大一数学分析习题7

一元微积分与数学分析—有限覆盖定理梅加强南京大学数学系在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合.在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合.集合之间的运算可以对集合族来定义.例如,交集运算可定义为Aα={x|任给α∈Γ,均有x∈Aα},α∈Γ在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合.集合之间的运算可以对集合族来定义.例如,交集运算可定义为Aα={x|任给α∈Γ,均有x∈Aα},α∈Γ并集运算可定义为Aα={x|存在α∈Γ,使得x∈Aα}.α∈Γ定理1(Heine-Borel)设{Uα}α∈Γ为R中的一族开集.如果闭区间[a,b]包含于这一族开集的并集之中,则[a,b]必定包含于有限个Uα的并集之中.定理1(Heine-Borel)设{Uα}α∈Γ为R中的一族开集.如果闭区间[a,b]包含于这一族开集的并集之中,则[a,b]必定包含于有限个Uα的并集之中.证明.如果指标集Γ是有限集,则结论不证自明.以下设Γ为无限集.(反证法)假设[a,b]只能包含于无限个Uα的并集,则二等分[a,b]后必有一个小区间也只能包含于无限个Uα之并,记该区间为[a1,b1].再将[a1,b1]二等分,又必有一个小区间只能包含于无限个Uα之并,记该区间为[a2,b2].如此继续下去,得闭区间套{[a n,b n]},使得每一个[a n,b n]均只能包含于无限个Uα之并.证明(续).注意limn→∞(b n−a n)=limn→∞2−n(b−a)=0.根据闭区间套原理,{[a n,b n]}有一个公共点,记为ξ.根据题设,存在α0∈Γ,使得ξ∈Uα0.因为Uα是开集,故存在δ>0,使得(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα0.根据闭区间套原理的证明,{a n},{b n}均收敛于ξ,故存在N,当n>N时a n,b n∈(ξ−δ,ξ+δ).此时有[a n,b n]⊂(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα,这与[a n,b n]只能包含于无限个Uα之并相矛盾.ξ−δξ+δa n bnξ图1:有限覆盖定理例1证明:闭区间中的局部有界函数必为有界函数.例1证明:闭区间中的局部有界函数必为有界函数.证明.设f是[a,b]中的局部有界函数,则任给x∈[a,b],均存在δ(x)>0以及M(x),使得|f(y)|≤M(x),∀y∈x−δ(x),x+δ(x)∩[a,b].显然,[a,b]包含于集合族x−δ(x),x+δ(x)x∈[a,b]之并.由Heine-Borel定理,存在x1,···,x k∈[a,b],使得[a,b]⊂ki=1x i−δ(x i),x i+δ(x i).记M=max{M(x i)|i=1,2,···,k},则|f|≤M在[a,b]中总成立.定理2(Bolzano)有界数列必有收敛子列.定理2(Bolzano)有界数列必有收敛子列.证明.设{a n }为有界数列,不妨设a n 均包含于[a ,b ].断言：存在α∈[a ,b ],使得任给δ>0，(α−δ,α+δ)中均含有无限项a n .(反证法)假设不然,则任给x ∈[a ,b ],存在δ(x )>0,使得 x −δ(x ),x +δ(x ) 只含有限项a n .显然,[a ,b ]包含于集合族 x −δ(x ),x +δ(x ) x ∈[a ,b ]之并.由Heine-Borel 定理,[a ,b ]包含于有限个 x −δ(x ),x +δ(x ) 之并.这说明[a ,b ]只含有限项a n ,从而和a n 均包含于[a ,b ]相矛盾.利用此断言,我们选取{a n }的子列,使之收敛到α.事实上,先取a n 1∈(α−1,α+1).再取n 2>n 1,使得a n 2∈(α−1/2,α+1/2).如此继续,可得子列{a n k },使得当k ≥1时a n k ∈(α−1/k ,α+1/k ).显然,{a n k }收敛到α.引理1(Lebesgue数引理)设{Uα}α∈Γ为一族开集,其并集包含了闭区间[a,b].则存在正数λ>0,使得长度不超过λ的任何闭区间I⊂[a,b]必定完全包含于某个Uα中.引理1(Lebesgue数引理)设{Uα}α∈Γ为一族开集,其并集包含了闭区间[a,b].则存在正数λ>0,使得长度不超过λ的任何闭区间I⊂[a,b]必定完全包含于某个Uα中.证明.(反证法)如果不然,则存在一列闭区间{I n}n≥1,使得|I n|<1/n,但每一个Uα都不能完全包含任何一个I n.记I n=[a n,b n],由于{a n}为有界点列,根据Bolzano 定理,它有收敛子列,不妨设{a n}本身收敛,其极限记为ξ∈[a,b].显然,{b n}也收敛到ξ.根据题设,存在某个α,使得ξ∈Uα.由Uα为开集可知,故存在δ>0,使得(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα.这说明,当n充分大时,必有a n,b n∈(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα,此时I n=[a n,b n]⊂Uα.这与I n的选取相矛盾.引理1(Lebesgue数引理)设{Uα}α∈Γ为一族开集,其并集包含了闭区间[a,b].则存在正数λ>0,使得长度不超过λ的任何闭区间I⊂[a,b]必定完全包含于某个Uα中.证明.(反证法)如果不然,则存在一列闭区间{I n}n≥1,使得|I n|<1/n,但每一个Uα都不能完全包含任何一个I n.记I n=[a n,b n],由于{a n}为有界点列,根据Bolzano 定理,它有收敛子列,不妨设{a n}本身收敛,其极限记为ξ∈[a,b].显然,{b n}也收敛到ξ.根据题设,存在某个α,使得ξ∈Uα.由Uα为开集可知,故存在δ>0,使得(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα.这说明,当n充分大时,必有a n,b n∈(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα,此时I n=[a n,b n]⊂Uα.这与I n的选取相矛盾.引理中的λ称为{Uα}α∈Γ的Lebesgue数.定理3(Cantor定理)设f∈C0[a,b],则任给ε>0,存在δ>0,使得只要x1,x2∈[a,b]且|x1−x2|<δ,就有|f(x1)−f(x2)|<ε.定理3(Cantor定理)设f∈C0[a,b],则任给ε>0,存在δ>0,使得只要x1,x2∈[a,b]且|x1−x2|<δ,就有|f(x1)−f(x2)|<ε.证明.根据连续性,任给x∈[a,b],存在δ(x)>0,当y∈(x−δ(x),x+δ(x))∩[a,b]时, |f(y)−f(x)|<ε/2.显然,[a,b]包含于开集族{(x−δ(x),x+δ(x))}x∈[a,b]之并,记此开集族的Lebesgue数为δ.设x1<x2∈[a,b],当|x1−x2|<δ时,根据Lebesgue引理,存在某个x∈[a,b],使得[x1,x2]⊂(x−δ(x),x+δ(x)).此时|f(x1)−f(x2)|≤|f(x1)−f(x)|+|f(x)−f(x2)|<ε/2+ε/2=ε.。

大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。

答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。

答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。

答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。

答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。

答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。

令f'(x)=0，解得x=2。

在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。

因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。

2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。

答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。

数学分析习题精选精解数学分析是数学中的一个重要分支，其核心内容是函数论和微积分学。

在学习数学分析的过程中，习题的练习是不可或缺的一环。

通过多做习题，巩固知识点、提高解题能力和思维能力，进而提高数学水平。

下面我们选取一些经典的数学分析习题，进行精选精解。

一、极限【例1】设$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}=a$，求$a$的值。

【解】这是一个简单的极限问题，我们采用夹逼法求解。

显然有$\sqrt[n]{n-1}<\sqrt[n]{n}<\sqrt[n]{n+1}$。

那么$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n-1}}=\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n+1}}=1$。

因此，$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}=1$。

二、导数与微分【例2】已知$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x-a},x\geqa\\0,x<a\end{cases}$，求$f'(a)$和$f''(a)$。

【解】首先，我们求$f'(x)$。

当$x\geq a$时，$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-a}}$。

当$x<a$时，$f'(x)=0$。

因此，$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim\limits_{x\to a}{\dfrac{\sqrt{x-a}}{x-a}}=\lim\limits_{x\to 0}{\dfrac{\sqrt{x}}{x}}=+\infty$。

再求$f''(x)$。

当$x\geq a$时，$f''(x)=\dfrac{-1}{4(x-a)^{\frac{3}{2}}}$。

一元微积分与数学分析—闭区间套原理梅加强南京大学数学系区间套:设{I n}为一列区间,如果I1⊃I2⊃···⊃I n⊃···,则称{I n}为区间套;当I n 均为闭区间时称为闭区间套.区间套:设{I n}为一列区间,如果I1⊃I2⊃···⊃I n⊃···,则称{I n}为区间套;当I n 均为闭区间时称为闭区间套.定理1(Cantor)设{[a n,b n]}为闭区间套.如果lim(b n−a n)=0,则这些闭区间有唯一的公共点.n→∞区间套:设{I n}为一列区间,如果I1⊃I2⊃···⊃I n⊃···,则称{I n}为区间套;当I n 均为闭区间时称为闭区间套.定理1(Cantor)(b n−a n)=0,则这些闭区间有唯一的公共点.设{[a n,b n]}为闭区间套.如果limn→∞证明.由题设可知,{a n}单调递增,{b n}单调递减,它们均位于区间[a1,b1]中,从而为有界数列.这说明{a n}和{b n}都收敛,设其极限分别为α,β.由a n<b n和极限的保序性质可知α≤β.由{a n}和{b n}的单调性可知a n≤α,β≤b n.于是α,β为{[a n,b n]}的公共点.证明(续).注意到0≤β−α≤b n−a n,∀n≥1.(b n−a n)=0即得α=β.如果{[a n,b n]}另有公共点γ,则令n→∞,由limn→∞0≤|γ−α|≤b n−a n,∀n≥1.同理可得γ=α.证明(续).注意到0≤β−α≤b n−a n,∀n≥1.(b n−a n)=0即得α=β.如果{[a n,b n]}另有公共点γ,则令n→∞,由limn→∞0≤|γ−α|≤b n−a n,∀n≥1.同理可得γ=α.注1定理中的闭区间换成开区间时结论一般不再成立,如(0,1)⊃(0,1/2)⊃···⊃(0,1/n)⊃···是开区间套,但这些开区间没有公共点.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集. 可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集. 可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.换句话说,X为可数集是指其元素可以排成一行:X={x1,x2,···,x n,···}.我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集. 可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.换句话说,X为可数集是指其元素可以排成一行:X={x1,x2,···,x n,···}.整数集是可数集:Z={0,−1,1,−2,2,···,−n,n,···}.可数集我们来讨论闭区间套原理的几个应用.我们用Z表示整数集,N表示正整数集.可数集:设X为集合,如果存在一一映射f:X→N,则称X为可数集.换句话说,X为可数集是指其元素可以排成一行:X={x1,x2,···,x n,···}.整数集是可数集:Z={0,−1,1,−2,2,···,−n,n,···}.有理数集是可数集:像整数那样,只要能将正有理数排成一行即可.正有理数都可以写成既约分数p/q的形式,其中p,q是互素的正整数.这些既约分数可以按照如下规则排成一行:先按p+q的大小排(按从小到大的顺序排列),当分子分母之和相同时,根据分子的大小按从小到大的顺序排列.这样就可以将正有理数不重复也不遗漏地排成了一列.只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.问题1:是否存在不可数集?只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.问题1:是否存在不可数集?实数集R是不可数集.只有有限个元素的集合称为有限集.有限集和可数集统称至多可数集,其它的集合称为不可数集.问题1:是否存在不可数集?实数集R是不可数集.证明.(反证法)实数集是无限集,如果它是可数集,记R={x1,···,x n,···}.将区间[0,1]三等分,必有一个等分区间不含x1,记该区间为[a1,b1].再对[a1,b1]三等分,必有一个等分区间不含x2,记该区间为[a2,b2].如此继续等分[a2,b2]等等,我们就得到闭区间套[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃···⊃[a n,b n]⊃···,使得当n≥1时x n/∈[a n,b n].注意limn→∞(b n−a n)=limn→∞3−n=0,根据闭区间套原理,{[a n,b n]}有一个公共点.此公共点属于R,但又不等于任何一个x n,这就导出了矛盾.定理2(零值定理)设f∈C0[a,b],如果f(a)f(b)≤0,则存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.定理2(零值定理)设f∈C0[a,b],如果f(a)f(b)≤0,则存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.证明.我们用闭区间套原理证明.不妨设f(a)<0,f(b)≥0.将[a,b]二等分,如果f(a+b)/2≥0,则取a1=a,b1=(a+b)/2;如果f(a+b)/2<0,则取a1=(a+b)/2,b1=b.再将[a1,b1]二等分,用[a2,b2]表示满足f(a2)<0,f(b2)≥0的那一半小区间.如此继续,可得闭区间套{[a n,b n]},使得f(a n)<0,f(b n)≥0总成立.注意到b n−a n=2−n(b−a)趋于零,由闭区间套原理,存在ξ∈[a,b],使得{a n}和{b n}均收敛于ξ.由f连续可得0≥limn→∞f(a n)=f(ξ)=limn→∞f(b n)≥0,这说明f(ξ)=0.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.如果A的补集是开集,则称A为闭集.注意:一个子集可能既不是开集,也不是闭集,比如有理数集就是如此.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.如果A的补集是开集,则称A为闭集.注意:一个子集可能既不是开集,也不是闭集,比如有理数集就是如此.例1设A既是开集,又是闭集,则A=∅或A=R.设A⊂R,a∈A.如果存在δ>0,使得(a−δ,a+δ)⊂A,则称a为A的内点. 如果A中的元素都是内点,则称A为开集.约定空集也是开集.开区间都是开集,开集的并集仍为开集.如果A的补集是开集,则称A为闭集.注意:一个子集可能既不是开集,也不是闭集,比如有理数集就是如此.例1设A既是开集,又是闭集,则A=∅或A=R.证明.定义函数f(x)如下:当x∈A时,f(x)=1;当x/∈A时f(x)=−1.由已知条件可知A和补集A c都是开集,因此f是连续函数(因为它是局部常值的).由零值定理即知f≡−1或f≡1.即A=∅或A=R.定理3(Baire纲定理)设{A n}为一列闭集,如果每一个A n都没有内点,则 ∞n=1A n也没有内点.定理3(Baire 纲定理)设{A n }为一列闭集,如果每一个A n 都没有内点,则 ∞n =1A n 也没有内点.证明.我们用闭区间套原理来证.(反证法)设a 为A = ∞n =1A n 的内点,则存在δ>0,使得(a −δ,a +δ)⊂A .根据已知条件,A 1没有内点,因此存在a 1∈(a −δ,a +δ)∩A c 1.又由A 1为闭集可知(a −δ,a +δ)∩A c 1为开集.因此存在δ1>0,使得(a 1−δ1,a 1+δ1)⊂(a −δ,a +δ)∩A c 1.记I 1=[a 1−δ1/2,a 1+δ1/2].又因为A 2没有内点,重复刚才的论证可知存在a 2∈A c 2,δ2>0,使得(a 2−δ2,a 2+δ2)⊂(a 1−δ1/2,a 1+δ1/2)∩A c 2.记I 2=[a 2−δ2/2,a 2+δ2/2],则I 2⊂I 1,|I 2|=δ2≤δ1/2=|I 1|/2.证明(续).重复上述论证过程可得一列闭区间套{I n},使得|I n|→0(n→∞)且I n⊂A c n,∀n≥1.根据闭区间套原理,{I n}有公共点ξ∈(a−δ,a+δ)⊂A.然而,ξ不属于任何A n,这就导出了矛盾.证明(续).重复上述论证过程可得一列闭区间套{I n},使得|I n|→0(n→∞)且I n⊂A c n,∀n≥1.根据闭区间套原理,{I n}有公共点ξ∈(a−δ,a+δ)⊂A.然而,ξ不属于任何A n,这就导出了矛盾.思考问题2:是否存在某个函数,使得其间断点集恰为无理数集?证明(续).重复上述论证过程可得一列闭区间套{I n},使得|I n|→0(n→∞)且I n⊂A c n,∀n≥1.根据闭区间套原理,{I n}有公共点ξ∈(a−δ,a+δ)⊂A.然而,ξ不属于任何A n,这就导出了矛盾.思考问题2:是否存在某个函数,使得其间断点集恰为无理数集?提示:间断点集可以表示为一列闭集的并.。

大学数学分析题题库题目一：极限与连续性1. 计算下列极限：(a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x}$(b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$(c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$2. 判断函数在给定点或区间内的连续性：(a) 函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x=0$处是否连续？(b) 函数$g(x) = \frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内是否连续？(c) 函数$h(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ 2, & x \geq 1 \end{cases}$在$x=1$处是否连续？题目二：微分学基础1. 计算下列函数的导数：(a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$(b) $g(x) = \sin(x) + \cos(x)$(c) $h(x) = e^x \cdot \ln(x)$2. 判断函数在给定点处的可导性：(a) 函数$f(x) = |x|$在$x=0$处是否可导？(b) 函数$g(x) = \sqrt[3]{x}$在$x=8$处是否可导？题目三：积分与面积1. 计算下列定积分：(a) $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$(b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \, dx$(c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$2. 计算两个曲线之间的面积：(a) 曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的面积；(b) 曲线$y = \sin(x)$与$y = \cos(x)$在区间$[0, \pi/2]$内所围成的面积。

题目四：级数与收敛性1. 判断下列级数的敛散性：(a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$(b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$(c) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$2. 判断函数项级数的一致收敛性：(a) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$在区间$[0,\pi]$上是否一致收敛？(b) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n}$在区间$(-\infty, \infty)$上是否一致收敛？总结：数学分析题库涵盖了极限与连续性、微分学、积分与面积以及级数与收敛性等重要概念和技巧。

习 题 1-11．计算下列极限（1）limx ax a a x x a→--,0;a >解：原式lim[]x a a ax a a a x a x a x a→--=---=()|()|x a x a x a a x ==''- =1ln a a a a a a --⋅=(ln 1)a a a -（2）sin sin limsin()x a x ax a →--；解：原式sin sin lim x a x ax a→-=-(sin )'cos x a x a ===（3）2lim 2), 0;n n a →∞>解：原式21()1/n n=20[()']x x a ==2ln a = （4）1lim [(1)1]pn n n→∞+-，0;p > 解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n nx =→∞+-'===11p x px p -== （5）10100(1tan )(1sin )lim;sin x x x x→+-- 解：原式101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x →→+---=--=99010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=（6）1x →，,m n 为正整数；解：原式11nx x →=-1111()'()'mx nx x x ===n m=2．设()f x 在0x 处二阶可导，计算00020()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-.解：原式000()()lim 2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h→''''+-+--=000000()()()()limlim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011()()()22f x f x f x ''''''=+=3．设0a >，()0f a >，()f a '存在，计算1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→.解：1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→ln ()ln ()ln ln lim f x f a x a x a e --→=ln ()ln ()limln ln x a f x f a x a e→--=ln ()ln ()lim ln ln x a f x f a x ax ax a e→----='()()f a a fa e=习 题 1-21.求下列极限（1）lim x →+∞;解：原式lim [(1)(1)]02x x x ξξ→+∞=+--= ，其中ξ在1x -与1x +之间（2）40cos(sin )cos lim sin x x x x→-;解：原式=40sin (sin )limx x x x ξ→--=30sin sin lim()()()x x x x x ξξξ→--⋅=16，其中ξ在x 与sin x 之间（3）lim x →+∞解：原式116611lim [(1)(1)]x x x x →+∞=+--56111lim (1)[(1)(1)]6x x x xξ-→+∞=⋅+⋅+-- 5611lim (1)33x ξ-→+∞=+= ，其中ξ在11x -与11x +之间（4） 211lim (arctanarctan );1n n n n →+∞-+ 解：原式22111lim ()11n n n n ξ→+∞=-++1=，其中其中ξ在11n +与1n 之间2．设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算11()lim ()nn n n f a f a →∞⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦.解：原式1111(ln ()ln ())lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n nn nn ee→∞+--+--→∞==11ln ()ln ()ln ()ln ()[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n ne→∞→∞+---+-=()()2()()()()f a f a f a f a f a f a ee'''+==习 题 1-31．求下列极限（1）0(1)1lim (1)1x x x λμ→+-+-,0;μ≠解：原式0limx x x λλμμ→==（2）x →解：02ln cos cos 2cos lim12x x x nxI x →-⋅⋅⋅=20ln cos ln cos 2ln cos 2lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=-20cos 1cos 21cos 12lim x x x nx x →-+-+⋅⋅⋅+-=-22220(2)()lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=21ni i ==∑ （3）011lim )1x x x e →--（; 解：原式01lim (1)x x x e xx e →--=-201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x→-=01lim 22x x x →== （4）112lim [(1)]x xx x x x →+∞+-; 解：原式11ln(1)ln 2lim ()x x xxx x ee+→+∞=-21lim (ln(1)ln )x x x x x →+∞=+-1lim ln(1)x x x→+∞=+1lim 1x xx→+∞== 2. 求下列极限（1）2221cos ln cos limsin x x x x xe e x -→----;解：原式222201122lim 12x x x x x →+==-（2）0ln()2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→++--;解：原式0ln(11)2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x x x x →++-+=--012sin limsin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→+-+=-- 02lim442x x x xx x x→++==--习 题 1-41．求下列极限（1）21lim (1sin )n n n n→∞-； 解：原式2331111lim [1(())]3!n n n o n n n →∞=--+11lim((1))3!6n o →∞=+=（2）求33601lim sin x x e x x→--；解：原式3636336600()112lim lim 2x x x xx o x x e x x x →→++---=== （3）21lim[ln(1)]x x x x→∞-+； 解：原式222111lim[(())]2x x x o x x x →∞=--+12= （4）21lim (1)x xx e x-→+∞+； 解：原式211[ln(1)]2lim x x xx ee+--→∞==此题已换3．设()f x 在0x =处可导，(0)0f ≠，(0)0f '≠.若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.解：因为()(0)(0)()f h f f h o h '=++，(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++所以00()(2)2(0)(1)(0)(2)(0)()0limlim h h af h bf h f a b f a b f o h h h→→'+-+-+++==从而10a b +-= 20a b += 解得：2,1a b ==-3．设()f x 在0x 处二阶可导，用泰勒公式求0002()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-解：原式22220000100022''()''()()'()()2()()'()()2!2!limh f x f x f x f x h h o h f x f x f x h h o h h →+++-+-++=22201220''()()()lim h f x h o h o h h→++=0''()f x =4. 设()f x 在0x =处可导，且20sin ()lim() 2.x x f x x x →+=求(0),(0)f f '和01()lim x f x x→+.解 因为 2200sin ()sin ()2lim()lim x x x f x x xf x x x x→→+=+= []22()(0)(0)()limx x o x x f f x o x x →'++++=2220(1(0))(0)()lim x f x f x o x x →'+++=所以1(0)0,(0)2f f '+==,即(0)1,(0)2f f '=-=所以01()lim x f x x →+01(0)(0)()lim x f f x o x x →'+++=02()lim 2x x o x x→+==习 题 1-51. 计算下列极限(1)n n++解：原式limn→∞=2n ==(2)2212lim(1)nn n a a na a na +→∞+++⋅⋅⋅+> 解：原式21lim (1)nn n n na na n a ++→∞=--2lim (1)n n na n a →∞=--21a a=-2． 设lim n n a a →∞=，求 (1) 1222lim nn a a na n→∞+++； 解：原式22lim (1)n n na n n →∞=--lim 212n n na a n →∞==-(2) 12lim 111n nna a a →∞+++，0,1,2,,.ia i n ≠=解：由于1211111limlim n n n na a a n a a →∞→∞+++==， 所以12lim 111n nna a a a →∞=+++3．设2lim()0n n n x x -→∞-=，求lim n n x n →∞和1lim n n n x x n -→∞-.解：因为2lim()0n n n x x -→∞-=，所以222lim()0n n n x x -→∞-=且2121lim()0n n n x x +-→∞-=从而有stolz 定理2222limlim 022n n n n n x x xn -→∞→∞-==，且212121limlim 0212n n n n n x x xn ++-→∞→∞-==+ 所以lim 0n n x n →∞=，111lim lim lim 01n n n n n n n x x x x n n n n n --→∞→∞→∞--=-=- 4．设110x q<<，其中01q <≤，并且1(1)n n n x x qx +=-，证明：1lim n n nx q→∞=.证明：因110x q<<，所以211211(1)111(1)()24qx qx x x qx q q q+-=-≤=<，所以210x q <<，用数学归纳法易证，10n x q <<。

第七章 实数的完备性一、练习题1. 设{(a n ,b n )}是一严格开区间套,即a 1<a 2<…<a n <…<b n …<b 2<b 1，且∞→n lim (b n -a n )=0.证明存在唯一一点ξ,有 a n <ξ<b n ,n=1,2…2. 试举例说明在有理数集内,所有完备性定理都不能成立.3. 试用区间套定理证明数列的单调有界定理.4. 试用确界原理证明区间套定理.5. 设H=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 1,2,n |n 1,2n 1是一个无限开区间集,问:(1) H 能否覆盖(0,1)?(2) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭⎫⎝⎛21,0? (3) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1001? 6. 证明: 若x ∈[a,b],若x ∈(a,b)的聚点;反之,若x 为[a,b]的聚点,则x ∈[a,b].7. 证明:单调数列{x n }若存在聚点,则一定是唯一的,且是{x n }的确界.8. 试用致密性定理证明单调有界定理.9. 试用聚点定理证明区间套定理.10. 试用有限覆盖定理证明聚点定理.11. 试用聚点定理证明柯西收敛准则.12. 试用确界原理证明聚点定理13. 设f 为(-∞,+∞)上连续的周期函数,试证f 在(-∞,+∞)上有最大值与最小值.14. 证明:任何实系数奇次多项式方程至少有一个实根15. 设I 为有限区间.证明:若f 在I 上一致连续,则f 在I 上有界.16. 证明: 若f 在[)+∞a,上连续,+∞→x lim f(x)存在且有限,则f 在[)+∞a,上一致连续. 17. 设f 在(a,b)内连续,x 1,x 2,…x n ∈(a,b),证明存在ζ∈(a,b),使得f(ζ)=∑=n 1j j )f(x n 1.18. 试用覆盖定理证明根的存在性定理.19. 证明:在(a,b)上连续函数f 为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.20. 求下列数列的上、下极限：（1）{1+（-1）n }； （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12n n1)(n ；（3）{2n+1}； （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+4n πsin 1n 2n； （5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n π}sin n 1n2; (6)⎭⎬⎫⎩⎨⎧n |3n πcos | 21. 证明下列数列上、下极限的关系式: (1) ∞→n lim a n =-∞→n lim (-a n ), ∞→n lim a n =-∞→n lim (-a n ); (2) ∞→n lim a n +∞→n lim b n ≤∞→n lim (a n +b n );∞→n lim a n +∞→n lim b n ≥∞→n lim (a n +b n ) (3) ∞→n lim a n -∞→n lim b n ≤∞→n lim (a n -b n ),∞→n lim a n -∞→n lim b n ≥∞→n lim (a n -b n ); (4) 若a n ,b n >0,则∞→n lim a n ∞→n lim b n ≤∞→n lim a n b n ,∞→n lim a n ∞→n lim b n ≥∞→n lim a n b n ; (5) 若∞→n lim a n >0,则∞→n limn a 1=n n a lim 1∞→.22. 数列{x n }的上(下)确界就是该数列的上(下)极限,对吗?为什么?23. 证明:若{a n }为单调递增数列,则∞→n lim a n =∞→n lim a n 24. 证明:若an>0(n=1,2,…)且∞→n lim a n ·∞→n lim n a 1=1, 则数列 {a n }收敛.25. 证明: 若a n ≤b n (n=1,2,…),则∞→n lim a n ≤∞→n lim b n , ∞→n lim a n ≤∞→n lim b n . 26. 证明设{x n }为有界数列. (1)A 为{x n }上极限的充要条件是A =∞→n lim nk sup ≥{x k }; (2)A 为{x n }下极限的充要条件是A=∞→n lim nk inf ≥{x k }. 27. 证明:{x n }为有界数列的充要条件是{x n }的任一子列都存在它的收敛子列.28. 设f(x)在(a,b)内连续,且+→a x lim f(x)=-→b x lim f(x)=0.证明f(x)在(a,b)内有最大值或最小值.29. 证明: 设f(x)在[a,b]上连续,若{x n}⊂[a,b],且lim f(x n)=A,则必存在点x0∈[a,b],使得n→∞f(x0)=A.30. 设函数f和g都在区间I上一致连续.(1) 证明f+g在I上一致连续;(2) 若I为有限区间,证明f·g在I上一致连续;(3) 若I为无限区间,举例说明f·g在I上不一定一致连续.31. 证明:设函数f(x)定义在有限区间(a,b)上,若对于(a,b)内任一收敛数列{x n},极限lim f(x n)都n→∞存在,则f(x)在(a,b)上一致连续.32. 设函数f在[)a,上连续,且有渐近线,即有数b与c,使得+∞lim[f(x)-bx-c]=0,证明f在x+∞→[)a,上一致连续.+∞。

§17.1 多元函数微分学1．求下列函数的偏导数： (1)22,;x y z xy z x == (2)cos z y x =sin ,cos ;x y z y x z x =-=(3)33222222,;()()x y x y z z x y x y --==++(4)22ln()z x y =+222222,;x y x yz z x y x y==++ (5),;xy xy x y z ye z xe == (6)arctanxz y= 2222221.,;1()x y y y xz z y x x y x y x--===+++ (7)sin()2sin()sin()sin()cos()[1cos()],[1cos()];xy xy xy x xy y z ye xy e xy ye xu xy z xy xy xe=+=+=+(8) y x x u x y z=+- 222111,,;x y zy z x u u u x z x y y z =--=-=+(9)11(),(),()ln();z z z x y z u zy xy u zx xy u xy xy --=== (10) zyu x =11,ln ,ln ln ;zzzz yz y y z x y z u y x u zy x x u x y x y --===2.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x 解法1：(,1)1f x =+则(,1)1f x =解法2：(,1)0,(,1)1x f x x x f x =+?=3．设2222221sin ,0,(,)0,0y x y x y f x y x y ìïï+ ï+=íïïï+=ïî，考察函数f 在原点（0，0）的偏导数。

解： 因为 00(0,0)(0,0)00limlim 0,x x x x xf f D 瓺 +D --==D D 20(0,0)(0,0)1limlim()y y y yyf f D 瓺 +D -=D D 不存在. 所以，(,)f x y 在原点关于x 的偏导数为0，关于y 的偏导数不存在。

∑⎰ ⎰ ⎰ 2014 ---2015 学年度第二学期《数学分析 2》A 试卷一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 f (x )在[a ,b ]连续，则 f (x )在[a ,b ]上的不定积分⎰ f (x )dx 可表为x f(t )dt + C （ ）.a2.若 f (x ), g (x )为连续函数，则⎰ f (x )g (x )dx = [⎰f (x )dx ]⋅ [⎰g (x )dx （）.+∞+∞3.若 f (x )dx 绝对收敛， ⎰ g (x )dx 条件收敛，则aa+∞[ f(x )- g (x )]dx 必然条件收敛（）.a+∞ 4. 若f (x )dx 收敛，则必有级数∑ f (n )收敛（ ）1n =15. 若{f n }与{g n }均在区间 I 上内闭一致收敛，则{f n + g n }也在区间 I上内闭一致收敛（ ）.∞6. 若数项级数 a n 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散n =1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 若 f(x )在[a ,b ]上可积，则下限函数af (x )dx 在[a ,b ]上（）xA. 不连续B. 连续C.可微D.不能确定⎰ ⎰∞⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ∑ 2. 若 g (x )在[a ,b ]上可积，而 f (x )在[a ,b ]上仅有有限个点处与 g (x )不相等，则（ ）A. f (x )在[a ,b ]上一定不可积；B. f (x )在[a , b ]上一定可积,但是bf (x )dx ≠ bg (x )dx ；aaC. f (x )在[a , b ]上一定可积，并且 b f (x )dx = bg (x )dx ；aaD. f (x )在[a ,b ]上的可积性不能确定.∞3. 级数 n =11 + (- 1)n -1 n n2 A. 发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4. 设∑u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）A. 若lim u n →∞= 0 ，则级数∑u n一定收敛；B. 若lim un +1 = < 1，则级数∑u 一定收敛；n →∞ u nC. 若∃ N ,千D. 若∃ N ,千 n > N 千千n > N 千千千u n +1 n< 1，则级数∑u n 一定收敛； u n> 1，则级数∑u n 一定发散；5. 关于幂级数∑ a n x n 的说法正确的是（）A. ∑ a n x n 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. ∑ a n x n 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑ a n x n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；千 u n +1u n nx ⎰⎰ D. ∑ a n x n 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分） 1. lim 1n (n + 1)(n + 2) (n + n ) n →∞ n2. ln (sin x )dx cos 2 x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1. dx 01 + + x 2∞∑2. ∑ n ! n =1 n n∞ 3. n =1(- 1)nn 2n1 + 2n五. 判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1. f n(x )= sin nx n, n =1,2 , D = (- ∞,+∞)∑2. n D xn= (- ∞, - 2]⋃[2, + ∞)六．已知一圆柱体的的半径为 R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

大一工科数学分析试卷及答案大一工科数学分析试卷考试形式闭卷答题时间：120 （分钟）本卷面成绩占课程成绩80 %一、填空题（每题3分，共30分）1．=+∞→nnnx n 42lim 22．=+-∞→xx x 1)21(lim3．设?>+≤=00)(22x x x x x x f ，则=-)(x f4．摆线??-=-=ty t t x cos 1sin 在2π=t 处的法线方称为5．函数x x f arctan )(=按马克老林公式展开到)(12+n x ο的表达式为： 6．若??x t dt t f dt e 11)(32，则=)(x f7．若?++=c x dx x f 2cos sin )(（其中c 时任意常数），则 =)(x f8．?-=-+112)1cos (dx x x x9．设)100()2)(1()(---=x x x x f ，则=')1(f姓名: 班级：学号：遵守考试纪律注意行为规范10．若-ba xb dxα)(收敛（其中0>α），则α的取值范围是二、试解答下列各题：（每题5分，共50分）1．求极限)2122321(lim 2nn n -+++∞2．已知0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求b a ,。

遵守考试纪律注意行为规范3．设1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x m n e bax e x x f ，求b a ,使)(x f 可导。

4．求由等式0333=-+xy y x 确定的)(x f y =在0>x 范围内的极限点。

5．设ttte y e x ==-,，求22,dx y d dx dy 。

6．求曲线)1ln()(2++=x x x f 在1=x 时的曲率。

7．计算不定积分?-dx e x11。

8．计算定积分?20xdx x 。

9．设?<+≥+=011011)(x e x xx f x，求-2)1(dx x f 。

P.168 习题1．验证数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=n S n1)1(有且只有两个聚点11-=ξ和12=ξ 解 当n 取奇数12-=k n 时，S 中的互异子列)(,11211∞→-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-k k ，所以11-=ξ是S 的聚点；当n 取偶数k n 2=时，S 中的互异子列)(,1211∞→→⎭⎬⎫⎩⎨⎧+k k ，所以12=ξ是S 的聚点.设实数1-≠a ，1≠a . 取|}1||,1min{|210-+=a a ε，因为子列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-1211k 和子列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+k 211的极限都不是a ，所以在邻域);(0εa U 内最多只有子列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-1211k 及子列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+k 211中的有限多项，从而只有数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=n S n1)1(中的有限多项，所以a 不是数集S 的聚点.2．证明：任何有限数集都没有聚点.证明 设有限数集S . 由聚点ξ的定义，在ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，而S 只有有限个点，所以S 没有聚点.3．设{}),(n n b a 是一个严格开区间套，即满足1221b b b a a a n n <<<<<<< 且0)(lim =-∞→n n n a b . 证明：存在唯一的一点ξ，使得 ,2,1,=<<n b a n n ξ证明 {}n a 为严格递增有界数列，故{}n a 有极限ξ，且有ξ≤n a ， ,2,1=n .其中等号不能成立，不然，若有ξ=n a ，因为{}n a 严格递增，必有ξ=>+n n a a 1，矛盾.故ξ<n a ， ,2,1=n .同理，严格递减有界数列{}n b 也有极限，且ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，n n b a <<ξ， ,2,1=n .唯一性的证明与教材P.162区间套定理7.1相同.4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.解 设n n n a )11(+=，1)11(++=n n nb ， ,2,1=n ，则{}n a 是单调递增的有理数列，{}n b 是单调递减的有理数列，且e a b n n nn ==∞→∞→lim lim （无理数）（1）点集{} ,2,1|=n a n 非空有上界，但在有理数集内无上确界；点集{} ,2,1|=n b n 非空有下界，但在有理数集内无下确界.（2）数列{}n a 单调递增有上界，但在有理数集内无极限；{}n b 单调递减有下界，但在有理数集内无极限.（3）{} ,2,1|=n a n 是有界无限点集，但在有理数集内无聚点. （4）数列{}n a 满足柯西收敛准则条件，但在有理数集内没有极限.（5）{}],[n n b a 是一闭区间套，但在有理数集内不存在一点ξ，使得],[n n b a ∈ξ， ,2,1=n5．设},2,1|)1,21{(=+=n nn H .问 （1）H 能否覆盖（0, 1）？（2）能否从H 中选出有限个开区间覆盖 (i) )21,0(，(ii) )1,1001(？ 解 （1）H 能覆盖（0, 1）.因为对任何)1,0(∈x ，必有自然数n ，使得nx n 121<<+ （2）不能从H 中选出有限个开区间覆盖)21,0(.因对H 中任意有限个开区间，设其左端点最小的为210+n ，则当2100+<<n x 时，这有限个开区间就不能覆盖x .能从H 中选出有限个开区间覆盖)1,1001(.例如选区间：)1,21(nn +，99,2,1 =n 即可.6．证明：闭区间],[b a 的全体聚点的集合是],[b a 本身.证明 设],[b a x ∈，则对任何0>ε，∅≠⋂],[);(b a x U oε，故x 为],[b a 的聚点. 反之，若x 为],[b a 的聚点，则必有],[b a x ∈.事实上，若],[b a x ∉，则a x <或b x >.不妨设a x <，取2xa -=ε，那么∅=⋂],[);(b a x U ε，这与x 为],[b a 的聚点矛盾. 7．设{}n x 为单调数列. 证明：若{}n x 存在聚点，则必是唯一的，且为{}n x 的确界. 证明 设{}n x 为单调增加数列，ξ为{}n x 的聚点.先证ξ是唯一的.假设η也是{}n x 的聚点，不妨设ηξ<.取2ξηε-=，由聚点的定义，在η的邻域);(εηU 内有{}n x 中无穷多个点，设);(εηU x N ∈.因为{}n x 为单调增加数列，所以当N n >时，N n x x ≥.于是在ξ的邻域);(εξU 内最多只有{}n x 中有限多个点：121,,,-N x x x . 这与ξ为{}n x 的聚点相矛盾.故ξ为{}n x 的唯一聚点.其次证明：ξ为{}n x 的上确界.先证ξ是{}n x 的一个上界.假设ξ不是{}n x 的一个上界，于是存在ξ>N x .这时取ξε-=N x ，则在ξ的邻域);(εξU 内最多只有{}n x 中有限多个点：121,,,-N x x x ，这与ξ为{}n x 的聚点相矛盾.然后证明：ξ是{}n x 的最小上界.0>∀ε，在ξ的邻域);(εξU 内有{}n x 中无限多个点，设);(εξU x N ∈，从而εξ->N x .所以}sup{n x =ξ.8．试用有限覆盖定理证明聚点定理.证明 设S 为实轴上有界无限点集，则存在0>M ，使],[M M S -⊂. 假若],[M M -中任何点都不是S 的聚点，则],[M M x -∈∀，必存在相应的0>x δ，使得在),(x x U δ内最多只含S 的有限个点.设}],[|),({M M x x U H x -∈=δ，则H 是],[M M -的一个开覆盖，由有限覆盖定理，H 中存在有限个开区间：),(j x j x U δ，n j ,,2,1 =，覆盖了],[M M -，当然也覆盖了S ，由于在每一个),(j x j x U δ内最多只含S 的有限个点，故S 为有限点集，这与S 为无限点集矛盾.所以],[M M -中必有S 的聚点.9．试用聚点定理证明柯西收敛准则.证明 只证充分性：设0>∀ε，0>∃N ，N n m >∀,，ε<-||n m a a ，要证数列}{n a 收敛.先证数列}{n a 有界.取1=ε，存在0>N ，当N n >时，有1||1<-+N n a a ，于是1||||1+<+N n a a . 令}1|||,|,|,||,m ax {|21+=N N a a a a M ，则M a n <||，,2,1=n ，所以数列}{n a 有界.其次证明数列}{n a 有收敛的子列.若集},2,1|{ ==n a S n 是有限集，则数列}{n a 有常数子列，当然收敛.若集S 是无限集，并且已经证明了S 是有界的，故由聚点定理，知S 有聚点，设S 的聚点为ξ. 再由聚点定义2’’（见教材P.163），存在互异的收敛数列}{}{n n a a k ⊂，使得ξ=∞→k n k a lim .最后证明：ξ=∞→n n a lim . 由题设0>∀ε，01>∃N ，1,N n m >∀，ε<-||n m a a . 再由ξ=∞→k n k a lim , 知02>∃N , 2N k >∀, εξ<-||k n a . 现在，取},m ax {21N N N =, 当N n >时，有（任取N k >）, εεεξξ2||||||=+<-+-≤-k k n n n n a a a a .所以ξ=∞→n n a limP.172 习题1．设f 为R 上连续的周期函数. 证明：f 在R 上有最大值与最小值.证明 设f 的周期为T ，则f 在[0, T ]上连续，于是f 在[0, T ]上有最大值与最小值.又因为f 为R 上连续的周期函数，所以f 在R 上有最大值与最小值.2．设I 为有限区间.证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界. 举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立.证 设区间I 的左右端点分别为b a ,，因f 在I 上一致连续，所以对1=ε，存在0>δ（2ab -<δ），使得当I x x ∈''',，且δ<''-'||x x 时，有1|)()(|<''-'x f x f . 令21δ+=a a ，21δ-=b b ，则f 在],[11b a 上连续，于是f 在],[11b a 上有界，即存在01>M ，使得在],[11b a 上1|)(|M x f ≤.另一方面，当I a a x ⋂∈),[1时，有δ<-||1a x ，于是1|)()(|1<-a f x f ，1|)(||)(|1+<a f x f ；同样当I b b x ⋂∈],(1时，有1|)(||)(|1+<b f x f .令}1|)(|,1|)(|,m ax {111++=b f a f M M ，则对任何I x ∈，都有M x f ≤|)(|. 设x x f =)(，则f 在),(∞+-∞上一致连续，但f 在),(∞+-∞上无界.3．证明：x xx f sin )(=在),0(∞+上一致连续. 证明 因为1sin lim 0=+→xxx ，所以0>∀ε，01>∃δ，当10δ<<x 时，有2|1sin |ε<-x x . ① 又因为0sin lim =+∞→xxx ，所以0>∃N ，当N x >时，有2|sin |ε<x x . ② 令21δ=a ，21δ+=N b ，显然xxsin 在],[b a 连续，于是在],[b a 一致连续，从而02>∃δ，当],[,b a x x ∈'''且2||δ<''-'x x 时，有ε<''''-''|sin sin |x x x x . ③ 现在取},2m in{21δδδ=，当),0(,∞+∈'''x x 且δ<''-'||x x 时，则必有以下三种情形之一发生：),0(,1δ∈'''x x 或者],[,b a x x ∈'''或者),(,∞+∈'''N x x若),0(,1δ∈'''x x ，由①式，有εεε=+<-''''+-''≤''''-''22|1sin ||1sin ||sin sin |x x x x x x x x 1若),(,∞+∈'''N x x ，由②式，有εεε=+<''''+''≤''''-''22|sin ||sin ||sin sin |x x x x x x x x 若],[,b a x x ∈'''，由③式，有ε<''''-''|sin sin |x x x x .所以xxx f sin )(=在),0(∞+上一致连续.4．试用有限覆盖定理证明根的存在定理.证 设f 在],[b a 连续，0)(<a f ，0)(>b f . 由连续函数的局部保号性，存在0>δ，使得在),[δ+a a 内0)(<x f ，在],(b b δ-内0)(>x f .假设对任何),(0b a x ∈，都有0)(0≠x f ，则由连续函数的局部保号性，存在0x 的某邻域),();(000000x x x x x x U δδδ+-=，使得在此邻域内0)(≠x f 且)(x f 的符号与)(0x f 的符号相同. 集合族]},{()},{[}),(|),({b b a a b a x x x H x x δδδδ-⋃+⋃∈+-=是],[b a 的一个开覆盖，由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集]},{()},{[},,2,1|),({*b b a a n i x x H i i i i δδδδ-⋃+⋃=+-=覆盖了],[b a . 将*H 中的邻域分成两部分：使0)(<x f 的邻域记为*1H ，使0)(>x f 的邻域记为*2H . *1H 的所有开区间中右端点最大的区间记为),(k k k k x x δδ+-，令这个最大的右端点ξδ=+k k x . 因为在],(b b δ-内0)(>x f ，所以b ≠ξ，a ≠ξ，即),(b a ∈ξ. 因为*H 覆盖了],[b a ，所以存在*H 中的一个区间),(i i i i x x δδ+-，使得),(i i i i x x δδξ+-∈. 由于ξ是*1H 的所有开区间右端点中最大的，故区间),(i i i i x x δδ+-不属于*1H 而属于*2H ，从而),(i i i i x x x δδ+-∈∀，有0)(>x f . 因为区间),(k k k k x x δδ+-的右端点ξδ=+k k x 属于区间),(i i i i x x δδ+-，所以区间),(i i i i x x δδ+-必与区间),(k k k k x x δδ+-相交，那么在这两个区间相交的公共部分),(k k i i x x δδ+-内f 既大于零，又小于零，矛盾.5．证明：在),(b a 上的连续函数f 为一致连续的充要条件是)0(+a f 与)0(-b f 都存在.证 （必要性）设f 在),(b a 上一致连续，故0>∀ε，0>∃δ，当),(,b a x x ∈'''且δ<''-'||x x 时，成立ε<''-'|)()(|x f x f .于是当),(,b a x x ∈'''，δ<-'<a x 0，δ<-''<a x 0时，必有δ<''-'||x x ，从而ε<''-'|)()(|x f x f . 由Cauchy 收敛准则，可知)0(+a f 存在，同理可证)0(-b f 存在.（充分性）补充定义)0()(+=a f a f ，)0()(-=b f b f ，则f 在],[b a 连续，于是f 在],[b a 一致连续，从而f 在),(b a 一致连续.P.175 习题1．求以下数列的上、下极限：（1）})1(1{n-+ （2）}12)1{(+-n n n（3）}12{+n （4）}4sin 12{πn n n +（5）}sin 1{2nn n π+ （6）}|3cos |{n n π 解 （1）数列})1(1{n-+的收敛子列的极限只有两个，分别为：2，0，故其上极限为2，下极限为0.（2）数列}12)1{(+-n n n的收敛子列的极限只有两个，分别为：21,21-，故其上极限为21，下极限为21- （3）数列}12{+n 是正无穷大量，故其上极限、下极限都为∞+ （4）数列}4sin 12{πn n n +的收敛子列的极限只有五个，分别为：-2，2-，0，2，2，故其上极限为2，下极限为-2（5）因为πππππ=⋅⋅+=+∞→∞→nn n n n n n n n n sin1lim sin 1lim 22，故其上极限、下极限都为π （6）因为|3cos |πn 只取两个值：21，1，所以1|3cos |21≤≤πn ，于是，当∞→n 时，有 1|3cos |211≤≤←n nn π，从而1|3cos |lim =∞→n n n π，故其上极限、下极限都为1.2．设}{n a ，}{n b 为有界数列，证明： ⑴ )(lim lim n n n n a a --=∞→∞→证 由定理7.9，)(lim }{sup lim }{inf lim lim n n n nk n n nk n n n a a a a --=--==∞→≥∞→≥∞→∞→⑵ )(lim lim lim n n n n n n n b a b a +≤+∞→∞→∞→证 设A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim ，由定理7.7，对任给的0>ε，存在0>N ，当Nn >时，有2ε->A a n ，2ε->B b n ，于是ε-+>+B A b a n n . 再由定理7.8得，ε-+≥+∞→B A b a n n n )(lim . 由ε的任意性得B A b a n n n +≥+∞→)(lim .⑶ 若0>n a ，0>n b （ ,2,1=n ），则)(lim lim lim n n n n n n n b a b a ⋅≤∞→∞→∞→，)(lim lim lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≥证 设A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim ，由定理7.7，对任给的0>ε，存在0>N ，当Nn >时，有ε->A a n ，ε->B b n ，于是εε)(++->B A AB b a n n . 再由定理7.8得，εε)()(lim -+-≥∞→B A AB b a n n n . 由ε的任意性得AB b a n n n ≥∞→)(lim .同理可证：)(lim lim lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≥⑷ 若0>n a ，0lim >∞→n n a ，则nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim证 设A a n n =∞→lim ，由定理7.7，对任给的0>ε，存在0>N ，当N n >时，有εεεA A A A A a n +=+->112. 于是εε+=+<A A A a n 111，从而ε+≤∞→A a nn 11lim ，由ε的任意性得A a nn 11lim≤∞→.设B a nn =∞→1lim，由定理7.7，对任给的0>ε（B 1<ε），存在0>N ，当N n >时，有εεεB B B B B a n -=-+<1112. 于是εε-=->B B B a n 11，从而ε-≥∞→B a n n 1lim ，由ε的任意性得Ba n n 1lim ≥∞→，即n n n n a B a ∞→∞→≥=lim 11lim .所以nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim.3．证明：若}{n a 为递增数列，则n n n n a a ∞→∞→=lim lim .证 若}{n a 为递增无上界数列，则+∞=∞→n n a lim . 因为n n n n a a ∞→∞→≥lim lim ，所以也有+∞=∞→n n a lim .若}{n a 为递增有上界数列，则}{n a 极限存在，且}{sup lim 1k k n n a a ≥∞→=. 又因为}{n a 是递增数列，所以对任何正整数n ，有}{sup }{sup 1k k k nk a a ≥≥=，从而n n k k k nk n n n a a a a ∞→≥≥∞→∞→===lim }{sup }{sup lim lim 1.4．证明：若0>n a （ ,2,1=n ）且11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a ，则数列}{n a 收敛.证总练习题1．证明：}{n x 为有界数列的充要条件是}{n x 的任一子列都存在其收敛子列. 证 （必要性）设}{n x 为有界数列，则}{n x 的任一子列都为有界数列，由致密性定理，知其存在收敛子列.（充分性）反证法. 假设}{n x 无界，则对任何正整数k ，存在数列}{n x 中的某项k n x ，使得k x k n >（ ,2,1=k ），于是+∞=∞→k n k x lim ，从而子列}{k n x 不存在收敛子列.2．设f 在),(b a 内连续，且0)(lim )(lim ==-+→→x f x f bx ax . 证明：f 在),(b a 内有最大值或最小值.证 令⎩⎨⎧==<<=b x a x bx a x f x F ,0)()(，则)(x F 在],[b a 上连续，于是)(x F 在],[b a 上取得最大值M 和最小值m .若m M =，则)(x F 在],[b a 上为常数0，从而f 在),(b a 内为常数0，所以f 在),(b a 内的最大值和最小值都为0.若m M >，则因)()(b F a F =，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在),(b a 内取得，从而f 在),(b a 内有最大值或最小值.3．设f 在],[b a 上连续，又有],[}{b a x n ⊂，使A x f n n =∞→)(lim . 证明：存在],[0b a x ∈，使A x f =)(0.证 因],[}{b a x n ⊂，故}{n x 有界，由致密性定理，知其存在收敛子列}{k n x . 设],[lim 0b a x x k n k ∈=∞→，因为f 在],[b a 上连续，所以A x f x f x f n n n k k ===∞→∞→)(lim )(lim )(04．设函数f 和g 都在区间I 上一致连续.⑴ 若I 为有限区间，证明g f ⋅在I 上一致连续；证 因为f 和g 都在区间I 上一致连续，所以f 和g 都在区间I 上有界（P.172习题2），于是存在0>M ，使得对任何I x ∈有M x f ≤|)(|，M x g ≤|)(|. 由一致连续的定义，0>∀ε，0>∃δ，使得I x x ∈'''∀,，只要δ<''-'||x x ，就有ε<''-'|)()(|x f x f ，ε<''-'|)()(|x g x g . 从而有|)()()()(||)()()()(||)()()()(|x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f ''''-'''+'''-''≤''''-''εεεM M M x f x f x g x g x g x f 2|)()(||)(||)()(||)(|=+<''-'⋅''+''-'⋅'≤所以g f ⋅在I 上一致连续.⑵ 若I 为无限区间，举例说明g f ⋅在I 上不一定一致连续.证 设x x f =)(，x x g =)(，),(∞+-∞=I ，则f 和g 都在区间I 上一致连续，但2)()(x x g x f =在区间I 上不一致连续.5．设f 定义在),(b a 上. 证明：若对),(b a 内任一收敛数列}{n x ，极限)(lim n n x f ∞→都存在，则f 在),(b a 上一致连续.证 反证法. 假设f 在),(b a 上不一致连续，则存在00>ε，对n1=δ（ ,2,1=n ），存在相应的两点),(,b a x x n n ∈'''，尽管nx x n n 1||<''-'，但有0|)()(|ε≥''-'n n x f x f . 于是得数列}{nx '与),(}{b a x n ⊂''，由致密性定理，存在}{n x '的收敛子列}{k n x '，设],[lim 0b a x x k n k ∈='∞→. 同时由kn n n x x k k 1||<''-'，得 0||||||00→-'+'-''≤-''x x x x x x k k k k n n n n （∞→k ），又有0lim x x k nk =''∞→. 作数列：,,,,,,,:}{2211k k n n n n n nn x x x x x x y ''''''''' 则0lim x y n n =∞→，由0|)()(|ε≥''-'k k n n x f x f ，知极限)(lim n n y f ∞→不存在，这与题设矛盾.6．设函数f 在),[∞+a 上连续，且有斜渐近线，即有数b 与c ，使得0])([lim =--+∞→c bx x f x证明f 在),[∞+a 上一致连续.证 因0])([lim =--+∞→c bx x f x ，由函数极限的柯西准则，0>∀ε，a N >∃，使得当N x x >''',时，就有2|)()(|ε<''+'-''-'x b x b x f x f .又因函数bx 在),[∞+N 上一致连续，所以0>∃δ，使得),[,∞+∈'''∀N x x ，只要δ<''-'||x x ，就有2||ε<''-'x b x b ，于是εεε=+<''-'+''+'-''-'≤''-'22|||)()(||)()(|x b x b x b x b x f x f x f x f所以f 在),[∞+N 上一致连续. 又因f 在],[N a 上一致连续，从而f 在),[∞+a 上一致连续.练习题1．设开区间)21,0(=I ，开区间族⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-+= ,2,1|)61,61(),1,21(n n n H ，则I 的有限子覆盖是2．设})1,0(|{中的无理数∈=x x S ，则S 的聚点是3．设区间]1,0(=I ，开区间族}]1,0(|)23,2({∈=x x x H ，则(A) H 不是I 的开覆盖；(B) H 是I 的开覆盖，且存在I 的有限子覆盖；(C) H 是I 的开覆盖，但不存在I 的有限子覆盖；(D) H 是I 的开覆盖，也是]1,0[的开覆盖.。

一、填空题（每小题4分，共20分）1． 设()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩，且()0f t ''≠，则dy dx = 2． 设21sin ,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩ ，则()f x '= 3．arctan x dx ⎰ = 4．41ln ex xdx ⎰ = 5． 幂级数21n nn n a b x n ∞=+∑(0,0a b >>)的收敛半径R =二、单项选择（每小题4分，共20分）1．与A a n n =∞→lim 不等价的一个命题是 【 】.A 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有ε<-||A a n ；.B 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有εn A a n <-||；.C 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有2||ε<-A a n ；.D 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有ε100||<-A a n ．2．设)(x f 在点1=x 的某个邻域中有连续导数，并且2)1()(lim 31=-'→x x f x ．则 【 】.A )1(f 是)(x f 的极小值；.B )1(f 是)(x f 的极大值；.C ))1(,1(f 是曲线)(x f y =的拐点；.D )1(f 不是)(x f 的极值；))1(,1(f 也不是曲线)(x f y =的拐点．3. 设()f x 为(,)-∞+∞上的连续偶函数, 20()(2)()xF x x t f t dt =-⎰, 则()F x 是【 】A ． 偶函数 ； B. 既是奇函数也是偶函数；C. 非奇非偶函数；D. 奇函数 .三、计算题（每小题8分，共24分）1．计算定积分xdxyxdyIy⎰⎰=121sin2．过点()4,0作曲线y=的切线，求这条切线与x轴和y=所围城的面积，以及此图形绕x轴旋转一周的体积。

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

332212211321.lim _____212.lim _____3(5)33.lim _____(5)344.lim ______311234....(21)25.lim _____1(2)6.lim ______124...(2)7.lim(n n n n n nn n n n n n n n n nn n nn n n n nn →∞→∞++→∞→∞→∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=+-+-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题21213)______211118.lim ....(1)______3927319.lim 0,____,_____110.(1)lim(12),_____(2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n nn n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞→∞→∞→∞--=+⎡⎤-+++-=⎢⎥⎣⎦⎛⎫+--=== ⎪+⎝⎭-+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1(3)1,lim()113(1)12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n nn n a b a b n n n a S a n n a S →∞-→∞→∞-=-⋅⎧≤≤⎪+⎪=⎨⎪⋅≥⎪⎩求的值若为数列的前项和求{}{}12123101511113.,9,27,,lim 3114.,1,,,32lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n nn n n nn n nn n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞→∞++--→∞→∞+===-=∈-⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且求范围数列都是公差不为的等差数列12211212221121,lim 2, (i)17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim,lim ...19.{},,limnn nnn nn n n n n n nn n n n n n n n n na b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞→∞++→∞→∞++→∞=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521111,1...20.lim...121.{},lim()12nn n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞-++++++++-=+求范围求等比数列公比为求取值范围11222412221321222.{},1,3(1)lim (2)lim(...)23.{},4,16,lg lg ...lg lim24.{},53,lim(...)25.()222(2n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n a n S S a S a S a S a S a a a a a a n a n S a S a a a f x x x x →∞→∞++→∞-→∞=-+++==+++=-+++=-+≥数列前项和为且求设正数等比数列求数列前项和为求已知函数11112211)(1)()(2){}1()2,{}{},2lim()n n n n n n n nn n n nn n fx a n S n S f S a a a a n T a a T n ---++→∞==+=-求反函数若正数数列前项和对所有大于的自然数都有且求通项公式(3)设C 又设数列C 前项和为求的值方法一：应用数列极限的定义(证明题)用定义求数列极限有几种模式：（1）0>∀ε，作差a a n-，解方程ε<-a a n，解出()εf n >，则取()εf N =或() ,1+=εf N（2）将a an-适当放大，解出()εf n >；（3）作适当变形，找出所需N 的要求。

第十七章 多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有xy1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x Z ∂∂+y 1y Z ∂∂=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x xF x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =(x,y,z)(t>0)证明: (1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x xf x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x mzf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n kn k21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某 (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:t u ∂∂=222xu a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22yu ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂x u y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数: (1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=z x y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=.2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctg x y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求x dZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xy y x ++,求x Z ∂∂,yZ ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模. 20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+-求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度. 22.设r=222z y r ++,试求: (1)grad r; (2)grad r1.23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23yx z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数;(6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤；(2) Z=22y xy x +-,(){}1y x y ,x ≤+;(3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1nn1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n1k k 0;x u (2) ∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f (a y k x h dt g(t)d nn n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求x k z h y g y f x e z d zc y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z)h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin xy ,试证 my y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0.。