2015-2016学年四川省南充市营山县回龙中学高三（上）12月月考数学试卷一、单选题1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1,2，3｝,B=｛2，5},则A∩(∁U B)=( ）A．｛1，3｝B．｛2} C．{2，3｝D．{3}2．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x 轴上的截距为（)A．10 B．5 C．﹣1 D．3．正项等比数列｛a n}中,存在两项a m，a n（m,n∈N＊）使得，且a7=a6+2a5,则+的最小值是（) A．B． C．D．4．已知a＞1,，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣2＜x＜0 D．﹣2＜x＜15．若定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f(x)＞0，f(x+2）=，对任意x∈R恒成立，则fA．4 B．3 C．2 D．16．已知向量，满足|｜=1,⊥，则﹣2在方向上的投影为（）A．1 B．C．﹣1 D．7．已知函数的最小正周期为π，下列四个判断：（1）当时，f（x）的最小值为﹣1；（2）函数f（x）的图象关于直线对称；（3）函数f（x)的图象可由的图象向右平移个单位长度得到;（4）函数f（x）在区间上是减函数．以上正确判断的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．48．设f(x)和g（x)是定义在同一区间[a，b］上的两个函数，若对任意的x∈［a，b］，都有｜f（x）﹣g（x）｜≤1，则称f（x）和g（x)在[a，b]上是“密切函数”，[a，b］称为“密切区间”，设f（x)=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在［a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（）A．［1,4］ B．[2，3］C．[3，4] D．[2，4]9．函数f（x)=Asin（ωx+φ）(其中A＞0，|φ｜＜)的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f(x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度10．已知曲线y=2sin（x+）cos(）与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则｜｜等于（)A．π B．2πC．3πD．4π11．已知函数则满足不等式f(3﹣x2）＜f （2x）的x的取值范围为（）A．（﹣3，﹣) B．（﹣3，0）C．［﹣3，0）D．（﹣3,1)12．已知函数f(x）=则下列结论正确的是（）A．f(x）在（﹣1，0）上恰有一个零点B．f(x）在（0,1)上恰有一个零点C．f（x）在（﹣1，0）上恰有两个零点 D．f（x）在（0，1）上恰有两个零点二、填空题13．如图，已知PA是⊙O的切线,A是切点，直线PO 交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE= ．14．已知函数g（x）=ax+1，f(x)=对∀x1∈［﹣2,2]，∃x2∈［﹣2,2],使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．15．设α=cos420°，函数f（x）=，则f(）+f（log2）的值等于．16．已知a＞0,函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调递增函数,则a的取值范围是．三、解答题17．已知函数f（x）=2sinxcos(x+）+cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期;（2）求函数f（x）的单调递增区间．18．在数列{a n｝中,已知a1=﹣20，a n+1=a n+4（n∈N＊）．（1)求数列｛a n}的通项公式和前n项和A n;(2）若b n=（n∈N*），求数列｛b n｝的前n项S n．19．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB=90°,PA=AB=BC=3，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正切值；(Ⅲ）设点E在线段PC上，若=，求证：DE∥平面PAB．20．现有4个学生去参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种回答问题，每个学生被要求用英语回答问题的概率均为．(Ⅰ）求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；（Ⅱ)若m，n分别表示用汉语，英语回答问题的人数,记X=｜m﹣n|，求随机变量X的概率分布和数学期望E（X）．21．设F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1,）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，)对称．（1）求椭圆E的方程；(2)过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q,问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=（其中m为常数）．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间; (Ⅱ）当0＜m＜时，设函数f(x）的3个极值点为a，b，c,且a＜b＜c．证明:a+c＞．2015-2016学年四川省南充市营山县回龙中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．设集合U=｛1，2，3，4，5｝，A={1，2，3}，B={2，5｝，则A∩（∁U B）=（）A．{1，3｝B．{2｝C．{2，3} D．｛3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩C U B【解答】解:∵U=｛1,2，3，4，5}，B=｛2,5}，∴∁U B=｛1，3,4},又∵A={1,2，3}，∴A∩(∁U B)={1，2，3｝∩{1，3，4｝={1，3｝．故选：A．2．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x 轴上的截距为（）A．10 B．5 C．﹣1 D．【考点】导数的几何意义．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据x=1求得切点的坐标，最后结合直线的方程求出切线在x轴上的截距即得．【解答】解：∵f(x)=x3+4x+5，∴f′(x）=3x2+4，∴f′(1）=7，即切线的斜率为7，又f（1）=10,故切点坐标（1,10），∴切线的方程为：y﹣10=7（x﹣1)，当y=0时,x=﹣，切线在x轴上的截距为﹣,故选D．3．正项等比数列{a n｝中,存在两项a m，a n（m,n∈N*)使得，且a7=a6+2a5，则+的最小值是( ）A．B． C．D．【考点】等比数列的通项公式;基本不等式．【分析】设正项等比数列的公式为q,已知等式a7=a6+2a5两边除以a5,利用等比数列的性质化简求出q 的值，利用等比数列的通项公式表示出a m与a n，代入已知等式=4a1，求出m+n=6，将所求式子变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，设公比为q，a7=a6+2a5，∴=+2，即q2﹣q﹣2=0，解得：q=2或q=﹣1（舍去），∴a m=a12m﹣1，a n=a12n﹣1，∵=4a1，∴a m a n=a122m+n﹣2=16a12，即m+n﹣2=4，∴m+n=6，列举(m，n）=（1，5），(2，4），（3，3），（4，2)，（5,1）即有+=2，，2,，5．当m=2，n=4，+的最小值为．故选A．4．已知a＞1，，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣2＜x＜0 D．﹣2＜x＜1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点．【分析】求出不等式的解集即不等式成立的充要条件；据当集合A⊆集合B且B⊊A时，A是B的充分不必要条件．【解答】解:f(x）＜1成立的充要条件是∵a＞1∴x2+2x＜0∴﹣2＜x＜0∴f（x)＜1成立的一个充分不必要条件是﹣1＜x＜0故选项为B5．若定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f（x）＞0，f（x+2)=，对任意x∈R恒成立,则fA．4 B．3 C．2 D．1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）＞0，f（x+2）=，对可得函数的周期是4，然后利用函数的奇偶性和周期性即可求值．【解答】解：∵f（x）＞0，f（x+2）=，∴f（x+4）==f(x）,∴函数f(x)的周期是4．∴f=f（﹣1）,∵函数f（x）为偶函数,∴f（﹣1)=f(1），当x=﹣1时,f（﹣1+2）=f(1）==，∴f2(1）=1，即f（1）=1，∴f=1．故选：D．6．已知向量,满足|｜=1，⊥,则﹣2在方向上的投影为（）A．1 B．C．﹣1 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的定义得到向量﹣2在方向上的投影等于数量积除以的模得到．【解答】解：∵｜|=1，⊥，∴•=0，所以﹣2在方向上的投影等于==1；故选A．7．已知函数的最小正周期为π，下列四个判断:（1）当时，f（x）的最小值为﹣1;（2）函数f（x）的图象关于直线对称；（3)函数f（x)的图象可由的图象向右平移个单位长度得到；（4)函数f（x)在区间上是减函数．以上正确判断的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出ω的值，求出f（x)的表达式，根据三角函数的性质分别判断即可．【解答】解：（1）∵0≤x≤，∴≤2x+≤,∴当2x+=,即x=时，函数f(x)取得最小值×（﹣）=﹣1，故（1）正确；（2）∵函数f（x）的最小正周期为π，∴ω==2，f（x）=sin（2x+）,对称轴x=kπ+=2x+,解得:x=+，故函数f（x)的图象关于直线对称，故（2）正确；（3）f（x）=sin[2(x+）]是由函数y=sin2x向左平移个单位得到，故（3）错误；（4）由2kπ+＜2x+＜2kπ+,得：kπ+＜x＜kπ+,故函数f（x)在区间上是减函数，故（4)正确；故选:C．8．设f（x）和g（x)是定义在同一区间［a，b]上的两个函数，若对任意的x∈［a，b]，都有|f（x)﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g(x)在[a，b]上是“密切函数”,[a，b]称为“密切区间”,设f（x）=x2﹣3x+4与g（x)=2x ﹣3在[a，b]上是“密切函数",则它的“密切区间”可以是( )A．[1,4] B．[2,3］C．［3，4] D．[2,4］【考点】函数的值域．【分析】根据“密切函数”的定义列出绝对值不等式｜x2﹣3x+4﹣(2x﹣3）｜≤1,求出解集即可得到它的“密切区间”．【解答】解：因为f（x)与g（x）在[a，b]上是“密切函数”,则|f（x）﹣g(x)｜≤1即｜x2﹣3x+4﹣（2x﹣3)|≤1即|x2﹣5x+7|≤1，化简得﹣1≤x2﹣5x+7≤1，因为x2﹣5x+7的△＜0即与x轴没有交点，由开口向上得到x2﹣5x+7＞0＞﹣1恒成立；所以由x2﹣5x+7≤1解得2≤x≤3，所以它的“密切区间"是[2,3]故选B9．函数f（x）=Asin(ωx+φ）（其中A＞0，|φ｜＜）的图象如图所示，为了得到g（x)=sin2x的图象，则只要将f（x)的图象( ）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先根据函数的图象现确定函数解析式,进一步利用平移变换求出结果．【解答】解：根据函数的图象：A=1又解得：T=π则：ω=2当x=,f(）=sin(+φ）=0解得：所以：f（x）=sin(2x+）要得到g(x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．故选:A10．已知曲线y=2sin(x+)cos(）与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2,P3，…，则|｜等于（）A．π B．2πC．3πD．4π【考点】向量的模．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为y=1+sin2x，由1+sin2x=，解得2x=2kπ﹣，或2x=2kπ,k∈z，可分别求点的坐标，可得长度．【解答】解：曲线y=2sin（x+）•cos（﹣x）=2（sinx+cosx）（cosx+sinx ）=cos2x+sin2x+2sinxcosx=1+sin2x．由1+sin2x=，解得2x=2kπ﹣，或2x=2kπ，k ∈z，即x=kπ﹣，或x=kπ﹣,k∈z．故P1、P2、…、P5的横坐标分别为:，,,,．故|｜==2π故选B11．已知函数则满足不等式f（3﹣x2）＜f（2x)的x的取值范围为（）A．（﹣3,﹣） B．（﹣3，0) C．[﹣3，0) D．（﹣3，1）【考点】函数的图象与图象变化．【分析】分3﹣x2和2x一正一负、都是负数三种情况，分别求出x的取值范围，再取并集，即得所求．【解答】解：当时，应满足2＞x2﹣3+2，此时不等式无解．当时，应满足2＜﹣2x+2，解得．当时,应满足3﹣x2＞2x，解得．综上可知，x的范围为（﹣3，0），故选B．12．已知函数f（x）=则下列结论正确的是( )A．f（x)在（﹣1,0）上恰有一个零点B．f（x）在（0，1)上恰有一个零点C．f（x）在（﹣1，0）上恰有两个零点 D．f（x）在（0,1）上恰有两个零点【考点】函数的零点．【分析】先求出f（0）和f（﹣1）的值，根据f(0）•f（﹣1）＜0，再由导数的符号判断f(x）在（﹣1，0）上是增函数,从而得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=，故f(0）=1,f（﹣1）=（﹣+）+(﹣+)+…+（﹣）＜0，故有f(0）•f（﹣1）=f(﹣1）＜0．当x∈（﹣1，0）时，f′（x)=1﹣x+x2﹣x3+…+x2009﹣x2010==＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是增函数，故f（x）恰有一个零点，故选A．二、填空题13．如图,已知PA是⊙O的切线,A是切点，直线PO 交⊙O于B,C两点，D是OC的中点,连接AD并延长交⊙O于点E,若PA=2，∠APB=30°，则AE= ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF垂直于AE，根据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长,由D为OC的中点，可求出OD的长,同时得到∠AOD 的度数，在三角形AOD中，根据余弦定理求出AD 的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF 表示，进而求出OF的长，在直角三角形AOF中，由OA和OF的长，利用勾股定理求出AF的长,进而求出AE的长．【解答】解：连接OA,过O作OF⊥AE，过A作AM ⊥PC，如图所示,∵PA为圆O的切线，∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，∴OA=PAtan30°=2×=2，又D为OC中点，故OD=1，根据余弦定理得：AD2=OA2+OD2﹣2OA•ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=,∵在Rt△APM中，∠APM=30°，且AP=2,∴AM=AP=,故三角形AOD的面积S=OD•AM=,则S=AD•OF=OF=，∴OF=，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：AF==,则AE=2AF=．故答案为：14．已知函数g（x）=ax+1，f（x)=对∀x1∈［﹣2，2］，∃x2∈［﹣2，2]，使g(x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是［﹣1，1］．【考点】函数恒成立问题．【分析】作出函数f（x）的图象，根据条件求出两个函数最值之间的关系，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：作出函数f（x）=的图象如图：则当x∈[﹣2，2]，f（x）的最大值为f（2)=3，最小值f（﹣2）=﹣4，若a=0,g（x）=1，此时满足∀x1∈［﹣2，2］,∃x2∈[﹣2，2］，使g（x1）=f（x2）成立,若a≠0，则直线g(x）过定点B(0，1），若a＞0，要使对∀x1∈［﹣2，2],∃x2∈［﹣2，2］,使g（x1）=f（x2）成立，则满足g（x）max≤f（x）max,且g（x)min≥f(x）min，即2a+1≤3且﹣2a+1≥﹣4,即a≤1且a≤,此时满足0＜a≤1，若a＜0，要使对∀x1∈［﹣2，2］，∃x2∈［﹣2，2]，使g（x1）=f（x2)成立，则满足g(x）max≤f（x)max，且g（x）min≥f（x）min，即﹣2a+1≤3且2a+1≥﹣4,即a≥﹣1且a≥﹣，此时满足﹣1≤a＜1，综上﹣1≤a≤1,故答案为：[﹣1，1］．15．设α=cos420°，函数f（x）=，则f （）+f（log2）的值等于8 ．【考点】分段函数的应用；对数的运算性质．【分析】运用诱导公式求出a的值，再由对数的运算性质和对数恒等式a logaN=N，即可求出结果．【解答】解:∵a=cos420°=cos60°=,∴f(x）=,∴f（)==2，f（）=（）log2=2log26=6，∴f（）+f（log2）=2+6=8．故答案为:8．16．已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在［1，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围是（0，3］．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数,利用函数单调性和导数的关系转化为f′（x）≥0在［1,+∞）上恒成立即可．【解答】解：∵函数f(x）=x3﹣ax在［1，+∞）上是单调递增函数，∴f′（x)≥0在[1，+∞）上恒成立，即f′（x）=3x2﹣a≥0在[1,+∞）上恒成立，即a≤3x2在［1,+∞)上恒成立，∵3x2≥3，∴0＜a≤3，即实数a的取值范围是(0，3]，故答案为:(0，3]．三、解答题17．已知函数f(x)=2sinxcos(x+）+cos2x+sin2x．（1）求函数f(x）的最小正周期；(2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】(1）由三角函数公式化简可得f（x）=2si,由周期公式可得;（2）解2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得：f（x）=2sinxco+2x+2x=2sin+2x+2x=sinxcosx﹣2x+2x+2x=sin2x+2x=2si，∴f（x)的最小正周期为T==π；（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z，∴解得x∈(k∈Z），∴f(x）的单调递增区间为（k∈Z)．18．在数列｛a n}中，已知a1=﹣20，a n+1=a n+4（n∈N ＊)．(1）求数列｛a n}的通项公式和前n项和A n；(2）若b n=(n∈N＊）,求数列{b n｝的前n项S n．【考点】数列的求和．【分析】(1）根据条件判断数列为等差数列即可求数列｛a n｝的通项公式;（2）求出数列{b n}的通项公式，利用裂项法进行求和即可．【解答】解：（1）∵数列｛a n｝满足a n+1=a n+4（n∈N ＊），∴数列{a n}是以公差为4,以a1=﹣20为首项的等差数列．故数列｛a n｝的通项公式为a n=﹣20+4（n﹣1)=4n﹣24，（n∈N＊)，数列{a n}的前n项和A n=2n2﹣22n,（n∈N＊），(2)∵b n===﹣，∴前n项和公式S n=1+…+﹣=1﹣=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD，AD∥BC,∠DAB=90°，PA=AB=BC=3，AD=1．(Ⅰ)求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正切值；(Ⅲ)设点E在线段PC上，若=，求证：DE∥平面PAB．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明BC⊥AB．PA⊥BC．然后证明BC ⊥平面PAB．（Ⅱ）说明∠CPB是PC与平面PB所成的角．然后求解tan∠CPB即可．（Ⅲ）在平面PBC内过点E作BC的平行线交PB于点F，连接AF，证明AF∥DE．然后证明DE∥平面PAB．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，且∠DAB=90°，∴BC⊥AB．…又PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC．…又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．…解:（Ⅱ）由(Ⅰ）知BC⊥平面PAB，∴∠CPB是PC与平面PB所成的角．…由已知得PB=3，∴tan∠CPB==．∴PC与平面PAB所成角的正切值为．…证明：（Ⅲ)在平面PBC内过点E作BC的平行线交PB 于点F，连接AF，∵，∴．∴EF=AD，又EF∥AD，∴ADEF是平行四边形．…∴AF∥DE．…又AF⊂平面PAB，DE⊄平面PAB，∴DE∥平面PAB．…20．现有4个学生去参加某高校的面试,面试要求用汉语或英语中的一种回答问题，每个学生被要求用英语回答问题的概率均为．(Ⅰ）求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；(Ⅱ）若m，n分别表示用汉语,英语回答问题的人数，记X=｜m﹣n｜,求随机变量X的概率分布和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】(Ⅰ)设“4个学生中恰有2人用英语回答问题"为事件A，利用独立重复试验求解了即可．(Ⅱ）随机变量X的所有取值为0,2,4．求出概率，得到分布列，然后去期望．【解答】(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设“4个学生中恰有2人用英语回答问题"为事件A,则P（A)==．…（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0,2，4．…P(X=0）==，P(X=2)==，P(X=4）==∴随机变量X的分布列为：X024P…∴=．…21．设F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P(1,）在椭圆E上，且点P和F1关于点C （0,)对称．（1）求椭圆E的方程；(2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l的方程；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】(1）先求F1（﹣1,0），再根据椭圆定义求得a、b即可;（2)设直线l的方程为y=k（x﹣1）、直线PQ的方程为y﹣=k(x﹣1），分别与椭圆方程联立，消去y，设A(x1,y1），B（x2，y2）,Q（x3，y3），由韦达定理及PB 与AQ的中点重合，可解得,从而直线l方程为3x ﹣4y﹣3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分．【解答】解：（1）∵点P（1，）和F1关于点C（0,）对称，∴F1（﹣1，0），∴椭圆E的焦点为F1(﹣1，0）,F2(1，0），由椭圆定义，得2a=｜PF1|+|PF2｜=4,从而a=2，b==，故椭圆E的方程为;(2）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分．理由如下：由题可知直线l、直线PQ的斜率存在,设直线l的方程为y=k（x﹣1）、直线PQ的方程为y ﹣=k(x﹣1），由消去y，得(3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，根据题意可知△＞0，设A（x1，y1）,B（x2,y2），由韦达定理可知x1+x2=，x1x2=，由消去y，得（3+4k2）x2﹣（8k2﹣12k）x+4k2﹣12k﹣3=0，由△＞0，可知,设Q（x3，y3），又P（1,)，则1+x3=，1•x3=，若四边形PABQ的对角线互相平分，则有PB与AQ 的中点重合，所以，即x1﹣x2=1﹣x3，故,所以()2﹣4•=（1﹣）2，解得，从而直线l方程为3x﹣4y﹣3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分．22．已知函数f（x）=（其中m为常数）．(Ⅰ)当m=0时，求函数f(x）的单调区间;（Ⅱ）当0＜m＜时，设函数f（x）的3个极值点为a,b，c，且a＜b＜c．证明：a+c＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】(Ⅰ)令f’(x）=0可得．从而求出函数的单调区间，（Ⅱ）由题，对于函数,有,从而函数h（x）在(0，m）上单调递减，在（m,+∞）上单调递增从而h min（x）=h(m）=2lnm+1＜0，所以，进而函数f(x）的递增区间有（a，2m）和（c，+∞)，递减区间有（0，a）,(2m，1）,（1,c)，解方程组求出函数g （x）=2xlnx﹣x在上递减，在上递增，构造函数，只需要证明单调递减即可，从而解决问题．【解答】解：（Ⅰ）令f'(x）=0可得．列表如下：x(0，1)f'(x）﹣﹣0+f（x）减减极小值增单调减区间为（0,1），；增区间为．（Ⅱ）由题，对于函数，有∴函数h（x）在(0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增∵函数f(x）有3个极值点a＜b＜c，从而h min（x）=h（m）=2lnm+1＜0，所以，当时，h（2m）=2ln2m＜0，h（1）=m﹣1＜0，∴函数f（x)的递增区间有（a,2m)和(c,+∞），递减区间有（0，a）,（2m，1),（1，c），此时，函数f（x）有3个极值点，且b=2m；∴当时,a,c是函数的两个零点，即有，消去m有2alna﹣a=2clnc﹣c令g(x)=2xlnx﹣x，g’（x)=2lnx+1有零点,且∴函数g（x）=2xlnx﹣x在上递减，在上递增要证明⇔⇔，∵g(a）=g（c),∴即证构造函数，∵=0，只需要证明单调递减即可．而，，∴F’（x）在上单调递增，∴．2016年11月8日。
