四边形问题

四边形之存在性问题（一）平移法解决两定两动型平行四边形的存在性问题两定两动型的平行四边形存在性问题是9年级常见的试题，也是中考的热点题型，所以此类问题一定要重视。

平行四边形存在性问题最终就是求某点的坐标，传统的方法一般是把直线和抛物线的解析式联立成方程组，求出方程组的解就可以得到点的坐标，这种方法往往涉及到繁复的计算。

而用平移法解决此类问题，构思巧妙，思路简洁流畅，计算量小，对一般学生都能够很轻松的接受。

平行四边形的平移，如下图，平行四边形ABCD在坐标系中，点A和B的坐标分别为,(ma、)b，根据平行四边形的性质和平移原理，B点怎么移动到A点，C点就怎么移),(n动到D点，比如若点B先向右平移7个单位，再向下平移5个单位得到点A，那么同样的把点C的“横坐标+7”“纵坐标-5”即可到点D的坐标。

这个方法可以在坐标系中求解有关平行四边形的坐标问题，很实用，下面就要用到。

【解题思路】1.存在性问题处理框架：①研究背景图形；②根据不变特征，确定分类标准；③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解；④结果验证；2.平行四边形存在性问题特征举例：（1）分析定点、动点；（2）①边或对角线，利用平移确定点的坐标；②两定两动，连接定线段，若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的对角线，则定线段绕中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标；（3）结合图形进行验证；附：（线段的中点坐标公式课本上没有，但对于9年级学生来说在刷题时要经常用到，所以必须熟记).）如果线段AB 的两个端点坐标分别为),(),,(2211y x y x ， 中点M 的坐标记作),(y x ,则221x x x +=，221y y y += 即中点坐标M )2,2(2121y y x x ++【典型例题】【例1】 如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ． （1）求直线l 的表达式；（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．【分析】以AC 为边时，可作1ACBD 与B ACD 3；以AC 为对角线时，可作2ABCD ;故一共3个点；【解答】（1）将（2，3）代入2+=kx y221+=∴x y ， )2,0(),0,4(B A -∴,向下平移3个单位，得121-=x y ，∴直线l 的表达式为121-=x y ； （2）121-=x y∴C 点坐标为（2，0），当AB 为对角线时，D 点坐标为（-6，2）， 当AC 为对角线时，D 点坐标为（-2，-2）， 当BC 为对角线时，D 点坐标为（6，2）；【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3，0)，点B 的坐标为A (0， 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标； （3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【分析】（1）直线AB 的解析式只要将点代入b kx y +=即可； （2）这是两定两动的题型，利用菱形的对角线垂直平分画图进行解决；（3）两定两动的题型，分别以BD 为边与对角线进行作图，以BD 为边作图，再以平移求点即可，以BD 为对角线作图，求点时需要运用中点公式进行求解比较方便； 【解答】（1）,AB y kx b =+设直线的解析式为3044344- 4.3k b b k b AB y x +=⎧∴⎨=⎩⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩∴=+直线的解析式为（2）,BCOD 四边形是菱形 ,,(0,2),2,4324,,323(,2),23(-,2).2OB CD OB CD OB C y y x x C D ∴⊥∴==-+=∴∴且与互相平分的中点坐标为点的纵坐标是把代入得点坐标为点坐标为（3）339(6)(,2)(,2).222P --点的坐标为，或或【例3】如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标． 【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【分析】（1）以C 为线段的中点，求解点C 的坐标，再由点A 的坐标两个点求出函数解析式；（2）四边形ACPB 为平行四边形，ACPB 顺次联结，故只有一种情况AC//BP,AB//CP,利用平移求解点P 的坐标；（3）三定一动的题型，利用已知定线段作为边或者对角线时，利用平移的方法求解点P 的坐标；【解答】（1）212,y x =+函数的解析式为6,00,120,6,6061,6,6;A B OB C AC y kx b b k b k b AM y x ∴-∴=+=⎧∴⎨=-+⎩∴==∴=+（）,（）,点C 为线段的中点,（）,设直线的解析式为：直线的解析式为： （2）,ACPB 四边形是平行四边形 ,,,,,6,6,18,6,18;PC AB PC AB PB AC PB AC P y Q PQB AOC PQ AO BQ CO QO QB OB P ∴==∆≅∆∴====∴=+=∴且∥且∥如图过点作轴的垂线，垂足为可证（）（3）,BC 当为对角线时(6,18),,(6,6),,(0,6),(6,18)(6,6)(6,6).P AB P AC P P --∴---点坐标为当为对角线时点坐标为当为对角线时点坐标为点坐标为或或。

A B CD B ()E A BC DE F 2()1()F ED ABC AB CD EF四边形题型归纳题型一：翻折问题（特殊四边形的折叠问题）1、沿特殊四边形的对角线折叠【例1】如图，矩形纸片ABCD ，AB=2， ∠ADB=30°，沿对角线BD 折叠（使△ABD 和△EBD 落在同一平面内），则A 、E 两点间的距离为____________.2、沿特殊四边形的对称轴折叠【例2】如图，已知矩形ABCD 的边AB=2，AB≠BC ，矩形ABCD 的面积为S ，沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为__________.3.使特殊四边形的对角顶点重合折叠【例3】如图，梯形纸片ABCD ， ∠B=60°，AD ∥BC ，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕为AE ，则CE=___________.4.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠【例4】如图，折叠矩形的一边CD ，使点C 落在AB 上的点F 处，已知AB=10cm ， BC=8cm ，则EC 的长为________.KE FGBDACPQABCDN MEE 'A 'ABC DD 'C 'A BCD E F 5.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠【例5】如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，将梯形对折，使点D 、C 分别落在AB 上的D ′、C ′处，折痕为EF ，若CD=3cm ，EF=4cm ，则AD ′+BC ′=________cm.6.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1)【例6】如图，已知EF 为正方形ABCD 的对称轴，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点处，则∠DKG=_____.7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)【例7】如图，有一块面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边的中点，将C 点折至MN 上，落在点P 的位置，折痕为BQ ，连结PQ.(1)求MP 的长度; ⑵求证：以PQ 为边长的正方形的面积等于13.8.两次不同方式的折叠【例8】如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后AB 与EB 在同一条直线上,则∠CBD 的度数为（ ）A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定【变式1】在矩形ABCD中AB=4，BC=3，按下列要求折叠，试求出所要求结果（1）如图，把矩形ABCD沿着对角线BD折叠得△EBD，BE交CD于点F，求S△BFD；（2）如图，折叠矩形ABCD，使AD与对角线BD重合，求折痕DE的长；（3）如图，折叠矩形ABCD，使点D与点B重合，求折痕EF的长；（4）如图，E是AD上一点，把矩形ABCD沿着BE折叠，若点A恰好落在CD上的点F处，求AE的长。

一．折叠问题1.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．若矩形纸片的宽AB＝4，则折痕BM的长为（）A．B．C．8D．8【分析】在Rt△ABM中，解直角三角形求出∠BA′E＝30°，再证明∠ABM＝30°即可解决问题．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕EF，∴AB＝2BE，∠A′EB＝90°，EF∥BC．∵再一次折叠纸片，使点A落在EF的A′处并使折痕经过点B，得到折痕BM，∴A′B＝AB＝2BE．在Rt△A′EB中，∵∠A′EB＝90°，∴sin∠EA′B＝＝，∴∠EA′B＝30°，∵EF∥BC，∴∠CBA′＝∠EA′B＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABA′＝60°，∴∠ABM＝∠MBA′＝30°，∴BM＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了翻折变换，锐角三角函数的定义，平行线的性质，难度适中，熟练掌握并灵活运用翻折变换的性质是解题的关键．2.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，根据Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，可得即a2+（2b）2＝（3a）2，进而得出的值．【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，∴，∴的值为，故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．3.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为或．【分析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．【解答】解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝a．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴＝，即＝，解得a1＝，a2＝﹣（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．4.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为．【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF ≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ADF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠F AH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠F AH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，∴12×5＝13AH，∴AH＝，∴AG＝2AH＝，∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE﹣AG＝13﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，M为AD上一点，将△ABM沿BM翻折至△EBM，ME和BE分别与CD相交于O，F两点，且OE＝OD，则AM的长为 4.8．【分析】由折叠的性质得出EM＝AM，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODM ≌△OEF，得出OM＝OF，MD＝EF，设AM＝EM＝x，则MD＝EF＝6﹣x，DF＝x，求出CF、BF，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，根据题意得：△ABM≌△EBM，∴EM＝AM，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODM和△OEF中，，∴△ODM≌△OEF（ASA），∴OM＝OF，MD＝EF，∴DF＝EM，设AM＝EM＝x，则DM＝EF＝6﹣x，DF＝x，∴CF＝8﹣x，BF＝8﹣（6﹣x）＝2+x，根据勾股定理得：BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝4.8，∴AM＝4.8；故答案为：4.8．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．6.如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是cm．【分析】设EF＝FD＝x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∵AE＝EB＝3，EF＝FD，设EF＝DF＝x．则AF＝6﹣x，在RT△AEF中，∵AE2+AF2＝EF2，∴32+（6﹣x）2＝x2，∴x＝，∴AF＝6﹣＝cm，故答案为．【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型．7．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是﹣1．【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE 的长度，用CE﹣A′E即可求出结论．【解答】解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝AB＝1．在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，∴CE＝＝，∴A′C的最小值＝CE﹣A′E＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A′C取最小值时点A′的位置是解题的关键．8．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为．【分析】作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC＝120°，再在在Rt△BCE中计算出BE＝CE＝，接着证明BE⊥AB，设AF＝x，利用折叠的性质得到EF＝AF，FG垂直平分AE，∠EFG ＝∠AFG，所以在Rt△BEF中利用勾股定理得（2﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，接下来计算出AE，从而得到OA的长，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解．【解答】解：作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴△BDC为等边三角形，∠ADC＝120°，∵E点为CD的中点，∴CE＝DE＝1，BE⊥CD，在Rt△BCE中，BE＝CE＝，∵AB∥CD，∴BE⊥AB，设AF＝x，∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD 上，∴EF＝AF，FG垂直平分AE，∠EFG＝∠AFG，在Rt△BEF中，（2﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，在Rt△DEH中，DH＝DE＝，HE＝DH＝，在Rt△AEH中，AE＝＝，∴AO＝，在Rt△AOF中，OF＝＝，∴cos∠AFO＝＝．故答案为．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．9．如图，在△ABC中，AB＝10，∠B＝60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD＝BE＝4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为2．【分析】作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形，从而GD＝B′F＝2，然后根据勾股定理得到B′G ＝2，然后再次利用勾股定理求得答案即可．【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，∵∠B＝60°，BE＝BD＝4，∴△BDE是边长为4的等边三角形，∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE，∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，∴GD＝B′F＝2，∵B′D＝4，∴B′G＝＝＝2，∵AB＝10，∴AG＝10﹣6＝4，∴AB′＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是根据等边三角形的判定定理判定等边三角形，难度不大．10.如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．【分析】（1）由矩形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ＝∠AMP＝∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）先证明MD＝MQ，然后根据sin∠DMF＝＝，设DF＝3x，MD＝5x，表示出AP、BP、BQ，再根据△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．【解答】解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，根据折叠的性质可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，∴∠APM+∠BPQ＝∠EPM+∠EPQ＝90°，∵∠APM+∠AMP＝90°，∴∠BPQ＝∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；（2）∵AD∥BC，∴∠DQC＝∠MDQ，根据折叠的性质可知：∠DQC＝∠DQM，∴∠MDQ＝∠DQM，∴MD＝MQ，∵AM＝ME，BQ＝EQ，∴BQ＝MQ﹣ME＝MD﹣AM，∵sin∠DMF＝＝，∴设DF＝3x，MD＝5x，∴BP＝P A＝PE＝，BQ＝5x﹣1，∵△AMP∽△BPQ，∴，∴，解得：x＝（舍）或x＝2，∴AB＝6．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，在求AB长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式．11.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC＝∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB＝∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH＝AP+PD+DH+HC＝AD+CD＝8；（3）利用已知得出△EFM≌△BP A，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2＝BE2，利用二次函数的最值求出即可．【解答】（1）证明：如图1，∵PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB．又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC＝∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC．∴∠APB＝∠BPH．（2）△PHD的周长不变为定值8．证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB＝∠BPH，在△ABP和△QBP中，∴△ABP≌△QBP（AAS）．∴AP＝QP，AB＝BQ．又∵AB＝BC，∴BC＝BQ．又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH≌△BQH．∴CH＝QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH＝AP+PD+DH+HC＝AD+CD＝8．（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM＝BC＝AB．又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF＝∠ABP+∠BEF＝90°，∴∠EFM＝∠ABP．又∵∠A＝∠EMF＝90°，∴△EFM≌△PBA（ASA）．∴EM＝AP＝x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2＝BE2．解得，．∴．又∵折叠的性质得出四边形EFGP与四边形BEFC全等，∴．即：．配方得，，∴当x＝2时，S有最小值6．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．12.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在A′处．（1）求证：B′E＝BF；（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予说明．【分析】（1）首先根据题意得B′F＝BF，∠B′FE＝∠BFE，接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E＝BF；（2）解答此类题目时要仔细读题，根据三角形三边关系求解分类讨论解答，要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答．【解答】（1）证明：由题意得B′F＝BF，∠B′FE＝∠BFE，∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B′EF＝∠BFE，∴∠B′FE＝∠B'EF，∴B′F＝B′E，∴B′E＝BF；（2）a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2+b2＝c2．证明：连接BE，则BE＝B′E，∵由（1）知B′E＝BF＝c，∴BE＝c．在△ABE中，∠A＝90°，∴AE2+AB2＝BE2，∵AE＝a，AB＝b，∴a2+b2＝c2；（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．证明：连接BE，则BE＝B′E．∵由（1）知B′E＝BF＝c，∴BE＝c，∵在△ABE中，AE+AB＞BE，∴a+b＞c．【点评】此题主要考查了矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，利用等角对等边、翻折等知识来证明是解题关键．二．最值问题1.如图：在矩形ABCD中，AB＝1．BC＝，P为边AD上任意一点，连接PB，则PB+PD的最小值为（）A．+B．2C．D．【分析】连接BD，根据矩形ABCD中，AB＝DC＝1．BC＝，可得tan∠DBC＝＝得∠DBC＝30°，作∠DBN＝∠DBC＝30°，过点D作DM⊥BN于点M，BN交AD 于点P，此时BP+PD＝BP+PM最小，最小值为BM的长．【解答】解：如图，连接BD，在矩形ABCD中，AB＝DC＝1．BC＝，∴tan∠DBC＝＝∴∠DBC＝30°作∠DBN＝∠DBC＝30°，过点D作DM⊥BN于点M，BN交AD于点P．∴∠MDB＝60°∵AD∥BC∴∠PDB＝∠DBC＝30°∴∠MDP＝30°∴PM＝PD此时BP+PD＝BP+PM最小，最小值为BM的长，∵∠MBD＝∠CBD∠BMD＝∠C＝90°BD＝BD∴△BMD≌△BCD（AAS）∴BM＝BC＝答：PB+PD的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确找到点P．2.如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是﹣1．【分析】过点M作MH⊥CD，由勾股定理可求MC的长，由题意可得点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，则当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值．【解答】解：过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝3∴AM＝1，MD＝2∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝∴CH＝4∴MC＝＝∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1故答案为：﹣1【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，勾股定理，确定A'C长度有最小值时，点A'的位置是本题的关键．2.在平面直角坐标系中，已知，A（2，0），C（0，﹣1），若P为线段OA上一动点，则CP+AP的最小值为．【分析】可以取一点D（0，1），连接AD，作CN⊥AD于点N，PM⊥AD于点M，根据勾股定理可得AD＝3，证明△APM∽△ADO得＝，PM＝AP．当CP⊥AD时，CP+AP＝CP+PM的值最小，最小值为CN的长．【解答】解：如图，取一点D（0，1），连接AD，作CN⊥AD于点N，PM⊥AD于点M，在Rt△AOD中，∵OA＝2，OP＝1∴AD＝＝3∠P AM＝∠DAO，∠AMP＝∠AOD＝90°∴△APM∽△ADO∴＝即＝∴PM＝AP∴PC+AP＝PC+PM∴当CP⊥AD时，CP+AP＝CP+PM的值最小，最小值为CN的长．∵△CND∽△AOD∴＝即＝∴CN＝．所以CP+AP的最小值为．故答案为．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是准确找到点P．三．代数式表示结果的问题1.如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．（1）如果cos∠DBC＝，求EF的长；（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；（3）连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．【分析】（1）利用S△BEF＝BF•AB＝EF•BG，即可求解；（2）y＝＝＝＝，tanα＝＝＝，即可求解；（3）分GF＝FC、CF＝CG两种情况，求解即可．【解答】解：（1）将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，∴BG⊥EF，BG＝AB＝6，cos∠DBC＝＝＝，则：BF＝9，S△BEF＝BF•AB＝EF•BG，即：9×6＝6×EF，则EF＝9；（2）过点A作AH⊥BG交于点H，连接AG，设：BF＝a，在Rt△BGF中，cos∠GBF＝cosα＝＝，则tanα＝，sinα＝，y＝＝＝＝…①，tanα＝＝＝，解得：a2＝36+（）2…②，把②式代入①式整理得：y＝（x）；（3）①当GF＝FC时，FC＝10﹣a＝GF＝a sinα＝，把②式代入上式并解得：x＝，②当CF＝CG时，同理可得：x＝；故：AD的长为或．【点评】本题为四边形综合题，基本方法是利用解直角三角形的方法，确定相应线段间的关系，此类题目难度较大．2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝3，点E在边BC 上，tan∠AEC＝3，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE 于点N，设DM＝x，AN＝y．（1）求BE的长；（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM 的长．【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H，解直角三角形求出EH，CH即可解决问题．（2）延长AD交BM的延长线于G．利用平行线分线段成比例定理构建关系式即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点M在线段DC上时，∠BNE＝∠ABC＝45°．②如图3﹣2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB＝∠ABE＝45°，利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠C＝90°，∴∠AHC＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形AHCD是矩形，∴AD＝CH＝2，AH＝CD＝3，∵tan∠AEC＝3，∴＝3，∴EH＝1，CE＝1+2＝3，∴BE＝BC﹣CE＝5﹣3＝2．（2）延长AD交BM的延长线于G．∵AG∥BC，∴＝，∴＝，∴DG＝，AG＝2+＝，∵＝，∴＝，∴y＝（0＜x＜3）．（3）①如图3﹣1中，当点M在线段DC上时，∠BNE＝∠ABC＝45°，∵△EBN∽△EAB，∴EB2＝EN•AE，∴，解得x＝．②如图3﹣2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB＝∠ABE＝45°，∵△BNA∽△EBA，∴AB2＝AE•AN，∴（3）2＝•[+解得x＝13，综上所述DM的长为或13．【点评】本题考查四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

专题9.8 四边形中的最值问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！1．（2021春•德阳期末）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C 到坐标原点O的最大距离为（）A．1+√2B．1+√3C．3D．√5【解题思路】取AD的中点E，连接OE，CE，OC，求得CE=√2，OE＝1，再根据OC ≤CE+OE＝1+√2，即可得到点C到原点O距离的最大值是1+√2．【解答过程】解：如图，取AB的中点E，连接OE，CE，OC，∵∠AOB＝90°，∴Rt△AOB中，OE=12AB＝1，又∵∠ABC＝90°，AE＝BE＝CB＝1，∴Rt△CBE中，CE=√12+12=√2，又∵OC≤CE+OE＝1+√2，∴OC的最大值为1+√2，即点C到原点O距离的最大值是1+√2，故选：A．2．（2021春•西岗区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（）A．2.4B．2C．1.5D．1.2【解题思路】AM=12EF=12AP，所以当AP最小时，AM最小，根据垂线段最短解答．【解答过程】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM=12AP，由勾股定理知BC=√32+42=5，∵S△ABC=12AB•AC=12BC•AP，∴AP=3×45=125，∴AM=12AP=65=1.2，故选：D．3．（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（）A．6√2B．3√2C．4D．3【解题思路】连接BP，根据PE⊥AB，PF⊥BC得到四边形PEBF为矩形，得EF＝BP，BP最短时即BP⊥AC，即可求解．【解答过程】解：连接BP，如图，，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴四边形PEBF为矩形，∴EF＝BP，当BP⊥AC，BP最短，在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，根据勾股定理可解得BP＝3√2，∴EF得最小值为3√2．故选：B．4．（2021春•重庆期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值是（）A．√2B．2C．√8D．4【解题思路】根据正方形的性质得到∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO，证得△AOE≌△DOF，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，求出OE的范围，借助勾股定理即可解决问题．【解答过程】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，在△AOE 与△DOF 中，{∠EAO =∠FDO AO =DO ∠AOE =∠DOF，∴△AOE ≌△DOF （ASA ），∴OE ＝OF （设为λ）；∴△EOF 是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF 2＝OE 2+OF 2＝2λ2；∴EF =√2OE =√2λ，∵正方形ABCD 的边长是4，∴OA ＝2√2，O 到AB 的距离等于2（O 到AB 的垂线段的长度）， 由题意可得：2≤λ≤2√2，∴2√2≤EF ≤4．所以线段EF 的最小值为2√2．故选：C ．5．（2021春•马鞍山期末）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，BC =2√3，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE 和EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（ ）A ．√3B ．√62C ．√63D ．1 【解题思路】连接AF ，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF ，求出AF 的最小值即可解决问题．【解答过程】解：连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝2√3，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是△AEF 的中位线，∴GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，AF 最小，GH 得到最小值，∵∠B ＝45°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF =√22AB =√22×2√3=√6，∴GH =√62，即GH 的最小值为√62， 故选：B ．6．（2021春•潜山市期末）如图，点E 是边长为8的正方形ABCD 的对角线BD 上的动点，以AE 为边向左侧作正方形AEFG ，点P 为AD 的中点，连接PG ，在点E 运动过程中，线段PG 的最小值是（ ）A ．2B ．√2C ．2√2D ．4√2【解题思路】连接DG ，可证△AGD ≌△AEB ，得到G 点轨迹，利用点到直线的最短距离进行求解．【解答过程】解：连接DG ，如图，，∵四边形ABCD 、四边形AEFG 均为正方形，∴∠DAB ＝∠GAE ＝90°，AB ＝AD ，AG ＝AE ，∵∠GAD+∠DAE＝∠DAE+∠AE，∴∠GAD＝∠BAE，∵AB＝AD，AG＝AE，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴∠PDG＝∠ABE＝45°，∴G点轨迹为线段DH，当PG⊥DH时，PG最短，在Rt△PDG中，∠PDG＝45°，P为AD中点，DP＝4，设PG＝x，则DG＝x，由勾股定理得，x2+x2＝42，解得x=2√2，故选：C．7．（2021春•蚌埠期末）如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F 为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB．若PB的最小值为5√2，则AD的值为（）A．5B．6C．7D．8【解题思路】F点在运动时，P点轨迹为平行EC的线段，BP最短为点到直线的最短距离．【解答过程】解：当F运动时，P点轨迹为GH，如图，，∵AB：AD＝2：1，∴AD＝AE＝EB＝BC，∴∠ADE＝∠DEA＝∠CEB＝∠ECB＝45°，∴∠DEC＝90°，BP的最距离为BP⊥GH时，此时P点与H点重合，F点与C点重合．∵H为CD中点，∴CH＝CB，∠GHB＝90°，在Rt△HCB中，BH＝5√2，∴CH＝CB＝5，故选：A．8．（2021春•南安市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q 在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．8B．10C．12D．20【解题思路】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．【解答过程】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，则BE＝2AB＝8，∵P A⊥BE，∴P A是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE=√BE2+BC2=√82+62=10，∴PC+PB的最小值为10，即PC+QD的最小值为10，故选：B ．9．（2021春•连云港期末）如图，线段AB 的长为8，点D 在AB 上，△ACD 是边长为3的等边三角形，过点D 作与CD 垂直的射线DP ，过DP 上一动点G （不与D 重合）作矩形CDGH ，记矩形CDGH 的对角线交点为O ，连接OB ，则线段BO 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．4√3D ．5√3【解题思路】连接AO ，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC ＝OD ，再证明△ACO ≌△ADO ，则∠OAB ＝30°；点O 一定在∠CAB 的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB ⊥AO 时，OB 的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．【解答过程】解：连接AO ，∵四边形CDGH 是矩形，∴CG ＝DH ，OC =12CG ，OD =12DH ，∴OC ＝OD ，∵△ACD 是等边三角形，∴AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，在△ACO 和△ADO 中，{AC =AD AO =AO CO =DO， ∴△ACO ≌△ADO （SSS ），∴∠OAB＝∠CAO＝30°，∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∴OB=12AB=12×8＝4，即OB的最小值为4．故选：B．10．（2021春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5B．9C．9√2D．92√2【解题思路】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM．∠ADM＝90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=√22AM，当AM的值最大时，AD的值最大，根据三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题．【解答过程】解：如图，将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD=√22AM，∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤9，∴AM 的最大值为9， ∴AD 的最大值为9√22．故选：D ．11．（2021春•邗江区期末）如图，以边长为4的正方形ABCD 的中心O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E 、F 两点，则线段EF 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．√2D ．2√2【解题思路】如图，作辅助线；证明△AOE ≌△DOF ，进而得到OE ＝OF ，此为解决该题的关键性结论；求出OE 的范围，借助勾股定理即可解决问题．【解答过程】解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠EAO ＝∠FDO ＝45°，AO ＝DO ；∵∠EOF ＝90°，∠AOD ＝90°，∴∠AOE ＝∠DOF ；在△AOE 与△DOF 中，{∠EAO =∠FDO AO =DO ∠AOE =∠DOF，∴△AOE ≌△DOF （ASA ），∴OE ＝OF （设为λ）；∴△EOF 是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF 2＝OE 2+OF 2＝2λ2；∴EF =√2OE =√2λ，∵正方形ABCD 的边长是4，∴OA＝2√2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤2√2，∴2√2≤EF≤4．所以线段EF的最小值为2√2．故选：D．12．（2021•宁蒗县模拟）如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（）A．2√10B．4√2C．6D．8【解题思路】作AM⊥AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【解答过程】解：如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴BD⊥AC，∵AM⊥AC，∴AM∥BD，∴AM∥EF，∵AM＝EF，AM∥EF，∴四边形AEFM是平行四边形，∴AE＝FM，∴AE+CF＝FM+FC＝CM，根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°∴BC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，在Rt△CAM中，CM=√AM2+AC2=√22+62=2√10∴AE+CF的最小值为2√10．故选：A．13．（2021春•宜兴市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．√12B．√20C．√48D．√80【解题思路】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答过程】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH=√AH2+AD2=√82+42=√80，∴BF+DE最小值为√80．故选：D．14．（2021春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2√3，BC＝6，P为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC的最小值是（）A．4√3+3B．2√21C．2√3+6D．4√5【解题思路】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【解答过程】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴P A+PB+PC＝P A+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，P A+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB=ABBC=√33，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4√3，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE=√(4√3)2+62=2√21，故选：B．15．（2021•江阴市模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（）A．√5+3B．2√13−2C．2√10−65D．2√2+3【解题思路】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF＝∠MEG，所以再证明∠EPF＝90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI=12BE，由OD﹣OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值．【解答过程】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD，∴四边形ADME是矩形，∴EM＝AD＝AB，∵BF＝EG，∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，∵AB∥CD∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB∵∠ABF+∠AFB＝90°∴∠ABF+∠BEG＝90°∴∠EIF＝90°，∴BF⊥EG；∵△EIB是直角三角形，∴OI=12BE，∵AB＝6，AE＝2，∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，∵OD﹣OI≤DI，∴当O、D、I共线时，DI有最小值，∵IO=12BE＝2，∴OD=√AD2+AO2=2√13，∴ID＝2√13−2，即DI的最小值为2√13−2，故选：B．16．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 4.8．【解题思路】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．【解答过程】解：设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO=12AC＝3，BO＝DO=12BD＝4，∴BC=√OB2+OC2=√42+32=5，∵S菱形ABCD=12×AC×BD＝BC×AP，∴AP=245=4.8，故答案为：4.8．17．（2021春•椒江区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接BD，E为BD上一动点，P为CE中点，连接P A，则P A的最小值是2√13．【解题思路】P点运动轨迹为△CDB的中位线，即求A点到这条中位线的最短距离．【解答过程】解：当点E运动时，P点轨迹为△CBD中位线GH，如图，，∵点A到直线GH的最短距离为AF，但是E点在运动中，P点轨迹为GH，∴点A到线段GH的最短距离为AG，∵G为CD中点，∴DG＝4，在Rt △ADG 中，AD ＝6，DG ＝4， ∴AG =√62+42=2√13．故答案为2√13．18．（2021春•宁德期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，点E 是CD 上一个动点，点F ，G 分别是AB ，AE 的中点，则线段FG 的最小值是 32 ．【解题思路】连接BE ，可得FG 是△ABE 的中位线，要使线段FG 最小，需BE 最小，当点E 与点C 重合时，BE 最小为3，进而可得线段FG 的最小值．【解答过程】解：如图，连接BE ，∵点F ，G 分别是AB ，AE 的中点，∴FG 是△ABE 的中位线，∴FG =12BE ，要使线段FG 最小，需BE 最小，当点E 与点C 重合时，BE 最小为3，则线段FG 的最小值是32． 故答案为：32． 19．（2021春•东海县期末）如图，在菱形ABCD 中，AC ＝24，BD ＝10，对角线交于点O ，点E 在AD 上，且DE =14AD ，点F 是OB 的中点，点G 为对角线AC 上的一动点，则GE ﹣GF 的最大值为 134 ．【解题思路】由菱形的性质可得AO ＝CO ＝12，BO ＝DO ＝5，AC ⊥BD ，在Rt △AOD 中，由勾股定理可求AD 的长，作点F 关于AC 的对称点F '，连接GF '，取AD 中点H ，连接OH ，可得GF ＝GF '，OF ＝OF '，则GE ﹣GF ＝GE ﹣GF '≤EF '，即当点G 在EF '的延长线时，GE ﹣GF 有最大值为EF '的长，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可求解．【解答过程】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ＝12，BO ＝DO ＝5，AC ⊥BD ， ∴AD =√AO 2+DO 2=√144+25=13，如图，作点F 关于AC 的对称点F '，连接GF '，取AD 中点H ，连接OH ，∵AC ⊥BD ，点H 是AD 中点，∴OH ＝HD =12AD =132，∵点F 与点F '关于AC 对称，∴GF ＝GF '，OF ＝OF '，∴GE ﹣GF ＝GE ﹣GF '≤EF '，∴当点G 在EF '的延长线时，GE ﹣GF 有最大值为EF '的长，∵DE =14AD ，HD =12AD ，∴DE ＝EH ，∵点F 是OB 的中点，∴OF =12OB ＝OF '=12DO ，∴EF '=12OH =134，故答案为：134．20．（2021•淄博）两张宽为3cm 的纸条交叉重叠成四边形ABCD ，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD 上的动点P 到A ，B ，C 三点距离之和的最小值是 6√2cm ．【解题思路】作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB＝BC＝6cm，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，由旋转的性质，A′B＝AB＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，A'BA＝60°，所以△P′BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当P A+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P 到A，B，C三点距离之和的最小值．【解答过程】解：如图，作DE⊥BC于E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，∵∠α＝30°，DE＝3cm，∴CD＝2DE＝6cm，同理：BC＝AD＝6cm，由旋转的性质，A′B＝AB＝CD＝6m，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA ＝60°，∴△P′BP是等边三角形，∴BP＝PP'，∴P A+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，根据两点间线段距离最短，可知当P A+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，∴A′C=√A′B2+BC2=√62+62=6√2（cm），因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6√2cm，故答案为6√2cm．21．（2021春•龙岩期末）如图，正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，动点P沿着CA由C向A运动．连接EP，若AC＝10，CF＝8．则EP的最小值是4√3+4．【解题思路】过点E作EP⊥AC，交FC于点G，当EP⊥AC时，EP取得最小值，然后根据含30度角的直角三角形列式计算即可求出EP的最小值．【解答过程】解：如图，过点E作EP⊥AC，交FC于点G，当EP⊥AC时，EP取得最小值，∵正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，∴∠ACB＝60°，∠FCD＝90°，∴∠ACF＝30°，∴∠CGP＝∠EGF＝60°，∵∠F＝90°，∴∠FEG＝30°，设PG＝x，则CG＝2x，∴FG＝CF﹣CG＝8﹣2x，∴EG＝2FG＝2（8﹣2x），∵FG=√33EF，∴8﹣2x ＝8×√33， ∴x ＝4−4√33，∴EP ＝EG +PG ＝2（8﹣2x ）+x ＝16﹣3x ＝4√3+4．故答案为：4√3+4．22．（2021春•茅箭区校级期末）如图，已知线段AB ＝12，点C 在线段AB 上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD 为边在CD 的右侧作矩形CDEF ，连接DF ，点M 是DF 的中点，连接MB ，则线段MB 的最小值为 6 ．【解题思路】连接AM 、CM 、EM ，根据四边形CDEF 是矩形，和△ACD 是等边三角形，证明△ADM ≌△ACM ，从而求出∠CAM ＝30°，当BM ⊥AM 时，MB 有最小值，然后用含有30°角的直角三角形的性质求出MB ．【解答过程】解：连接AM 、CM 、EM ，如图：∵矩形CDEF ，M 是DF 的中点，∴C 、M 、E 共线，∴DM =12DF =12CE ＝CM ，∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC ＝60°，AD ＝AC ，在△ADM 和△ACM 中，{AD =AC DM =CM AM =AM，∴△ADM ≌△ACM （SSS ），∴∠DAM ＝∠CAM ，∵∠DAC ＝60°，∴∠CAM ＝30°，∴当BM ⊥AM 时，MB 有最小值，此时，BM =12AB =12×12＝6， 故答案为：6．23．（2021•北仑区二模）如图，△ABC 的边AB ＝3，AB 边上的中线CM ＝1，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACGH 与正方形BCDE ，连接GD ，取GD 中点N ．则点N 到线段AB 的距离最大值为 52 ．【解题思路】当GD ∥AB 时，N 点到AB 的距离最大，则AC ＝BC ，∴N 、C 、M 三点共线且MN ⊥AB ，通过证明△AMC ≌△GOC ，可以求出AM ，然后再证明出OCNG 是矩形，从而求出MN ．【解答过程】解：∵点N 到AB 的距离介于G 、D 到AB 的距离之间，∴当GD ∥AB 时，N 点到AB 的距离最大，则AC ＝BC ，∴N 、C 、M 三点共线且MN ⊥AB ，过点C 作CP ∥AB ，作GO ⊥CP ，O 为垂足，∵PC ∥AB ，∴∠PCA ＝∠CAM ，∠PCA +∠OCG ＝90°，∠OGC +∠OCG ＝90°，∴∠OGC ＝∠PCA ＝∠CAM ，在△AMC 和△GOC 中，{∠AMC =∠GOC ∠CAM =CGO AC =CG，∴△AMC ≌△GOC （AAS ），∴GO ＝AM =12AB =32，∵GO ⊥PC ，MN ⊥AB ，PC ∥AB ，∴PC ⊥MN ，MN ⊥GD ，∴四边形GDCN 是矩形，∴GO ＝NC ，MN ＝CM +CN ，∵CM ＝1，GO ＝NC =32，∴MN ＝1+32=52．故答案为：52． 24．（2021•眉山）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ＝10，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且AM ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP +12PB 的最小值是 7√32 ．【解题思路】过点P 作PE ⊥BC 于E ，由菱形的性质可得AB ＝BC ＝AC ＝10，∠ABD ＝∠CBD ，可证△ABC 是等边三角形，可求∠CBD ＝30°，由直角三角形的性质可得PE =12PB ，则MP +12PB ＝PM +PE ，即当点M ，点P ，点E 共线且ME ⊥BC 时，PM +PE 有最小值为ME ，由锐角三角函数可求解．【解答过程】解：如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝AC ＝10，∴AB ＝BC ＝AC ＝10，∠ABD ＝∠CBD ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠CBD ＝30°，∵PE ⊥BC ，∴PE =12PB ，∴MP +12PB ＝PM +PE ，∴当点M ，点P ，点E 共线且ME ⊥BC 时，PM +PE 有最小值为ME ，∵AM ＝3，∴MC ＝7，∵sin ∠ACB =ME MC =√32， ∴ME =7√32，∴MP +12PB 的最小值为7√32， 故答案为7√32． 25．（2021•海安市二模）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，E 在边BC 上运动，M 、N 在对角线BD 上运动，且MN =√5，连接CM 、EN ，则CM +EN 的最小值为 115 ．【解题思路】先作C 点关于BD 的对称点F ，然后再把F 左移2个单位，下移1个单位，得到Q ，再过Q 作QE ⊥BC 于E ，交BD 于N ，连接BF ，过F 作FP ⊥BC 于P ，以B 为原点建立平面直角坐标系，求出F 的坐标，再求出Q 的坐标，即可得出答案．【解答过程】解：先作C 点关于BD 的对称点F ，然后再把F 左移2个单位，下移1个单位，得到Q ，再过Q 作QE ⊥BC 于E ，交BD 于N ，连接BF ，过F 作FP ⊥BC 于P ，以B 为原点建立平面直角坐标系，如图所示，∵AB ＝2＝CD ，BC ＝4，∴C （4，0），BF ＝BC ＝4， 由勾股定理得：BD =√BC 2+CD 2=√42+22=2√5，由三角形面积公式得：12×CR ×BD =12×BC ×CD ， 即CR =BC×CD BD =2√5=4√55， 即CF ＝2CR =8√55，由勾股定理得：BF 2﹣BP 2＝CF 2﹣CP 2，∴42﹣BP 2＝（8√55）2﹣（4﹣BP ）2， 解得：BP =125，∴FP =√42−(125)2=165， ∴F 的坐标是（125，165）， ∴Q 的坐标是（25，115），即CM +EN 的最小值为115， 故答案为：115．26．（2021•浙江自主招生）如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 2 ，最小值为 √2 ．【解题思路】连接AC 、DP ，根据三角形的面积公式得出S △DPC ＝S △APC =12AP ×CC ′，根据S 正方形ABCD ＝S △ABP +S △ADP +S △DPC ，推出BB ′+DD ′+CC ′=2AP ，根据已知得出1≤AP ≤√2，代入求出即可．【解答过程】解：连接AC、DP，S正方形ABCD＝1×1＝1，由勾股定理得：AC=√12+12=√2，∵AB＝1，∴1≤AP≤√2，∵△DPC和△APC的边CP上的高DC＝AB，∴S△DPC＝S△APC=12AP×CC′，1＝S正方形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC=12AP（BB′+DD′+CC′），BB′+DD′+CC′=2 AP，∵1≤AP≤√2，√2≤BB′+CC′+DD′≤2，故答案为：2，√2．27．（2021•乾县一模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为边AB的中点，点P在对角线BD上且PE+P A＝6，则AB长的最大值为4√3．【解题思路】连接PC，CE，AC；由已知条件可以得出PE+PC＝PE+P A＝6≥CE（当P是AE与DB的交点时取等号），再利用等边三角形的性质得出CE=√32AB，进而求出AB长的最大值．【解答过程】解：连接PC，CE，AC，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AP＝PC，∴PE+PC＝PE+P A＝6≥CE，∵∠DAB＝120°，∴∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 为线段AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴∠AEC ＝90°，∠BCE ＝30°，∴CE =√32BC =√32AB ≤6，所以AB ≤4√3，即AB 长的最大值是4√3，故答案为：4√3．28．（2021•寿光市二模）如图所示，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于点O ，AO ＝CO ＝4，BO＝DO ＝3，点P 为线段AC 上的一个动点．过点P 分别作PM ⊥AD 于点M ，作PN ⊥DC 于点N ．连接PB ，在点P 运动过程中，PM +PN +PB 的最小值等于 7.8 ．【解题思路】证四边形ABCD 是菱形，得CD ＝AD ＝5，连接PD ，由三角形面积关系求出PM +PN ＝4.8，得当PB 最短时，PM +PN +PB 有最小值，则当BP ⊥AC 时，PB 最短，即可得出答案．【解答过程】解：∵AO ＝CO ＝4，BO ＝DO ＝3，∴AC ＝8，四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD 于点O ，∴平行四边形ABCD 是菱形，AD =√AO 2+DO 2=√42+32=5，∴CD ＝AD ＝5，连接PD ，如图所示：∵S △ADP +S △CDP ＝S △ADC ，∴12AD •PM +12DC •PN =12AC •OD ，即12×5×PM +12×5×PN =12×8×3， ∴5×（PM +PN ）＝8×3，∴PM +PN ＝4.8，∴当PB 最短时，PM +PN +PB 有最小值，由垂线段最短可知：当BP ⊥AC 时，PB 最短，∴当点P 与点O 重合时，PM +PN +PB 有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，故答案为：7.8．29．（2021•河西区二模）已知正方形ABCD 的边长为2，EF 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且满足BE ＝CF ，连接AE ，AF ，则AE +AF 的最小值为 2√5 ．【解题思路】连接DE ，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接BA ′、EA ′，易得AE +AF ＝AE +DE ＝A 'E +DE ，当D 、E 、A ′在同一直线时，AE +AF 最小，利用勾股定理求解即可．【解答过程】解：连接DE ，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接BA ′、EA ′，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝CD ＝BC ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∵BE ＝CF ，∴DF ＝CE ，在△DCE 与△ADF 中，{DC =AD ∠BCD =∠ADC CE =DF，∴△DCE ≌△ADF （SAS ），∴DE ＝AF ，∴AE +AF ＝AE +DE ，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接BA ′、EA ′，则AE ＝A ′E ，即AE +AF ＝AE +DE ＝A 'E +DE ，当D 、E 、A ′在同一直线时，AE +AF 最小，AA ′＝2AB ＝4，此时，在Rt △ADA ′中，DA ′=√22+42=2√5， 故AE +AF 的最小值为2√5．故答案为：2√5．30．（2021春•鹿城区校级期中）学习新知：如图1、图2，P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP 2+CP 2＝BP 2+DP 2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC 中，CA ＝4，CB ＝6，D 是△ABC 内一点，且CD ＝2，∠ADB ＝90°，则AB 的最小值为 4√3−2 ．【解题思路】以AD 、BD 为边作矩形ADBE ，连接CE 、DE ，由矩形的性质得出AB ＝DE ，由题意得CD 2+CE 2＝CA 2+CB 2，求出CE ＝4√3，当C 、D 、E 三点共线时，DE 最小，得出AB 的最小值＝DE 的最小值＝CE ﹣CD ＝4√3−2．【解答过程】解：以AD 、BD 为边作矩形ADBE ，连接CE 、DE ，如图所示：则AB ＝DE ，由题意得：CD 2+CE 2＝CA 2+CB 2，即22+CE 2＝42+62，解得：CE＝4√3，当C、D、E三点共线时，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝4√3−2；故答案为：4√3−2．。

专题18.8 四边形中的最值问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！一．选择题（共10小题）1．（2022春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）A．43+3B．221C．23+6D．45【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE 的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC=AB2+BC2=43，∴AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝43，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE=(43)2+62=221，故选：B．2．（2022•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）2 A．5B．7C．72D．72【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝AM，CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=22推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题；【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，AM，∴AD=22∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤7，∴AM的最大值为7，，∴AD的最大值为722故选：D ．3．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，点P 是CE 上一动点，则点P 到边BD ，BC 的距离之和PM +PN 的值（ ）A ．有最大值aB ．有最小值22a C ．是定值a D ．是定值22a 【分析】连接BP ，作EF ⊥BC 于点F ，由正方形的性质可知△BEF 为等腰直角三角形，BE ＝a ，可求EF ，利用面积法得S △BPE +S △BPC ＝S △BEC ，将面积公式代入即可．【解答】解：如图，连接BP ，作EF ⊥BC 于点F ，则∠EFB ＝90°，∵正方形的性质可知∠EBF ＝45°，∴△BEF 为等腰直角三角形，∵正方形的边长为a ，∴BE ＝BC ＝a ，∴BF ＝EF =22BE =22a ，∵PM ⊥BD ，PN ⊥BC ，∴S △BPE +S △BPC ＝S △BEC ，∴12BE ×PM +12BC ×PN =12BC ×EF ，∵BE ＝BC ，∴PM +PN ＝EF =22a ．则点P 到边BD ，BC 的距离之和PM +PN 的值是定值22a ．故选：D ．4．（2022春•三门峡期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（ ）A．2B．4C．2D．22【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP 的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，CE．∴P1P2∥CE且P1P2=12当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．CF．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1=2．∴PB的最小值是2．故选：C．5．（2022春•滨湖区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（ ）A．45B．89C．10D．72【分析】过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，根据菱形的性质和勾股定理可得BM＝3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，可得B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A′（3，﹣4），然后证明△ABP≌△ADQ（SAS），可得AP＝AQ＝A′P，连接A′D，AP，A′P，由A′P+PD＞A′D，可得A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，所以PD+AQ 的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝5，∠ABC＝∠ADC，∵菱形ABCD的面积为20，边长为5，∴AM＝4，在Rt△ABM中，根据勾股定理得：BM=AB2−AM2=3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，∴B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A′（3，﹣4），∵PC＝CQ，BC＝CD，∴BP＝DQ，在△ABP和△ADQ中，AB=AD∠ABC=∠ADC，BP=DQ∴△ABP≌△ADQ（SAS），∴AP＝AQ＝A′P，连接A′D，AP，A′P，∵A′P+PD＞A′D，∴A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，∴PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D=(8−3)2+(4+4)2=89．故选：B．6．（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（ ）A．2B．1C．5−1D．5−2【分析】根据正方形的性质可得AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AFD＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角AD＝1，利用勾股定理列式求出OC，然三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=12后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，AD=BCAM=BN，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠1＝∠2，在△DCE和△BCE中，BC=CD∠DCE=∠BCE，CE=CE∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，∴∠1+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，AD＝1，则OF＝DO=12在Rt△ODC中，OC=DO2+DC2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF=5−1．故选：C．7．（2022•龙华区二模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为13−2．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF＝EG，故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到PE＝PC；故②正确；连接EF，推出点E、P、F、C四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且EPCF四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误；取AE的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AO＝PO =1AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当OC最小时，CP的值最小，根2据三角形的三边关系得到PC≥OC﹣OP，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，∵AB＝BC，∴EH＝AB，∵EG⊥AF，∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠EGH＝∠AFB，∵∠B＝∠EHG＝90°，∴△HEG≌△ABF（AAS），∴AF＝EG，故①正确；∵AB∥CD，∴∠AGE＝∠CEG，∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，∵∠BAF＝∠PCF，∴∠AGE＝∠PCE，∴∠PEC＝∠PCE，∴PE＝PC；故②正确；连接EF，∵∠EPF＝∠FCE＝90°，∴点E、P、F、C四点共圆，∴∠FEC＝∠FPC＝45°，∴EC＝FC，∴BF＝DE＝1，同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且E、P、C、F四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误；取AE的中点O，连接PO，CO，AE，∴AO＝PO=12∵∠APE＝90°，∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，∴当OC最小时，CP的值最小，∵PC ≥OC ﹣OP ，∴PC 的最小值＝OC ﹣OP ＝OC −12AE ，∵OC =22+(72)2=652，在Rt △ADE 中，AE =42+12=17，∴PC 的最小值为652−172，故④错误，故选：B ．8．（2022•南平校级自主招生）如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点（且点P 不与点B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ．则EF 的最小值为（ ）A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PEAF 是矩形；连接PA ，则PA ＝EF ，所以要使EF ，即PA 最短，只需PA ⊥CB 即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA 的值．【解答】解：如图，连接PA ．∵在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，∴BC 2＝AB 2+AC 2，∴∠A ＝90°．又∵PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ．∴∠AEP ＝∠AFP ＝90°，∴四边形PEAF 是矩形．∴AP ＝EF ．∴当PA 最小时，EF 也最小，即当AP ⊥CB 时，PA 最小，∵12AB •AC =12BC •AP ，即AP =AB ⋅AC BC =6×810=4.8，∴线段EF 长的最小值为4.8；故选：B ．9．（2022春•崇川区期末）如图，正方形ABCD 边长为1，点E ，F 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BE ＝CF ，连接BF ，DE ，则BF +DE 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【分析】连接AE ，利用△ABE ≌△BCF 转化线段BF 得到BF +DE ＝AE +DE ，则通过作A 点关于BC 对称点H ，连接DH 交BC 于E 点，利用勾股定理求出DH 长即可．【解答】解：连接AE ，如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°．又BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ）．∴AE ＝BF ．所以BF +DE 最小值等于AE +DE 最小值．作点A 关于BC 的对称点H 点，如图2，连接BH ，则A 、B 、H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的E 点．根据对称性可知AE ＝HE ，所以AE +DE ＝DH ．在Rt △ADH 中，AD ＝1，AH ＝2，∴DH =AH 2+AD 2=5，∴BF +DE 最小值为5．故选：C ．10．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（ ）A．2B．2C．22D．4【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC=2AB＝22，∴d1+d2+d3最小＝AC＝22，故选：C．二．填空题（共10小题）11．（2022春•江城区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是　3+13　．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于的一半可得OE=12第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，∴AE＝BE＝3＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE=AE2+AD2=13，∵OD≤OE+DE，∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+13，故答案为：3+13．12．（2022•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为　13　．【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．【解答】解：如图，连接BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，∴PC+QD＝PC+PB，∴PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，如图，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，∴PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE=BE2+BC2=13．∴PC+DQ的最小值为13．故答案为：13．13．（2022•钱塘区一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为　62　．【分析】方法一：延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，可得四边形AA′EH是平行四边形，所以A′E＝AH，则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，根据勾股定理即可解决问题．方法二：过点G作GA′∥AH交AF于点A′，可得四边形AHGA′是平行四边形，进而可以解决问题．【解答】解：方法一：如图，延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，∵HE⊥AB，AA′⊥AB，∴AA′∥EH，∵A′A＝EH，∴四边形AA′EH是平行四边形，∴A′E＝AH，则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝FG＝4，∴EG＝42，∵A′D＝AD+AA′＝6+4＝10，在Rt△A′DC中，DC＝AB＝10，∴A′C=A′D2+DC2=102，∴A′E+CG＝A′C﹣EG＝62．方法二：如图，过点G作GA′∥AH交AF于点A′，∴四边形AHGA′是平行四边形，∴AA′＝HG＝4，A′G＝AH，∴A′B＝AB﹣AA′＝6，∵BC＝6，∴A′C＝62，∴AH+CG＝A′G+CG≥A′C，则AH+CG的最小值为62．故答案为：62．14．（2022春•东城区期中）在正方形ABCD中，AB＝5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AE＝AF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是　55　．【分析】连接DF，根据正方形的性质证明△ADF≌△ABE（SAS），可得DF＝BE，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点F′，连接D′F，则DF＝D′F，可得BE+CF＝DF+CF＝D′F+CF≥CD′，所以当点F与点F′重合时，D′F+CF最小，最小值为CD′的长，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAE＝∠DAF＝90°，在△ADF 和△ABE 中，AD =AB ∠FAD =∠EAB AF =AE，∴△ADF ≌△ABE （SAS ），∴DF ＝BE ，作点D 关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于点F ′，连接D ′F ，则DF ＝D ′F ，∴BE +CF ＝DF +CF ＝D ′F +CF ≥CD ′，∴当点F 与点F ′重合时，D ′F +CF 最小，最小值为CD ′的长，在Rt △CDD ′中，根据勾股定理得：CD ′=CD 2+DD′2=52+102=55，∴BE +CF 的最小值是55．故答案为：55．15．（2022春•虎林市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且BA ＝12，AC ＝16，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点G 为四边形DEAF 对角线交点，则线段GF 的最小值为 245　．【分析】由勾股定理求出BC 的长，再证明四边形DEAF 是矩形，可得EF ＝AD ，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【解答】解：连接AD 、EF ，∵∠BAC ＝90°，且BA ＝9，AC ＝12，∴BC =AB 2+AC 2=122+162=20，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DFA ＝∠BAC ＝90°，∴四边形DEAF 是矩形，∴EF ＝AD ，∴当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，此时，△ABC 的面积=12AB ×AC =12BC ×AD ，∴12×16＝20AD ，∴AD =485∴EF 的最小值为485，∵点G 为四边形DEAF 对角线交点，∴GF =12EF =245；故答案为：245．。

四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题是指在四边形中，指定一个或多个点 (动点) 的运动方式及方向，求其余点 (定点) 在发展过程中的坐标及对应数量关系的问题。

解决四边形动点问题需要掌握以下技巧:
1. 分析题意：认真阅读题干，了解动点的运动方式、方向及限制条件，提取关键信息，确定解题方向。

2. 建立坐标系：通常是在平面直角坐标系中解决这个问题，需要将动点的位置转化为坐标，以便于应用代数方法解决问题。

3. 建立等量关系：通过分析题目中的限制条件和运动方式，建立动点和定点的等量关系，通常可以用行程问题、角度问题等来表示。

4. 列方程解题：根据等量关系，列出代数方程，求解未知数的值，然后根据题意进行画图、分析、总结。

5. 分类讨论：对于存在角度限制或速度限制等问题的题目，需要进行分类讨论，以确保解答的正确性。

6. 注意细节：在解决问题的过程中，需要注意细节，如动点的速度、方向、持续时间等因素，以免出现不必要的错误。

综上所述，解决四边形动点问题需要有清晰的思路和扎实的数学知识基础，需要善于发现问题的本质，善于运用代数方法解决问题，同时需要注意细节和分类讨论。

（专题精选）初中数学四边形难题汇编附答案一、选择题1．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（）A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形【答案】C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.2．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEF∠=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，150∠=o，∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．3．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且8BC =，则AB 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】A【解析】【分析】 利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB 即可得出答案．【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，∴∠ECD=∠ECB ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠DEC=∠ECB ，∠DEC=∠DCE ，∴DE=DC ，∵AD=2AB ，∴AD=2CD ，∴AE=DE=AB ．∵8AD BC ==，2=AD AB∴AB=4，故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE 是解题关键．4．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C ．3D ．31-【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 最小，最小值为31-③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为 31-故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点， 32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，186,<Q∴在BC 上存在一个点P ，使PEF V 是等腰三角形；③当EF 为底，P 为顶角顶点时，点P 一定在EF 的垂直平分线上，∴EF 的垂直平分线与矩形的交点，即为点P ，存在两个点．综上所述，满足题意的点P 的个数是6．故选D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．6．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接CF ，DG ，则DG CF=（ ）A ．23B ．22C 3D 3【答案】B【解析】【分析】连接AC 和AF ，证明△DAG ∽△CAF 可得DG CF的值． 【详解】连接AC 和AF ，则2 AD AGAC AF==，∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴22 DG ADCF AC==．故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．7．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC与BD交于O点，当P在BO上时，∵EF∥AC，∴EF BPAC BO=即43y x=，∴43y x =；当P在OD上时，有643 DP EF y x DO AC-==即，∴y=48 3x-+．故选C．8．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=3；③BP=4PK；④PM•PA=3PD2，其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】【分析】 根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．【详解】解：作PI ∥CE 交DE 于I ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中， DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ， 则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，∴BM ∥OG ∥KN ，∵点O 是线段BK 的中点，∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，∴OM=ON ，即△MON是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=3，则AP=7，根据三角形面积公式，BM=2217，∵点O是线段BK的中点，∴PB=3PO，∴OG=13BM=22121，MG=23MP=27，tan∠OMN=3=OGMG，故②正确；∵∠ABP=90°，BM⊥AP，∴PB2=PM•PA，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．9．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】 试题分析：设CH ＝x ， 因为BE ：EC ＝2：1，BC ＝9，所以，EC ＝3， 由折叠知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理，得：222(9)3x x -=+，解得：x ＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理10．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=3832⨯=∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2120(43)84332316ππ⨯⨯-=-． 故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．11．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点，∴1 2.52DE AB ==， 故选：B ．【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．12．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )A ．5cmB ．52cmC ．125cmD ．245cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC =+=+=∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．13．四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO ＝20°，则∠CAD 的度数是（）.A ．25°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】 ∵四边形ABCD 是菱形，∴OB=OD ，AC ⊥BD ，∵DH ⊥AB ，∴OH=OB=12BD ， ∵∠DHO=20°， ∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．故选A ．14．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72 【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ，∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点,∴12 EFBD=,∴14EFCBCDDSS=VV,∴18EFCABCDSS=V四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=V V四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．15．已知ABCDY(AB BC>)，用尺规在ABCD内作菱形，下列作法错误的是()A．如图1所示，作对角线AC的垂直平分线EF，则四边形AECF为所求B．如图2所示，在AB DC，上截取AE AD DF DA==，，则四边形AEFD为所求C．如图3所示，作ADC ABC∠∠、的平分线DE BF，，则四边形DEBF为所求D．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A、根据线段的垂直平分线的性质可知AB＝AD，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．16．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF 垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．【详解】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，故①正确∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故②正确；∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，且BO=DO由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形EBFD是平行四边形由②可知，OB=CB，OF=FC又∵BF=BF∴△OBF≌△OCF∴BD⊥EF∴平行四边形EBFD是菱形，故④正确所以其中正确结论的个数为3个；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．17．如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．18．下列结论正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形B．平行四边形的对角线相等C．平行四边形的对边平行且相等D．平行四边形的对角互补，邻角相等【答案】C【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．【详解】A、平行四边形不一定是轴对称图形，故A错误；B、平行四边形的对角线不相等，故B错误；C、平行四边形的对边平行且相等，故C正确；D、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D错误．故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，掌握特殊平行四边形与一般平行四边形的区别是解题的关键．19．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF EAFB DFE AB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AF=DF，BF=EF；可得③⑤正确，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )A．540°B．720°C．900°D．1080°【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：3605 72=，∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A．【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．。

四边形中的中点问题11、已知：AD 平分/ BAC, BD 丄AD , E 为 BC 中点，求证： DE//AC ; DE — (AC-AB )21 BD 丄 AD , E 为 BC 中点，求证： DE//AC ; DE=—(AC+AB)23、已知：BE 、CD 分别为△ ABC 的角平分线，AF 丄CD, AG 丄BE ,连FG 求证：FG=^ (AB+AC-BC)4、已知：BD CE 分别为△ ABC 的外角平分线，AD 丄BD , AE 丄CE,连DE ,求证：DE=^ (AB+AC+BC)215、已知：CE BD 分别为△ ABC 的内、外角平分线，AD 丄BD, AE 丄CE,连DE,求证：DE^ (AB+BC-AC)2C2、已知：AD 为/ BAC 外角平分线的反向延长线,A7、已知：RT A ABC 中，CD 为AB 边上的高，AE 、BF 分别为角平分线，交 CD 于P 、G 两点，M 为PE 的中点，N 为 1 FG 的中点，求证： MN//AB ； MN= — (AC+BC-AB)28、如图，△ AOB 和厶A i OB i 是顶角为100°的两上等腰三角形,K 、L 、M 分别是AB 、BB 「B 1 A 1的中点，求/ KLM .如图，在 口ABCD 中，BC=2AB,CE1 AB 于E , F 为AD 的中点，若 / AEF=50 °,贝U / AFE 为多少?B L6、已知：RT ^ ABC 中，CD 为AB 边上的高, MN=MDAE 平分/ BAC,交CD 于F , M 为AC 的中点，N 为FE 的中点，求证:AF 丄BC 于F , AF 交BD 于E , 若 DE=2AB,求/ AED 的度数F13、分别以厶FBC 的两边FB 和FC 为斜边在形外作等腰 Rt A FBD 和等腰Rt A ACF , P 是BC 的中点，求证:14、四边形 ABCD 对角线 AC BD 交于E ,且AC=BD M 、N 分别为AD 、BC 中点。

解四边形基础练习题(含答案)以下是一些基础的四边形练题，每个题目附带答案。

这些题目可帮助你巩固对四边形的理解和解题能力。

1. 问题给定一个四边形ABCD，其中AB和CD是平行线段。

若∠A 和∠B的和为120°，∠C和∠D的和为70°，求∠A和∠C的和。

1. 解答设∠A为x°，则∠B为120°-x°（∵∠A和∠B的和为120°）由于AB和CD是平行线段，所以∠A和∠C的和等于∠B和∠D的和，即∠A和∠C的和等于∠B和∠D的和。

∠B和∠D的和为70°（∵∠C和∠D的和为70°）所以，∠A和∠C的和也为70°。

2. 问题在一个四边形ABCD中，已知AB = BC = CD，且∠B = 90°，求∠A和∠C的度数。

2. 解答由题可知，四边形ABCD是一个等腰直角梯形。

在等腰直角梯形中，对角线和底边垂直且平分底边。

因此，∠A和∠C的度数相等，且它们的和为90°。

所以，∠A和∠C的度数分别为45°。

3. 问题在一个四边形ABCD中，已知∠A = 70°，∠B = 110°，AC为对角线，求∠C。

3. 解答由题可知，四边形ABCD是一个非平行四边形。

根据非平行四边形的性质，对角线的夹角等于四边形的内角之差。

所以，∠C = |∠A - ∠B| = |70° - 110°| = 40°。

所以，∠C的度数为40°。

4. 问题在一个平行四边形ABCD中，已知AB = 12 cm，BC = 8 cm，求平行四边形的面积。

4. 解答由题可知，平行四边形的底边为AB，高为BC。

平行四边形的面积可以通过底边乘以高来计算。

所以，平行四边形的面积为12 cm × 8 cm = 96 cm²。

以上是解四边形基础练习题的内容。

希望这些题目能够帮助你加深对四边形的理解和掌握解题技巧。

《四边形的认识》综合练习题
四边形的认识综合练题
问题一
请问以下哪些图形是四边形？
a) 正方形
b) 圆形
c) 梯形
d) 三角形
答案：a) 正方形, c) 梯形
问题二
四边形具有哪些特点？
答案：四边形是一个有四条边的几何图形。

它的特点包括：
- 有四个角
- 相邻两边不共线
- 相邻两边不重叠
- 对角线相交于一点
- 对角线长度相等
问题三
下面哪些陈述是关于平行四边形的？
a) 对角线相等
b) 对边平行
c) 有一个直角
d) 有两条边相等
答案：b) 对边平行
问题四
计算下面平行四边形的面积：
________________
/ /
/ /
/______________/
已知底边长度为 10cm，高度为 5cm。

答案：面积 = 底边长度 ×高度 = 10cm × 5cm = 50cm²
问题五
请问矩形和正方形是什么关系？
答案：矩形是一种特殊的四边形，它的特点是拥有四个直角。

正方形是一种特殊的矩形，它的特点是拥有四个相等的边和四个直角。

问题六
如果一个四边形有两个相等的边，这个四边形是什么形状？答案：如果一个四边形有两个相等的边，它是一个梯形。

四年级数学难题问题1：一个四边形有两组相对的边互相平行，并且这两组相对的边之间的距离相等。

这个四边形是什么形状？答案：这个四边形是平行四边形。

问题2：一个正方形和一个长方形有一个共同的边长为10厘米的边。

正方形的另一个边长为5厘米，长方形的另一个边长为8厘米。

哪个形状的面积更大？答案：正方形的面积为5×5=25平方厘米，长方形的面积为10×8=80平方厘米。

因此，长方形的面积更大。

问题3：一个长方形的长是宽的2倍。

如果它的周长是40厘米，那么它的长和宽分别是多少？答案：设长方形的宽为x，则长为2x。

周长为2(x+2x)=40，解得x=40/6厘米，长为40/3厘米。

问题4：一个等腰三角形的两边长度为5厘米和8厘米。

这个三角形的周长是多少？答案：根据三角形两边之和大于第三边的原则，这个等腰三角形的第三边只能是8厘米，因此周长为5+8+8=21厘米。

问题5：一个数的平方比它的两倍大一。

这个数是什么？答案：设这个数为x，则x^2=2x+1，解得x=(sqrt(8)+1)/2或(-sqrt(8)+1)/2。

问题6：如果一个正方形的一边减少5厘米，另一边增加5厘米，那么它变成了一个长方形。

这个长方形的长和宽各是多少？答案：设正方形的边长为x，则长方形的长为x-5厘米，宽为x+5厘米。

问题7：一个矩形的长和宽都增加了一个共同的长度，使得新的长和宽都是原来的2倍。

原来的矩形是什么形状？答案：设原来的矩形的长为x，宽为y，则新的矩形的长为2x+x=3x，宽为2y+y=3y。

因此原来的矩形是正方形。

问题8：一个等腰梯形的两底边长度相同，高是底边长度的一半。

这个梯形的周长和面积各是多少？答案：设梯形的底边长度为x，则高为x/2，上底边长度为x。

周长为3x+x/2，面积为(x/2)×x/2=x^2/4。

问题9：如果一个正方形的面积是25平方厘米，那么它的周长是多少厘米？答案：设正方形的边长为x，则面积为x^2=25，解得x=5厘米。

平行四边形的动点问题1. 平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。

在这个问题中，我们关注一个动点在平行四边形内移动的情况。

2. 首先，让我们定义平行四边形的四个顶点为A、B、C和D，并假设它们按顺时针方向排列。

我们还假设动点记为P，并且它可以在平行四边形内的任意位置移动。

3. 问题的第一部分是，如果动点P从A点出发，按一定路径移动，最后回到A点，那么它经过的路径会是什么样子4. 要回答这个问题，我们需要注意到平行四边形的两对相对边分别是AB和CD，以及AD和BC。

因此，如果动点P从A点出发并回到A 点，它必定会经过平行四边形的另外两个顶点，即C和B。

5. 为了更具体地描述动点P的路径，我们可以进一步假设动点P沿着直线AC移动到顶点C，然后沿着直线CB移动到顶点B，最后沿着直线BA移动回到顶点A。

这样，动点P所经过的路径形成了一个三角形ABC。

6. 需要注意的是，这个路径并不是唯一的。

动点P可以按任意方式从A到C，再从C到B，最后从B到A。

但无论路径如何，最终的路径都是一个三角形ABC。

7. 接下来，让我们来看问题的第二部分。

如果动点P从一个顶点出发，按一定路径移动，最后回到另一个顶点，那么它经过的路径会是什么样子8. 在这种情况下，我们可以假设动点P从顶点A出发，并沿着直线AC移动到顶点C。

然后，它会继续按照平行四边形的形状，沿着直线CB移动到顶点B，并最终沿着直线BA返回到顶点A。

9. 与第一部分类似，这个路径也不是唯一的。

动点P可以从任意顶点出发，按照相应的顺序经过其他两个顶点，最后回到初始的顶点。

10. 总结起来，平行四边形的动点问题涉及动点在平行四边形内移动的路径问题。

无论是从一个顶点出发回到同一个顶点，还是从一个顶点出发回到另一个顶点，最终路径都可以看作是一个三角形。

11. 这个问题的解答可以帮助我们更好地理解平行四边形的形状和特性，以及动点在平行四边形内移动时的可能路径。

它也为我们提供了一种思考和探索几何问题的方式。

四边形类比探究问题一．解答题（共11 小题）1.已知，如图1，正方形ABCD 和正方形BEFG，三点A、B、E 在同一直线上，连接AG和CE（1）线段AG 和线段CE 的数量关系为；（2）将正方形BEFG，绕点B 顺时针旋转到图2 的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）若在图2 中连接AE 和CG，且AE＝5，CG＝2，求AC2+GE2＝．（直接写出结果）2.问题探究：（1）已知：如图1，在正方形ABCD 中，点E，H 分别在BC，AB 上，若AE⊥DH于点O．求证：AE＝DH；类比探究：（2）已知：如图2，在正方形ABCD 中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA 上，若EF⊥HG 于点O，则线段EF 与HG 有什么数量关系，并说明理由；拓展应用：（3）已知：如图3，在（2）问条件下，若HF∥EG，BE＝EC＝3，EO＝3FO，求HG 的长．（写出求解过程）3．（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A、D、E 在同一条直线上，连接BE．填空：①∠AEB 的度数为；②线段AD、BE 之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同一条直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE，请判断∠AEB 的度数及线段CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD＝2，若点P 满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．4.如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN，连结AM、BD．（1）AM 与BD 的关系是：．（2）如果将正方形BCMN 绕点C 顺时针旋转锐角α，其它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求AB2+DM2的值．5.如图①，在▱ABCD 中，点E、F 分别在AD、BC 上，且AE＝CF，连接AF、BE 交于点G，连接CE、DF 交于点H．（1）求证四边形EGFH 为平行四边形．（2）提出问题：在AD、BC 边上是否存在点E、F，使得四边形EGFH 为矩形？小明从特殊到一般探究了问题．【特殊化】如图②，若∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝6．在AD、BC 边上是否存在点E、F，使得四边形EGFH 为矩形？若存在，求出此时AE 的长度；若不存在，说明理由．【一般化】如图③，若∠ABC＝60°，AB＝m，BC＝n．在AD、BC 边上是否存在点E、F 使得四边形EGFH 为矩形？根据点E、F 存在（或不存在）的可能情况，写出对应的m、n 满足的条件，存在时直接写出AE 的长度．（用含m、n 的代数式表示）6.问题探究：（1）已知：如图1，在正方形ABCD 中，点E，H 分别在BC，AB 上，若AE⊥DH 于点O，求证：AE＝DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD 中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA 上，若EF⊥HG 于点O，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由．拓展应用：（3）已知，如图3，在（2）的条件下，若BC＝4，点E 为BC 的中点，DF＝3AF，连结FH，HE，EG，GF．求四边形HEGF 的面积．7.已知AC，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，直线AE 与直线BF 交于点H（1）观察猜想如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，线段AE 和BF 的数量关系是；∠AHB＝．（2）探究证明如图2，当四边形ABCD 和FFCG 均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BC＝9，FC＝6，将矩形EFCG 绕点C 旋转，在整个旋转过程中，当A、E、F 三点共线时，请直接写出点B 到直线AE 的距离．8.数学学习小组“文化年”最近正在进行几何图形组合问题的研究，认真研读以下三个片段，并回答问题．【片断一】小文说：将一块足够大的等腰直角三角板置于一个正方形中，直角顶点与对角线交点重合，在转动三角板的过程中我发现某些线段之间存在确定的数量关系．如图（1），若三角板两条直角边的外沿分别交正方形的边AB，BC 于点M，N，则①OM+ON ＝MB+NB；②AM+CN＝OD．请你判断他的猜想是否正确？若正确请说明理由；若不正确请说明你认为正确的猜想并证明．【片断】小化说：将角板中个45°角的顶点和正方形的一个顶点重合放置，使得这个角的两条边与正方形的一组邻边有交点．如图（2），若以A 为顶点的45°角的两边分别交正方形的边BC、CD 于点M，N．交对角线BD 于点E、F，我发现：BE2+DE2＝2AE2，只要准确旋转图（2）中的一个三角形就能证明这个结论．请你在图2 中画出图形并写出小化所说的具体的旋转方式：．【片断三】小年说：将三角板的一个45°角放置在正方形的外部，同时角的两边恰好经过正方形两个相邻的顶点．如图（3），设顶点为E 的45°角位于正方形的边AD 上方，这个角的两边分别经过点B、C，连接EA，ED，那么线段EB，EC，ED 也存在确定的数量关系：（EB+ED）2＝2EC2，请你证明这个结论．9．（1）[方法回顾]证明：三角形中位线定理．已知：如图1，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．证明：如图1，延长DE 到点F，使得EF＝DE，连接CF；请继续完成证明过程：（2）[问题解决]如图2，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，G、F 分别为AB、CD 边上的点，若AG＝3，DF＝7，∠GEF＝90°，求GF 的长．（3）[思维拓展]如图3，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，∠D＝120°，E 为AD 的中点，G、F 分别为AB、CD 边上的点，若AG＝2，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF 的长．10.如图1，图2，△ABC 中，BF，CE 分别为AC，AB 边上的中线，BF⊥CE 于点P．（1）如图1，当BC＝6，∠PCB＝45°时，PE＝，AB＝；（2）如图2，猜想AB2、AC2、BC2 三者之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，▱ABCD 中，点M，N 分别在AD，BC 上，AD＝3AM，BC＝3BN，连接AN，BM，CM，AN 与BM 交于点G，若BM⊥CM 于点M，AB＝4，AD＝3，求AN 的长．11.【探索发现】如图1，△ABC 是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将△ACD 绕点A 逆时针旋转60°得到△AEF，连接CE．小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形．小明是这样想的：（1）请参考小明的思路写出证明过程；（2）直接写出线段CD，CF，AC 之间的数量关系：；【理解运用】如图2，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D．将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△AEF，延长FE 与BC 交于点G．（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由；【拓展迁移】（4）在（3）的前提下，如图3，将△AFE 沿AE 折叠得到△AME，连接MB，若AD＝6，BD＝2，求MB 的长．四边形类比探究问题参考答案与试题解析一．解答题（共11 小题）1.【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等AG＝CE；（2）由正方形的性质得出AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，证出∠ABG＝∠CBE，由SAS 证明△ABG≌△CBE，得出AG＝CE；（3）连接AC、EG，设AG、CE 交点为H，由由角的互余关系得出∠2+∠BCE＝90°，得出∠ AHC＝90°，得出AG⊥CE；再由勾股定理求出AC2+EG2＝C G2+AE2，求出AC2+EG2，然后由正方形的面积等于对角线平方的一半求解即可．【解答】解：（1）如图1 所示：延长AG 交CE 于H，∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形，∴AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，在△ABG 和△CBE 中，∵，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE，故答案为：AG＝CE；（2）AG＝CE，且AG⊥CE 仍然成立．理由如下：如图2 所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形，∴AB＝CB，BG＝BE，∠ABC＝∠EBG＝90°，∵∠ABG＝∠ABC+∠CBG，∠CBE＝∠EBG+∠CBG，∴∠ABG＝∠CBE，在△ABG 和△CBE 中，∵，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE；（3）如图2 所示：连接AC、EG，∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG＝∠BCE，∵∠1+∠BAG＝90°，∴∠1+∠BCE＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BCE＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AG⊥CE；在Rt△CGH 中，CG2＝CH2+GH2，在Rt△AEH 中，AE2＝AH2+EH2，∴CG2+AE2＝CH2+GH2+AH2+EH2＝（CH2+AH2）+（GH2+EH2）＝AC2+EG2，∵AE＝5，CG＝2，∴AC2+EG2＝22+52＝29．故答案为：29．【点评】本题是四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．2.【分析】（1）由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DH；（2）EF＝GH．将FE 平移到AM 处，则AM∥EF，AM＝EF，将GH 平移到DN 处，则DN∥ GH，DN＝GH．根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH；（3）易得△AHF∽△CGE，所以，由EC＝3 得AF＝1，过F 作FP⊥BC 于P，根据勾股定理得EF，因为FH∥EG，所以，【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．∴∠HAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠HAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AE＝DH．（2）EF＝GH．将FE 平移到AM 处，则AM∥EF，AM＝EF．将GH 平移到DN 处，则DN∥GH，DN＝GH．∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH；（3）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥CD∴∠AHO＝∠CGO∵FH∥EG∴∠FHO＝∠EGO∴∠AHF＝∠CGE∴△AHF∽△CGE∴，∵EC＝3∴AF＝1过 F 作FP⊥BC 于P，根据勾股定理得EF＝，∵根据（2）知EF＝GH，∴GH＝2 ．【点评】本题考查了四边形的综合知识．用到正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．3.【分析】问题发现：（1）①由等边三角形的性质可得AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°＝∠CED，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠CEB＝120°即可求∠AEB 的度数；（2）由全等三角形的性质可得AD＝BE；拓展研究：（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB 的度数，证出AD＝BE；由△DCE 为等腰直角三角形及CM 为△DCE 中DE 边上的高可得CM＝DM＝ME，可得AE＝2CH+BE；解决问题：（3）由题意可得点P 在以D 为圆心，2 为半径的圆上，同时点P 也在以BD 为直径的圆上，即点P 是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH 的长，即可求点A 到BP 的距离．【解答】解：问题发现（1）①∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°＝∠CED∵点A、D、E 在同一条直线上，∴∠ADC＝120°∵∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，DC＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC＝∠CEB＝120°∴∠ABE＝∠CEB﹣∠CED＝60°②∵△ACD≌△BCE∴AD＝BE故答案为：60°，AD＝BE（2）拓展研究：猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E 在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．解决问题：（3）∵点P 满足PD＝2，∴点P 在以D 为圆心，2 为半径的圆上，∵∠BPD＝90°，∴点P 在以BD 为直径的圆上，∴如图，点P 是两圆的交点，若点P 在AD 上方，连接AP，过点A 作AH⊥BP，∵CD＝2＝BC，∠BCD＝90°∴BD＝4，∵∠BPD＝90°∴BP＝＝2∵∠BPD＝90°＝∠BAD∴点A，点B，点D，点P 四点共圆∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP∴∠HAP＝∠APH＝45°∴AH＝HP在Rt△AHB 中，AB2＝AH2+BH2，∴8＝AH2+（2 ﹣AH）2，∴AH＝+1（不合题意），或AH＝﹣1若点P 在CD 的右侧，同理可得AH＝+1综上所述：点A 到BP 的距离为：+1 或﹣1【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【分析】（1）利用正方形的性质和已知条件证明△AMC≌△DBC，从而求出AM 与BD相等且垂直；（2）如果将正方形BCMN 绕点C 逆时针旋转锐角α，其它不变（1）中所得的结论任然成立，先求出∠ACM＝∠DCB，然后利用“边角边”证明△AMC 和△DBC 全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；（3）根据AM⊥BD，得相交的角为直角，由勾股定理计算可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ACDE 和四边形BCMN 都为正方形，∴AC＝DC，∠ACD＝∠BCD＝90°，BC＝CM，在△AMC 和△DBC 中，，∴△AMC≌△DBC（SAS）．∴AM＝BD，∠CAM＝∠CDB，延长AM 交BD 于F，∵∠AMC＝∠DMF，∴∠ACM＝∠DFM＝90°，∴AM⊥BD；故答案为：AM＝BD 且AM⊥BD；（2）如果将正方形BCMN 绕点C 逆时针旋转锐角α，其它不变，（1）中所得的结论仍然成立，理由如下：在正方形ABCE 和正方形BCMN 中，AC＝CD，CM＝BC，∠ACD＝∠MCB＝90°，∵∠ACM＝90°+∠MCD，∠DCB＝90°+∠MCD，∴∠ACM＝∠DCB，在△ACM 和△DCB 中，，∴△AMC≌△DBC（SAS）．∴AM＝BD，∠CAM＝∠CDB，∵∠AFC＝∠DFG，∴∠ACF＝∠DGF＝90°，∴AM⊥BD．（3）如图2，连接AD、BM，∵AC＝4，BC＝2，由勾股定理得：AD2＝42+42＝32，BM2＝22+22＝8，∵AM⊥BD，∴∠AGB＝∠DGM＝∠AGD＝∠BGM＝90°，∴AB2+DM2＝AG2+BG2+DG2+GM2，∵AD2+BM2＝AG2+DG2+BG2+MG2＝32+8＝40，∴AB2+DM2＝40．【点评】本题考查了四边形的综合题、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．5.【分析】（1）由条件可证明四边形AECF 和四边形EDFB 为平行四边形，可得到EH∥GF，GE∥FH，可证明四边形EGFH 为平行四边形；（2）由矩形的性质得出AB＝CD＝2，∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，证出∠ABE＝∠DEC，得出△ABE∽△DEC，得出＝，即可求出AE 的长；（3）作AP⊥AD 于P，CQ⊥AD 于Q，则BP＝CQ，PQ＝BC＝AD，由直角三角形的性质得出AP＝AB＝m，BP＝CQ＝AP＝m，设AE＝x，则PE＝x+m，AQ＝n﹣x﹣m，同（2）得：△BPE∽△EQC，得出＝，得出方程整理得：x2+（m﹣n）x+m2﹣＝0，由判别式△＝n2﹣3m2，当△≥0，即n2﹣3m2≥0 时，方程有解，得出m、n 满足的条件和AE 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝BF，∴四边形AECF、四边形EDFB 为平行四边形，∴EH∥GF，GE∥FH，∴四边形EGFH 为平行四边形；（2）解：存在，如图②所示，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD＝2，∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，四边形EGFH 为矩形时，∠BEC＝90°，则∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴＝，即＝，解得：AE＝3±；即在AD、BC 边上存在点E、F，使得四边形EGFH 为矩形，此时AE 的长度为3±；（3）解：存在，如图③所示，理由如下：作AP⊥AD 于P，CQ⊥AD 于Q，则BP＝CQ，PQ＝BC＝AD，∴AP＝DQ，∵AD∥BC，∴∠PAB＝∠ABC＝60°，∴∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝m，∴BP＝CQ＝AP＝m，设AE＝x，则PE＝x+m，AQ＝n﹣x﹣m，同（2）得：△BPE∽△EQC，∴＝，即＝，整理得：x2+（m﹣n）x+m2﹣＝0，∵△＝（m﹣n）2﹣4（m2﹣）＝n2﹣3m2，当△≥0，即n2﹣3m2≥0 时，方程有解，即m、n 满足n≥m 时，在AD、BC 边上存在点E、F 使得四边形EGFH 为矩形，此时AE＝．【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法以及判别式的运用等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．6.【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝DA，∠ABE＝∠DAH＝90°，利用ASA 定理证明△ABE≌△DAH，根据全等三角形的性质得到AE＝DH；（2）过得A 作AM∥EF 交BC 于M，过点D 作DN∥GH 交AB 于N，由（1）的结论证明即可；（3）过点F 作FP⊥BC 于点P，根据勾股定理求出EF，由（2）的结论求出HG，根据四边形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝∠DAH＝90°，∴∠HAO+∠OAD＝90°，∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°，∴∠HAO＝∠ADO，在△ABE 和△DAH 中，，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AE＝DH；（2）解：EF＝GH．理由：如图2，过得A 作AM∥EF 交BC 于M，则四边形AMEF 为平行四边形，∴AM＝EF，过点D 作DN∥GH 交AB 于N，同理，DN＝GH，∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH；（3）解：如图3，过点F 作FP⊥BC 于点P，∵四边形ABCD 是正方形，BC＝4，∴AD＝BC＝AB＝FP＝4，∵E 为BC 的中点，DF＝3AF，∴BE＝2，AF＝1，∴PE＝2﹣1＝1，在Rt△FPE 中，EF＝＝，由（2）得：HG＝EF，∴HG＝，∵EF⊥HG，∴四边形HEGF 的面积＝×EF×GH＝．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7.【分析】（1）由正方形的性质得出＝＝，∠ACB＝∠ECF＝45°，得出∠ACE＝∠BCF，证出△CAE∽△CBF，得出∠CAE＝∠CBF，＝＝，因此＝，求出∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝45°，再由三角形内角和定理求出∠AHB 的度数即可；（2）不成立；由矩形的性质和已知条件得出＝＝，∠ACE＝∠BCF，得出△CAE ∽△CBF，因此∠CAE＝∠CBF，求出＝＝，∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+ ∠EAB＝60°，再由三角形内角和定理即可得出∠AHB 的度数；（3）分两种情况：①如图2 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，由（2）得：∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，在Rt△ABC 和Rt△CEF 中，由三角函数求出AC＝6 ，EF＝2，在Rt△ACF 中，由勾股定理求出AF＝6，得出AE＝AF﹣EF＝6﹣2 ，再由（2）的结论＝，求出BF＝3 ﹣3，在Rt△BFM 中，由直角三角形的性质求出BM 即可；②如图2 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，同②得：AE＝6+2，BF＝3+3，由直角三角形的性质求出BM 即可．【解答】解：（1）如图1 所示：∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形，∴＝＝，∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，∴＝，∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝45°，∵∠CBA＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：＝，45°；（2）不成立；理由如下：∵四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°，∴＝＝，∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝60°，∵∠CBA＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°﹣60°＝30°；（3）分两种情况：①如图2 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，由（2）得：∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，在Rt△ABC 和Rt△CEF 中，∵∠ACB＝∠ECF＝30°，∴AC＝＝＝6 ，EF＝CF×tan30°＝6×＝2 ，在Rt△ACF 中，AF＝＝＝6 ，∴AE＝AF﹣EF＝6 ﹣2，由（2）得：＝，∴BF＝（6﹣2）＝3﹣3，在△BFM 中，∵∠AFB＝30°，∴BM＝BF＝；②如图3 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，同②得：AE＝6+2，BF＝3 +3，则BM＝BF＝；综上所述，当A、E、F 三点共线时，点B 到直线AE 的距离为．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．8.【分析】【片断一】如图1 中，①错误．结论：OM2+ON2＝BM2+BN2．②正确．只要证明△MOB≌△NOC 即可解决问题；【片断二】如图2 中，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADG．连接GF．理由勾股定理即可证明；【片断三】如图3 中，过点C 作EC 的垂线交EB 延长线于F，构造全等三角形即可解决问题；【解答】解：【片断一】：如图1 中，①错误，②正确；理由：如图1 中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA，∠ABO＝∠OCN＝45°，∵∠MON＝∠BOC，∴∠MOB＝∠NOC，∴△MOB≌△NOC，∴BN＝CN，∴AM+CN＝AM+BM＝AB＝OA＝OD，①正确的结论：OM2+ON2＝BM2+BN2．理由：∵OM2+ON2＝MN2，BM2+BN2＝MN2，∴OM2+ON2＝BM2+BN2．【片断二】：如图 2 中，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADG．连接GF．理由：∵AF＝AF，∠GAF＝∠EAF＝45°，AG＝AE，∴△AFG≌△AFE，∴EF＝GF，∵∠ADG＝∠ABE＝∠ADF＝45°，∴∠FDG＝90°，∴GF2＝DF2+DG2，∴EF2＝BE2+DF2．故答案为：将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADG．连接GF．【片断三】：如图 3 中，过点C 作EC 的垂线交EB 延长线于F，∵∠ECF＝∠DCB＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵CD＝CB，CE＝CF，∴△CDE≌△CBF，∴ED＝FB，∴EB+ED＝EB+FB＝EF，又因为EC2+FC2＝EF2，∴（EB+ED）2＝2EC2．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9.【分析】（1）用“倍长法”将DE 延长一倍：延长DE 到F，使得EF＝DE，利用“边角边”证明△ADE 和△CEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，然后判断出四边形BCFD 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；（2）先判断出△AEG≌△DEH（ASA），进而判断出EF 垂直平分GH，即可得出结论；（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，先求出AG＝HD＝2，进而判断出△PDH 为30 度的直角三角形，再用勾股定理求出HF 即可得出结论．【解答】（1）证明：（1）如图1，延长DE 到点F，使得EF＝DE，连接CF，在△ADE 和△CFE 中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，∴CF∥AB，又∵AD＝BD，∴CF＝BD，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC．（2）解：如图2，延长GE、FD 交于点H，∵E 为AD 中点，∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，在△AEG 和△DEH 中，，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG＝HD＝3，EG＝EH，∵∠GEF＝90°，∴EF 垂直平分GH，∴GF＝HF＝DH+DF＝3+7＝10；（3）解：如图3，过点D 作AB 的平行线交GE 的延长线于点H，过H 作CD 的垂线，垂足为P，连接HF，同（1）可知△AEG≌△DEH，GF＝HF，∴∠A＝∠HDE＝90°，AG＝HD＝2 ，∵∠ADC＝120°，∴∠HDF＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠HDP＝30°，∴PH＝DH＝，PD＝3，∴PF＝PD+DF＝3+4＝7，在Rt△HFP 中，∠HPF＝90°，HP＝，PF＝7，∴HF＝＝＝2，∴GF＝2 ．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形和直角梯形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解（1）的关键是判断出△ADE ≌△CFE，解（2）的关键是判断出EF 垂直平分GH，解（3）的关键是作出辅助线，是一道比较典型的中考题．10.【分析】（1）证明△BPC 是等腰直角三角形，计算BP＝PC＝6，先根据三角形中线可知：EF是△ABC 的中位线，得EF∥BC，EF＝BC，证明△EPF∽△CPB，列比例式可得PE和AB 的长；（2）设PF＝m，PE＝n，则PB＝2m，PC＝2n，在Rt△PBC，Rt△PBE 和Rt△PCF 中，根据勾股定理列方程后，相加可得结论；（3）本题介绍两种解法：法一：证明△AGM≌△NGB（AAS），得BG 是△ABN 的中线，作辅助线，构建全等三角形和中线，得NF，BG 都为△ABN 的中线，由（2）知，AB2+AN2＝5BN2，代入可得结论；法二：如图4，作BP⊥DA 延长线于点P，CQ⊥AD 于点Q，易知四边形PBCQ 为矩形，设PA＝QD＝x，PB＝CQ＝y，表示PM＝x+，MQ＝2﹣x，证明△PBM∽△QMC，列比例式得方程：y2＝﹣x2+ x+12 ①，根据勾股定理得：AH2＝AB2﹣BH2，y2＝42﹣x2＝16﹣x2②，根据①②得：﹣x2+ x+12＝16﹣x2，解出可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵BF⊥CE，∴∠BPC＝90°，∵∠PCB＝45°，∴△BPC 是等腰直角三角形，∵BC＝6 ，∴PC＝BP＝6，∵BF，CE 分别为AC，AB 边上的中线，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△EPF∽△CPB，∴＝，∴，∴EP＝3，由勾股定理得：BE＝＝＝3，∴AB＝2BE＝6 ，故答案为：3，6；（2）猜想：AB2+AC2＝5BC2；证明：∵BF，CE 是△ABC 的中线，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，＝＝，设PF＝m，PE＝n，则PB＝2m，PC＝2n，在Rt△PBC 中，（2m）2+（2n）2＝BC2①在Rt△PBE 中，②在Rt△PCF 中，③由①，②，③得：AB2+AC2＝5BC2；（3）法一：在△AGM 与△NGB 中，，∴△AGM≌△NGB（AAS），∴BG＝MG，AG＝NG，∴BG 是△ABN 的中线，如图3，取AB 的中点F，连接NF，并延长交DA 的延长线于E，同理，△AEF≌△BNF，∴AE＝BN，EM＝2BN＝NC，∵EM∥NC，∴四边ENCM 是平行四边形，∴EN∥CM，∵BM⊥CM，∴EN⊥BM，即BG⊥FN，∵NF，BG 都为△ABN 的中线，由（2）知，AB2+AN2＝5BN2，∵AB＝4，BN＝AD＝，∴42+AN2＝5×，∴AN＝．法二：如图4，作BP⊥DA 延长线于点P，CQ⊥AD 于点Q，在▱ABCD 中，AD＝BC，易知四边形PBCQ 为矩形，∴PQ＝BC，∴PA＝QD，依题意：AM＝BN＝，MD＝2，设PA＝QD＝x，PB＝CQ＝y，∴PM＝x+ ，MQ＝2﹣x，∵BM⊥CM 于点M，∠BMC＝90°，∴∠BMP+∠CMQ＝90°，又∠BMP+∠PBM＝90°，∴∠PBM＝∠CMQ，又∵∠BPM＝∠MQC＝90°，∴△PBM∽△QMC，∴，即，化简得：y2＝﹣x2+ x+12 ①，作AH⊥BC 于点H，则BH＝PA＝x，AH＝y，在Rt△ABH 中，AH2＝AB2﹣BH2，∴y2＝42﹣x2＝16﹣x2②，由①②得：﹣x2+ x+12＝16﹣x2，∴x＝，y2＝，在Rt△AHN 中，AN＝＝＝＝．【点评】本题是四边形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、矩形和平行四边形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、三角形中线，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，并运用类比的方法解决问题，属于中考常考题型．1.【分析】（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB＝BC＝CE＝AE，则四边形ABCE是菱形；（2）先证明C、F、E 在同一直线上，再证明△BAD≌△CAF（SAS），则∠ADB＝∠AFC，BD ＝CF，可得AC＝CF+CD；（3）先根据∠ADC＝∠DAF＝∠F＝90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；（4）证明△BAM≌△EAD（SAS），根据BM＝DE 及勾股定理可得结论．【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵△ACD 绕点A 逆时针旋转60°得到△AEF，∴∠CAE＝60°，AC＝AE，∴△ACE 是等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∴AB＝BC＝CE＝AE，∴四边形ABCE 是菱形；（2）线段CD，CF，AC 之间的数量关系：CD+CF＝AC，理由是：由旋转得：∠DAF＝60°＝∠BAC，AD＝AF，∴∠BAD＝∠CAF，∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ADB＝∠AFC，BD＝CF，∵∠ADC+∠ADB＝∠AFC+∠AFE＝180°，∴C、F、E 在同一直线上，∴AC＝BC＝BD+CD＝CF+CD，故答案为：CD+CF＝AC；（3）四边形ADGF 是正方形，理由如下：∵Rt△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△AEF，∴AF＝AD，∠DAF＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠DAF＝∠F＝90°，∴四边形ADGF 是矩形，∵AF＝AD，∴四边形ADGF 是正方形；（4）如图3，连接DE，∵四边形ADGF 是正方形，∴DG＝FG＝AD＝AF＝6，∵△ABD 绕点A 逆时针旋转90°，得到△AEF，∴∠BAD＝∠EAF，BD＝EF＝2，∴EG＝FG﹣EF＝6﹣2＝4，∵将△AFE 沿AE 折叠得到△AME，∴∠MAE＝∠FAE，AF＝AM，∴∠BAD＝∠EAM，∴∠BAD+∠DAM＝∠EAM+∠DAM，即∠BAM＝∠DAE，∵AF＝AD，∴AM＝AD，在△BAM 和△EAD 中，∵，∴△BAM≌△EAD（SAS），∴BM＝DE＝＝＝2．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．。

小学数学四边形面积练习题题目一：四边形面积计算1. 计算下列四边形的面积：a) 边长分别为5cm、6cm、8cm、7cm的梯形；b) 边长分别为10cm、8cm、6cm、12cm的矩形；c) 边长分别为9cm、12cm、9cm、12cm的正方形；d) 边长分别为5cm、12cm、8cm、15cm的不规则四边形。

2. 一个长方形的长为14cm，宽为8cm，计算它的面积。

3. 如果一个正方形的边长为3cm，那么它的面积是多少？4. 若一个边长为6cm的正方形的面积是18平方厘米，求这个正方形的对角线长。

5. 一个直角梯形的上底长为10cm，下底长为16cm，高为12cm，求其面积。

题目二：四边形面积的应用1. 有一个草坪，形状为长方形，长为25米，宽为18米。

如果要在这个草坪上种花，每平方米需要铺设2盆花，你需要准备多少盆花才能将整个草坪铺满？2. 请你设计一个正方形的瓷砖，边长为20cm，每块瓷砖的面积为400平方厘米。

如果现在要铺设一个长20m、宽15m的长方形地面，请问需要多少块瓷砖？3. 请根据下图中的四边形，找出计算面积时需要排除的部分，并给出计算正确的面积。

题目三：四边形面积的比较1. 比较一个边长为8cm的正方形和一个边长为12cm的正方形，哪个的面积更大？2. 一个边长为5cm的正方形面积和一个边长为6cm的长方形面积进行比较，哪个更大？3. 比较一个边长为9cm、高为6cm的长方形和一个边长为5cm、高为8cm的矩形，哪个的面积更大？题目四：四边形面积的解决问题1. 小明的花坛占地面积为36平方米，他打算将花坛围起来，每米需要搭建5根围墙。

请问小明一共需要多少根围墙？2. 琳琳正在制作一个大型海报，她准备用彩纸剪出一个面积为27平方米的正方形粘贴在海报上。

如果要剪出边长为多长的正方形才能得到所需面积？3. 小明想用瓷砖铺设他的书房，书房的长为3m，宽为2.5m，瓷砖的边长为25cm。

第一节 四边形的分类与判定【知识点拨】1、四边形的性质：四边形的内角和等于360°.2、四边形的的分类：（1）对边平行；（2）对边不平行。

本节研究是对边不平行的四边形，常用方法是转化为三角形进行研究。

【赛题精选】【例1】如图，四边形ABCD 有4个直角三角形拼凑而成，它们的公共顶点为O,已知△AOB 、△BOC 、△COD 的面积分别为20、10、16，求△AOD 的面积。

（1992年北京市“迎春杯”竞赛题）【注释】求三角形的面积，通常需要求出底和高，当这两个值不易求出时，常把它们的积作为一个整体，设法求出它们的积。

【例2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数。

（1999年重庆市竞赛题）【注释】求凹多边形的内角和，常利用四边形和三角形的内角和进行计算，有事需要添加辅助线,将其转化为求一个凸多边形的和或一个凸多边形和一个三角形的内角和,如本题连接BF 、CE ，则所求的值等于四边形ABFG 的内角和加上△DCE 的内角和。

【例3】如图,在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=60°,AB=4，AD=5,求CDBC 的值。

(1993年“祖冲之杯”邀请赛试题)【注释】有些几何题，按原有的图形很难求解，可根据图形的特点，将原图形补成特殊图形，利用特殊图形的性质进行求解。

【例4】(1）是否存在这样的四边形,它的4条边依次是1、2、4、7？(2）是否存在这样的四边形，它的一组对角是直角，其中一个直角的两条边分别为3、4，另一个直角的边为6？【注释】探索存在型问题是指在一定条件下，判断是否存在某个结论。

解答这类问题,先假设结论存在，从假设出发，根据题设条件及有关性质进行推理论证,若推出矛盾,则不定假设，若推出合理的结果，则说明假设正确。

这种方法叫“假设法"。

【例5】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°,∠D=150°,四边形ABCD的周长为32,求BC和CD的长。

四边形练习题（含答案）1、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”。

解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是。

（2）三角形的“二分线”可以是。

（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”.2、用配方法解方程时，原方程可变形为（）A． B．C． D．3、用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是【】A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形4、在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是（）5、下列命题中错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组对边平行的四边形是梯形6、如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是( )A． B．2 C． D．7、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）8、如下图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是A．10 B．16 C．18 D．209、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，AB=3，BC=6，沿AE翻折梯形ABCD，使点B落在AD的延长线上，记为B′，连接B′E交CD于F，则的值为( )A． B． C． D．10、用任意两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形其中一定能够拼成的图形是_______（只填题号）．11、某陶瓷市场现出售的有边长相等的正三角形、正方形、正五边形的地板砖，某顾客想买其中的镶嵌着铺地板，则他可以选择的是．12、在一张三角形纸片中，剪去其中一个50°的角，得到如图所示的四边形，则图中∠1+∠2的度数为______________。

四种四边形有关的最小值问题
四边形的最小值问题可能会涉及到很多不同的情况和条件，下面是一些常见的与四边形有关的最小值问题及求解方法：
1.周长最小值：对于一个给定的四边形，要使其周长最小，通常需
要让四边形的边长尽可能短。

这可能涉及到优化四边形的形状或找到特定条件下的最优解。

2.面积最小值：如果要找到四边形的面积最小值，可以考虑使用几
何学中的公式和定理来计算不同形状四边形的面积，并比较它们的大小。

3.对角线长度最小值：四边形的对角线长度也可能是一个最小值问
题。

通常情况下，要找到对角线长度的最小值，需要根据四边形的性质和条件进行分析。

4.最小路径问题：在某些情况下，可能需要在四边形内或穿越四边
形找到一条最短路径。

这可以通过图论或几何学中的最短路径算法来解决。

三角形，四边形，圆三种类型为背景的最值问题经常出现，最值问题也是中考中极为推崇的题型，形式变化多样。

本文以四边形为背景的最值问题作一个小小的归纳，帮助同学们熟悉几何最值问题。

常见最值类型1.饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。

2.小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂线段最短的性质得到结果。

3.穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用点与圆的位置关系得到结果。

4.转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。

5.三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大（小）值。

6.结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马+小垂、小垂+穿心、饮马+穿心、饮马+转换等。

分类说明如下类型一、将军饮马1.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，BE=2, EC=1, 点P在BD上，则PE+PC 的最小值是 .2.如图，在正方形ABCD中，P是BD上的一个动点，E在BC上，且BE=1，CE=2，则PE+PC的最小值为。

3.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）类型二、点到直线距离垂线段最短1.在边长为2菱形ABCD中，∠ABC=60°，M、N分别为线段BC和BD上两个动点，则MN+CN的最小值是。

2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________3.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥类型三、平行线间的距离为最值1.如图，菱形ABCD的边长为5，面积为20，P为CD边上一动点（异于C、D），点M、N分别在BD、BC上运动，则PM+MN的最小值为 .2.如上左图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，则PM＋PN的最小值为________类型四、利用三角形三边关系、三点共线取最值1.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON 上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）2.如图，∠MON=90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上运动，当正方形的边长为2时，OD的最大值为 .3如图，正方形ABCD的边长为4，点P为边AD上一动点，AE⊥BP，垂足为E，连DE，求DE的最小值.4.如上右图，E、F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD 于G，连接BE交AG于点H，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是_________类型五、中位线+三点共线求最值1.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D在AC上，且AD=8，将线段AD绕点A旋转至AD΄，F为BD΄的中点，连结CF，则线段CF的最大值为多少？2. 如图，在△ABC中，AC=4，点F为BC边的中点，BD=6，点E为AD边的中点，将线段BD绕点D旋转，则EF的最小值是．类型六、旋转+三点共线求最值1.如图，PA=2，PB=4，以AB为一边做正方形ABCD，使P，D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时。

四边形求边的问题
四边形求边的问题需要根据四边形的类型和已知条件来确定求边的方法。

以下是一些常见的四边形求边问题及其解法：
1. 平行四边形求边：如果已知平行四边形的面积和高，则可以用面积公式S = bh 求出底边的长度，其中 b 为底边长度，h 为高。

2. 矩形求边：如果已知矩形的周长和面积，则可以用周长公式 C = 2(l + w) 和面积公式 A = lw 求出长和宽的长度，其中l 为长，w 为宽。

3. 菱形求边：如果已知菱形的面积和对角线的长度，则可以用面积公式S = d1 * d2 / 2 求出边长的长度，其中d1 和d2 分别为两条对角线的长度。

4. 梯形求边：如果已知梯形的上底、下底和面积，则可以用面积公式S = (a + b) * h / 2 求出高的长度，其中 a 和b 分别为梯形的上底和下底的长度，h 为高。

需要注意的是，在求四边形的边长时，需要先根据题目给出的信息确定四边形的类型，然后再选择相应的求解方法。

解平行四边形的角度与边长问题在几何学中，平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。

解决平行四边形的角度和边长问题，我们需要了解平行四边形的性质和相关定理。

本文将详细讨论平行四边形的角度和边长问题，并给出相应的解决方法。

一、平行四边形的性质平行四边形的性质有：1. 对边平行性质：平行四边形的两对对边是平行的。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线相交于一点，且互相平分。

3. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。

4. 对边长度性质：平行四边形的对边长度相等。

基于这些性质，我们可以解决与平行四边形的角度和边长有关的问题。

二、平行四边形的角度问题在解决平行四边形的角度问题时，我们常常需要求解平行四边形的各个角度大小。

1. 相邻角性质：平行四边形的相邻内角互补，即相邻内角的和为180度。

例如，若一个内角的度数为x，则其相邻内角的度数为180度减去x。

2. 对角性质：平行四边形的对角是相等的。

如果我们已知一个对角的度数，那么另一个对角的度数也相等。

通过利用这些性质，我们可以轻松求解平行四边形的角度问题。

例如，已知平行四边形的一个内角度数为60度，那么其相邻内角度数为180度减去60度，即120度。

同时，由于对角性质，另一个对角的度数也为60度。

三、平行四边形的边长问题在解决平行四边形的边长问题时，我们通常需要求解平行四边形的各边长度。

1. 对边长度性质：平行四边形的对边长度相等。

假设平行四边形ABCD的对边AB和CD的长度分别为a和b，则对边BC和AD的长度也分别为a和b。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。

如果我们已知平行四边形的一个对角线长度，那么可以利用该对角线平分另一对角线，并利用三角形的性质求解边长问题。

通过运用这些性质，我们可以解决平行四边形的边长问题。

例如，已知平行四边形ABCD的对边AB的长度为5cm，对角线BD的长度为8cm。

根据对边长度性质，我们可以得知对边CD的长度也为5cm。