排列与组合

排列与组合的基本概念知识点总结在数学中，排列与组合是一种常见且重要的概念，用于解决计数问题。

它们在组合数学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。

本文将对排列与组合的基本概念进行总结。

一、排列排列是指从给定的对象中选取一部分对象，按照一定的顺序进行排列的过程。

常用的符号表示为P。

排列根据是否考虑顺序的不同又可分为两类：有重复排列和无重复排列。

1. 无重复排列无重复排列是指从不同的对象中选取一部分对象，按照一定的顺序进行排列的过程。

对于n个不同的对象，如果要选取r个对象进行排列，则无重复排列数记为P(n, r)。

其计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1。

2. 有重复排列有重复排列是指从给定的对象中选取一部分对象，重复选取某些对象，并按照一定的顺序进行排列的过程。

对于n个对象中，其中p1个对象相同，p2个对象相同，……，pk个对象相同，选取r个对象进行排列的过程，有重复排列数记为P(n; p1, p2, ..., pk)，其计算公式为：P(n; p1, p2, ..., pk) = n! / (p1! × p2! × ... × pk!)二、组合组合是指从给定的对象中选取一部分对象，不考虑顺序进行组合的过程。

常用的符号表示为C。

组合根据是否考虑选取对象的不同又可分为两类：有重复组合和无重复组合。

1. 无重复组合无重复组合是指从n个不同的对象中选取r个对象进行组合的过程。

无重复组合数记为C(n, r)。

其计算公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)2. 有重复组合有重复组合是指从给定的对象中选取一部分对象，重复选取某些对象，不考虑顺序进行组合的过程。

其中p1个对象相同，p2个对象相同，……，pk个对象相同，选取r个对象进行组合的过程，有重复组合数记为C(n + r -1; p1, p2, ..., pk)，其计算公式为：C(n + r -1; p1, p2, ..., pk) = (n + r -1)! / (r! × p1! × p2! × ... × pk!)三、排列与组合的应用排列与组合在实际生活中有着广泛的应用。

组合与排列的计算方法组合与排列是数学中常见的计算方法，用于解决不同的问题。

在实际生活中，我们经常需要计算某些元素的组合方式或排列方式。

本文将详细介绍组合与排列的计算方法，包括定义、公式及应用范围等。

一、组合的计算方法1.1 定义组合是从给定的元素集合中，选取若干个元素按照一定的规则组成子集的方式。

在组合中，元素的顺序不重要，即组合只关注元素的选择，而不关注元素的排列顺序。

1.2 组合的计算公式对于含有n个元素的集合，从中选取m个元素进行组合，计算方法如下：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)其中，C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数量，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

1.3 组合的应用范围组合的计算方法在概率统计、排列组合等领域有广泛的应用。

例如，在抽奖活动中，求解中奖组合、在竞赛中求解选手比赛成绩排名等都需要用到组合的计算方法。

二、排列的计算方法2.1 定义排列是从给定的元素集合中，选取若干个元素按照一定的规则排列的方式。

与组合不同，排列中元素的顺序是重要的，即排列依赖元素的排列顺序。

2.2 排列的计算公式对于含有n个元素的集合，从中选取m个元素进行排列，计算方法如下：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，P(n, m)表示从n个元素中选取m个元素的排列数量。

2.3 排列的应用范围排列的计算方法在密码学、统计分析、问题求解等领域有广泛的应用。

例如，在密码学中，求解密码的破译方式、在统计学中分析数据的排列情况等都需要用到排列的计算方法。

三、组合与排列的比较3.1 区别组合与排列的最主要区别在于元素选择的顺序是否重要。

组合只关注元素的选择，顺序不重要；而排列则依赖于元素的排列顺序。

3.2 应用场景组合适用于计算元素的选择方式，常用于抽奖、竞赛成绩排名等场景；排列适用于计算元素的排列方式，常用于密码破译、统计分析等场景。

高中数学中的排列与组合在高中数学中，排列与组合是重要的概念和技巧。

它们在不同领域中都有着广泛的应用，尤其是在概率论、统计学和计算机科学中。

本文将介绍排列与组合的基本概念、原理和应用。

一、排列在数学中，排列是指从给定的元素中选取一部分，按照一定的顺序进行排列的方式。

下面我们来介绍排列的几个常见概念和公式。

1. 基本概念首先，我们引入排列的基本概念。

（1）全排列：从给定的n个元素中选取n个，按照一定的顺序进行排列，叫做全排列。

（2）k排列：从给定的n个元素中选取k个（k≤n），按照一定的顺序进行排列，叫做k排列。

2. 公式接下来，我们介绍排列的计算公式。

（1）全排列的计算公式：全排列的个数为n!（n的阶乘）。

（2）k排列的计算公式：k排列的个数为A(n,k) = n!/(n-k)!二、组合在数学中，组合是指从给定的元素中选取一部分，不考虑其顺序的方式。

下面我们来介绍组合的几个常见概念和公式。

1. 基本概念首先，我们引入组合的基本概念。

（1）全组合：从给定的n个元素中选取0个、1个、2个...直到n个元素的所有情况，叫做全组合。

（2）k组合：从给定的n个元素中选取k个（k≤n），不考虑顺序的所有情况，叫做k组合。

2. 公式接下来，我们介绍组合的计算公式。

（1）全组合的计算公式：全组合的个数为2^n。

（2）k组合的计算公式：k组合的个数为C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)。

三、排列与组合的应用排列与组合有着广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的应用领域。

1. 概率论与统计学在概率论和统计学中，排列与组合是计算事件的可能性的重要工具。

通过排列与组合的计算，我们可以确定事件的样本空间、计算事件的概率和进行统计推断等。

2. 计算机科学在计算机科学中，排列与组合是算法设计和分析的基础。

例如，在密码学中，排列与组合被用于生成和破解密码。

在图论和网络分析中，排列与组合是解决路径问题和网络优化问题的重要手段。

排列与组合一、知识导学1.排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.2.全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列.3. 排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数.用符号表示.4. 阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示.规定：0！＝15.组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.6.组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有组合的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数.用符号表示.7.本节公式（1）排列数公式（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）（2）组合数公式（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）（3）组合数的两个性质规定：二、疑难知识导析1．排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”。

从定义知，只有当元素完全，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列.两个相同数列，当且仅当它们的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同.2．排列与排列数是两个不同的概念.一个排列是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体方法，它不是数；而排列数是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同数列的种数，它是一个数.3．排列应用题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题.常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题.解排列应用题时应注意以下几点：①认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法.②弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考.③恰当分类，合理分步.④在分析题意，画框图来处理，比较直观.在解应用时，应充分运用.解排列应用题的基本思路：①基本思路：直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数.②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等.4．对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.5．排列与组合的区别与联系：①根据排列与组合的定义，前者是从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关.②排列与组合的共同点，就是都要“从ｎ个不同元素中，任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异.因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的组合问题.例如123和321,132是不同的排列，但它们都是相同的组合.再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题.③排列数与组合数的联系.求从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数，可以分为以下两步：第一步，先求出从这ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数；第二步，求每一个组合中ｍ个元素的全排列数.根据分步计数原理，得到＝.从这一过程中可得出排列与组合的另一重要联系.从而，在解决排列问题时，先取后排是一个常见的解题策略.6．解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题.当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类，还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终.学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础.切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）.三、经典例题导讲[例1] 10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？[例2]从－3，－2，－1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数的系数，ｂ，ｃ的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？[例3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？[例4] 4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？（5）女生顺序已定的坐法有多少种？[例5]某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？[例6]用0,1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？。

排列与组合定理和公式定义: 1、从S中有序选取的r个元素称作S的⼀个r排列。

S的不同r排列总数记作P（n，r），r=n时，称为S的全排列。

2、从S中⽆序选取的r个元素称作S的⼀个r组合。

S的不同r组合总数记作C（n，r）。

推论 1、元素⼀次排成⼀个圆圈的排列称为环排列。

S的环排列数等于 P（n，r）/r，其实就是线性排列数的1/r。

推论 2、C（n，r）= C（n-1，r-1）+C（n-1，r）。

该公式就是杨辉三⾓形，也称作Pascal公式。

定义：设S=｛n1*a1，n2*a2，n3*a3，....，nk*ak｝为多重集，n=n1+n2+...+nk表⽰S中的元素总数。

（1）从S中有序选取的r个元素称为S的⼀个r排列。

r=n的排列称为S的全排列。

（2）从S中⽆序选取的r个元素称为S的⼀个r组合。

定理：设S=｛n1*a1，n2*a2，n3*a3，....，nk*ak｝为多重集（1）S的全排列数是n!/（n1! n2! n3!...nk!）.（2）若r<=ni, i=1，2，3，...，k,那么S的 r 排列数是k^r。

（3）若r<=ni, i=1,2,3,..k，那么S的 r 组合数是C（k+r-1 , r）.即T={R*1, (K-1)**},等于（k+r-1）!/（r! *（k-1）!）.格路径数：定理：从（r，s）到（p，q）的矩形格路径的条数等于⼆项式系数C（p-r+q-s, p-r）=C（p-1+q-s, q-s）.定理：令n为⾮负整数，则从（0，0）到（n，n）的下对⾓线矩形格路径的条数等于第n个Catalan数Cn=1/(n+1) *C(2n，n).定理：从（0，0）到（p，q）的下对⾓线矩形格路径的条数等于（q-p+1）/(q+1)*C（p+q。

q）。

前100个Catalan数：“1”“1”"2","5","14","42","132","429","1430","4862","16796","58786","208012","742900","2674440","9694845","35357670","129644790","477638700","1767263190","6564120420","24466267020","91482563640","343059613650","1289904147324","4861946401452","18367353072152","69533550916004","263747951750360","1002242216651368","3814986502092304","14544636039226909","55534064877048198","212336130412243110","812944042149730764","3116285494907301262","11959798385860453492","45950804324621742364","176733862787006701400","680425371729975800390","2622127042276492108820","10113918591637898134020", "39044429911904443959240", "150853479205085351660700", "583300119592996693088040", "2257117854077248073253720", "8740328711533173390046320", "33868773757191046886429490", "131327898242169365477991900", "509552245179617138054608572", "1978261657756160653623774456", "7684785670514316385230816156", "29869166945772625950142417512", "116157871455782434250553845880", "451959718027953471447609509424", "1759414616608818870992479875972", "6852456927844873497549658464312", "26700952856774851904245220912664", "104088460289122304033498318812080", "405944995127576985730643443367112", "1583850964596120042686772779038896", "6182127958584855650487080847216336", "24139737743045626825711458546273312", "94295850558771979787935384946380125", "368479169875816659479009042713546950", "1440418573150919668872489894243865350", "5632681584560312734993915705849145100", "22033725021956517463358552614056949950", "86218923998960285726185640663701108500", "337485502510215975556783793455058624700", "1321422108420282270489942177190229544600", "5175569924646105559418940193995065716350", "20276890389709399862928998568254641025700", "79463489365077377841208237632349268884500", "311496878311103321137536291518809134027240", "1221395654430378811828760722007962130791020", "4790408930363303911328386208394864461024520", "18793142726809884575211361279087545193250040", "73745243611532458459690151854647329239335600", "289450081175264899454283846029490767264392230", "1136359577947336271931632877004667456667613940", "4462290049988320482463241297506133183499654740", "17526585015616776834735140517915655636396234280", "68854441132780194707888052034668647142985206100", "270557451039395118028642463289168566420671280440", "1063353702922273835973036658043476458723103404520", "4180080073556524734514695828170907458428751314320", "16435314834665426797069144960762886143367590394940", "64633260585762914370496637486146181462681535261000", "254224158304000796523953440778841647086547372026600", "1000134600800354781929399250536541864362461089950800", "3935312233584004685417853572763349509774031680023800", "15487357822491889407128326963778343232013931127835600", "60960876535340415751462563580829648891969728907438000", "239993345518077005168915776623476723006280827488229600", "944973797977428207852605870454939596837230758234904050", "3721443204405954385563870541379246659709506697378694300", "14657929356129575437016877846657032761712954950899755100", "57743358069601357782187700608042856334020731624756611000", "227508830794229349661819540395688853956041682601541047340", "896519947090131496687170070074100632420837521538745909320"。

排列与组合的区别技巧排列和组合是数学中常见的概念，用于计算一定范围内的排列或组合的个数。

尽管这两个概念听起来很相似，但实际上它们有着本质的区别。

在本文中，我们将探讨排列和组合的区别以及如何应用它们。

1. 排列和组合的定义排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，其排列数用P(n,m)表示，公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。

P(5,3)就表示从5个元素中取3个元素的排列数，它的计算式为5!/(5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60。

C(5,3)表示从5个元素中选出3个元素组成的集合数，它的计算式为5!/(3! × 2!) = 10。

AB AC BA BC CA CB这是因为“AB”和“BA”被视为两种不同的排列方式，因为它们的元素顺序不同。

排列相对于元素的顺序是敏感的。

应用排列与组合的场景非常广泛，例如在密码学、计算机科学、统计学、经济学等多个领域都有着重要的应用。

在密码学中，排列和组合被用于计算密码中可能的排列组合，以及在密码破解时破译密码。

在计算机科学中，排列和组合被用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度，以及进行搜索和排序算法等操作。

在经济学中，排列和组合被用于计算市场需求和供应的排列组合，以及进行产业分析和商业决策等操作。

4. 总结与结论排列和组合是数学中常用的概念。

其最大的区别在于元素的顺序是否重要。

排列相对于元素的顺序是敏感的，而组合相对于元素的顺序是不敏感的。

我们可以应用排列和组合计算密码、算法复杂度、统计概率以及进行商业决策等多个领域。

在应用排列和组合时，我们需要根据不同情况选择适当的计算方式。

在实际应用中，我们需要了解排列和组合的特性，并选择适当的计算方式。

下面我们将深入探讨排列和组合的特性及其应用。

1. 排列的特性（1）重复元素：在排列的情况中，如果有重复的元素，其排列数可以用重复因子的方法进行计算。

第49讲排列与组合一、考情分析1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.二、知识梳理1.排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质[微点提醒]1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.三、经典例题考点一排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.解(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种).(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).(5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A66种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A15种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A15种，其余人全排列，只有A55种不同排法，共有A66＋A15A15A55＝3 720.法二(间接法)7名学生全排列，只有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共有A77－2A66＋A55＝3 720(种).规律方法排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.考点二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种).∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种).∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3种的总数为C335，选取3种假货有C315种，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.考点三 分组、分配问题【例3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.(2)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A.80种B.90种C.120种D.150种(3)A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌上开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( )A.24种B.30种C.48种D.60种解析 (1)先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法. (2)分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有C 25C 23C 11A 22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种分派方法； 另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有C 35C 12C 11A 22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C 35C 12C 11A 22A 33＝60种分派方法. 所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).(3)B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B ，C 可以交换位置，有A 22＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A 33＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.答案 (1)90 (2)D (3)C规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数.2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！.3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.[方法技巧]1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.四、课时作业1．（2020·永安市第一中学高三开学考试）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种2．（2019·湖北武汉·高三其他（文））用0，l，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（）A．15B．16C．17D．183．（2020·重庆市万州第二高级中学高二开学考试）将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（）A．35种B．53种C．3种D．15种4．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三二模（理））为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（）A．540 B．240 C．150 D．1205．（2020·江苏宿迁·高二期中）把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（）A．12种B．18种C．24种D．36种6．（2020·武威第六中学高二期末（理））某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（）A．6种B．12种C．18种D．24种7．（2020·岑溪市第一中学高二月考）我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献，某中学拟从这5部专著中分成两组（一组2部，一组3部）作为“数学文化”课外阅读教材，则所选专著中《九章算术》《海岛算经》恰好在同一组的概率为（）A．15B．25C．35D．1108．（2020·湖北云梦·高二月考）从某学习小组的4名男生和4名女生中任意选取3名学生进行体能检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（）．A．96 B．48 C．72 D．369．（2020·湖北武汉·高二期中）从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．6 B．12 C．18 D．2410．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）现有7件互不相同的产品，其中有4件正品，3件次品，每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（）种. A．1080B．72C．432D．86411．（2020·四川成都·月考（理））美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A．96 B．120 C．180 D．21612．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高三月考（理））甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（）A．54B．36C．27D．2413．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有A．15种B．18种C．19种D．21种14．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高三月考（理））若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（）A．17 B．18 C．19 D．2015．（2020·江苏徐州·高三月考）某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（）A．6种B．24种C．36种D．72种16．（2020·北京高二期末）从4个人中任选3个人分别去完成3项不同的工作，则不同的安排方法有（）A．12种B．24种C．36种D．64种17．（2020·北海市教育教学研究室高二期末（理））若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种18．（2020·江苏省溧阳中学高三开学考试）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种19．（2020·甘肃省会宁县第二中学高二期中（理））把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（）A．2680种B．4320种C．4920种D．5140种20．（2020·全国高二单元测试）有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．150B．180C．200D．28021．（2020·天津滨海新·高三其他）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.22．（2020·浙江高三其他）已知,A B两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有．23．（2020·河北高三月考）2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．24．（2020·山西高三月考（理））某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种.25．（2019·河南中牟·高二期中（理））有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生．现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是__________．（用具体数字作答）26．（2019·浙江省杭州第二中学高三一模）10次投篮中，投中5次，其中恰有一个2连中和一个3连中的情形有_________种(用数字作答).27．（2020·越秀·广东实验中学高三月考）大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的8个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有____种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．28．（2020·上海市七宝中学高三月考）我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类､物理学类､力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是__________(结果用最简分数表示).29．（2020·四川省新津中学高三开学考试（理））学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．30．（2020·重庆市第七中学校高二月考）从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.。

排列与组合的基本概念排列与组合是概率论与离散数学中重要的基本概念。

在数学中，排列与组合是用来描述从给定对象集合中选择、排列出一部分或全部对象的方式或方法。

在实际生活中，排列与组合的概念也被广泛应用于组织、计划和解决问题的过程中。

本文将介绍排列与组合的基本概念，并通过一些例子来说明其应用。

一、排列排列是指在给定的对象集合中，选取一部分或全部的对象进行排列。

排列与有序，也就是说考虑了对象的顺序。

从n个不同对象中取出m个进行排列，可以表示为P(n, m)，读作从n个对象中取出m个对象的排列数。

排列数的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1。

例如，从5个不同的球中取出3个进行排列，可以计算为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 / 2 ×1 = 60因此，从5个不同的球中取出3个进行排列的方式有60种。

二、组合组合是指在给定的对象集合中，选取一部分或全部的对象进行组合。

组合与无序，也就是说不考虑对象的顺序。

从n个不同对象中取出m个进行组合，可以表示为C(n, m)，读作从n个对象中取出m个对象的组合数。

组合数的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)例如，从5个不同的球中取出3个进行组合，可以计算为：C(5, 3) = 5! / (3! × (5-3)!) = 5! / (3! × 2!) = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 / (3 × 2 × 1 × 2 × 1) = 10因此，从5个不同的球中取出3个进行组合的方式有10种。

高中排列与组合
高中排列与组合是高中数学中的一个重要分支，涉及到离散数学中的基本概念和思想，主要包括排列、组合、二项式定理等内容。

排列指从n个元素中取出m个元素按一定顺序排列的所有情况。

用P(n,m)表示，其中n为元素总数，m为取出的元素个数，排列数为n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。

组合指从n个元素中取出m个元素组成的所有情况。

用C(n,m)表示，其中n为元素总数，m为取出的元素个数，组合数为n!/[(n-m)!m!]。

二项式定理则是指对于任意实数a和b以及任意自然数n，都有(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n。

在高中排列与组合中，除了上述的基本概念和公式外，还有一些衍生的应用，如多重集排列、带限制条件的排列和组合、二项分布等。

这些内容在高中数学竞赛和高考中经常出现，因此需要认真掌握。

1/ 1。

排列和组合是组合数学中的两个重要概念，它们用于描述对象的不同排列方式和选择方式。

以下是一些排列和组合的例子：
1. 排列的例子：
- 字母排列：考虑单词"ABC" 的字母排列，可以有以下排列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。

这是3个字母的全排列。

- 座位排列：在一个圆桌上安排5个人的座位，有5人的排列方式。

如果座位有固定方向，则有5个不同的排列。

- 书籍排列：如果有6本不同的书，它们在书架上的排列方式是6的阶乘(6!)，即720种排列方式。

2. 组合的例子：
- 选课：一个学生可以从10门不同的课程中选择5门修读。

这是一个组合问题，确定有多少种不同的选课方式。

- 抽奖：在一次抽奖活动中，有20个人参与，但只有3个人可以获奖。

这是一个组合问题，确定有多少种不同的获奖组合。

- 水果选择：如果有5种不同的水果，你想选择2种水果来制作水果沙拉，这是一个组合问题，确定有多少种不同的水果组合。

3. 排列和组合的混合：
- 密码：考虑一个四位数的数字密码，其中不能重复使用相同的数字。

这涉及到排列，因为顺序很重要，但也有一些组合元素，因为数字不能重复。

- 团队选拔：在一个体育团队中，需要选择5名主力球员和2名替补球员。

这涉及到排列（对主力球员的顺序很重要）和组合（对替补球员的顺序不重要）。

排列和组合问题在数学、统计学、计算机科学和实际生活中都有广泛的应用，帮助我们理解对象的不同排列和选择方式。

它们的计算通常涉及阶乘、二项系数等组合数学工具。

排列与组合课上讲解： 1．排列(1)排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示． (3)排列数公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)． (4)全排列数公式A nn ＝n (n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)． 2．组合(1)组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示． (3)组合数公式 C m n＝A mn A m＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！＝n ！m ！n －m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地C 0n ＝1.(4)组合数的性质：①C mn ＝C n －mn ；②C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n . 3.排列与组合的区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合． 4.处理排列组合应用题的规律 （1）两种思路：直接法，间接法。

（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。

解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。

题型一：排列问题有条件的排列问题分四种类型：(1)某元素不在某个位置上问题：（特殊元素优先考虑）①直接法：可从位置考虑用其它元素占上该位置；②间接法：间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．1.六人站成一排，求(1)甲、乙即不再排头也不在排尾的排法数(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数2.对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。

第一讲 排列与组合【基础知识】1）排列：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序(或不同的位置)排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．注意：排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素（不重复取）”；二是“选出的元素与顺序有关”2）从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数． 3) 排列数公式： 4) 全排列5）一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．6）排列与组合的共同点与不同点共同点:都要“从n 个不同元素中任取m 个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．排列与元素的顺序有关，而 7）组合数公式8）组合数的性质【典型例题】一、两个基本原理例1．由数字1,2,3,4（1） 可以组成多少个3位数；（2） 可组成多少个没有重复数字的三位数；（3） 可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字。

例2.用5种不同的颜色给途中A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？),(,*N n m n m A m n ∈≤、记为：)!(!)1()2)(1(n m n m m n n n n A m -=+---= 12)1(n ⋅-= n n A n m n n m n C C -=11-++=m nm n m n C C C 10=n C变式训练1：1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方式的种数为多少？五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），获得冠军的可能性有多少种？2. 将3种作物种植在如右图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方式有多少种？3. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方式有多少种？4. 如图，一个环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为多少种？5. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144二．排列与组合例3.甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排列种数.(1) 甲不排在头、乙不在排尾；(2) 甲不在第一位，乙不在第二位，丙不在第三位，丁不在第四位；(3) 甲一定在乙的右端（可以不邻）.例4. 由数字0,1,2,3,4,5可组成（各位上的数字不允许重复）（1）多少个6位数；（2）多少个6位偶数；（3）多少个被5整除的五位数.变式训练2：1. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览。

小学数学认识排列和组合在小学数学学习中，排列和组合是重要的概念。

通过学习排列和组合，学生可以培养逻辑思维能力，提高问题解决能力。

接下来，我们将详细介绍排列和组合的概念以及它们在数学中的应用。

一、排列的概念及应用排列是指从给定元素中取出若干个元素进行排序的方式。

在排列中，元素的顺序是重要的。

以小学生选取三个班委为例，假设有5个候选人，那么小学生可以通过排列确定选取班委的不同方式。

排列的表示方法通常使用P表示，例如，表示从n个元素中取出m个元素进行排列。

排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!例如，在上述小学生选取三个班委的例子中，可以计算出排列的数目：P(5,3) = 5! / (5-3)! = 60。

排列的应用非常广泛，例如在密码学中，排列可以用来生成密码；在比赛中，排列可以用来确定选手的名次等等。

二、组合的概念及应用组合是指从给定元素中取出若干个元素的方式，与排列不同的是，组合中元素的顺序不重要。

以小学生选取三个同学合作为例，假设有5个候选人，那么小学生可以通过组合确定合作的不同方式。

组合的表示方法通常使用C表示，例如，表示从n个元素中取出m个元素进行组合。

组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)例如，在上述小学生选取三个同学合作的例子中，可以计算出组合的数目：C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10。

组合的应用也非常广泛，例如在概率统计中，组合可以用来计算事件的可能性；在数学建模中，组合可以用来确定问题的解空间等等。

三、排列和组合的区别与联系排列和组合都是数学中的基本概念，它们在计算方式上有所不同。

排列强调元素的顺序，而组合不强调元素的顺序。

排列和组合的联系在于它们都可以用于确定从给定元素中取出若干个元素的方式，它们都是离散数学中的重要分支。

四、小学数学中排列和组合的教学应用在小学数学教学中，可以通过生活实例向学生介绍排列和组合的概念，并结合具体问题进行实际计算。