可行方向法

zoutendijk可行方向法例题摘要：1.介绍zoutendijk 可行方向法2.阐述zoutendijk 可行方向法的应用3.分析zoutendijk 可行方向法的优势和局限性4.总结zoutendijk 可行方向法的重要性正文：1.介绍zoutendijk 可行方向法zoutendijk 可行方向法是一种用于解决运输问题的优化算法，它的核心思想是寻找一条最短路径，使得该路径上的运输成本最小。

这种方法主要应用于物流和运输领域，可以帮助企业有效地规划运输路线，降低运输成本，提高运输效率。

2.阐述zoutendijk 可行方向法的应用zoutendijk 可行方向法在实际应用中具有广泛的应用价值。

例如，在物流配送中，该方法可以帮助企业找到最佳的配送路线，减少运输时间和成本。

在运输规划中，zoutendijk 可行方向法可以协助企业优化运输网络，提高运输能力。

此外，在供应链管理中，该方法也有助于企业降低库存成本，提高库存周转率。

3.分析zoutendijk 可行方向法的优势和局限性zoutendijk 可行方向法具有以下优势：首先，该方法可以快速找到最短路径，计算速度快；其次，zoutendijk 可行方向法可以处理大规模的运输问题，具有较强的实用性；最后，该方法可以有效地降低运输成本，提高运输效率。

然而，zoutendijk 可行方向法也存在一定的局限性。

首先，该方法需要预先设定运输成本，对于不同成本的运输问题，需要分别计算；其次，zoutendijk 可行方向法对于某些特殊情况的运输问题可能无法找到最优解；最后，该方法需要较大的计算资源，对于计算能力有限的企业可能不太适用。

4.总结zoutendijk 可行方向法的重要性总之，zoutendijk 可行方向法是一种重要的运输优化算法，它的应用可以帮助企业降低运输成本，提高运输效率。

可行方向法基本算法考虑线性规划问题： Min (),{|()0,1,2,...}{n j f X X R E R X g X j l ∈⊂=≥= 设()k X 是它的一个可行解，但不是要求的极小点，为了求它的极小点或近似极小点，应在()k X 点的可行下降方向中选取某一方向()k D ，并确定步长k λ，使得 (1)()k k k k X X D R λ+=+∈(1)()()()k k f X f X +<若满足精度要求，迭代停止，(1)k X +就是所求的点。

否则，从(1)k X +出发继续进行迭代。

直到满足要求为止。

上述这种方法称为可行方向法。

设()k x 点的起作用约束集非空，为求()k x 点的可行下降方向，可由下述不等式组确定响亮D ：()()()0()0,k T k T i f X D g X D j J ⎧⎪⎨⎪⎩∇<∇>∈ 这等价于由下面的不等式组求向量D 和实数η：()()k T f X D η∇≤()(),i k T g X D j J η-∇≤∈0η<现使()()k T f X D ∇和()()i k T g X D -∇（对所有j J ∈）的最大值极小化（必须同时限制向量D 的模），即可将上述选取搜索方向的工作，转换为求解下述线性规划问题：Min η()()k T f X D η∇≤()()(),()k i k T g X D j J X η-∇≤∈11,1,2,3,..i d i n -≤≤=式中(1,2,3,...,)i d i n =为向量D 的分量。

在上式中加入最后一个限制条件，位的是使该线性规划有有限最优解；由于我们的目的在于寻找搜索方向D ，只需知道D 的各分量的相对大小即可。

将上述线性规划的最优解记为()(,)k k D η，如果求出的0k η=，说明在()k X 点不存在可行下降方向，在()()k j g X ∇（此处()()k j J X ∈）线性无关的条件下，()k X 为一K-T 点，若解出0k η<，则得到可行下降方向()k D ，这就是我们所要的所搜方向。

最优化可行方向法最优化问题是数学中的一类重要问题，目标在于找到使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。

可行方向法是一种常用的最优化算法，它通过在每个迭代步骤中确定一个可行方向，并将变量值沿该方向进行调整，逐步逼近最优解。

可行方向法的核心思想是从当前解的邻域中选择一个可以改进目标函数的方向。

具体而言，它通过计算目标函数的梯度（或是次梯度）来确定一个可行方向，并沿该方向对解进行调整。

这个过程可以反复迭代，直到满足终止条件为止。

在可行方向法中，选择合适的可行方向是一个关键问题。

一种常用的方法是梯度下降法，它使用目标函数的梯度方向作为可行方向，以减小目标函数的值。

另一种常用的方法是牛顿法，它使用目标函数的海森矩阵（Hessian Matrix）作为可行方向，以更快地逼近最优解。

可行方向法的具体步骤如下：1.初始化变量的取值。

2.计算目标函数在当前解的梯度或次梯度。

3.判断是否满足终止条件。

如果满足，结束迭代，输出当前解；否则，继续下面的步骤。

5.根据可行方向，计算变量的调整量。

6.更新变量的取值。

7.转到步骤2可行方向法的收敛性分析是一个重要的研究课题。

对于一般的最优化问题，如果目标函数是Lipschitz连续可微的，并且可行解集是非空、有界的，则可行方向法在有限步后可以找到一个近似最优解。

但对于非凸问题或非平滑问题，可行方向法的收敛性可能会有所不同。

除了梯度下降法和牛顿法外，可行方向法还有其他的变种，如共轭梯度法、拟牛顿法等。

这些方法在选择可行方向和调整变量值的方式上有所差别，但其基本思想仍然是寻找使目标函数得以改进的方向。

在实际应用中，可行方向法通常结合其他算法一起使用，以充分发挥各种算法的优势。

例如，可以使用可行方向法寻找一个大致的最优解，然后再使用更精确的算法对该解进行优化。

总之，可行方向法是一种重要的最优化方法，它通过选择合适的可行方向来逼近最优解。

尽管不同的变种方法有所差异，但它们的核心思想都是通过迭代调整变量值来逐步逼近最优解。

第五节 可行方向法（FDM ）可行方向法是用梯度去求解约束非线性最优化问题的一种有代表性的直接探索方法，也是求解大型约束优化设计问题的主要方法之一。

其收敛速度快，效果较好，适用于大中型约束最优化问题，但程序比较复杂。

可行方向法(Feasible Direction Method)是一种直接搜索方法，其搜索方向的获取利用了目标函数和约束函数的梯度信息。

用目标函数的梯度可以得到目标函数值的下降方向，而利用约束函数的梯度则可以得到可行的搜索方向。

因此，可行方向法的搜索方向实质上是既使目标函数值下降，同时又可行的方向，即可行下降方向。

满足这一条件的方法就称为可行方向法。

一、基本原理当求解目标函数的极小值min () ..()0 1,2,3,nu f X X R s t g X u m ⎧∈⎨≤=⎩ 当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时，下降可行方向S 必须同时满足条件： ()0T k i S g X ∇≤()0T k S f X ∇<由于于多数非线性规划的最优点都处在可行区的约束边界上或者几个约束边界的交点上，因此最优搜索如能沿着约束边界附近进行，就有可能加速最优化搜索的进程。

按照这一基本思路，在任意选定—初始点后到最后得到最优点必须解决三个问题： 一是如何尽快使最优搜索从初始点到达约束边界二是到达边界后怎样判断所找到的边界点是否是最优点；三是如果边界点经判断不是最优点，那么下一步应如何进行最优搜索。

二、如何从初始点尽快到达边界在任意选定初始点0X 之后，首先判断0X 是否为可行点，若是可行点，则选择目标函数的负梯度方向作为下一步的搜索方向。

若是非可行点，则选择目标函数的梯度方向为搜索方向。

搜索的步长可采用试探的方法逐步缩小，直到最后到达边界。

如图5-13表示了初始点为可行点时的搜索过程。

从初始点0X 出发沿0()f X -∇方向，取步长为t ，进行搜索，得到1X100()X X t f X =-∇若1X 仍在可行区内，则把步长加大一倍继续搜索得到2112()X X t f X =-∇若1X 仍在可行区内，则把步长再加大一倍继续搜索，如此方法得到新点只要仍在可行区内，则加大步长只到得到的点进入非可行区。

最速下降法：算法简单，每次迭代计算量小，占用内存量小，即使从一个不好的初始点出发，往往也能收敛到局部极小点。

沿负梯度方向函数值下降很快的特点，容易使认为这一定是最理想的搜索方向，然而事实证明，梯度法的收敛速度并不快．特别是对于等值线（面）具有狭长深谷形状的函数，收敛速度更慢。

其原因是由于每次迭代后下一次搜索方向总是与前一次搜索方向相互垂直，如此继续下去就产生所谓的锯齿现象。

从直观上看，在远离极小点的地方每次迭代可能使目标函数有较大的下降，但是在接近极小点的地方，由于锯齿现象，从而导致每次迭代行进距离缩短，因而收敛速度不快.牛顿法：基本思想：利用目标函数的一个二次函数去近似一个目标函数，然后精确的求出这个二次函数的极小点，从而该极小点近似为原目标函数的一个局部极小点。

优点 1. 当目标函数是正定二次函数时，Newton 法具有二次终止性。

2. 当目标函数的梯度和Hesse 矩阵易求时，并且能对初始点给出较好估计时，建议使用牛顿法为宜。

缺点：1. Hesse 矩阵可能为奇异矩阵，处理办法有：改为梯度方向搜索。

共轭梯度法：优点：收敛速度优于最速下降法，存贮量小，计算简单.适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题.缺点：变度量法：较好的收敛速度，不计算Hesse 矩阵1．对称秩1 修正公式的缺点（1）要求( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k k T k y B s s − ≠0（2）不能保证B ( k ) 正定性的传递2．BFGS 算法与DFP 算法的对比对正定二次函数效果相同，对一般可微函数效果可能不同。

1） BFGS 算法的收敛性、数值计算效率优于DFP 算法；（2） BFGS 算法要解线性方程组，而DFP 算法不需要。

基本性质：有效集法：算法思想：依据凸二次规划问题的性质2，通过求解等式约束的凸二次规划问题，可能得到原凸二次规划问题的最优解。

有效集法就是通过求解一系列等式约束凸二次规划问题，获取一般凸二次规划问题解的方法。

(一) 、基本思想是：给定一个可行点)(k x 之后，用某种方法确定一个改进的可行方向k d ，然后沿方向k d ，求解一个有约束的线搜索问题，得极小点k λ，令k k k k d x x λ+=+)()1(，如果)1(+k x 不是最优解，则重复上述步骤。

可行方向法就是利用线性规划方法来确定k d 的。

1) 、线性约束问题：设x 是问题⎪⎩⎪⎨⎧∈=≤nR f x e Ex b,Ax x s.t.)( min 的一个可行解，假定11b x A =，22b x A <，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21A A A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21b b b则一个非零向量d 是在点x 点的一个可行方向，当且仅当0d A 1≤，0=Ed ；如果0(T <∇x)d f ,则d 是一改进方向。

2) 、非线性约束问题设x 是问题⎪⎩⎪⎨⎧∈=≤n i R m i f x x x,,2,1 0,)(g s.t.)( min 的一个可行解,令{}0)(,|≤∈=x x x i n g R S ,{}0)(|==x x i g I ，即I 是S ∈x 点紧约束的指标集,设f 和)(I i g i ∈在x 点可微，)(I i g i ∉在x 点连续，如果0(T <∇x)d f ，)(0)(T I i g i ∈≤∇d x ，则d 是一改进的可行方向。

(二) 、算法1) 、线性不等式约束的Zoutendijk 方法的计算步骤：1。

求一初始可行解0x 。

，令k ＝1，转2。

2.对于可行点k x ,设11k A x b =,22k A x b <,12(,)T T T A A A =, 12(,)T T T b b b =求解问题()11min . 0 011,1,,T j z f x d s t A d P Ed d j n⎧=∇⎪≤⎪⎨=⎪⎪-≤≤=⎩，得最优解k d ，如果()Tk f x d ∇=0，计算结束，k x 是K —T 点；否则转3。