12工程问题(列方程解)

12.社会、生活、经济──情境应用题知识纵横用方程的观点能解决许多实际问题，如我们熟悉的行程问题、工程问题、数字问题等。

然而，社会是不断发展的，现实生活是丰富多彩的，我们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动的相关常识，并学会用方程的观点去解有关问题。

随着改革开放以来我国社会主义市场经济的蓬勃发展，许多应用题也烙上了时代的印迹，以丰富的生产、生活实践生活、多彩的市场经济为背景，具有鲜明的时代特色，常见的问题有储蓄利息、商品利润、股票交易、税收缴纳、价格控制、企业决策、人口环境等。

了解相关常识、理解相关词语的意义，熟悉基本关系式是解这类问题的基础；而善于理顺数量关系、具有较强的用数学的意识是解这类问题的关键。

例题求解【例1】某种商品的进价是400元,标价为600元,打折销售时的利润率为5%,那么,此商品是按______折销售的. (2003年宁夏中考题)思路点拨略解:设打x折销售,由60040010400x⨯-=5%,得x=7.【例2•】某服装厂生产某种定型冬装,•9•月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%(每件冬装的利润=出厂价-成本),10月份将每件冬装的出厂价调低10%(每件冬装的成本不变),销售件数比9月份增加80%,那么该厂10•月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长( ).A.2%B.8%C.40.5%D.62% (2002年广西竞赛题)思路点拨把出厂价、销售价用相关字母表示.解:选B提示:设9月份每件冬装的出厂价为x元,则每件成本为0.75x元,10月份每件冬装的利润为(1-10%)x-0.75x=0.15x元, 又设9月份销售冬装m件,则10月份销售冬装(1+80%)m=1.8m件,故10月份的利润总额与9月份相比,增长0.15 1.80.250.25x m xmxm⨯-=8%.【例3】一牛奶制品厂现有鲜奶9吨.若将这批鲜奶制成酸奶销售,则加工1•吨鲜奶可获利1200元;若制成奶粉销售,则加工1吨鲜奶可获利2000元.该厂的生产能力是:若专门生产酸奶,则每天可用去鲜奶3吨;若专门生产奶粉,则每天可用去鲜奶1吨.•由于受人员和设备的限制,酸奶和奶粉两种产品不可能同时生产,为保证产品的质量,这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕.假如你是厂长,你将如何设计生产方案,才能使工厂获利最大,最大利润是多少? (2003年襄樊市中考题)思路点拨生产方案有如下设计:将9吨鲜奶全部制成酸奶;4天内全部生产奶粉;4天中既生产酸奶又生产奶粉,通过计算确定生产方案,使工厂获利最大.解:生产方案设计如下:(1)将9吨鲜奶全部制成酸奶,则可获利1200×9=10800(元).(2)4天内全部生产奶粉,则有5吨鲜奶得不到加工而浪费,且利润仅为2000•×4=8000(元).(3)4天中,用x天生产酸奶,用4-x天生产奶粉,并保证9吨鲜奶如期加工完毕.由题意,得3x+(4-x)×1=9.解得 x=2.5.∴ 4-x=1.5(天).故在4天中,用2.5天生产酸奶,用1.5天生产奶粉,则利润为2.5×3×1200+1.5×1×2000=12000(元)答:按第三种方案组织生产能使工厂获利最大,最大利润是12000元.【例4】在社会实践活动中,某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数)，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的３倍与四环路车流量的差是二环路车流量的２倍”。

列方程解应用题50道一、行程问题（10道）1. 甲、乙两地相距300千米，一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行60千米，行了x小时后，距离乙地还有70千米。

求汽车行驶的时间x。

- 解析：汽车行驶的路程为速度乘以时间，即60x千米。

总路程是300千米，此时距离乙地还有70千米，那么汽车行驶的路程就是300 - 70 = 230千米。

可列方程60x=230，解得x = 23/6小时。

2. 一辆客车和一辆货车同时从相距540千米的两地相对开出，客车每小时行65千米，货车每小时行55千米。

经过x小时两车相遇，求x的值。

- 解析：两车相对而行，它们的相对速度是两车速度之和，即65 + 55 = 120千米/小时。

经过x小时相遇，根据路程=速度×时间，可列方程(65 + 55)x=540，120x = 540，解得x = 4.5小时。

3. 小明和小亮在400米的环形跑道上跑步，小明每秒跑5米，小亮每秒跑3米，他们同时从同一点出发，同向而行，经过x秒小明第一次追上小亮，求x。

- 解析：同向而行时，小明第一次追上小亮时，小明比小亮多跑了一圈，即400米。

小明每秒比小亮多跑5 - 3 = 2米。

可列方程(5 - 3)x = 400，2x = 400，解得x = 200秒。

4. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度是每小时8千米，乙的速度是每小时6千米，经过x小时两人还相距10千米，A、B两地相距100千米，求x。

- 解析：甲、乙两人x小时一共走了(8 + 6)x千米，此时两人还相距10千米，而A、B两地相距100千米，可列方程(8+6)x+10 = 100，14x+10 = 100，14x = 90，解得x = 45/7小时。

5. 一辆汽车以每小时45千米的速度从A地开往B地，另一辆汽车以每小时55千米的速度从B地开往A地，两车同时出发，经过x小时相遇，A、B两地相距400千米，求x。

工程应用题-知识点睛1.相遇问题：应加上括号-例题精讲【例1】一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成•现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成乙需要做几天可以完成全部工作？【例2】某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。

如先由甲队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？【例3】一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）•问开始到完工共用了多少天时间?【例4】一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天•从开始到完成共用了16天•问乙队休息了多少天?【例5】一件工作，甲独做要 12天，乙独做要18天，丙独做要24天•这件工作由甲先做了若干天，然后由 乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的 2倍，终于做完了这件工作•问总共用了多少天？ 【例7】 有一个水池用两个水管注水。

如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开乙管，5小时注满水池。

(1) 如果甲、乙两管先同时注水 20分钟，然后由乙单独注水。

问还需要多少时间才能把水池注满？(2) 假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。

如果三管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？ —灵机一动某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知【例6】已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作 将满池的水放完，对于空的水池，如果进水管先打开间？15小时可以将空水池放满，出水管工作 24小时可以2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时10天完成，乙单独做需要 15天完成，两人合作 4天后，剩下的部分由乙单独100天完成，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干 50天后，剩下的工程乙队干家庭作业3.4. 还需多少天?单独完成某工程，甲队需 10天，乙队5天只能完成工作的-，丙队需20天。

列方程中常见的实际问题中的等量关系：
1.行程问题: 路程=时间×速度
2.工程问题: 工作总量=工作效率×工作时间
3.浓度问题: 溶质质量=溶液质量×溶液浓度
4.营销问题: 商品利润=商品进价×商品利润率
(或商品利润=商品售价－商品进价)
5.水上航行中的有关量之间的关系:
逆水速度=船在静水中的速度－水速
顺水速度=船在静水中的速度＋水速
6.数字数位问题: 数字×数位=数
7.和倍差倍问题: 因实际问题具体处理
8.相遇时,分段距离和等于相距.追及时,快者路程=慢者路程与相距之和
列方程解应用题的步骤：
1.审题：理解题意，弄清已知量、未知量及它们之间的关系
2.设元：选择适当的未知数，可直接设元，也可间接设元（设元的语句必须完整，并包括元素名称及单位）
3.列方程：用含未知数的式子表示问题中的相等关系
4.解方程:解所列方程,准确求出未知数的值
5.写答案:检验所列方程的解,符合题意后,写出答案,并注明单位名称。

实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的根本思想列方程组解应用题是把"未知〞转化为"〞的重要方法，它的关键是把量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的根本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行.这类问题比拟直观，画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是:两者的行程差＝开场时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题也比拟直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程.(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－本钱(进价)；(2)；(3)利润＝本钱〔进价〕×利润率；(4)标价＝本钱(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意："商品利润＝售价－本钱〞中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.〔例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十〕4．储蓄问题：(1)根本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金.②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.③本息和：本金与利息的和叫做本息和.④期数：存入银行的时间叫做期数.⑤利率：每个期数的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税：利息的税款叫做利息税.(2)根本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率.④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥月利率=年利率1 12 .注意：免税利息=利息5．配套问题：解这类问题的根本等量关系是：总量各局部之间的比例=每一套各局部之间的比例.6．增长率问题：解这类问题的根本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量.7．和差倍分问题：解这类问题的根本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.8．数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n 为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的根本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.10．几何问题：解决这类问题的根本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12．优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排.需要从几种方案中，选择最正确方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最正确方案.注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比拟几种方案得出最正确方案.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写"答〞，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)"设〞、"答〞两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.(4)列方程组解应用题应注意的问题①弄清各种题型中根本量之间的关系； ②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； ③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，防止与路程单位混淆； ⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； ⑥列方程组解应用题一定要注意检验.类型一：列二元一次方程组解决——行程问题1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.(2)有两个等量关系： ①相向而行：汽车行驶113小时的路程＋拖拉机行驶113小时的路程＝160千米; ②同向而行：汽车行驶12小时的路程＝拖拉机行驶112⎛⎫+ ⎪⎝⎭小时的路程. 解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组()4160,311122x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解这个方程组，得: 90,30x y =⎧⎨=⎩ 1111901165,3011853232⎛⎫⎛⎫⨯+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略.类型二：列二元一次方程组解决——工程问题2．一家商店要进展装修，假设请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；假设先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨：此题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：假设请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：假设先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付*元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8〔*+y〕=3520,由第二层含义可得方程6*+12y=3480.解：(1)设甲组单独做一天商店应付*元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元.(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，故请乙组单独做费用最少.答：请乙组单独做费用最少.总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进展分析.类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价风格整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率解：甲商品的进价为*元，乙商品的进价为y元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为600元和400元.类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？〔利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税〕思路点拨：设教育储蓄存了*元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：教育储蓄一年定期合计现在x y一年后 2.25%+⨯ 2.25%80%x x+⨯⨯2042.75y y解：设存一年教育储蓄的钱为*元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题5．*服装厂生产一批*种款式的秋装，每2米的*种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现方案用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：此题的第一个相等关系比拟容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题 6. *工厂去年的利润〔总产值—总支出〕为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为*万元，总支出为y 万元，则有总产值〔万元〕 总支出〔万元〕 利润〔万元〕 去年* y 200 今年 120%* 90%y 780 根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的量和未知量，可以列出两个等式.解：设去年的总产值为*万元，总支出为y 万元，根据题意得： ，解之得：答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进展分析.类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题7.〔2011年丰台区中考一摸试题〕"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂原方案每周生产帐篷共9千顶，现*地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂一周制作的帐篷数分别到达了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周，"爱心〞帐篷厂和"温暖〞帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据方案前后，倍数关系由量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组.解：设原方案"爱心〞帐篷厂生产帐篷*千顶,"温暖〞帐篷厂生产帐篷y 千顶，由题意得：9,1.6 1.514x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：5,4x y =⎧⎨=⎩所以：1.6*=1.65=8, 1.5y =1.54=6答："爱心〞帐篷厂生产帐篷8千顶,"温暖〞帐篷厂生产帐篷6千顶.类型八：列二元一次方程组解决——数字问题8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.思路点拨：设较大的两位数为*，较小的两位数为y.问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100*＋y 问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100y ＋*解：设较大的两位数为*，较小的两位数为y.依题意可得：，解得：答：这两个两位数分别为45，23.类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg ，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路点拨：此题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：〔1〕甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；〔2〕混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；〔3〕混合前两种溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；〔4〕混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比.解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取*kg , ykg.依题意得：，答：甲取20kg，乙取30kg法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10*kg和5ykg，则甲种酒精溶液含水7*kg，乙种酒精溶液含水ykg，根据题意得：，所以 10*=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取30kg总结升华：此题的第〔1〕个相等关系比拟明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等.用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了.列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么.有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数.类型十：列二元一次方程组解决——几何问题10．如图，用8块一样的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为*，宽为y，就可以列出关于*、y的二元一次方程组.解：设长方形地砖的长*cm,宽ycm，由题意得：，答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm.总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在*些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨：解此题的关键是理解"6年后〞这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程.解：设现在父亲*岁，儿子y岁，根据题意得：，答：父亲现在30岁，儿子6岁.总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化〔增大、减小〕了，其他人也一样增大或减小，并且增大〔或减小〕的岁数是一样的〔一样的时间〕.类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：12．*地生产一种绿色蔬菜，假设在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进展粗加工，每天可以加工16吨；如果进展细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进展. 受季节条件的限制，公司必须在15天之将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进展粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进展精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将局部蔬菜进展精加工，其余蔬菜进展粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨：如何对蔬菜进展加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 此题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.解：方案一获利为：4500×140=630000(元).方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进展精加工，吨蔬菜进展粗加工，则根据题意，得：，解得：所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多答：方案三获利最多，最多为810000元.总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进展比拟从中选择最优方案.。

列方程解应用题（2）————工程问题一、一般工程问题：题型1、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。

甲乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。

乙请假多少天？题型2、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。

有同样的仓库A和B ，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。

丙帮助甲、乙各搬运了几小时？题型3、一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。

现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时。

乙单独开几小时可以灌满？题型4、打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。

如果甲、乙合作2天，剩下的乙独做，那么刚好在规定时间内完成。

甲乙两人合作需要几天完成？题型5、甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？二、工作效率常见关系题型1、一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。

两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？题型2、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成工程的一半。

已知甲、乙工效的比是2：3。

如果这项工程由乙单独做需要多少天才能完成？题型3、一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完。

现在甲先抄2小时，剩下的甲乙合作，还需要几小时才能完成？题型4、抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的31。

如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天都能完成？题型5、一件工程,甲队独做12天可以完成,甲队做3天后乙队做2天恰可完成一半,现在甲乙两队合做若干天后,由乙队单独完成,做完后发现两段所用时间相等,则共用多少天?列方程解应用题（3）————经济问题一、利润和利润率题型1、一套家具按成本加6成定价出售，后来在优惠条件下，按照售价的72% 降低价格售出可得6336元，求这套家具的成本是多少元？这套家具售出后可赚多少元？举一反三：1、个体户小张，把某种商品按标价的九折出售，仍可获利20%，若按货物的进价为每件24元，求每件的标价是多少元？2、某商品的进价是3000元，标价是4500元（1）商店要求利润不低于5%的售价打折出售，最低可以打几折出售此商品？（2）若市场销售情况不好，商店要求不赔本的销售打折出售，最低可以打几折售出此商品？（3）如果此商品造成大量库存，商店要求在赔本不超过5%的售价打折出售，最低可以打几折售出此商品？题型2、有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜10％.甲店按20％的利润来定价，乙店按15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元.问甲店的进货价是多少元？题型3、开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？举一反三：1、某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？当堂练习：1、张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？2、甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%，求甲、乙两种商品的原来单价？3、某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？。

可化为一元一次方程的分式方程应用题——工程问题一．复习回顾：1、解方式方程并说明解分式方程的步骤2、工程问题基本量的关系？工作量 = 乘以甲的工作量+乙的工作量 = 合作工作量注：工作问题常把总工程看作是单位1，水池注水问题也属于工程问题。

二．例题分析例1：一工程甲队单独做2天后乙队单独做3天刚好完成。

已知乙队单独完成这项任务比甲队单独完成多用两天，求甲乙队单独完成这项任务各需要多少天？例2：甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。

已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？分析：解：例3：一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？方法一：解：设规定日期是____天,则甲队独完成需要____天，乙队独完成需要____天，由题意得：:解之得：x=____ 经检验:________________∴原方程的根是________ 答：规定日期是____天方法二：工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为____天，那么乙单独完成工程所需的天数就是______天. 设工程总量为1，甲的工作效率就是___，乙的工作效率是______，依题意，列方程得______________ 解得_________． 即规定日期是_____天．三：练习：1.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？11212112-=-x x2.为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。

如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。

列方程解应用题之工程问题1、一个工作，甲单独完成需10天，乙单独完成需12天，丙单独完成需15天，现甲、丙先做2天，丙再单独做1天后，乙、丙合做还需几天才能完成？2、一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用了6小时，问甲队实际做了几小时？3、甲工厂有某种原料120吨，乙工厂有同样的原料96吨，甲工厂每天用原料15吨，乙工厂每天用原料9吨，问经过多少天，两工厂剩余原料相等？4、在西部大开发的修路工程中，有一段重要工程需要两支工程队进行合作，已知甲队单独完成要20天，乙队单独完成要12天，现在由甲、乙两队合做4天后，再由甲队单独做4天，剩下的部分甲、乙两队合做，还需要多少天才能完成？5、某公司接受一批外销产品订货，按定额预计30天可以完成，经改善管理后，劳动生产率提高20%，结果提前4天完成任务，并且超产48件，该厂原来每天生产多少件？原来接受的加工任务是多少件？6、一项工程，甲独做20天完成，乙独做30天完成，现在甲、乙合做，途中甲休息了3天，乙休息了若干天，从开始到完工共用了16天，则乙休息了多少天？7、一个水池，有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是入水管，丙是出水管，单独开甲管16分钟可将水池注满，单独开乙管10分钟可将水池注满，单独开丙管20分可将全池水放完，现在先开甲、乙两管，4分钟后关上甲管开丙管，问经过多长时间才能将水池注满？8、甲、乙两水槽原有水的比例为7：5，甲槽每分钟放出2升水，乙槽每分钟放出1升水，若同时开放两水槽，4分钟后两水槽的水相等，问甲、乙两槽原来各有多少升水？9、要修一段420米长的公路，甲工程队先修2天，乙工程队加入，两队再合修2天完成任务；若乙队先修2天，甲、乙两队再合修，则还需3天完成任务。

问甲、乙两支工程队每天各能修路多少米？10、某运输队运送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成，还能多运10吨，问这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨货？11、某人抄一份笔记每分钟抄30个字，若干分钟后可抄完，当抄到五分之二时，租来打字机，效率提高了百分之五十，提前20分钟抄完，此份笔记有多少个字？12、整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？13、某中学的学生整理操场，如果让初一学生单独工作，需要7.5小时完成；如果让初二的学生单独完成，需要5小时完成，如果初一、初二学生一起工作1小时，再由初二学生单独完成余下的部分，共需几小时完成。

一、工程问题列方程解应用题是初中数学的重要内容之一，其核心思想就是将等量关系从情景中剥离出来，把实际问题转化成方程或方程组，从而解决问题。

列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答——检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）【典例探究】例1 将一批数据输入电脑，甲独做需要50分钟完成，乙独做需要30分钟完成，现在甲独做30分钟，剩下的部分由甲、乙合做，问甲、乙两人合做的时间是多少？解析：首先设甲乙合作的时间是x分钟，根据题意可得等量关系：甲工作（30+x）分钟的工作量+乙工作x分钟的工作量=1，根据等量关系，列出方程，再解方程即可．设甲乙合作的时间是x分钟，由题意得：【方法突破】工程问题是典型的a=bc型数量关系，可以知二求一，三个基本量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间需要注意的是：工作总量往往在题目条件中并不会直接给出，我们可以设工作总量为单位1。

二、比赛计分问题【典例探究】例1某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。

已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了道题。

解：设这个人选对了x道题目，则选错了(45-x)道题，于是3x-（45-x）=1034x=148解得 x=37则 45-x=8答：这个人选错了8道题.例2某校高一年级有12个班．在学校组织的高一年级篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分．某班要想在全部比赛中得18分，那么这个班的胜负场数应分别是多少？因为共有12个班，且规定每两个班之间只进行一场比赛，所以这个班应该比赛11场，设胜了x场，那么负了（11-x）场，根据得分为18分可列方程求解．【解析】设胜了x场，那么负了（11-x）场．2x+1•（11-x）=18x=711-7=4那么这个班的胜负场数应分别是7和4．【方法突破】比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有：每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次;得分总数+失分总数＝总积分;失分常用负数表示，有些时候平场不计分，另外如果设场数或者题数为x，那么x最后的取值必须为正整数。

学解应用题工程问题思路指点一、工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。

我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为单位“１”，因此工作效率就是工作时间的倒数。

它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间。

工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。

下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并加以简要的评点，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。

例１一项工程，由甲工程队修建，需要１２天，由乙工程队修建，需要２０天，两队共同修建需要多少天？练习：一段公路，甲队单独修要１０天完成，乙队单独修要１２天完成，丙队单独修要１５天完成，甲、乙、丙三队合修，需要几天完成？例２一项工程，甲队独做８天完成，乙队独做１０天完成，两队合做，多少天完成全部工程的３／４？练习：一项工程，单独完成，甲队需８天，乙队需１２天。

两队合干了一段时间后，还剩这项工程的１／６没完成。

问甲、乙两队合干了几天？例３东西两镇，甲从东镇出发，２小时行全程的１／３，乙队从西镇出发，２小时行了全程的１／２。

两人同时出发，相向而行，几小时才能相遇？练习：打印一份稿件，小张５小时可以打完份稿件的１／３，小李３小时可以打完这份稿件的１／４，如果两人合打多少小时完成？例４一项工程，甲、乙合做６天可以完成。

甲独做１８天可以完成，乙独做多少天可以完成？练习：一批货物，用大小两辆卡车同时运送，５小时可以运完。

如果用小卡车单独运，１５小时可以运完。

问大卡车单独运几小时可以运完？例５加工一批零件，单独１人做，甲要１０天完成，乙要１５天完成，丙要１２天完成。

如果先由甲、乙两人合做５天后，剩下的由丙１人做，还要几天完成？练习：加工一批零件，甲独做要８天完成，乙独做要７天完成，丙独做要１４天完成，三人合作２天后，甲因病休息，乙、丙两人继续合做还要几天完成？例６一件工程，甲、乙合作６天可以完成。

工程问题解题技巧工程问题工程问题不仅仅是与工程建造有关的数学问题，还包括行路、水管注水等许多内容。

在解答工程问题时，常用的数量关系式为工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。

工作量表示工作的多少，可以是全部工作量，一般用数1表示。

工作效率指的是干工作的快慢，表示单位时间里所干的工作量。

单位时间的选取可以是天、时、分、秒等。

工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”或“工作量/时”等，但一般不写单位。

例1：甲队需100天完成某项工程，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？解：甲队的工作效率为1/100，乙队的工作效率为1/150.50天后，甲队完成了1/2的工程，乙队完成了1/3的工程，剩下的工程量为1-1/2-1/3=1/6.乙队完成这1/6的工程还需150×1/6=25天。

例2：甲单独做某项工程需36天完成，乙单独做需45天完成。

如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。

问甲队干了多少天？解：乙队先干了18天，剩下的工程量为1-18/36-18/45=1/5.甲、乙两队合作完成这1/5的工程需要的时间为36×45/9=180天，因此甲队干了180-18=162天。

例3：甲队需10天，乙队需15天，___需20天单独完成某工程。

开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问甲队实际工作了几天？解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，因此甲队实际工作了10-6=4天。

例4：___独做20时完成一批零件，___独做30时完成。

两人同时做时，___比___多做60个零件。

这批零件共有多少个？解：设这批零件共有x个，两人合作完成需要的时间为20×30/50=12小时。

奥数之工程问题在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是——工作量=工作效率×时间，在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。

工程问题方法总结：一：基本数量关系：工效×时间=工作总量二：基本特点：设工作总量为“1”，工效=1/时间三：基本方法：算术方法、整体思想、组合法、比例方法、方程方法、假设法四：基本思想：分做合想、合做分想。

五：类型与方法：一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。

二：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配三：休息请假： 1.分想：划分工作量。

2.假设法：假设不休息。

3.方程法四：周期工程休息与周期：已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。

1..天数：①近似天数，②准确天数。

2.列表确定工作天数。

交替与周期：估算周期，注意顺序！注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。

五：工效变化。

六：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。

七：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。

一、用“组合法”解工程问题专题简析：在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。

例题1。

一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的730，乙队单独完成全部工程需要几天？【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量730－115×3＝130，从而求出甲队的工作效率。

青年教师活动方案青年教师活动方案范文（精选5篇）为了确保活动有序有效开展，通常需要预先制定一份完整的活动方案，活动方案是从活动的目的、要求、方式、方法、进度等都部署具体、周密，并有很强可操作性的计划。

那要怎么制定科学的活动方案呢？下面是小编精心整理的青年教师活动方案范文（精选5篇），希望对大家有所帮助。

青年教师活动方案1根据教导处工作计划，为了进一步深化课堂教学改革，推进新课程的实施，提高课堂教学效率，提升我校青年教师的专业素质，造就一支适应现代化教育需要的教师队伍，同时为参加吴中区青年教师评课选优作好准备，经研究决定举行书藏实验小学第一届小学青年教师评课选优活动。

现将有关事项通知如下：一、参赛对象：三十五周岁以下的教师(已获区级评课选优一等奖的教师不参加)。

同时欢迎三十五周岁的教师积极报名参加。

语文组：数学组：综合组：吴春娟：英语组：（三十五周岁青年教师计28人）二、参赛学科：思品(品生、品社)、语文、数学、外语、艺术、计算机、科学(自然)、社会、体育。

三、奖励办法：1、本次活动设一、二、三等奖若干。

2、一等奖获得者有资格评为校级骨干教师。

四、评委：语文组：数学组：综合组：英语组：五、日程安排：（十一月中、下旬）具体每一位教师上课日期待参赛者报名后再作统一安排。

六、几点说明：1、希各位参赛教师，认真对待，精心准备，上出水平。

2、课后请供给教导处（1、教案A4纸打印或电子文稿，2、课件）以作活动资料档案。

书藏实验小学教导处附：1、书藏实验小学青年教师报名表2、具体日程安排表书藏实验小学青年教师评课选优日程安排表日期上课教师班级节次学科课题书藏实验小学青年教师评课选优活动报名表1、请各参赛教师认真作好准备，选择好上课内容，报给办公室主任。

2、请各办公室抓紧填写，并于10月28日前交到教导处。

青年教师活动方案2一、指导思想教师基本功是教师从事教育教学工作必须具备的最基本的职业技能。

为了提高教师的'职业技能，优化教师的整体素质，学校决定，将在全校范围内开展青年教师基本功比赛，也为广大青年教师展现才艺提供了舞台。