初中排列组合公式例题.

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一

.m n m

n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从

1.公式：1.()()()()!

!

121m n n m n n n n A m n -=+---=……

2.

规定：0!1=

(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)

111111

(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!

n n n n n n n n n +-+==-=-

+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n

m

n m m

m ==--+=

-11……!!

!! 10=n C 规定：

组合数性质：

.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④

1．n N ∈且55n <，则乘积(55)(56)

(69)n n n ---等于

A ．5569n

n A --

B ．15

55n A -

C ．1569n A -

D ．14

69n A -

【答案】C

【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)

(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数为55—n ，那么可

知下标的值为69—n ，共有69—n-（55—n ）+1=15个数，因此选择C

2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ) A. 24种 B. 36种 C 。 38种 D 。 108种 【答案】B

【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑,分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B

3．n ∈N ＊

，则（20-n ）(21—n ）……(100-n)等于（ )

A ．80

100n A - B ．n

n A --20100 C ．81100n A -

D ．8120n A -

【答案】C

【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N ＊

，则（20-n ）（21—n)……（100—n)等于81

100n A -,选C

4．从0,4,6中选两个数字，从3.5。7中选两个数字,组成无重复数字的四位数。其中偶数的个数为 ( ） A 。56 B. 96 C. 36 D 。360 【答案】B

【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解,第一种,末尾是0，那么其余的有A 3

排列组合c怎么算公式⽅法及例题

看了对排列组合的介绍，只有定义与公式，完全是程序化的说明，发现⾃⼰理解的很费⼒。为了辅助对排列组合定义的理解，⼩编⽤具体的例⼦来说明它的定义。并列出了详细的计算过程。

排列组合中A和C怎么算

排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)

例如A(4,2)=4!/2!=4*3=12

组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!；

C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6

[计算公式]

排列⽤符号A(n,m)表⽰，m≦n。

计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)!

此外规定0!=1，n!表⽰n(n-1)(n-2) (1)

排列组合有什么窍门

1、⾸先要弄清楚，排列和组合具体是什么。之后做题的时候要看清楚题⽬，要理清⾃⼰做题的思路，要做到解题的时候每⼀步都是有逻辑⽀持的。不要⼀看到题⽬，就随便⽤排列或者组合乱做⼀通碰运⽓。

其他的话就要靠做题让⾃⼰更熟练了。其实排列组合不算难的，只要搞清楚思路和逻辑就很容易

2、当初我学的时候，也觉得好难，我觉得还是做⼀些好的题⽬加深理解，各种类型的题⽬理解透彻，从⽽更好地做题

3、买⼀本答案详细的习题解；系统的做完每种题型。会者不难；难者不会。

排列组合典型题大全

一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重

复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，

则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策

略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数

【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？

（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？

（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？

【解析】：（1）43（2）34（3）34

【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，

第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.

【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、

3

C

8

【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。所以选A

1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？

2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？

3、4个同学参加3项不同的比赛

（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？

（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？

4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项

组合恒等式

排列组合常见公式

基本计数原理

⑴加法原理和分类计数法

⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方

法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办

法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

⒊分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的

具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

⑵乘法原理和分步计数法

⒈乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，

做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

⒉合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；

各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。

4例题

【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴2b=a+c，可知b由a,c决定，

又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。

初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题

1．1～8八个数排成一排，要求相邻两个数字互质，可以有1728种排法．【分析】不能相邻的数有两组：2、4、6、8和3、6．先选出1、3、5、7做排列，为P （4，4），然后把2、4、6、8分别插入到1、3、5、7的间隔或两边，每处最多1张，排列数为P（5，4），所以总的排列数为P（4，4）×P（5，4）．这里面还包括了3、6相邻的情形，需要排除．

【解答】解：有P（4，4）×P（5，4）﹣P（4，4）×2×P（4，3）＝1728种排法．可以这样理解，不能相邻的数有两组：2、4、6、8和3、6．

先考虑2、4、6、8．

先选出1、3、5、7做排列，为P（4，4），然后把2、4、6、8分别插入到1、3、5、7的间隔或两边，每处最多1张，排列数为P（5，4），所以总的排列数为P（4，4）×P （5，4）．这里面还包括了3、6相邻的情形，需要排除．

下面考虑3、6相邻的排列数．在把1、3、5、7做排列后，选出6放在与3相邻的位置上，有2种可能，再把2、4、8分别插入到剩余的个4间隔或两边，为P（4，3）种，总的排列为P（4，4）×2×P（4，3）种．

所以，可能的排法有P（4，4）×P（5，4）﹣P（4，4）×2×P（4，3）＝1728种．【点评】本题主要考查了排列的方法，理解：不考虑条件的情况下，所有情况减去不满足条件的情况即为所求，这种解题思路是需要掌握的．

2020年初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题

1．在表达式S＝中，x 1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列（即：x1、x2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4互不相同）．则使S为实数的不同排列的种数有16种．

【分析】若不考虑二次根式有意义的条件，因此，共有P44种排列方法，但其中x1+x3＝3的共有C24P22种．所以，它们的差即为所求．

【解答】解：∵x1﹣x2+x3﹣x4≥0，

∴x1+x3≥x2+x4；

符合条件的排列数是：P44﹣C42P22＝24﹣8＝16（种）

故答案为：16．

【点评】本题考查了排列与组合的问题．解答此题时，要分清排列与组合的区别．排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合．

例题1：从10个人中任选3个人，有多少种选法？

解：这是一个组合问题，可以使用组合公式C(n, m) = n! / [m!(n-m)!] 来计算。将n=10，m=3 代入公式，得到：

C(10, 3) = 10! / [3!(10-3)!] = 10 × 9 × 8 / (3 × 2 × 1) = 120

所以从10个人中任选3个人有120种选法。

例题2：从5个字母中任选2个字母组成一个单词，有多少种组合？

解：这是一个组合问题，可以使用组合公式C(n, m) = n! / [m!(n-m)!] 来计算。将n=5，m=2 代入公式，得到：

C(5, 2) = 5! / [2!(5-2)!] = 5 × 4 / (2 × 1) = 10

所以从5个字母中任选2个字母组成一个单词有10种组合。

典型例题一

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3

9A 个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一

个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有

2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．

典型例题二

例2 三个女生和五个男生排成一排

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有6

6A 种不同排法．对于其中的每一种排法，

三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有5

5A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位

置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法． （3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有6

初中排列组合公式例题.(共11页)

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排列组合公式

复习排列与组合

考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。

考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。

2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。

重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。

难点：不重不漏。

知识要点及典型例题分析：

1．加法原理和乘法原理

两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。

例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。

解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。

（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。

（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。

一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一

.m n m

n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从

1.公式：1.()()()()!

!

121m n n m n n n n A m

n -=

+---=……

2.

规定：0!1=

(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-；

(3)

111111

(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!

n n n n n n n n n +-+==-=-

+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n

m n

m m

m ==--+=

-11……!!!! 10

=n

C 规定：

组合数性质：.2 n

n n n n m n m n m n m n n m

n

C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，

①；②；③；④

111

12111212211r r r r r r r r

排列组合例题与解析

【公式】

r n!

P n= (n-r)!

r

r n! P n n-r

C n= r!(n-r)! = r! =C n

例题分析：

1．首先明确任务的意义

例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，

又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，C（2,10）*2*P（2,2）=90*2*2，因而本题为360。

例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?

分析：对实际背景的分析可以逐层深入

（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。

（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。

（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。

从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，

∴ 本题答案为：=56。

2．分析是分类还是分步，是排列还是组合

注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合

例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。

典型例题一

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

典型例题二

例2三个女生和五个男生排成一排

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

典型例题三

例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？

（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

典型例题四

例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．

典型例题五

例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？

典型例题六

例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？

典型例题七

例5 7名同学排队照相．

(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？

(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，

女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 典型例题八

例8 从65432、、、、五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数

例2三个女生和五个男生排成一排

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法

（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法

例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种

（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种

例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术

共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．

例 5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种

例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法

例7 7名同学排队照相．

(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必

须在后排，有多少种不同的排法

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法 (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法

例8计算下列各题：

(1) 2

15

A ； (2) 66

A ； (3) 1

1

11------⋅n n m n m

n m n A A A ；