从三项基本功到数学教师的专业成长（上）
郑毓信
【专题名称】高中数学教与学
【专题号】G312
【复印期号】2010年08期
【原文出处】《中学数学月刊》(苏州)2010年3期第1～4页
【作者简介】郑毓信，南京大学哲学系(210093)。
【关键词】EEUU
除去数学与教育方面的一般性要求，数学教师还应具有自己的特殊技能，这就是“数学教师的三项基本功”：(1)善于举例；(2)善于提问；(3)善于比较与优化。
除教学以外，这三者对于数学教师的专业成长也具有特别的重要性，以下就对此作出具体论述。
一、“善于举例”与数学教师的专业成长
容易想到，举例对于数学教学的重要性正是由数学本身的特性所决定的。
具体地说，高度的抽象性正是数学最为基本的一个特性：“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征：第一是它的抽象性，……我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。
我们在学校中学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。
”（［俄］亚历山大洛夫著，《数学——它的内容、方法和意义》，科学出版社，1958，第一卷，第1页）从而，适当的举例就应被看成数学教学工作最为重要的一个方面，因为，只有这样，我们才能为学生较好地去实现相应的数学抽象提供必要的基础。
应当指出，数学学习心理学的现代研究也为上述认识提供了直接论据：在大多数情况下，数学概念的心理对应物（心理表征）并非概念的形式定义，而是一种由多种成分组成的复合体，其中实例占据了十分重要的地位，特别是，后者正是个人情感与经验等进入数学之处，从而对于数学学习具有十分重要的作用。
（正因为如此，人们提出，对于“概念定
义”[concept definitio n]与“概念意象”[concept image]我们就应作出明确的区分。
）从上述的角度去分析，我们或许也可更好地去发现中国数学教学的若干不足之处，因为，我们的学生往往能够准确和迅速地说出所学过的各个数学概念（如函数等）的严格定义，但在要求给出实例时却又表现出了极大困难。
当然，中国的数学教学在这方面也具有自己的宝贵经验或独到之处。
如所谓的“变式理论”（特别是“概念变式”，对此可见鲍建生、顾泠沅等，《变式教学研究》，《数学教学》，2003年第1～3期）就直接涉及我们在教学中应当如何去举例才能帮助学生更好掌握数学概念的本质：第一，为了防止学生将相关实例的某些特性误认为数学概念的本质属性，我们在教学中不应唯一地局限于平时所经常用到的一些实例（“标准变式”），而也应当有意识地去引入一些“非标准变式”；第二，反例（“非概念变式”）的引入对于概念的正确理解、特别是防止或纠正学生各种可能的错误观念也具有特别的重要性。
当然，就实际的教学活动而言，我们又必须以学生的具体情况作为直接的出发点，即如对于处于困境之中的学生我们应当通过适当的举例给其一定的启示，对于学生的错误观念或认识则又应当通过不同的实例以引发其内在的概念冲突，从而也就能够使其自觉地去纠正错
误。
值得指出的是，除去概念的学习以外，这事实上也可被看成中国数学教学传统（包括教材编写）的一个重要内涵，即特别重视如何能够通过适当的实例帮助学生较好地掌握各种基本技能。
这也就是指，无论就教材、或是教师在教学中对于例题的选择而言，都非随意的行为，而是特别重视例题的典型性，从而才能切实起到“范例”与启示的作用。
例如，从这样的角度去分析，数学教学中对于所谓的“怪题”与“偏题”的反对就是很有道理的。
以下再进一步指明“善于举例”对于数学教师专业成长的特殊重要性。
首先，由以下的实例可以看出，与数学学习一样，举例，特别是如何能够结合自己的教学实践举出适当的实例也可被看成理论学习的关键所在：《人民教育》2008年第7期发表了这样一篇重点文章——《关于数学教育若干重要问题的探讨——对话特级教师王凌的读书笔记》，记者对这一工作作了如下评价：“这些笔记（指其所摘录的一些语录——注）的确很精辟，但是我觉得您的解读更精彩。
从某种角度讲，能用恰到好处的实例来解读理论的人，比只会给出抽象理论的人更伟大，因为这不但表明消化理论的能力，也代表了思考的透彻与思想的成熟。
您让我们看到了浓缩的理论后面丰富的实践风景，同时也引发了新的思维风暴。
”
以下的实例进一步表明：恰当的举例事实上也可被看成各人对于相关理论是否达到了真正理解的直接标志：尽管就当前而言，“建构主义”对于广大数学教育工作者来说已不再是一个十分陌生的概念，但即使是所谓的专家也很少有人能用具体的教学实例清楚地说明究竟什么是所谓的“建构主义教学法”，其与所谓的“非建构主义教学法”究竟又有什么不同？
其次，由于数学思维的学习正是广大一线教师当前所面临的一项重要任务，因此，在此也就有必要特别强调这样一点，数学思维的学习不应求全，而应求用。
这也就是指，重要的并不在于如何能够无一遗漏地列举出各种数学思维与思维方法，而是如何能够通过自己的教学实践更好地去体会与展现数学思维，从而将自己的数学课真正“讲活”、“讲懂”、“讲深”，也即能够通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识，并能帮助学生很好地理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背，更可使得学生不仅能够学到具体的数学知识，也能深入领会并逐渐掌握内在的思维方法。
为了清楚地说明这样一点，在此还可举出这样一个实例：这是“认识分数”的一个课例，尽管任课教师本人可能没有清楚地意识到这一点，但如果我们能以“变式理论”作为教学工作的自觉指导，则不仅可以较好地实现由“经验型实践”向“理论指导下的自觉实践”的重要转变，而且我们也可更好理解“变式理论”的本质，即如何能够通过“求变中突出其中的不变因素”，从而帮助学生更好地掌握数学概念的本质，以及学会数学地解决问题。
具体地说，作为分数的引入，任课教师设计了“分蛋糕”这样一个情境，并通过简短讨论（这是这方面的一个基本事实：有很多学生在正式学习分数前已通过各种渠道对分数的概
念有了一定了解）引出了如下结论：“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的。
”
以下就以后以结论为对象具体指明如何通过适当变化以帮助学生更好掌握分数这一概念的本质。
第一，作为分割的对象，显然未必一定要是蛋糕，而也可以是纸片或别的什么东西；另外，对于所分割对象的外形，我们也无需作任何特定的限制：它们既可以是圆形，也可以是方形或任何其他的形状——显然，通过所说的变化我们也就可以更好理解其中的关键：这里所涉及的分割必须是“平均的”。
第二，除去分割的对象，我们也可对分割的方法作出一定变化。
例如，就长方形纸片的分割而言，我们可以横着折，也可以竖着折，还可斜
着折……（后者大致地就可被看成以上所说的“非标准变式”的实例）。
另外，除去所说的“正例”以外，我们又应引入一定的“反例”（这也就是以上所说的“非概念变式”），如按照中位线分割的梯形等。
这样，通过两者的对照我们就可帮助学生更好地理解到这样一点：这里的关键不在于“如何分”，而是“平均分”，或者说，后者正是分数概念的本质所在。
第三，除去分割的对象与方法以外，我们还应将“平均分成两份”中的“两份”以及所说的
“每份”作出适当变化，而这事实上也就是将所引入的分数由逐步扩展到了，…
乃至，…。
第四，这事实上也可被看成“非标准变式”的一个实例，即分配的对
象未必一定要是“1个蛋糕”，而也可以是“2个蛋糕”、“3个蛋糕”等。
容易看出，后一变化事实上也就意味着我们已经将分析的着眼点由“（平均）分配”这一实际活动转移到了部分与整体的关系，这当然意味着对于分数本质更为深入的认识。
最后，还应强调的是，除去各个具体理论的学习以外，我们还可从更为一般的角度认识“善于举例”对于数学教师专业成长的重要性。
具体地说，按照社会学的观点，所谓“专业成长”主要就是指个体如何能够成为相应共同体的一员，而后者的一个重要标志则又在于对于共同体成员所共同具有的观念与信念（这也就是所谓的“范式”或“传统”）的学习和继承。
当然，后者主要是一个潜移默化的过程，但又正如“范式”这一概念在当代的主要倡导者、美国著名科学哲学家库恩所指出的，只有借助于范例我们才能真正掌握相应的范式：“最基本的是，范式是指某些具体的科学成就事例，是指某些实际的问题解答，科学家认真学习这些解答，并仿照它们进行自己的工作。
”（库恩，《必要的张力》，范岱年，纪树立译，北京大学出版社，2004）
容易看出，这一分析事实上也就十分清楚地表明了学习经典对于专业成长的特殊重要性。
另外，从实践的角度看，我们则又应当特别强调这样一点：与片面强调理论的指导作用相比较，我们应更加强调实践工作的创造性，特别是“实践性智慧”对于新的工作的启示意义或促进作用——由于后者主要地可被描述为“借助于案例进行思维”，从而，作为“反思性实践者”，我们就应当十分重视案例的分析与积累，这样，通过与案例的比较，我们就可获得关于如何去从事新的实践活动的重要启示。
显然，按照这样的分析，案例研究也就应当被看成教学研究的一个基本形式。
当然，这又正是这方面的关键所在：“案例分析”应当重在分析。
由以下的实例就可清楚地看出。
这是“观察物体”的一个教学实例，主要内容是帮助学生学会如何从不同方向去观察一些简单物体（包括立方体以及用若干同样大小的立方体组成的较为复杂的物体），也即确定从正面、左面、上面等不同方向去观察究竟会看到什么形状的图形（正方形、长方形等）。
如果不作深入思考的话，人们也许会觉得这是一堂较为容易的数学课：我们在课堂上只需引导学生实际地去进行观察就可以了。
就当时的课堂教学而言，任课教师不仅精心准备了必要的教具，而且先后采取了以全班为单位派代表，以及以小组为单位轮流进行观察等具体做法，更有特色的是，这位教师在教学中还采用了用摄像机进行验证这样一种方式——这样，一切就似乎都进行得十分顺利。
例如，教师在课堂上首先提出了这样一个问题：“这是一个立方体，从正面看你看到了什么？”面对这样一个问题，学生进行了实际观察，教师并不断对学生绘出的解答作出评价：“好！”“非常好！”“你看得真仔细！”“你再仔细看看！”……这样，所有学生最终都
得出了“我看到了一个正方形”这样一个结论。
但是，笔者在此要提出的问题是：后一结论的得出难道真是实际观察的结果吗？例如，如果一个学生提出他所看到的是通常所说的立体图（即是由一个正方形和两个平行四边形所组成的组合图形），你能说他看错了吗？!
完全可以想象，如果在教学中真的出现了上述的情况，任课教师就一定会建议道：“你再仔细看看！”甚至还可能作出这样的“提示”：“你再好好想想究竟什么是‘从正面看’？”但是，如果一个学生坚持说他怎么也看不出老师所说的正方形，而只能看到通常所说的立体图，教师又该如何去处理呢？还是这个问题：你真的能说他看错了吗？!
至此我想有的读者也许已经有所感悟了：在此我们事实上并不是真正地在看，而是在教会学生应当如何去看。
这也就是说，我们在此所从事的事实上是一种规范化的活动：正是通过我们的教学，学生逐步学会了究竟什么叫做“从正面看”，或者说，究竟看到了什么样的形状才是正确的，其他的则都是不正确的。
“等一等！”也许有的读者早已忍耐不住了，“难道这不是一个客观事实吗，即立方体在长、宽、高三个方向的投影都是正方形！”是的！但这里的关键恰就在于“投影”这两个字，因为，后者显然是一种理想化的状态（或者说，是严格定义的结果），而如果我们真的用眼睛（或者说用摄像机）去看则是很难（如果不说不可能的话）看出正方形的。
从而，总的来说，我们就应得出这样的结论：在此我们事实上并非是用眼睛，而是用头脑在看！
从而，即使是“观察”这种最为基本、最为直截了当的活动事实上也不简单。
当然，就我们目前的论题，也十分清楚地表明了这样一点，即使就一些常见的教学实例而言，由深入的分析我们也可能获得关于数学学习与教学活动的深刻认识。
（对此可参见另文《“案例分析”应重在分析》，《中学数学教学参考》，2000年第9期）
二、“善于提问”与数学教师的专业成长
与上面提到的“变式理论”一样，这也是中国数学教学传统的一个重要方面，即中国的数学教师通常十分重视课堂提问。
这可以看成针对“大班教学”这一现实所采取的一种对策，因为通过适当的课堂提问，特别是加强问题的启发性，我们即可在一定程度上解决教学的“双主体”问题：在充分尊重学生在学习活动中的主体地位的同时，也能很好地发挥教师在教学中的主导作用。
然而，就如以下的调查（顾泠沅等，《寻找中间地带》，上海教育出版社，2003）所清楚表明的，就现实而言，在这方面也存在一定的问题：在一次几何教学观摩中任课教师在一堂课中共提了105个问题，数量之多连其本人也不相信。
其中“记忆性问题居多（占74.3%），推理性问题次之（占21.0%），强调知识覆盖面，但极少有创造性、批判性问题”；另外，“提问后基本上没有停顿（占86.7%），不利于学生思考。
”从而，努力提高课堂提问的质量就是我们在这一方面所面临的又一紧迫任务。
例如，正是在这样的意义上，我们就应十分重视以下的论述，因为，这在很大程度上即可被看成为这方面的工作指明了努力的方向：“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。
这是参与性的，不是指示性的；其基础不足要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。
”（巴拉布，达菲，《从实习场到实践共同体》，摘自戴维·H·乔纳森主编，《学习环境的理论基础》，郑太年等译，华东师范大学出版社，2002）
就当前而言我们应特别强调这样几点：
第一，适当的提问正是数学思维最为重要的表现形式之一。
例如，按照著名数学家、数学教育家波利亚的观点，“数学启发法”正是“问题解决”的关键所在，而其核心就是“一
些定型的问题和建议”；更为一般地说，我们则又可以断言，“可能任何类型的思维守则都在于掌握和恰当地运用一系列合适的提问。
”另外，就概念的学习（包括概念的生成、组织与发展）而言，以下的一些问题则更为重要：(1)如何在不同的概念之间作出比较以发现它们的共同点与不同之处，包括彼此之间究竟存在怎样的联系？(2)如何能用自己的语言对概念的本质作出说明，包括举出典型的例子（正例与反例）?
除此以外，我们还可提及所谓的“数学传统”或“数学精神”，后者即是指，数学家们总是不满足于某些具体结果或结论的获得，而是希望能够获得更为深入的理解，后者不仅直接导致了对于严格的逻辑证明的寻求，也促使数学家积极地去从事进一步的研究，如在某些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍性的理论？这些事实能否被纳入某个统一的数学结构？等等；数学家们也总是希望达到更大的简单性和精致性，如是否存在更简单的证明？能否对相应的表述方式（包括符号等）作出适当的改进？等等。
从而，这也就从又一角度更为清楚地表明了适当的提问对于数学活动（包括数学研究与数学学习）的特殊重要性。
当然，我们在此还应特别强调这样一点：在教学中我们不应机械地去应用上面所提及的各个“提问策略”，而应努力加强课堂提问的针对性，也即应当根据特定的情境（包括学习内容与学习对象等）与教学目标去思考究竟应当提出什么样的问题，而这事实上也就是所谓的问题的“恰当性”的一个基本涵义。
第二，相对于教师的课堂提问而言，这显然应是数学教育更高的一个追求，即是应当努力培养学生提出问题的能力。
就后一目标的实现而言，我们应当注意防止各种简单化的认识以及做法上的放任自流，如认为“学生提的任何问题都是有意义的”，等等；恰恰相反，这应是我们在这一方面的一个基本认识：正如解决问题能力的培养，学生提出问题的能力也不可能自发地得以形成，而主要是一个文化继承的过程，学校教学更应在这一过程中发挥重要的作用，特别是，数学教师应当真正做到“身教重于言教”——显然，这也就是上述的“教师应当向学生问他们应当自己问自己的问题”这一主张的真谛所在。
第三，就现状而言，我们又应特别强调课堂提问的这样一种变化，即是由当前占主导地位的“社会性语言”转向“学科（数学）性语言”。
例如，以下一些用语主要就可被看成属于前者的范围：“你真聪明！”“你真棒！”“让我们大家为他鼓掌！”“还有什么不同的做法？”由于课堂用语应当具有鲜明的学科特色，特别是能够起到重要的导向作用，因此，以下一些“学科用语”就应得到更大的提倡，如“你怎么知道，能讲出道理来吗？”“你是否同意他的看法？为什么？”“你赞同哪种方法，为什么？”等等。
事实上，基于不同的目的我们可以对“提问策略”作出进一步的细分。
例如，除去上面所提及的与“问题解决”“概念的学习”以及“数学传统的继承”等直接相关的各种提问策略以外，我们还可围绕“帮助学生学会学习”等方面去作出总结。
（详见另文《数学教师的三项基本功》，《人民教育》，2008年第18～20期）（未完待续）^。
