四川省德阳市高中2010级“一诊”考试数学(理)试题 Word版含答案

四川省德阳市第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A），（B），（C），，共面（D），，共点，，共面参考答案：B由，，根据异面直线所成角知与所成角为90°，选B．2. 复数的共轭复数为（）A．B．C．D．参考答案：C3. 已知向量，则下列结论正确的是A. B.∥ C. D.参考答案：D4. ．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是[答] ( )．A．4 B． 5 C． 6 D． 7参考答案：A5. 等式成立是成等差数列的（）A．充分不必要条件 B. 充要条件 C．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件参考答案：【答案解析】A 解析：若等式成立，则，此时不一定成等差数列，若成等差数列，则，等式成立，所以“等式成立”是“成等差数列”的．必要而不充分条件．故选A．【思路点拨】由正弦函数的图象及周期性以及等差数列进行双向判断即可．6. 设复数z满足，则( )A. B. C. D. 2参考答案：A【详解】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．详解：由，得故选A．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．7.A. B. C.D.参考答案：B8. 设，若，，，则下列关系式中正确的是（A）（B）（C）（D）参考答案：A考点：对数与对数函数因为=，=，所以，，=故答案为：A9. 已知定义在R上的函数则的值等于 .参考答案：答案：10. 已知，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 必要条件D. 既不充分条件也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合P＝{x|≤x≤3}，函数f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.(1)若P∩Q＝[，)，P∪Q＝(－2,3]，则实数a的值为__________；(2)若P∩Q＝?，则实数a的取值范围为__________．参考答案：1)a＝－(2)a≤－412. 符号表示不超过的最大整数，如，定义函数，设函数在区间上零点的个数记为图象交点的个数记为，则的值是。

德阳市高中2016级“一诊”考试数学试卷（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A3.将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知：A. 甲队得分的众数是3B. 甲、乙两队得分在分数段频率相等C. 甲、乙两队得分的极差相等D. 乙队得分的中位数是38.5【答案】D4.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 13【答案】A5.如图所示的程序框图输出的结果是A. 34B. 55C. 78D. 89【答案】B6.已知等差数列中，，是函数的两个零点，则的前项和等于（）A. B. C. D.【答案】C7.若函数在上是增函数，那么的最大值为A. B. C. D.【答案】B8.我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛，立两表齐、高三丈，前后相去千步，今后表与前表相直，从前表却行百二十三步，人目著地望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何？”（参考译文．．．．：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆的底部和岛的底部在同一水平直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）.则海岛高度为A. 1055步B. 1255步C. 1550步D. 2255步【答案】B9.在边长为4的菱形中，，为的中点，为平面内一点，若，则A. 16B. 14C. 12D. 8【答案】B10.已知实数、满足，若恒成立，那么的取值范围是A. B. C. D.【答案】D11.已知点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为A. 2B.C. 1D.【答案】D12.已知点是函数的图像上的一个最高点，点、是函数图像上相邻两个对称中心，且三角形的周长的最小值为.若，使得，则函数的解析式为A. B.C. D.【答案】A第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）解析：四川省成都市新都一中肖宏本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷至页，第Ⅱ卷至页．满分分。

考试时间分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：．答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．。

本试卷共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件、互斥，那么球的表面积公式() ()()如果事件、相互独立，那么其中表示球的半径(·)()·() 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题：（）是虚数单位，计算＋＋＝（）－（）（）（）解析：由复数性质知：＝－故＋＋＝＋(－)＋(－)＝－答案：（）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是（）（）（）（）解析：由图象及函数连续的性质知，正确.答案：（）＋＝（）（）（）（）解析：＋＝＋＝＝答案：（）函数()＝＋＋的图像关于直线＝对称的充要条件是（）（）（）（）解析：函数()＝＋＋的对称轴为＝－于是－＝ ＝－答案：（）设点是线段的中点，点在直线外，则（）（）（）（）解析：由＝，得＝＝而故答案：（）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）（）（）（）解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为＝(－)再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.答案：（）某加工厂用某原料由甲车间加工出产品，由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时小时可加工出千克产品，每千克产品获利元，乙车间加工一箱原料需耗费工时小时可加工出千克产品，每千克产品获利元.甲、乙两车间每甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（）甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱（）甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱（）甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱（）甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱则目标函数＝＋结合图象可得：当＝＝时最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案：（）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（）（）（）（）解析：由,且作差得＋＝＋又＝＋，即＋＝＋⇒＝故{}是公比为的等比数列＝＋＋＋……＋－＝(－)则答案：（）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）（）（）（）解析：由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即点到点与点的距离相等而＝∈[－＋]于是∈[－＋]即－≤≤＋∴⇒又∈()故∈答案：（）由、、、、、组成没有重复数字且、都不与相邻的六位偶数的个数是（）（）（）（）解析：先选一个偶数字排个位，有种选法①若在十位或十万位，则、有三个位置可排，＝个②若排在百位、千位或万位，则、只有两个位置可排，共＝个算上个位偶数字的排法，共计(＋)＝个答案：（）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点，，那么、两点间的球面距离是（）（）（）（）解析：由已知，＝＝,故∠＝∠＝连结，则△为等腰三角形＝∠＝，同理＝，且∥而＝＝故：＝＝，连结、，有＝＝于是∠＝所以、两点间的球面距离是答案：（）设，则的最小值是（）（）（）（）解析：＝＝≥＋＋＝当且仅当－＝＝(－)＝时等号成立如取＝＝＝满足条件.答案：第Ⅱ卷二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分.把答案填在题中横线上. （）的展开式中的第四项是.解析：＝答案：－（）直线与圆相交于、两点，则.解析：方法一、圆心为()，半径为圆心到直线的距离为＝故得＝答案：（）如图，二面角的大小是°，线段.，与所成的角为°.则与平面所成的角的正弦值是.解析：过点作平面β的垂线，垂足为，在β内过作的垂线.垂足为 连结，有三垂线定理可知⊥，故∠为二面角的平面角，为°又由已知，∠＝°连结，则∠为与平面所成的角设＝，则＝，＝＝＝∴∠＝答案：（）设为复数集的非空子集.若对任意，都有，则称为封闭集。

绵阳市高2010级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCCAD DABAC DB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．0 14．500 15．-π 16．②⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：由⎩⎨⎧≠->-123023x x ，解得32>x 且x ≠1，即A ={x |32>x 且x ≠1}， 由x-21≥1解得1≤x <2，即B ={x |1≤x <2}． ………………………………4分 （1）于是R A ={x |x ≤32或x =1}，所以(R A )∩B ={1}． ……………………7分 （2）∵ A ∪B ={x |32>x }，即C ={x |32>x }． 由|x -a |<4得a -4<x <a +4，即M ={x |a -4<x <a +4}．∵ M ∩C =∅，∴ a +4≤32，解得a ≤310-．…………………………………………………12分 18．解：（1）设有x 人患“甲流感”，则由题意有5225151=⋅-C C C x x ， ……………3分 解得 x =1或x =4（舍）．∴ 这5位发热病人中有1人患“甲流感”．…………………………………5分（2）ξ=1，2，3，4，则511)1(15===A P ξ，51)2(2514===A A P ξ， 51)3(3524===A A P ξ，52)4(454434=+==A A A P ξ． ∴ ξ的分布列为10分 ∴8.2524513512511=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………………………12分 19．解：（1）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则由题意可列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，415)33(4)2(12111d a q b d a q b ……………………………………………………………3分把a 1=3，b 1=1代入解得⎪⎩⎪⎨⎧==，，212q d 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=．，6556q d ∵ {a n }的各项均为正，∴ 56-=d 应舍去． ∴ .)21()21(1122)1(311--=⋅=+=⨯-+=n n n n b n n a ，……………………………5分 （2）∵ )2(2)123(+=++=n n n n S n ， ∴ T n )2(1531421311+++⨯+⨯+⨯=n n )21151314121311(21+-++-+-+-=n n )2111211(21+-+-+=n n ， =)2(21)1(2143+-+-n n ． …………………………………………………9分 ∴ ])2(21)1(2143[lim lim +-+-=∞→∞→n n T n n n =43，即43=T ， ∴ 1)21(-n ≥41， 解得 n ≤3，∴ 正整数n =1，2，3． ………………………………………………………12分20．解：（1）令y =f (x )=a x +2-1，于是y +1=a x +2，∴ x +2=log a (y +1)，即x =log a (y +1)-2，∴ )(1x f -=log a (x +1)-2(x >-1)．………………………………………………3分（2）当0<a <1时，)(1x f -ma x =log a (0+1)-2=-2，)(1x f -min =log a (1+1)-2=log a 2-2，∴ -2-(2log a -2)=2，解得22=a 或22-=a （舍）． 当a >1时，)(1x f -ma x =log a 2-2，)(1x f -min =-2， ∴ 2)2()22(log =---a ，解得2=a 或2-=a （舍）．∴ 综上所述，22=a 或2=a ．……………………………………………7分 （3）由已知有log a 1-x a ≤log a (x +1)-2， 即1log -x a a ≤21log a x a +对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ ]2131[，∈a ，∴ 1ax +≤1-x a ．① 由21a x +>0且1-x a >0知x +1>0且x -1>0，即x >1， 于是①式可变形为x 2-1≤a 3，即等价于不等式x 2≤a 3+1对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ u =a 3+1在]2131[，∈a 上是增函数， ∴2728≤a 3+1≤89，于是x 2≤2728， 解得9212-≤x ≤9212． 结合x >1得1<x ≤9212． ∴ 满足条件的x 的取值范围为⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛92121，．…………………………………12分 21．解：（1）设-e ≤x <0，则0<-x ≤e ，∴ f (-x )=a (-x )+ln(-x )，已知f (x )是奇函数可得f (-x )=-f (x )．∴ -f (x )=-ax +ln(-x )，即f (x )=ax -ln(-x )．∴ f (x )=[)(]⎩⎨⎧∈+-∈--．，，，，，e x x ax e x x ax 0ln 0)ln( ………………………………………………4分 （2）x ∈[)0，e -时，，x a x f 1)(-='令0)(='x f ，得a x 1=．…………………………………………………………5分 ①当a1≤-e ，即-e 1≤a <0时，0)(>'x f ． 故f (x )在[)0，e -上是增函数．∴ f (x )min =f (-e )=-ae -1=3， 解得ee a 14-<-=（舍）．………………………………………………………8分 ②当1>-e ，即a 1-<时，则∴ f (x )min =)1(a f =)1ln(1a--=3，解得2e a -=．综上所述，存在实数a =-e 2满足条件．………………………………………12分 22．解：（1）∵ 2222)22(42)22(2)22(2)(--=---='x x x x x x x x f ， ∴ 由0)(>'x f 有x <0或x >2，由0)(<'x f 有0<x <2且x ≠1，即f (x )的单调递增区间为(-∞，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(0，1)，(1，2)． ………………………………………………………………………………………4分（2）由题有1212142=-⋅⋅nn n a a S ，整理得2S n =a n (1-a n )， ① ∴ 当n =1时，2S 1=a 1(1-a 1)，解得a 1=-1，或a 1=0（舍）．当n ≥2时，2S n -1=a n -1(1-a n -1)， ②于是①-②得2a n =a n -2n a -a n -1+21-n a ，整理得a n +a n-1=(a n -1-a n )(a n -1+a n )，由已知有a n +a n-1≠0，∴ a n -a n -1=-1（常数）．∴ {a n }是以-1为首项，-1为公差的等差数列．∴ a n =-n ．………………………………………………………………………9分（3）∵ a n =-n ，∴ 原不等式即为e n n 1)11()1(<++-，等价于e nn >++1)11(． 两边同取对数得1)11ln()1(>++nn ， 即证11)11ln(+>+n n ． 构造函数xx x x g +-+=1)1ln()(， ∵ 2)1()1(11)(x x x x x g ++--+=' 2)1(2x x ++=， 显然当x ≥0时，0)(>'x g ，∴ g (x )在[)∞+，0上是增函数．∴ )0()1(g ng >，即0111)11ln(>+-+nn n ，整理即得n n +>+11)11ln(． 故原不等式得证．………………………………………………………………14分。

四川省德阳市高中2010届高三“一诊”考试英语试卷第一卷第一部分：英语知识运用第一节：单项填空从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。

1. --- Do you mind if I look at your new mobile phone?--- Of course not. _________.A. Please don’tB. It dependsC. Be my guestD. No way2. My classmates all expect to become _______ engineers in the future, but I prefer to be _____ doctor.A. the ; /B. the ; aC. / ; aD. the ; the3. --- Do you like the ball pen your daddy gave you?--- No, it ________ very smoothly.A. isn’t writtenB. doesn’t writeC. does writeD. is writing4. As it was late, the two sides agreed to discuss the matter ______ dinner in the restaurant.A. forB. withC. duringD. over5. After the accident happened, ______ armed police were rushed to the scene of the trouble to keep order.A. scores ofB. dozensC. dozen ofD. scores6. The rule says that all the students _________ remain in their seats until all the papers have been collected.A. mayB. shallC. mustD. will7. --- These trousers are too big, I’m afraid.--- Here is a smaller ________.A. setB. oneC. copyD. pair8. New Zeland has a population of about 3.8 million people, _______ about fourteen percent are Maoir.A. in whomB. whichC. of whichD. whom9. It’s said that the problem _______ we need more time to meet the reconstruction targets has been solved.A. whetherB. ifC. whichD. what10. --- Do you work in the supermarket, Jane?--- Not really. I ______ until the new salesgril arrives.A. will just help outB. have just helped outC. just help outD. am just help out11. Deyang has changed a lot and many visitors here say that the city is a lot more modernized than it _________.A. is used to beB. used to doC. was used toD. used to be12. Only half of the students ______ present at the lecture on French literature because all the rest ______ off sick.A. was; wereB. were; wereC. were; wasD. was; was13. --- How long do you suppose it is ______ Mr. Wnag went aboard?---At least one month.A. beforeB. whenC. sinceD. after14. The little girl got out of the coach slowly, _______ with two heavy suitcases.A. burdenedB. to be burdenedC. burdeningD. having burdened15. The speaker tried to explain the difficult problem, but the explanation didn’t ______ the audience.A. get up toB. get across toC. get down toD. get back to16. He is really ______ whom we can admire for his great talent and sense of responsibility.A. somebodyB. anybodyC. nobodyD. everybody17. ---The weather was fine the other day.---________. And a nice day for hiking, isn’t it?A. So it wasB. So is itC. It is soD. So it is18. Many people offered us food and clothing during the quake and we students should devote every effort to our studies ________ their kindness.A. in exchange forB. in place ofC. in return forD. in praise of19. The old lady is quite all right _______, but _____ she is still in a terrible state.A. physical; mentalB. physically; mentallyC. physically; mentalD. physical; mentally20. ---Have you ever met the expert?--- Of course! I shall always remember _____ him for the first time.A. to meetB. meetingC. being metD. meet第二节：完形填空阅读下面短文，从短文后各题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出可以填入空白处的最佳选项。

2010年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•四川）i是虚数单位，计算i+i2+i3=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数i的幂的运算，容易得到答案．【解答】解：由复数性质知：i2=﹣1故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1故选A【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．2．（5分）（2010•四川）下列四个图象所表示的函数，在点x=0处连续的是（）A． B．C．D．【考点】函数的连续性．【专题】数形结合．【分析】根据连续的定义，函数f在x=0连续，满足两个条件f不仅在x=0处有极限且有定义，而且等于它的函数值．根据图象可知A函数在x=0无定义，B有间断点即极限不存在，C虽然有极限但是极限不等于f（0），得到正确答案即可．【解答】解：由图象及函数连续的性质知，A中的函数在x=0处无意义，所以不连续；B中的函数x趋于0无极限，所以不连续；C中虽然有极限，但是不等于f（0），所以不连续；只有D满足连续的定义，所以D中的函数在x=0连续．所以D正确．故选D【点评】考查学生掌握连续的定义，会利用数学结合的数学思想解决实际问题．3．（5分）（2010•四川）2log510+log50.25=（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数运算法则可直接得到答案．【解答】解：∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故选C．【点评】本题主要考查对数的运算法则．4．（5分）（2010•四川）函数f（x）=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（）A．m=﹣2 B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1【考点】函数的图象．【专题】计算题．【分析】根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可．【解答】解：函数f（x）=x2+mx+1的对称轴为x=﹣⇔﹣=1⇒m=﹣2．答案：A．【点评】本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题．5．（5分）（2010•四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】先求出||=4，又因为=||=2=4，可得答案．【解答】解：由=16，得||=4，∵=||=4，而∴=2故选C．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属基础题．6．（5分）（2010•四川）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin（x﹣） D．y=sin（x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】分析法．【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x ﹣）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．7．（5分）（2010•四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数【解答】解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则目标函数z=280x+200y结合图象可得：当x=15，y=55时z最大．故选B．【点评】在解决线性规划问题是，我们常寻找边界点，代入验证确定最值8．（5分）（2010•四川）已知数列{a n}的首项a1≠0，其前n项的和为S n，且S n+1=2S n+a1，则=（）A．0 B．C．1 D．2【考点】极限及其运算；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由题意知a n+2=2a n+1，再由S2=2S1+a1，即a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1，知{a n}是公比为2的等比数列，所以S n=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=（2n﹣1）a1，由此可知答案．【解答】解：由S n+1=2S n+a1，且S n+2=2S n+1+a1作差得a n+2=2a n+1又S2=2S1+a1，即a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1故{a n}是公比为2的等比数列S n=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=（2n﹣1）a1则故选B【点评】本题考查数列的极限和性质，解题时要认真审题，仔细解答．9．（5分）（2010•四川）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得的范围即离心率e的范围．【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|=|PF|∈[a﹣c，a+c]于是∈[a﹣c，a+c]即ac﹣c2≤b2≤ac+c2∴又e∈（0，1）故e∈．【点评】本题主要考查椭圆的基本性质．属基础题．10．（5分）（2010•四川）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）A．72 B．96 C．108 D．144【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有3种选法，对于5要求比较多，需要分类，若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有3种选法，①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，有A32种，然后剩下的两个位置全排列，共有2A32A22=24个；②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，有A22种，然后剩下的两个位置全排列，共3A22A22=12个根据分步计数原理知共计3（24+12）=108个故选C【点评】本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个数字问题，这种问题的限制条件比较多，注意做到不重不漏．11．（5分）（2010•四川）半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（）A．B．C．D．【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；压轴题．【分析】求解本题需要根据题意求解出题目中的角MON的余弦，再代入求解，即可求出MN的两点距离．【解答】解：由已知，AB=2R，BC=R，故tan∠BAC=cos∠BAC=连接OM，则△OAM为等腰三角形AM=2AOcos∠BAC=，同理AN=，且MN∥CD而AC=R，CD=R故MN：CD=AM：ACMN=，连接OM、ON，有OM=ON=R于是cos∠MON=所以M、N两点间的球面距离是．故选A．【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是中档题．12．（5分）（2010•四川）设a＞b＞c＞0，则的最小值是（）A．2 B．4 C． D．5【考点】基本不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先把整理成，进而利用均值不等式求得原式的最小值．【解答】解：==≥0+2+2=4当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立如取a=，b=，c=满足条件．故选B【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．主要口考查了运用基本不等式求最值的问题．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2010•四川）的展开式中的第四项是﹣．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项式的展开式的通项公式求出第4项．【解答】解：T4=故答案为：﹣【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（4分）（2010•四川）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|= 2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题．15．（4分）（2010•四川）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．【考点】平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；压轴题．【分析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°又由已知，∠ABD=30°连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角设AD=2，则AC=，CD=1AB==4∴sin∠ABC=；故答案为．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．16．（4分）（2010•四川）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中真命题是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集；复数的基本概念．【专题】计算题；综合题；压轴题；新定义．【分析】由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，即可判断③的错误．S={0}，T={0，1}，推出﹣1不属于T，判断④是错误的．【解答】解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确．当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．【点评】本题考查复数的基本概念，集合的子集，集合的包含关系判断及应用，是中档题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2010•四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量及其分布列；随机事件．【专题】计算题．【分析】（1）甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为，乙、丙没有中奖的概率为，相乘即可．（2）中奖人数ξ的所有取值为0，1，2，3，是二项分布．ξ～B（3，）【解答】解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P（A）=P（B）=P（C）=，P（）=P（A）P（）P（）=，答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为．（2）ξ的可能值为0，1，2，3，P（ξ=k）=（k=0，1，2，3）所以中奖人数ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布及期望等知识．同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．18．（12分）（2010•四川）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（Ⅱ）求二面角M﹣BC′﹣B′的大小；（Ⅲ）求三棱锥M﹣OBC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK，证明MO⊥AA′，MO⊥BD′OM是异面直线AA′和BD′都相交，即可证明OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′，过点N作NH⊥BC′于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角，解三角形求二面角M﹣BC′﹣B′的大小；（Ⅲ）利用V M﹣OBC=V M﹣OA’D’=V O﹣MA’D’，求出S△MA’D’以及O到平面MA′D′距离h，即可求三棱锥M﹣OBC的体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点所以AM所以MO由AA′⊥AK，得MO⊥AA′因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′所以AK⊥BD′所以MO⊥BD′又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′过点N作NH⊥BC′于H，连接MH则由三垂线定理得BC’⊥MH从而，∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角MN=1，NH=BNsin45°=在Rt△MNH中，tan∠MHN=故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arctan2（Ⅲ）易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内点O到平面MA′D′距离h=V M﹣OBC=V M﹣OA’D’=V O﹣MA’D’=S△MA’D’h=【点评】本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．19．（12分）（2010•四川）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；②由诱导公式cos[﹣（α+β）]=sin（α+β）变形整理可得．（Ⅱ），求出角A的正弦，再由，用cosC=﹣cos（A+B）求解即可．【解答】解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与﹣β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角﹣β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．则P1（1，0），P2（cosα，sinα）P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（﹣β），sin（﹣β））由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得[cos（α+β）﹣1]2+sin2（α+β）=[cos（﹣β）﹣cosα]2+[sin（﹣β）﹣sinα]2展开并整理得：2﹣2cos（α+β）=2﹣2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ．（4分）②由①易得cos（﹣α）=sinα，sin（﹣α）=cosαsin（α+β）=cos[﹣（α+β）]=cos[（﹣α）+（﹣β）]=cos（﹣α）cos（﹣β）﹣sin（﹣α）sin（﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ（6分）（Ⅱ）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c则S=bcsinA==bccosA=3＞0∴A∈（0，），cosA=3sinA又sin2A+cos2A=1，∴sinA=，cosA=由题意，cosB=，得sinB=∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=故cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣（12分）【点评】本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力．20．（12分）（2010•四川）已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l 于点M、N．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），欲求点P的轨迹方程，只须求出x，y之间的关系式即可，结合题中条件：“动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍”利用距离公式即得；（Ⅱ）先分类讨论：①当直线BC与x轴不垂直时；②当直线BC与x轴垂直时，对于第①种情形，设BC的方程为y=k（x﹣2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题．对于第②种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则化简得x2﹣=1（y≠0）；（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）与双曲线x2﹣=1联立消去y得（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）=0由题意知3﹣k2≠0且△＞0设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=k2（+4）=因为x1、x2≠﹣1，所以直线AB的方程为y=（x+1）因此M点的坐标为（），同理可得因此==0②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（），同理可得因此=0综上=0，即FM⊥F N故以线段MN为直径的圆经过点F．【点评】本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．21．（12分）（2010•四川）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）欲求a3，a5只需令m=2，n=1赋值即可．（2）以n+2代替m，然后利用配凑得到b n+1﹣b n，和等差数列的定义即可证明．（3）由（1）（2）两问的结果可以求得c n，利用乘公比错位相减求{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8即b n+1﹣b n=8所以{b n}是公差为8的等差数列（3）由（1）（2）解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列则b n=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2另由已知（令m=1）可得a n=﹣（n﹣1）2．那么a n+1﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是c n=2nq n﹣1．当q=1时，S n=2+4+6++2n=n（n+1）当q≠1时，S n=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•q n﹣1．两边同乘以q，可得qS n=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•q n．上述两式相减得（1﹣q）S n=2（1+q+q2+…+q n﹣1）﹣2nq n=2•﹣2nq n=2•所以S n=2•综上所述，S n=．【点评】本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法．22．（14分）（2010•四川）设，a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．（Ⅰ）设关于x的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：；（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较||与4的大小，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；反函数；函数与方程的综合运用；不等式．【专题】计算题；综合题；压轴题；转化思想．【分析】（Ⅰ）求出g（x），在[2，6]上有实数解，求出t的表达式，利用导数确定t 的范围；（Ⅱ）a=e求出，利用导数推出是增函数，求出最小值，即可证明；（Ⅲ）利用放缩法，求出||的取值范围，最后推出小于4即可．【解答】解：（1）由题意，得a x=＞0故g（x）=，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）由得t=（x﹣1）2（7﹣x），x∈[2，6]则t′=﹣3x2+18x﹣15=﹣3（x﹣1）（x﹣5）列表如下：所以t最小值=5，t最大值=32所以t的取值范围为[5，32]（5分）（Ⅱ）=ln（）=﹣ln令u（z）=﹣lnz2﹣=﹣2lnz+z﹣，z＞0则u′（z）=﹣=（1﹣）2≥0所以u（z）在（0，+∞）上是增函数又因为＞1＞0，所以u（）＞u（1）=0 即ln＞0即（9分）（3）设a=，则p≥1，1＜f（1）=≤3，当n=1时，|f（1）﹣1|=≤2＜4，当n≥2时，设k≥2，k∈N*时，则f（k）=，=1+所以1＜f（k）≤1+，从而n﹣1＜≤n﹣1+=n+1﹣＜n+1，所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，综上所述，总有|﹣n|＜4．【点评】本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．。

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）一、选择题：1.i 是虚数单位，计算 i＋ i 2＋i 3＝（）A.－ 1B.1C. iD. i【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用复数代数形式的四则运算求值.【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】由复数性质知：i 2＝－ 1,故 i ＋ i 2＋ i3＝ i＋ (－ 1)＋ (－ i) ＝－ 1.2.下列四个图像所表示的函数，在点x 0处连续的是A B C D【测量目标】函数图象的判断 .【考查方式】直接根据连续条件判断图象.【难易程度】容易【参考答案】 D【试题解析】由图象及函数连续的性质知，D正确.3． 2log 510＋ log50.25＝( ) ()A.0B.1C. 2D.4 w_w w. k #s5_u.c o*m【测量目标】对数的化简与求值.【考查方式】直接给出两对数，求其和.【难易程度】容易【参考答案】 C【试题解析】 2log 5 10＋ log50.25＝log 5100＋ log 50.25＝log 525＝224．函数 f( x)＝ x ＋ mx＋ 1 的图像关于直线A. m2 B. m2x＝ 1 对称的充要条件是C. m1（）D. m1【测量目标】二次函数的图象与性质，充分、必要条件.【考查方式】直接给出二次函数解析式形式，判断图象关于直线对称的条件.【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】函数f(x)＝ x 2＋ mx ＋1 的对称轴为 x ＝－m于是－m＝1m ＝－ 222216, AB AC AB AC5.设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， BC 则AM（ ）A ． 8B.4C. 2D.1 w【测量目标】向量加法、减法的运算，平面向量的数量积 .【考查方式】给出向量的位置关系，借助向量的四则线性求解 .【难易程度】中等【参考答案】 C216，得 BC 4【试题解析】由BCABAC ABACBC ＝4(步骤 1)而 ABACAM故AM 2m(步骤 2)6.将函数 ysin x 的图像上所有的点向右平行移动π个单位长度，再把所得各点的横坐标10伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是 ()A. ysin(2 x πB. ysin(2 x π)) wsin( 1x10sin( 1x5C. yπ)D. yπ)210220【测量目标】函数 y Asin x的图象及其变换 .【考查方式】已知正弦函数图象，判断它经过变换后的图象的函数解析式 .【难易程度】中等【参考答案】 C【试题解析】 将函数 ysin x 的图像上所有的点向右平行移动π个单位长度，所得函数图10象的解析式为 y ＝ sin(x －π) (步骤 1)10再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是y sin( 1 xπ) .( 步骤 2) 2 107.某加工厂用某原料由车间加工出A 产品 ,由乙车间加工出B 产品 .甲车间加工一箱原料需耗费工时10 小时可加工出 7 千克 A 产品 ,每千克 A 产品获利40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品 ,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 多箱原料的加工 ,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时 ,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为()A. 甲车间加工原料 10 箱 ,乙车间加工原料 60 箱 .B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55箱 .C.甲车间加工原料18 箱 ,乙车间加工原料 50箱.D. 甲车间加工原料 40 箱 ,乙车间加工原料 30 箱. 【测量目标】二元线性规划的实际应用.【考查方式】根据题目得出变量约束条件 ,画图求目标函数的最优解 .【难易程度】中等 【参考答案】 B【试题解析】设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱x y , 70则 10x 6 y , 480 （步骤 1）x, y N +目标函数 z ＝ 280x ＋200y第 7 题图结合图象可得：当 x ＝ 15,y ＝ 55 时 z 最大（步骤 2）8.已知数列a n 的首项 a 10 ，其前 n 项的和为 S n ，且 S n 1 2S n a 1 ，则 lima n( )nS nA.0B.1C .1D.22【测量目标】等比数列的前 n 项和、通项，数列的通项公式a n 与前 n 项和 S n 的关系 .【考查方式】 已知数列的前 n 和项与项的关系， 根据等比数列的通项公式和前n 项和公式求解.【难易程度】中等 【参考答案】 B【试题解析】由S2Sa ,且 S2Sa o*mn 1n1n 2n 11作差得 a n ＋ 2＝ 2a n ＋1 （步骤 1）又 S 2＝ 2S 1＋ a 1，即 a 2＋a 1＝ 2a 1＋ a 1 a 2＝ 2a 1w_w w. k s 5_u.c o*m故{ a n } 是公比为 2 的等比数列（步骤2）2 n －1a 1＝ (2 nS n ＝ a 1＋2a 1＋ 2 a 1＋ ⋯⋯ ＋2 － 1)a 1则 lim a nlim2n 1 a 1 1 （步骤 3）S n(2 n1)a 1 2nn9.y 21 a ＞ b ＞ 0的右焦点为F,x轴的交点为 A ．在椭圆上存在点 P椭圆x 2其右准线与a 2b 2满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( )， 21C.2 11 ，B. ，D.A. 0221 2【测量目标】椭圆的标准方程、几何性质和垂直平分线的性质.【考查方式】 已知椭圆的标准方程形式、 椭圆中线段间的特殊关系，利用线段关系转化为离心率求解 .【难易程度】中等【参考答案】 D【试题解析】由题意,椭圆上存在点P,使得线段 AP 的垂直平分线过点F即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等而 |FA|＝a 2cb 2cc|PF|∈ [a － c,a ＋ c]（步骤 1）2于是b∈ [a － c,a ＋ c]c即 ac －c 2 , b 2 , ac ＋ c 2 .∴ acc 2 , a 2 c 2 a 2 c 2 , ac c 2c , 1a（步骤 2）c剠 1或 c1a a2又 e ∈ (0,1)故 e ∈ 1,1 （步骤 3）210.由 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 ( ) A.72B.96C.108D.144【测量目标】排列组合及其应用 .【考查方式】根据题目所给条件分类讨论，得出满足条件的六位偶数个数.【参考答案】 C 【难易程度】中等【试题解析】先选一个偶数字排个位，有 3种选法.①若 5 在十位或十万位，则1、3 有两个位置可排， 2 A 32A 22 ＝24 个（步骤 1）②若 5 排在百位、千位或万位，则 1、 3 只有三个位置可排，共 3 A 22A 22 ＝ 12 个（步骤 2）算上个位偶数字的排法，共计3(24＋ 12)＝ 108 个（步骤 3）11.半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 ,垂足为 B , △ BCD 是平面内边长为 R 的正三角形 ,线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M 、 N , 那么 M 、 N 两点间的球面距离是( )A . R arccos17B . R arccos1825251 π4C.RD.Rπ315第 11 题图【测量目标】余弦定理、三角形中两直线平行的条件.【考查方式】作辅助线求出相关量，借助余弦定理求解 .【难易程度】中等【参考答案】 A【试题解析】由已知,AB ＝ 2R,BC ＝ R,故 tan ∠ BAC ＝122 5 （步骤 1）cos ∠ BAC ＝w5连结 OM ,则 △ OAM 为等腰三角形AM ＝ 2AO cos ∠ BAC ＝4 5R ,同理 AN ＝4 5R ,且 MN ∥CD55而 AC ＝ 5 R,CD ＝ R故 MN :CD AN:ACMN ＝ 4R ,(步骤 2)5连结 OM 、ON,有 OM ＝ON ＝R于是 cos ∠MON ＝OM2ON 2 MN 2 172OM ON25所以 M 、N 两点间的球面距离是R arccos17.（步骤 3）2512.设 abc 0，则 2a 21 1 10 ac 25c2 的最小值是()aba(a b)A.2B.4C. 25D.5【测量目标】基本不等式求最值 .【考查方式】通过添项，化为基本不等式形式求最值.【难易程度】较难【参考答案】 B【试题解析】 2a 21 110ac 25c 2ab a(a b)＝(a 5c) 2 a 2abab11 b)aba( a＝ (a5c) 2 ab1 a(a b)1 b)aba(a⋯ 0＋ 2＋ 2＝ 4（步骤 1）当且仅当 a － 5c ＝ 0,ab ＝ 1,a(a － b)＝1 时等号成立如取 a ＝2 ,b ＝2 ,c ＝ 2满足条件 . （步骤 2）25第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .把答案填在题中横线上 .13. (21)6 的展开式中的第四项是3x【测量目标】二项式定理 .【考查方式】由二项式展开式，求其中一项.【难易程度】容易【参考答案】－160x【试题解析】 T 4＝ C 36 23 (1 )31603xx14. 直线 x 2y 5 0 与圆x 2y 28 相交于A 、B 两点 则AB.,【测量目标】圆的标准方程、点线间距离公式.【考查方式】直接给出圆和直线的方程，借助直角三角形求两交点距离.【参考答案】 2 3【难易程度】容易【试题解析】圆心为(0,0),半径为 2 2 w_圆心到直线 x 2 y 50 的距离为d＝| 00 5 |5（步骤 1）12( 2)2故 |AB|2得|AB|＝2 3（步骤 2）15.如图 ,二面角l的大小是60 ,线段AB. B l ,AB 与l所成的角为30 .则AB与平面所成的角的正弦值是.第15题图【测量目标】直线与平面所成角、二面角的概念.【考查方式】作辅助线将线面角转化为三角形的内角求解.【难易程度】容易3【参考答案】4【试题解析】过点 A 作平面β的垂线 ,垂足为 C,在β内过 C 作 l 的垂线 .垂足为 D,连结 AD, 有三垂线定理可知 AD ⊥l ,故∠ ADC 为二面角l的平面角为60 （步骤 1）又由已知 ,∠ ABD ＝ 30连结 CB,则∠ ABC 为AB与平面所成的角第15题图设 AD＝ 2,则 AC＝3,CD＝ 1w_w w.#AD＝ 4（步骤 2）AB＝sin 30∴sin ∠ ABC ＝AC3 .（步骤 3）AB416．设 S 为复数集 C 的非空子集 .若对任意 x, y S ,都有 x y,x y,xy S ,则称 S 为封闭集.下列命题：w_w w. k #s5_u.c o*m①集合 S a bi （ a,b 为整数 , i 为虚数单位）为封闭集；②若 S 为封闭集 ,则一定有 0 S ；③封闭集一定是无限集；④若 S 为封闭集 ,则满足 ST C 的任意集合 T 也是封闭集 .其中真命题是（写出所有真命题的序号）【测量目标】集合的含义、集合之间包含的关系、复数代数形式的四则运算 .【考查方式】给出满足封闭集的条件，运用特殊值法直接判断集合是否满足条件 .【难易程度】中等 .【参考答案】①②w_w【试题解析】直接验证可知①正确 .当 S 为封闭集时 ,因为 x － y ∈ S ,取 x ＝ y,得 0∈ S ,②正确对于集合 S ＝ {0}, 显然所有素有条件 ,但 S 是有限集 ,③错误 取 S ＝ {0}, T ＝ {0,1}, 满足S T C ,但由于 0－ 1＝－ 1 T ,故 T 不是封闭集 ,④错误w. k#三三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有 “奖励一瓶 ”或 “谢谢购买 ”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶 ”字样即为中奖，中奖概率为1.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.6 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数的分布列及数学期望 E .【测量目标】相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列、期望，独立重复试验.【考查方式】给出三人中奖的概率（ 1）直接利用相互独立事件的概率公式求解.（ 2）利用独立重复试验概率公式求解，得分布列，再求数学期望.【难易程度】容易 .【试题解析】（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P( A) P(B) P(C)1 ,6P( A B C) P(A)P( B)P(C)1 5 225( ).6 6216答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25（步骤 1）216（Ⅱ） 的可能取值为 0， 1，2， 3.P(k )C34 (1)k (5)3 k , k 0,1,2,3. （步骤2）66所以中奖人数的分布列为：0123P 1252551 2167272216E01251 2525311（步骤 3）2167272216 2.18.（本小题满分12 分）w_w w. k #s5 _u.c o*m已知正方体 ABCD － A'B'C'D '的棱长为1，点 M 是棱 AA '的中点，点 O 是对角线 BD'的中点 .（Ⅰ）求证： OM 为异面直线 AA '和 BD '的公垂线；（Ⅱ）求二面角M－ BC'－ B'的大小；（Ⅲ）求三棱锥M－OBC 的体积 .第18题图【测量目标】异面直线，直线与平面垂直，二面角的概念，三棱锥的体积.（空间直角坐标系，空间向量及其运算.）【考查方式】（1）通过作辅助线转化线段位置、通过线面垂直证明线线垂直.(2) 借助作辅助线将二面角转化为三角形内角求解（. 3）利用三棱锥体积的等价求体积.做空间直角坐标系（ 1）写出各点坐标，通过坐标运算证明垂直（2）通过做平面法向量求两面的余弦，再求二面角（3）通过求平面法向量得点面距离，再求三棱锥体积.【难易程度】中等.【试题解析】解法一：第18 题图（Ⅰ）连结AC，取 AC 的中点 K，则 K 为 BD 的中点，连结OK ．因为点 M 是棱AA的中点，点O 是BD的中点，所以 AM 1DD OK ，2所以 MO AK ．（步骤1）由 AA AK ，得 MO AA因为 AK BD，AK BB ，所以 AK平面 BDD B ，（步骤2）所以 AK BD ．所以 MO BD ．（步骤3）又因为 OM 与异面直线AA和BD都相交，故 OM 为异面直线AA和BD的公垂线．（步骤4）（Ⅱ）取 BB 的中点N，连结MN，则 MN平面 BCCB ．过点N作 NH BC 于H，连结 MH ，则由三垂线定理得，BC MH ．从而，MHN 为二面角 M BC B 的平面角．MN 1，NH BN sin 45122．（步骤）2245在 Rt△ MNH 中， tan MHN MN12 2 ．NH24故二面角 M BC B 的大小为arctan2 2（步骤6）（Ⅲ）易知，△DBC △,且△OBC 和△ OA D 都在平面 BCD A 内，点O到平面S S OAD1MA D 的距离 h.21S△MA D 1.（步骤VM OBC VM OA DVO MAD h7）324解法二：以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz,则 A(1,0,0) ， B(1,1,0) ， C(0,1,0) ，A1,0,1， C0,1,1， D 0,0,1 ，（步骤1）第18题图（Ⅰ）因为点 M 是棱 AA 的中点 ,点O 是 BD 的中点 ,所以 M (1,0, 1),O(1 , 1, 1,),22 2 2OM( 1,1,0), AA(0,0,1), BD( 1, 1,1)22（步骤 2）1 1OM AA0, OM BD0,2 02所以 OM AA ,OM BD ,又因为 OM 与异面直线 AA 和 BD 都相交故 OM 为异面直线AA 和 BD 的公垂线 . （步骤 3）（Ⅱ）设平面 BMC 的一个法向量为 n 1 ( x, y, z).BM(0, 1,1), BC( 1,0,1), （步骤 4）2n 1 BM0, y 1 z 0,5）即2（步骤n 1 BC0,x z 0.取 z 2, 则 x 2, y 1,从而 n 1 (2,1, 2).取平面 BC B 的一个法向量为 n 2 (0,1,0),cos( n 1 n 2n 1 n 21 1（步骤 6）n 1 n 29 1 .3由图可知 ,二面角 MBCB 的平面角为锐角 .故二面角 MBCB 的大小为 arccos 1.3（Ⅲ）易知， S △OBC1S △CDA1 1 22.（步骤 7）444设平面 OBC 的一个法向量为 n 1( x 1 , y 1 , z 1 ),BD( 1, 1,1), BC ( 1,0,0)n 1 BD 0, 即x 1 y 1 z 1 0,n 2 BC0.x 1 0.（步骤 8）取 z 11,则y 1 1,从而 n 3 (0,1,1).点 M 到平面 OBC 的距离BM n 11 1 d2 . （步骤 9）n2 2 2VM ABC1S △OBC d1 2 2 1 1. （步骤 10）334 22419.（本小题满分 12 分）w_w w. k #s 5 _u.c o*m○证明两角和的余弦公式C : cos() coscossin sin ；（Ⅰ） 1○由 C推导两角和的正弦公式S:sin () sin coscos sin2.（Ⅱ）已知△ ABC 的面积 S1AB AC3 ，且 cosB3 ，求 C .25cos【测量目标】两角和的正、余弦公式，诱导公式，同角三角函数的关系 .【考查方式】（ ○○1）1 建立直角坐标系，根据两点间距离公式证明. 2 借助诱导公式证明 .（2）同角三角函数的转换 ,诱导公式，同角三角函数的基本关系.【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）第 19 题图○内作单位圆 O,并作出角, 与,使角 的始边为 Ox,交圆 O 于点1 在直角坐标系 xOy P 1 ,终边交圆 O 于点 P2 ;角 的始边为 OP 2 ,终边交圆 O 于点 P3 ,角的始边为 OP 1 ,终边交圆 O 于点 P 4.则 P 1,0 , Pcos ,sin ,12P3cos,sin, P4cos,sin.由PP P P,得1 32 4 及两点间的距离公式cos2sin2cos cos2sin21）1sin.（步骤展开并整理 ,得22cos22cos cos sin sin .cos cos cos sin sin.（步骤2）○2 由○1 易得 , cosπsin,sinπcos.（步骤 3）22sin cosπcosπ.22= cos πcosπsin 2sin2= sin cos cos sin .s i n s i n c o s c o s （s步in骤4.）(Ⅱ )由题意，设△ABC的角 B、C 的对边分别为b、c,则S 1bc sin A1.（步骤5）22AB AC bc cos A30,A(0,π3sin A.),cos A23 10（步骤 6）又 sin2A21,sin A 10cos A,cos A.1010由题意 cos B3,得 sin B4.55cos( A B)cos A cosB sin Asin B10. （步骤7）10故 cosC cos[ π ( A B)]cos(A B)10.（步骤8）1020.（本小题满分 12 分）w_w w. k #s5 _u.c o*m已知定点 A(－ 1,0),F(2,0), 定直线 l ：x＝1轴上的动点P与点 F的距离是它到直线l2 ,不在 x的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、 C 两点 ,直线 AB、 AC 分别交 l 于点M、 N（Ⅰ）求 E 的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由 .【测量目标】轨迹方程、双曲线的标准方程、向量的垂直、直线与双曲线的位置关系 .【考查方式】（1）直接根据坐标系中线段间的关系求轨迹方程.（ 2）利用分类讨论思想，运用联立方程后根的个数反映直线与双曲线位置关系这一思想，向量与直线的垂直求解.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）设 P x, y ,则x 2 y 22 x 1 ,2化简得 x 2y 21 y0 . （步骤 1）3（Ⅱ）○当直线 BC 与 x 轴不垂直时 ,设 BC 的方程为 yk x 2 k 0 .（步骤 2）1与双曲线方程 x 2y 2 1联立消去 y 得33 k 2 x 2 4k 2 x 4k 23 0.由题意知 , 3k 2 0且0, （步骤 3）设 B x 1, y 1 , C x 2 , y 2 , 则 x 1 x 24k 2 , x 1x 2 4k 2 3 .k 2 3k 2 3y 1 y 2k 2 x 1 2 x 2 2k 2 x 1x 2 2 x 1 x 24= k 24k 2 3 8k 2 4 = 9k 2 （步骤 4）k 2 3 k 2 3 k 2 3.因为 x x2 1,1所以直线 AB 的方程为yy 1 x 1 ,因此 M 点的坐标为1 3 y 1 ,x 1 1 ,2 x 112FM3 ,2 3 y 1 .2 x 1 1同理可得 FN3 , 3 y 2 , （步骤 5）2 2 x 2 1因此 FM FN339 y 1 y 2224 x 1 1 x 2 1981k 2k 2 3=2244k 3 4k143k 23k 2=0. （步骤 6）○当直线 BC 与 x 轴垂直时 ,其方程为 x2,则B 2,3 ,C 2, 3.2 AB 的方程为 y x 1. 因此 M 点的坐标为同理可得 FN3 , 3 .（步骤 7）221 33 3 ,, FM2 , .2 223 3 3 3 因此 FM FN2 20.22综上,FM FN 0.即 FMFN .故以线段 MN 为直径的圆过点 F.（步骤 8）21．（本小题满分 12 分）已知数列 { a n } 满足 a 1＝ 0， a 2＝ 2，且对任意 m 、 n ∈ N *都有a 2m － 1＋ a 2 n － 1＝ 2a m ＋ n － 1＋ 2(m － n)2 （Ⅰ）求 a 3，a 5；（Ⅱ）设 b n ＝a 2n ＋1－ a 2n － 1(n ∈ N *)，证明： { b n } 是等差数列；（Ⅲ）设 c n ＝ (a n+1－ a n )q n－ 1(q ≠0， n ∈ N * )，求数列 { c n } 的前 n 项和 S n .【测量目标】等差数列的性质，错位相减法求和，等差数列的通项 .【考查方式】已知数列各项的关系（ 1）直接根据已知等式求解.（ 2）根据等差数列的性质证明（ 3）求出等差数列通项，再利用错位相减法求和.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意，令m 2, n 1可得 a 3 2a 2 a 12 6. （步骤 1）再令 m 3, n 1可得 a 5 2a 3a 18 20.（步骤 2）当 n N * 时,由已知 (以 n 2代替 m)可得（Ⅱ） a 2 n 1a2n 12a2 n 18（步骤 3）于是 [ a1) a1 ] (a2n1a ) 8即2( n 12( n 1)2 n 1b n 1 b n 8.所以，数列b n是公差为 8的等差数列 . （步骤4）（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知b n是首项 b1a3 a16, 公差为8的等差数列 .则b n 8n2.即 a2n1a2 n 18n2,（步骤 5）令由已知（令m=1 ）可得，a n a2n1a1n126）2, （步骤a2 n a2n 1那么 , a n 1a n 12n 1=8n 2222n 1 2n于是， c n2nq n 1（步骤7）当 q=1 时，2462 1 .（步骤8）S n n n n当 q 1时，S 2 q0 4 q1 6 q22n q n1 .（步骤 9）n两边同乘 q 可得qS n 2 q1 4 q2 6 q3 2 n 1 q n 12n q n（步骤10）上述两式相减即得(1 q) S n2(1q1q2q3q n 1 )2n q n1q n2nq n=1n 1 q n nq n 1= 221q 1q所以 S n2nq n1n 1 q n nq n 111）q2（步骤1n n1q1综上所述， S nq n 1n 1 q n nq n1（步骤 12）n2q1q1222．（本小题满分14 分）设 f ( x )1a x（ a0 且 a1），g(x)是f( x)的反函数.1 a x（Ⅰ）设关于x 的方程求log atg(x) 在区间[2，6]上有实数解，求t 的取值(x21)(7x)范围；n 2 n n2（Ⅱ）当 a＝ e（ e 为自然对数的底数）时，证明：g (k)；2n( n1)k20＜ a ,1时，试比较n n与 4 的大小，并说明理由 .（Ⅲ）当 f ( k )2k 1【测量目标】 利用导数求函数的最值， 对数函数和指数函数互为反函数， 利用导数判断函数的单调区间，不等式恒成立问题，二项式定理，利用导数解决不等式问题 .【考查方式】已知函数解析式（1）化函数为对数函数形式，利用导数求函数的最值，再求t 的范围（ 2）利用导数判断函数单调性，在利用导数证明不等式成立（ 3）借助分类讨论思想比较两式大小 .【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意，得a x y1 0,y1故 g (x)log a x1, x ( , 1)(1,). （步骤 1）x 1由 log a(x 2t7 x)log a x1 得1)(x 1t ( x1)2(7 x), x[ 2,6]（步骤 2）3x 2则 t18x 153( x 1)( x 5).列表如下：x 2(2,5) 5 (5,6) 6t+_t5极大值 3225所以 t 最小值5,t 最大值 32 ，所以 t 的取值范围为 [5 ，32] （步骤 3）n123n 1 （Ⅱ）g(k )lnln4 lnln1k235nln(12 3 n 1)34 5n 1（步骤 4）ln n(n 1)2令 u(z)ln z21 z 22ln z z1, z0,zz则 u ( z)2 1 1 (1 1 )2 ⋯0. （步骤 5）z z 2 z所以 u( z)在 (0, )上是增函数 .又因为n( n1)1n(n1)20, 所以 u() u(1) 0,2n(n1)即 ln2120,（步骤 6）n(nn(n 1)1)2n 2 n n2即g(k)2n(n1)k2设 a1,则 p 厔1,11a121pf (1)a3.1p当n时,2, 2 4.1 f (1) 1（Ⅲ）p当n ⋯ 2时,（步骤 7）设 k ⋯ 2, k N +时,则f ( k)(1 p) k1121(1p) k1(1 p)k12n . （步骤8）12P2kPC1P C1C1所以1 f (k ) , 1214144C k2k(k1)k k.C k11n444从而 n1 f (k ) ,n1n1n 1.（步骤 9）2n n1k21所以 n nf (k) f (1)n1,n4 k1n综上，总有 f (k)n 4.（步骤 10）k1。

德阳市高中2016级“一诊”考试数学试卷（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A3.将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知：A. 甲队得分的众数是3B. 甲、乙两队得分在分数段频率相等C. 甲、乙两队得分的极差相等D. 乙队得分的中位数是38.5【答案】D4.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 13【答案】A5.如图所示的程序框图输出的结果是A. 34B. 55C. 78D. 89【答案】B6.已知等差数列中，，是函数的两个零点，则的前项和等于（）A. B. C. D.【答案】C7.若函数在上是增函数，那么的最大值为A. B. C. D.【答案】B8.我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛，立两表齐、高三丈，前后相去千步，今后表与前表相直，从前表却行百二十三步，人目著地望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何？”（参考译文．．．．：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆的底部和岛的底部在同一水平直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）.则海岛高度为A. 1055步B. 1255步C. 1550步D. 2255步【答案】B9.在边长为4的菱形中，，为的中点，为平面内一点，若，则A. 16B. 14C. 12D. 8【答案】B10.已知实数、满足，若恒成立，那么的取值范围是A. B. C. D.【答案】D11.已知点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为A. 2B.C. 1D.【答案】D12.已知点是函数的图像上的一个最高点，点、是函数图像上相邻两个对称中心，且三角形的周长的最小值为.若，使得，则函数的解析式为A. B.C. D.【答案】A第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

德阳市高中2020级第一次诊断考试数学试卷(理工农医类)说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.2.本试卷满分150分,120分钟完卷.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P={x ∈ N |x ²≤9},Q={1,3},则P∩Q=（ ） A.QB.{-3,-2,-1,0,1,3}C.PD.{-3,-2,-1,2}2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（ ） A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9 B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高D.调查影院中观众观后感时，从15排(每排入数相同)每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法 3.复数5i−2的共轭复数为（ ） A.2+i B.-2+ i C.-2-i D.2-i 4.已知等比数列{a n }的前n 项和为Sₙ，且S₅=5,S₁₀=30, 则 S₁₅=（ ） A.90B.125C.155D.1805.已知x 、y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y +1≥0x −y ≤0 则 yx+2的最小值为（ ）A.1B.17C.−13D.−156.已知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 点M 关于A 的对称点为S ，点S 关于B 的对称点为N ，那么MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.2a-2bB.2a+2bC.-2a-2bD.-2a+2b7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料(如图1)截去8个一样的四面体得到的(如图2)，则下列对石凳的两条边AB 与CD 所在直线的描述中正确的是（ ） ①直线AB.与CD 是异面直线 ②直线AB 与CD 是相交直线 ③直线AB 与CD.成60°角 ④直线AB 与CD 垂直A.①③B.①④C.②③D.②④8.已知某曲线方程为x2m+3−y22m−1=1,则下列描述中不正确的是（）A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则m∈(12,+∞)B.若该曲线为圆，则m=4C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则m∈(-∞，-3)9.函数f(x)=[ln(π-x)+lnx]cosx的大致图象为A. B.C. D.10.·如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1.米的悬柱上放置：一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面(视为相切)形成的曲线称为悬链线(又称最速降线).建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是y=12(e x+e−x+t),那么两悬柱间的距离大致为(可能会用到的数据e1.25≈3.49,e1.35≈3.86)（）A.2.5米B.2.6米C.-2.8米D.2.9米11.已知函数f(x)=1+x−x22+x33−x44+⋯+x2n2023,x∈R,则f(x)在R上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.202312.已知a、b、c是正实数,且e²ᵃ−2eᵃ⁺ᵇ+eᵇ⁺ᶜ=0,则a、b、c的大小关系不可能为（）A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答，二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.已知二项式(√x√x )n(n∈N∗)的展开式中最后三项的二项式系数和为79，则n =______.14.已知a,b是单位向量,且a·b=0,若c=λa+(1-λ)b,那么当c⊥(a-b)时,λ=______.15.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω⟩0,||<π2)的部分图象如图所示,则f(x)=______.16.如图,矩形ABCD中,AC是对角线,设∠BAC=α,已知正方形Sₙ正方形S的周长.和正方形Sₙ分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC,则正方形S1的周长正方形S2的周长的取值范围为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)已知等差数列{a n}的首项为1，公差d≠0，前n项和为Sn,且S nS2n为常数.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若bₙ=2ⁿ⁻¹⋅an,求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.18.(本题满分12分)在△ABC中,边a、b、c对应角分别为A、B、C,且ba =√3sinA.(1)求角B的大小;(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高.条件①：cosA=√33,b=1;条件②：b=2,c=2√3;条件③：a=3,c=2.注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分.19.(本题满分12分)买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：(1)求出月利润y(千元).关于月销售量x(百个)的回归方程(精确到0.01)； 数学一诊(理工农医类) 第3页 共高页签字号(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：回归方程 y ̂=â+b̂x ⋅中斜率和截距最小二乘估计公式分别为： b̂=∑i=1n(x i −x̅)(y i −y ̅)∑i=1n (x i−x̅)2=∑i=1nx i y i −nx̅y ̅∑i=1n x i2−nx̅2,â=y ̅−b̂x̅. 参考数据： ∑i=18x i2=580,∑i=18x i y i =459.5.20.(本题满分12分)已知函数 f (x )=13x 3+12(a −1)x 2−ax (a ⟩0).(1)求函数f(x)的极值;(2)当a>1时,记f(x)在区间[-1,2]的最大值为M,最小值为m.已知M+m ∈ (13,23). 设f(x)的三个零点为xₙ,xₙ,xₙ,求 f( xₙxₙ+xₙxₙ+xₙxₙ)的取值范围. 21.(本题满分12分)已知函数f (x )=eˣ,g (x )=tsinx +1,设 b(x) =f(x)-g(x).(1)若h(x)在 (−π2,π2) 上单调递增，求实数t 的取值范围；(2)求证：∃t ∈(0,+∞);对∀x ∈R,∃a ∈[0,+∞),使得xh(x)=a 总成立.请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，曲线Cₙ的方程为(x −1)2+(y −√3)2=1,曲线Cₙ的参数方程为 {x =3t 2y =√3t(t 为参数)，直线l 过原点O 且与曲线Cₙ交于A 、B 两点，点P 在曲线Cₙ上且·OP ⊥AB.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线Cₙ的极坐标方程并证明|OA|·|OB|为常数； (2)若直线l 平分曲线Cₙ,求△PAB 的面积. 23.(本题满分10分) 已知函数f(x)=|x|.(1)画出y=f(x-1)-f(x+5)的图象,并根据图象写出不等式f(x--1)-f(x+5)≤-4的解集; (2)若f(x-1)-f(x+5)+kf(x+2)≥0恒成立，求实数k 的取值范围.德阳市高中2020级第一次诊断考试数学参考答案与评分标准(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．12 14．12 15．sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 16．3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题17．解：（1）由题意知：()()211222n n n dn d nS na d -+-=+=． 所以()224222n dn d nS +-=．所以()()22222422442n n dn d n S dn dS dn d n dn d+-+-==+-+-为常数． 因为0d ≠，故只要2442d dd d-=-，解得2d =，此时21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，()112212n n n n b a n --=-⋅=．所以()111232212n n T n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯得()()22121232232212n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯两式相减得：()011122222212n n n T n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯()()12121221212n n n --=+⨯--⨯-()3223n n =-⨯-所以()2323nn T n =-⨯+．18．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理及b a =， sin sin cos sin A B A B A ⋅=⋅+因为sin 0A ≠cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得：66B ππ-=或56π，解得3B π=． （2）若选条件①：cos A =，1b =．易知符合条件的ABC △存在且唯一，AC 边上的高为sin c A ⋅．由cos A =得：sin A =所以()sin 3sin sin sin 326A AC A B A ππ⎛⎫=--=+==⎪⎝⎭．故sin sin b Cc B===AC边上的高为sin c A ⋅=．若选条②：2b =，c =sin 32c B ⋅=>，所以符合条件的ABC △不存在． 若选条件③：3a =，2c =，由余弦定理得：294232cos 73b π=+-⨯⨯⨯=．所以b =由正弦定理sin sin C Bc b =得：2sin sin 7c B C b ⎛ ===． 所以AC边上的高为sin 7a C ⋅=． 19．解：（1）由题意得：8x =， 6.5y =，所以818221ˆ8459.588 6.50.645808618i ii i i x y xybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑6.50.64ˆ8 1.38.a y bx=-=-⨯= 故月利润y （千元）关于月销售量x （百个）的回归方程为：0.64 1.38y x =+． （2）ξ的所有市能取值为0，1，2、3，则()34384056C P C ξ===，()24433824156C C P C ξ⨯===， ()12443824256C C P C ξ⨯===，()34384356C P C ξ===． 故ξ的分布列为：ξ的数学期望0123565656562E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．20．解（1）因为()()()()211f x x a x a x a x =+--=+-' 令()0f x '=解得：1x =或x a =-因为0a >，可知()f x 在(),a -∞-上单增，(),1a -上单减，()1,+∞上单增． 所以()()321162f x f a a a =-=+极大值，()()1126a f x f ==--极小值． （2）由（1）知()f x 在(),a -∞-上单增，(),1a -上单减，()1,+∞上单增． 当1a >时，()f x 在[]1,1-上单减，在[]1,2上单增． 所双()f x 在区间[]1,2-的最小值()11.26a m f ==-- 最大值M 为()35126a f -=-与()223f =的较大者。

数学试卷1第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分)在每小题给出的四代上选项中，有且仅有一项是符合题目要求的. ⒈ 实数3-的相反数是A.3B.31 C.31- D.2- ⒉ 某厂2011年用于购买原材料的费用2350000元，实数2350000用科学记数法表示为A.51035.2⨯ B. 5105.23⨯ C. 510235.0⨯ D. 61035.2⨯⒊ 使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是 A.0≥x B.21≠x C.0≥x 且21≠x D.一切实数 ⒋ 某物体的侧面展开图如图所示，那么它的左视图为⒌ 已知AB 、CD 是⊙O 的两条直线，∠ABC=30°， 那么∠BAD=A.45°B. 60°C.90°D. 30°⒍ 某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行32小时到达B 处，那么tan ∠ABP= A.21B.2C.55D.552⒎ 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文，b a 2+，c b +2，d c 32+，d 4.例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，DCBA(第4题图)ODCB A(第5题图)23，28时，则解密得到的明文为A. 4，6，1，7B. 4，1，6，7C.6，4，1，7D.1，6，4，7 ⒏ 下列事件中，属于确定事件的个数是 ⑴打开电视，正在播广告；⑵投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10； ⑶射击运动员射击一次，命中10环； ⑷在一个只装有红球的袋中摸出白球.A.0B.1C.2D.3⒐ 在同一平面直角坐标系内，将函数1422++=x x y 的图象沿x 轴方向向右平移2个单位长度后再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是 A.（1-，1） B.（1，2-）C.（2，2-）D.（1，1-）⒑ 已知一组数据10，8，9，x ，5的众数是8，那么这组数据的方差是 A. 2.8 B.314C.2D.5 ⒒ 如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）.以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP //BE （点P 、E 在直线AB 的同侧），如果AB BD 41=，那么△PBC 的面 积与△ABC 面积之比为A.41B.53C.51D.43⒓ 设二次函数c bx x y ++=2，当1≤x 时，总有0≥y ，当31≤≤x 时，总有0≤y ，那么c 的取值范围是A.3=cB.3≥cC.31≤≤cD.3≤c第Ⅱ卷（非选择题，共84分）二、填空题：⒔ 如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，连接DE ，若DE=5，则BC= .⒕ 已知一个多边形的内角和是外角和的23，则这个多边形的边数是 .⒖ 某班主任把本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示 的不完整的统计图，已知乘公交车上学的学生有20人， 骑自行车上学的学生有26人，则乘公交车上学的学生人数 在扇形统计图中对应的扇形所占的圆心角的度数为 .PGF EDCB AE D CBA(第13题图)（第15题图）其 它乘公交车骑车52%⒗ 计算：=-+-xx x 52552 .⒘ 有下列计算：①632)(m m =，②121442-=+-a a a ，③326m m m =÷，④1565027=÷⨯，⑤31448332122=+-，其中正确的运算有 .⒙ 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （0，2），⊙A 的半径是2，⊙P 的半径是1，满足 与⊙A 及x 轴都相切的⊙P 有 个.三、解答题（共66分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） ⒚ 计算：161)1(130sin )2(2+-+-+--o o π.⒛ 有A 、B 两个不透明的布袋，A 袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字0和2-；B 袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字2-、0和1.小明从A 袋中随机取出一 个小球，记录标有的数字为x ，再从B 袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为y ， 这样确定了点Q 的坐标（x ，y ）.⑴写出点Q 所有可能的坐标； ⑵求点Q 在x 上的概率；⑶在平面直角坐标系xoy 中，⊙O 的半径是2，求过点Q 能作⊙O 切线的概率.21．已知一次函数m x y +=1的图象与么比例函数xy 62=的图象交于A 、B 两点，.已知当 1>x 时，21y y >；当10<<x 时，21y y <.⑴求一次函数的解析式；⑵已知一次函数在第一象限上有一点C 到y 轴的距离为3，求△ABC 的面积.xyCBAO22. 今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000㎡和B 种板材24000㎡的任务. ⑴如果该厂安排210人生产这两种材，每人每天能生产A 种板材60㎡或B 种板材40㎡，请问：应分别安排多少人生产A 种板材和B 种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？ ⑵某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知 建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：问这400间板房最多能安置多少灾民？23. 如图，已知点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，过点B 作⊙O 的切线交 直线AC 于点D ，点E 为CH 的中点，连结并延交BD 于点F ，直线CF 交AB 的延长线于G. ⑴求证：EC AF FD AE ⋅=⋅；⑵求证：FB FC =；⑶若2==FE FB ，求⊙O 的半径r 的长.24. 在平面直角坐标xoy 中，（如图）正方形OABC 的边长为4，边OA 在x 轴的正半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，点D 是OC 的中点，BE ⊥DB 交x 轴于点E.⑴求经过点D 、B 、E 的抛物线的解析式；⑵将∠DBE 绕点B 旋转一定的角度后，边BE 交线段OA 于点F ，边BD 交y 轴于点G ，交板房 A 种板材（m 2）B 种板材（m 2）安置人数 甲型 108 61 12 乙型1565110GO H FEDCBA⑴中的抛物线于M （不与点B 重合），如果点M 的横坐标为512，那么结论OF=21DG 能成立吗？请说明理由.⑶过⑵中的点F 的直线交射线CB 于点P ，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q ，且 使△PFE 为等腰三角形，求Q 点的坐标.xyGMF EDCBA o。

四川省德阳市高中2013届高三“一诊”考试 数学（理）试题说明：1．本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回。

2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合2{cos ,sin 270},{|10},A B x x A B θ=︒=+=I 那么=A ．{0，一l}B ．{l ，一1}C ．{1}D ．{-1}2．已知z 是纯虚数，21z i+-是实数，那么z=A ．2iB ．iC ．一iD ．-2i3．各项均为正数的等此数列{a n }中，321,,2a a a 成等差数列，那么4534a a a a ++=A 51+ B 51± C 51- D 15± 4．在△ABC 中，“0BA BC ⋅<u u u r u u u r”是“△ABC 为钝角三角形”的____条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要5．已知Rt △ABC 中，AB =3，AC =4，∠BAC= 90°，AD ⊥BC 于D ，E 在△ABC 内任意移动，则E 于△ACD 内的概率为A ．35B ．34C ．1625D ．456．一个如图所示的流程图，若要使输入的 x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的 个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．17．若函数y= Asin （x ωϕ+）（A >0，ω>0,||2πϕ<）在一个周期内的图象如图，M 、N分别是这段图象的最高点和最低点，且0,OM ON A ω⋅=u u u u r u u u r那么A ．6πB 7πC 7πD 7π8．下列命题中是假命题的是 A ．,R ϕ∀∈函数f （x ）= sin （2x+ϕ们都不是偶函数 B ．0,()ln a f x x a ∀>=-有零点C ．若()y f x =的图象关于某点对称，那么,a b R ∃∈使得()y f x a b =-+是奇函数D ．243,()(1)m m m R f x m x-+∃∈=-⋅使是幂函数，且在（0，+∞）上递减9．函数()f x 的图象是如图所示的折线段OAB ，其中 A （l ，2），B （3，0），那么函数()y xf x =的单调增区间 为A ．（0，1）B ．3(0,)2C ．3(1,)2D ．3(,3)210．已知函数7(13)10,6(),,6n a x a x f x a x --+≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足(),*,{}n n a f n n N a =∈且是递减数列，则实数a 的取值范围是A ．1(,1)3B ．11(,)32C ．5(,1)8D ．15(,)3811．设集合A={(,)|||||1},{(,)|()()0},,x y x y B x y y x y x M A B +≤=-+≤=⋂若动点P （x ，y ）M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是A ．25]22B ．15[,]22C ．110[2D ．2102 12．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()(),f x xf x '>-则关于x 的不等式2(1)(1)(1)f x x f x ->+-的解集为A ．（一∞，1）B ．（一1，1）C ．（一∞，0）D ．（0，1）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题4分，共l6分．将答案填在题中横线上） 13．为了解某校高三学生到学校运动场参加体育锻炼的情况．现采用简单随机抽样的方法，从高三的 1500名同学中抽取50名同学，调查他们在一学期内到 学校运动场参加体育锻炼的次数，结果用茎叶图表示 （如图）．据此可以估计本学期该校1500名高三同学 中，到学校运动场参加体育锻炼次数在[ 23，43）内人 数为 。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作四川省德阳市高中考试数学试卷（理工农医类）说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2.本试卷满分150分，120分钟完卷．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 球的表面积公式：24S R π=（其中R 表示球的半径）球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为A ．4-B ．45-C ．4D ．45【答案】D【解析】由题意知|43|534343455i z i i i +===+--．【考点】复数的模及复数运算．2.若全集{}1,2,3,4,5U =，{}4,5U P =ð，则集合P 可以是A ．{}*|||4x N x ∈<B ．{}*|6x N x ∈<C ．{}2|16x N x ∈≤ D ．{}3*|16x N x ∈≤【答案】A【解析】由{}1,2,3,4,5U =，{}4,5U P =ð，可知{}1,2,3P =． 【考点】集合的补集运算．3.两条不重合的直线a 、b 和平面α，则“a α⊥，b α⊥”是“//a b ”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故满足充分性；但//a b ，不一定满足都与α垂直． 【考点】空间中的线面关系． 4.二项式81(2)2x x-的展开式的常数项是A ．70-B ．64C ．70D ．32-【答案】C【解析】该二项式的展开式通项为8181(2)()2rrrr T C x x-+=⋅⋅828(2)r r C x -=⋅，故常数项为45870T C ==． 【考点】二项式定理．5.顶点在原点，经过圆222220x y x y +-+=的圆心且准线和x 轴垂直的抛物线方程为A ．22y x =-B ．22y x =C ．22y x =D ．22y x =-【答案】B【解析】因为抛物线的准线与x 轴垂直，故可设抛物线方程为2(0)y mx m =≠，因为圆心(1,2)-在抛物线上，所以2m =，故抛物线方程为22y x =． 【考点】抛物线的方程．6.设函数()sin cos f x x x x =+的图象上的点00(,)x y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数0()k g x =的图象大致为【答案】A【解析】由()sin cos f x x x x =+，得'()cos f x x x =，故000()cos g x x x =，该函数为奇函数，故排除B 、C ，又在00x >且00x →时，0()0g x >，排除D ． 【考点】函数图象与函数的性质．7.执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】5,0n k ==；16,1n k ==；8,2n k ==；4,3n k ==；2,4n k ==；1,5n k ==输出． 【考点】程序框图．8.设x ，y 满足约束条件20,320,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为6，则312log ()a b+的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】分析可知，当目标函数线经过点(2,4)A 时取得最大值，故246a b +=，即2133a b +=．所以12122522()()33333a b b a a b a b a b +=++=++522333≥+⨯=．当且仅当1a b ==时等号成立．所以332log ()log 31a b 1+≥=，即312log ()a b+的最小值为1．【考点】线性规划及均值不等式．9.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的三角形的边长，若4230aBC bCA cAB ++=，则cos B ＝A ．2936-B ．2936C ．1124D ．1124-【答案】D【解析】由4230aBC bCA cAB ++=，得(34)(42)0c a AB a b AC -+-=．因为AB 、AC 不共线，所以340,420,c a a b -=⎧⎨-=⎩整理得2,4,3b a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以222164119cos 42423a a aB a a +-==-⋅． 【考点】向量的线性运算及余弦定理．10.对于定义域和值域均为[]0,1的函数()f x ，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，1,2,3,n =…．满足()n f x x =的点[]0,1x ∈称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则f 的n 阶周期点的个数是A ．2nB ．2(21)n -C ．2nD ．22n【答案】C【解析】当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()2f x x x ==，解得0x =；当1(,1]2x ∈时，1()22f x x x =-=，解得23x =； ∴f 的1阶周期点的个数是2．当10,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()2f x x =，2()4f x x x ==，解得0x =；112当13(,]24x ∈时，1()22f x x =-，2()24f x x x =-+=，解得23x =；当3(,1]4x ∈时，1()22f x x =-，2()44f x x x =-=，解得45x =；∴f 的2阶周期点的个数是22．当10,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()2f x x =，2()4f x x =，3()8f x x x ==，解得0x =； 当11(,]84x ∈时，1()2f x x =，2()4f x x =，3()28f x x x =-=，解得29x =；当13(,]48x ∈时，1()2f x x =，2()24f x x =-，3()22(24)f x x x =--=，解得27x =；…以此类推∴f 的n 阶周期点的个数是2n ．【考点】函数与方程的综合运用及归纳推理．第Ⅱ卷 （非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡对应题号后横线上． 11.已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各取一个球，则取出的2个球中恰有1个红球的概率是 ． 【答案】12【解析】从甲、乙两个盒子各取一个球的所有取法为113412C C ⨯=种，取出的2个球中恰有1个红球的所有取法共有111112226C C C C ⨯+⨯=种，故概率为61122P ==． 【考点】古典概型．12.表面积为324π的球，其内接长方体的高为14，且底面是正方形，则此长方体的表面积为 ． 【答案】576【解析】由题意设球的半径为r ，则24324r ππ=，解得9r =．设长方体底面正方形的边长为a ，则2221418a a ++=，解得8a =，故长方体的表面积为2(88814814)576S =⨯+⨯+⨯=．【考点】长方体与球的组合体问题．13.设角α、β是锐角，若(1tan )(1tan )2αβ++=，则αβ+= ． 【答案】4π【解析】由(1tan )(1tan )2αβ++=，展开得1tan tan tan tan 2αβαβ+++⋅=，整理得tan tan 1tan tan αβαβ+=-，故t a n t a n t an ()11t a n t a n αβαβαβ++==-．因为α、β是锐角，所以0αβπ<+<，故4παβ+=．【考点】两角和的正切公式．14.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦点分别是1F 、2F ，焦距为2c ，双曲线上存在一点P ，使直线1PF 与圆222x y a +=相切于1PF 的中点M ，则双曲线的离心率是 ． 【答案】5【解析】如图，在直角三角形1OMF 中，1OF c =，OM a =，故1MF b =，故22P F a =，12PF b =．由122PF PF a -=，可得222b a a -=，故2ba=，故21()5b e a =+=．【考点】双曲线的离心率．15.已知方程4||||4x x y y +=的曲线为函数()y f x =的图象，对于函数()f x 有如下结论，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①函数()y f x =是R 上的奇函数；②函数()y f x =是R 上的减函数；③函数()f x 的图象关于直线2y x =对称；④函数()y g x =和()y f x =的图象关于原点对称，则函数()g x 的图象是方程4||||4x x y y -=表示的曲线；⑤方程()2f x x k +=恰有两个不等的解，则(0,22)k ∈． 【答案】②⑤【解析】根据x 、y 的正负可作出函数()y f x =的图象，可知0x ≥，0y ≥时，方程可化为2214y x +=；0x ≥，0y ≤时，方程可化为2214y x -=；0x ≤，0y ≥时，方程可化为2214y x -=．作出图象可知，该函数为非奇非偶函数，故①错；该函数在R 上为减函数，故②正确；设点00(,)P x y 为该曲线上任意一点，则它关于直线2y x =的对称点为'P 不在()f x 的图象上，故③错误；设(,)x y 为函数()y g x =图象上任意一点，则它关于原点的对称点'(,)P x y --在函数()y f x =图象上，故4()||()||x x y y -+-=，即方程为4||||4x x y y +=-，故④错误；通过图象可知对应两条双曲线的渐进线方程为2y x =±，故方程()2f x x k+=恰有两个不等的解，即方程()2f x x k =-+有两个不等的解，即对应函数()y f x =与函数2y x k =-+有两()【考点】函数图象与函数性质．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分） 为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3； 乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5.（1）现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；（2）若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值()E ξ．【答案】（1）选派甲合适；（2）分布列（略）；3()2E ξ=【解析】 试题分析：（1）分别计算选派甲、乙两人的平均数和方差，即可得知选派甲合适；（2）由题意可知满足二项分布，即可求出分布列，进而求出均值．试题解析：（1）因为8.5x x ==甲乙，又20.27s =甲，20.405s =乙，得22s s <甲乙，所以选派甲合适．（2）依题意得，乙不低于8.5分的概率为12，ξ的可能取值为0，1，2，3，则1~(3,)2B ξ． ∴3333111()()(1)()222kkk k P k C C ξ-==-=，k =0，1，2，3．所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P1838 38 18∴13()322E np ξ==⨯=． 17.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x ωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π． （1）求函数()f x 图象的对称轴和单调递减区间；（2）若函数()()()4g x f x f x π=--，求函数()g x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值． 【答案】（1）3()28k x k Z ππ=+∈；37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）22，2-【解析】试题分析：（1）先将函数解析式化简为“一角一函数”，然后根据最小正周期为π，即可求出函数()f x 解析式，进而求出函数()f x 的对称轴与单调递减区间；（2）根据()()()4g x f x f x π=--，即可求出()22sin(2)4g x x π=-，通过x 的区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即可求出24x π-的范围为504π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，进而求出()g x 在此区间上的最小值和最大值．试题解析：()2cos (sin cos )1f x x x x ωωω=-+sin 2cos2x x ωω=-2sin(2)4x πω=-．由于函数()f x 的最小正周期为22T ππω==，故1ω=． 故函数()2sin(2)4f x x π=-．（1）令24x k πππ-=+（k Z ∈），得：3()28k x k Z ππ=+∈，令3222()242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得37()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即函数()f x 的单调递减区间是37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．（2）()()()4g x f x f x π=--2sin(2)2sin 2()444x x πππ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦22sin(2)4x π=-．由于3,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则50244x ππ≤-≤，故当242x ππ-=，即38x π=时函数()g x 取得最大值22；当5244x ππ-=，即34x π=时函数()g x 取得最小值2-．18.（本小题满分12分） 一个多面体的直观图即三视图如图所示（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）．（1）求证：//MN 平面CDEF ；（2）求多面体A CDEF -的体积． （3）求平面ADE 与平面NMF 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）（略）；（2）83（3）66【解析】试题分析：（1）连接BE ，可知MN 为△BCE 的中位线，故//MN CE ，从而即可证明//MN 平面CDEF ；（2）取DE 的中点H ，连接AH ，即可证明AH ⊥平面CDEF ，从而可知AH 即为多面体A CDEF -的高；（3）以AB 、AE 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，然后求出平面ADE 与平面NMF 的法向量，利用法向量所成的角即可求出锐二面角的余弦值．试题解析：由三视图可知：2AB BC BF ===，22DE CF ==，∠2CBF π=．∵EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ， ∴//MN 平面CDEF ．（2）解：取DE 的中点H ． ∵AD AE =，∴AH ⊥DE ．在直三棱柱ADE BCF -中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE平面CDEF DE =．∴AH ⊥平面CDEF ．∴多面体A CDEF -是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥． 在△ADE 中，2AH =，42CDEF S DE EF =⋅=矩形，∴棱锥A CDEF -的体积为118422333CDEF V S AH =⋅⋅=⨯⨯=矩形． （3）解：由三视图知，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE 为正方形．以AB 、AE 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,2,0)F ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ．∵M 、N 分别为AF 、BC 的中点， ∴(1,0,0)M ，(2,0,1)N ， ∴(1,1,0)MF =，(1,1,1)MN =-． 设平面NMF 的一个法向量为(,,)m x y z =，则由0,0,m MF m MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,x y x y z +=⎧⎨-+=⎩∴,2,x y z y =-⎧⎨=⎩令1y =，则(1,1,2)m =-．又平面ADE 的一个法向量为(1,0,0)n =， ∴16cos ,6||||6m n m n m n ⋅-<>===-， 故平面ADE 与平面NMF 所成锐二面角的余弦值为66． 19.（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，1244n n a a n ++=-（*n N ∈），123a =-． （1）求n a ；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S ．【答案】（1）24,21,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.（2）2222,2322,22n n n n S n n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩为偶数，为奇数.试题分析：（1）通过1244n n a a n ++=-，可得212(1)44n n a a n +++=+-，两式作差可得22n n a a +-=，从而可知数列{}n a 的所有奇数项为等差数列，所有偶数项成等差数列，分类求解即可．（2）分n 为奇数，n 为偶数两种情况进行求解．试题解析：（1）由1244n n a a n ++=-（*n N ∈），得212(1)44n n a a n +++=+-， ∴22n n a a +-=．又21244a a +=-，∴219a =-．同理得：321a =-，417a =-．故1a ，3a ，5a ，…是以1a 为首项、2为公差的等差数列，2a ，4a ，6a ，…是以2a 为首项、2为公差的等差数列， 所以24,21,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.（2）当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++++…[](2144)(2344)2(1)44n =⨯-+⨯-++⨯--…[]2213(1)442222n n n n =+++--⨯=-…．当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++…[]1(2244)2(1)44a n =+⨯-++⨯--…[]11224(1)(44)2n a n -=++++-+⨯-… 2(1)(1)32322(1)22222n n n n n +-=-+--=--．故2222,2322,22n n n n S n n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩为偶数，为奇数.20.（本小题满分13分）椭圆的一个顶点为(0,3)M ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线10x y -+=的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设n 是过原点的直线，不垂直于x 轴的直线l 与n 垂直相交于P 点、于椭圆相交于A 、B 两点，||1OP =．是否存在上述直线使1AP PB ⋅=成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 不存在试题分析：（1）因为焦点在x 轴上，且(0,3)M 为椭圆的一个顶点，故23b =；根据右焦点到直线10x y -+=的距离为2，可求出c ，进而求出椭圆C 的方程；（2）根据||1OP =，可得221m k =+，再根据1AP PB ⋅=，即可得0OA OB ⋅=，从而转化为12120x x y y +=，然后联立方程求出两根关系代入上式即可得出矛盾，故直线l 不存在．试题解析：（1）设右焦点为(,0)c ，则由点到直线的距离公式，得|1|22c +=， ∴1c =，又23b =，∴2224a b c =+=，故椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）设A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，假设使1AP PB ⋅=成立的直线l 存在． 设l 的方程为y kx m =+，由l 与n 垂直相交于P 点且||1OP =，得2||11m k =+，即221m k =+．∵1AP PB ⋅=，||1OP =，∴()()OA OB OP PA OP PB ⋅=+⋅+2OP OP PB PA OP PA PB =+⋅+⋅+⋅10010=++-=． 即12120x x y y +=．将y kx m =+代入椭圆方程，得222(34)8(412)0k x kmx m +++-=．由此可得：122834kmx x k -+=+ ④ 212241234m x x k -=+ ⑤12120x x y y =+1212()()x x kx m kx m =+++221212(1)()k x x km x x m =++++，将④⑤代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++= ⑥将221m k =+代入⑥并化简得25(1)0k -+=，矛盾．∴直线l 不存在．21.（本小题满分14分） 已知函数2()()ln x a f x x-=（其中a 为常数）．（1）当0a =时，求函数()f x 的单调减区间和极值点；（2）当0a >时，设函数()f x 的3个极值点为1x ，2x ，3x ，且1x <2x <3x ． ①求a 的取值范围；②证明：当01a <<时，132x x e+>． 【答案】（1）单调减区间为(0,1)，(1,)e ，极值点为e ；（2）①20a e <<且1a ≠；②（略） 【解析】试题分析：（1）对函数()f x 求导，令导数小于零即可求出单调减区间，令导数等于零即可求出极值点；（2）①求函数()f x 的导函数2()(2ln 1)'()ln a x a x x f x x-+-=，构造新函数()2ln 1a h x x x =+-，可知()h x 在(0,)2a 上单调递减；在(,)2a+∞上单调递增，故只需min ()()02ah x h =<即可；②要证明132x x e +>，等价于312x x e >-，因为新函数()2l n g x x x x =-在1(0,)e 上递减；在1(,)e+∞上递增，故只需证明312()()g x g x e >-，即证明112()()0g x g x e -->，构造函数2()()()F x g x g x e =--， 因为1()0F e =，故需要证明10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()F x 单调递减即可． 试题解析：（1）2(2ln 1)'()ln x x f x x -=（0x >且1x ≠）． 令'()0f x =可得x e =，列表如下： x (0,1) (1,)e e(,)e +∞ '()f x - - 0+ ()f x 极小值单调减区间为(0,1)，(1,)e ，∴函数()f x 的极值点e ．（2）①由题知2()(2ln 1)'()ln a x a x x f x x -+-=． 对于函数()2ln 1a h x x x =+-，有22'()x a h x x-=， ∴函数()h x 在(0,)2a 上单调递减；在(,)2a +∞上单调递增．∵函数()f x 有3个极值点， ∴min ()()2ln1022a a h x h ==+<且1a ≠． ∴20a e<<且1a ≠． ②当01a <<时，()2ln 0h a a =<，(1)10h a =-<， ∴函数()f x 的递增区间有1(,)x a 和3(,)x +∞，递减区间有1(0,)x ，(,1)a ，3(1,)x ，此时，函数()f x 有3个极值点，且2x a =；∴当01a <<时，1x 、3x 是函数()2ln 1a h x x x=+-的两个零点，即有 11332ln 10,2ln 10,a x x a x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩消去a 有1113332ln 2ln x x x x x x -=-， 令()2ln g x x x x =-，'()2ln 1g x x =+有零点1x e =，且131x x e <<， ∴函数()2ln g x x x x =-在1(0,)e 上递减；在1(,)e+∞上递增． 要证明：132x x e +>等价于312x x e >-等价于312()()g x g x e >-． ∵13()()g x g x =， ∴即证112()()g x g x e >-等价于112()()0g x g x e-->． 构造函数2()()()F x g x g x e =--， ∵1()0F e =，只需要证明10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()F x 单调递减即可． 而2'()2ln 2ln()2F x x x e =+-+，22(2)''()02()x e F x x x e -=≥-，∴'()F x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， ∴1'()'()0F x F e<=， ∴当01a <<时，132x x e +>．。

2024年四川省德阳市中考数学一诊试卷一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.的相反数是()A.B.C.D.2.下列运算正确的是()A. B.C.D.3.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为，则n 的值是()A.6B.C. D.4.一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为()A. B. C. D.5.《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问：几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问：多久后甲、乙相逢？设甲出发x 日，乙出发y 日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是()A.B.C.D.6.小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具如图，测得对角线，将正方形学具变形为菱形如图，，则图2中对角线AC的长为()A.20cmB.C.D.7.一次考试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析.甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为102分，方差后来甲同学进行了补考，数学成绩为102分.则加入甲同学的成绩后，班级数学成绩下列说法正确的是()A.平均分和方差都不变B.平均分和方差都改变C.平均分不变，方差变小D.平均分不变，方差变大8.某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是()A. B. C.4 D.29.如图，在半径为6cm的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形OCAB的面积为；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是()A.①③B.①②③④C.②③④D.①③④10.若整数a使得关于x的不等式组至少有2个整数解，且使得关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a之和为()A. B. C.2 D.411.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上，轴，，，，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点C的坐标为()A. B. C. D.12.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为，直线与抛物线交于C，D两点，且D为抛物线的顶点，则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。