2.2 30°,45°,60°角的三角比

2.2 30,45,60角的三角比学习目标：1、经历探索30°、45°、60°角的三角比的过程，熟记这些特殊角的三角比，并能用它们进行计算。

2、能够根据300,450,600的三角比，求出相应锐角的大小。

3、能够运用300,450,600角的三角比解决简单的直角三角形问题。

课前预习一、【知识回顾】 在 Rt △ABC 中，∠C=90°。

（1）a 、b 、c 三边之间的关系是 ， （2）∠A+∠B= 。

（3）sinA= cosA= tanA= cotA=课中探究二、【试验与探究】三、例题解析：1、求下列式子的值000030cos 30tan 45sin 2260cos ∙++2、.,23sin 的度数求锐角中，已知在A A ABC Rt =∆四、跟踪训练1、计算：0000030cos 30sin 45cos 45sin 60cos 60sin 1∙-∙+∙）（020045cos 230tan 330sin 2)2(+-2、填空： ==ααα，则是锐角，）已知（22sin 1 ==ααα,23cos 2是锐角，）已知（ ==ααα则是锐角，）已知（,33cot 3 （4）锐角∠A 满足2sin （A －150）＝3，则∠A ＝ 五、课堂检测：1、=∠==∠∠∆C B A B A ABC 则且都是锐角中在,23cos ,21sin ,,, 2、.sin ,21cos 900的值为则，已知中，在A B C ABC Rt ==∠∆（ ） 21)(A 22)B （ 23)(C 3)(D 3、计算000060sin 60cos 45sin 2230cos 30sin ∙--∙。

鲁教版数学九年级上册2.2《30°，45°，60°的三角函数值》说课稿一. 教材分析鲁教版数学九年级上册2.2《30°，45°，60°的三角函数值》一课，是在学生学习了锐角三角函数概念、直角三角形的性质等知识的基础上进行的一节课。

本节课的主要内容是引导学生探究并掌握30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切函数值，让学生体会特殊角的三角函数值在实际问题中的应用。

通过本节课的学习，使学生进一步理解三角函数的概念，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，他们对锐角三角函数概念、直角三角形的性质等知识有一定的了解。

但是，对于特殊角的三角函数值的推导和应用，还需要通过本节课的学习来进一步掌握。

同时，学生在学习过程中可能存在对三角函数值的理解不够深入、应用能力不足等问题，需要在教学中加以引导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切函数值，并能灵活运用这些值解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过学生自主探究、合作交流的方式，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习意识，使学生感受到数学在生活中的应用价值。

四. 说教学重难点1.教学重点：引导学生探究并掌握30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切函数值。

2.教学难点：特殊角的三角函数值在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段本节课采用自主探究、合作交流的教学方法，引导学生通过观察、实验、归纳等手段，探究并掌握特殊角的三角函数值。

同时，利用多媒体教学手段，展示特殊角的三角函数值的推导过程，提高学生的学习兴趣和效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习锐角三角函数概念、直角三角形的性质等知识，引出本节课的内容——特殊角的三角函数值。

2.2 30°、45°、60°角的三角比东鲁学校满萍修订【目标确定的依据】1.相关课程标准的陈述知道30°，45°，60°角的三角函数值。

2.教材分析内容分析：本节课引导学生推理得出30°，45°，60°角的三角比，并能根据30°，45°，60°角的三角比，反推出相应锐角的大小。

能计算含有30°，45°，60°角的三角比的式子的值。

重点：探索推理得出30°，45°，60°角的三角比。

难点：求解特殊角的三角比，实际运算含有这些三角比的式子。

教学突破：本节课可以采取鼓励学生自己动手测量，动脑思考，探索推理得出特殊角30°，45°，60°的三角比的方法，培养学生积极主动获取知识的意识；通过加强练习，让学生牢固掌握特殊角的三角比，并能实际运用到相应的计算题中。

3.学情分析上一节已经学习了三角比的概念与求法，也具备了勾股定理、等边三角形的有关知识，为本节学习做好铺垫；学生缺乏利用辅助线构造直角三角形的转化能力，在求特殊角30°，45°，60°角的三角比时考虑不到借助等边三角形或者等腰直角三角形的性质来处理，所以教师抛出问题后要善于引导学生探究，师生共同总结发现。

【学习目标】1.通过自主探索30,45,60角的三角比的过程，进一步体会三角比的意义。

2.通过自主学习30,45,60角的三角比的值，能根据特殊值直接求得相应的锐角。

3.通过合作探究特殊角的三角比的值，会计算含有特殊角三角比的式子的值。

【评价任务】1.动手画一画图，量一量，并算一算30°，45°，60°角的三角比。

（目标1）2.总结归纳30,45,60角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求一求相应的锐角。

课题 2.2 30°，45°，60°角的三角函数值 学案 第 1 课时学习目标 1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义2. 熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算重、难点 探索30°，45°，60°角的三角函数值，并能够进行含特殊角的三角函数值的计算教师引导 学习过程一：复习回顾：1.正切、正弦、余弦的定义2.坡面越陡，说明坡角越 ，坡角的正切值越 、正弦值越 、余弦值越 。

即：正切值随角度的增大而 、正弦值随角度的增大而 、余弦值随角度的增大而 。

二：探索新知：1. （1）Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则AB 与BC 有何关系？试求：sin30°= cos30°= tan30°=sin60°= cos60°= tan60°=（2）如何求45°的三个三角函数值？试求：sin45°= cos45°= tan45°=（3）小结：sin α cos α tan α 30°45°60° 2. 例1 计算：（1）︒+︒45cos 30sin （2）s in 260°+sin 230°-tan45°练（1）︒-︒60tan 60sin （2）︒+︒45tan 60cos（3）︒-︒+︒45cos 203sin in452s （4）︒+︒-︒45cos 45sin an30t例2 如图，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为30°，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m)。

常见角的三角函数值表1. 引言三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。

而常见角的三角函数值表则是对一些特定角度的三角函数值进行整理和归纳，方便人们在实际计算中使用。

在本文中，我们将详细介绍常见角的三角函数值表中的特定函数，包括函数的定义、用途和工作方式等。

通过深入了解这些函数，读者将能够更好地理解和运用三角函数。

2. 正弦函数（Sine Function）2.1 定义正弦函数是一个周期性的数学函数，表示一个直角三角形中对边与斜边之比。

在常见角的三角函数值表中，正弦函数通常以sin表示。

2.2 用途正弦函数在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。

例如，在几何学中，我们可以利用正弦函数来求解未知边长或未知角度；在物理学中，正弦函数可以描述振动、波动等现象；在工程学中，正弦函数可以用于电路分析、声音处理等。

2.3 工作方式正弦函数的取值范围在-1到1之间。

它的周期是360度（或2π弧度），即sin(x) = sin(x + 360°) = sin(x + 2π)。

根据角度的不同，正弦函数的值会有所变化。

常见角的三角函数值表中列出了一些特定角度下的正弦函数值，例如0°、30°、45°、60°和90°等。

通过查表，我们可以直接得到这些角度对应的正弦函数值，而不需要进行复杂的计算。

3. 余弦函数（Cosine Function）3.1 定义余弦函数也是一个周期性的数学函数，表示一个直角三角形中邻边与斜边之比。

在常见角的三角函数值表中，余弦函数通常以cos表示。

3.2 用途余弦函数在几何学、物理学和工程学等领域同样有广泛应用。

例如，在几何学中，我们可以利用余弦函数来求解未知边长或未知角度；在物理学中，余弦函数可以描述振动、波动等现象；在工程学中，余弦函数可以用于电路分析、声音处理等。

3.3 工作方式余弦函数的取值范围也是在-1到1之间。

在本节课中，使用了多媒体课件，三角板，教科书。

一、教材分析本节主要讲解30度，45度，60度角的三角比求法及应用。

1、纵向分析：本节课在学习了平面图形的初步认识（七下），数的开方（八下），勾股定理（八下）、相似三角形（九上）及二次根式（八下）的基础上安排的。

主要内容是利用锐角三角比的定义，求30度，45度，60度的三角比及应用。

教材从学生熟悉的三角尺出发，引出求30度，45度，60度角的三角比问题。

然后利用三角尺，设计了利用三角尺求这些锐角的三角比的探索活动。

在这些活动中，利用了简单的平面图形三角形的相似，数的开方，勾股定理及二次根式的化简、分母有理化。

为便于学生记住这些角的三角比，教材“观察与思考”栏目中，让学生通过填表、观察，找出它们之间的规律。

然后通过例1、例2解决含有这些角的三角比的简单式子的计算和已知某个特殊锐角的三角比求该角的问题，为学习后续内容做好铺垫。

2、横向分析：教材首先引导学生利用直角三角形和三角比的定义，通过勾股定理探索最特殊的、学生易于接受的直角三角形中45度角的三角比，并由此得到启发，再通过构造、转化，利用两个含有30度角的全等的直角三角形构造一个等边三角形，利用等边三角形的高与边长的关系，再去解决30度，60度角的三角比的值，这种循序渐进的编排方式符合学生的认知规律。

教材在探索30度、45度的三角比时，不仅设计了活动的顺序、方式，同时也给出了完整的、规范的解答过程，以便于学生掌握解题的程序和步骤。

对于60度角的三角比，教科书没有提供探索过程和结论，而是给学生留下了自主探索与交流的空间。

在得到特殊角的三角比之后，教材提出“通过表格中的数据，你发现了那些规律”的拓展性问题，让学生继续深入的进行探索，不仅可以帮助学生记忆特殊角的三角比，也为学生学习下面的“挑战自我”、解直角三角形提供了有利的条件。

3、与高中知识的衔接：例1是教材中第一次出现含有三角比的算式。

在数学中，三角运算与指数是无理数的指数运算、对数运算、反三角函数运算统称超越运算，除了超越运算外还包含超越运算的解析式统称超越式。

2、2 30°,45°,60°角三角比教学目标1、掌握30°,45°,60°角三角比值，能够利用30°,45°,60°角三角比值熟练地进展运算2、能够根据30°,45°,60°角三角比值求出角度数3、利用30°,45°,60°角三角比值解决实际问题4、掌握互为余角三角比之间关系，同一个角正弦与余弦平方与等于1教学重点：1、掌握30°,45°,60°角三角比值，能够利用30°,45°,60°角三角比值熟练地进展运算2、能够根据30°,45°,60°角三角比值求出角度数3、利用30°,45°,60°角三角比值解决实际问题4、掌握互为余角三角比之间关系，同一个角正弦与余弦平方与等于1难点：1、能够利用30°,45°,60°角三角比值熟练地进展运算2、利用30°,45°,60°角三角比值解决实际问题教学模式：自主学习，合作探究，精讲点拨，有效训练学前准备: 课前学生预习2.锐角三角比：3.[问题]为了测量一棵大树高度，准备了如下测量工具：①含30°与60°两个锐角三角尺；②皮尺．请你设计一个测量方案，能测出一棵大树高度．我设计方案如下：我们前面学习了三角函数定义，如果一个角大小确定，那么它正切、正弦、余弦值也随之确定，想想能有更简单设计吗？你能求出30°角三个三角函数值吗？设计意图：数学知识是环环相扣，课前预习能让学生为接下来学习作很好铺垫与自然过渡。

带着他们疑问来学习本节内容，去探索30°,45°,60°角三角比值，激发了他们研究兴趣与探究激情。

2.1 锐角三角形 2.2 30°，45°，60°角的三角函数值.一．选择题（共11小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（）A．B．C．D．3．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A．B．C．D．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中正确的是（）A．cosA=B．sinB=C．tanB=D．cotA=5．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sinA的值越小，梯子越陡B．cosA的值越小，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的函数值无关6．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（）A．也扩大3倍B．缩小为原来的C．都不变D．有的扩大，有的缩小7．如果α是锐角，且，那么cos（90°﹣α）的值为（）A．B．C．D．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin∠A=，则cos∠A的值为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，A，B为锐角，且有sinA=cosB，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形10．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°11．计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1 C．D．二．解答题（共7小题）12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanB=，求AB的值．13．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°14．计算：2cos60°﹣4sin245+3tan30°．15．已知α+β=90°，且sinα+cosβ=，求锐角α．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=．当c=2，a=1时，求cosA．17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求∠B的正弦、余弦值．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=8，AB=10，求cos∠BCD的值．。

高中数学特殊角的三角函数值表三角函数是数学中非常重要的一个概念，而特殊角则是其中的一类特殊情况。

在高中数学学习中，特殊角的三角函数值表是必不可少的工具，通过掌握特殊角的三角函数值，我们可以简化计算，加快解题过程。

本文将给出高中数学中常见的特殊角的三角函数值表，希望读者能够掌握并灵活运用。

1. 弧度制与角度制的关系在学习三角函数值表之前，我们首先来了解一下弧度制和角度制之间的关系。

弧度制是一种角度的计量单位，常用符号为rad，而角度制则是另一种常用的角度计量单位，常用符号为°。

我们知道一个周角对应的弧度数是2π，而一个直角对应的弧度数是π/2。

所以特殊角的弧度值和三角函数值之间存在着特殊的对应关系。

2. 特殊角的三角函数值表下面给出一些高中数学中常见的特殊角的三角函数值表：2.1. 0°、90°、180°、270°•0°对应的弧度为0，sin(0)=0，cos(0)=1，tan(0)=0•90°对应的弧度为π/2，sin(π/2)=1，cos(π/2)=0，tan(π/2)=∞•180°对应的弧度为π，sin(π)=0，cos(π)=-1，tan(π)=0•270°对应的弧度为3π/2，sin(3π/2)=-1，cos(3π/2)=0，tan(3π/2)=∞2.2. 30°、45°、60°•30°对应的弧度为π/6，sin(π/6)=1/2，cos(π/6)=√3/2，tan(π/6)=√3/3•45°对应的弧度为π/4，sin(π/4)=√2/2，cos(π/4)=√2/2，tan(π/4)=1•60°对应的弧度为π/3，sin(π/3)=√3/2，cos(π/3)=1/2，tan(π/3)=√32.3. 120°、135°、150°•120°对应的弧度为2π/3，s in(2π/3)=√3/2，cos(2π/3)=-1/2，tan(2π/3)=-√3•135°对应的弧度为3π/4，sin(3π/4)=√2/2，cos(3π/4)=-√2/2，tan(3π/4)=-1•150°对应的弧度为5π/6，sin(5π/6)=1/2，cos(5π/6)=-√3/2，tan(5π/6)=-√3/32.4. 210°、225°、240°•210°对应的弧度为7π/6，sin(7π/6)=-1/2，cos(7π/6)=-√3/2，tan(7π/6)=√3/3•225°对应的弧度为5π/4，sin(5π/4)=-√2/2，cos(5π/4)=-√2/2，tan(5π/4)=-1•240°对应的弧度为4π/3，sin(4π/3)=-√3/2，cos(4π/3)=-1/2，tan(4π/3)=-√3结语通过掌握特殊角的三角函数值表，我们可以更加轻松地处理三角函数的计算，解题时也能更加迅速地得出答案。

2.2 30°，45°，60°角的三角函数值一、选择题（共8小题，4*8=32）1．若α为锐角，且3tan(α＋10°)＝3，则锐角α为( ) A．30°B．60°C．20°D．50°2．计算sin245°＋cos 30°·tan 60°，其结果是()A．2 B．1 C.52 D.543．已知α为锐角，若sin(α－10°)＝32，则α的度数为()A．30°B．40°C．60°D．70°4．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC ＝2，则点B的坐标为()A．(2，1) B．(1，2)C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)5．将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是()A.23 3 cm B.43 3 cm C. 5 cm D．2 cm6. 在△ABC中，若∠A，∠B满足|cos A－32|＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小是()A．45°B．60°C．75°D．105°7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是()A．tan A＝sin A cos BB．sin2 A＋cos2 A＝1C．sin2 A＋sin2 B＝1D．tan A·tan B＝18．已知α，β都是锐角，如果sin α＝cos β，那么α与β之间满足的关系是()A．α＝βB．α＋β＝90°C．α－β＝90°D．β－α＝90°二．填空题（共6小题，4*6=24）9．cos 30°=________，sin 60°＝________10. 已知∠A是锐角，且满足3tan A－3＝0，则∠A的度数为_______.11．已知α为锐角，cos(90°－α)＝12，则α＝________．12．已知α，β均为锐角，且满足|sinα－12|＋（tanβ－1）2＝0，则α＋β＝__________．13．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝12，cos B＝32，则△ABC的形状是___________.14．已知∠A为锐角，且sin(∠A＋15°)＝22，则∠A＝________．三．解答题（共6小题，44分）15．(6分) 计算：(1)2sin45°－tan60°·cos30°；(2)sin30°cos60°－tan45°＋3＋tan30°.16．(8分) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝102，AB＝20.求∠A的度数．17．(8分) 数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上．若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题18．(10分) 如图，在△ABC中，AC＝1，AB＝2，∠A＝60°，求BC的长．19．(12分) 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6 m，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α.(2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．。