解析】 由已知圆柱底面半径r ＝2. 即直径为4.设截面与圆柱母线成α角，则sin α＝45，∴cos α＝35.∴几何体的最长母线长为2＋2cos α＝2＋5×35＝5.用一个一样的几何体补在上面，可得一个底半径r ＝2，高为7的圆柱，其体积为V ＝π×22×7＝28π.∴所求几何体的体积为12V＝14π.【答案】C圆锥曲线的几何性质如图22，设动点P 到点A (－1,0)和B (1,0)的距离别离为d 1和d 2，∠APB ＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d 1d 2sin 2θ＝λ.证明：动点P 的轨迹C 为双曲线.图22【出色点拨】 在△PAB 中由余弦定理可得|d 1－d 2|＝21－λ∵0<λ<1，|c |－λ<1,0<1－λ<1，∴|d 1－d 2|<2＝|AB |，由双曲线的概念知动点P 的轨迹是A ，B 为核心的双曲线.【规范解答】 在△PAB 中，|AB |＝2， 则22＝d 21＋d 22－2d 1d 2cos 2θ， 4＝(d 1－d 2)2＋4d 1d 2sin 2θ， 即|d 1－d 2|＝4－4d 1d 2sin 2θ ＝21－λ＜2(常数)，∴点P 的轨迹C 是以A ，B 为核心，实轴长为2a ＝21－λ的双曲线. [再练一题]3.已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为12，则Dandelin 球的半径是__________.【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2c＝4c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.∴b ＝a 2－c 2＝3，∴Dandelin 球的半径为 3.【答案】 3转化与化归的思想在研究平面与圆柱面或圆锥面的截线性质时，往往借助Dandelin双球——内切于圆柱面的球.此时，几何体的结构较为复杂.因此在处置这种问题时，可作圆柱面或圆锥面的轴截面(过轴的截面)，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决.即立体问题平面化.在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球，两球的球心距离为13，若作一个平面这两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆.求此椭圆的长轴长.【出色点拨】作出圆柱面的轴截面，借助Dandelin双球的性质，转化为平面几何知识求解.【规范解答】如图为圆柱面的轴截面图.AB为与两球O1和O2相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB过圆柱的几何中心O.∵OO1⊥OD，O1C⊥OA，∴∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，∴Rt△OO1C≌Rt△AOD，∴OA＝OO1，∴AB＝2AO＝2OO1＝O1O2＝13.∵AB即为椭圆的长轴，∴椭圆的长轴长为13.[再练一题]4.如图23所示，圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C 的最短距离为( )图23cmπ2＋4 cmcmcm【解析】如图是圆柱的侧面展开图，则AC长为圆柱面上从A到C的最短距离.设圆柱的底面半径为r ， 则r ＝52.∴底面圆周长l ＝2πr ＝5π， ∴AB ＝52π.AD ＝BC ＝5，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝ 52π2＋52＝52π2＋4(cm). 【答案】 B1.(全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右极点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )【解析】 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ， 3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.故选D. 【答案】 D2.(全国卷Ⅰ)直线l 通过椭圆的一个极点和一个核心，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )【导学号：】【解析】 不妨设直线l 通过椭圆的一个极点B (0，b )和一个核心F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.【答案】 B3.(浙江高考)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右核心别离为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________.【解析】 ∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右核心别离为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8.【答案】 (27，8)4.(江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为五、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们从头制作成整体积与高均维持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______.【解析】 设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7. 【答案】 7。
2017~2018学年人教A版高中数学选修4-1全册学案汇编目录第一讲相似三角形的判定及有关性质 (1)一平行线等分线段定理 (1)二行线分线段成比例定理 (10)三．相似三角形的判定1 (20)四．相似三角形的性质2 (28)五角三角形的射影定理 (37)六本讲高考热点解读与高频考点例析 (44)第二讲直线与园的位置关系 (48)一圆周角定理 (48)二圆内接四边形的性质与判定定理 (57)三圆的切线的性质及判定定理 (67)四弦切角的性质 (79)五与圆有关的比例线段 (88)六本讲高考热点解读与高频考点例析 (98)第三讲圆锥曲线性质的探讨 (103)第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理1．平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)用符号语言表述：已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′(如图)，如果AB＝BC，那么A′B′＝B′C′.(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线，它是由三条或三条以上的平行线组成的．(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的推论(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．(2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．推论既可用来平分已知线段，也可用来证明线段的倍数问题．l2∥l3∥l4，l，l′分别交l1，l2，l3，l4如图，已知直线l于A，B，C，D和A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD.求证：A1B1＝B1C1＝C1D1.直接利用平行线等分线段定理即可．∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝BC，∴A1B1＝B1C1.∵直线l2∥l3∥l4，且BC＝CD，∴B1C1＝C1D1，∴A1B1＝B1C1＝C1D1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．1．如图，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BE等于( )A．9 B．10 C．11 D．12解析：选A 过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BE＝9.2．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′.求证：A′D′＝B′C′.证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于O点，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′.同理，O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′.E.求证：AG＝2DE.AF＝FC，GF∥EC→AG＝GE→△BDG≌△CDE→AG＝2DE在△AEC 中， ∵AF ＝FC ，GF ∥EC ， ∴AG ＝GE . ∵CE ∥FB ，∴∠GBD ＝∠ECD ，∠BGD ＝∠E . 又BD ＝DC ， ∴△BDG ≌△CDE . 故DG ＝DE ，即GE ＝2DE ， ∴AG ＝2DE .此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．3.如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE 平行于AB 交BC 于E ，AD ＝6，求BE 的长．解：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以OA ＝OC ，BC ＝AD . 因为AB ∥DC ，OE ∥AB ， 所以DC ∥OE ∥AB . 因为AD ＝6，所以BE ＝EC ＝12BC ＝12AD ＝3.4．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F .求证：AF ＝13AC .证明：如图，过D 作DG ∥BF 交AC 于点G . 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DG ∥BF ，∴G 为CF 的中点，即CG ＝GF . 在△ADG 中，E 是AD 的中点，EF ∥DG ，∴F 是AG 的中点，即AF ＝FG . ∴AF ＝13AC .求证：AM ＝BM .解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． 过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E .∵AD ∥BC ，∴AD ∥EM ∥BC . 又∵M 是CD 的中点， ∴E 是AB 的中点． ∵∠ABC ＝90°， ∴ME 垂直平分AB . ∴AM ＝BM .有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．5．若将本例中“M 是CD 的中点”与“AM ＝BM ”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．解：结论成立．证明如下：过点M 作ME ⊥AB 于点E ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB .∵ME ⊥AB ， ∴ME ∥BC ∥AD . ∵AM ＝BM ，且ME ⊥AB ， ∴E 为AB 的中点， ∴M 为CD 的中点．6．如图所示，E ，F 是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，过AB 的中点M 作MN ∥BC ，分别交EF ，CD 于点P ，N ，则EP ＝12________，CD ＝2________＝2________＝2________＝2________.答案：EF DN NC AM MB课时跟踪检测(一)一、选择题1．在梯形ABCD 中，M ，N 分别是腰AB 与腰CD 的中点，且AD ＝2，BC ＝4，则MN 等于( ) A ．2.5B ．3C ．3.5D ．不确定解析：选B 由梯形中位线定理知选B.2．如图，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝13BD ，那么FC 是BF 的( )A.53倍 B.43倍 C.32倍 D.23倍解析：选A ∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点， 即BF ＝FD . 又DC ＝13BD ，∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .3．梯形的中位线长为15 cm ，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：选A 如图，设MP ∶PN ＝2∶3，则MP ＝6 cm ，PN ＝9 cm. ∵MN 为梯形ABCD 的中位线，在△BAD 中，MP 为其中位线， ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm.4．梯形的一腰长为10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为 ( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2解析：选D 如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ， ∴AD ＋BC ＝2³12＝24(cm)．∴梯形的面积S ＝12(AD ＋BC )²AE ＝12³5³24＝60 (cm 2)．二、填空题5．如图，在AD 两旁作AB ∥CD 且AB ＝CD ，A 1，A 2为AB 的两个三等分点，C 1，C 2为CD 的两个三等分点，连接A 1C ，A 2C 1，BC 2，则把AD 分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．解析：如图，过A 作直线AM 平行于A1C ，过D 作直线DN 平行于BC 2，由AB ∥CD ，A 1，A 2为AB 的两个三等分点，C 1，C 2为CD 的两个三等分点，可得四边形A 1CC 1A 2，四边形A 2C 1C 2B 为平行四边形，所以A 1C∥A 2C 1∥C 2B ，所以AM ∥A 1C ∥A 2C 1∥C 2B ∥DN ，因为AA 1＝A 1A 2＝A 2B ＝CC 1＝C 1C 2＝C 2D ，由平行线等分线段定理知，A 1C ，A 2C 1，BC 2把AD 分成四条线段的长度相等．答案：相等6．如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝______；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析：由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得F 为AD 的中点． 由EG ∥AC ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F ，D 是AC 的三等分点， 则AC ＝3EG ＝6 cm.由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5 cm.答案：6 cm 5 cm7．如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于点P ，DN ∥CP .若AB ＝6 cm ，则AP ＝________；若PM ＝1 cm ，则PC ＝________.解析：由AD ⊥BC ，AB ＝AC ，知BD ＝CD ， 又DN ∥CP ， ∴BN ＝NP ，又AM ＝MD ，PM ∥DN ，知AP ＝PN ， ∴AP ＝13AB ＝2 cm.易知PM ＝12DN ，DN ＝12PC ，∴PC ＝4PM ＝4 cm. 答案：2 cm 4 cm 三、解答题8．已知△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 的三等分点(BE >CE )，AE ，CD 交于点F . 求证：F 是CD 的中点． 证明：如图，过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，在△ABE 中，∵AD ＝BD ，DG ∥AE ， ∴BG ＝GE .∵E 是BC 的三等分点， ∴BG ＝GE ＝EC .在△CDG 中，∵GE ＝CE ，DG ∥EF ， ∴DF ＝CF ， 即F 是CD 的中点．9.如图，在等腰梯形中，AB ∥CD ，AD ＝12 cm ，AC 交梯形中位线EG 于点F ，若EF ＝4 cm ，FG ＝10 cm.求此梯形的面积．解：作高DM ，CN ， 则四边形DMNC 为矩形．∵EG 是梯形ABCD 的中位线， ∴EG ∥DC ∥AB . ∴F 是AC 的中点．∴DC ＝2EF ＝8，AB ＝2FG ＝20，MN ＝DC ＝8.在Rt △ADM 和Rt △BCN 中，AD ＝BC ，∠DAM ＝∠CBN ，∠AMD ＝∠BNC ，∴△ADM ≌△BCN . ∴AM ＝BN ＝12(20－8)＝6.∴DM ＝AD 2－AM 2＝122－62＝6 3. ∴S 梯形＝EG ²DM ＝14³63＝84 3 (cm 2)．10.已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，四边形ABDE 是平行四边形，AD的延长线交EC 于F .求证：EF ＝FC .证明：法一：如图，连接BE 交AF 于点O . ∵四边形ABDE 是平行四边形，∴BO ＝OE . 又∵AF ∥BC ， ∴EF ＝FC . 法二：如图，延长ED 交BC 于点H .∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AB ∥ED ，AB ∥DH ，AB ＝ED .又∵AF ∥BC ，∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图，延长EA交CB的延长线于点M. ∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥EA，AE＝BD.又∵AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM＝BD.∴AM＝AE.∴EF＝FC.二行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． (2)图形语言：如图l 1∥l 2∥l 3， 则有：AB BC ＝DE EF，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF DF. 变式有：AB DE ＝BC EF ，AB DE ＝AC DF ，BC EF ＝ACDF.“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段，如图中AB 和DE ；而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条线段的比．2．平行线分线段成比例定理的推论(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)图形语言：如图l 1∥l 2∥l 3，则有：AD AB ＝AE AC ，AD DB ＝AE EC ，DB AB ＝CEAC.3．平行线分线段成比例定理的作用平行线分线段成比例定理及推论是研究相似三角形的理论基础，它可以判定线段成比例．另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条线段的比，来得出正确结论．合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比值或证明线段间倍数关系．交AB 于点E ，DF 的延长线交BC 于点H ，DE 的延长线交CB 的延长线于点G .求证：BC ＝GH .可找出两个基本图形：△ABC 和△DHG ，EF 是这两个图形的截线． ∵FE ∥BC ， ∴EF BC ＝AE AB ，EF GH ＝DFDH.∵AD ∥EF ∥BH ，∴AE AB ＝DFDH.∴EF BC ＝EF GH.∴BC ＝GH .在利用平行线证明或计算时，常常根据已知条件将复杂的图形进行分解，从中找出基本图形，“借图解题”．1．已知：如图所示，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝mn .求证：DE DF ＝mm ＋n.证明：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴AB BC ＝DE EF ＝m n . ∴EF DE ＝n m，则EF ＋DE DE ＝n ＋mm， 即DF DE ＝m ＋n m .∴DE DF ＝mm ＋n.2.如图，已知AE ∥CF ∥DG ，AB ∶BC ∶CD ＝1∶2∶3，CF ＝12 cm ，求AE ，DG 的长．解：∵AE ∥CF ，∴AE CF ＝ABBC.∴AE ＝AB BC²CF .∵AB ∶BC ＝1∶2，CF ＝12 cm ， ∴AE ＝12³12＝6 (cm)．∵CF ∥DG ， ∴BC BD ＝CF DG.∵BC CD ＝23， ∴BC BD ＝25. ∴DG ＝BD BC ²CF ＝52³12＝30(cm).求证：AB AC ＝EG FH.由题目中的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理，寻求与AB AC ，EG FH均相等的公共比例式．∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB AC ＝DE DF. 又∵EG ∥FH ，∴EG FH ＝DE DF. ∴AB AC ＝EG FH.在此题中，DE DF 是AB AC 与EGFH的公共比，公共比大多是两个或两个以上的比例式都具有的一个公共比，通常是两个图形中公共边的比．当要证的结论不是比例式(通常是等积式)时，常转化为比例式来突破题设的条件，其中公共比是常用的转化方法．3．已知：如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连接AE交CD 于点F ，FG ∥AD 交DE 于点G .求证：FC ＝FG .证明：在正方形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴FC AB ＝EF AE. ∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EFAE.∴FC AB ＝FG AD. ∵AB ＝AD . ∴FC ＝FG .4．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，DE 交AC 于点G ，交BC 于点F .求证：(1)DG 2＝GE ²GF ； (2)CF CB ＝ABAE.证明：(1)∵CD ∥AE ， ∴DG GE ＝CG AG. 又∵AD ∥CF ， ∴GF DG ＝CG AG .∴DG GE ＝GF DG，即DG 2＝GE ²GF . (2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝DFDE.又∵CD ∥BE ，∴CF CB ＝DF DE. ∴CF CB ＝AB AE.点F ，求证：AC BC ＝AFDF.由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或其推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证．作EH ∥AB 交AC 于点H ，则AC AH ＝BC BE ，∴AC BC ＝AHBE.同理，AF AH ＝DF DE，∴AF DF ＝AHDE.∵△BDC 为直角三角形，且E 为BC 边中点，∴BE ＝CE ＝DE .∴AH BE ＝AH DE .∴AC BC ＝AFDF.证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究．有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．5．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且EF ∥BC ，若AE EB ＝23，AD ＝8 cm ，BC ＝18 cm ，求EF 的长．解：作AG ∥DC 分别交BC ，EF 于G ，H ，∴AD ＝HF ＝GC ＝8 cm.BG ＝18－8＝10(cm)． ∵AE EB ＝23， ∴AE AB ＝25. ∴EH BG ＝AE AB ＝25. ∴EH ＝25³BG ＝25³10＝4(cm)．∴EF ＝EH ＋HF ＝4＋8＝12(cm)．6.如图所示，已知△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于点F ，求EF FC ＋AFFD的值．解：过点D 作DG ∥AB 交EC 于点G ， 则DG BE ＝CD BC ＝CG EC ＝13，而AE BE ＝13，即AE BE ＝DG BE， 所以AE ＝DG .从而有AF ＝DF ，EF ＝FG ＝CG ， 故EF FC ＋AF FD ＝EF 2EF ＋AFAF＝12＋1＝32. 课时跟踪检测(二)一、选择题1.如图所示，DE ∥AB ，DF ∥BC ，下列结论中不．正确的是( ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BFABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DFBC解析：选D ∵DF ∥EB ，DE ∥FB ， ∴四边形DEBF 为平行四边形． ∴DE ＝BF ，DF ＝EB . ∴AD DC ＝AF FB ＝AFDE，A 正确．CE CB ＝DE AB ＝BFAB，B 正确． CD AD ＝CE EB ＝CEDF，C 正确． 2．已知线段a ，m ，n 且ax ＝mn ，求作x ，图中作法正确的是( )解析：选C 因为ax ＝mn ，所以a m ＝nx，故选C.3.如图，在△ACE 中，B ，D 分别在AC ，AE 上，下列推理不．正确的是( )A ．BD ∥CE ⇒AB AC ＝BD CE B ．BD ∥CE ⇒AD AE ＝BD CE C ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝AD DED ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝BD CE解析：选D 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A 、B 、C 都是正确的，D 项是错误的．4．如图，将一块边长为12的正方形纸ABCD 的顶点A ，折叠至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM 和MQ 的比是()A ．5∶12B ．5∶13C ．5∶19D ．5∶21解析：选C 如图，作MN ∥AD 交DC 于N ， ∴DN NE ＝AM ME.又∵AM ＝ME ，∴DN ＝NE ＝12DE ＝52.∴NC ＝NE ＋EC ＝52＋7＝192.∵PD ∥MN ∥QC ， ∴PM MQ ＝DN NC ＝52192＝519. 二、填空题5．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝________.解析：∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝DE BC ＝EFBF.∵BF ∶EF ＝3∶2， ∴AC ∶AE ＝3∶2. 答案：3∶26.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于点F ，则BF FC＝________.解析：过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M .∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM . ∵点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF . ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.答案：127．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ∶AB ∶BC ＝3∶4∶6，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，AE ∶AB ＝DF ∶DC ＝1∶3.若四边形ABCD 的周长为1，则四边形AEFD 的周长为________．解析：因为在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ∶AB ∶BC ＝3∶4∶6，所以可设AD ＝3k ，AB ＝4k ，BC ＝6k ， 作DG ⊥BC 交BC 于点G ，交EF 于点H ， 则DG ＝4k ，GC ＝3k ，所以DC ＝16k 2＋9k 2＝5k ， 因为四边形ABCD 的周长为1，所以3k ＋4k ＋6k ＋5k ＝1，所以k ＝118，因为E ，F 分别是AB ，CD 上的点，AE ∶AB ＝DF ∶DC ＝1∶3，所以AE ＝4k 3，DF ＝5k3，取BE ，CF 的中点M ，N ，令EF ＝x ，MN ＝y ，则由梯形中位线得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3k ＋y ，2y ＝x ＋6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，y ＝5k ，即EF ＝4k .所以四边形AEFD 的周长是3k ＋4k 3＋4k ＋5k 3＝10k ＝10³118＝59.答案：59三、解答题8.如图，B 在AC 上，D 在BE 上，且AB ∶BC ＝2∶1，ED ∶DB ＝2∶1，求AD ∶DF .解：过点D 作DG ∥AC 交FC 于点G ，则DG BC ＝ED EB ＝23，所以DG ＝23BC ，又BC ＝13AC ，所以DG ＝29AC ，所以DF AF ＝DG AC ＝29，所以DF ＝29AF ，从而AD ＝79AF ，故AD ∶DF ＝7∶2.9.如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过O 作AB 的平行线，与AD ，BC 分别交于E ，F ，与CD 的延长线交于K .求证：KO 2＝KE ²KF .证明：延长CK ，BA ，设它们交于点H . 因为KO ∥HB ， 所以KO HB ＝DK DH ，KE HA ＝DKDH .所以KO HB ＝KE HA，即KO KE ＝HB HA. 因为KF ∥HB ， 同理可得KF KO ＝HBHA.所以KO KE ＝KF KO，即KO 2＝KE ²KF .10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .(1)求证：EO ＝OF ； (2)求EO AD ＋EO BC的值； (3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.解：(1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ， ∴EF ∥AD ∥BC . ∵EF ∥BC ，∴EO BC ＝AE AB ，OF BC ＝DFDC.∵EF ∥AD ∥BC ， ∴AE AB ＝DF DC . ∴EO BC ＝OF BC. ∴EO ＝OF . (2)∵EO ∥AD ， ∴EO AD ＝BE BA. 由(1)知EO BC ＝AEAB，∴EO AD ＋EO BC ＝BE BA ＋AE AB ＝BE ＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知EO AD ＋EOBC＝1，∴2EO AD ＋2EOBC＝2.又EF ＝2EO ，∴EF AD ＋EF BC＝2. ∴1AD ＋1BC ＝2EF.三．相似三角形的判定11．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．△ABC∽△BCD.已知AB ＝AC ，∠A ＝36°，所以∠ABC ＝∠C ＝72°，而BD 是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.∵∠A ＝36°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°. 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝36°. ∴∠A ＝∠CBD .又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BCD .判定两三角形相似，可按下面顺序进行： (1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1.如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使△ABE 和△ACD 相似的是( )A ．∠B ＝∠C B ．∠ADC ＝∠AEB C ．BE ＝CD ，AB ＝ACD ．AD ∶AC ＝AE ∶AB解析：选C 在选项A 、B 的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似，在D 项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等．故选项A 、B 、D 都能推出两三角形相似．在C 项的条件下推不出两三角形相似．2．如图，在四边形ABCD 中，AEEB ＝AF FD ，BG GC ＝DHHC，EH ，FG 相交于点O .求证：△OEF ∽△OHG . 证明：如图，连接BD .∵AE EB ＝AF FD， ∴EF ∥BD . 又∵BG GC ＝DH HC， ∴GH ∥BD . ∴EF ∥GH .∴∠EFO ＝∠HGO ，∠OHG ＝∠OEF .∴△OEF ∽△OHG .3.如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC ＝1∶4，求证：AE EF ＝ADEC.证明：设正方形ABCD 的边长为4a ， 则AD ＝BC ＝4a ，DE ＝EC ＝2a . 因为CF ∶BC ＝1∶4，所以CF ＝a ，所以AD EC ＝4a 2a ＝2，DE CF ＝2aa＝2，所以AD EC ＝DE CF.又因为∠D ＝∠C ＝90°， 所以△ADE ∽△ECF . 所以AE EF ＝AD EC.如图，D 为△AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H ，连接GH .求证：GH ∥AB .根据此图形的特点可先证比例式GE DE ＝EHEB成立，再证△EGH ∽△EDB ，由相似三角形的定义得∠EHG ＝∠EBD 即可．∵DE ∥BC ， ∴GE FC ＝AG AF ＝DG FB ，即GE DG ＝CFFB.又∵DF ∥AC ，∴EH HB ＝CFFB. ∴GE DG ＝EH HB .∴GE ED ＝EHEB.又∠GEH ＝∠DEB ，∴△EGH ∽△EDB . ∴∠EHG ＝∠EBD . ∴GH ∥AB .不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系．4.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连接CF 交AD 于点E .(1)求证：△CDE ∽△FAE ；(2)当E 是AD 的中点，且BC ＝2CD 时，求证：∠F ＝∠BCF . 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD .又∵点F 在BA 的延长线上， ∴∠DCF ＝∠F ，∠D ＝∠FAE . ∴△CDE ∽△FAE . (2)∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE .由△CDE ∽△FAE ，得CD FA ＝DE AE. ∴CD ＝FA . ∴AB ＝CD ＝AF . ∴BF ＝2CD .又∵BC ＝2CD ，∴BC ＝BF . ∴∠F ＝∠BCF .5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，点E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F .求证：AB AC ＝DF AF.证明：∵E 是Rt △ADC 斜边AC 上的中点，∴AE ＝EC ＝ED . ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF .又∵AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠C . ∴∠BAD ＝∠BDF .又∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF ， ∴DB AD ＝DF AF.又在Rt △ABD 与Rt △CBA 中，AB AC ＝DBAD， ∴AB AC ＝DF AF.课时跟踪检测(三)一、选择题1．如图所示，点E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对解析：选B 有3对，因为∠ABC ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠EAD ，所以△ABE ∽△FDA ， 因为∠ABC ＝∠DCE ，∠E 为公共角， 所以△BAE ∽△CFE .因为∠AFD ＝∠EFC ，∠DAF ＝∠AEC ， 所以△ADF ∽△ECF .2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝ADBC B.AD CD ＝AC BCC ．AC 2＝CD ²CB D ．CD 2＝AC ²AB解析：选C ∠C ＝∠C ，只有AC CD ＝CB AC，即AC 2＝CD ²CB 时，才能使△ACD ∽△BCA . 4．如图，在等边三角形ABC 中，E 为AB 的中点，点D 在AC 上，使得AD AC ＝13，则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD解析：选B 因为∠A ＝∠C ，BC AE ＝CDAD＝2，所以△AED ∽△CBD . 二、填空题5．如图所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，那么CD ＝________.解析：∵∠BAC ＝∠ADC ， 又∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△DAC . ∴AC CD ＝BC AC.又∵AC ＝8，BC ＝16. ∴CD ＝4. 答案：46．如图所示，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3，AC ＝4，则AD ＝________，BD ＝________.解析：由题设可求得AB ＝5， ∵Rt △ABC ∽Rt △ACD ，∴AB AC ＝AC AD .∴AD ＝AC 2AB ＝165. 又∵Rt △ABC ∽Rt △CBD ，∴AB CB ＝BC BD .∴BD ＝BC 2AB ＝95. 答案：165 957．已知在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 与AD 交于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若CF ＝4，BC ＝5，则DF ＝________.解析：连接AF .∵EF ⊥AD ，AE ＝ED ， ∴AF ＝DF ， ∠FAD ＝∠FDA .又∵∠FAD ＝∠DAC ＋∠CAF ， ∠FDA ＝∠BAD ＋∠B ， 且∠DAC ＝∠BAD ，∴∠CAF ＝∠B .而∠CFA ＝∠AFB ， ∴△AFC ∽△BFA . ∴AF CF ＝BF AF.∴AF 2＝CF ²BF ＝4³(4＋5)＝36. ∴AF ＝6，即DF ＝6. 答案：6 三、解答题8.如图，D 在AB 上，且DE ∥BC 交AC 于点E ，F 在AD 上，且AD 2＝AF ²AB .求证：△AEF ∽△ACD . 证明：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC. ∵AD 2＝AF ²AB ，∴AD AB ＝AF AD. ∴AE AC ＝AF AD.又∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACD .9.如图，直线EF 交AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ²CD ＝DE ²AC .求证：AE ²CE ＝DE ²EF . 证明：∵AB ²CD ＝DE ²AC ∴AB DE ＝AC CD. ∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴△ACB ∽△DCE . ∴∠A ＝∠D .又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC . ∴AE DE ＝EF CE. ∴AE ²CE ＝DE ²EF .10.如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，∠AFE ＝∠B ，AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8.(1)求AC 的长；(2)求CD 2BC2的值．解：(1)∵EF ∥CD ， ∴AE AD ＝AF AC.∵AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8， ∴66＋3＝8AC. ∴AC ＝12.(2)∵EF ∥DC ，∴∠AFE ＝∠ACD ， 又∠AFE ＝∠B ，∴∠ACD ＝∠B . 又∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC . ∴CD BC ＝AD AC ＝6＋312＝34.∴CD 2BC 2＝916.四．相似三角形的性质21．相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．△ABC 2，S △AEF ＝4 cm 2，求sin A 的值．由题目条件证明△AEC ∽△AFB ，得AE ∶AF ＝AC ∶AB ，由此推知△AEF ∽△ACB ，进而求出线段EC 与AC 的比值．∵CE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ， ∴∠AEC ＝∠AFB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB . ∴AE AF ＝AC AB.又∵∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝S △AEF S △ACB ＝436. ∴AE AC ＝26＝13. 设AE ＝k ，则AC ＝3k ， ∴EC ＝22k .∴sin A ＝EC AC ＝223.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．1．如图，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F .若AD ＝3，AB ＝5，求：(1)AG AF的值；(2)△ADE 与△ABC 的周长之比； (3)△ADE 与△ABC 的面积之比． 解：(1)在△ADE 与△ABC 中， 因为∠ADE ＝∠B ，∠BAD 为公共角， 所以△ADE ∽△ABC ，所以AG AF ＝AB AD ＝53. (2)△ADE 与△ABC 的周长之比等于它们的相似比， 即AD ∶AB ＝3∶5.(3)△ADE 与△ABC 的面积之比等于它们相似比的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝925.2.如图，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝2∶3.(1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)若S △AEF ＝8，求S △CDF .解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD 且AB ＝CD .∵AE EB ＝23， ∴AE AE ＋EB ＝22＋3，即AE AB ＝25. ∴AE CD ＝25. 又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF ，∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5.(2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25，又S△AEF＝8，∴S△CDF＝50.DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m，它们之间的距离为30 m，小张身高为1.6 m．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．如图，设小张与教学楼的距离至少应有x m，才能看到水塔．连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于点G，交AB于点H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形．∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG.∴AH∶DG＝FH∶FG.即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)，解得x＝55.2(m)．故小张与教学楼的距离至少应有55.2 m才能看到水塔．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．3．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC ∽△ADE .∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∴∠ACB ＝∠AED ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ADE . (2)由(1)得△ABC ∽△ADE ，∴AC AE ＝BCDE. ∵AC ＝2 m ，AE ＝2＋18＝20 m ，BC ＝1.6 m. ∴220＝1.6DE，∴DE ＝16 m. 答：古塔的高度为16 m.4．有一块三角形铁片ABC ，已知最长边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，高AD 交GH 于K ，设矩形的宽为x cm ，则长为2x cm.由HG ∥BC ，得△AHG ∽△ABC .得AK ∶AD ＝HG ∶BC ，所以(8－x )∶8＝2x ∶12，即x ＝247(cm)．则S 矩形EFGH ＝2x 2＝1 15249(cm 2)．如图(2)，矩形的宽MN 在BC 上，类似地可求得S 矩形MNPQ ＝18(cm 2)． 即加工成的铁片的面积为1 15249 cm 2或18 cm 2.课时跟踪检测(四)一、选择题1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：选D 由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC ，∴AD DB ＝AE EC ＝12.∴DB ＝4³2＝8(cm)．2.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，AE 交对角线BD 于点G ，且△BEG 的面积是1 cm 2，则▱ABCD 的面积为( )A ．8 cm 2B ．10 cm 2C ．12 cm 2D ．14 cm 2解析：选C 因为AD ∥BC ，所以△BEG ∽△DAG ，因为BE ＝EC ，所以BE BC ＝BE DA ＝12.所以S △BEG S △DAG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BE DA 2＝14， 即S △DAG ＝4S △BEG ＝4(cm 2)． 又因为AD ∥BC ，所以AG EG ＝DABE＝2，所以S △BAG S △BEG ＝AGEG＝2， 所以S △BAG ＝2S △BEG ＝2(cm 2)，所以S △ABD ＝S △BAG ＋S △DAG ＝2＋4＝6(cm 2)， 所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2³6＝12(cm 2)．3．如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：选D ∵△CBF ∽△CDE ， ∴BF DE ＝CB CD. ∴BF ＝DE ²CB CD ＝3³610＝1.8. 4．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，DC ＝80，那么EF 的值是( )A ．10B ．12C ．16D ．18解析：选C ∵AB ∥EF ∥CD ， ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14.∴EF AB ＝EC AC ＝45. ∴EF ＝45AB ＝45³20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F, 则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析：由CD ∥AE ，得△CDF ∽△AEF ， 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案：36．如图，在△ABC 中有一个矩形EFGH ，其顶点E ，F 分别在AC ，AB 上，G ，H 在BC 上，若EF ＝2FG ，BC ＝20，△ABC 的高AD ＝10，则FG ＝________.解析：设FG ＝x ，因为EF ＝2FG ，所以EF ＝2x . 因为EF ∥BC ，所以△AFE ∽△ABC ，所以AM AD ＝EF BC ，即10－x 10＝2x 20，解得x ＝5，即FG ＝5. 答案：57．如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S矩形ABCD＝40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5，则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ， 所以△ABE ∽△DBA . 所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5， 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm ，DB ＝5k cm ， 则AD ＝2k cm. 因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2，所以k ²2k ＝40，所以k ＝25(cm)． 所以BD ＝5k ＝10 (cm)，AD ＝45(cm)． 又因为S △ABD ＝12BD ²AE ＝20，所以12²10²AE ＝20.所以AE ＝4(cm)． 答案：4 cm 三、解答题8．如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 是AC 上的点，BE ，CD 交于点M .若AC ＝3AE ，求∠EMC 的度数．解：如图，作EF ⊥BC 于点F ， 设AB ＝AC ＝3，则AD ＝32，BC ＝32，CE ＝2，EF ＝FC ＝ 2.∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC ，∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ，∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.9.如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，。
[对应学生用书]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．．(湖南高考)如图，已知，是⊙的两条弦，⊥，＝，＝，则⊙的半径等于．解析：设，的交点为，由已知可得为的中点，则在直角三角形中，＝＝，设圆的半径为，延长交圆于点，由圆的相交弦定理可知·＝·，即()＝－，解得＝.答案：.(新课标全国卷Ⅱ)如图，是⊙外一点，是切线，为切点，割线与⊙相交于点，，＝，为的中点，的延长线交⊙于点.证明：()＝；()·＝.证明：()连接，.由题设知＝，故∠＝∠.因为∠＝∠＋∠，∠＝∠＋∠，∠＝∠，所以∠＝∠，从而＝.因此＝.()由切割线定理得＝·.因为＝＝，所以＝，＝.由相交弦定理得·＝·，所以·＝.．(新课标全国卷Ⅱ)如图，为△外接圆的切线，的延长线交直线于点，，分别为弦与弦上的点，且·＝·，，，，四点共圆．()证明：是△外接圆的直径；()若＝＝，求过，，，四点的圆的面积与△外接圆面积的比值.解：()证明：因为为△外接圆的切线，所以∠＝∠，由题设知＝，故△∽△，所以∠＝∠.因为，，，四点共圆，所以∠＝∠，故∠＝∠＝°.所以∠＝°，因此是△外接圆的直径．()连接，因为∠＝°，所以过，，，四点的圆的直径为.由＝，有＝.又＝·＝，所以＝＋＝.而＝·＝，故过，，，四点的圆的面积与△外接圆面积的比值为.[对应学生用书]内接四边形的判定和性质．[例]已知四边形为平行四边形，过点和点的圆与、分别交于、.求证：、、、四点共圆．[证明]连接，因为四边形为平行四边形，所以∠＋∠＝°.因为四边形内接于圆，。
章末分层突破
[自我校对]
①圆心角定理
②圆内接四边形性质定理
③圆的切线
④弦切角定理
⑤相交弦定理
⑥切线长定理
的计算与证明通常涉及这四类角，因此圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化，借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决．
(·湖南高考)如图-，在⊙中，相交于点的两弦，的中点分别是，，直线与直线相交于点，证明：
图-
()∠＋∠＝°；
()·＝·.
【精彩点拨】()在四边形中，由⊥，⊥证明∠＋∠＝°；
()四边形的对角互补，，，，四点共圆，利用割线定理证明．
【规范解答】()如图所示，因为，分别是弦，的中点，所以⊥，⊥，即∠＝°，∠＝°，
因此∠＋∠＝°.
又四边形的内角和等于°，
故∠＋∠＝°.
()由()知，，，，四点共圆，
故由割线定理即得·＝·.
[再练一题]
．如图-所示，，是⊙的两条切线，，是切点，，是⊙上两点，如果∠＝°，∠＝°，求∠.【导学号：】
图-
【解】法一：∵，是⊙的切线，∴＝.
又∠＝°，∴∠＝＝°.
∵∠＝°，∴∠＝°－°－°＝°.。
[对应学生用书P35]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．1．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r －1，解得r ＝32.答案：322.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.证明：(1)连接AB ，AC .由题设知P A ＝PD ，故∠P AD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ，∠DCA ＝∠P AB ， 所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC . 因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝2PB 2.3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝ 90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径． (2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE . 由BD ＝BE ，有CE ＝DC . 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.[对应学生用书P35]接四边形的判定和性质．[例1]已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证：C、D、E、F四点共圆．[证明]连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．[例2]如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()A．120°B．136°C．144°D．150°[解析]由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，∠ECD＝72°.又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°.[答案] C要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．[例3] 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，点P 是圆外一点，P A 切⊙O 于点A ，且P A ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)已知P A ＝3，BC ＝1，求⊙O 的半径．[解] (1)证明：如图，连接OB . ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA . ∵P A ＝PB ，∴∠P AB ＝∠PBA . ∴∠OAB ＋∠P AB ＝ ∠OBA ＋∠PBA ， 即∠P AO ＝∠PBO .又∵P A 是⊙O 的切线，∴∠P AO ＝90°. ∴∠PBO ＝90°.∴OB ⊥PB .又OB 是⊙O 半径，∴PB 是⊙O 的切线． (2)连接OP ，交AB 于点D .如图．∵P A ＝PB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． ∵OA ＝OB ，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上． ∴OP 垂直平分线段AB . ∴∠P AO ＝∠PDA ＝90°.又∵∠APO ＝∠OP A ，∴△APO ∽△DP A . ∴AP DP ＝POP A.∴AP 2＝PO ·DP . 又∵OD ＝12BC ＝12，∴PO (PO －OD )＝AP 2.即PO 2－12PO ＝(3)2，解得PO ＝2.在Rt △APO 中，OA ＝PO 2－P A 2＝1，即⊙O 的半径为1.圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．[例4]如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．[解]设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB，因为CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE＝6 3.[例5]△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是⊙O的切线交AC于M(如图)．求证：DC2＝AC·CM.[证明]连接AD、OD.∵AB是直径，∴AD⊥BC.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.又AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC.∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM.则DM⊥AC，DC2＝AC·CM.[对应学生用书P43] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有( ) A ．2个锐角和2个钝角 B ．1个锐角和3个钝角 C ．1个钝角和3个锐角D ．都是锐角或都是钝角解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角．答案：A2.如图，在⊙O 中，弦AB 长等于半径，E 为BA 延长线上一点，∠DAE ＝80°，则∠ACD 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．45°D ．30°解析：∠BCD ＝∠DAE ＝80°， 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12AC ，∴∠ACB ＝30°.∴∠ACD ＝80°－30°＝50°. 答案：B3．如图所示，在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB .则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析：作OC ⊥AB 于C ，则BC ＝3，在Rt △BOC 中cos ∠B ＝BO OB ＝32.∴∠B ＝30°.∴∠BOC ＝60°.∴∠AOB ＝120°. 答案：C4.如图，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( )A.2143B.289 C.273D.809解析：过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，则DH ＝12CD ，由相交弦定理知， AE ·BE ＝CE ·DE .设CE ＝4x ，则DE ＝9x ， ∴4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23，∴OH ＝OD 2－DH 2＝52－(133)2＝2143.答案：A5.如图，P A 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，且PB ＝BC ，P A ＝32，那么BC 的长为( )A. 3 B ．2 3 C ．3D ．3 3解析：根据切割线定理P A 2＝PB ·PC ， 所以(32)2＝2PB 2.所以PB ＝3＝BC . 答案：C6．两个同心圆的半径分别为3 cm 和6 cm ，作大圆的弦MN ＝6 3 cm ，则MN 与小圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解析：作OA ⊥MN 于A .连接OM .则MA ＝12MN ＝3 3.在Rt △OMA 中， OA ＝OM 2－AM 2＝3(cm)．∴MN 与小圆相切． 答案：A7.如图，P AB ，PDC 是⊙O 的割线，连接AD ，BC ，若PD ∶PB ＝1∶4，AD ＝2，则BC 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：由四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形可得∠P AD ＝∠C ，∠PDA ＝∠B . ∴△P AD ∽△PCB .∴PD PB ＝AD CB ＝14.又AD ＝2，∴BC ＝8. 答案：D8．已知⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，若P A ＝8 cm ，PB ＝18 cm ，则CD 的长的最小值为( )A ．25 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．12 cm解析：设CD ＝a cm ，CD 被P 分成的两段中一段长x cm ，另一段长为(a －x ) cm.则x (a －x )＝8×18，即8×18≤(x ＋a －x 2)2＝14a 2.所以a 2≥576＝242，即a ≥24.当且仅当x ＝a －x ，即x ＝12a ＝12时等号成立．所以CD 的长的最小值为24 cm. 答案：B9．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC 、BC ，AB ＝10，tan ∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( )A.252πB.252π－24 C ．24D.252π＋24 解析：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°， ∵tan ∠BAC ＝34，∴sin ∠BAC ＝35.又∵sin ∠BAC ＝BCAB ，AB ＝10，∴BC ＝35×10＝6.AC ＝43×BC ＝43×6＝8，∴S 阴影＝S 半圆－S △ABC ＝12×π×52－12×8×6＝252π－24. 答案：B10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以A 为圆心、AC 为半径的圆交AB 于F ，交BA 的延长线于E ，CD ⊥AB 于D ，给出四个等式：①BC 2＝BF ·BA ；②CD 2＝AD ·AB ； ③CD 2＝DF ·DE ；④BF ·BE ＝BD ·BA . 其中能够成立的有( ) A ．0个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①②不正确，由相交弦定理知③正确， 又由BC 2＝BE ·BF ，BC 2＝BD ·BA ， 得BE ·BF ＝BD ·BA ，故④正确． 答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝120°，OB ＝1，则∠BAD ＝________，∠BCD ＝________，BCD 的长＝________.解析：∠BAD ＝∠12BOD ＝60°，∠BCD ＝180°－∠BAD ＝120°， 由圆的半径OB ＝1，∠BOD ＝2π3，∴BCD 的长为2π3.答案：60°120°2π312．(陕西高考)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.答案：513.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC，BC，AB分别与⊙O切于点D，E，F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半径为2，则BC＝________.解析：如图所示，分别连接OD，OE，OF.∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，OD⊥AC，∴四边形OECD是正方形．设BF＝x，则BE＝x.∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2，∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10，∴BC＝12.答案：1214．如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC＝________.解析：∵CE为⊙O的切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，得EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理得EB2＋BC2＝EC2.∴42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案：3三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD ，求证：(1)l 是⊙O 的切线；(2)PB 平分∠ABD .证明：(1)连接OP ，因为AC ⊥l ，BD ⊥l ，所以AC ∥BD .又OA ＝OB ，PC ＝PD ，所以OP ∥BD ，从而OP ⊥l .因为P 在⊙O 上，所以l 是⊙O 的切线．(2)连接AP ，因为l 是⊙O 的切线，所以∠BPD ＝∠BAP .又∠BPD ＋∠PBD ＝90°，∠BAP ＋∠PBA ＝90°，所以∠PBA ＝∠PBD ，即PB 平分∠ABD .16．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ；(2)AC ＝AE .证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD， 即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD， 即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，AC ＝AE .17.(本小题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F .(1)证明：A ，E ，F ，M 四点共圆；(2)证明：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.证明：(1)连接AM ，则∠AMB ＝90°.∵AB ⊥CD ，∴∠AEF ＝90°.∴∠AMB ＋∠AEF ＝180°，即A ，E ，F ，M 四点共圆．(2)连接CB ，由A ，E ，F ，M 四点共圆，得BF ·BM ＝BE ·BA .在Rt △ACB 中，BC 2＝BE ·BA ，AC 2＋CB 2＝AB 2，∴AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.18．(辽宁高考)(本小题满分14分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径．由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. 由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.。
章末分层突破[自我校对]①圆心角定理②圆内接四边形性质定理③圆的切线④弦切角定理⑤相交弦定理⑥切线长定理计算与证明通常涉及这四类角，因此圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化，借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决．(2015·湖南高考)如图2-1，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：图2-1(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.【精彩点拨】(1)在四边形OMEN中，由OM⊥AB，ON⊥CD证明∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)四边形OMEN的对角互补，O，M，E，N四点共圆，利用割线定理证明．【规范解答】(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.[再练一题]1．如图2-2所示，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O 上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，求∠BAD.【导学号：07370049】图2-2【解】法一：∵EB，EC是⊙O的切线，∴EC＝EB.又∠E＝46°，∴∠ECB＝180°－46°2＝67°.∵∠DCF＝32°，∴∠BCD＝180°－67°－32°＝81°. ∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BAD＝180°－81°＝99°.法二：连接AC，如图所示，∵EB，EC是⊙O的切线，∴EB＝EC.又∠E＝46°，∴∠ECB＝180°－46°2＝67°.∵EF切⊙O于点C，∴∠BAC＝∠ECB＝67°，∠CAD＝∠DCF＝32°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝67°＋32°＝99°.涉及圆内接四边形的判定和性质较多．如图2-3，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E.图2-3(1)求证：BC∥DE；(2)若AB＝3，BD＝2，求CE的长．(3)在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件？(不要求证明)【规范解答】(1)证明：连接CD.因为DE是⊙O的切线，所以∠CDE＝∠CBD.因为∠CBD＝∠DAC，所以∠CDE＝∠DAC.因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC.所以∠CDE＝∠BAD.因为∠BAD＝∠BCD，所以∠CDE＝∠BCD.所以BC∥DE.(2)因为AD平分∠BAC，＝，∠BCD＝∠CBD.所以BD＝CD＝2.因为BC∥DE，所以∠E＝∠ACB＝∠ADB.又由(1)中已证得∠CDE＝∠BAD，所以△ABD∽△DCE.所以ABBD＝CDCE.所以CE＝BD·CDAB＝43.(3)∠BAC＝2∠ACB.[再练一题]2．如图2-4，在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝13BC，CE＝13CA，AD，BE相交于点P.图2-4求证：(1)四点P，D，C，E共圆；(2)AP⊥CP.【证明】(1)在△ABC中，由BD＝13BC，CE＝13CA知，△ABD≌△BCE，即∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝180°，所以四点P，D，C，E共圆．(2)如图，连接DE.在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，由余弦定理知∠CED＝90°.由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC＝∠DEC，所以AP⊥CP.又可以得到一些比例式、乘积式，在解题过程中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．如图2-5，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．图2-5(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【规范解答】(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知BCF A＝DCEA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EF A.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EF A＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°.因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DB＝BE，有CE＝DC.又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而CE2＝DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为1 2.[再练一题]3．△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM 是⊙O的切线交AC于M(如图2-6)．求证：DC2＝AC·CM.图2-6【证明】连接AD，OD.∵AB是直径，∴AD⊥BC.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.又AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC.∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM.则DM⊥AC，DC2＝AC·CM.动中的静的特殊情况，在解题时，抓住不变的规律去解决动中的结论．如图2-7(1)，已知⊙O1，⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，交⊙O1于点B，直线AP交⊙O2于点D.图2-7(1)求证：PC平分∠BPD；(2)如图2-7(2)，将“⊙O1，⊙O2外切于点P”改为“⊙O1，⊙O2内切于点P”，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？并证明你的结论．【规范解答】(1)证明：如图(3)，可过点P作两圆的公切线PM，交AC于点M，则∠BPM＝∠A，∠MPC＝∠MCP.∠BPC＝∠BPM＋∠MPC＝∠A＋∠MCP＝∠CPD，∴PC平分∠BPD.(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：如图(4)所示，过点P作两圆的公切线PM，则∠MPB＝∠A，∠MPC＝∠BCP.∴∠BPC＝∠MPC－∠MPB＝∠BCP－∠A＝∠CP A.∴PC平分∠BPD.[再练一题]4. (2015·陕西高考)如图2-8，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.图2-8(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．【解】(1)证明：因为DE为⊙O直径，所以∠BED＋∠EDB＝90°.又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA，则BABC＝ADCD＝3.又BC＝2，从而AB＝3 2.所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3. 由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.1. (2015·天津高考)如图2-9，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为()图2-9A.83 B ．3 C.103D.52【解析】 由题意可设AM ＝MN ＝NB ＝x ，由圆的相交弦定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧ CM ·MD ＝AM ·MB ，CN ·NE ＝AN ·NB ，即⎩⎪⎨⎪⎧2×4＝x ·2x ，3·NE ＝2x ·x ，解得x ＝2，NE ＝83. 【答案】 A2. (2015·重庆高考)如图2-10，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若P A ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，则BE ＝________.图2-10【解析】 由题意设ED ＝x ，则CE ＝2x .∵PC ·PD ＝P A 2，∴3(3＋3x )＝36，∴x ＝3.∵AE ·EB ＝CE ·ED ，∴EB ＝CE ·ED AE ＝6×39＝2. 【答案】 23．(2015·广东高考)如图2-11，AB 为圆O 的直径，E 为AB 延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D .若AB ＝4，CE ＝23，则AD ＝________.图2-11【解析】由CE2＝BE·AE得(23)2＝BE·(4＋BE)，解得BE＝2.连接OC(图略)，则OC＝2，OC⊥DE.又AD⊥DE，∴AD∥OC，则OCAD＝OEAE，即AD＝OC·AEOE＝2×64＝3.【答案】 34．(2015·湖北高考)如图2-12，P A是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC＝3PB，则ABAC＝______.图2-12【解析】由切割线定理，得P A2＝PB·PC. 由弦切角定理，得∠P AB＝∠PCA.又∠APB＝∠CP A，故△ABP∽△CAP，则ABAC＝APCP＝PB·PCCP＝PBCP＝PBPB＋BC＝PB4PB＝12.【答案】1 25．(2015·全国卷Ⅱ)如图2-13，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC 的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．图2-13(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．【解】(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝12MN＝3，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝103 3.所以四边形EBCF的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是()【导学号：07370050】A．42°B．138°C．84°D．42°或138°【解析】弦AB所对的弧的度数为84°或276°，故其所对的圆周角为42°或138°.【答案】 D2．如图1，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为()图1A．50 B．52C．54 D．56【解析】由切线长定理知CD＋AB＝AD＋BC.∵AB＋CD＝26，∴AB＋BC＋CD＋AD＝52.【答案】 B3．如图2，⊙O经过⊙O1的圆心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，则α与β之间的关系是( )图2A ．β＝αB ．β＝180°－2αC ．β＝12(90°－α) D ．β＝12(180°－α)【解析】 如图所示，分别连接AO1，BO 1. 根据圆内接四边形的性质定理，可得 ∠AO 1B ＋∠ADB ＝180°，∴∠AO 1B ＝180°－∠ADB ＝180°－α. ∵∠ACB ＝12∠AO 1B ， ∴β＝12(180°－α)，故选D. 【答案】 D4.如图3所示，∠A ＝50°，∠ABC ＝60°，BD 是⊙O 的直径，则∠AEB 等于( )图3A ．70°B ．110°C ．90°D ．120°【解析】 由题意知，∠D ＝∠A ＝50°， ∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝90°－50°＝40°， 又∠ACB ＝180°－50°－60°＝70°， ∴∠AEB ＝∠CBD ＋∠ACB ＝40°＋70°＝110°. 【答案】 B5．如图4，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，BE ∥MN 交AC 于点E ，若AB ＝6，BC ＝4，则AE ＝( )图4A.103B.23 C ．1D.43【解析】 ∵MN 为⊙O 的切线，∴∠BCM ＝∠A . ∵MN ∥BE ，∴∠BCM ＝∠EBC ， ∴∠A ＝∠EBC . 又∠ACB ＝∠BCE ， ∴△ABC ∽△BEC ，∴AB BE ＝BCEC . ∵AB ＝AC ，∴BE ＝BC ，∴64＝4EC . ∴EC ＝83，∴AE ＝6－83＝103. 【答案】 A6．如图5，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )图5A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°【解析】 ∵∠A ＝80°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°.∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ， ∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝50°， ∴∠BIC ＝180°－50°＝130°. 【答案】 D7．如图6，已知⊙O 的直径与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC ＝5，则⊙O 的半径为( )图6A.53 3 B.56 3 C ．10D ．5【解析】 连接OC ，则有∠COP ＝60°，OC ⊥PC ， ∴PO ＝2CO ，∴3CO ＝5，即CO ＝533.【答案】 A8．(2016·焦作模拟)如图7，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于P ，EF 是过点P 的弦，已知AB ＝10，P A ＝2，PE ＝5，则CD 和EF 分别为( )图7A ．8和7B ．7和415 C ．7和8D ．8和415【解析】 ∵P A ·PB ＝PC 2， ∴PC 2＝16，PC ＝4，∴CD ＝8. ∵PE ·PF ＝PC 2，∴PF ＝165， ∴EF ＝165＋5＝415. 【答案】 D9．如图8，已知AT 切⊙O 于T .若AT ＝6，AE ＝3，AD ＝4，DE ＝2，则BC ＝( )图8A ．3B ．4C ．6D ．8【解析】 ∵AT 为⊙O 的切线， ∴AT 2＝AD ·AC .∵AT ＝6，AD ＝4，∴AC ＝9.∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，即DEBC＝AEAC，∴BC＝DE·ACAE＝2×93＝6.【答案】 C10．如图9，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是()图9A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【解析】显然①可由△PCD≌△HCD得到；因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，故②成立；而③，连接BD，则AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以Rt△APD≌Rt△BHD，得AP＝BH，③成立；对于④，不能判定DH是圆的切线，故应选D.【答案】 D11.如图10，在⊙O中，MN为直径，点A在⊙O上，且∠AON＝60°，点B 是的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为()图10A．1 B.2 2C.3－1D. 2【解析】如图，过点B作BB′⊥MN，交⊙O于点B′，连接AB′交MN于点P′，即点P在点P′处时，AP＋BP最小．易知B与B′点关于MN对称，依题意∠AON＝60°，则∠B′ON＝∠BON＝30°，所以∠AOB′＝90°，AB′＝OA2＋OB′2＝ 2.故P A＋PB的最小值为2，故选D.【答案】 D12．如图11所示，PT与⊙O切于T，CT是⊙O的直径，PBA是割线，与⊙O的交点是A，B，与直线CT的交点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝()图11A．10 B．20C．5 D．8 5【解析】根据相交弦定理，可得AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则P A＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·P A，∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．如图12所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.图12【解析】由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.【答案】 514．如图13，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，P A＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．图13【解析】由相交弦定理得P A·PB＝PC·PD.又P A＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点，∴OE ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝7－254＝32.【答案】 3215.如图14，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．【导学号：07370051】图14【解析】 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C .因为AE 与圆相切，所以∠EAB ＝∠C .所以∠ABC ＝∠EAB ，所以AE ∥BC .又因为AC ∥DE ，所以四边形AEBC 是平行四边形．由切割线定理可得AE 2＝EB ·ED ，于是62＝EB ·(EB ＋5)，所以EB ＝4(负值舍去)，因此AC ＝4，BC ＝6.又因为△AFC ∽△DFB ，所以45＝CF 6－CF，解得CF ＝83. 【答案】 8316．(2016·北京朝阳区检测)如图15，PC 切圆O 于点C ，割线P AB 经过圆心O ，PC ＝4，PB ＝8，则tan ∠COP ＝________，△OBC 的面积是________．图15【解析】 因为PC 切圆O 于点C ，根据切割线定理即可得出PC 2＝P A ·PB ，所以42＝8P A ，解得P A ＝2.设圆的半径为R ，则2＋2R ＝8，解得R ＝3.在直角△OCP 中，tan ∠COP ＝43，sin ∠COP ＝45.所以sin ∠BOC ＝sin ∠COP ＝45.所以△OBC 的面积是12×R 2sin ∠BOC ＝12×32×45＝185.【答案】 43 185三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图16，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：(1)BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2；(2)E ，F ，C ，B 四点共圆．图16【证明】 (1)连接CD ，由圆周角性质可知∠ECD ＝∠EBA .故△ABE ∽△CDE ，∴BE ∶CE ＝AE ∶DE ，∴BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2.(2)∵AB 是⊙O 的直径，所以∠ECB ＝90°，∴CD ＝12BE .∵EF ⊥BF ，∴FD ＝12BE ，∴E ，F ，C ，B 四点与点D 等距，∴E ，F ，C ，B 四点共圆．18．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图17，⊙O 中的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点．图17(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.【解】(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为＝，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G 就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.19．(本小题满分12分)如图18，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O 于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D.求证：图18(1)CE＝DE；(2)CACE＝PEPB.【证明】(1)∵PE切⊙O于点E，∴∠A＝∠BEP. ∵PC平分∠APE，∴∠A＋∠CP A＝∠BEP＋∠DPE. ∵∠ECD＝∠A＋∠CP A，∠EDC＝∠BEP＋∠DPE，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴CE ＝DE .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∠PDB ＝∠PCE ，∴∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD .同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE .∴PE PB ＝CA DE .∵DE ＝CE ，∴CA CE ＝PE PB .20．(本小题满分12分)如图19，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：图19(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD .【证明】 (1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连接AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC .(2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF .由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD ，所以∠BGD ＝∠BDG .由BC ＝CD 知∠CBD ＝∠CDB.又因为∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，所以△BCD ∽△GBD .21．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)如图20，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°，以O 为圆心，12OA 为半径作圆．图20(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .【证明】 (1)设E 是AB 的中点，连接OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切．(2)因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心．设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB.同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .22．(本小题满分12分)如图21，已知CP 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 切⊙O 于点D ，并与CP 的延长线相交于点B ，又BD ＝2BP .图21 求证：(1)PC＝3BP；(2)AC＝PC.【证明】(1)∵BD是⊙O的切线，BPC是⊙O的割线，∴BD2＝BP·BC.∵BD＝2BP，∴4BP2＝BP·BC，∴4BP＝BC.∵BC＝BP＋PC.∴4BP＝BP＋PC，∴PC＝3BP.(2)连接DO.∵AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，∴∠ODB＝∠ACB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ODB∽△ACB，∴DO AC ＝BD BC ＝2BP 4BP ＝12，∴AC ＝2DO ，又PC ＝2DO ，∴AC ＝PC .。
