2.3模式性质

自然数的性质与运算定律自然数是人们日常生活中最常见的数，即从1开始一直向正无穷方向延伸的数集。

它们具有一些独特的性质和运算定律，对于我们理解数学的基本概念和推理方法有着重要的作用。

本文将介绍自然数的几个重要性质和运算定律，并探讨它们在实际问题中的应用。

1. 自然数的性质1.1 唯一性：每个自然数都是独一无二的。

不同的自然数具有不同的值，不存在两个自然数是相同的。

1.2 顺序性：自然数按照从小到大的顺序排列。

后面的自然数总是比前面的自然数大。

1.3 无穷性：自然数是无限多的，不存在最大自然数。

无论我们取多大的自然数作为起点，总能找到比它更大的自然数。

1.4 基数性：每个自然数都表示某个集合中元素的个数。

例如，自然数3表示一个集合中有3个元素。

2. 自然数的运算定律2.1 加法运算加法是自然数最基本的运算之一，表示两个自然数的求和。

对于任意自然数a、b和c，满足以下运算定律：（1）交换律：a + b = b + a，即加法的顺序不影响最终的结果。

（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，即无论加法的括号如何分配，最终的结果是相同的。

（3）零元素：存在一个自然数0，使得 a + 0 = a 对于任意自然数a 成立。

0被称为加法的零元素。

2.2 乘法运算乘法是自然数中另一个重要的运算，表示两个自然数的相乘。

对于任意自然数a、b和c，满足以下运算定律：（1）交换律：a × b = b × a，即乘法的顺序不影响最终的结果。

（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)，即无论乘法的括号如何分配，最终的结果是相同的。

（3）单位元素：存在一个自然数1，使得 a × 1 = a 对于任意自然数a 成立。

1被称为乘法的单位元素。

（4）分配律：a × (b + c) = a × b + a × c，即乘法对于加法具有分配律。

西师⼤版数学五年级下册《2.3分数的基本性质》教案2.3 分数的基本性质◆教学内容教材第27-29页“分数的基本性质”，课堂活动及练习⼋的相关内容。

◆教材提⽰这节课学习的主要内容是分数的基本性质，本节的教学要抓住两点：第⼀点：分数的基本性质的认识。

第⼆点：分数的基本性质的应⽤。

因为本节课的内容是后⾯学习约分和通分的基础，因此在教学中要注意：1.理解和掌握分数的基本性质就显得⾮常重要。

为了更好地让学⽣理解分数的基本性质，在教学中，教师要让学⽣通过折⼀折，⽐⼀⽐，从⽽得出这4个分数表⽰的⼤⼩是⼀样的，但分⼦和分母不同，分⼦都是分母的⼀半，再通过对⽐两个分数分⼦与分母的关系，从⽽得出分⼦和分母同时扩⼤和缩⼩相同的倍数，分数的⼤⼩不变这⼀分数的基本性质。

2.在教学中，要让学⽣通过⾃⼰动⼿折⼀折，涂⼀涂，写⼀写，直观地得出分数分成的份数与取的份数的倍数关系，从⽽经历分数的基本性质的形成过程。

◆教学⽬标知识与技能：理解并掌握分数的基本性质，知道分数的基本性质与整数除法中的商不变的性质的关系。

能运⽤分数的基本性质把⼀个分数化成分母是指定分母且⼤⼩与原分数相等的分数。

过程与⽅法：通过动⼿实践，发现并总结规律，培养学⽣观察和动⼿实践的能⼒，进⼀步发展学⽣的数学思维。

情感、态度和价值观：在让学⽣经历了观察、操作和讨论的学习的过程中，养成良好的倾听和积极表达的习惯，让学⽣在学习的过程中体验数学学习的乐趣。

◆重点、难点重点理解并掌握分数的基本性质。

难点把⼀个分数化成分母是指定分母且⼤⼩与原分数相等的分数。

◆教学准备教师准备：课件。

学⽣准备：草稿纸。

纸⽚（4张⼀样⼤的）。

◆教学过程（⼀）新课导⼊：1、故事引⼊。

有兄弟四⼈出外游玩，天⽓炎热，于是他们买了⼀个西⽠，买⽠的⼈把这个西⽠的41分给了第⼀个⼩朋友，把这个西⽠的82分给了第⼆个⼈，把这个西⽠的123分给了第三个⼈，把剩下的给了第四个⼈，这四个⼈都觉得分的不公平，于是吵了起来，但是⽠农的⼀句话，使这四个⼩朋友马上安静了下来，你知道是为什么吗？2、画图探究。

higgs粒子主要衰变道概述及解释说明1. 引言1.1 概述在物理学领域，higgs粒子是一种由标准模型预测的基本粒子，也被称为希格斯玻色子。

它于2012年由欧洲核子研究组织（CERN）的大型强子对撞机（LHC）实验团队通过其主要衰变道进行探测而被确认存在。

1.2 文章结构本文将首先介绍higgs粒子的基本概念和发现历程。

然后，我们将重点讨论higgs粒子主要衰变道，并解释了了解这些衰变道的重要性。

接下来，我们将对常见的higgs粒子衰变模式进行详细分析并介绍每个模式的特点。

最后，我们将总结回顾主要衰变道及其解释说明，并展望未来在该领域的研究方向。

1.3 目的本文旨在提供一个全面而清晰的概述，以帮助读者深入了解higgs粒子主要衰变道及其重要性。

通过对不同衰变模式的分析和研究进展，我们希望能够揭示更多关于higgs粒子特性和基本物理规律的信息，并为未来的研究提供指导和启示。

2. higgs粒子2.1 简介Higgs粒子是由彼得·希格斯（Peter Higgs）等科学家在1964年提出的，也被称为希格斯玻色子。

它是标准模型中的一种基本粒子，具有自旋零和非常特殊的质量。

Higgs粒子被认为是解释元素粒子获得质量机制的关键。

2.2 发现历程通过欧洲核子研究中心（CERN）的大型强子对撞机（LHC）在2012年实验数据的分析后，宣布正式发现了Higgs粒子。

这个发现对于理解基本粒子物理学和揭示宇宙组成起到了重要作用。

2.3 特性与重要性Higgs粒子与其他基本粒子不同，因为它是唯一一个在标准模型中没有自旋零点的费米子或玻色子。

通过与其他基本粒子相互作用，Higgs场赋予这些基本粒子质量，并且对其行为产生关键影响。

Higgs粒子的发现证实了希格斯场存在，并且奠定了标准模型的一部分，这是目前最广泛接受的描述微观世界的理论框架。

Higgs粒子的理解对于揭示宇宙的演化和基本粒子物理学的未来研究具有重要意义。

北师大版七下数学2.3.2平行线的性质教案一. 教材分析《北师大版七下数学》2.3.2平行线的性质是学生在学习了直线、射线、线段以及平行线的基本概念之后的一个单元。

本节课主要引导学生探究平行线的性质，让学生通过观察、猜想、验证、归纳等过程，理解和掌握平行线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

教材中提供了丰富的素材，通过学生的自主探究和合作交流，使学生能够深刻理解并熟练运用平行线的性质。

二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经初步学习了直线、射线、线段等基本概念，对图形有了一定的认识。

但是，对于平行线的性质，他们可能还停留在直观的感受上，缺乏系统的理论支持。

因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过引导、启发、激励，让学生主动参与学习，提高他们的自主学习能力。

三. 教学目标1.理解平行线的性质，并能够熟练运用。

2.培养学生的观察能力、猜想能力、验证能力和归纳能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

4.培养学生的合作意识和团队精神。

四. 教学重难点1.重点：平行线的性质。

2.难点：平行线性质的证明和运用。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

2.探究法：学生通过观察、猜想、验证、归纳等过程，自主探究平行线的性质。

3.合作交流法：学生分组进行讨论，分享学习心得，互相学习，共同进步。

六. 教学准备1.准备相关的图形素材，如直线、射线、线段、平行线等。

2.准备黑板、粉笔等教学工具。

3.准备课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、射线、线段等基本概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示直线、射线、线段和平行线的图形，让学生观察并猜想平行线的性质。

3.操练（10分钟）教师引导学生进行小组讨论，分享各自的猜想，并尝试用已知知识验证平行线的性质。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师挑选一些典型的题目让学生进行练习，巩固对平行线性质的理解和运用。

浙教版数学九年级上册2.3《二次函数的性质》教案一. 教材分析《二次函数的性质》是浙教版数学九年级上册第2.3节的内容。

这部分内容是在学生已经学习了函数概念、一次函数和二次方程的基础上，进一步引导学生探究二次函数的图象和性质，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

本节课的主要内容有：二次函数的图象、顶点、对称轴和开口方向等概念，以及它们之间的关系。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于一次函数的概念和性质有一定的了解。

但二次函数的图象和性质较为复杂，需要学生通过观察、分析、归纳等方法来探究。

此外，学生对于实际问题中蕴含的数学规律的发现和应用能力还需加强。

三. 教学目标1.理解二次函数的图象和性质，能够说出二次函数的顶点、对称轴和开口方向等概念。

2.能够通过观察、分析、归纳等方法，探究二次函数的图象和性质之间的关系。

3.能够运用二次函数的性质解决实际问题。

四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的概念。

2.二次函数的图象和性质之间的关系。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法来探究二次函数的性质。

2.利用多媒体课件，展示二次函数的图象和性质，帮助学生直观地理解。

3.结合实际问题，培养学生的应用能力。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些实际问题，引导学生运用已学的函数知识解决。

通过问题的解决，引出二次函数的图象和性质这一节的内容。

2.呈现（15分钟）展示二次函数的图象和性质，让学生观察并描述。

引导学生发现二次函数的顶点、对称轴和开口方向等概念，并解释它们的含义。

3.操练（15分钟）让学生通过观察、分析、归纳等方法，探究二次函数的图象和性质之间的关系。

可以设置一些练习题，让学生在课堂上完成。

4.巩固（10分钟）对学生的练习进行点评，纠正错误，巩固所学知识。

可以设置一些小组活动，让学生互相讨论和交流。

平方数与立方数引导孩子认识平方数和立方数的特性数学是一门抽象而又具体的学科，对于孩子来说，掌握基本的数学概念是非常重要的。

而其中，平方数和立方数作为数的特殊性质，能够帮助孩子深入理解数的规律和计算方法。

本文将为大家介绍平方数和立方数的定义和特性，并提供一些建议和活动，以便引导孩子更好地认识平方数和立方数。

1. 平方数的特性平方数是某个整数与自身相乘得到的数。

比如，1、4、9、16等都是完全平方数。

这些数具有一些特殊的性质，我们来一一了解。

1.1 平方数的性质一：连续平方数连续平方数是指相邻的两个平方数之间没有其他整数。

例如，4和9是连续平方数，但4和16之间存在整数8。

1.2 平方数的性质二：循环模式平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。

例如，16的个位数是6，而25的个位数是5。

这种循环模式可以帮助孩子快速判断一个数是否为平方数。

1.3 平方数的性质三：平方根每个平方数都有一个唯一的平方根，平方根是指一个数的平方等于被开方数。

例如，9的平方根是3，因为3 × 3 = 9。

2. 立方数的特性立方数是某个整数与自身连乘三次得到的数。

比如，1、8、27、64等都是立方数。

立方数也有一些特殊的性质，我们来一一了解。

2.1 立方数的性质一：连续立方数连续立方数是指相邻的两个立方数之间没有其他整数。

例如，8和27是连续立方数。

2.2 立方数的性质二：立方根与平方数不同，立方数有两个平方根。

例如，8的立方根是2，因为2 × 2 × 2 = 8；同样，-2也是8的立方根，因为-2 × -2 × -2 = 8。

2.3 立方数的性质三：个位数的循环立方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。

例如，27的个位数是7，64的个位数是4。

同样，这种循环模式可以帮助孩子快速判断一个数是否为立方数。

3. 引导孩子认识平方数和立方数的活动为了帮助孩子更好地认识平方数和立方数的特性，我们可以进行一些趣味活动，增加他们的数学学习兴趣。

北师大新版七年级下学期《2.3 平行线的性质》同步练习卷一．选择题（共25小题）1．如图，已知AB∥CD，∠BEG=58°，∠G=30°，则∠HFG的度数为（）A．28°B．29°C．30°D．32°2．如图，AB∥CD，∠AFE=135°，∠D=80°，则∠E等于（）A．55°B．45°C．80°D．50°3．如图，AC∥BE，∠ABE=70°，则∠A的度数为（）A．70°B．65°C．50°D．140°4．如图，DE∥AB，若∠A=60°，则∠ACE=（）A．30°B．60°C．70°D．120°5．如图，∠A的一边AB为平面镜，另一边AC上有一点D，从D点射出一束光线经AB上一点E反射，反射光线EF恰好与AC平行，已知∠AED=∠BEF，∠EDC=70°，则∠A的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°6．如图，直线l1和直线l2被直线l所截，已知l1∥l2，∠1=70°，则∠2的度数是（）A．50°B．70°C．90°D．110°7．如图，现将一块三角板的含有60°的角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=80°，那么∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，直线a∥b，则∠1与∠2不一定相等的是（）A．B．C．D．9．将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果∠1=58°，那么∠2的度数为（）A．32°B．58°C．138°D．148°10．如图，AB∥EF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=36°，则∠ADC 的度数（）A．106°B．116°C．126°D．136°11．如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板如图放置，直角顶点落在直线b 上，若∠1=55°，则∠2的度数为（）A．30°B．35°C．45°D．55°12．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，已知∠FEG=36°，则∠EFG=（）A．36°B．72°C．108°D．144°13．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．150°D．180°14．如图，直线m∥n，一个含30°角的直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）A．38°B．42°C．52°D．68°15．如图，直线a∥b，Rt△BCD如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°16．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．130°B．140°C．120°D．125°17．如图，已知直线AB∥CD，∠BEG的平分线EF交CD于点F，若∠1=42°，则∠2等于（）A．159°B．148°C．142°D．138°18．一辆汽车在直路上行驶，两次拐弯后，仍按原来的方向行驶，那么这两次拐弯是（）A．第一次向右拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐30°，第二次向右拐150°C．第一次向左拐30°，第二次向右拐150°D．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°19．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°20．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是（）A．18°B．126°C．18°或126°D．以上都不对21．如图所示，AB∥CD∥EF，CG平分∠DCE，AF平分∠BAE，则图中与∠CGE 相等的角共有（不包括∠CGE）（）个．A．5B．6C．7D．822．如图，a∥b，将一块三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1=42°，求∠2的度数．以下是排乱的推理过程：①∵∠1=42°②∵a∥b③∴∠3=90°﹣42°=48°④∴∠2=48°⑤∴∠2=∠3推理步骤正确的顺序是（）A．①→③→②→④→⑤B．①→③→②→⑤→④C．①→⑤→②→③→④D．②→③→①→④→⑤23．如图，已知直线a∥b，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点分别放在直线a、b上，若∠1=62°，则∠2的度数为（）A．28°B．32°C．38°D．40°24．如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D，C两点分别落在点D′，C′的位置，∠DEF=∠D′EF，并利用量角器量得∠EFB=66°，则∠AED′的度数为（）A．66°B．132°C．48°D．38°25．如图，长方形纸片ABCD的边长AB=2，AD=2，将长方形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，如果∠BCE=30°，则∠DFE的大小是（）A．120°B．110°C．115°D．105°二．填空题（共14小题）26．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2，若∠1=75°，则∠2的度数为．27．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，则图中∠1与∠2之间的数量关系为．28．用一张长方形纸条折成如图所示图形，如果∠1=62°，那么∠2=．29．如图，直线m∥n，若∠1=70°，∠2=25°，则∠A等于．30．如图，直线AB∥CD，E为直线AB上一点，EH，EM分别交直线CD与点F、M，EH平分∠AEM，MN⊥AB，垂足为点N，∠CFH=α，∠EMN=（用含α的式子表示）31．如图，小明把一块含有60°锐角的直角三角板的三个顶点分别放在一组平行线上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是．32．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2=．33．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1=45°，则∠2=．34．如图，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，若∠C=50°，则∠AED=°．35．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=．36．如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=．37．如图是一架婴儿车，其中AB∥CD，∠BFG=50°，∠D=40°，那么∠AEF=．38．如图，已知直线a∥b，∠1=72°，∠2=38°，则∠3=°．39．如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为．三．解答题（共11小题）40．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，求∠FAG的度数．41．如图，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了证明“∠A+∠B+∠C=180°”的过程，请补充完整：证明：∵DE∥AC，EF∥AB（已知），∴∠1=∠，∠3=∠，∠4=∠（两直线平行，同位角相等）∵EF∥AB（已知）∴∠2=∠4（）∴∠2=∠A（等量代换）∵∠1+∠2+∠3=180°（）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．42．如图，已知EF∥AB，∠1=∠B，求证：∠EDC=∠DCB．43．根据下面解答过程，完成下面填空：如图，已知AB∥CD∥EF，∠A=105°，∠ACE=51°，求∠E的度数．44．如图DE⊥AB，EF∥AC，∠A=35°，求∠DEF的度数．45．如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，问：EP⊥FP吗？请说明理由．46．已知AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．求证：∠AGF=∠F．47．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°，∠DEF=80°．（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由．（2）求∠AFE的度数．48．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，你能算出∠EAD、∠DAC、∠EAC的度数吗？49．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数．50．已知AB∥CD，AD∥BC，E为CB延长线上一点，∠EAF=∠EFA．（1）求证：AF平分∠EAD；（2）若AG平分∠EAB，∠D=70°，求∠GAF的度数．北师大新版七年级下学期《2.3 平行线的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．如图，已知AB∥CD，∠BEG=58°，∠G=30°，则∠HFG的度数为（）A．28°B．29°C．30°D．32°【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得∠EHF的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠BEG=58°，∴∠EHF=58°，∵∠G=30°，∴∠HFG=58°﹣30°=28°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质与三角形外角的性质的定义，解题的依据是：两直线平行，内错角相等．2．如图，AB∥CD，∠AFE=135°，∠D=80°，则∠E等于（）A．55°B．45°C．80°D．50°【分析】先根据两直线平行内错角相等得出∠DGF=∠AFE=135°，由邻补角定义得出∠DGE=45°，最后根据三角形的内角和为180°可得答案．【解答】解：∵AB∥CD，∠AFE=135°，∴∠DGF=∠AFE=135°，∴∠DGE=180°﹣∠DGF=45°，∵∠D=80°，∴∠E=180°﹣∠D﹣∠DGE=55°，故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．3．如图，AC∥BE，∠ABE=70°，则∠A的度数为（）A．70°B．65°C．50°D．140°【分析】根据平行线的性质进行判断即可，两直线平行，内错角相等．【解答】解：∵AC∥BE，∴∠A=∠ABE=70°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．4．如图，DE∥AB，若∠A=60°，则∠ACE=（）A．30°B．60°C．70°D．120°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠A+∠ACE=180°，∴∠ACE=180°﹣60°=120°．故选：D．【点评】本题考查了平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5．如图，∠A的一边AB为平面镜，另一边AC上有一点D，从D点射出一束光线经AB上一点E反射，反射光线EF恰好与AC平行，已知∠AED=∠BEF，∠EDC=70°，则∠A的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】过点E作EH⊥AB交AC于点H．根据题意知，EH是∠DEF的角平分线，故∠1=∠3；然后又由两直线EF∥AC推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠A的度数．【解答】解：过点E作EH⊥AB交AC于点H．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3，∵EF∥AC，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2=∠3（等量代换）；∵∠EDC=70°，∴∠2=∠3=55°，在Rt△AEH中，∠AEH=90°，∠2=55°，∴∠A=90°﹣55°=35°；故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．6．如图，直线l1和直线l2被直线l所截，已知l1∥l2，∠1=70°，则∠2的度数是（）A．50°B．70°C．90°D．110°【分析】根据平行线的性质得出∠2=∠3，然后根据对顶角相等得出∠3=∠1=70°，即可求出答案．【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠3=∠2，∵∠3=∠1=70°，∴∠2=70°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．7．如图，现将一块三角板的含有60°的角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=80°，那么∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】先根据两直线平行的性质，得到∠3=∠2，再根据平角的定义，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3=∠2，∵∠1=80°，∴80°+60°+∠3=180°，∴∠3=40°，∴∠2=40°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．8．如图，直线a∥b，则∠1与∠2不一定相等的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线的性质分析选择．【解答】解：A、∵a∥b，∴∠1=∠2，正确；B、∵a∥b，∴∠1=∠2，正确；C、∵a∥b，∴∠1=∠2，正确；D、∵a∥b，∴∠1+∠2=180°，错误；故选：D．【点评】此题考查平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．9．将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果∠1=58°，那么∠2的度数为（）A．32°B．58°C．138°D．148°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+58°=148°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=148°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．10．如图，AB∥EF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=36°，则∠ADC 的度数（）A．106°B．116°C．126°D．136°【分析】依据BE∥AF，∠A=36°，即可得到∠B=∠A=36°，再根据DC⊥BE，即可得出∠ADC=∠B+∠BCD=36°+90°=126°．【解答】解：∵BE∥AF，∠A=36°，∴∠B=∠A=36°，又∵DC⊥BE，∴∠ADC=∠B+∠BCD=36°+90°=126°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．11．如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板如图放置，直角顶点落在直线b 上，若∠1=55°，则∠2的度数为（）A．30°B．35°C．45°D．55°【分析】依据直角顶点落在直线b上，∠1=55°，即可得到∠3=90°﹣55°=35°，再根据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=35°．【解答】解：∵直角顶点落在直线b上，∠1=55°，∴∠3=90°﹣55°=35°，又∵a∥b，∴∠2=∠3=35°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．12．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，已知∠FEG=36°，则∠EFG=（）A．36°B．72°C．108°D．144°【分析】依据EG平分∠AEF，∠FEG=36°，即可得到∠AEF=72°，再根据平行线的性质，即可得出∠EFG=180°﹣∠AEF=108°．【解答】解：∵EG平分∠AEF，∠FEG=36°，∴∠AEF=72°，又∵AB∥CD，∴∠EFG=180°﹣∠AEF=108°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．13．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．150°D．180°【分析】先利用平行线的性质得出∠1=∠3，∠2=∠4，最后利用直角三角形的性质即可．【解答】解：如图，过直角顶点作l3∥l1，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥l3，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线，是一道基础题目．14．如图，直线m∥n，一个含30°角的直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）A．38°B．42°C．52°D．68°【分析】先求出∠1，再根据两直线平行，同位角相等可得∠α=∠1．【解答】解：如图，∠1=180°﹣60°﹣52°=68°，∵直线m∥n，∴∠α=∠1=68°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，要求正确观察图形，熟练掌握平行线的性质．15．如图，直线a∥b，Rt△BCD如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°【分析】由三角形外角性质求出∠3的度数，再由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到∠3+∠4+∠2的度数，根据∠3与∠4的度数求出∠2的度数即可．【解答】解：∵∠3为三角形的外角，∴∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∴∠3+∠4+∠2=180°，∵∠4=90°，∠3=70°，∴∠2=20°．故选：A．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．16．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．130°B．140°C．120°D．125°【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．【解答】解：∵∠1=40°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°，∴∠4=180°﹣50°=130°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠4=130°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．17．如图，已知直线AB∥CD，∠BEG的平分线EF交CD于点F，若∠1=42°，则∠2等于（）A．159°B．148°C．142°D．138°【分析】根据平行线的性质可得∠GEB=∠1=42°，然后根据EF为∠GEB的平分线可得出∠FEB的度数，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠GEB=∠1=40°，∵EF为∠GEB的平分线，∴∠FEB=∠GEB=21°，∴∠2=180°﹣∠FEB=159°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．18．一辆汽车在直路上行驶，两次拐弯后，仍按原来的方向行驶，那么这两次拐弯是（）A．第一次向右拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐30°，第二次向右拐150°C．第一次向左拐30°，第二次向右拐150°D．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等．【解答】解：如图所示，∵∠1=∠2=30°，∴AB∥CD，且两次拐弯方向相反，∴第一次向左拐30°，第二次向右拐30°．故选：D．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．19．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．20．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是（）A．18°B．126°C．18°或126°D．以上都不对【分析】由∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，然后设∠α=x°，由∠α比∠β的3倍少36°，分别从∠α与∠β相等或互补去分析，求得方程，解方程即可求得∠α的度数．【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，∴∠α与∠β相等或互补，设∠α=x°，∵∠α比∠β的3倍少36°，∴若∠α与∠β相等，则x=3x﹣36，解得：x=18，若∠α与∠β互补，则x=3（180﹣x）﹣36，解得：x=126，∴∠α的度数是18°或126°．故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意若∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，注意方程思想与分类讨论思想的应用．21．如图所示，AB∥CD∥EF，CG平分∠DCE，AF平分∠BAE，则图中与∠CGE 相等的角共有（不包括∠CGE）（）个．A．5B．6C．7D．8【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，CG平分∠DCE，AF平分∠BAE，∴图中与∠CGE相等的角有∠HFG，∠DCG，∠ECG，∠CAF，∠BAF，∠AHC，∠DHF故选：C．【点评】本题考查了平行线性质，对顶角相等，角平分线的定义的应用，主要考查学生的推理能力．22．如图，a∥b，将一块三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1=42°，求∠2的度数．以下是排乱的推理过程：①∵∠1=42°②∵a∥b③∴∠3=90°﹣42°=48°④∴∠2=48°⑤∴∠2=∠3推理步骤正确的顺序是（）A．①→③→②→④→⑤B．①→③→②→⑤→④C．①→⑤→②→③→④D．②→③→①→④→⑤【分析】根据直角的定义求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．【解答】解：①∵∠1=42°，③∴∠3=90°﹣42°=48°②∵a∥b⑤∴∠2=∠3④∴∠2=48°故推理步骤正确的顺序是①→③→②→⑤→④．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能求出∠2=∠3是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．23．如图，已知直线a∥b，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点分别放在直线a、b上，若∠1=62°，则∠2的度数为（）A．28°B．32°C．38°D．40°【分析】根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据角的和差关系即可求解．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1=62°，∴∠3=62°，90°﹣60°=30°，∴∠2=62°﹣30°=32°．故选：B．【点评】考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．24．如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D，C两点分别落在点D′，C′的位置，∠DEF=∠D′EF，并利用量角器量得∠EFB=66°，则∠AED′的度数为（）A．66°B．132°C．48°D．38°【分析】先根据平角的定义求出∠EFC，根据平行线的性质求出∠DEF，根据折叠求出∠D′EF，即可求出答案．【解答】解：∵∠EFB=66°，∴∠EFC=180°﹣66°=114°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF=180°﹣∠EFC=180°﹣114°=66°，∵沿EF折叠D和D′重合，∴∠D′EF=∠DEF=66°，∴∠AED′=180°﹣66°﹣66°=48°．故选：C．【点评】本题考查了折叠性质，矩形性质，平行线的性质的应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．25．如图，长方形纸片ABCD的边长AB=2，AD=2，将长方形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，如果∠BCE=30°，则∠DFE的大小是（）A．120°B．110°C．115°D．105°【分析】先根据三角形内角和定理得到∠BEC的度数，再根据折叠的性质即可得到∠AEF的度数，最后根据平行线的性质，即可得到∠DFE的度数．【解答】解：∵∠BCE=30°，∠B=90°，∴∠BEC=60°，由折叠可得，∠AEF=∠CEF，∴∠AEF=（180°﹣∠BEC）=60°，由CD∥AB，可得∠AEF+∠DFE=180°，∴∠DFE=180°﹣60°=120°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．二．填空题（共14小题）26．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2，若∠1=75°，则∠2的度数为15°．【分析】过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可知∠1+∠2=∠AEC=90°，进而得到∠2的度数．【解答】解：如图，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，∴∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°，又∵∠1=75°，∴∠2=15°．故答案为：15°．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．27．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，则图中∠1与∠2之间的数量关系为∠2﹣∠1=90°．【分析】先根据平角的定义得出∠3=180°﹣∠2，再由平行线的性质得出∠4=∠3，根据∠4+∠1=90°即可得出结论．【解答】解：∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°﹣∠2．∵直尺的两边互相平行，∴∠4=∠3，∴∠4=180°﹣∠2．∵∠4+∠1=90°，∴180°﹣∠2+∠1=90°，即∠2﹣∠1=90°．∴∠1与∠2之间的数量关系为：∠2﹣∠1=90°，故答案为：∠2﹣∠1=90°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．28．用一张长方形纸条折成如图所示图形，如果∠1=62°，那么∠2=59°．【分析】由折叠可得，∠2=∠BEF，依据∠1=62°，即可得到∠2=（180°﹣62°）=59°．【解答】解：由折叠可得，∠2=∠BEF，又∵∠1=62°，∴∠2=（180°﹣62°）=59°，故答案为：59°．【点评】本题考查了折叠性质，平行线性质的应用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．29．如图，直线m∥n，若∠1=70°，∠2=25°，则∠A等于45°．【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．【解答】解：如图，∵直线m∥n，∴∠1=∠3，∵∠1=70°，∴∠3=70°，∵∠3=∠2+∠A，∠2=25°，∴∠A=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，解决问题的关键是求出∠3的度数．30．如图，直线AB∥CD，E为直线AB上一点，EH，EM分别交直线CD与点F、M，EH平分∠AEM，MN⊥AB，垂足为点N，∠CFH=α，∠EMN=2α﹣90°（用含α的式子表示）【分析】先利用平行线的性质得到∠AEH=∠CFH=α，再根据角平分线定义得到∠MEH=∠AEH=α，则利用邻补角的定义得到∠MEN=180°﹣2α，然后根据三角形内角和计算∠EMN的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEH=∠CFH=α，∵EH平分∠AEM，∴∠MEH=∠AEH=α，∴∠MEN=180°﹣2α，∵MN⊥AB，∴∠MNE=90°，∴∠EMN=90°﹣（180°﹣2α）=2α﹣90°．故答案为2α﹣90°．【点评】本题考查了平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．31．如图，小明把一块含有60°锐角的直角三角板的三个顶点分别放在一组平行线上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是40°．【分析】先根据a∥b得出∠1=∠3=20°，再求出∠4的度数，由b∥c即可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1=20°，∴∠1=∠3=30°，∴∠4=60°﹣20°=40°．∵b∥c，∴∠2=∠4=40°．故答案为：40°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．32．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2=35°．【分析】由垂线的性质和平角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，∵a∥b，∴∠2=∠3=35°．故答案为：35°．【点评】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．33．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1=45°，则∠2=135°．【分析】直接利用平行线的性质结合邻补角的性质得出答案．【解答】解：∵直线a∥b，∠1=45°，∴∠3=45°，∴∠2=180°﹣45°=135°．故答案为：135°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．34．如图，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，若∠C=50°，则∠AED=50°．【分析】依据DE∥BC，可得∠AED=∠C，利用∠C=50°，即可得到∠AED=50°．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠AED=∠C，又∵∠C=50°，∴∠AED=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．35．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=85°．【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1=40°，∠4=45°，∴∠3=∠1+∠4=85°，∵矩形对边平行，∴∠2=∠3=85°．故答案为：85°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．36．如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=60°．【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．【解答】解：∵DA⊥CE，∴∠DAE=90°，∵∠EAB=30°，∴∠BAD=60°，又∵AB∥CD，∴∠D=∠BAD=60°，故答案为：60°．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．37．如图是一架婴儿车，其中AB∥CD，∠BFG=50°，∠D=40°，那么∠AEF=90°．【分析】直接利用平行线的性质得出∠A=∠D=40°，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠D=40°，∵∠BFG=50°，∴∠AFE=50°，∴∠AEF=180°﹣40°﹣50°=90°．故答案为：90°．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，正确得出∠A度数是解题关键．38．如图，已知直线a∥b，∠1=72°，∠2=38°，则∠3=70°．【分析】依据a∥b，即可得到∠2=∠4=38°，再根据∠1=72°，即可得到∠3的度数．【解答】解：∵a∥b，∴∠2=∠4=38°，又∵∠1=72°，∴∠3=180°﹣38°﹣72°=70°，故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．39．如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为52°．【分析】依据AB∥CD，∠EGF=64°，即可得到∠BEG=∠EGF=64°，再根据EG平分∠BEF，即可得到∠BEF=2∠BEG=128°，进而得出∠AEF=180°﹣128°=52°．【解答】解：∵AB∥CD，∠EGF=64°，∴∠BEG=∠EGF=64°，又∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠BEG=128°，∴∠AEF=180°﹣128°=52°，故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键．三．解答题（共11小题）40．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，求∠FAG的度数．【分析】由平行线的性质得到∠BAC=∠ECF=70°；利用邻补角的定义、角平分线的定义，即可求∠FAG的度数．【解答】解：如图，∵AB∥ED，∠ECF=70°，∴∠BAC=∠ECF=70°，∴∠FAB=180°﹣∠BAC=110°．又∵AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠BAC=35°，∴∠FAG=∠FAB+∠BAG=145°．【点评】本题考查了平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”求得∠BAC 的度数是解题的难点．41．如图，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了证明“∠A+∠B+∠C=180°”的过程，请补充完整：证明：∵DE∥AC，EF∥AB（已知），∴∠1=∠C，∠3=∠B，∠4=∠A（两直线平行，同位角相等）∵EF∥AB（已知）∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠2=∠A（等量代换）∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的性质）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．【分析】先由DE∥AC，AB∥EF，根据平行线的性质得出∠1=∠C，∠3=∠B，∠2=∠4，进而得到∠A+∠B+∠C=180°．【解答】证明：∵DE∥AC，EF∥AB（已知），∴∠1=∠C，∠3=∠B，∠4=∠A（两直线平行，同位角相等）∵EF∥AB（已知）∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠2=∠A（等量代换）∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的性质）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．故答案为：C；B；A；两直线平行，内错角相等；平角的性质．【点评】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．42．如图，已知EF∥AB，∠1=∠B，求证：∠EDC=∠DCB．【分析】证明∠EDC=∠DCB，只需具备DE∥BC即可，可以考虑证得∠ADE=∠B，而∠1与这两个角都相等．【解答】证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠ADE，∵∠1=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．43．根据下面解答过程，完成下面填空：如图，已知AB∥CD∥EF，∠A=105°，∠ACE=51°，求∠E的度数．【分析】直接利用平行线的性质得出∠ACD=75°，进而得出∠DCE=24°，再得出∠E=∠DCE即可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD（已知）．∴∠A+∠ACD=180°（同旁内角已互补，两直线平行）．∵∠A=105°．∴∠ACD=75°．∵∠DCE=∠ACD﹣∠ACE，∠ACE=51°．∴∠DCE=24°．∵CD∥EF（已知）．∴∠E=∠DCE（两直线平行、内错角相等）．∴∠E=24°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠DCE的度数是解题关键．44．如图DE⊥AB，EF∥AC，∠A=35°，求∠DEF的度数．【分析】先根据DE⊥AB可知∠ADE=90°，再由三角形外角的性质求出∠DGC的度数，根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠DGC是△ADG的外角，∠A=35°，∴∠DGC=∠A+∠ADG=35°+90°=125°，∵EF∥AC，∴∠DEF=∠DGC=125°．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．45．如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，问：EP⊥FP吗？请说明理由．【分析】要证EP⊥FP，即证∠PEF+∠EFP=90°，由角平分线的性质和平行线的性质可知，∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°．【解答】解：EP⊥FP．理由：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，∴∠PEF=∠BEF，∠EFP=∠EFD，∴∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，即EP⊥FP．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键就是找到∠PEF+∠EFP 与∠BEF+∠EFD之间的关系，运用整体代换思想．46．已知AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．求证：∠AGF=∠F．【分析】直接利用平行线的性质得出∠AGF=∠BAD，∠CAD=∠F，再利用角平分线的定义得出答案．【解答】证明：∵EF∥AD，∴∠AGF=∠BAD，∠CAD=∠F，又∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∴∠AGF=∠F．【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出相等的角是解题关键．47．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°，∠DEF=80°．（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由．（2）求∠AFE的度数．【分析】（1）先延长AF、DE相交于点G，根据两直线平行同旁内角互补可得∠CDE+∠G=180°．又已知∠CDE=∠BAF，等量代换可得∠BAF+∠G=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AB∥DE；（2）先延长BC、ED相交于点H，由垂直的定义得∠B=90°，再由两直线平行，同旁内角互补可得∠H+∠B=180°，所以∠H=90°，最后可结合图形，根据邻补角的定义求得∠AFE的度数．【解答】解：（1）AB∥DE．理由如下：延长AF、DE相交于点G，∵CD∥AF，。

空气间隙的击穿电压1. 引言空气间隙的击穿电压是指在一定条件下，当电场强度达到一定数值时，空气中会发生放电现象，形成导电通道。

这种现象被称为击穿，而此时的电场强度称为击穿电压。

空气间隙的击穿电压是研究和应用高压、高电场领域的重要参数之一。

2. 空气间隙的基本特性空气作为一种绝缘体，在正常情况下具有较高的绝缘性能。

然而，在某些情况下，如高压条件下或存在缺陷时，空气会发生击穿现象。

空气间隙的基本特性可以通过以下几个方面来描述：2.1 击穿机理空气中发生击穿过程主要涉及两个因素：自由电子产生和离子化过程。

当存在足够大的电场强度时，自由电子会被加速并与原子碰撞产生新的自由电子和离子。

这些自由电子和离子进一步加速，并引发更多碰撞和离子化反应，最终形成导电通道。

2.2 影响因素空气间隙的击穿电压受到多种因素的影响，包括： - 气体性质：空气中的成分和含湿量会影响击穿电压。

通常情况下，纯净干燥的空气具有较高的击穿电压。

- 电极形状和距离：电极之间的距离越小，击穿电压越低。

不同形状和尺寸的电极也会对击穿电压产生影响。

- 温度：温度升高会导致空气分子动能增加，从而降低击穿电压。

- 外加场强：外加场强越大，击穿电压越低。

2.3 击穿模式空气间隙在发生击穿时可以出现不同的模式，常见的模式包括均匀场击穿、不均匀场击穿和表面放电等。

不同模式下的击穿特性也有所差异。

3. 空气间隙的测量方法为了研究和应用空气间隙的击穿特性，需要进行相应的测量。

常见的空气间隙击穿电压测量方法包括：3.1 直流电压法直流电压法是最简单、常用的测量方法之一。

通过逐渐增加外加直流电压，观察击穿发生的电压值，即可得到空气间隙的击穿电压。

3.2 脉冲电压法脉冲电压法通过施加脉冲状的高电压信号，观察在不同脉冲幅值下的击穿情况，从而确定击穿电压。

3.3 正弦交流电压法正弦交流电压法通过施加正弦形式的交流高电压信号，观察在不同频率和幅值下的击穿现象，得到空气间隙的击穿特性。

2.3 减法的运算性质⏹教学内容教科书33页相关的课堂活动及练习。

减法的运算性质。

⏹教学提示在教学中，让学生发现计算对象(算式)的特点，是决定能否合理进行简便计算的首要前提。

减法性质其实是加法运算律的运用。

因此，在前面每一道例题的教学中，既要培养运用运算定律进行简便计算的意识，又要注意引导学生善于发现题中数据的一些特征，便于选择合适的方法进行简便计算。

⏹教学目标知识与技能：使学生进一步理解加法交换律和加法结合律，并能够应用进行简便计算。

过程与方法：在自主探索中使学生理解减法的运算性质。

情感态度与价值观：培养学生独立探索解决问题的能力。

培养学生计算的灵活性，增强自觉运用定律、性质的意识。

⏹重点、难点重点：使学生进一步理解加法交换律和加法结合律，并能够应用进行简便计算。

难点：在自主探索中使学生理解减法的运算性质。

⏹教学准备教师准备：教学课件⏹教学过程（一）新课导入多媒体出示课件（例4）师和学生交流：情景图中出示了三个已知条件，问题：还剩多少套服装？这个月一共进了250套服装。

第1周卖了58套，第2周卖了42套。

师质疑：同学们在小组之内交流一下怎样列式？说出数量关系式。

预设：用购进的服装的总套数-第一周卖的-第二周卖的= 还剩多少套服装。

学生在练习本上列出算式。

设计意图：直接利用例题导入新课，开门见山。

（二）探究新知1、探究减法的运算性质师质疑：同学们，说一说你的计算方法，在全班交流一下。

学生汇报自己的想法。

预设1：我们先算第1周卖了58套后还剩多少套： 250－58＝192（套），再算第2周卖了42套，还剩多少套： 192－42＝150（套）。

综合算式：250-58-42预设2：我们这组的想法和他们不同，比他们更好，先算出第1、2周共卖了多少套：58＋42＝100（套），再算现在还剩多少套：250－100＝150（套）。

综合算式：250-（58＋42）师和学生交流：在小组之内讨论这两个算式之间的关系。

2.3 RC2算法RC2是Ron.Rivest于1994年设计的一种新的分组算法。

RC2是可变密文长度、可变轮数、可变密钥长度的分组加密算法。

一般表示为RC2- ,这里三个参数的含义是密文长度为2 ,其中 = 16,32,64位，轮数 = 0,1,…,255 密钥长度 = 0,1,…,255字节。

人们通常选择RC2-32/12/16。

一般对 =32推荐 =12； =64推荐 =16。

密文长度为2 ，但是RC2加密算法的运算只在位的字上执行。

它有面向字的体系结构。

RC2加密算法的特点有：1)基本运算是微处理器上常见的初等运算并且是对整个字进行，所以速度快、适合硬件、软件实现；2)字的位数作为RC2的参数，适应不同字长的处理器；3)安全性依赖于旋转运算和不同运算的混合，它们是模加法“+”、按位加和循环左移 <<< 。

特别地，每次循环移位的次数都依赖于输入的数据，事先不能预测。

所以对密码分析有很强的抵抗力；4)存储要求低，适合在智能卡上实现；5)轮数和密钥长度可以变化。

RC2算法由密钥扩展算法、加密算法、解密算法组成。

密钥扩展算法从用户密钥得到长为2 +2个字节的扩展密钥，放入密钥表S[0],S[1], …,S[2r+1]中。

要求密钥扩展函数有单向性，这里介绍它的具体过程：1) 将b个字节的密钥K[0],K[1],…,K[b-1]拷贝成个字节长的向量L[0],L[1],…,L[c-1]。

必要时在后面填充适当数量的0。

2) 利用常数和获得初始化向量S。

这里是最接近的奇数，其中；是最接近的的奇数，其中。

形成初始化向量S3)把用户密钥混入S中首先将明文放在两个位的寄存器中。

得到密文解密算法。

只将加密算法中模加和左移分别改成模减和右移，最后得到明文。

2.4分组密码的运行模式分组密码提供实现加密数据的一个基本构件。

为了在各种类型应用中使用它们，FIPS74.81定义了四种运行模式：电子密码本、密文分组链接、密文反馈、输出反馈（见图2.5）。