两角和与差的公式

两角和与差的三角函数公式知识集结知识元两角和与差公式的正向运算知识讲解1．两角和与差的三角函数【知识点的认识】：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（1）C（α﹣β）（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（α+β）（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T：tan（α﹣β）＝．（α﹣β）例题精讲两角和与差公式的正向运算例1.'如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在单位圆O上，∠xOA=α，且．（Ⅰ）若，求x1的值；（Ⅱ）若∠AOB=，求y=x12+y22的取值范围．'例2.已知△ABC中，7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sin A sin B sin C，则=__．例3.'若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．'三角函数给值求值问题知识讲解给出三角函数值，求同角的三角函数值或相关角的三角函数值。

例题精讲三角函数给值求值问题例1.已知，则=（）A．B．C．D．例2.已知，则=（）A．B．C．D．例3.设当x=θ时，函数f（x）=sin x+cos x取得最大值，则tan（θ+）=____．两角和与差公式的逆向运算知识讲解1．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（2）C（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：tan（α+β）＝．（5）T（α+β）：tan（α﹣β）＝．（6）T（α﹣β）例题精讲两角和与差公式的逆向运算例1.sin17°sin77°-cos163°cos77°=（）A．B．-C．D．-例2.设角α、β是锐角，若（1+tanα）（1+tanβ）=2，则α+β=__．例3.cos42°sin78°+cos48°sin12°__．例4.tan75°-tan15°-tan15°tan75°=__．当堂练习单选题练习1.若tan（α-）=2，则tan（2α）等于（）A．-2B．C．2+D．练习2.若tanα=-3，则的值为（）A．B．C．D．-2练习3.若，则cos4θ=（）A．B．C．D．练习4.若sin（-5°）=m，则cos100°=（）A．2m B．1-2m2C．-2m D．2m2-1练习5.已知，且α为第三象限角，则tan（2α+）=（）A．B．C．D．填空题练习1.设当x=θ时，函数f（x）=sin x+cos x取得最大值，则tan（θ+）=_____．练习2.设△ABC的内角为A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．则_．的值为__解答题练习1.'已知关于x的方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0（m≠0）的两根为tanα，tanβ．（1）求m的取值范围；（2）求tan（α+β）的最小值；（3）求m sin2（a+β）+（2m-3）sin（α+β）cos（α+β）+（m-2）cos2（α+β）的值．'练习2.'已知函数．（1）求f（x）最小正周期、定义域；（2）若f（x）≥2，求x的取值范围．'练习3.'已知函数f（x）=x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的对称轴和对称中心；（3）若，，求的值．'练习4.'如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在单位圆O上，∠xOA=α，且．（Ⅰ）若，求x1的值；（Ⅱ）若∠AOB=，求y=x12+y22的取值范围．'练习5.'已知函数f（x）=2sin x cos x+2sin（x+）cos（x+）．（1）求函数f（x）的对称轴方程；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）-1=m在[0，）上恰有一解，求实数m的取值范围．'。

三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.两角和与差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-2.两角和与差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+，βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-3.两角和与差的正切公式：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+，βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1.二倍角的余弦公式：ααα22sin cos 2cos -=2.二倍角的正弦公式：αααcos sin 22sin =3.二倍角的正切公式：ααα2tan 1tan 22tan -=例1.利用两角和与差的三角函数公式求值：（1）︒75sin ；（2）︒105cos ；（3）︒15tan 。

例2.求下列各式的值：（1）︒︒-︒︒105sin 15sin 105cos 15cos ；（2）︒︒-︒︒10sin 160cos 10cos 20sin ；（3）︒︒︒-︒17cos 30cos 17sin 47sin 。

【过关练习】1.cos79cos34sin79sin34+=（ ）。

A 12B 12.已知4cos 5α=-，(,)2παπ∈，则cos()4πα-=（ ）。

B C3.在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A =，(cos20,sin 20)B =，则||AB 的值是（）A 12 D 14.化简下列各式：（1）)18sin()27sin()18cos()27cos(︒-︒++︒-︒+x x x x（2）︒︒+︒+︒33tan 12tan 33tan 12tan【例1】 若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是（ ）。

两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式是指在给定两个角的情况下，通过公式计算它们的和或差的三角函数值的关系式。

这些公式在解决三角函数的实际问题和简化计算中起着重要的作用。

本文将介绍两角和与差的三角函数公式的基本知识点，包括公式的推导、证明和应用。

一、两角和与差的三角函数公式的推导1.两角和的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的和公式如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过将和角的正弦、余弦和正切分别展开为各自的和差形式，然后进行合并得到。

以正弦和公式为例，我们可以化简如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB由正弦的和差公式可得：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB= (sinAcosB + cosAsinB)(cosAcosB – sinAsinB)/(cosAcosB –sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cosAcosB – sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cos^2A - sin^2B)= sinAcos^2B - sinAsin^2B + cos^2AsinB - cosBsinA/(cos^2A - sin^2B)= sinA(cos^2B - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)2.两角差的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的差公式如下：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)同样，这些公式也可以通过将差角的正弦、余弦和正切展开为各自的差和比值形式，然后进行合并得到。

两角和差化积公式两角和差化积公式是代数学中的重要公式之一，用于将两个角的和或差转化为积的形式。

这个公式在解决三角函数的计算问题中非常有用，能够简化计算过程，提高计算效率。

我们来看两角和差化积公式的表达形式。

对于两个角A和B，其和与差可以表示为：1. 两角和的公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)2. 两角差的公式：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些公式可以帮助我们在计算中快速将角度和差转化为积的形式，从而简化计算过程。

接下来，我们通过几个实际问题来说明两角和差化积公式的应用。

问题一：已知sinA = 3/5，sinB = 4/5，求sin(A + B)和sin(A - B)的值。

解析：根据两角和的公式，我们可以得到：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB= (3/5)(4/5) + (4/5)(3/5)= 12/25 + 12/25= 24/25sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB= (3/5)(4/5) - (4/5)(3/5)= 12/25 - 12/25= 0所以，sin(A + B) = 24/25，sin(A - B) = 0。

问题二：已知tanA = 1/3，tanB = 2/5，求tan(A + B)和tan(A - B)的值。

解析：根据两角和的公式，我们可以得到：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)= (1/3 + 2/5) / (1 - (1/3)(2/5))= (5/15 + 6/15) / (1 - 2/15)= 11/15 / (13/15)= 11/13tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)= (1/3 - 2/5) / (1 + (1/3)(2/5))= (5/15 - 6/15) / (1 + 2/15)= -1/15 / (17/15)= -1/17所以，tan(A + B) = 11/13，tan(A - B) = -1/17。

两角和与差的正弦、余弦正切公式两角和与差公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb =21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] 熟记并理解各公式，并能熟练的运用各公式在具体题型中的运用。

两角和与差的正弦余弦和正切公式1.两角和的正弦公式：sin(a+b) = sinacosb + cosasinb这个公式表示两个角的正弦之和等于前者的正弦与后者的余弦之积加上前者的余弦与后者的正弦之积。

证明：根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：sin(a+b) = sin[(a)+(b)]= sin[(a)cos(b) + (b)cos(a)]= sin[(a)cos(b)] + sin[(b)cos(a)]= sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)这就是两角和的正弦公式。

2.两角和的余弦公式：cos(a+b) = cosacosb - sinasinb这个公式表示两个角的余弦之和等于前者的余弦与后者的余弦之积减去前者的正弦与后者的正弦之积。

证明：同样，根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：cos(a+b) = cos[(a)+(b)]= cos[(a)cos(b) - (b)sin(a)]= cos[(a)cos(b)] - sin[(a)sin(b)]= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)这就是两角和的余弦公式。

3.两角和的正切公式：tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana*tanb)这个公式表示两个角的正切之和等于两角的正切之和除以1减去两角的正切之积。

证明：我们可以使用两角和的正弦和余弦公式来推导两角和的正切公式。

首先，根据正切的定义tan(a+b) = sin(a+b) / cos(a+b)然后，代入两角和的正弦公式和余弦公式的表达式，我们有：tan(a+b) = (sinacosb + cosasinb) / (cosacosb - sinasinb)接下来，我们对分子和分母同时除以cosacosb，得到：tan(a+b) = (sin(a) + tana) / (1 - sin(a)tanb)最后，再将分子中的sin(a)替换为sin(a)/cosa，我们可以得到：tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana*tanb)这就是两角和的正切公式。

两角和与差的正弦公式与余弦公式角的和与差的正弦公式正弦函数是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。

在数学中，角的和与差的正弦公式可以帮助我们计算两个角的正弦值之和与差。

具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之和等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。

2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之差等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。

例如，假设角A的正弦值是0.5，角B的余弦值是0.7，我们可以使用两角和的正弦公式计算两个角的和的正弦值：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB= 0.5 * 0.7 + cosA * sinB= 0.35 + cosA * sinB这样，我们可以使用已知的角A和B的正弦和余弦值，计算出两个角的和的正弦值。

角的和与差的余弦公式除了正弦函数之外，余弦函数也是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。

与角的和与差的正弦公式类似，我们也可以使用公式来计算两个角的余弦值之和与差。

具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之和等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。

2.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之差等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。

两角和与差及倍角公式一、知识梳理 和差公式： 1．cos(α－β)＝，此公式对任意α、β都成立． 2．两角和的余弦公式为． 这个公式对任意α、β都成立． 3．两角差的正弦公式为.这个公式对任意α、β都成立．4．两角和的正弦公式为这个公式对任意α、β都成立．5．公式T α－β是它成立的条件是6．公式T α＋β是它成立的条件是7．公式T α－β和T α＋β的变形，如： tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β 变形为tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β 变形为倍角公式：1．在S α＋β中，令 ，可得到，简记为S2α.2．在C α＋β中，令，可得到，简记为C2α3．在T α＋β中，令，可得到tan 2α＝，简记为T2α.4．在C2α中，考虑sin2α＋cos2α＝1，可以将C2α变形为cos 2α＝＝，简记为C ′2α.5．cos α＝2cos 2α2－1＝1－2sin 2α2，将公式变形可得(1)升幂公式： 1＋cos α＝,1－cos α＝(2)降幂公式：cos 2α2＝，sin 2α2＝.二、例题分析例1：求值：（1）sin 40(tan10︒︒；（2．分析：切化弦，通分．解：（1）原式=sin10sin 40(cos10︒︒︒=sin 402sin(1060)sin 40cos10︒-︒=︒⋅︒2cos 40sin 40cos10︒=-︒⋅︒sin801cos10-︒==-︒．（2）cos102sin 4011cos10cos10︒︒︒+︒=+==︒︒，=︒．原式2sin 402sin 50sin80︒︒+︒⋅=2==．点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换． 例2：设4c o s ()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求c o s 2α，cos 2β． 分析：2()()ααβαβ=-++， 2()()βαβαβ=+--．解：由4cos()5αβ-=-，(,)2παβπ-∈，得3sin()5αβ-=，同理，可得5sin()13αβ+=- 33cos 2cos[()()]65ααβαβ∴=-++=-，同理，得63cos 265β=-．点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：2()()ααβαβ=-++，2()()βαβαβ=+--等．例3：若3cos()45x π+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 分析一：()44x x ππ=+-．解法一：177124x ππ<< ，5234x πππ∴<+<，又3cos()45x π+=，4sin()45x π∴+=-，4tan()43x π+=-．cos cos[()]44x x ππ=+-=，sin x ∴=，tan 7x =．所以，原式=22((2(281010101775⨯⨯+⨯=--．分析二：22()42x x ππ=+-．解法二：原式=sin 2sin 2tan 1tan x x x x +⋅-sin 2(1tan )sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==⋅+-又27sin 2sin[2()]cos 2()[2cos ()1]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+-=，所以，原式7428()25375=⋅-=-．点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路． 例4：已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π．(Ⅰ)求α2tan 的值；（Ⅱ）求β. 分析：()βααβ=--.解：（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得sin α===∴sin 7tan cos 1ααα===22tan tan 21tan 1ααα===-- （Ⅱ）由02παβ<<<，得02παβ<-<又∵()13cos 14αβ-=，∴()sin αβ-===由()βααβ=--得：()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317142=⨯= 所以3πβ=.点评：求角一般先求角的某一三角函数值以此来确定角，但根据三角函数值定角往往不唯一，要注意利用三角函数值来缩小角的范围. 三、巩固练习1．设)2,0(πα∈，若3sin 5α=，则)4cos(2πα+=__________． 2．已知tan 2α=2，则tanα的值为_______，tan ()4πα+的值为___________ ．3．若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =___________． 4．若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ= ．5．求值：(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)= 2．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40° .51 43- 17- 97- 12求值：11sin 20tan 40-=︒︒．6．已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=__________． 7．设α为第四象限的角，若513sin 3sin =a a ，则tan 2α=______．8．若1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，(0,)2πα∈，(,)2παβπ+∈，则β=________. 9．已知tan 2θ=-2πθπ<<，则22cos sin 12)4θθπθ--=+ 10．已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫⎝⎛+．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值解：().2sin 2cos 224sin 2sin 4cos 2cos 42cos ααπαπαπα-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+又3cos 0,224πππαα⎛⎫≤<+> ⎪⎝⎭且,47443ππαπ<+≤ 54cos 14sin 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴παπα从而25244cos 4sin 222sin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=παπαπαα， 254cos 2122cos 2sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=παπαα 5023125725242242cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πα11．已知3110,tan 4tan 3παπαα<<+=-． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．解：(Ⅰ)由110tan tan 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，5665-43- 3π3+又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求．（Ⅱ）225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==． 12．已知在△ABC 中，sin A （sin B ＋cos B ）－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小． 解法一： 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A 所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A =由),,0(π∈A 知.4π=A 从而π43=+C B . 由.0)43(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .125,3ππ==C B 解法二：由).223sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π得由B <0，C π<，所以.22223ππ-=-=C B C B 或即.22232ππ=-=+B C C B 或 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得 .0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A 所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为0sin ≠B ，所以.sin cos A A =由.4),,0(ππ=∈A A 知从而π43=+C B ，知B+2C=23π不合要求.再由π212=-B C ，得.125,3ππ==C B 所以,4π=A .125,3ππ==C B。

三角函数两角和差及二倍角公式一、三角函数的两角和差公式对于任意两个角A和B，我们定义它们的和角为C=A+B，差角为D=A-B。

三角函数的两角和差公式能够将C和D的三角函数表示成A和B的三角函数。

1.两角和公式sin(C) = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(C) = cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(C) = tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之和。

2.两角差公式sin(D) = sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(D) = cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(D) = tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之差。

二、三角函数的二倍角公式对于角A，我们定义它的二倍角为B=2A。

三角函数的二倍角公式能够将B的三角函数表示成A的三角函数。

1.二倍角正弦公式sin(B) = sin(2A) = 2sinAcosA这个公式可以用来计算角A的二倍角的正弦。

2.二倍角余弦公式cos(B) = cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)这个公式可以用来计算角A的二倍角的余弦。

3.二倍角正切公式tan(B) = tan(2A) = (2tanA) / (1 - tan^2(A))这个公式可以用来计算角A的二倍角的正切。

三、证明示例我们可以通过证明示例来演示三角函数的两角和差及二倍角公式。

示例1：证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB证明：由于正弦函数的定义，我们有：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB因此，得证。

角的和与差公式一、两角和与差的余弦公式。

1. 公式内容。

- cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B- cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B2. 公式推导（以单位圆为例）- 设角A、B为锐角，在单位圆x^2+y^2 = 1中，角A的终边与单位圆交于点P_1(cos A,sin A)，角B的终边与单位圆交于点P_2(cos B,sin B)。

- 则→OP_1=(cos A,sin A)，→OP_2=(cos B,sin B)。

- 根据向量的数量积公式→a·→b=|→a||→b|cosθ，对于→OP_1和→OP_2，→OP_1·→OP_2=cos(A - B)（因为|→OP_1|=|→OP_2| = 1）。

- 又→OP_1·→OP_2=cos Acos B+sin Asin B，所以cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B。

- 对于cos(A + B)，可以利用cos(A + B)=cos[A-(-B)]=cos Acos(-B)+sin Asin(-B)，因为cos(-B)=cos B，sin(-B)=-sin B，所以cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B。

3. 记忆方法。

- 对于cos(A± B)，可以记忆为“余余正正”，即两角和（差）的余弦等于两角余弦之积减去（加上）两角正弦之积。

二、两角和与差的正弦公式。

1. 公式内容。

- sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B- sin(A - B)=sin Acos B-cos Asin B2. 公式推导。

- 利用诱导公式sin(A + B)=cos<=ft[(π)/(2)-(A + B)]=cos<=ft[<=ft((π)/(2)-A)-B]。

- 根据两角差的余弦公式cos<=ft[<=ft((π)/(2)-A)-B]=cos<=ft((π)/(2)-A)cosB+sin<=ft((π)/(2)-A)sin B。

两角和与差的三角函数公式应用首先，我们来介绍两角和的公式：1. 正弦两角和公式：sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的和。

例如，求解sin(π/6 + π/4)的值。

根据公式，sin(π/6 + π/4) = sin(π/6) * cos(π/4) +cos(π/6) * sin(π/4) = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2) = (√2 + √6)/42. 余弦两角和公式：cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的和。

例如，求解cos(π/3 + π/6)的值。

根据公式，cos(π/3 + π/6) = cos(π/3) * cos(π/6) -sin(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = 3/43. 正切两角和公式：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y))这个公式可以用来求解两个角的正切的和。

例如，求解tan(π/4 + π/6)的值。

根据公式，tan(π/4 + π/6) = (tan(π/4) + tan(π/6)) / (1 - tan(π/4) * tan(π/6)) = (1 + (1/√3)) / (1 - 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 - 1)接下来，我们来介绍两角差的公式：1. 正弦两角差公式：sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的差。

例如，求解sin(π/3 - π/6)的值。

根据公式，sin(π/3 - π/6) = sin(π/3) * cos(π/6) -cos(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = (√3 - 1) / 22. 余弦两角差公式：cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的差。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(a — 3= cosa cos 3+ sin 久sin 3 (C ( a-®) cos( a+ 3= cos_ %cos_ 3— sin_ 久sin_ 3 (C (a + 3) sin( a — 3= sin_久cos_ 3— cos_asin_ 3 (S (a — 3)) sin( a+ 3= sin 久cos 3+ cos asin 3 (S (a + 3))tan a — tan 3 十tan( a —3=(T ( a-3)1 + tan atan 3tan a+ tan 3tan( a+ 3= 1 — tan a an 3 (T(a+ 3)2•二倍角公式 sin 2 a= 2sin_ 久cos_ a;222 2cos 2 a= cos 2a — sin 2a = 2cos 2a — 1 = 1 — 2sin 2 a ；3 •在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变 形用等•如T ( a±3可变形为tan a± tan 3= tan( a±®(1 ?tan ■—a tan_3,tan a+ tan 3 tan a — tan 3tan otan 3= 1 — = — 1.“ tan( a+ 3) tan( a — 3) 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”)(1) 存在实数 a, 3,使等式 sin( a+ 3)= sin a+ sin 3成立.( V ) (2) 在锐角△ ABC 中，sin Asin B 和cos Acos B 大小不确定.(x )(3) 公式 tan( a+ 3)= fan# a+ t ：n 3可以变形为 tan a+ tan 3= tan( a+ 3)(1 — tan %tan 3),且对任1 — tan atan 3 意角a, 3都成立.(X )⑷存在实数 a ,使tan 2 a= 2tan a .( V )⑸设 sin 2 a= — sin a , a€ (才，n ,则 tan 2 a= , 3.( V )tan 2 a=2ta n a 1 — tan ?a❷考点自测1. (2013 浙江)已知 a€ R , sin a+ 2cos 仏=亠2°，则 tan 2 a 等于()34C _ 4D ._ 3 答案 C225…Sin a+ 4sin a cos a+ 4cos a= Q.化简得：4sin 2 a=— 3cos 2 a, sin 2 a 3•-tan 2 a = co 莎=—4.故选 C. 2 .若前a+迦a= 1,则tan 2 a 等于(sin a — cos a 24 C .— 3答案• sin 0+ cos 0=- ^^.4. (2014课标全国n )函数f(x)= sin (x + 2$) — 2sin $cos(x +妨的最大值为 ___________ 答案 1解析 T f(x)= sin(x + 2 $)— 2sin $cos(x + $)解析•' sin a+ 2cos a= .10~2~，A . 解析 ,sin a+ cos a 1 /由 =-,等式左边分子、 sin a — cos a 2分母同除cos a 得,ta^q = 1，解得 tan a=— 3,tan a — 1 2则 tan 2 a= . 2t a na 1 — tan 2 a 34. 3. (2013课标全国n0为第二象限角,贝U sin 0+ cos 0=答案解析■/ tann 0+n = 12, 1 ••• tan — §，3sin 0=— 即 2 sin 2 0+ cos 2 0= 1, cos 0, 2 - -且0为第二象限角, 解得 sin 0=£°, cos_ 3伍0=10 -n n 4<4+ a <3n4=sin [(x + $)+ 对—2s in $cos(x + 妨=sin(x + $)cos 0+ cos(x + $)s in 2sin $cos(x + 妨=si n(x + 0)cos 0— cos(x + 0)sin 0 =sin [(x + 0)—0 = sin x ,••• f(x)的最大值为1.例1 (1)设tan a ， tan B 是方程x 2— 3x + 2 = 0的两根，则tan( a+ ®的值为( )C. 1D . 3n n n 1 ⑵若 o<a <2，— 2<3<o , cosq +a=3,cos(4 — 2)=亍，贝V cos(a+ 2)等于(B .D .答案(1)A(2)C解析(1)由根与系数的关系可知 ) _3 3 .6 6tan a+ tan B= 3, tan d an B= 2. •- tan( a+ B = tan a+ tan B 1 — tan %tan B=—3.故选A.⑵cos( a+ 2)n , 、 / n B =cos[(4+ a-(4 - 2)】,n 、 z n B n 、. z n B =cos (4+ a cos (4— 2)+ si nq + a)s in (4 — 2).•/ 0< a <n 题型一三角函数公式的基本应用p n又- 2＜网，故COS (a+芜3T+晋¥瞬故选C.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立•使用中要注意观察角之间的和、 差、倍、互补、互余等关系.n n 1(1)若 a€(2, n, tan( a+ 4)= 7，则 sin a 等于(D .答案 (1)A ⑵与—又 T Sin 2 a+ cos 2 a= 1 ,(2, n,「・ sin a= 5.cos 10 ° sin 20 2s in 10 —s in 10cos 10 — 2sin 20 2sin 10 ° cos 10 — 2si n(30 —10 °)2sin 10 °cos 10 — 2sin 30 cds 10 + 2cos 30 sin 102sin 10解析 (1) T tan( a+n tan a+ 14)= 1 — tana7'sin a cosa ，…cos 4a= — §sin a .2cos 210° ⑵原式=4sin 10 cos 10 — sin 10cos 25 sin 25° sin 5 cos 5C.⑵计算: 1 + cos 20 2si n 20 o。

两角和与差的正弦余弦和正切公式1.两角和的正弦公式：设角A和角B的正弦值分别为sinA和sinB，则角A和角B的和的正弦值为sin(A+B)。

根据倍角公式，sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB2.两角差的正弦公式：设角A和角B的正弦值分别为sinA和sinB，则角A和角B的差的正弦值为sin(A-B)。

根据差角公式，sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB3.两角和的余弦公式：设角A和角B的余弦值分别为cosA和cosB，则角A和角B的和的余弦值为cos(A+B)。

根据倍角公式，cos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinB4.两角差的余弦公式：设角A和角B的余弦值分别为cosA和cosB，则角A和角B的差的余弦值为cos(A-B)。

根据差角公式，cos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinB5.两角和的正切公式：设角A和角B的正切值分别为tanA和tanB，则角A和角B的和的正切值为tan(A+B)。

根据正切的定义，tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)6.两角差的正切公式:设角A和角B的正切值分别为tanA和tanB，则角A和角B的差的正切值为tan(A-B)。

根据正切的定义，tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)这些公式在解决具体问题时，如三角函数的化简、角度的关系等起到了重要的作用。

下面我们通过具体的例子来说明这些公式的应用。

例子：已知sinA=1/2，sinB=√3/2，求sin(A+B)和sin(A-B)的值。

解：根据两角和的正弦公式，sin(A+B) = sinA*cosB+cosA*sinB代入已知的值，sin(A+B) = (1/2)*(√3/2) + (√3/2)*(1/2) =√3/4 + √3/4 = √3/2继续根据两角差的正弦公式，sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB 代入已知的值，sin(A-B) = (1/2)*(√3/2) - (√3/2)*(1/2) =√3/4 - √3/4 = 0所以，sin(A+B) = √3/2，sin(A-B) = 0。

两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B3.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B4.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B5.两角和的正切公式：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)6.两角差的正切公式：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)二倍角公式：1.正弦的二倍角公式：sin(2A) = 2sin A cos A2.余弦的二倍角公式：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A 3.正切的二倍角公式：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)这些公式在三角函数的学习中非常重要，可以用于简化计算，推导其他公式，解三角方程等。

以上是两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式的简要描述。

详细阐述这些公式需要更多的字数，下面将对每个公式进行更详细的解释。

1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B这个公式表示角A和角B的和的正弦等于角A的正弦乘以角B的余弦加上角A的余弦乘以角B的正弦。

2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B这个公式表示角A和角B的差的正弦等于角A的正弦乘以角B的余弦减去角A的余弦乘以角B的正弦。

3.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B这个公式表示角A和角B的和的余弦等于角A的余弦乘以角B的余弦减去角A的正弦乘以角B的正弦。

两角和与差的恒等变换公式1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β)2． 二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan βtan α－β－1.4． 函数f (x )＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab )．【考点1】给大角化小角，给负角化正角例1、（2017一中期末）cos765︒的值为（ ） A .12B.2 CD.2-【答案】B练1、（2015一中期末14）设cos(80)k -=，那么tan100= ．【答案】【解析】解：∵222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-，所以tan100=tan80-=﹣sin80cos80=﹣sin80cos(80)-=k -．故答案为：．练2、（2014一中期末8）已知()()()()sin cos 2cos tan f παπααπαα--=--，则313f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12-B ．13-C ．12D ．13【答案】A【解析】解： ()()()()()()()sin cos sin cos cos sin cos tan cos cos f ααααααααααα=-=-=-⋅，则3131311cos cos cos 10cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A ．【考点2】已知tan α求角例1、(2012·江西)若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于( )A ．－34B.34C ．－43D.43【答案】 B例2、 已知()()()22sin 24cos 1tan ,tan 310cos sin 2πααπααβαα-++=-+=-，.求()tan αβ+的值； 【答案】516练1、已知tan θ=，求()()22cos sin 1,2sin sin cos 2cos cos sin θθθθθθθθ+-+-【答案】练2、（2015东北三省四市一模）已知()tan 32x π-=,则22cos sin 12sin cos xx x x--=+【答案】-3【考点3】给定度数求值例1、（2013重庆理9）4cos50tan 40()︒-︒=A .B .C .D . 1【答案】C例2、（2008全国新课标）23sin 702cos 10-︒=-︒（ ）A .12B .2C .2D 【答案】C练1、（2015新课标Ⅰ理2）sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．2-B ．2 C ．12- D ．12【答案】D【解析】解：1sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos20sin10sin302-=+==练2、（2015=（ ）A .1B C D .2【答案】C练3、 （2014湖北鄂州期末12）()234cos 122sin12︒-=︒-︒________ 【答案】－43【考点4】给定关系求值例1、（2016成都七中11月考卷）求tan 20tan 4020tan 40︒+︒+︒︒的值是 【答案】3练1、（2012全国卷理7）已知α为第二象限角，sin cos 23ααα+==（ ）A .B .CD 【答案】A .练2、（2016一中期末11）已知tan ,tan αβ是方程240x ++=的两个根，且,2222ππππαβ-<<-<<，则αβ+= ( )A.3πB.23π-C.233ππ-或D.233ππ-或 【答案】B【解析】解: 依题意可知tan +tan αβ=-tan tan 4αβ•=()tan tantan 1tan tan αβαβαβ+∴+==- tan tan 0,tan tan 0αβαβ•>+<tan tan 0αβ∴<0,<,2222ππππαβ-<<-<<παβ∴-<+<23παβ∴+=-故选B【考点5】给定三角函数值求值例1、（2012江苏11）设α为锐角，若4cos ,65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为【答案】 例2、（2015浙江一调14）已知1sin 33x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则22sin cos 36x x ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ= . 【答案】29-例3、（2011浙江理6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ）A .3 B . 3- C . 9 D . 9- 【答案】B练1、（2015浙江杭州四中期中）已知cos 2sin 22ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()()sin cos 575cos 2sin 22πααπππαα-++=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】练2、（2015浙江模拟4）已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,若tan 2α=,()4f παα⎛⎫++=⎪⎝⎭（ ）A . 45±B . 45C .85±D .85【答案】【考点6】给式求值例1、（2012全国卷理7）已知α为第二象限角，sin cos 2ααα+==（ ）A .B .-CD 【答案】例2、（2013浙江理6）已知,sin 2cos ,2R ααα∈+=则tan 2α= A .43 B .34 C .34- D .43- 【答案】C例3、（2016一中期末14）已知，()120,cos 413πβααβ<<<-=且()4sin 5αβ+=，则sin 2α的值为 【答案】6365【解析】解: 04πβα<<<，()12cos 13αβ-=，()4sin 5αβ+=04παβ∴<-<，02παβ<+<()()53sin ,cos 135αβαβ∴-==+=()()sin 2sin ααβαβ∴=-++⎡⎤⎣⎦()()()()sin cos cos sin αβαβαβαβ=-++-+531246313513565=⨯+⨯=练1、（2008山东理5）已知cos sin 6παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A .5-B .5C .45- D.45【答案】练2、（2015浙江模拟训练冲刺卷一）已知α是第三象限角,且447sin cos 9αα+=,则sin2α=（ ）A .23B .23- C .3 D . 3-【答案】练3、（2017一中期末7）已知2sin 21cos2αα=+，则tan 2α=（ ）A .43或0B .43-或0C .43D .43- 【答案】A作业1、（2011福建文9）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于（ ）A ．2 B ．3C D 【答案】D 【解析】由21sin cos 24αα+=得221sin 12sin 4αα+-=，所以211sin 4α-=，即21cos 4α=，1cos 2α=±， 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2α≠-，于是1cos 2α=，3πα=， 所以tan tan 33πα==．故选D ． 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 【答案】 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. 2、 (1)化简：1＋sin θ＋cos θsin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)．(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)． 解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0. 因此2＋2cos θ＝ 4cos 2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2) ＝(2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ2)＝2cos θ2(sin 2θ2－cos 2θ2) ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. (2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝cos 10°－212cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.3、2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是() A.12 B.32 C. 3D.2 【答案】 C4、（2015广东文16）tan 2α=，（1 ）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭值（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα-+-的值【答案】5、（2016一中期末17）已知02πα<<,()()3sin 2cos παπα-=-+.（1）求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值； （2）求cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值. 【解析】解:由()()3sin 2cos παπα-=-+,得3sin 2cos αα=,2tan 3α∴=(1) 2424sin 2cos 4tan 22325cos 3sin 53tan 21533αααααα⨯---===+++⨯ (2)2tan ,sec 3αα=∴==则cos α= 2cos 2sin cos 2cos 2cos cos 2παααααα⎛⎫∴++=+=+ ⎪⎝⎭25121131313⎛+=⨯+-= ⎝⎭ 6、（2017一中期末21）已知()()cos ,sin ,cos ,sin a b ααββ==，且77a b -= （1）求()()sin cos 2sin cos 22ππαπβπαβ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）若1cos 7α=，且02πβα<<<，求β的值. 【答案】解：（1）由条件得217a b -=，即()()221cos cos sin sin 7αβαβ-+-=， 所以()122cos cos sin sin 7αβαβ-+=，故()13cos 14αβ-= 由诱导公式，原式=()13cos cos sin sin cos 14αβαβαβ+=-= （2）∵02πβα<<<，∴0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又∵1cos 7α=，()13cos 14αβ-=∴()sin ααβ=-=∴()()()sin sin sin cos cos sin 2βααβααβααβ=--=---=⎡⎤⎣⎦ 又∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3πβ=。